一类非阿贝尔p-群的整群环之增广商群的结构
有限Abel群的结构定理(Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups)
有限Abel群的结构定理（Fundamental Theorem ofFinite Abelian Groups）有限Abel群的结构定理(Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups) 有限Abel群是群论中已被研究清楚了的重要群类，也是应用比较广泛的群类，本节的主要结论是有限Abel群可以分解成阶为素数的方幂的循环群(循环p-群)的直积，而且表法是唯一的。
我们先看几个具体的例子。
4阶群都是Abel群，它们有两种互不同构的类型，代表分别是。
Z,Z，Z422 ，其中是非Abel群;是Abel群，且6阶群有两种不同的类型，代表分别是ZZ,SS6633。
Z,Z，Z6238阶Abel群有三种不同的类型，代表分别是。
Z,Z，Z,Z，Z，Z8242229阶群都是Abel群，它们有两种互不同构的类型，代表分别是。
Z,Z，Z933 这些有限Abel群都同构于循环群或者循环群的直积，并且每个循环群的阶都是一个素数的方幂，这些循环群的阶组成的有重集合正好是该群阶素数方幂乘积的所有可能组合。
例如8阶32Abel群，有三种情形:，分别对应于8写成素数方幂乘积所有可能的形式{2},{2,2},{2,2,2}32(三种):。
8,2,8,2，2,8,2，2，2下面我们讨论一般有限Abel群的结构。
引理1 设a是群G的一个元素，a的阶等于。
其中与是两个互素的正整数，m,mmmm1212那么a可以唯一的表示成，式中的阶是;;而且都am(i,1,2)a(i,1,2)a,aaaa,aaii12i1221是a的方幂。
证明因为与互素，所以存在整数使得。
于是mmu,uum，um,112121122umumum，umumumumum2211112211222211，令，则，而且a,a,a,aa,aa,aaa,a,aa,aa121221mm12都是的方幂。
因为，所以的阶是的因子。
由于a(i,1,2)adm(i,1,2)ma,e,a,eaiiii112与互素，从而互素，并且，故的阶等于。
阿贝尔群简单解释
阿贝尔群简单解释
阿贝尔群（Abelian group）是数学中的一个概念，它是一种特殊的群，其中每个元素的逆元是其自身。
换句话说，群中的每个元素都是其自身的逆元。
阿贝尔群在代数和拓扑学中都有重要的应用。
阿贝尔群的一个重要特性是它的所有元素都可以被分解为有限个元素的乘积，而且这些元素的逆元可以很容易地找到。
这个特性使得阿贝尔群在许多问题中可以更加容易地处理。
阿贝尔群的另一个重要特性是它的所有子群都是正规的。
这意味着，如果一个子群包含了群中的某个元素，那么它就包含了该元素的整个陪集。
这个特性使得阿贝尔群在研究群的结构时更加有用。
在拓扑学中，阿贝尔群的一个重要应用是处理基本群（fundamental group）。
基本群是用来描述一个拓扑空间中所有路径的等价类构成的群。
如果一个拓扑空间是阿贝尔的（即它的基本群是阿贝尔群），那么这个空间就有很多良好的性质。
例如，它的所有连通components都是开的，它的所有简单闭曲线都是互不相交的，等等。
阿贝尔群的概念和理论在代数学和拓扑学中都有广泛的应用。
一类特殊的无限非正则p-群
一类特殊的无限非正则p-群
吕恒;薛海波;陈贵云
【期刊名称】《武汉大学学报：理学版》
【年(卷),期】2008(54)1
【摘要】利用有限正则p-群和局部幂零群的理论,得到:如果G是可解的非正则p-群,且G的每一个无限真子群是正则的,那么群G是秩为p-1的可除阿贝尔群被循环群的扩张.
【总页数】3页(P25-27)
【关键词】正则p-群;局部幂零群;拟循环p-群;可除阿贝尔P-群
【作者】吕恒;薛海波;陈贵云
【作者单位】西南大学数学与统计学院,重庆400715;西南大学育才学院,重庆401524
【正文语种】中文
【中图分类】O152
【相关文献】
1.一类特殊p-群自同构群的结构 [J], 班桂宁;周宇;陈立英
2.P-正则半群的强P-半格上的强P-同余 [J], 高增辉
3.一类非阿贝尔p-群的整群环之增广商群的结构 [J], 王秀兰; 周庆霞
4.无限正则p-群 [J], 吕恒; 张志让; 陈贵云
5.一类特殊p-群幂零类的探讨 [J], 张巧红
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第15讲 环的理想
例6
每个环R都有两个理想：
R和{0},
都叫做R的平凡理想 .
其中, {0}又叫零理想; R是唯一含有单位元的理想. 只有平凡理想的环叫做单环
域是单环.
定理2.6.2(环的同态基本定理) 设 f : R T 是环同态, 则 (1) 核ker( f ) ◁R； (2) R/ker( f ) ≌Im( f )。
扩 张 理 论
商环Ｒ／Ｉ
设I是环R的子加群, 希望在商群R/I上定义运算 a,b∈R, (a+I)(b+I)=ab+I,
使商群R/I作成一个环. 这里必须分析定义的合理性,
即c∈(a +I), d∈(b +I) 有 (a+I)(b+I)= (c+I)(d+I), 即 ab+I= cd+I.
设 c = a + s, d = b + r, s, r∈I, 则有 cd+I=(a+s)(b+r)+I=(ab+ar+sb+sr)+I = (ab+ar + sb)+I . 于是 cd + I = ab + I (a, b∈R)
证明 (1) r,s∈ker( f ), a∈R. f(r s)=f(r) f(s) f 0 r s∈ker( f ), (2) 令： R/ker( = ) T Im( f )，a+ker( f ) f(a) , 则 的定义是良性的： a T ker( f ) =b + ). 同理, f(ar)=f(a) f(r)=f(a) 0T =0+ ar∈ker( f ker( f ) ra∈ker( f ). a b ∈ ker( f ) f(a) f(b)= f(a b)=0T f(a) = f(b) 所以, ker( f ) ◁R.
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？()(1)Q=>Q→P(2)Q=>P→Q(3)P=>P→Q(4)P(PQ)=>P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？()(1)(┐PQ)→(Q→R)(2)P→(Q→Q)(3)(PQ)→P(4)P→(PQ)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式()(1)P=>PQ(2)PQ=>P(3)PQ=>PQ(4)P(P→Q)=>Q(5)(P→Q)=>P(6)P(PQ)=>P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式某((A(某)B(y，某))zC(y，z))D(某)中，自由变元是(变元是()。
答：某,y,某,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
((1)北京是中华人民共和国的首都。
(2)陕西师大是一座工厂。
)，约束)(3)你喜欢唱歌吗？(4)若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5)前进！(6)给我一杯水吧！答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是()，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为()。
(1)只有在生病时，我才不去学校(2)若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4)若我不生病，则我一定去学校答：（1）QP（2）PQ（3）PQ（4）PQ8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是()。
(1)某y(某+y=0)(2)y某(某+y=0)答：（1）对任一整数某存在整数y满足某+y=0（2）存在整数y对任一整数某满足某+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1)某y(某y=y)()(2)某y(某+y=y)()(3)某y(某+y=某)()(4)某y(y=2某)()答：（1）F（2）F（3）F（4）T10、设谓词P(某)：某是奇数，Q(某)：某是偶数，谓词公式某(P(某)Q(某))在哪个个体域中为真()2(1)自然数(2)实数(3)复数(4)(1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
第三章循环群群的结构信息安全数学
循环群与其子群
证明2）当(g)是无限循环群时，如果n m，则gn gm，于是gms (m=0，1，2，…)两两不同，H是 无限循环群．
证明3）假设(g)是n阶循环群，由于n = qs+t，0ts， 则e = gn = gqs+t，
于是
gt = (gqs)1H， s的最小性使得t = 0，所以
n = qs， H可表示为H = {e，gs，…，g(q1)s }． 当s = n时H = {e}．
映射如下：对于任意kZ，有 f(k) = gk， 这是一个一一映射，而且对于k，hZ， f(k)f(h) = gkgh = gk+h = f(k+h)． 故f是Z到(g)的同构映射，(g)与Z同构．
剩余类群
（证明续）如果(g)是n阶循环群，做模m剩余类加群Zm
到(g)的映射：对于任意 k Zm， f( k ) = gk， 这显然是一一映射，而且对于，h Zm ，
子群的陪集
证明 1）a，h都是G的元素，由G的封闭性，我们有
ahG． 则对于任意baG，总有bG，于是aG G． 对于任意bG，我们有
b = eb = (aa1)b = a(
b = a(a1b)aG，
G aG． 故G = aG． 2） GG aG GG
aG
子群的陪集
M的另一种表示为M = {mt | tZ}．
显然M是整数加群Z的子群
设为模m的一个剩余类，即 i{i+mt| tZ}
于是我们有
i i+M
可见 i i+M 是M的一个陪集．由Z可以按模m分成 m个剩余类，则Z可以按M分成m个陪集：
M，1+M，2+M，…，(m1)+M．
代数英语
(0,2) 插值||(0,2) interpolation0#||zero-sharp; 读作零井或零开。
0+||zero-dagger; 读作零正。
1-因子||1-factor3-流形||3-manifold; 又称“三维流形”。
AIC准则||AIC criterion, Akaike information criterionAp 权||Ap-weightA稳定性||A-stability, absolute stabilityA最优设计||A-optimal designBCH 码||BCH code, Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codeBIC准则||BIC criterion, Bayesian modification of the AICBMOA函数||analytic function of bounded mean oscillation; 全称“有界平均振动解析函数”。
BMO鞅||BMO martingaleBSD猜想||Birch and Swinnerton-Dyer conjecture; 全称“伯奇与斯温纳顿－戴尔猜想”。
B样条||B-splineC*代数||C*-algebra; 读作“C星代数”。
C0 类函数||function of class C0; 又称“连续函数类”。
CA T准则||CAT criterion, criterion for autoregressiveCM域||CM fieldCN 群||CN-groupCW 复形的同调||homology of CW complexCW复形||CW complexCW复形的同伦群||homotopy group of CW complexesCW剖分||CW decompositionCn 类函数||function of class Cn; 又称“n次连续可微函数类”。
Cp统计量||Cp-statisticC。
Strongart数学笔记：代数几何概型学习指南
Hartshorne代数几何概型部分学习指南(2014-04-1614:30:14)在Hartshorne的著名教科书《代数几何》中，有这样一段话“对于代数几何来说，毋庸置疑，概型的引入是一种革命，给代数几何带来了巨大的进步。
但是，跟概型打交道的人们必须背负相当沉重的技术包袱，例如层、Abel范畴、上同调、谱序列等等”，同时他的代数几何教科书只能说是瑕瑜互见，使得很多初学者对于代数几何的概型理论望而生畏，下面Strongart教授就来科普一下代数几何中概型理论。
约定：本文中的环指含有单位元1的交换环，k表示特征为零的域，必要时就作为基域。
首先，我们遇到的第一个障碍就是层（sheaf），实际上层这个概念并不难理解，但很多书都在预层与层之间做技术性讨论，就好比是学微积分之前就先钻研点集拓扑，自然会让初学者感觉一头雾水。
实际上，层就是在拓扑空间的开集族上定义的到Abel群（或其他良好代数对象）的映射，可以视为拓扑流形上连续函数的公理化，后者不但说明了层这个概念的直观来源，同时还反映从局部性质到整体行为的基本目的，代数几何中对应的“拓扑流形”是交换环的局部环层空间（ringed space）.所谓环层空间，就是指拓扑空间X与其上的环层O_X组成的对(X,O_X)，其中O_X就是X上的结构层。
假若O_X在各个茎上是局部环，那么它就称为局部环层空间。
给定一个交换环R，其局部环层空间就是取X=Spec R，其环层由交换环R的素谱Spec R上给定，在各个茎上由环的局部化给出，这样对应的(Spec R,O_Spec R)又称为仿射概型，它在概型上起到了类似流形上坐标卡的作用。
X是概型，就是指局部环层空间，即对任何x∈X，存在X的邻域U，使得（U，O_U）同构于仿射概型。
概型之间的态射可以通过局部环层空间的态射定义。
环层空间的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）则是包含着两个要求：首先f：X→Y是环同态；其次是环层映射f#：O_Y→f*O_X，它满足对任何x∈X，y=f(x)，则f#在各茎上诱导局部环之间的同态f_x：（O_(Y,y)，M_y)→（O_(X,x)，M_x).下面我们看概型的若干性质，它们大都来自于环的代数或（Krull）拓扑。