一元二次方程复习(中考考点训练)
《一元二次方程》总复习、练习、中考真题【题型解析】
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0〕。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a〕2=b〔b≥0〕的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2 =-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0〕的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a〕2=b 的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，那么原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b ± b 2 - 4ac (b2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：假设ab=0，那么 a=0 或b=0。
步骤是：①将方程右边化为 0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的考前须知：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②假设b2－4ac＜0，那么方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3〔x＋4〕中，不能随便约去 x＋4。
一元二次方程篇(原卷版)--中考数学必考考点总结+题型专训
知识回顾微专题专题11一元二次方程考点一：一元二次方程之相关概念1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式为：()002≠=++a c bx ax 。
其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 为常数项。
3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。
1．（2022•广东）若x ＝1是方程x 2﹣2x +a ＝0的根，则a ＝．2．（2022•连云港）若关于x 的一元二次方程mx 2+nx ﹣1＝0（m ≠0）的一个根是x ＝1，则m +n 的值是．3．（2022•资阳）若a 是一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的一个根，则2a 2+4a 的值是．4．（2022•遂宁）已知m 为方程x 2+3x ﹣2022＝0的根，那么m 3+2m 2﹣2025m +2022的值为（）A ．﹣2022B ．0C ．2022D ．40445．（2022•衢州）将一个容积为360cm 3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x （cm ）满足的一元二次方程：（不必化简）．知识回顾考点二：一元二次方程之解一元二次方程1.直接开方法解一元二次方程：适用形式：p x =2或()p a x =+2或()p b ax =+2（p 均大于等于0）①p x =2时，方程的解为：p x p x -==21，。
②()p a x =+2时，方程的解为：a p x a p x --=-=21，。
③()p b ax =+2时，方程的解为：ab p x a b p x --=-=21，。
2.配方法解一元二次方程：运用公式：()2222b a b ab a ±=+±。
具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】
解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x（3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x（3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x4、运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 230x ++=（3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x7、 解下列关于x 的方程:(1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7=(3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =08、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0（3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：3(x -5)2=2(5-x )9、用适当方法解下列方程：（1）0)14(＝－x x （2）027122＝＋＋x x（3）562＋＝x x （4）45)45(＋＝＋x x x（5）x x 314542＝－ （6）0242232＝－＋－x x（7）12)1)(8(＝－＋＋x x （8）14)3)(23(＋＝＋＋x x x解一元二次方程专项练习题 答案1、【答案】（1）116±－； （2） 142±－； （3） 523±； （4） 51± 2、【答案】（1）11＝x ，612＝x （2）31＝x ，562＝－x（3）41＝x ，4132＝－x （4）5211±－＝x3、【答案】 （1） 4179±＝x （2） 3121＝－＝x x （3） 411＝x ，432＝－x （4）262±＝x4、【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7（3）21＝x ，312＝－x （4）61311±＝x 5、【答案】（1）3121＝－＝x x （2）11＝x ，322＝－x（3）231＝－x ，212＝x （4）31＝x ，92＝x6、【答案】（1）11＝x ，22＝x （2）321＝－＝x x （3）4,3521==x x ； （4）3,221-==x x7、【答案】(1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 8、【答案】解：（1） 1,321-==x x （2）32,3221-=+=x x（3）3105,310521--=+-=x x （4）313,521==x x 。
专题08 一元二次方程(4大考点)2022-2024年中考数学真题分类汇编
专题08 一元二次方程（4大考点）【考点归纳】一、考点01 解一元二次方程-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02 一元二次方程根的判别式------------------------------------------------------------------------------------------------------2三、考点03 根与系数的关系-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3四、考点04 一元二次方程的实际应用------------------------------------------------------------------------------------------------------4考点01 解一元二次方程一、考点01 解一元二次方程1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x -=的解是（ ）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =-D ．12x =-，21x =-2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++-=的一个根是0x =，则a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．123．（2022·青海·中考真题）已知方程230x mx +=+的一个根是1，则m 的值为（ ）A ．4B ．4-C ．3D ．3-4．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （ ）A ．1B 1C 1D ．115．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（ ）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．136．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=7．（2024·四川南充·中考真题）当25x ≤≤时，一次函数2(1)1y m x m =+++有最大值6，则实数m 的值为（ ）A ．3-或0B ．0或1C ．5-或3-D ．5-或18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x -=-+-=，，则x 的值为 ．9．（2023·广东广州·中考真题）解方程：2650x x -+=．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．考点02 一元二次方程根的判别式二、考点02 一元二次方程根的判别式11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m的取值范围是（ ）A ．4m ≤B ．4m ≥C ．4m ≥-且2m ≠D ．4m ≤且2m ≠12．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x 的一元二次方程2230kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．13k <B ．13k ≤C ．13k <且0k ≠D ．13k ≤且0k ≠13．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程2210mx x ++=有实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≥-B ．1m £C ．1m ≥-且0m ≠D ．1m £且0m ≠14．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≠B ．1a >-且0a ≠C ．1a ≥-且0a ≠D ．1a >-15．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（ ）A ．9-B ．4C ．1-D ．116．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <且1m ≠-B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠-D ．0m <17．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=无实数根，则函数y kx =与函数2y x=的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．318．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．2690x x -+=19．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ）A ．16-B ．4-C ．4D ．1620．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是 ．21．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ．22．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为 ．23．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为 ．24．（2019·上海·中考真题）若关于x 的方程20x x k -+=没有实数根，则k 的取值范围是 ．25．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c = ．26．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．27．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++-=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +-=，求m 的值．28．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m -+-=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m ---÷⋅-+．29．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k ++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且23k k αβ=+，求k 的值．30．（2023·湖北·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若()()2220a b a b ++=，求m 的值．31．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22460kx k x k -++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当1k =时，用配方法解方程．32．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m ---+=(1)求证：无论m 为何值，方程总有实数根；(2)若1x ，2x 是方程的两个实数根，且212152x x x x +=-，求m 的值．考点03 根与系数的关系三、考点03 根与系数的关系33．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（ ）A ．4045B ．4044C ．2022D ．134．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（ ）A ．23-B ．23C ．6-D ．635．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，则()22m n +-的值为 ．36．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x --=的两个实数根，则()212123x x x x -+的值是 ．37．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px -+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________；(2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值．38．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k -+-+=的两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值．39．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根12x x ，和系数a ，b ，c 有如下关系：12b x x a+=-，12c x x a =．材料2：已知一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ，求22m n mn +的值．解：∵m ，n 是一元二次方程210x x --=的两个实数根，∴1,1m n mn +==-．则()22111m n mn mn m n +=+=-⨯=-．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为12x x ，，则12x x +=___________，12x x =___________；(2)类比：已知一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为m ，n ，求22m n +的值；(3)提升：已知实数s ，t 满足2223102310s s t t +-=+-=，且s t ≠，求11s t-的值．考点04 一元二次方程的实际应用四、考点04 一元二次方程的实际应用40．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ）A ．()280160x -=B ．()280160x -=C ．()80160x -=D ．()801260x -=41．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（ ）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x +=C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=42．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．()67012780x ⨯+=B ．()26701780x ⨯+=C ．()26701780x ⨯+=D ．()6701780x ⨯+=43．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%44．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段10m 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m ）的矩形鸭舍，其面积为215m ，在鸭舍侧面中间位置留一个1m 宽的门（由其它材料制成），则BC 长为（ ）A ．5m 或6mB ．2.5m 或3mC ．5mD ．3m45．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则可得到方程（ ）A ．()136x x ++=B ．()2136x +=C ．()1136x x x +++=D ．2136x x ++=46．（2023·湖北襄阳·中考真题）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x 步，根据题意列方程正确的是（ ）A ．22(12)864x x ++=B ．22(12)864x x ++=C ．(12)864x x -=D ．(12)864x x +=47．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x 米，根据题意，所列方程正确的是（ ）A ．()6720x x -=B ．()6720x x +=C ．()6360x x -=D ．()6360x x +=48．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m，则小路的宽是（）A．5m B．70m C．5m或70m D．10m49．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．950．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．51．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是．52．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为．53．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x-+=的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．54．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为2S．cm(1)求y与,x s与x的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为2750cm，若能，求出x的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．55．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？56．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD （如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m 的篱笆围成．生态园的面积能否为240m ？如果能，请求出AB 的长；如果不能，请说明理由．57．（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为cm cm cm cm a b c d 、、、．若纸张大小为16cm 10cm ⨯，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？58．（2023·湖北黄冈·中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中21000m 的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y （单位；元/2m ）与其种植面积x （单位：2m ）的函数关系如图所示，其中200700x ≤≤；乙种蔬菜的种植成本为50元/2m ．(1)当x =___________2m 时，35y =元/2m ；(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W 元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W 最小？(3)学校计划今后每年在这21000m 土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下a，当a为何值时，2025降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降%年的总种植成本为28920元？59．（2022·山东德州·中考真题）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．(1)若扩充后的矩形绿地面积为2800m，求新的矩形绿地的长与宽；(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3．求新的矩形绿地面积．60．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．专题08 一元二次方程（4大考点）（解析版）【考点归纳】一、考点01 解一元二次方程----------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02 一元二次方程根的判别式----------------------------------------------------------------------------------------------5三、考点03 根与系数的关系--------------------------------------------------------------------------------------------------------16四、考点04 一元二次方程的实际应用--------------------------------------------------------------------------------------------22考点01 解一元二次方程一、考点01 解一元二次方程1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x -=的解是（ ）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =-D ．12x =-，21x =-【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．【详解】解∶ 220x x -=，∴()20x x -=，∴0x =或20x -=，∴12x =，20x =，故选∶B ．2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++-=的一个根是0x =，则a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．12【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二次方程的定义，可知20a +≠；一根是0，代入()22240a x x a +++-=可得240a -=，即可求答案．【详解】解：()22240a x x a +++-=是关于x 的一元二次方程，20a ∴+≠，即2a ≠-①由一个根0x =，代入()22240a x x a +++-=，可得240a -=，解之得2a =±；②由①②得2a =；故选A3．（2022·青海·中考真题）已知方程230x mx +=+的一个根是1，则m 的值为（ ）A ．4B ．4-C ．3D ．3-【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．把1x =代入一元二次方程得到130++=m ，求解即可得出m 的值．【详解】解：把1x =代入方程230x mx +=+得：130++=m ，解得：4m =-．故选：B ．4．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （ ）A ．1B 1C 1D ．115．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（ ）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．13【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得13x =，27x =，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3，腰长为7，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．【详解】解：由方程210210x x -+=得，13x =，27x =，∵337+<，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为37717++=，故选：C ．6．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=7．（2024·四川南充·中考真题）当25x ≤≤时，一次函数2(1)1y m x m =+++有最大值6，则实数m 的值为（ ）A ．3-或0B ．0或1C ．5-或3-D ．5-或1【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当10m +>时和当10+<m ，根据一次函数性质列出关于m 的一元二次方程，求解即可得出答案．【详解】解：当10m +>即1m >-时，一次函数y 随x 的增大而增大，∴当5x =时，6y =，即25(1)16m m +++=，整理得：250m m +=解得：0m =或5m =-（舍去）当10+<m 即1m <-时，一次函数y 随x 的增大而减小，∴当2x =时，6y =，即22(1)16m m +++=，整理得：2230m m +-=解得：3m =-或1m =（舍去）综上，0m =或3m =-，故选：A8．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x -=-+-=，，则x 的值为 ．【答案】3【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．将2y x =代入22330x y x -+-=，转化为解一元二次方程，20y x =≥，要进行舍解．【详解】解：∵20y x -=，∴2y x =，将2y x =代入22330x y x -+-=得，2330x x x -+-=，即：2230x x --=，()()310x x -+=，∴3x =或=1x -，∵20y x =≥，∴=1x -舍，∴3x =，故答案为：3．9．（2023·广东广州·中考真题）解方程：2650x x -+=．【答案】11x =，25x =【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：2650x x -+=，()()150x x --=，10x -=或50x -=，11x =，25x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．二、考点02 一元二次方程根的判别式11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．4m ≤B ．4m ≥C ．4m ≥-且2m ≠D ．4m ≤且2m ≠【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-的意义得到20m -≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有实数根，20m ∴-≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，解得：4m ≤，m ∴的取值范围是4m ≤且2m ≠．故选：D ．12．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x 的一元二次方程2230kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．13k <B ．13k ≤C ．13k <且0k ≠D ．13k ≤且0k ≠13．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程2210mx x ++=有实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≥-B ．1m £C ．1m ≥-且0m ≠D ．1m £且0m ≠【答案】D【分析】由于关于x 的一元二次方程2210mx x ++=有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知0∆≥，且0m ≠，据此列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，440m -≥，且0m ≠，解得，1m £，且0m ≠.故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当0∆>时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，一元二次方程没有实数根．14．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≠B ．1a >-且0a ≠C ．1a ≥-且0a ≠D ．1a >-【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a ≠0，Δ=22-4a ×（-1）=4+4a ＞0，再求出即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2+2x -1=0有两个不相等的实数根，∴a ≠0，Δ=22-4a ×（-1）=4+4a ＞0，解得：a ＞-1且a ≠0，故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为常数，a ≠0），当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根．15．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（ ）A ．9-B ．4C ．1-D ．1【答案】D【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数k 的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式24b ac ∆=-，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；当方程有两个相等的实数根时，Δ0=；当方程没有实数根时，Δ0<．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，∴()2Δ64936360c c =--⨯⨯=-=，解得：1c =，故选：D ．16．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <且1m ≠-B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠-D ．0m <【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根．由关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=两个不相等的实数根，可得0∆>且10m +≠，解此不等式组即可求得答案．【详解】解： 关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，∴()()22410m ∆=--+>，解得：0m <，10m +≠ ，1m ∴≠-，m ∴的取值范围是：0m <且1m ≠-．故选：A ．17．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=无实数根，则函数y kx =与函数2y x=的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k 的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程2210x x k ++-=无实数根，∴()Δ4410k =--<，解得：0k <，则函数y kx =的图象过二，四象限，18．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等实数根；当240b ac ∆=-=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=-时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=--⨯⨯=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意；B ．()2Δ0419360=-⨯⨯-=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=--⨯⨯=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意；D ．()2Δ64190=--⨯⨯= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意；故选：D ．19．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ）A ．16-B ．4-C ．4D ．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式()22Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程240x x c -+=有两个相等的实数根，1,4,a b c c ==-=，∴()22Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=，∴416c =，解得4c =．故选C ．2690x x -+=20．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是 ．21．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为．22．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为 ．【答案】2【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=->；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=；没有实数根，则24<0b ac ∆=-．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=-=--⨯⨯=，解得：2k =故答案为：223．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为．24．（2019·上海·中考真题）若关于x 的方程20x x k -+=没有实数根，则k 的取值范围是 ．25．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c = ．【答案】1【分析】由220x x c ++=有两个相等的实数根，可得240b ac ∆=-=进而可解答．【详解】解：∵220x x c ++=有两个相等的实数根，∴24440b ac c ∆=-=-=，∴1c =．故答案为：1．【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握相关知识是解题的关键．26．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．【答案】1k <【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据根的判别式的意义得到()2240k -->，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得()2240k ∆=-->，解得1k <．故答案为：1k <．27．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++-=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +-=，求m 的值．【答案】(1)证明见解析；(2)11m =或22m =-．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明0∆>恒成立即可；（2）由题意可得，122x x m +=+，121⋅=-x x m ，进行变形后代入即可求解．【详解】（1）证明：()()22Δ24118m m m ⎡⎤=-+-⨯⨯-=+⎣⎦，∵无论m 取何值，280m +>，恒成立，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵12,x x 是方程()2210x m x m -++-=的两个实数根，∴122x x m +=+，121⋅=-x x m ，∴()()()22221212121232319x x x x x x x x m m +-=+-=+--=，解得：11m =或22m =-．28．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m -+-=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m ---÷⋅-+．29．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k ++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且23k k αβ=+，求k 的值．30．（2023·湖北·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若()()2220a b a b ++=，求m 的值．【答案】(1)证明见解析(2)m 的值为1或2-【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】（1）证明：∵()()22Δ21410m m m ⎡⎤=-+-⨯+=>⎣⎦，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵()22210x m x m m -+++=的两个实数根为,a b ，∴221,a b m ab m m +=+=+．∵()()2220a b a b ++=，∴2224220a ab b ab +++=，22()20a b ab ++=．∴222(21)20m m m +++=．即220m m +-=．解得1m =或2m =-．∴m 的值为1或2-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．31．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22460kx k x k -++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当1k =时，用配方法解方程．32．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m ---+=(1)求证：无论m 为何值，方程总有实数根；(2)若1x ，2x 是方程的两个实数根，且212152x x x x +=-，求m 的值．三、考点03 根与系数的关系33．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（ ）A ．4045B ．4044C ．2022D ．1【答案】A【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：解：∵1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，∴2112022x x -=，122022x x =-，121x x =+321122022-+x x x ()()()2222211212121220222122022x x x x x x x x x =-+=+=+-=-⨯-4045=故选A【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．34．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（ ）A ．23-B ．23C ．6-D ．635．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，则()22m n +-的值为 ．【答案】7【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求36．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x --=的两个实数根，则()212123x x x x -+的值是 ．37．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px -+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________；(2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值．38．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k -+-+=的两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值．【答案】(1)1k >(2)2【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k -+-+=的两个不相等的实数根”，则0∆>，得出关于k 的不等式求解即可；（2）根据5k <，结合（1）所求k 的取值范围，得出整数k 的值有2，3，4，分别计算讨论整数k 的不同取值时，方程22210x kx k k -+-+=的两个实数根1x ，2x 是否符合都是整数，选择符合情况的整数k 的值即可．。
初三数学 一元二次方程复习
初三数学一元二次方程复习一．填空题（共60小题）1．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m+2＝．2．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x﹣a2+1＝0有一个根为0，则方程的另一个根为．3．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0有一个根是0，则a的值为．4．如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0一个根为0，则m＝．5．已知a是方程x2+5x﹣1＝0的根，则代数式a2+5a+2024的值为．6．若a是方程2x2﹣4x+1＝0的一个根，则代数式2021﹣2a2+4a的值为．7．设a是方程x2﹣2006x+1＝0的一个根，则代数式a2﹣2007a+的值为．8．关于x的方程是一元二次方程，则m＝．9．关于x的方程（x+h）2+k＝0（h，k均为常数）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程（x+h﹣3）2+k＝0的解是．10．已知关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均为常数，且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，则关于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k的解是．11．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是．12．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为．13．一元二次方程x2+x﹣1＝0的解是．14．若关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是．15．若关于x的方程（k﹣5）x2+2kx+k+2＝0有实数根，则k的范围是；若有两个不相等的实数根，则k的范围是．16．关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．17．已知关于x的方程x2+2x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1x2+x1+x2的值为．19．如果m，n是一元二次方程x2﹣x＝3的两个实数根，那么多项式2n2﹣mn+2m＝．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）＝．21．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值为．22．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（k+6）x+3k＝0的两个实数根，且x1﹣x2＝，则k＝．23．已知a、b是方程x2+3x+1＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝．24．设a、β是方程x2﹣x+2024＝0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为．25．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣11＝0的两个实数根，则代数式的值是．26．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，则k的值为．27．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0的一个根为x＝0，则它的另一个根为．28．已知关于x的方程x2+2x﹣a＝0的一个根为2，则另一个根是．29．若a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a2+2b﹣ab的值是．30．设x1，x2是方程x2﹣2x﹣35＝0的两个实根，则代数式的值为．31．已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2﹣x1x2的值为．32．已知方程2t2﹣t﹣4＝0有两个不相等的实数根α、β，则＝．33．若m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2022x+2023＝0的两根，则代数式（m2﹣2021m+2022）（n2﹣2021n+2022）的值是．34．设x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两实数根，则+x2﹣2025＝．35．已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝．36．如果α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个根，则α2+4α+β+2021的值是．37．已知一元二次方程8x2﹣2x﹣15＝0的解为x1，x2，则的值为．38．若a，b是方程x2+2x﹣4＝0的两个根，则代数式a2+3a+b＝．39．设x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x1+x2＝3x1x2，则m＝．40．关于x的一元二次方程x2+kx+k+1＝0的两根分别为x1，x2，且x+x＝1，则k的值为．41．设x1，x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个根，则x1+x2＝1，则|x1﹣x2|＝．42．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣3＝0的两实数根，且，则k的值为．43．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根α、β，且α2+β2＝17，则m的值是．44．某公司今年一月盈利30万元，三月盈利36.3万元，从一月到三月，每月盈利的增长率都相同，设月平均增长率为x，根据题意可列方程为．45．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率都为x，根据题意可列方程．46．某乡镇2021年旅游总收入为50万元，到2023年旅游总收入达60.5万元．若每年的平均增长率相同，则年平均增长率是．47．如图，在一块长30m，宽20m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为522m2，则道路的宽为m．48．在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为米．49．在一幅长40cm，宽20cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是1600cm2，设金色纸边的宽为x cm，依题意可列方程为．50．如图，某校准备用54米的围栏修建一边靠墙的矩形花园ABCD（AB＜BC），已知墙体的最大可用长度为28米，如果该矩形花园的面积为360平方米，则AB的长为米．51．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），墙对面有一个2米宽的门（EF），另外三边用木栏围成，木栏长30m．若养鸡场面积为120m2，设AB＝x m，则列方程得．52．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价元．53．某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价元．54．今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，若想让顾客得到实惠的同时每天利润为480元，则每个口罩应该涨价元．55．某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有x支球队参赛，则可列方程．56．某校组织了一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队比赛一场），设有x支球队，共比赛15场．根据题意可列方程．57．一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程．58．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，这个两位数等于它的个位数字的平方，则这个两位数是．59．一个两位数，个位与十位上的数字之和为8，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，得到一个新的两位数，所得的新两位数与原数的乘积为1855，则原两位数是．60．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为．。
中考数学《一元二次方程》专题复习检测试卷
中考数学《一元二次方程》专题复习检测试卷一．单项选择题（共15小题，每小题3分，共45分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．3（1+x ）2＝3x 2+7B ．3（1+x ）2＝x （3x +7）C ．px 2+x ﹣4＝x （px ﹣1）D ．2x 2＝02．若关于x 的方程mx m ﹣1+（m ﹣3）x +5＝0是一元二次方程，那么m 的值为（ ）A ．m ＝3B ．m ＝2C ．m ＝1D ．m ≠03．一元二次方程2x 2﹣2x ＝1的一次项系数和常数项依次是（ ）A ．﹣2和﹣1B ．﹣2和1C ．2和﹣1D ．2和14．如果关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+3x +|a |﹣2＝0的常数项为0，那么a 的值一定是（ ）A ．2B ．﹣2C ．2或﹣2D ．05．已知m 是方程x 2﹣x ﹣2＝0的一个根，则代数式m 2﹣m +2022的值等于（ ）A ．2024B ．2022C ．2023D ．20216．已知x ＝﹣1是一元二次方程x 2+mx ＝3的一个解，则m 的值是（ ）A ．0或2B ．2C ．0D ．﹣27．方程x 2＝4的解是（ ）A ．±√2B ．√2C ．±2D ．28．一元二次方程x 2﹣3＝0的根是（ ）A ．x =±√3B ．x =√3C ．x ＝3D ．x ＝09．用配方法解方程x 2+7x ﹣5＝0，变形后的结果正确的是（ ）A ．(x +72)2=694 B ．(x +72)2=294 C ．(x −72)2=694 D ．(x −72)2=29410．用配方法解方程x 2+4x ﹣1＝0，配方后的方程是（ ）A ．（x +2）2＝5B ．（x ﹣2）2＝3C ．（x ﹣2）2＝5D ．（x +2）2＝311．对于实数a ，b ，定义运算“※”：a ※b ＝a 2﹣2b ，例如：5※1＝52﹣2×1＝23．若x ※x ＝﹣1，则x 的值为（ ）A ．1B ．0C ．0或1D ．1或﹣112．如果a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，那么下面对a的估值一定正确的是（）A．﹣1.5＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣4＜a＜﹣3D．4＜a＜513．方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是（）A．x＝2B．x＝﹣3C．x1＝﹣2，x2＝3D．x1＝2，x2＝﹣314．一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的一个解是x＝2，则另一个解是（）A．x＝3B．x＝2C．x＝1D．无法判断15．如果y为实数，且满足等式（y2+m2）2﹣2（y2+m2）＝24，那么5（y2+m2）的值一定是（）A．6B．30C．36D．12二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分）16．若关于x的方程（m+1）x m2+1−3x+2＝0是一元二次方程，则m的值是________．17．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为________．18．关于x的方程x2+kx+2＝0的一个根是1，则k＝________．19．方程x2﹣5＝0的根是．20．下面是某同学解方程x2+6x﹣16＝0的部分运算过程：解：移项，得x2+6x＝16，…第一步配方，得x2+6x+9＝16+9，…第二步即（x+3）2＝25，…第三步两边开平方，得x+3＝5，…第四步①该同学的解答从第________步开始出错．②请写出正确的解答过程．21．如果用公式法解关于x的一元二次方程，得到x=−9±√92−4×3×1，那么该一元二次方2×3程是________．22．方程x2＝x的解是________．23．实数x、y满足（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值为________．24．一元二次方程x2+5x+1＝0的根的判别式的值是________．25．写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下两个要求：①二次项系数为2，②两根分别为3和−1：________．2三．解答题（共4小题，共75分）26．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．27．已知m是方程2x2﹣7x+1＝0的一个根，求代数式m（2m﹣7）+5的值．28．（1）用适当的方法解方程：81（1﹣x）2＝64．（2）请你结合生活经验，设计一个问题，使它能利用建立方程模型“100（1﹣x）2＝81”来解决．你设计的问题是：．29．阅读材料，并回答问题．小明在学习一元二次方程时，解方程2x2﹣8x+5＝0的过程如下：解：2x2﹣8x+5＝0．2x2﹣8x＝﹣5．①．②x2−4x=−52+4．③x2−4x+4=−52．④(x−2)2=32．⑤x−2=√62．⑥x=2+√62问题：（1）上述过程中，从________步开始出现了错误（填序号）．（2）发生错误的原因是：__________．（3）写出这个方程的解：__________．。
第21章一元二次方程考点练习(有答案)
根是﹣3，1.小明看错了一次项系数 P，得到方程的两个根是 5，﹣4，则原来的方程是（ ） A .x2+2x﹣3＝0 B .x2+2x﹣20＝0 C .x2﹣2x﹣20＝0 D .x2﹣2x﹣3＝0
19.（2021 枣庄）若等腰三角形的一边长是 4，另两边的长是关于 x 的方程 x2﹣6x+n＝0 的两
25.已知关于 x 的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中 a，b，c，分别为△ABC 三
边长. （1）如果 x=－1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
的最大值是（ ）
A .1 B . 2 C . 3 D .2
13.（2020 潍坊）关于 x 的一元二次方程 x2 (k 3)x 1 k 0 根的情况，下列说法正确
的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根
B. 有两个相等的实数根 D. 无法确定
3
14.（2021 枣庄、泰安）已知关于 x 的一元二次方程 kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0 有两个不相 等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）
个根，则 k 的值为（ ）
A. 3
B. 4 C. 3 或 4
D. 7
5.(2020 张家界) 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 x2-6x+8=0 的两根，则该
等腰三角形的底边长为（
）
A .2 B .4 C .8
D .2 或 4
6.(2021 雅安) 若直角三角形的两边长分别是方程 x2-7x+12=0 的两根，则该直角三角形的
中考数学专题练习 一元二次方程(含解析)
一元二次方程一、填空题1．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：．2．关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程．3．若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b= ．4．x2+3x+ =（x+ ）2；x2﹣+2=（x ）2．5．直角三角形的两直角边是3：4，而斜边的长是20cm，那么这个三角形的面积是cm2．6．若方程x2+px+q=0的两个根是﹣2和3，则p= ，q= ．7．若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，则x的值是．8．代数式2x2+3x+7的值为12，则代数式4x2+6x﹣10= ．9．当t 时，关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解．10．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则= ．二、选择题11．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1）D． +﹣2=012．若2x+1与2x﹣1互为倒数，则实数x为（）A．± B．±1 C．±D．±13．若m是关于x的方程x2+nx﹣m=0的解，且m≠0，则m+n的值是（）A．1 B．﹣0.5 C．0.5 D．﹣114．关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）A．m=0，n=0 B．m=0，n≠0 C．m≠0，n=0 D．m≠0，n≠015．关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤016．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定三、解答题17．（1）（x+4）2=5（x+4）；（2）（x+1）2=4x；（3）（x+3）2=（1﹣2x）2；（4）2x2﹣10x=3．18．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．19．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．20．已知方程x2﹣2ax+a=4（1）求证：方程必有相异实根（2）a取何值时，方程有两个正根？（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？（4）a取何值时，方程有一根为零？一元二次方程参考答案与试题解析一、填空题1．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为：x2﹣8x﹣4=0 ，二次项系数为： 1 ，一次项系数为：﹣8 ，常数项为：﹣4 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】去括号、移项变形为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0，a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．【解答】解：去括号得，x﹣3+3x2﹣9x=2x2+1，移项得，x2﹣8x﹣4=0，所以一般形式为x2﹣8x﹣4=0；二次项系数为1；一次项系数为﹣8；常数项为﹣4．故答案为x2﹣8x﹣4=0，1，﹣8，﹣4．【点评】考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数），a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．2．关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m =1 时为一元一次方程；当m ≠1 时为一元二次方程．【考点】一元二次方程的定义；一元一次方程的定义．【专题】方程思想．【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程；含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程．可以确定m的取值．【解答】解：要使方程是一元一次方程，则m﹣1=0，∴m=1．要使方程是一元二次方程，则m﹣1≠0，∴m≠1．故答案分别是：m=1；m≠1．【点评】本题考查的是一元一次方程和一元二次方程的定义，根据定义确定m的取值．3．若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b= 2或﹣4 ．【考点】换元法解一元二次方程．【专题】换元法．【分析】把原方程中的（a+b）代换成y，即可得到关于y的方程y2+2y﹣8=0，求得y的值即为a+b 的值．【解答】解：把原方程中的a+b换成y，所以原方程变化为：y2+2y﹣8=0，解得y=2或﹣4，∴a+b=2或﹣4．【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．4．x2+3x+ =（x+ ）2；x2﹣2x +2=（x ﹣）2．【考点】完全平方式．【专题】计算题．【分析】（1）根据首项是x的平方及中间项3x，利用中间项等于x与乘积的2倍即可解答．（2）根据首项与尾项分别是x与的平方，那么中间项等于x与乘积的2倍即可解答．【解答】解：（1）∵首项是x的平方及中间项3x，∴3x=2×x×，x2+3x+=，∴应填，．（2）首项与尾项分别是x与的平方，∴2×x×即为中间项．∴x2﹣2x+2=，故应填：2，﹣．故答案为：，，2，﹣．【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键要熟记完全平方公式．5．直角三角形的两直角边是3：4，而斜边的长是20cm，那么这个三角形的面积是96 cm2．【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的应用．【专题】几何图形问题．【分析】根据直角三角形的两直角边是3：4，设出两直角边的长分别是3x、4x，再根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设两直角边分别是3x、4x，根据勾股定理得：（3x）2+（4x）2=400，解得：x=4，（负值舍去）则：3x=12cm，4x=16cm．故这个三角形的面积是×12×16=96cm2．【点评】此题主要根据勾股定理来确定等量关系，也考查了三角形的面积公式．6．若方程x2+px+q=0的两个根是﹣2和3，则p= ﹣1 ，q= ﹣6 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，分别求出p、q的值．【解答】解：由题意知，x1+x2=﹣p，即﹣2+3=﹣p，∴p=﹣1；又x1x2=q，即﹣2×3=q，∴q=﹣6．【点评】已知了一元二次方程的两根求系数，可利用一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=，x1x2=解答．7．若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，则x的值是1或﹣．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】根据题意先列出方程，然后利用因式分解法解方程求得x的值．【解答】解：∵代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，∴4x2﹣2x﹣5+2x2+1=0，即（x﹣1）（3x+2）=0，解得x=1或﹣．【点评】本题是基础题，考查了一元二次方程的解法．8．代数式2x2+3x+7的值为12，则代数式4x2+6x﹣10= 0 ．【考点】代数式求值．【专题】整体思想．【分析】先对已知进行变形，把所求代数式化成已知的形式，再利用整体代入法求解．【解答】解：∵2x2+3x+7=12∴2x2+3x=12﹣7∴4x2+6x﹣10=2（2x2+3x）﹣10=2×（12﹣7）﹣10=0．【点评】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．9．当t ≤时，关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解，则△=b2﹣4ac≥0，即△=32﹣4×1×t=9﹣4t≥0，解不等式即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解，∴△=b2﹣4ac≥0，即△=32﹣4×1×t=9﹣4t≥0，∴t≤．故答案为≤．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则= ．【考点】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】把b看成常数，解关于a的一元二次方程，然后求出的值．【解答】解：a2+ab﹣b2=0△=b2+4b2=5b2．a== b∴=．故答案是：【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，把b看成是常数，用求根公式解关于a 的一元二次方程，然后求出的值．二、选择题11．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1）D． +﹣2=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足三个条件：（1）方程是整式方程；（2）未知数的最高次数是2；（3）只含有一个未知数．由这三个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：A、a=0时，不是一元二次方程，错误；B、原式可化为2x+1=0，是一元一次方程，错误；C、原式可化为3x2+4x+1=0，符合一元二次方程的定义，正确；D、是分式方程，错误．故选C．【点评】判断一个方程是否是一元二次方程，首先判断是否是整式方程，若是整式方程，再进行化简，化简以后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程就是一元二次方程．12．若2x+1与2x﹣1互为倒数，则实数x为（）A．± B．±1 C．±D．±【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】两个数互为倒数，即两数的积是1，据此即可得到一个关于x的方程，从而求解．【解答】解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得（2x+1）（2x﹣1）=1；整理得4x2﹣1=1，移项得4x2=2，系数化为1得x2=；开方得x=±．故选C．【点评】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．本题开方后要注意分母有理化．13．若m是关于x的方程x2+nx﹣m=0的解，且m≠0，则m+n的值是（）A．1 B．﹣0.5 C．0.5 D．﹣1【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；将m代入原方程即可求得m+n的值．【解答】解：把x=m代入方程x2+nx﹣m=0得m2+mn﹣m=0，又∵m≠0，方程两边同除以m，可得m+n=1；故本题选A．【点评】此题中应特别注意：方程两边同除以字母系数时，应强调字母系数不得为零．14．关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）A．m=0，n=0 B．m=0，n≠0 C．m≠0，n=0 D．m≠0，n≠0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解．【分析】代入方程的解求出n的值，再用因式分解法确定m的取值范围．【解答】解：方程有一个根是0，即把x=0代入方程，方程成立．得到n=0；则方程变成x2+mx=0，即x（x+m）=0则方程的根是0或﹣m，因为两根中只有一根等于0，则得到﹣m≠0即m≠0方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，正确的条件是m≠0，n=0．故选C．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，以及因式分解法解一元二次方程．15．关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】根据直接开平方法的步骤得出x2=k，再根据非负数的性质得出k≥0即可．【解答】解：∵x2﹣k=0，∴x2=k，∴一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则k≥0，故选：C．【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．16．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定【考点】一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．【解答】解：在这个式子中，如果把x=1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c=0可知：当x=1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．故选C．【点评】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．三、解答题17．（1）（x+4）2=5（x+4）；（2）（x+1）2=4x；（3）（x+3）2=（1﹣2x）2；（4）2x2﹣10x=3．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题．【分析】（1）运用提取公因式法分解因式求解；（2）运用公式法分解因式求解；（3）运用平分差公式分解因式求解；（4）运用公式法求解．【解答】解：（1）（x+4）2=5（x+4），（x+4）2﹣5（x+4）=0，（x+4）（x+4﹣5）=0，∴x1=﹣4，x2=1．（2）（x+1）2=4x，x2+2x+1﹣4x=0，（x﹣1）2=0，∴x1=x2=1．（3）（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）=0，（4﹣x）（3x+2）=0，∴x1=4，x2=﹣．（4） 2x2﹣10x=3，2x2﹣10x﹣3=0，x=，x1=，x2=．【点评】此题考查了选择适当的方法解一元二次方程的能力，属基础题．18．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．【考点】等腰三角形的性质；一元二次方程的解；三角形三边关系．【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系得到x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，确定等腰三角形腰长为5．【解答】解：x2﹣9x+20=0，解得x1=4，x2=5，∵等腰三角形底边长为8，∴x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，∴等腰三角形腰长为5．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的边长，不能盲目地作出判断，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．19．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．【考点】一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】由于一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，那么把x=0代入方程即可得到关于m的方程，解这个方程即可求出m的值．【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，∴把x=0代入方程中得m2+3m﹣4=0，∴m1=﹣4，m2=1．由于在一元二次方程中m﹣1≠0，故m≠1，∴m=﹣4【点评】此题主要考查了方程解的定义和解一元二次方程，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到所求字母的方程，再解此方程即可解决问题．20．已知方程x2﹣2ax+a=4（1）求证：方程必有相异实根（2）a取何值时，方程有两个正根？（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？（4）a取何值时，方程有一根为零？【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】计算题．【分析】（1）根据△＞0恒成立即可证明．（2）由方程有两个正根，根据根与系数的关系即可求出a的取值．（3）由方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，根据根与系数关系解答．（4）令x=0代入方程求解即可．【解答】解：（1）方程x2﹣2ax+a=4，可化为：x2﹣2ax+a﹣4=0，∴△=4a2﹣4（a﹣4）=4+15＞0恒成立，故方程必有相异实根．（2）若方程有两个正根x1，x2，则x1+x2=2a＞0，x1x2=a﹣4＞0，解得：a＞4．（3）若方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，则可得：x1+x2=2a＜0，x1x2=a﹣4＜0，解得：a ＜0．（4）若方程有一根为零，把x=0代入方程x2﹣2ax+a=4，得：a=4．【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是熟记x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．。
一元二次方程考点基础知识过关限时训练(中考第一轮总复习)
一元二次方程考点基础知识过关限时训练（中考第一轮总复习）（建议时间60分钟）一．选择题1．一元二次方程2340x x -+=的根的情况是( )A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．有两个不相等的实数根2．下列关于x 的方程中，是一元二次方程的为( )A ．20ax bx c ++=B ．211x x -= C ．210x -= D ．2350x y +-=3．下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )A ．220x x -=B ．2210x x -+=C ．220x +=D ．2230x x -+=4．若关于x 的方程2(2)210a x x +--=是一元二次方程，则a 的取值范围是( )A ．0a ≠B ．2a ≠-C ．3a -D ．3a -且2a ≠-5．用配方法解一元二次方程26100x x +-=，此方程可变形为( )A ．2(3)19x +=B ．2(3)19x -=C ．2(2)1x +=D ．2(3)1x -=6．方程2120x x +-=的两根的情况是( )A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相同的实数根D ．不能确定 7．下列方程是一元二次方程的是( )A ．20x =B ．21y x +=C ．210x +=D ．11x x += 8．一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．1k <B ．1kC ．1k >D ．1k9．如图，长方形花圃ABCD 面积为24m ，它的一边AD 利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是5m ．EF 处开一门，宽度为1m ．设AB 的长度是xm ，根据题意，下面所列方程正确的是( )A ．(52)4x x -=B ．(512)4x x +-=C ．(521)4x x --=D ．(2.5)4x x -=10．一元二次方程2243x x +=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根11．若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是( )A ．0m >B ．12m > C ．12m < D ．0m <12．用配方法解一元二次方程2430x x -+=时，配方正确的是( )A ．2(2)1x +=B ．2(2)7x +=C ．2(2)7x -=D ．2(2)1x -=13．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为( )A ．2(1)6x +=B ．2(1)6x -=C ．2(3)9x +=D ．2(2)9x -=14． 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两队之间都赛一场），单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x 支队伍参加比赛，则所列方程为( )A ．(1)45x x +=B ．(1)452x x +=C ．(1)45x x -=D ．(1)452x x -= 15．若关于x 的方程240x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是( )A ．4B ．4-C ．16D ．16-16．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是( )A B ．3 C ．6 D ．917．若关于x 的一元二次方程260x x a +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．9a >-B ．9a <-C ．9a -D ．9a -18．关于x 的一元二次方程22210x mx m ++-=根的情况，下列说法正确的是( )A ．有两个不相等的实数根B ．必有两个正根C ．必有两个负根D ．必有一个实数根为1x =-19．已知x m =是方程2210x x +-=的一个根，则2243(m m +-= )A ．2-B ．1-C ．1D ．220．用配方法解一元二次方程2250x x --=时，将它化为2()x a b +=的形式，则a b +的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．621．关于x 的一元二次方程2(0)ax bx c ac +=≠一个实数根为2022，则方程2cx bx a +=一定有实数根( )A ．2022B ．12022C ．2022-D ．12022- 22．如果关于x 的方程27(3)30m m x x ---+-是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为( )A ．3±B ．3C ．3-D ．都不对23．下列方程中，一元二次方程的是( )A ．23(4)x x x -=+B ．230x x -= C ．10xy x -+= D ．22310x x --=24．若关于x 的方程2(1)210a x ax -+-=是一元二次方程，则a 的取值范围为( )A ．1a ≠B ．1a >C ．1a <D ．0a ≠25．下列方程一定是一元二次方程的是( )A ．270xy -= B ．20x ++= C ．220ax x += D ．22(2)1x x +=-26．一元二次方程2410x x ++=配方后可化为( )27．关于x 的一元二次方程260x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是( )A ．8B ．9C ．10D ．1128．下列各数：4-，3-，2-，3，4，6．其中是一元二次方程2120x x +-=的解是( )A ．2-，6B ．3-，4C ．3，4D ．4-，329．已知一元二次方程240x x m --=有一个根为3，则m 值为( )A ．3-B ．2C ．2-D ．330．用配方法解方程221x x +=，变形后的结果正确的是( )A ．2(1)2x -=B ．2(1)0x -=C ．2(1)0x +=D ．2(1)2x +=31．用配方法解一元二次方程2210x x --=的过程中，配方正确的是( )A ．2(1)1x +=B ．2(1)2x -=C ．2(1)2x +=D ．2(1)4x -=32．若关于x 的一元二次方程22(1)0a x a a +--=有一个根是1x =-，则a 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．1-或133．用配方法解方程2850x x -+=时，原方程应变形为( )A ．2(8)21x -=B ．2(8)11x -=C ．2(4)21x -=D ．2(4)11x -=34．关于x 的方程220ax ax c -+=的一个解为11x =-，则该方程的另一个解是()A ．23x =B ．21x =C ．22x =-D ．23x =-35．关于x 的一元二次方程2(3)20x k x k +--=的根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定 36．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为( )37．用配方法解方程2430x x -+=，下列变形正确的是( )A ．2(2)7x -=-B ．2(2)1x +=C ．2(2)1x +=-D ．2(2)1x -=38．已知关于x 的方程260x kx +-=的一个根为2x =，则实数k 的值为( )A ．1B ．1-C ．2D ．2-二．填空题39．已知1x 、2x 是一元二次方程22350x x +-=的两个根，则12x x += ，12x x = ． 40．一种型号的电脑，原来每台售价7500元，经过两次降价后，现在每台售价为4800元，如果每次降价的百分率相同，设每次降价百分率为x ，那么根据题意可列出方程： ．41．已知关于x 的一元二次方程230x mx +-=的一个根是3，则该方程的另一个根是 ．42．方程(8)7x x -=-的根是 ．43．已知4M m =-，23N m m =-．则M 与N 的大小关系为M N （填>、<或)=．44．已知2410ax x +-=是关于x 的一元二次方程，那么a 的取值范围为 ．45．若一元二次方程2560x x +-=的两个根是1x ，2x ．则12x x ⋅的值是 ．46．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，2018年某款新能源车销售量为15万辆，销售量逐年增加，到2020年销售量为21.6万辆，则这款新能源汽车销售量的年平均增长率是 ．47．若m 、n 是方程2310x x --=的两个实数根，则m n +的值为 ．48．已知关于x 的方程2()0(a x m p a ++=、m 、p 为常数，0)a ≠的解是11x =，23x =-．那么方程2(3)0a x m p +++=的解为 ．49．已知1x ，2x 是方程24510x x -+=的两个根．则代数式1211x x +的值是 ． 50．若关于x 的一元二次方程250x x a -+=的一个根是3．则a 的值为 ．三．解答题51．请用指定的方法解下列方程：（1）2304x x --=（配方法）；（2）3(1)2(1)x x x -=-（因式分解法）．52．解方程：（1）2420x x --= （2）(2)(3)12x x --= （3）2(1)90x +-=（4）2(2)1y y -= （5）22(3)3(3)x x +=+ （6）2310x x --=（7）2(5)2(5)0x x x -+-= （8）2210x x --= （9）23210x x +-=53．（1）解方程：21090x x -+=（配方法）．（2）关于x 的一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a ，b 的值，并求出此时方程的根．。
中考数学复习 一元二次方程专练 因式分解解一元二次方
分解因式法解一元二次方程1．3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，2．3x（x+2）=5（x+2）3．2x2﹣8x=04.x2﹣3x﹣4=0．5．x2﹣2x﹣3=0．6．x（x﹣3）﹣4（3﹣x）=0，7. 3（x﹣2）2=x（x﹣2）；8. 2x2﹣5x﹣3=09. （3x﹣1）2=（x+1）211．4+4（1+x）+4（1+x）2=19 12．x2﹣4x﹣5=013. 3（5﹣x）2=2（5﹣x）14.（x﹣3）2=2（3﹣x）．15．2x2+x﹣6=0．16．2x2﹣x﹣1=0；17. 3x（x﹣1）=2（x﹣1）2．18．x（x﹣5）+4x=019． x2﹣2x=020．（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0；21．x2﹣3x=0；22．（x﹣2）2=（2x+3）2 23．3x2﹣11x﹣4=0．24．2x（x﹣1）﹣x+1=0 25. 2x2+x﹣3=026．x2﹣2x﹣15=0；27. 2x（x﹣3）+x=3．28. x（x﹣3）=15﹣5x；29．（x﹣1）2﹣2（x﹣1）=030．x（x﹣2）﹣x+2=0；31. 2x2﹣3x﹣5=0．32.．4x2﹣x﹣1=3x﹣2，33.34.（x﹣3）2﹣2（x﹣1）=x﹣7．35. 3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）=036. 3x2﹣x﹣2=0；37. （x﹣6）2﹣（3﹣2x）2=0．38．（x﹣3）2=5（3﹣x）（x﹣3）2=5（3﹣x）39．（2x+1）2=2（2x+1）40．（3x﹣1）（x﹣1）=（4x+1）（x﹣1）．41．x2﹣x﹣6=0，42．x2﹣8（x+6）=043．2x2﹣6x=0．44．（x﹣3）（x+1）=545．2x2﹣8x=0；46．x2+2x﹣15=047. 2x2﹣5x﹣7=0 48. 2y（y﹣3）=4（y﹣3）49. x2﹣7x﹣18=050. 3x2+8x﹣3=051． 2x（x﹣3）=9﹣3x 52．x2﹣4x=553. ﹣8x2+10x=054．3x2+4x﹣7=0，55. 3x2﹣5x+2=056. 2（x﹣3）2=x2﹣3x57．x2=3x；58. （3x﹣2）2=（2x﹣3）259. （y﹣2）2+2y（y﹣2）=060.2y（y+2）=y+2．61. 5x2+3x=062.（3x﹣2）2=（2x﹣3）263. x（x﹣3）=5（x﹣3）；64. （2x+3）2﹣5（2x+3）+4=0．65. （2x﹣7）2﹣5（2x﹣7）+4=0 66. （3x﹣1）2=x2+6x+967.（2x+2）2=3（2x+2）（x﹣1）68.（x+7）（x﹣3）+4x（x+1）=069.2x（x+3）﹣3（x+3）=070. x﹣2=x（x﹣2）71. x2+8x﹣9=072．x（2x﹣5）=4x﹣10．73．（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0 74．2（x﹣1）2=x2﹣175.76. 4x（2x﹣1）=3（2x﹣1）；77. 2x2+x﹣1=0．78. （3x﹣2）（x+4）=（3x﹣2）（5x﹣1）；79. （x+1）（x+3）=15．80. x2﹣5x﹣6=081. x2﹣2x=9982. （x﹣3）2﹣4x+12=083. 4（x+1）2=9（x﹣2）284. x2=2x85. （x+4）2=5（x+4）87. 16（x﹣1）2=22588. 4x2﹣4x+1=x2﹣6x+989. 9（x+1）2=4（x﹣1）2（4）x2﹣4x+4=（3﹣2x）290. （x﹣2）2=（3﹣2x）2．91. （x+2）2﹣10（x+2）+25=092．x2﹣2（p﹣q）x﹣4pq=0．93．x2+10x+21=0，94．2（x ﹣2）2=3（x ﹣2）95. 3（x ﹣5）2=2（5﹣x ）， 96. ，97. 5x 2﹣4x ﹣12=0， 98. （x ﹣）=5x （﹣x ），99．9（x ﹣2）2﹣4（x+1）2=0． 100．101．x 2﹣8x+15=0；103. 6x 2﹣x ﹣12=0． 104. 2x 2﹣x ﹣6=0105. ﹣x 2+6x ﹣5=0106. （x ﹣5）2=（2x ﹣1）（5﹣x ）107. （x+1）（x+2）=3x+6．108. x 2﹣9=0，109. x 2+3x ﹣4=0，110. x 2﹣3x+2=0，111. 4（3x ﹣1）2=25（2x+1）2．112. （3x+5）2﹣4（3x+5）+3=0113. （3x+2）（x+3）=x+14114. 3（x+1）2=（x+1）115.（x ﹣2）2﹣4=0116.（x ﹣3）2+2x （x ﹣3）=0117.（3x ﹣1）2=（x+1）2118.（x+5）2﹣2（x+5）﹣8=0．119. x 2﹣8x=9120. （x ﹣2）2=（2x+3）2．121. x 2﹣3=3（x+1）；122. （y ﹣3）2+3（y ﹣3）+2=0123. 7x （5x+2）=6（5x+2）124．6（x+4）2﹣（x+4）﹣2=0125. x 2﹣（3m ﹣1）x+2m 2﹣m=0，126．x 2﹣2x ﹣224=0． 127.128．5x （x ﹣3）﹣（x ﹣3）（x+1）=0．129．x 2﹣11x+28=0130. 4y 2﹣25=0；131.（2x+3）2﹣36=0；132. x2﹣3x+2=0；133. 2t2﹣7t﹣4=0；134. 5y（y﹣1）=2（y﹣1）135. x2+（1+2）x+3+=0；136.（x﹣3）2+（x+4）2﹣（x﹣5）2=17x+24．137.x2﹣3|x|﹣4=0分解因式法解一元二次方程136题参考答案：1．3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，x﹣2=0或2x﹣6=0，解得：x1=2，x2=3；2．3x（x+2）=5（x+2）原方程可化为3x（x+2）﹣5（x+2）=0，（3x﹣5）（x+2）=0，解得x1=﹣2，3．2x2﹣8x=0因式分解，得2x（x﹣4）=0，于是得，2x=0或x﹣4=0，4. x2﹣3x﹣4=0．因式分解，得（x﹣4）（x+1）=0，于是得，x﹣4=0或x+1=0，解得：x1=4，x2=﹣15．x2﹣2x﹣3=0．原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）=0 x﹣3=0，x+1=0∴x1=3，x2=﹣1．6．x（x﹣3）﹣4（3﹣x）=0，x﹣3=0或x+4=0，解得：x1=3，x2=﹣4；7. 3（x﹣2）2=x（x﹣2）；整理得3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0即（x﹣2）（x﹣3）=0x1=2，x2=38. 2x2﹣5x﹣3=0（2x+1）（x﹣3）=0x1=﹣0.5，x2=39. （3x﹣1）2=（x+1）2原方程可化为：（3x﹣1）2﹣（x+1）2=0，（3x﹣1+x+1）（3x﹣1﹣x﹣1）=0，∴4x=0或2x﹣2=0，解得：x1=0，x2=1；10. x（x﹣6）=2（x﹣8）x2﹣6x=2x﹣16x2﹣8x+16=0（x﹣4）2=0x1=x2=411．4+4（1+x）+4（1+x）2=19原式可变为4（1+x）2+4（1+x）﹣15=0 [2（1+x）﹣3][2（1+x）+5]=0x1=，x2=﹣12．x2﹣4x﹣5=0（x﹣5）（x+1）=0x﹣5=0或x+1=0x1=5，x2=﹣113. 3（5﹣x）2=2（5﹣x）原方程可变形为：3（5﹣x）2﹣2（5﹣x）=0（5﹣x）[3（5﹣x）﹣2]=0（5﹣x）（13﹣3x）=0则x1=5，x2=14.（x﹣3）2=2（3﹣x）．原式可变为（x﹣3）2﹣2（3﹣x）=0（x﹣3）（x﹣1）=0x1=3，x2=115．2x2+x﹣6=0．2x2+x﹣6=0 x+2=0或2x﹣3=0∴x1=﹣2，x2=．16．2x2﹣x﹣1=0；原方程可化为：（x﹣1）（2x+1）=0，x﹣1=0或2x+1=0，解得：x1=1，x2=﹣．17. 3x（x﹣1）=2（x﹣1）2．原方程可化为：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）2=0，（x﹣1）（3x﹣2x+2）=0，x﹣1=0或x+2=0，解得：x1=1，x2=﹣218．x（x﹣5）+4x=0即x（x﹣5+4）=0x（x﹣1）=0∴x1=0，x2=119． x2﹣2x=0x（x﹣2）=0∴x=0或x﹣2=0∴x1=0，x2=2．20．（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0；原方程可化为：（x﹣3）（x﹣3+2x）=0（x﹣3）（x﹣1）=0x1=3，x2=1．21．x2﹣3x=0；x（x﹣3）=0∴x1=0，x2=322．（x﹣2）2=（2x+3）2（x﹣2）2=（2x+3）2即（x﹣2）2﹣（2x+3）2=0（3x+1）（x+5）=0x1=﹣5，x2=23．3x2﹣11x﹣4=0．把方程3x2﹣11x﹣4=0即（x﹣4）（3x+1）=0，解得x1=4，x2=．24．2x（x﹣1）﹣x+1=0原方程变形为：2x（x﹣1）﹣（x﹣1）=0∴（x﹣1）（2x﹣1）=0解得x1=1，x2=；25. 2x2+x﹣3=0原方程变形为：（x﹣1）（2x+3）=0∴x1=1，x2=26．x2﹣2x﹣15=0；原式可化为：（x﹣5）（x+3）=0得x1=5，x2=﹣327. 2x（x﹣3）+x=3．原式可化为：（x﹣3）（2x+1）=0得，x2=328. x（x﹣3）=15﹣5x；x（x﹣3）=﹣5（x﹣3）（x﹣3）（x+5）=0x1=3，x2=﹣529．（x﹣1）2﹣2（x﹣1）=0（x﹣1）2﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（x﹣1﹣2）=0，∴x﹣1=0或x﹣3=0，∴x1=1，x2=330．x（x﹣2）﹣x+2=0；原方程可化为：x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，（x﹣2）（x﹣1）=0，解得：x1=2，x2=1；31. 2x2﹣3x﹣5=0．原方程可化为：（2x﹣5）（x+1）=0，2x﹣5=0或x+1=0，解得：x1=，x2=﹣132.．∵4x2﹣x﹣1=3x﹣2，∴4x2﹣4x+1=0即（2x﹣1）2=0，解得33.解：∴∴移项，合并同类项得，（x﹣3）2﹣3x+9=0，即，（x﹣3）2﹣3（x﹣3）=0，因式分解得，（x﹣3﹣3）（x﹣3）=0则x﹣3=0或（x﹣6）=0，解得，x1=3，x2=6．35. 3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）=0（x﹣2）（3x﹣2）=0x1=2，x2=；36. 3x2﹣x﹣2=0；原方程变形得，（3x+2）（x﹣1）=0∴，x2=1；37. （x﹣6）2﹣（3﹣2x）2=0．原方程变形得，（x﹣6+3﹣2x）（x﹣6﹣3+2x）=0（x+3）（3x﹣9）=0∴x1=3，x2=﹣338．（x﹣3）2=5（3﹣x）（x﹣3）2=5（3﹣x）（x﹣3）2+5（x﹣3）=0（x﹣3）（x+2）=0∴x1=3，x2=﹣2．39．（2x+1）2=2（2x+1）原方程可化为：（2x+1）2﹣2（2x+1）=0，（2x+1）（2x+1﹣2）=0，（2x+1）（2x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=．40．（3x﹣1）（x﹣1）=（4x+1）（x﹣1）．（3x﹣1）（x﹣1）﹣（4x+1）（x﹣1）=0，（x﹣1）[（3x﹣1）﹣（4x+1）]=0，（x﹣1）（x+2）=0，∴x1=1，x2=﹣2．41．∵x2﹣x﹣6=0，∴（x+2）（x﹣3）=0，∴x+2=0或x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣2．42．x2﹣8（x+6）=0原方程化为x2﹣8x﹣48=0（x+4）（x﹣12）=0解得x1=﹣4，x2=12．原方程变形为2x（x﹣3）=0∴2x=0或x﹣3=0∴x1=0，x2=344．（x﹣3）（x+1）=5x2﹣2x﹣8=0，（x﹣4）（x+2）=0∴x1=4，x2=﹣2．45．2x2﹣8x=0；因式分解，得2x（x﹣4）=0，2x=0或x﹣4=0，解得，x=0或x=4；46．x2+2x﹣15=0（x+5）（x﹣3）=0x+5=0或x﹣3=0∴x1=﹣5，x2=3；47. 2x2﹣5x﹣7=0因式分解得（x+1）（2x﹣7）=0解得：，x2=﹣1；48. 2y（y﹣3）=4（y﹣3）2y（y﹣3）﹣4（y﹣3）=0（y﹣3）（2y﹣4）=0（2分）∴y1=3，y2=249. x2﹣7x﹣18=0解：（x﹣9）（x+2）=0x﹣9=0或x+2=0∴x1=9，x2=﹣250. 3x2+8x﹣3=0解：方程可以化为（x+3）（3x﹣1）=0 ∴x+3=0或3x﹣1=0即x1=﹣3，x2=．51． 2x（x﹣3）=9﹣3x2x（x﹣3）﹣（9﹣3x）=02x（x﹣3）+3（x﹣3）=0（x﹣3）（2x+3）=0x1=3，x2=﹣52．x2﹣4x=5x2﹣4x﹣5=0（x﹣5）（x+1）=0 ∴x﹣5=0，x+1=0∴原方程的解为：x1=5，x2=﹣1．53. ﹣8x2+10x=0x（10﹣8x）=0∴x1=0，x2=54．3x2+4x﹣7=0，（x﹣1）（3x+7）=0，x﹣1=0或3x+7=0，解得：55. 3x2﹣5x+2=0原式变形为：（3x﹣2）（x﹣1）=0∴x1=1，x2=56. 2（x﹣3）2=x2﹣3x原方程变形为：2（x﹣3）2=x（x﹣3）（x﹣3）[2（x﹣3）﹣x]=0（x﹣3）（x﹣6）=0∴x1=3，x2=657．（1）x2=3x；移项得，x2﹣3x=0，因式分解得，x（x﹣3）=0，解得，x1=0，x2=3；58. （3x﹣2）2=（2x﹣3）2解：3x﹣2=±（2x﹣3）3x﹣2=2x﹣3或3x﹣2=﹣（2x﹣3）解得：x1=﹣1，x2=1；59. （y﹣2）2+2y（y﹣2）=0解：（y﹣2）（y﹣2+2y）=0解得：y1=2，y2=60.．2y（y+2）=y+2．原方程变形为：2y（y+2）﹣（y+2）=0，即（y+2）（2y﹣1）=0，解得y1=﹣2，y2=．61. 5x2+3x=0x（5x+3）=0，即：x=0或5x+3=0，∴x1=0，x2=﹣．62. （3x ﹣2）2=（2x ﹣3）2（3x ﹣2）2﹣（2x ﹣3）2=0， （3x ﹣2+2x ﹣3）（3x ﹣2﹣2x+3）=0， 5（x ﹣1）（x+1）=0， 即：x ﹣1=0或x+1=0 ∴x 1=1，x 2=﹣163. x （x ﹣3）=5（x ﹣3）； x （x ﹣3）﹣5（x ﹣3）=0， （x ﹣3）（x ﹣5）=0， ∴x 1=3，x 2=5；64. （2x+3）2﹣5（2x+3）+4=0．（2x+3）2﹣5（2x+3）+4=0 （2x+3﹣4）（2x+3﹣1）=0 （2x ﹣1）（x+1）=0， ∴x 1=，x 2=﹣165. （2x ﹣7）2﹣5（2x ﹣7）+4=0 （2x ﹣7﹣4）（2x ﹣7﹣1）=0；x 2=466. （3x ﹣1）2=x 2+6x+9（3x ﹣1）2﹣（x ﹣3）2=0 即（2x+1）（x ﹣2）=0 x 1=2，x 2=﹣0.567.（2x+2）2=3（2x+2）（x ﹣1）（2x+2）2﹣3（2x+2）（x ﹣1）=0 即（2x+2）【2x+2﹣3（x ﹣1）】=0 ∴（x ﹣5）（x+1）=0 x 1=﹣1，x 2=568.（x+7）（x ﹣3）+4x （x+1）=0 化简：（x+7）（x ﹣3）+4x （x+1）=0整理得，5x 2+8x ﹣21=0， 因式分解得，（5x ﹣7）（x+3）=0， 即5x ﹣7=0或x+3=0， 所以x 1=，x 2=﹣3．69.．2x （x+3）﹣3（x+3）=0 根据题意，原方程可化为：（x+3）（2x ﹣3）=0， ∴方程的解为：x 1=，x 2=﹣370. x ﹣2=x （x ﹣2）即x ﹣2﹣x （x ﹣2）=0 （x ﹣2）（1﹣x ）=0 x 1=2，x 2=1；71. x 2+8x ﹣9=0 （x+9）（x ﹣1）=0 x 1=﹣9，x 2=172．x （2x ﹣5）=4x ﹣10． 原方程可变形为：x （2x ﹣5）﹣2（2x ﹣5）=0， （2x ﹣5）（x ﹣2）=0， 2x ﹣5=0或x ﹣2=0； 解得x 1=，x 2=2．74．（2x ﹣5）2﹣（x+4）2=0 因式分解，得[（2x ﹣5）+（x+4）][（2x ﹣5）﹣（x+4）]=0， 整理得，（3x ﹣1）（x ﹣9）=0 解得，x 1=，x 2=9．74．2（x ﹣1）2=x 2﹣1原方程即为2（x ﹣1）2﹣（x 2﹣1）=0，2（x ﹣1）2﹣（x+1）（x ﹣1）=0， （x ﹣1）[2（x ﹣1）﹣（x+1）]=0， （x ﹣1）（x ﹣3）=0， x 1=1，x 2=3； 75.（x ﹣1）（x ﹣+3）=0， ∴x 1=1，x 2=-376. 4x （2x ﹣1）=3（2x ﹣1）；原方程可化为：4x （2x ﹣1）﹣3（2x ﹣1）=0， （2x ﹣1）（4x ﹣3）=0， 2x ﹣1=0或4x ﹣3=0， 解得：，；77. 2x 2+x ﹣1=0． 原方程可化为：（2x ﹣1）（x+1）=0， 2x ﹣1=0或x+1=0， 解得：，x 2=﹣1．78. （3x ﹣2）（x+4）=（3x ﹣2）（5x ﹣1）； 解：（3x ﹣2）（x+4）﹣（3x ﹣2）（5x ﹣1）=0 （3x ﹣2）[（x+4）﹣（5x ﹣1）]=0 （3x ﹣2）（﹣4x+5）=0 3x ﹣2=0或﹣4x+5=0；79. （x+1）（x+3）=15．方程整理得：x2+4x﹣12=0（ x+6）（x﹣2）=0x1=﹣6，x2=2．80. x2﹣5x﹣6=0解：（x﹣6）（x+1）=0，x﹣6=0或x+1=0，∴原方程的解是x1=6，x2=﹣1．81. x2﹣2x=99解：（x﹣11）（x+9）=0，x﹣11=0或x+9=0，∴原方程的解是x1=11，x2=﹣9．82. （x﹣3）2﹣4x+12=0解：（x﹣3）2﹣4（x﹣3）=0，（x﹣7）（x﹣3）=0，x﹣3=0或x﹣7=0，∴原方程的解是x1=3，x2=7．83. 4（x+1）2=9（x﹣2）2解：（2x+2）2=（3x﹣6）2，（2x+2+3x﹣6）（2x+2﹣3x+6）=0，即：（5x﹣4）（8﹣x）=0，x=8或x=，∴原方程的解是84. x2=2x移项，得x2﹣2x=0，因式分解，得x（x﹣2）=0，所以x=0或x=2．85. （x+4）2=5（x+4）移项，得，（x+4）2﹣5（x+4）=0，因式分解得，（x+4）[（x+4）﹣5]=0，x+4=0或x﹣1=0，解得，x1=﹣4，x2=187. 16（x﹣1）2=22516（x﹣1）2﹣152=0，所以[4（x﹣1）+15][4（x﹣1）﹣15]=0，即4x+11=0，4x﹣19=0，得x1=﹣，x2=．88. 4x2﹣4x+1=x2﹣6x+9方程变为（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2=0，所以[（2x﹣1）+（x﹣3）][（2x﹣1）﹣（x﹣3）]=0，即3x﹣4=0，x+2=0，得x1=，x2=﹣2．89. 9（x+1）2=4（x﹣1）2（4）x2﹣4x+4=（3﹣2x）2原方程变为[3（x+1）]2﹣[2（x﹣1）]2=0，所以[3（x+1）+2（x﹣1）][3（x+1）﹣2（x﹣1）]=0，即（5x+1）（x+5）=0，得x1=﹣，x2=﹣5．90. （x﹣2）2=（3﹣2x）2．（x﹣2）2﹣（3﹣2x）2=0，（x﹣2+3﹣2x）（x﹣2﹣3+2x）=0，（1﹣x）（3x﹣5）=0，所以x1=1，x2=91. （x+2）2﹣10（x+2）+25=0因式分解得，[（x+2）﹣5]2=0，解得，x1=x2=392．x2﹣2（p﹣q）x﹣4pq=0．∵x2﹣2（p﹣q）x﹣4pq=0∴（x﹣2p）（x+2q）=0，∴x1=2p，x2=﹣2q．93．x2+10x+21=0，把左边分解因式得：（x+3）（x+7）=0，则：x+3=0，x+7=0，解得：x1=﹣3，x2=﹣7．94.2（x﹣2）2=3（x﹣2）∵2（x﹣2）2=3（x﹣2），∴（x﹣2）（2x﹣4﹣3）=0，即x﹣2=0或2x﹣7=0，解得：x1=2，x2=；95. 3（x﹣5）2=2（5﹣x），变形得：3（5﹣x）2=2（5﹣x），移项得：3（5﹣x）2﹣2（5﹣x）=0，分解因式得：（5﹣x）（13﹣3x）=0，则：5﹣x=0，13﹣3x=0，解得：x1=5，x2=；96. ，分解因式得：（x ﹣）（x ﹣）=0，则x ﹣=0，x ﹣=0，解得：x1=，x2=．97. 5x2﹣4x﹣12=0，（5x+6）（x﹣2）=0，5x+6=0，x﹣2=0，x1=﹣，x2=2．98. （x ﹣）=5x （﹣x），（x ﹣）+5x（x ﹣）=0，（x ﹣）（1+5x）=0，x ﹣=0，1+5x=0，x1=，x2=﹣．99．9（x﹣2）2﹣4（x+1）2=0．9（x﹣2）2﹣4（x+1）2=0（3x﹣6+2x+2）（3x﹣6﹣2x﹣2）=0，整理得：（5x﹣4）（x﹣8）=0，解方程得：x1=，x2=8100．．x（x﹣2）=2（x+6），x2﹣2x=2x+12，x2﹣4x﹣12=0，（x﹣6）（x+2）=0，x1=6，x2=﹣2．∴原方程的根为x1=6，x2=﹣2101．（2）x2﹣8x+15=0；把左边分解因式得：（x﹣3）（x﹣5）=0，则x﹣3=0，x﹣5=0，解得：x1=5，x2=3；102. ；移项得：y2﹣2y+2=0，（y ﹣）2=0，两边开方得：y ﹣=0，则y1=y2=；103. 6x2﹣x﹣12=0．由原方程，得（2x﹣3）（3x+4）=0，解得，x=，或x=﹣104. 2x2﹣x﹣6=0 原方程化为（2x+3）（x﹣2）=0，解得x1=﹣，x2=2；105. ﹣x2+6x﹣5=0原方程化为x2﹣6x+5=0分解因式，得（x﹣1）（x﹣5）=0，解得x1=1，x2=5；106. （x﹣5）2=（2x﹣1）（5﹣x）移项，得（x﹣5）2+（2x﹣1）（x﹣5）=0，提公因式，得（x﹣5）（x﹣5+2x﹣1）=0，解得x1=5，x2=2107. （x+1）（x+2）=3x+6．∵（x+1）（x+2）=3x+6，∴（x+1）（x+2）=3（x+2），∴（x+1）（x+2）﹣3（x+2）=0，∴（x+2）（x+1﹣3）=0，∴x+2=0或x+1﹣3=0∴x1=﹣2，x2=2108. x2﹣9=0，x2=9，解得：x1=3，x2=﹣3，109. x2+3x﹣4=0，（x﹣1）（x+4）=0，解得：x1=1，x2=﹣4，110. x2﹣3x+2=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x1=1，x2=2111. 4（3x﹣1）2 =25（2x+1）2．∵4（3x﹣1）2﹣25（2x+1）2=0，∴[2（3x﹣1）﹣5（2x+1）][2（3x﹣1）+5（2x+1）]=0，∴2（3x﹣1）﹣5（2x+1）=0或2（3x﹣1）+5（2x+1）=0，∴x1=﹣，x2=﹣．112. （3x+5）2﹣4（3x+5）+3=0设3x+5=y，则原方程变为y2﹣4y+3=0，∴（y﹣1）（y﹣3）=0，解得，y=1或y=3；①当y=1时，3x+5=1，解得x=﹣；②当y=3时，3x+5=3，解得，x=﹣；∴原方程的解是x=﹣，或x=﹣；113. （3x+2）（x+3）=x+14 由原方程，得（x+4）（3x﹣2）=0，解得x=﹣4，或x=；114. 3（x+1）2=（x+1）移项得，3（x+1）2﹣（x+1）=0，提公因式得，（x+1）（3x+3﹣1）=0，即x+1=0或3x+3﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=﹣115.（x﹣2）2﹣4=0∵（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）=0，∴x﹣2﹣2=0或x﹣2+2=0，∴x1=4，x2=0；116.（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0∵（x﹣3）（x﹣3+2x）=0，∴x﹣3=0或x﹣3+2x=0，∴x1=3，x2=1；117.（3x﹣1）2=（x+1）2∵3x﹣1=±（x+1），即3x﹣1=x+1或3x﹣1=﹣（x+1），∴x1=1，x2=0；118.（x+5）2﹣2（x+5）﹣8=0．∵[（x+5）﹣4][（x+5）+2]=0，∴（x+5）﹣4=0或（x+5）+2=0，∴x1=﹣1，x2=﹣7．119. x2﹣8x=9变形为：x2﹣8x﹣9=0，（x﹣9）（x+1）=0，则：x﹣9=0或x+1=0，解得：x1=9，x2=﹣1；120. （x﹣2）2=（2x+3）2．变形为：（x﹣2）2﹣（2x+3）2=0，（x﹣2+2x+3）（x﹣2﹣2x﹣3）=0，（3x+1）（﹣x﹣5）=0，则：3x+1=0，﹣x﹣5=0，解得：x1=﹣，x2=﹣5．121. x2﹣3=3（x+1）；整理得x2﹣3x﹣4=0，∴（x+1）（x﹣4）=0，∴x+1=0或x﹣4=0，∴x1=﹣1，x2=4；122. （y﹣3）2+3（y﹣3）+2=0 ∵（y﹣3+2）（y﹣3+1）=0，∴y﹣3+2=0或y﹣3+1=0，∴y1=1，y2=2；123. 7x（5x+2）=6（5x+2）∵7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0，∴（5x+2）（7x﹣6）=0，∴5x+2=0或7x﹣6=0，∴x1=﹣，x2=124．（3）6（x+4）2﹣（x+4）﹣2=06（x+4）2﹣（x+4）﹣2=0，[3（x+4）﹣2][2（x+4）+1]=0，（3x+4）（2x+7）=0，3x+4=0，2x+7=0，解得：x1=﹣，x2=﹣；125. x2﹣（3m﹣1）x+2m2﹣m=0，（x﹣m）[x﹣（2m﹣1）]=0，x﹣m=0，x﹣（2m﹣1）=0，解得：x1=m，x2=2m﹣1126．x2﹣2x﹣224=0．x2﹣2x﹣224=0（x﹣16）（x+14）=0，解得：x1=16；x2=﹣14．127．方程两边同时乘以2，得（x+3）2=4（x+2）2，移项，得（x+3）2﹣4（x+2）2，=0，（x+3+4x+8）（x+3﹣4x﹣8）=0，即5x+11=0或﹣3x﹣5=0，解得x1=﹣，x2=﹣；128．5x（x﹣3）﹣（x﹣3）（x+1）=0．∵（x﹣3）（5x﹣x﹣1）=0，∴x﹣3=0或5x﹣x﹣1=0，∴x1=3，x2=∴x1=4，x2=﹣4．129．x2﹣11x+28=0x2﹣11x+28=0，（x﹣4）（x﹣7）=0，x﹣4=0，x﹣7=0，x1=4，x2=7130. 4y2﹣25=0；（2y+5）（2y﹣5）=0，所以y1=﹣，y2=；131.（2x+3）2﹣36=0；（2x+3）2﹣36=0；（2x+3+6）（2x+3﹣6）=0，所以x1=﹣，x2=；132. x2﹣3x+2=0；（x﹣1）（x﹣2）=0，所以x1=1，x2=2；133. 2t2﹣7t﹣4=0；（t﹣4）（2t+1）=0，所以t1=4，t2=﹣；134. 5y（y﹣1）=2（y﹣1）方程变形得：5y（y﹣1）﹣2（y﹣1）=0，因式分解得：（y﹣1）（5y﹣2）=0，可得y﹣1=0或5x﹣2=0，解得：y1=1，y2=．135. x2+（1+2）x+3+=0；（x+）（x+1+）=0x+=0或x+1+=0∴x1=﹣，x2=﹣1﹣．136.（x﹣3）2+（x+4）2﹣（x﹣5）2=17x+24．原方程整理得：x2﹣5x﹣24=0（x﹣8）（x+3）=0∴x1=8，x2=﹣3．137.x2﹣3|x|﹣4=0|x|2﹣3|x|﹣4=0（|x|﹣4）（|x|+1）=0|x|﹣4=0|x|+1≠0∴|x|=4。
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一元二次方程复习（中考考点训练）A1、（2011甘肃兰州）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x+= B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=A1、（2011四川南充市） 方程(x +1)(x －2)=x +1的解是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）－1，2 （D ）－1，3 A2、（2011山东滨州）若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为______ B3、（2010河北省）已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x的一个根，求 222n mn m++的值B4、（2011山东济宁）已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a (a ≠0)，则a －b 的值为A1、（2011四川成都）已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++m k nx mx 有两个实数根，则下列关于mk 4n 2-的判断正确的是 ( )(A) 042<-mk n(B) 042=-mk n (C) 042>-mk n (D) 042≥-mk nA2、（2011江苏苏州）下列四个结论中，正确的是 （ ）A.方程x ＋x 1=－2有两个不相等的实数根B.方程x ＋x 1=1有两个不相等的实数根C.方程x ＋x1=2有两个不相等的实数根 D.方程x ＋x1=a （其中a 为常数，且|a|>2）有两个不相等的实数根A3、（2010年成都）若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有实数根，则k 的取值范围是 ，k 的非负整数值是A4、（北京） 已知关于x 的一元二次方程x 2-4x +m -1=0有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根B5、（2011重庆江津）已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是变式训练：（2010年兰州）已知关于x 的一元二次方程01)12=++-x x m （有实数根，则m 的取值范围是（2010，安徽芜湖）关于x 的方程（a -5）x 2-4x -1=0有实数根，则a 满足C6、（2011.潍坊）关于x 的方程x 2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是（ ）A 、k 为任何实数，方程都没有实数根B 、k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C 、k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D 、根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种A1、（2011江西）已知x =1是方程x 2+bx -2=0的一个根，则方程的另一个根是 A2、（苏州2010中考）若一元二次方程x 2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b ，求a+b 的值A3、（2010山东烟台）方程x 2-2x-1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，求（x 1-1）（x 2-1）的值A4、（2011江苏苏州）已知a 、b 是一元二次方程x 2－2x －1=0的两个实数根，求代数式（a －b ）（a ＋b －2）＋ab 的值. A5、（2011湖北荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，求a 的值.A6、（2011四川南充市）关于的一元二次方程x 2+2x +k +1=0的实数解是x 1和x 2（1）求k 的取值范围； （2）如果x 1+x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值.B7、（2011山东德州）若1x ，2x 是方程210x x +-=的两个根，则2212x x +=__________． C8、（2010广东中山）已知一元二次方程022=+-m x x（1）若方程有两个实数根，求m 的范围； （2）若方程的两个实数根为x 1，x 2，且3321=+x x ，求m 的值C9、（2010·绵阳）已知关于x 的一元二次方程x 2 = 2（1－m ）x －m 2 的两实数根为x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．一、增长率问题：求解增长率问题的关键是正确理解增长率的含义。
一般地，如果某种量原来是a ，每次以相同的增长率（或减少率）x 增长（或减少），经过n 次后的量便是a(1+x)n （或a(1-x)n ）1、（2010年兰州）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元. 下列所列方程中正确的是 A ．128)% 1(1682=+a B ．128)% 1(1682=-a C ．128)% 21(168=-a D ．128)% 1(1682=-a2、（2011山东滨州）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )A.()22891256x -= B.()22561289x -=C. 289(1-2x)=256D.256(1-2x)=2893、(2010台州市)某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为4、（2010年成都）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普 通家庭，成为居民消费 新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216 万辆．（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．第1题图5、（2011湖北襄阳，22，6分）汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加.据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？6、（广东）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率。
7、（2010安徽）在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/2m 下降到5月份的12600元/2m ⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：95.09.0 ）⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/2m ？请说明理由。
8、（2010年长沙）长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？9、 （2011湖北宜昌，22，10分）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资.尹进2008 年的月工资为2000 元，在2010 年时他的月工资增加到2420 元，他2011年的月工资按2008 到2010 年的月工资的平均增长率继续增长.(1)尹进2011年的月工资为多少?(2)尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6 月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242 元，于是他用这242 元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校.请问，尹进总共捐献了多少本工具书?二、图形面积 1、（2011江苏宿迁,16,3分）如图，邻边不等．．的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m ．若矩形的面积为4m 2，则AB 的长度是 m （可利用的围墙长度超过6m ）．2、（2010哈尔滨）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD ．设边AB 的长为x （单位：米），矩形ABCD 的面积为S （单位：平方米）． （1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）若矩形ABCD 的面积为50平方米，且AB ＜AD ，请求出此时AB 的长。
3、(2010山东济南)如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD ．求该矩形草坪BC 边的长．CDBDF第4题图4、（2011.潍坊）已知线段AB 的条为a,以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB 。
取AB 边上一点E ，以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM ，过E 作EF 垂直于CD ，垂足为F 。
若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等，则AE 的长为三、销售盈利问题：1、 （2011浙江衢州）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？ 小明的解法如下：解：设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有()3x +株，平均单株盈利为()30.5x -元，由题意， 得()()330.510x x +-=. 化简，整理，的2320x x -+=. 解这个方程，得121, 2.x x ==答：要使得每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株.本题涉及的主要数量有每盆花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利等，请写出两个不同的等量关系： 请用一种与小明不相同的方法求解上述问题。
2、 （2011浙江义乌，19，6分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件． 设每件商品降价x 元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x 的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？3、(2010年浙江省绍兴市)某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？。