高中数学 2.3.4圆与圆的位置关系教案 新人教B版必修2
高中数学人教B版必修二同步教案：圆与圆的位置关系1
人教B版数学必修2：圆与圆的位置关系(1)
教学目标：掌握圆与圆的位置关系的判断
教学重点：掌握圆与圆的位置关系的判断
教学过程：
一、设两圆半径分别为R和r，圆心距为d：
二、
例1、一个动圆与直线x=5相切，且与圆x2+y2+2x-15=0外切，求动圆圆心
的轨迹方程．
例2、已知两定圆⊙O1：(x-1)2+(y-1)2=1；⊙O2：(x+5)2+(y+3)2=4，动圆
P(圆心、半径都是变化的)，恒将两定圆的周长平分，求动圆圆心P
的轨迹方程．
例3、求与两圆C1：x2+y2=1和C2：x2+y2－8x+7=0都相切的圆的圆心轨
迹．
例4、求以两相交圆C1：x2+y2+4x+y+1=0及C2：x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦
为直径的圆的方程
例5、若两圆在交点处的切线互相垂直，则称这两圆互相直交，求证两圆
x2+y2+D1x+E1y+F1=0和x2+y2+D2x+E2y+F2=0互相直交的充要条件为
D1D2+E1E2-2(F1+F2)=0
证明：当两圆直交时，两圆的圆心O1，O2和它们的交点A组成一直角三角形△AO1O2，
根据勾股定理得，两圆直交的充要条件为
即D1D2+E1E2-2(F1+F2)=0
课堂练习：略
小结：掌握圆与圆的位置关系的判断
课后作业：略
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高中数学人教B版必修2课件：2.3.4 圆与圆的位置关系
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)将两圆方程配方化为标准方程,得 C1:(x-1)2+(y+5)2=50, C2:(x+1)2+(y+1)2=10. 则圆 C1 的圆心为(1,-5),半径 R1=5 2, 圆 C2 的圆心为(-1,-1),半径 R2= 10. 因为|C1C2|=2 5, ������1 + ������2 = 5 2 + 10, ������1 − ������2 = 5 2 − 10, 所以������1-R2<|C1C2|<R1+R2. 故两圆相交.
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为 x-2y+4=0. (3)(方法一)两方程联立,得方程组 ������ 2 + ������ 2 -2������ + 10������-24 = 0, ① ������ 2 + ������ 2 + 2������ + 2������-8 = 0, ② 两式相减得 x=2y-4, 把③代入②得 y2-2y=0, ������ = 0, ������ = -4, 所以 y1=0,y2=2.即 1 或 2 ������2 = 2. ������1 = 0 所以交点坐标为(-4,0)和(0,2). 故两圆的公共弦长为 (-4-0)2 + (0-2)2 = 2 5.
2.3.4 圆与圆的位置关系
1.了解两圆的五种位置关系. 2.根据给定的两圆的方程,会用代数法和几何法判断圆与圆的位 置关系. 3.能运用两圆位置关系解决有关实际问题.
1
2
圆与圆位置关系的判定 1.几何法 若两圆的半径分别为R1,R2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系 的判断方法如下:
高中数学2.3圆的方程2.3.4圆与圆的位置关系教案新人教B版必修2
2.3.4 圆与圆的位置关系示范教案整体设计教学分析教材通过例题介绍了利用方程判断两圆的位置关系．让学生进一步感受坐标方法在研究几何问题中的作用．值得注意的是针对学生的实际情况来学习坐标法讨论两圆的位置关系，对于基础较差的学生，建议不学习，对于基础较好的学生可以作为课后阅读教材，否则本节课的教学目标完不成．三维目标1．掌握圆与圆的位置关系的判定，培养学生分析问题和解决问题的能力．2．了解用坐标方法讨论两圆位置关系，体会坐标方法在研究几何问题中的作用，提高应用能力．重点难点教学重点：利用方程判定两圆位置关系．教学难点：用坐标方法讨论两圆位置关系．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.前面我们学习了利用方程判断点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，那么，圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何利用方程判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题：圆与圆的位置关系．设计 2.我们知道，日食和月食都是一种自然现象，如果把月球、地球、太阳都抽象成圆，那么这两种自然现象就展现了两圆的位置关系，如何利用方程来描述这一现象呢？教师点出课．推进新课新知探究提出问题初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几种？画图表示，并指出判断方法.讨论结果：应用示例思路1例1判断下列两个圆的位置关系：(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0.解：(1)已知两圆的方程可分别变形为(x－1)2＋y2＝22，(x－2)2＋(y＋1)2＝(2)2.由此可知圆心C1的坐标为(1,0)，半径r1＝2；圆心C2的坐标为(2，－1)，半径r2＝ 2.设两圆的圆心距为d，则：d＝|C1C2|＝2－12＋－12＝ 2.r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－ 2.所以r1－r2<d<r2＋r2.因此这两个圆相交．(2)已知两圆的方程分别变形为：x2＋(y－1)2＝12，(x－3)2＋y2＝32.由此可知圆心C1的坐标为(0,1)，半径r1＝1；圆心C2的坐标为(3，0)，半径r2＝3，则两圆的圆心距d＝32＋12＝2，所以d＝r2－r1.因此这两个圆内切．点评：判断两个圆的位置关系．几何法：即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系．设两圆的连心线长为d，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：①当d>R＋r时，圆C1与圆C2外离；②当d＝R＋r时，圆C1与圆C2外切；③当|R－r|<d<R＋r时，圆C1与圆C2相交；④当d＝|R－r|时，圆C1与圆C2内切；⑤当d<|R－r|时，圆C1与圆C2内含．变式训练1．在平面直角坐标系中分别作出圆心为C1(0,0)，C2(1,1)，半径分别为1,2的两圆，并判断两圆的位置关系．解：作出两圆，如下图．两圆半径分别记作r1和r2，则r1＝1，r2＝2，圆心距d＝|C1C2|＝0－12＋0－12＝2，于是，1＝|r1－r2|<d<r1＋r2＝3，所以两圆相交．2．判断圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系，并画出图形．解：由已知得圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝36，其圆心C1(－1,3)，半径r1＝6；圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝1，其圆心C2(2，－1)，半径r2＝1.于是|C1C2|＝2＋12＋－1－32＝5.又|r1－r2|＝5，即|C1C2|＝|r1－r2|，所以两圆内切．如下图．3．x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切解析：圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0(x －1)2＋y 2＝1， 故圆心为(1,0)，半径为1.圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0x 2＋(y －2)2＝4， 故圆心为(0,2)，半径为2.则圆心距d ＝1－02＋0－22＝ 5. 而2－1<5<1＋2，即两圆相交． 答案：B例2试用坐标方法讨论两圆位置关系．(本题针对学生实际选用)解：如下图所示，以O 1为坐标原点，使x 轴通过O 1，O 2，且O 2在x 轴的正半轴上，建立直角坐标系xOy.这样，可设⊙O 2的圆心的坐标为(d,0)．这时两圆的圆心距等于d ，两圆的方程分别为 x 2＋y 2＝r 21 ①(x －d)2＋y 2＝r 22. ② 将①②两式联立，研究此方程组的解． ①－②，整理可得x ＝r 21－r 22＋d22d .将x 值代入①，得 y 2＝r 21－r 21－r 22＋d224d2＝2dr 1＋r 21－r 22＋d 22dr 1－r 21＋r 22－d 24d2＝[r 1＋d2－r 22][r 22－r 1－d2]4d2＝r 1＋r 2＋d r 1－r 2＋dr 1＋r 2－dr 2－r 1＋d4d2＝[r 1＋r 22－d 2][d 2－r 1－r 22]4d2.由此可见，如果 |r 1－r 2|<d<r 1＋r 2则等式右边两个因式都为正数，于是方程组有解，且有两解．这时相应的两圆相交于两点(如下图)．如果：r 1＋r 2＝d 或|r 1－r 2|＝d ，则等式右边分子的因式中至少有一个为0，则方程组有唯一解，这时两圆相切(外切或内切)(上图(2)(3))．如果：r 1＋r 2<d 或|r 1－r 2|>d ，则方程组无解，这时两圆不相交(相离或内含)(上图(4)(5))．思路2例3已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去x 2项、y 2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．解：设两圆交点为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，①②①－②，得3x －4y ＋6＝0. 因为A 、B 两点坐标都满足此方程，所以3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程． 易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r ＝3.又点C 1到直线的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋－42＝95. 所以AB ＝2r 2－d 2＝232－952＝245，即两圆的公共弦长为245. 点评：处理圆有关的问题，利用圆的几何性质往往比较简单，要注意体会和应用．本题中求两圆公共弦所在直线方程可以作为结论记住．变式训练判断下列两圆的位置关系，如果两圆相交，请求出公共弦的方程．(1)(x ＋2)2＋(y －2)2＝1与(x －2)2＋(y －5)2＝16，(2)x 2＋y 2＋6x －7＝0与x 2＋y 2＋6y －27＝0.解：(1)根据题意，得两圆的半径分别为r 1＝1和r 2＝4，两圆的圆心距d ＝[2－－2]2＋5－22＝5. 因为d ＝r 1＋r 2，所以两圆外切．(2)将两圆的方程化为标准方程，得(x ＋3)2＋y 2＝16，x 2＋(y ＋3)2＝36. 故两圆的半径分别为r 1＝4和r 2＝6， 两圆的圆心距d ＝0－32＋－3－02＝3 2.因为|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2，所以两圆相交． 两圆方程相减得公共弦的方程： 6x －6y ＋20＝0，即3x －3y ＋10＝0.例4求过点A(0,6)且与圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0切于原点的圆的方程． 分析：如下图．所求圆经过原点和A(0,6)，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．解：将圆C 化为标准方程，得(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50，则圆心为C(－5，－5)，半径为5 2.所以经过此圆心和原点的直线方程为x －y ＝0.设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.由题意，知O(0,0)，A(0,6)在此圆上，且圆心M(a ，b)在直线x －y ＝0上，则有⎩⎪⎨⎪⎧0－a 2＋0－b 2＝r 2，0－a 2＋6－b 2＝r 2，a －b ＝0，解得⎩⎨⎧a＝3，b ＝3，r ＝3 2.于是所求圆的方程是(x －3)2＋(y －3)2＝18.点评：求圆的方程，一般可从圆的标准方程和一般方程入手，至于选择哪一种方程形式更恰当，要根据题目的条件而定，总之要让所选择的方程形式使解题过程简单．变式训练求经过点A(4，－1)，且与已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －3)2＝5相外切于点B(1,2)的圆的方程．解：如下图，设所求的圆C′的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝R 2.因为C′既在弦AB 的垂直平分线上，又在直线BC 上，AB 中垂线方程为x －y －2＝0，BC 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，所以，圆心C′的坐标应满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b －2＝0，a ＋2b －5＝0.解得a ＝3，b ＝1.因为所求圆C′过点A(4，－1)，所以(4－3)2＋(－1－1)2＝R 2＝5.所以，所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.知能训练1．在(x ＋k)2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2(k≠－1)所表示的一切圆中，任意两圆的位置关系是( )A ．相切或相交B ．相交C ．相切D ．内切或相交 答案：C2．已知圆x 2＋y 2＋m ＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0没有公共点，则实数m 的取值范围为( )A ．－10<m<0B ．－100<m<－10C ．m<－100D ． 答案：C3．半径为5且与圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0相切于原点的圆的方程是________．答案：x 2＋y 2＋6x －8y ＝04．一圆过两圆x 2＋y 2＋6x －3＝0和x 2＋y 2－6y －3＝0的交点，圆心在直线x ＋y ＋6＝0上，求此圆的方程．答案：x 2＋y 2＋9x ＋3y －3＝05．求圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2－4x －3＝0和x 2＋y 2－4y －3＝0的交点的圆的方程．解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2－4x －3＋λ(x 2＋y 2－4y －3)＝0(λ≠－1)，则其圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ)．∵所求圆的圆心在直线x －y －4＝0上，∴21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，λ＝－13.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －3＝0.拓展提升求经过原点，且过圆x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0和直线x －y ＋5＝0的两个交点的圆的方程．解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0，x －y ＋5＝0，求得交点(－2,3)或(－4,1)．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为(0,0)，(－2 3)，(－4,1)三点在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋1－4D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，E ＝－95，D ＝195.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋195x －95y ＝0.解法二：设过交点的圆系方程为x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＋λ(x－y ＋5)＝0(λ为参数)．将原点(0,0)代入上述方程得λ＝－215.则所求方程为x 2＋y 2＋195x －95y ＝0.课堂小结本节课学习了：利用方程判断两圆位置关系，解决与两圆有关的问题．作业本节练习A 1,2题．设计感想这堂课是建立在初中已经对圆与圆的位置关系有个粗略地了解的基础上，对这个位置关系的进一步深化，而且前一堂课学习过直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的研究和直线与圆的位置关系的研究方法是类似的，所以可以用类比的思想来引导学生自主地探究圆与圆的位置关系．作为解析几何的一堂课，判断圆与圆的位置关系，体现的正是解析几何的思想：用代数方法处理几何问题，用几何方法处理代数问题．所以在教材处理上，对判断两圆位置关系用了几何方法，使学生对解析几何的本质有所了解．备课资料圆的参数方程一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t.①并且对于t 的每一个允许值，由方程①所确定的点M(x ，y)都在一条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间的关系的变数叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数．相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程．参数方程能把曲线上的点坐标通过参数直接地写出来，因此，能比较清楚地表明曲线上点的坐标的特点，尤其是借助于参数方程，可以使有的问题变得容易解决．这也正是在解有关问题时，将普通方程化为参数方程来解的原因．当然在解答有关问题时，根据问题的需要，有时也将参数方程化为普通方程，比如研究有关曲线的性质时，由于我们对普通方程下曲线性质比较熟悉，这时，常把曲线参数方程化为普通方程来研究问题．圆的参数方程参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcosθ，y ＝b ＋rsinθ.其中，θ为参数，圆心为(a ，b)，r 为半径．需注意的两点：(1)标准方程含有a ，b ，r ，当a ，b ，r 确定下来时，圆的参数方程才唯一地确定下来，确定圆的参数方程同样需要三个独立条件．(2)要掌握圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2与参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcosθ，y ＝b ＋rcosθ(θ为参数)之间的互化．。
高中数学 2.3.4圆与圆的位置关系学案四 新人教B版必修2
圆与圆的位置关系学案学习目标：知识与技能目标 要求学生理解概念，能识别圆和圆的位置关系，并掌握两圆位置关系的判定和性质。
过程与方法目标 通过动手操作实验，使学生经历探究圆与圆位置关系变换的过程，获得新知。
情感、态度与价值观目标： 在达成以上目标的过程中，让学生体验到成功的喜悦，树立自信心；体验与他人合作的重要性，并在过程中受益。
学习重点 是：利用 圆与圆的位置关系推导出两圆半径、圆心距之间的数量关系。
【考纲解读】（1）探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；（2）了解三角形的内心和外心；了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；（3）能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线.【知识要点】1、点与圆的位置关系有三种：设点到圆心的距离为d ，圆的半径为r ：（1）点在圆外⇔d>r （2）点在圆上⇔d =r （3）点在圆内⇔d<r2、直线与圆的位置关系有三种：设d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径：（1）直线与圆相离⇔d>r （2）直线与圆相切⇔d =r （3）直线与圆相交⇔d<r3、三角形的三边的中垂线的交点叫做三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等.4、三角形的三个内角的平分线的交点叫做三角形的内心，内心到三边的距离相等.5、圆的切线（1）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.（2）切线的判定：经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线.6、两圆的位置关系有五种：设R 、r （R>r ）为为两圆的半径，d 为圆心距：（1）两圆外离⇔d>R +r （2）两圆外切⇔d =R +r （3）两圆相交⇔R -r <d<R +r（4）两圆内切⇔d= R -r （5）两圆内含⇔0≤d <R -r7、切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；这一点与圆心的连线平分切线的夹角.8、直角三角形内切圆的半径r =21(a +b -c ). 学习过程：1、如何确定点与圆位置关系？2、确定直线与圆的位置关系的方法？3、“日食”：月亮在太阳与地球之间绕地球旋转，当月亮遮住太阳射向地面的光线时便形成了“日食”如果把月亮与太阳看成两个圆，那么两个圆在作相对运动的过程中有几种位置关系产生呢？请同学们利用手中的学具（圆）小组内做演示，然后在练习本中画出并将其命名。
2.3.4圆与圆的位置关系教案教师版
2.3.4圆与圆的位置关系【学习要求】1．理解圆与圆的五种位置关系，掌握它的位置关系的判定方法．2．会利用圆与圆的位置关系求解与圆有关的问题，了解圆系的使用方法．【学法指导】通过观察图形，探究出两圆的位置关系与圆心距与两圆的半径和与差的大小关系，归纳出判断两圆位置关系的方法，培养数形结合的思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．几何法判断圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为r1，r2.(1)当d>r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1－r2|<d<r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当d<|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．2．代数法判断圆与圆的位置关系：将两个圆方程联立，消去其中的一个未知数y或x，得关于x或y的一元二次方程. 若方程中Δ>0 ，则两圆相交；若方程中Δ＝0 ，则两圆相切；若方程中Δ<0 ，两圆外离或内含.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]同学们一定观看过“日食”现象，那么月亮与太阳的圆形轮廓有哪几种位置关系？又如何判断它们的位置关系呢？本节就来探讨这个问题．探究点一圆与圆的位置关系问题1圆与圆的位置关系有几类？答：有内含、内切、相交、外切、外离五种．问题2如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？答：根据两圆的方程，求出两圆心的坐标及两圆的半径R，r，利用两点间的距离公式求出两圆的圆心距d，然后利用若d<|R－r|，则两圆内含；若d＝|R－r|，则两圆内切；若|R－r|＜d＜R＋r，则两圆相交；若d＝R＋r，则两圆外切；若d＞R＋r，则两圆外离.问题3已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，判断两个圆位置关系的步骤如何？答：(1)将两圆的方程化为标准方程；(2)求两圆的圆心坐标和半径R、r；(3)求两圆的圆心距d;(4)比较d与|R－r|，R＋r的大小关系作出结论．例1判断下列两圆的位置关系：(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0.解：(1)两圆的方程分别变形为(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2.所以两个圆心的坐标分别为(1,0)和(2，－1)，半径分别为r1＝2，r2＝2，两圆的圆心距d＝|C1C2|＝－2＋－2＝2，r1＋r2＝2＋2，所以r1－r2<d<r1＋r2.因此这两个圆相交．(2)两圆的方程分别变形为x2＋(y－1)2＝12，(x－3)2＋y2＝32.所以两个圆心的坐标分别为(0,1)和(3，0)，半径分别为r1＝1，r2＝3，则两圆的圆心距d＝32＋12＝2，所以d＝r2－r1.因此这两个圆内切．小结：跟判断直线与圆的位置关系一样，判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的组数，但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大，较为麻烦，而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论，不如直接运用几何法简便．跟踪训练1a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：(1)外切；(2)内切．解 将两圆方程写成标准方程，得(x －a)2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －a)2＝4.设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a)2＝2a 2＋6a ＋5.(1)当d ＝3＋2＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切，此时a ＝－5或2.(2)当d ＝3－2＝1，即2a 2＋6a ＋5＝1时，两圆内切，解得a ＝－1或a ＝－2.探究点二 两圆公共弦问题例2 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．解 设两圆交点为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则A 、B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0 ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得3x －4y ＋6＝0，∵A 、B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r ＝3.d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋42＝95. ∴|AB|＝2r 2－d 2＝232－⎝⎛⎭⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245. 小结： 求两相交圆的公共弦的方程及公共弦长时，一般不用求交点的方法，常用两方程相减法消去二次项，得到公共弦的方程，再由勾股定理求弦长．跟踪训练2 判断两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与C 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系．若相交，求其公共弦长．解： ∵C 1(1,0)，C 2(0,2)，r 1＝1，r 2＝2，∴d ＝|C 1C 2|＝5<r 1＋r 2＝3，5>r 2－r 1＝1，故两圆相交．如图所示：设两圆的公共弦OA 与连心线C 1C 2交于M 点，则C 1M ⊥OA ，|OA|＝2|AM|.∵C 1(1,0)，|AC 1|＝1.由两圆的方程，得直线OA 的方程为x －2y ＝0.从而|C 1M|＝|1－2×0|12＋－2＝15.于是|OA|＝2|AM|＝2|AC 1|2－|C 1M|2＝212－⎝⎛⎭⎫152＝455. 综上所述，圆C 1、圆C 2相交，公共弦长为455.探究点三 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程问题1 若两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，M(x 0，y 0)为一个交点，则点M(x 0，y 0)在直线(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0上吗？为什么？答： M(x 0，y 0)在直线(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0上．因为M(x 0，y 0)为两圆的交点，所以M(x 0，y 0)既适合圆C 1的方程也适合圆C 2的方程，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＋D 1x 0＋E 1y 0＋F 1＝0， ①x 20＋y 20＋D 2x 0＋E 2y 0＋F 2＝0. ②由①－②，得(D 1－D 2)x 0＋(E 1－E 2)y 0＋F 1－F 2＝0，这个方程说明了M(x 0，y 0)在直线(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0上．问题2 若两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，它们的交点弦所在的直线方程是什么？为什么？答： 它们的交点弦所在的直线方程为：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.设两圆的两个交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由问题1知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)都在直线(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0上，而两点确定一条直线，所以过A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的直线方程即为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0，也即两圆的公共弦所在的直线方程． 例3 求过直线x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的交点且与y ＝x 相切的圆的方程．解： 设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x x 2＋y 2＋4x －2y －4＋＋y ＋＝0， 得x 2＋(1＋λ)x ＋2(λ－1)＝0.因为圆与y ＝x 相切，所以Δ＝0.即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，则λ＝3.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋7x ＋y ＋8＝0.小结： 过直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆的方程可设为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ (Ax ＋By ＋C)＝0；过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆的方程，可设为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0.跟踪训练3 求过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0与x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点，且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程． 解 方法一 依题意所求的圆的圆心在已知两圆的圆心的连心线上，又已知两圆的圆心分别为(－3,0)和(0，－3)． 则连心线的方程是x ＋y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋3＝0x －y －4＝0解得⎩⎨⎧ x ＝12y ＝－72.所以所求圆的圆心坐标是⎝⎛⎭⎫12，－72. 设所求圆的方程是x 2＋y 2－x ＋7y ＋m ＝0，由三个圆有同一条公共弦，x 2＋y 2＋6x －4－(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，得x －y ＋4＝0，x 2＋y 2＋6x －4－(x 2＋y 2－x ＋7y ＋m)＝0，得x －y －4＋m 7＝0，所以－4＋m 7＝4，即m ＝－32. 故所求方程是x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.方法二 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，整理得：x 2＋y 2＋6x 1＋λ＋6λy 1＋λ－4＋28λ1＋λ＝0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－31＋λ，－3λ1＋λ， 因圆心在直线x －y －4＝0上，所以有－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7. 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．两圆x 2＋y 2＝9和x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切解析 圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的圆心为(4，－3)，半径为4.两圆心之间的距离为5，∵|3－4|<5<3＋4，∴两圆相交． 2．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0相内切，则a ＝________.解析 两圆的圆心和半径分别为O 1(0,0)，r 1＝2，O 2(a,0)，r 2＝1，由两圆内切可得d(O 1，O 2)＝r 1－r 2，即|a|＝1， 所以a ＝±1.3．圆x 2＋y 2＝1与圆(x －1)2＋y 2＝1的公共弦所在的直线方程为________．解析 设两圆相交于A 、B 两点，则A 、B 两点满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，－2＋y 2＝1.两式相减得－2x ＋1＝0，即x ＝12. 课堂小结：1．判断两圆的位置关系的方法：(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用．(2)依据连心线的长与两圆半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系．2．若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．。
02 教学设计_圆与圆的位置关系(2)
2.3.4 圆与圆的位置关系
本节课选自《2019人教B 版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习圆与圆的位置关系
学生在初中的几何学习中已经接触过圆与圆的位置关系，上节已经学习了直线与圆的位置关系，因此本节课是对已学内容的深化何延伸；另一方面，本节课对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位。
坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。
通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。
重点：圆与圆的位置关系及判定方法 难点：综合应用圆与圆的位置关系解决问题
多媒体
|r-r|<
五、课时练
针对本节课的特点，在教法上，采用以教师为主导、学生为主体的教学方法；在教学过程中，注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们动手计算，采用一题多变的形式，让学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的题型及相应解题策略，教师在学生活动后，给予帮助，促进数学概念的建构，促进数学基本素养的形成；在教学手段上，运用黑板板书和多媒体展示，激发学生的创造力，活跃了气氛，加深了理解。
注重提升学生逻辑推理、数学抽样、数学运算等数学核心素养。
人教B版高中数学必修二教案2.3.4圆与圆的位置关系
课题 4.2.2 圆与圆的地点关系教课方案讲课人学习目标 1.理解圆与圆的地点的种类；2.判断圆与圆的地点关系3.会求过两圆交点的直线方程．学习要点圆与圆的地点关系及其判断学习难点经过代数法来研究两圆的地点关系。
※课内研究※【讲堂引入】1. 请大家赏识视频，你还可以列举其余实例吗？.2.在这一过程中两圆出现了哪几种地点关系想想这一过程中两圆出现了什么地点关系，你能画出这几种地点关系吗？【问题研究】【问题一】圆与圆的地点关系有哪几种？【问题二】判断圆与圆的地点关系的方法有哪些？设计企图动向的演示增添学生的感性和理性的认识。
问题情境，指引学生发现数学识题认识知识的产生。
经过察看得到答案，如图形地点关系 d 与 R 、r的关公共点果有疑问可系以经过着手操作解决问题。
概念的教课是为下面的内容做铺垫。
在已有经验【合作研究】的基础上，自然得出结学习研究一：几何法判断两圆的地点关系论，学生是学习研究二：代数法来研究两圆的地点关系较易接受的。
学习研究三：两圆的公共弦【学致使用】例 1. 已知两圆C1：x2y22x 8y 8 0 ，圆 C2： x2y24x 4y 2 0 ，试判断两圆的地点关系 .【总结提高】1.两圆外离2.两圆外切3.两圆订交4.两圆内切5.两圆内含变式 1：已知两圆C1：x2y22x 8y 8 0 ，圆 C2： x2y2 4 x 4y 2 0 订交，求交点坐标 .例题的解说使学生会运用所学知识解决相关问题。
特别是表现了一题多解的思想。
类比直线与圆的地点关系,获得圆与圆的地点关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是分析几何的精华 ,所以 ,增加了用代数方法来剖析地点关系 ,这样有益于培育学生数形联合思想方法【总结提高】两种方法对比较，你有什么领会？变式 2：已知两圆C1：x2y22x 8y 8 0 ，圆 C2： x2y2 4 x 4y 2 0 订交，求经过老师的模拟演示使学生体验感性知识到理公共弦所在直线方程 .性知识，从详细到抽象的过程，对数学模型进行定性研究。
2.3.4圆与圆的位置关系课件高二上学期数学人教B版选择性
解析：因为圆 O : x2 y2 4 ，所以圆心O(0, 0) ，半径为 R 2 ，因为圆 M : x2 y2 4x 2 y 4 0 ，可化为 (x 2)2 ( y 1)2 1 ，所以圆心 M (2,1) ，半 径为 r 1.对于 A，两圆的方程作差得 4x 2y 4 4 ，即 y 2x 4 ，所以两圆 公共弦所在的直线方程为 y 2x 4 ，故 A 错误；
由此可知圆 1 的圆心为 (0,1) ，半径 1 = 1 ；
圆 2 的圆心为
，半径 2 = 3 .
因此两圆的圆心距 = (0 − 3)2 + (1 − 0)2 = 2 ，
又因为 3 − 1 = 2 ，所以 2 − 1 = ，从而可知两圆内切.
例 2 判断圆 1: 2 + 2 = 4 与圆 2:( − 2)2 + ( − 1)2 = 1 的位置关系， 如果相交，求出它们交点所在的直线的方程.
法一：在平面直角坐标系中作出圆 C1 与圆 C2， 如图所示，可以看出它们有两个公共点，因此圆 C1 与圆 C2 相交.
法二：对于圆
1 与圆
2，因为方程组
2
(
+ −
2 = 2, 2)2 + 2
=
1的第一式减去第二
式可得 4 − 4 = 2 − 1，从而可知 x 5 ，将此代入圆 4
1
的方程可得
5 4
8.已知圆C1 : (x a)2 y2 36 与圆C2 : x2 ( y 2)2 4 内切，则a _________.
解析：由圆 C1 : (x a)2 y2 36 知，圆心为C1(a, 0) ，半径为 r1 6 ，由圆 C2 : x2 ( y 2)2 4 知，圆心为 C2 (0, 2) ，半径为 r2 2 ，因为两圆内切，故 C1C2 r1 r2 ，即 a2 4 4 ，解得 a 2 3 .
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2.两圆的公共弦
学习评价
※自我评价你完成本节学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※【自我检测】
1.判断圆 ： 和圆 ： 的位置关系。
2.圆 ： 和圆 ： 相交，
求（1）公共弦所在直线；
（2）公共弦长。
【巩固练习】
1．已知0<r< ＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()
A．±3B．±5
C．3或5D．±3或±5
6．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________．
7．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系．
通过观察得到答案，如果有疑问可以通过动手操作解决问题。
概念的教学是为下面的内容做铺垫。
在已有经验的基础上，自然得出结论，学生是较易接受的。
例题的讲解使学生会运用所学知识解决有关问题。特别是体现了一题多解的思想。
类比直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合思想方法
【问题探究】
【问题一】圆与圆的位置关系有哪几种？
【问题二】判断圆与圆的位置关系的方法有哪些？
图形
位置关系
与 、 的关系
公共点
【合作探究】
学习探究一：几何法判断两圆的位置关系
学习探究二：代数法来研究两圆的位置关系
学习探究三：两圆的公共弦
【学以致用】
例1.已知两圆 ，圆 ，试判断两圆的位置关系.
【总结提升】
4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
5．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为()
8．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．
课题
4.2.2圆与圆的位置关系教学设计
授课人
学习目标
1.理解圆与圆的位置的种类；
2.判断圆与圆的位置关系
3.会求过两圆交点的直线方程．
学习重点
圆与圆的位置关系及其判定
学习ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点
通过代数法来研究两圆的位置关系。
※课内探究※
设计意图
动态的演示增加学生的感性和理性的认识。
问题情境，引导学生发现数学问题了解知识的产生。
A．外切B．相交
C．外离D．内含
2．两圆x2＋y2－2x＋10y＋1＝0，x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是()
A．(－2,39)B．(0,81)
C．(0,79)D．(－1,79)
3．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有()
A．2条B．3条C．4条D．0条
通过老师的模拟演示使学生体验感性知识到理性知识，从具体到抽象的过程，对数学模型进行定性研究。
培养学生探究数学问题的能力。
巩固所学知识，培养学生归纳，、概括的能力；促使学生总结方法，交流体会。
【课堂引入】
1.请大家欣赏视频，你还能列举其它实例吗？.
2.在这一过程中两圆出现了哪几种位置关系
想一想这一过程中两圆出现了什么位置关系，你能画出这几种位置关系吗？
1.两圆外离
2.两圆外切
3.两圆相交
4.两圆内切
5.两圆内含
变式1：已知两圆 ，圆 相交，求交点坐标.
【总结提升】
两种方法相比较，你有什么体会？
变式2：已知两圆 ，圆 相交，求公共弦所在直线方程.
变式:3：已知两圆 ，圆 相交，求公共弦长.
思考：你有哪些方法求两圆的公共弦及弦长？
【课堂总结】
请同学们结合本节课的内容，先进行个人总结.