习题五 阿贝尔群与循环群.
离散数学22
推论2 设G是有限群, |G| = n, a∈G, 则 an=e.
证明思路 设a 的阶为r, 由推论1, n = rk, 则 an = ark =(ar)k = ek = e.
练习
1. aH = H a∈H.
2. b∈aH aH=bH. 这说明陪集中任何一
个元素都可以作为代表元.
四、拉格朗日定理 1. 拉格朗日定理的证明 定理 (Lagrange) 设G为有限群, H是G的子群,
则 |G| = |H| [ G: H ] .
证明 设 [ G: H ] = m, 于是存在 a1,…,am∈G,
使
G ai H
i 1
m
且 aiH ∩ajH =φ(i≠ j), 而每一个陪集的元素个数 均为 | aiH | = |H|, 所以
T为所有小于等于n次多项式的集合. 在多项式加法
下,〈S, +〉,〈T, +〉是否定义 定义 设 <G, * > 是群，若在 G 中存在 一个元素 a，使得 G 中的任意元素都是 a的 幂，则称该群为循环群，元素 a 称为循环群 G 的生成元. 一般地，生成元 a 不是幺元 e.
2. 循环群的例题
例1 任何一个循环群一定是阿贝尔群. 因为 ar a s = ar+s = as+r = as ar 例2 设 <G, * > 是有限循环群，由a 生 成，若 G 的阶数是 n，则 an = e, 且 G = { a, a2, a3,…, an-1, an = e }
三、培集
1. 培集的定义 首先利用群G的一个子群H来作G的一个分
(1) 证明 f 是映射: 设aH=bH, 则 a=bh, h∈H,
有限生成阿贝尔群的结构定理
有限生成阿贝尔群的结构定理有限生成阿贝尔群的结构定理，是群论中的一个重要定理，它描述了有限生成的阿贝尔群的结构。
本文将详细介绍该定理的内容和证明过程。
在群论中，阿贝尔群是指满足交换律的群。
有限生成阿贝尔群是指可以由有限个元素生成的阿贝尔群。
有限生成阿贝尔群的结构定理告诉我们，任意一个有限生成的阿贝尔群都可以分解为一些循环群的直积。
具体来说，设G是一个有限生成的阿贝尔群，可以写为G = <a1, a2, ..., an>，其中a1, a2, ..., an是G中的元素。
根据有限生成群的定义，G中的每个元素都可以由这n个元素通过群运算得到。
根据结构定理，我们可以将G分解为一些循环群的直积。
循环群是指由一个元素生成的群。
设H1, H2, ..., Hm是G的一些循环子群，它们分别由元素b1, b2, ..., bm生成。
那么根据结构定理，我们有G = H1 × H2 × ... × Hm。
接下来，我们需要证明这个分解是唯一的。
换句话说，我们需要证明如果G = H1 × H2 × ... × Hm = K1 × K2 × ... × Kn，则m = n，并且存在一个置换σ将H1, H2, ..., Hm重新排列，使得Hi = Ki对于所有的i。
为了证明这个定理，我们首先需要了解循环群的性质。
循环群的性质告诉我们，循环群中的元素的阶数是相等的。
所以，如果Hi和Kj是循环群，且Hi = Kj，则它们的阶数必须相等。
假设Hi的阶数为mi，Kj的阶数为nj。
接下来，我们考虑循环群的生成元。
根据循环群的定义，如果Hi由元素bi生成，Kj由元素cj生成，则对于任意的i和j，存在一个整数ki和kj，使得bi^ki = cj^kj。
这意味着bi和cj的阶数也必须相等。
我们可以得出结论：如果G = H1 × H2 × ... × Hm = K1 × K2 × ... × Kn，则m = n，并且存在一个置换σ将H1, H2, ..., Hm重新排列，使得Hi = Ki对于所有的i。
5-5 阿贝尔群
例题1 设S={a,b,c,d}，在S上定义一个双射函 数 f: f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d,f(d)=a, 对于任一xS，构造复合函数 f2(x)=f o f(x)=f(f(x)) f3(x)=f o f2(x)=f(f2(x)) f4(x)=f o f3(x)=f(f3(x)) 如果用f0表示S上的恒等映射，即f0(x)=x xS 很明显地有f4(x)=f0(x)，记f1=f，构造集合 F={f0 ,f1 ,f2, f3 } ，那么<F，o>是一个阿贝尔群。
任取x，y∈G，则x*y∈G
因为x*y=（x*y）-1=y-1*x-1=y*x
所以<G，*>是一个阿贝尔群。
此题的推论：若群中每个元素的逆元 都是它自己，则该群必是可交换群。
例题2 设G为所有n阶非奇（满秩）矩阵的集合， 矩阵乘法运算ο 作为定义在集合G上的二元运 算，则<G, ο >是一个不可交换群。 解 任意两个n阶非奇矩阵相乘后，仍是一个 非奇矩阵，所以运算ο 是封闭的。 矩阵乘法运算ο 是可结合的。 N阶单位阵E是G中的幺元。 任意一个非奇矩阵A存在唯一的逆阵A-1，使 A-1οA=AοA-1=E。 但矩阵乘法运算ο 是不可交换的，因此<G, ο > 是一个不可交换群。
3、定义5-5.3 设<G,>为群，aG，如果an= e, 且n为满足此式的最小正整数,则称 a 的阶(order) 为n，如果上述n不存在时,则称a有无限阶. 4、定理 5-5.3 设<G,>为循环群，aG是该群 的生成元，如果G的阶数是n ，即| G |= n ，则 an = e,且 G={a, a2, a3,..., an-2, an-1, an=e} 其中， e是群<G,>的幺元。 n是使an=e的最小 正整数。
5.5 阿贝尔群与循环群
习题讲评
P197.证<HK, >是子群的充要条件是HK=KH 若HK=KH,
证:充分性:
h kHK, k’ h’KH有hk=k’h’成立。
i)h1k1, h2 k2HK h1 k1 h2 k2=h1 h2’k1’ k2HK(∵<H, >,<K, >是群) ii)hkHK,则k-1h-1是h k的逆元。 又∵k-1h-1=(h-1) ’(k-1) ’ HK <HK, >是一个子群。 必要性: 若<HK, >是一个子群 k hKH，则k-1 h-1KHk h=(h-1 k-1)-1HKKHHK xHK,x-1HK x-1=hk x=(x-1)-1=(h k)-1=k-1 h-1KH HKKH， KH=HK。
定义5-6.2:<Sn,>的任何子群称为集合S上的一个置
换群。<Sn,>称为S上的对称群。 例: S上对称群Sn={p0,p1,p2,p3,p4,p5}的置换群：
以p1为生成元的置换群为<{p1,p0},>，
以p2为生成元的置换群为<{p2,p0},>，
以p3为生成元的置换群为<{p3,p0},>,
123 123 123 = 321 213 231
右复合
123 123 123 = 321 213 312
证:(1)封闭性p1,p2Sn，须证p1p2Sn， 当c,d被p1置换为e,f时,必有ef。
<Sn,>是一个群
∵若a,bS且ab则当a,b被p2置换为c,d时,必有cd。 p1p2将S中任二个不同元素映射到S中的二个不同元素， p1p2Sn(有限集A上的单射必为满射)。 (2)运算满足结合律 p1，p2，p3Sn,xS有p3(x)=y ，p2(y)=z, p1(z)=u, 则(p1p2)p3(x)=u,p1(p2p3)(x)=p1(z)=u
组合数学第四章习题解答
12345 13524 14253 15432
5
2
翻转
12534 21345 32415 51423 41235
4
3
c ( a1 ) c(a2 ) 1 c ( ag ) l [m m ... m ] G
G×G’的单位元素是(e,e’),试证G×G’是群 (1)封闭性显然 (2)结合律显然 (3)逆元素显然
(4)单位元显然
4.27 一个项链由7颗珠子装饰成的，其中两颗珠 子是红的，3颗是蓝的，其余两颗是绿的，问有多少 种装饰方案，试列举之。
1
G (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (1234567),(1357246), (1473625),(1526374), (1642753),(1765432)
4.5 试证循环群的子群也是循环群。 显然。 4.6 若H是G的子群，x和y是G的元素，试证： xH∩yH或为空，或xH=yH。 设a,b∈H,xa=yb,xH≠yH 存在m∈H,xm属于xH但不属于yH
x=yba-1,xm=yba-1m,由H是G的子群，因此 ba-1m∈H, yba-1m∈yH
4.23 凸多面体中与一个顶点相关的各角之和与2 的差称为该顶点的欠角，证明凸多面体各顶点欠 角之和为4
证：设V,S,E分别为顶点集，面集，边(棱)集。 由欧拉定理 |V|+|S|－|E|=2. 设aij为与顶点vi， 面Sj为相关的面角，ej为Sj的的边数， 给定Sj则∑aij=(ej－2)π 欠角和为∑(2π－∑aij)=∑2π－∑ ∑aij =2|V|π－∑ ∑aij=2|V|π－∑(ej－2)π =2|V|π－∑ejπ+2|S|π =2|V|π+2|S|π－2|E|π=4π
抽象代数循环群
抽象代数循环群定义1.5.1，设 G 为群，若∃a∈G 使得 G={an|n∈Z} 则 G 为循环群。
记为 G=<a>.我们称 a 为生成元。
其实我们知道对任何 {an|a∈G,n∈Z}≤G (由于群对运算封闭）,也就是说循环群其实是 {an}=G 。
例1. {Z;+} , 1,−1 为其生成元。
2. Um={c∈C∗|cm=1} 对乘法成循环群，本原根为生成元。
|Um|=m如： U2={1,−1} , −1 为生成元U3={1,ς,ς2}(ς=−1+3i2) 以ς为生成元。
U4={1,−1,i,−i} , −i 为生成元。
命题1.5.1:循环群为阿贝尔群。
aman=am+n=anam命题1.5.2:循环群的子群也为循环群。
令 G=<a>,H<G , H≠G 设 H≠{e} , m=min{k∈N|ak∈H}下证 H=<am> ,设 al∈H ，由带余除法可得 l=qm+r ( 0≤r<m ) ⇒ar=al−qm=al(am)−q∈H ，故 r=0 否则 ar∈H 且 r<m 则与 m 的定义相反。
推论1.5.3 {Z;+} 的任何子群，一定形如 mZ ， m≥0证： G<{Z;+} 若 G=Z ,取 m=1 ，若 G={0} 取 m=0 ,否则令 m=min{k∈N|k∈G}用命题1.5.2的方法证明。
G=<m>=mZ循环群分类定理：设 G 为循环群，且 |G|=∞ ,则 G≃{Z;+} ，若 |G|=m>0 则 G≃Z/mZ=Zm≃Um思路：证明一个群和一个商群同构，很容易想到同态基本定理。
证：设 G=<a> 定义ϕ:Z→G 使得ϕ(k)=ak 则ϕ(k+l)=ak+l=akal=ϕ(k)ϕ(l) 所以ϕ为同态。
因为 G 中所有元素都可以用 a 的次幂表示，自然ϕ为满射。
由同态基本定理得到： G≃Z/kerϕ。
试题集：抽象代数基础
1.在群论中，如果一个群G的运算满足结合律，那么对于所有a,b,c∈G，下列哪个等式总是成立的？o A. (a⋅b)⋅c=a⋅(b+c)o B. (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)o C. a⋅(b⋅c)=(a+b)⋅co D. a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)参考答案：B解析：群论中的结合律保证了(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)对于群G中的所有元素a,b,c都成立。
2.设R是一个环，如果R中存在一个元素e，对于所有a∈R，都有e⋅a=a⋅e=a，那么e被称为R的什么？o A. 零元o B. 逆元o C. 单位元o D. 生成元参考答案：C解析：在环R中，满足e⋅a=a⋅e=a的元素e被称为单位元。
3.在域F中，如果a,b∈F且a≠0，那么下列哪个选项总是成立的？o A. a⋅b=b⋅ao B. a+b=b+ao C. 存在c∈F使得a⋅c=1o D. 所有选项都成立参考答案：D解析：域F的定义包含了交换律、结合律、分配律以及每个非零元素都有乘法逆元的性质。
4.设G是一个群，如果G中所有元素的阶都是有限的，那么G被称为？o A. 无限群o B. 有限群o C. 循环群o D. 阿贝尔群解析：如果群G中所有元素的阶都是有限的，那么G被称为有限群。
5.在群G中，如果对于所有a,b∈G，都有a⋅b=b⋅a，那么G被称为？o A. 非交换群o B. 交换群o C. 循环群o D. 阿贝尔群参考答案：B 或 D解析：满足a⋅b=b⋅a的群被称为交换群或阿贝尔群。
6.设R是一个环，如果R中存在一个元素a，对于所有b∈R，都有a⋅b=b⋅a=0，那么a被称为R的什么？o A. 单位元o B. 零元o C. 逆元o D. 零因子参考答案：B解析：在环R中，满足a⋅b=b⋅a=0的元素a被称为零元。
7.在域F中，如果a∈F且a≠0，那么下列哪个选项描述了a的性质？o A. a没有乘法逆元o B. a有唯一的乘法逆元o C. a有多个乘法逆元o D. a的乘法逆元是a本身参考答案：B解析：域F中每个非零元素都有唯一的乘法逆元。
离散数学结构试题集5-6
第5章一.填空题1. 群中有唯一的（）。
2. 如果群运算是可交换的，则群为（）。
3. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y∈A，则称二元运算*在A上是（）。
4. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是（）。
5. 设★是定义在有理数集合Q上的二元运算，如果对于Q中任意的两个元素x,y，都有x★y=x+y-x*y，其中*表示普通乘法元算，则二元运算★在Q上是（）。
（填写可交互/不可交换）6. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y)*z=x*(y*z) ，则称二元运算*在A上是（）。
7. 设★是定义在非空集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y，则二元运算★在A上是（）。
（填写可结合/不可结合）8. 设*，★是定义在集合A上的两个二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y) ★z=（x★z）*(y★z)，z★(x*y)=(z★x)*(z★y),则称二元运算★对于*在A上是（）。
9. 设*，★是定义在集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y，都有x*(x★y)=x, x★(x*y)=x,则称二元运算*对于★在A上满足（）。
10. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x，都有x*x=x，则称二元运算*是（）。
11. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素el，对于A中任意的元素x，都有el*x=x，则称el为A中关于运算*的（）。
12. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素ol，对于A中任意的元素x，都有ol*x=x，则称ol为A中关于运算*的（）。
13. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素er，对于A中任意的元素x，都有x*erl =x，则称er为A中关于运算*的（）。