5-5_7 阿贝尔群和循环群
5-5 阿贝尔群和循环群
定义 5-5.1：如果群<G,*>中的运算*是可交 换的，则称该群为阿贝尔群，或称交换 群。 例题 1： 设G为所有n阶非奇（满秩）矩阵 的集合，矩阵乘法运算。作为定义在集 合G上的二元运算，则<G,。>是一个不 可交换群。
解： 任意两个n阶非奇矩阵相乘后，仍是 一个非奇矩阵，所以运算 是封闭的。 矩阵乘法运算是可结合的。 n阶单位阵E是G中的幺元。 任意一个非奇阵A存在着唯一的逆阵，使 A A-1=A-1 A=E 但矩阵乘法是不可交换的，因此，<G, >是一个不可交换群。
i 1 i 1
又因，H中任意两个不同的元素h1,h2,a∈G,必有 a*h1≠a*h2,所以|aiH|=|H|=m,i=1,2,…，k。因此
n | G || ai H | | ai H | 任何质数阶的群不可能有非平凡子群。 这是因为，如果有非平凡子群，那么该子群的阶 必定是原来群的阶的一个因子，这就与原来群 的阶是质数相矛盾。
例如：60°就是群<{0°，60°，120°， 180°，240°，300°}，★>的生成元， 因此，该群是循环群。
定理5-5.2：任何一个循环群必定是阿贝尔群。 证明： 设<G,*>是一个循环群，它的生成元是 a, 那么，对于任意的x,y∈G,必有r,s∈Z， 使得x=ar 和 y=as 而且 x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x 因此， <G,*>是一个阿贝尔群。
例题 2： 设G={α，β，γ，δ}，在G上定义二元 运算*如表5-5.2所示。 表5-5.2 * α β γ δ α β α β γ δ β α δ γ γ δ
γ δ δ γ β α α β
解：由运算表5-5.2可知运算*是封闭的， α是幺元。 β，γ和δ的逆元分别是β，δ和γ。
可以验证运算*是可结合的。
作业 5-7
P211 （2） （5）
推论2： 设<G,*>是n阶有限群，那么对于任意的 a∈G,a的阶必是n的因子且必有an =e,这里e是群 <G,*>中的幺元。如果n为质数，则<G,*>必是循 环群。 这是因为，由G中的任意元素a生成的循环群 H={ai |i∈I,a∈G}， 一定是G的一个子群。如果H的阶是m，那么由定 理5-5.3可知am=e, 即a的阶等于m。由拉格朗日定 理必有n=mk, k∈I,因此，a的阶m是n的因子，且 有an =amk=(am)k =ek =e 。 因为质数阶群只有平凡子群，所以，质数阶群必定 是循环群。 必须注意，群的阶与元素的阶这两个概念的不同。
定理5-5.1: 设<G,*>是一个群，<G,*>是阿贝尔群 的充要条件是对任意的a,b∈G,有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。 证明: 充分性 设对任意a,b∈G,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 因为 a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b) =(a*b)*(a*b) =a*(b*a)*b 所以 a-1*(a*(a*b)*b)*b-1 =a-1*(a*(b*a)*b)* b-1 即得 a*b=b*a 因此，群<G,*>是阿贝尔群。
对于有限循环群，有下面的定理。
定理5-5.3： 设<G,*>是一个由元素a∈G生成的有限 循环群。如果G的阶数是n,即|G|=n,则an=e且 G={a，a2，a3，…，an-1,an=e}，其中，e是<G,*> 中的幺元，n是使an=e的最小正整数（称n为元素a 的阶）。
证明： 假设对于某个正数m，m<n，有am=e。那么， 由于<G,*>是一个循环群，所以G中的任何元素都 能写为ak(k∈Z)，而且k=mq+r其中，q是某个整 数，0≤r<m。这就有ak=amq+r=(am)q*ar=ar
这就导致G中每一个元素都可表示成ar(0≤r<m)，这 样，G中最多有m个不同的元素，与|G|=n相矛盾。 所以am=e(m<n)是不可能的。
进一步证明a，a2，a3，…，an-1,an都不相 同。用反证法。假设ai = aj,其中1≤i<j≤n, 就有ai = ai * aj-i , 即aj-i =e,而且1≤j-i<n,这 已经由上面证明是不可能的。所以， a， a2，a3，…，an-1,an都不相同，因此 G={a，a2，a3，…，an-1,an =e}
例1：<IE,+>是群<I,+>的子群， 则 {0} IE= IE , {2} IE= IE , {-2} IE= IE , …… {1} IE= Io , {-1} IE= Io , {3} IE= Io ，…… 所以，{IE , Io} 是对于I(整数集)的一个划分。
定理5-7.1 （拉格朗日定理） 设<H,*>是群<G,*>的一个子群，那么 (a) R={<a,b>|a∈G,b∈G且a-1*b∈H}是G中的一个 等价关系。对于a∈G,若记[a]R={x|x∈G且 <a,x>∈R}，则[a]R=aH (b) 如果G是有限群，|G|=n,|H|=m,则m|n。 证明：(a)对于任一a∈G, 必有a-1∈G, 使a-1*a=e∈H, 所以<a,a>∈R。 若<a,b>∈R,则a-1 *b∈H，因为H是G的子群， 故 (a-1*b)-1=b-1*a∈H，所以, <b,a>∈R。 若<a,b>∈R, <b,c>∈R, 则a-1*b∈H, b-1*c∈H, 故a-1*b*b-1*c=a-1*c∈H, 所以<a,c>∈R。 这就证明了R是G中 的一个等价关系。
必要性 设<G,*>是阿贝尔群，则对任意的 a,b∈G 有 a*b=b*a 因此 (a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b =a*(b*a)*b =(a*b)*(a*b)
定义5-5.2： 设<G,*>为群，若在G中存在 一个元素a,使得G中的任意元素都由a的 幂组成，则称该群为循环群，元素a称为 循环群G的生成元。
Klein四元群的特点为： 群的阶数是4，除e以外 的三个元素a,b,c都是二阶元，且a*b=b*a=c, b*c=c*b=a, a*c=c*a=b
例题2：任何一个四阶群只能是四阶循环群或者 Klein四元群。 证明： 设四阶群为<{e,a,b,c},*>，其中e是幺元。当四 阶群含有一个四阶元素时，这个群就是循环群。 当四阶群不含有四阶元素时，则由推论2可知， 除幺元e外，a,b,c的阶一定都是2。a*b不可能 等于a,b或e,否则将导致b=e,a=c或a=b的矛盾， 所以a*b=c。同样地有b*a=c以及 a*c=c*a=b,b*c=c*b=a。因此，这个群是 Klein四元群。
对于a∈G,我们有：b∈[a]R当且仅当<a,b>∈R,即 当且仅当a-1*b∈H,而a-1*b∈H就是b∈aH。 因此，[a]R=aH。 (b)由于R是G中的一个等价关系，所以必定将G划 分成不同的等价类[a1]R,[a2]R,…，[ak]R， 使得 k k G = ai R ai H
例题1：设K={e,a,b,c},在K上定义二元运 算*如表5-7.1所示。 表 5-7.1
* e a b c e e a b c a b a e c b c
b c c b e a a e
证明 <K,*>是一个群，但不是循环群。
证明： 由表5-7.1可知，运算*是封闭的和可结合的。 幺元是e，每个元素的逆元是自身，所以， <K,*>是群。因为a,b,c都是二阶元，故<K,*> 不是循环群。我们称<K,*>为Klein四元群。
所以<G,*>是一个群。
在这个群中，由于 2, 3, 4,
以及 2 , 2, 4 故群<G,*>是由γ或δ生成的，因此<G,*>是一个循 环群。 从本例可以看到：一个循环群的生成元可以不 是唯一的。
作业 5-5
P200 (1) (4)
5-7 陪集与拉格朗日定理
[理学]第五章代数结构
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x 有 x ∘ = 成立，即
x+-x = x -x = 0 = 1
给定 x，设 x 的逆元为 y, 则有 x ∘ y = 0 成立，即
x+y-xy = 0 y x
(x 1)
因此当 x 1时， y x x 1是 x 的逆元.
x1
第五章 代数结构
分 析 P(B)
运算 普通加法 + 与乘法
并 与交 交 与对称差
分配律 对 + 可分配 + 对 不分配 对 可分配 对 可分配 对 可分配 对 不分配
吸收律 无 有 无
第五章 代数结构
5.2 运算及其性质
定义6：
设<A,*>，若存在一个元素el∈A，对于任意元素x∈A
5.1代数系统的引入
2、代数系统的概念
一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运
算f1,f2,…,fk所组成的系统称为一个代数系统，记
作<A, f1,f2,…,fk >。
当A为有限集时该代数系统为有限系统。 否则称为无限代数系统。
第五章 代数结构
5.2 运算及其性质
1、交换律 2、结合律 3、分配律 4、吸收律 5、等幂律 6、幺元 7、零元 8、逆元
yl = yl * e = yl *(x * yr)= (yl * x) * yr= e * yr = yr 令 yl = yr = y, 则 y 是 x 的逆元. 假若 y’∈S 也是 x 的逆元, 则
y'= y’ * e = y’ *(x * y) = ( y’ * x) * y = e * y = y 所以 y 是 x 惟一的逆元.
第五章 代数结构
5.2 运算及其性质
定义7：
代数结构与图论教学日历2007-2008
暨南大学全日制本科教学日历2007 ～2008 学年第一学期课程名称代数结构与图论课程性质专业必修课学时 54 学分 3 适用专业（方向）计算机科学与技术学生类别及人数内招生开课单位信息科学技术学院计算机系软件工程教研室授课教师邹先霞暨南大学教务处制二00七年九月《暨南大学全日制本科教学日历》填写说明一、本表格相关内容必须与教学计划一致，填写时，统一用宋体、5号字；可视需要放大或缩小，页面不够可以另外加页，但不能改变基本格式；课程教学不涉及表中相关栏目的，可不填写。
二、教研室主任、系主任只需在最后一页签章，即“教研室主任（签章）”、“系主任（签章）”放在最后一页。
三、“课程性质”指必修课、专业选修课或公共选修课；“学生类别”指外招生，内招生或内、外招生，外校选课的学生算作内招学生；“开课单位”填写授课教师所在学院、系和教研室，无教研室只填学院和学系；“学时分配”栏中，各种类别所占学时的总和应等于总学时。
四、“考试（考核）”方式填写开卷考试、闭卷考试、实验操作、操行评定、撰写论文、其他等。
采用多种考试（考核）方式的，可以填写其中两种主要形式。
五、“教材特点”填写面向21世纪规划教材、（教育部或相关部委、行业协会）推荐教材、（获省部级）奖励教材、公开出版教材、自编教材等。
推荐教材、奖励教材应写明推荐单位、奖励单位。
六、“多媒体技术”指利用计算机综合处理文字、声音、图像、图形、动画等信息技术，不包括纯文字的powerpoint；“授课语言”中的“全英语”指用全英语编写的教材并且采用全英语教学；“中、英双语”指用全英语编写的教材并且用英语授课课时至少达到该课程总学时的50%。
七、某一门课程由多名教师共同讲授，应在封面“授课教师”栏目中列出所有授课教师姓名，并在第1页“教学任务安排”相关栏目中填写教学分工情况，各教师填写“课程教学进程”表格后集中装订。
一人讲授一门课程的，应填写“教学任务安排”中与本课程相关的栏目，“教学的主要内容（章节）”栏目不填写。
5.5-阿贝尔群与循环群PPT课件
p1，p2，p3Sn,xS有p3(x)=y ，p2(y)=z, p1(z)=u, 则(p1p2)p3(x)=u,p1(p2p3)(x)=p1(z)=u p1(p2p3)=(p1p2)p3 (3)恒等置换为幺元
(4)pSn,xS,存在逆元p-1,其中若p(x)=y则p-1(y)=x。
.
8
所以，<Sn,>是一个20群21/3。/10
ii)hkHK,则k-1h-1是h k的逆元。
又∵k-1h-1=(h-1) ’(k-1) ’ HK
<HK, >是一个子群。
必要性: 若<k h=(h-1 k-1)-1HKKHHK
xHK,x-1HK x-1=hk x=(x-1)-1=(h k)-1=k-1 h-1KH
HKKH，
11 KH=HK。
2021/3/10
共同的心声
一起帮助孩子更好学习， 一起帮助孩子健康成长。
* α γ γ2 γ3 α α γ γ2 γ3 γ γ γ2 γ3 α γ2 γ2 γ2 α γ γ3 γ3 α γ γ2
由上表看出<G,*>是一个循环群.
* αβγδ α αβγδ β βαδγ γ γδβα δ δγαβ
5
2021/3/10
﹡置换群
1.定义（5-6.1）:一个具有n个元素的集合S,将S上所
<Sn,>是一个群
例:p1= 123 312
p1-1= 123 231
p1 p1-1= 123 123
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2021/3/10
置换群与对称群
定义5-6.2:<Sn,>的任何子群称为集合S上的一个置
换群。<Sn,>称为S上的对称群。
例: S上对称群Sn={p0,p1,p2,p3,p4,p5}的置换群： 以p1为生成元的置换群为<{p1,p0},>， 以p2为生成元的置换群为<{p2,p0},>， 以p3为生成元的置换群为<{p3,p0},>, 以p4为生成元的置换群为<{p4,p5,p0},>。
5-5 阿贝尔群
例题1 设S={a,b,c,d}，在S上定义一个双射函 数 f: f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d,f(d)=a, 对于任一xS，构造复合函数 f2(x)=f o f(x)=f(f(x)) f3(x)=f o f2(x)=f(f2(x)) f4(x)=f o f3(x)=f(f3(x)) 如果用f0表示S上的恒等映射，即f0(x)=x xS 很明显地有f4(x)=f0(x)，记f1=f，构造集合 F={f0 ,f1 ,f2, f3 } ，那么<F，o>是一个阿贝尔群。
任取x，y∈G，则x*y∈G
因为x*y=（x*y）-1=y-1*x-1=y*x
所以<G，*>是一个阿贝尔群。
此题的推论：若群中每个元素的逆元 都是它自己，则该群必是可交换群。
例题2 设G为所有n阶非奇（满秩）矩阵的集合， 矩阵乘法运算ο 作为定义在集合G上的二元运 算，则<G, ο >是一个不可交换群。 解 任意两个n阶非奇矩阵相乘后，仍是一个 非奇矩阵，所以运算ο 是封闭的。 矩阵乘法运算ο 是可结合的。 N阶单位阵E是G中的幺元。 任意一个非奇矩阵A存在唯一的逆阵A-1，使 A-1οA=AοA-1=E。 但矩阵乘法运算ο 是不可交换的，因此<G, ο > 是一个不可交换群。
3、定义5-5.3 设<G,>为群，aG，如果an= e, 且n为满足此式的最小正整数,则称 a 的阶(order) 为n，如果上述n不存在时,则称a有无限阶. 4、定理 5-5.3 设<G,>为循环群，aG是该群 的生成元，如果G的阶数是n ，即| G |= n ，则 an = e,且 G={a, a2, a3,..., an-2, an-1, an=e} 其中， e是群<G,>的幺元。 n是使an=e的最小 正整数。
5.5 阿贝尔群与循环群
习题讲评
P197.证<HK, >是子群的充要条件是HK=KH 若HK=KH,
证:充分性:
h kHK, k’ h’KH有hk=k’h’成立。
i)h1k1, h2 k2HK h1 k1 h2 k2=h1 h2’k1’ k2HK(∵<H, >,<K, >是群) ii)hkHK,则k-1h-1是h k的逆元。 又∵k-1h-1=(h-1) ’(k-1) ’ HK <HK, >是一个子群。 必要性: 若<HK, >是一个子群 k hKH，则k-1 h-1KHk h=(h-1 k-1)-1HKKHHK xHK,x-1HK x-1=hk x=(x-1)-1=(h k)-1=k-1 h-1KH HKKH， KH=HK。
定义5-6.2:<Sn,>的任何子群称为集合S上的一个置
换群。<Sn,>称为S上的对称群。 例: S上对称群Sn={p0,p1,p2,p3,p4,p5}的置换群：
以p1为生成元的置换群为<{p1,p0},>，
以p2为生成元的置换群为<{p2,p0},>，
以p3为生成元的置换群为<{p3,p0},>,
123 123 123 = 321 213 231
右复合
123 123 123 = 321 213 312
证:(1)封闭性p1,p2Sn，须证p1p2Sn， 当c,d被p1置换为e,f时,必有ef。
<Sn,>是一个群
∵若a,bS且ab则当a,b被p2置换为c,d时,必有cd。 p1p2将S中任二个不同元素映射到S中的二个不同元素， p1p2Sn(有限集A上的单射必为满射)。 (2)运算满足结合律 p1，p2，p3Sn,xS有p3(x)=y ，p2(y)=z, p1(z)=u, 则(p1p2)p3(x)=u,p1(p2p3)(x)=p1(z)=u
群的基本概念
3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1
3, 单位元（不变元素）E,
EA = AE = A
4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E ,
单位元 E 的逆元仍为E,
证：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1 =E ） （2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ） 由（1）和（2） E = E-1
年迈的泊松感到难于理解
• 由于论文中出现了“置换群”等崭新的数 学概念和方法，泊松感到难于理解。几个 月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一 份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没 有时间了。
• 在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级 革命活动，被学校开除了。
伽罗瓦预感到死亡即将来临
• 1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被 捕入狱，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832 年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得 以出狱。
他盯上了著名的世界数学难题
• 不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公 式问题。
• 16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人， 发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没 两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求 根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就 可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程 的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也 找不出一个这样的求根公式。
离散数学结构试题集5-7
第5章一.填空题1. 群中有唯一的（）。
2. 如果群运算是可交换的，则群为（）。
3. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y∈A，则称二元运算*在A上是（）。
4. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是（）。
5. 设★是定义在有理数集合Q上的二元运算，如果对于Q中任意的两个元素x,y，都有x★y=x+y-x*y，其中*表示普通乘法元算，则二元运算★在Q上是（）。
（填写可交互/不可交换）6. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y)*z=x*(y*z)，则称二元运算*在A上是（）。
7. 设★是定义在非空集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y，则二元运算★在A上是（）。
（填写可结合/不可结合）8. 设*，★是定义在集合A上的两个二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y)★z=（x★z）*(y★z)，z★(x*y)=(z★x)*(z★y),则称二元运算★对于*在A上是（）。
9. 设*，★是定义在集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y，都有x*(x★y)=x, x★(x*y)=x,则称二元运算*对于★在A上满足（）。
10. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x，都有x*x=x，则称二元运算*是（）。
11. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素el，对于A中任意的元素x，都有el*x=x，则称el为A中关于运算*的（）。
12. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素ol，对于A中任意的元素x，都有ol*x=x，则称ol为A中关于运算*的（）。
13. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素er，对于A中任意的元素x，都有x*erl =x，则称er为A中关于运算*的（）。
第五章代数系统关于集合是否封闭？
第五章代数系统5-1代数系统的引入5.1.1设集合{1，2，3，…，10}，问下面定义的映射*关于集合是否封闭？a） x*y=max(x,y);b） x*y=min(x,y);c） x*y=GCD(x,y);d） x*y=LCM(x,y);e） x*y=素数p的个数，其中x≤p≤y。
解：a）封闭。
b）封闭。
c）封闭。
d）不封闭。
e）不封闭。
5.1.2在下表所列出的集合和映射中，请根据映射是否在相应集合上封闭，在相应位置上填写“是”或“否”，I表示整数集，N表示自然数集合。
5.1.3设B={0，a，b，1}，S1={ a，1}, S2={ 0，1}, S3={ a，b},二元运算⊕和*定义如下表：⊕0 a b 1 * 0 a b 10 0 a b 1 0 0 0 0 0a a a 1 1 a 0 a 0 ab b 1 b 1 b 0 0 b b1 1 1 1 1 1 0 a b 1试问（S1，*，，⊕）是代数系统吗？是（B，*，⊕，1，0）的子代数系统吗？（S2，*，，⊕，1，0）是（B，*，⊕，1，0）的子代数系统吗？（S3，*，，⊕）是代数系统吗？解：⊕ a 1 * a 1a a 1 a a a1 1 1 1 a 1因此（S1，*，，⊕）是代数系统。
它不是（B，*，⊕，1，0）的子代数系统。
因为S1中缺少0。
（S2，*，，⊕，1，0）是（B，*，⊕，1，0）的子代数系统。
⊕ a b * a ba a 1 a a 0b 1 b b 0 b因为⊕和*在{a，b}上不封闭，所以（S3，*，，⊕）不是代数系统。
5-2运算及其性质5.2.1对于实数集合R，下表所列的二元运算是否具有左边一列中那些性质，请在相应位置上填写“是”或“否”。
∣-y∣max min x-+*结合律交换律有单位元有零元解：max min x∣-y∣-+*结合律是否是是是否交换律是否是是是是有单位元是否是否否否有零元否否是否否否5.2.2设代数系统（{a,b,c}，*）中，*是{a,b,c}上二元运算，下面运算表中分别讨论交换性，等幂性，问有否单位元？若有，问每个元素有否逆元？有否零元？a）b）c）d）* a b c * a b c*a b c* a b ca abc a a b c a a b c a a b cb bc a b b a c b a b c b b b cc c a b c c c c c a b c c c c b解：a）可交换，不等幂，a为单位元，a 的逆元是a，b和c互为逆元。
第三章循环群群的结构信息安全数学
循环群与其子群
证明2）当(g)是无限循环群时，如果n m，则gn gm，于是gms (m=0，1，2，…)两两不同，H是 无限循环群．
证明3）假设(g)是n阶循环群，由于n = qs+t，0ts， 则e = gn = gqs+t，
于是
gt = (gqs)1H， s的最小性使得t = 0，所以
n = qs， H可表示为H = {e，gs，…，g(q1)s }． 当s = n时H = {e}．
映射如下：对于任意kZ，有 f(k) = gk， 这是一个一一映射，而且对于k，hZ， f(k)f(h) = gkgh = gk+h = f(k+h)． 故f是Z到(g)的同构映射，(g)与Z同构．
剩余类群
（证明续）如果(g)是n阶循环群，做模m剩余类加群Zm
到(g)的映射：对于任意 k Zm， f( k ) = gk， 这显然是一一映射，而且对于，h Zm ，
子群的陪集
证明 1）a，h都是G的元素，由G的封闭性，我们有
ahG． 则对于任意baG，总有bG，于是aG G． 对于任意bG，我们有
b = eb = (aa1)b = a(
b = a(a1b)aG，
G aG． 故G = aG． 2） GG aG GG
aG
子群的陪集
M的另一种表示为M = {mt | tZ}．
显然M是整数加群Z的子群
设为模m的一个剩余类，即 i{i+mt| tZ}
于是我们有
i i+M
可见 i i+M 是M的一个陪集．由Z可以按模m分成 m个剩余类，则Z可以按M分成m个陪集：
M，1+M，2+M，…，(m1)+M．
离散数学第五章
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§2运算及其性质
《定理》：若θl和θr分别是Z中对于*的左零元和右零
元，则θl = θr =θ，且θ Z是唯一的.
证明：方法同幺元。 例：
（1）在实数集合R中，对×而言,，θL = θr =0 （2）在(E)中，对而言，θ = ；
e2,则有e1* e2= e2= e1,这和假设相矛盾。
∴若存在幺元的话一定是唯一的。 例：
（1）在实数集合R中,对+而言, e+=0；对×而言, e*=1 ； （2）在(E)中,对而言, e =E（全集合）；对而言, e =（空集）；
（3）{命题逻辑}中，对∨而言，e ∨ =F（永假式）； 对∧而言， e ∧ =T（永真式）。
上的封闭运算。
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§2运算及其性质
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS 有xy=y x,则称运算在S上是可交换的（或者 说在S上满足交换律）。
例：在整合集合 I 上定义运算 ：
对任何 a ,b I,ab a b (a b )
其中的 +， 分别表示数的加法和乘法。
（a ★b）★c= b ★c= c 而a★（b★c）=a★ c= c， ∴（a★b）★c= a★（b★c） ∴★是满足结合律的
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§2运算及其性质
《定义》:设和是集合S上的二个二元运算, 对任一x,y,z S有 x （y z）=（x y） （x z）；
（y z） x=（y x） （z x）,则称运算对是可分 配的（或称对满足分配律）。