2018年广东省茂名市高考联考数学(理)试题(二)及答案

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广东省茂名市五大联盟学校2018届高三数学9月份联考试题理(含解析)

广东省茂名市五大联盟学校2018届高三数学9月份联考试题理（含解析）一、选择题1. 已知集合，，则中的元素的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】因为或，所以，应选答案C。

2. 已知，为虚数单位，，则( )A. 9B.C. 24D.【答案】A【解析】因为，所以，则，应选答案A。

3. 已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是( )A. B. 0 C. D.【答案】B【解析】由题设，故在上单调递增，则当时取最小值，应选答案B。

4. 已知，，，这三个数的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。

5. 设等比数列的前项和为，且，则( )A. 4B. 5C. 8D. 9【解析】由题设，，所以，应选答案B。

6. 设满足约束条件，则的最大值为( )A. 3B.C. 1D.【答案】A【解析】画出不等式组表示的区域如图，则问题转化为求动直线在上的截距的最小值的问题，结合图形可知：当动直线经过点时，，应选答案A。

7. 已知函数的最大值为3，的图象的相邻两条对称轴间的距离为2，与轴的交点的纵坐标为1，则( )A. 1B.C.D. 0【答案】D【解析】由题设条件可得，则，所以，将点代入可得，即，又，所以，应选答案D。

8. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为( )A. 80B. 84C. 88D. 92【解析】9. 在长方体中，，，，点在平面内运动，则线段的最小值为( )A. B. C. D. 3【答案】C【解析】由题意问题转化为求点到平面的距离，由于，所以边上的高，故三角形的面积为，又三棱锥的体积，所以，应选答案C。

10. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式，可化为，则问题转化为求函数的图像在函数下方，画出函数的图像及函数的图像，显然当不成立，故，结合图像当且仅当时满足题设，即，也即，应选答案D。

2018年高考广东卷理科数学试题及答案解析版精品

2018年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ， a y bx =- ，其中x ，y 表示样本均值．n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i -1．（B ）．22(1)11(1)(1)iz i i i i -===-++-2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．32．（C ）．A B ⋂的元素个数等价于圆221x y +=与直线y x =的交点个数，显然有2个交点 3．若向量,,a b c 满足a ∥b 且⊥a c ，则(2)⋅+=c a bA ．4B ．3C ．2D ．0 3．（D ）．依题意得⊥c a ，⊥c b ，则(2)20⋅+=⋅+⋅=c a b c a c b正视图图1 侧视图图24．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()()f x g x +是偶函数 B ．()()f x g x -是奇函数 C ．()()f xg x +是偶函数 D ．()()f xg x -是奇函数4．（A ）．由()f x 是偶函数、()g x 是奇函数，得()f x 和()g x 都是偶函数，所以()()f xg x +与()()f xg x -都是偶函数，()()f xg x +与()()f xg x -的奇偶性不能确定5．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA=⋅的最大值为A． B ． C ．4D ．3 5．（C ）．zy =+，即y z=+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y z =+经过点时，z 取得最大值，max24z == 6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12B ．35C ．23D ．346．（D ）．乙获得冠军的概率为111224⨯=，则甲队获得冠军的概率为13144-=7．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A． B． C． D．7．（B ）．该几何体是一个底面为平行四边形，高为3则33V Sh ===8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z ⋃=，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 8．（A ）．若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C 若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题） 9．不等式13x x +--≥0的解集是．9．[1,)+∞．13x x +--≥0 ⇒1x +≥3x -⇒2(1)x +≥2(3)x -⇒x ≥110．72()x x x -的展开式中，4x 的系数是（用数字作答） 10．84．72()x x x -的通项7821772()(2)r r r r r r r T xC x C x x --+=-=-，由824r -=得2r =，则227(2)84C -= 11．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k = ．11．10．方法1：由94S S =得93646d d +=+，求得16d =-，则4111(1)()13()066k a a k +=+-⨯-++⨯-=，解得10k =方法2：由94S S =得567890a a a a a ++++=，即750a =，70a =，即104720a a a +==，即10k =12．函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值． 12．2．2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或2x =，显然当0x <时()0f x '>；当02x <<时()0f x '<；当2x >时()0f x '>，函数32()31f x x x =-+在2x =处取得极小值 13．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm ． 13．185．设父亲的身高为x cm ，儿子的身高为y cm ，则根据上述数据可得到如下表格：上表中的最后一组(182,?)是预测数据，173,176x y ==12221()()00361033()niii nii x x y y bx x ==--++⨯===++-∑∑ ， 3a y bx =-=线性回归方程3y x =+，所以当182x =时，185y =，即他孙子的预测身高为185 cm ．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为sin xy θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (t ∈)R ，它们的交点坐标为___________．14．(1,5．sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(01)x y <≤≤，254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =图4COPBA22221(01)5450145x y x y x x x y x ⎧+=≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩或5x =-（舍去），又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为15．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B ，且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，BAC APB ∠=∠，则AB =___________．15由弦切角定理得PAB ACB ∠=∠，又BAC APB ∠=∠，则△PAB ∽△ACB ，则PB ABAB BC =，235AB PB BC =⋅=，即AB =三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求5()4f π的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值．16．解：（1）515()2sin()2sin 43464f ππππ=⨯-==（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α=16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12cos 13α==，4sin 5β==∴1235416cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=17．（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．17．解：（1）设乙厂生产的产品数量为a 件，则98145a =，解得35a =图5CDPAEFPF所以乙厂生产的产品数量为35件（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有2件是优等品由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为235145⨯=（件）（3）ξ可能的取值为0，1，223253(0),10C P C ξ=== 1123256(1),10C C P C ξ=== 22251(2),10C P C ξ===∴ξ的分布列为：∴3614012.1010105E ξ=⨯+⨯+⨯=18．（本小题满分13分）如图5，在锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的菱形，且60DAB ∠=，PA PD ==2PB =，,E F分别是BC ,PC 的中点．（1）证明：AD ⊥平面DEF ；（2）求二面角P AD B --的余弦值．18．（1）证明：取AD 的中点H ，连接,,PH BH BD ∵PA PD =，∴AD PH ⊥∵在边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=∴△ABD 是等边三角形 ∴AD HB ⊥，PH HB H = ∴AD ⊥平面PHB ∴AD PB ⊥∵,E F 分别是BC ,PC 的中点 ∴EF ∥PB ，HB ∥DE∴AD DE ⊥，AD EF ⊥，DE EF E = ∴AD ⊥平面DEF（2）解：由（1）知PH AD ⊥，HB AD ⊥ ∴PHB ∠是二面角P AD B --的平面角易求得PH BH ==∴2227334cos 27PH HB PB PHB PH HB +--+-∠====-⋅∴二面角P AD B --的余弦值为7-19．（本小题满分14分）设圆C与两圆22(4x y +=，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M，F ，且P 为L 上动点，求MP FP - 的最大值及此时点P 的坐标．19．解：（1）设(F F '，圆C 的半径为r ，则(2)(2)4CF CF r r '-=+--=< ∴C 的圆心轨迹L 是以,F F '为焦点的双曲线，2a =，c =1b =∴C 的圆心轨迹L 的方程为2214x y -=（2）2MP FP MF -≤== ∴MP FP - 的最大值为2如图所示，P 必在L 直线MF 的斜率2k =-:2MF y x =-+22142x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩215280x -+=6)0--=12x x ==∵P x >P x =，P y =∴MP FP - 的最大值为2，此时P 为(55-20．（本小题满分14分）设0b >，数列{}n a 满足1a b =，1122n n n nba a a n --=+-(2)n ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．20．（1）解：∵1122n n n nba a a n --=+-∴1122n n n a ba n a n --=+- ∴1211nn n n a b a b --=⋅+ ① 当2b =时，1112nn n n a a ---=，则{}n n a 是以12为首项，12为公差的等差数列∴11(1)22nn n a =+-⨯，即2n a = ② 当0b >且2b ≠时，11211()22n n n n a b b a b --+=+-- 当1n =时，122(2)nn a b b b +=--∴1{}2nn a b +-是以2(2)b b -为首项，2b 为公比的等比数列 ∴112()22n nn a b b b +=⋅-- ∴212(2)2(2)n n nn n n n b a b b b b b -=-=---∴(2)2n n nn n b b a b -=- 综上所述(2),02222nn nn n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩　且，（2）方法一：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，12212(2)(222)nnn n n n b b b b b -----=-++++1221222n nnn n n n n n b a b b b ----⋅=≤=++++111211112222222n n n n n n n n b b b b+++---++=====<=⋅1112n n b +++∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．方法二：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，要证1112n n n b a ++≤+，只需证11(2)122n n n nn nb b b b ++-≤+-，即证1(2)122n nn n n b b bb +-≤+- 即证1221112222n n n n n n n b b b bb ----+≤+++++ 即证122111()(222)2n n n n n n b b b b n b ----++++++≥即证2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b nb b b b ---+-+++++++++≥ ∵2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b b b b b ---+-+++++++++ 2121232111222()()()()2222n n n n n n n n b b b b b b b b ----+=++++++++n≥+= ，∴原不等式成立∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：214y x =．实数,p q 满足24p q -≥0，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max{,}p q x x ϕ=．（1）过点2001(,)4A p p 0(0)p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ=；（2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240a b ->，0a ≠．过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为2111(,)4E p p ，2221(,)4E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '．线段EF 上异于两端点的点集记为X ．证明：112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）设{(,)|D x y y =≤1x -，y ≥215(1)}44x +-．当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值（记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）21．解：（1）2001(,)4A p p 是抛物线L 上的点，12y x '=，则切线的斜率012k p = 过点A 的抛物线L 的切线方程为AB ：200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-∵(,)Q p q 在线段AB 上，∴2001124q p p p =-，∴22220001144()()24p q p p p p p p -=--=-≥0不妨设方程20x px q -+=的两根为1x =，2x =则12p p p x --=，22p p p x +-=① 当00p >时，00p p ≤≤，001222p p p x p -==-，022px =∵00122p p x -<≤，∴12x x ≤，∴122(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =② 当00p <时，00p p ≤≤，012p x =，002222p p px p -==-∵00222p px ≤<-，∴12x x ≥，∴121(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =综上所述，对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有(,)2p p q ϕ=（2）由（1）知抛物线L 在2001(,)4p p 处的切线方程为2001124y p x p =-，即200240p p x y -+=∵切线恒过点(,)M a b ，则200240p ap b -+=，∴1,2p a =① 当0a >时，(,)M a b X ∈⇔10a p <<⇔1p a =+2p a =⇔12p p >② 当0a <时，(,)M a b X ∈⇔10p a <<⇔1p a =-2p a =⇔12p p >综合①②可得(,)M a b X ∈⇔12p p >∵由（1）可知，若2111(,)4E p p ，点(,)M a b 在线段EF 上，有1(,)2p a b ϕ=∴(,)M a b X ∈⇒1(,)2p a b ϕ=③由（1）可知，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12p a -，21,22p x =或22pa -若1(,)2p a b ϕ=，即112max{,}2px x =则1122p a p -≥、 2122p p ≥、 2122p a p -≥∴12p p >∴1(,)2p a b ϕ=⇒12||||p p >⇒(,)M a b X ∈ ④综合③④可得(,)M a b X ∈⇔1(,)2p a b ϕ=综上所述112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）由2115(1)44y x y x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，求得两个交点(0,1),(2,1)- 则02p ≤≤，过点(,)G p q 作抛物线L 的切线，设切点为N2001(,)4x x ，切线与y 轴的交点为H由（2）知200240x px q -+=，解得0x p =，①若0x p =，则点(,)G p q 在线段NH 上由1y x ≤-，得1q p ≤-，∴022x p p p p =+≥=+-=，∴m min in )12(x ϕ==．由215(1)44y x ≥+-，得221511(1)14442q p p p ≥+-=+-∴2442p q p -≤-，∴0x p p =++t =，则2122p t =-+，02t ≤≤∴22011552(1)2222x t t t ≤-++=--+≤∴0max max 5)24(x ϕ==②若0x p =，则点(,)G p q 在线段NH 的延长线上方程20x px q -+=的两根为12p p x x --=，22p p x x +-=即01,22x x =或02xp -∵0x p ≤∴00012(,)max{,}max{,}222x x xp q x x p p ϕ==-=-p ==，同理可得51(,)4p q ϕ≤≤综上所述min 1ϕ=，max 54ϕ=。

2018年广东省省际名校(茂名市)高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2018年广东省省际名校（茂名市）高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，B＝{x|a＜x＜a+1}，若A∩B＝∅，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，4]C．（3，4）D．[3，4]2．（5分）若，则＝（）A．B．C．D．3．（5分）设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A．y＝在R上为减函数B．y＝|f（x）|在R上为增函数C．y＝2﹣f（x）在R上为减函数D．y＝﹣[f（x）]3在R上为增函数4．（5分）投掷两枚质地均匀的正方体骰子，将两枚骰子向上点数之和记作S．在一次投掷中，已知S是奇数，则S＝9的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则＝（）A．2B．3C．6D．126．（5分）以（0，b）为圆心，a为半径的圆与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线相离，则C的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，）D．（，+∞）7．（5分）S n是数列{a n}的前n项和，且对∀n∈N*都有2S n＝3a n+4，则S n＝（）A．2﹣2×3n B．4×3n C．﹣4×3n﹣1D．﹣2﹣2×3n﹣1 8．（5分）某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．9．（5分）执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）A．B．C．D．10．（5分）《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理：“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等．如图，设满足不等式组的点（x，y）组成的图形（图（1）中的阴影部分）绕y轴旋转180°，所得几何体的体积为V1；满足不等式组，的点（x，y）组成的图形（图（2）中的阴影部分）绕y轴旋转180°，所得几何体的体积为V2．利用祖暅原理，可得V1＝（）A．B．C．32πD．64π11．（5分）不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X的数学期望是（）A．B．C．D．12．（5分）记函数f（x）＝sin2nx﹣cos nx在区间[0，π]内的零点个数为，则数列{a n}的前20项的和是（）A．430B．840C．1250D．1660二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z＝1+3i，则|z2|＝．14．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的所有取值的集合是．15．（5分）以坐标原点O为圆心的圆与抛物线及其准线y2＝4x分别交于点A，B和C，D，若|AB|＝|CD|，则圆O的方程是．16．（5分）若对任意的x＞0，不等式x2﹣2（m2+m+1）lnx≥1恒成立，则m＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝2sin C，2b＝3c．（1）cos C；（2）若∠B的平分线交AC于点D，且△ABC的面积为，求BD的长．18．（12分）某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：数据表明y与x之间有较强的线性关系．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据：回归直线的系数，．，P（K2≥6.635）＝0.01，P（K2≥10.828）＝0.01．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠A1AB＝∠A1AD．（1）证明：四边形BB1D1D为矩形；（2）若AB＝A1A，∠BAD＝60°，A1A与平面ABCD所成的角为30°，求二面角A1﹣BB1﹣D的余弦值．20．（12分）设椭圆的离心率为，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为．（1）求E的方程；（2）过E的左焦点F1作直线l1与E交于A，B两点，过右焦点F2作直线l2与E交于C，D两点，且l1∥l2，以A，B，C，D为顶点的四边形的面积，求l1与l2的方程．21．（12分）已知f（x）＝lnx﹣ax+a，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若有三个不同的零点，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t 为参数）．（1）若，求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C有两个不同的交点A，B，且P（2，1）为AB的中点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）求函数f（x）的最小值a；（2）根据（1）中的结论，若m3+n3＝a，且m＞0，n＞0，求证：m+n≤2．2018年广东省省际名校（茂名市）高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，B＝{x|a＜x＜a+1}，若A∩B＝∅，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，4]C．（3，4）D．[3，4]【解答】解：集合＝{x|x2﹣8x+15＞0}＝{x|x＜3或x＞5}，B＝{x|a＜x＜a+1}；若A∩B＝∅，则3≤a且a+1≤5，解得3≤a≤4，∴a的取值范围为[3，4]．故选：D．2．（5分）若，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：若，则＝﹣cos（）＝﹣．故选：D．3．（5分）设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A．y＝在R上为减函数B．y＝|f（x）|在R上为增函数C．y＝2﹣f（x）在R上为减函数D．y＝﹣[f（x）]3在R上为增函数【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于函数f（x）＝x，y＝＝，在R上不是减函数，A错误；对于B，对于函数f（x）＝x，y＝|f（x）|＝|x|，在R上不是减函数，B错误；对于C，令t＝f（x），则y＝2﹣f（x）＝（）f（x）＝（）t，t＝f（x）在R上为增函数，y＝（）t在R上为减函数，则y＝2﹣f（x）在R上为减函数，C正确；对于D，对于函数f（x）＝x，y＝﹣[f（x）]3＝﹣x3，在R上是减函数，D错误；故选：C．4．（5分）投掷两枚质地均匀的正方体骰子，将两枚骰子向上点数之和记作S．在一次投掷中，已知S是奇数，则S＝9的概率是（）A．B．C．D．【解答】投掷两枚质地均匀的正方体骰子，将两枚骰子向上点数之和记作S．在一次投掷中，S是奇数，基本事件有18个，分别为：（1，2），（2，1），（1，4），（4，1），（1，6），（6，1），（2，3），（3，2），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3），（3，5），（5，3），（6，3），（3，6），（4，5），（5，4），S＝9包含的基本事件有4个，分别为：（4，5），（5，4），（3，6），（6，3），∴S＝9的概率是p＝＝．故选：B．5．（5分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则＝（）A．2B．3C．6D．12【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴AC＝AE＝CE＝2，，∠CAE＝60°，∴＝＝2×2×cos60°＝6．故选：C．6．（5分）以（0，b）为圆心，a为半径的圆与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线相离，则C的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线：by＝±ax，以（0，b）为圆心，a为半径的圆与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线相离，可得：，可得：c2﹣a2＞ac，可得e2﹣e﹣1＞0，e＞1，解得：e．故选：B．7．（5分）S n是数列{a n}的前n项和，且对∀n∈N*都有2S n＝3a n+4，则S n＝（）A．2﹣2×3n B．4×3n C．﹣4×3n﹣1D．﹣2﹣2×3n﹣1【解答】解：∵2S n＝3a n+4，则2S n＝3（S n﹣S n﹣1）+4，变形为：S n﹣2＝3（S n﹣1﹣2），n＝1时，2S1＝3S1+4，解得S1＝﹣4，S1﹣2＝﹣6．∴数列{S n﹣2}是等比数列，首项为﹣6，公比为3．∴S n﹣2＝﹣6×3n﹣1，可得：S n＝2﹣2×3n．故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：S﹣ABC，是正方体的一部分，是三棱锥，正方体的棱长为：4，几何体是体积为：V＝＝．故选：A．9．（5分）执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知可得：i用来统计随机产生的n个点（x，y）中满足x2+y2＜1的点的个数，其中x，y∈（0，1），故≈，故选：C．10．（5分）《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理：“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等．如图，设满足不等式组的点（x，y）组成的图形（图（1）中的阴影部分）绕y轴旋转180°，所得几何体的体积为V1；满足不等式组，的点（x，y）组成的图形（图（2）中的阴影部分）绕y轴旋转180°，所得几何体的体积为V2．利用祖暅原理，可得V1＝（）A．B．C．32πD．64π【解答】解：用任意一个与y轴垂直的平面去截这两个旋转体，设截面与原点的距离为h，所得截面面积分别为S1，S2，把y＝h代入x2﹣4y＝0可得x＝±2．∴S1＝16π﹣4hπ，把y＝h代入x2+y2＝16可得x＝±，把y＝h代入x2+（y﹣2）2＝4可得x＝±＝，∴S2＝π（16﹣h2）﹣π（4h﹣h2）＝16π﹣4πh，∴S1＝S2，由祖暅原理可知V1＝V2＝﹣＝32π．故选：C．11．（5分）不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X的数学期望是（）A．B．C．D．【解答】解：不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X的可能取值为2，3，4，5，6，7，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝+＝，P（X＝4）＝++＝，P（X＝5）＝+++＝，P（X＝6）＝++++＝，P（X＝7）＝×1+×1+×1+×1+×1+＝，∴摸取次数X的数学期望：E（X）＝+6×＝．故选：D．12．（5分）记函数f（x）＝sin2nx﹣cos nx在区间[0，π]内的零点个数为，则数列{a n}的前20项的和是（）A．430B．840C．1250D．1660【解答】解：设f（x）＝0，可得：sin2nx＝cos nx，即2sin nx cos nx＝cos nx，即cos nx＝0或sin nx＝，可得nx＝kπ+，k∈Z；nx＝2lπ+或nx＝2lπ+，l∈Z，由于x∈[0，π]，当n＝1时，a1＝1+2＝3；当n＝2时，a2＝2+2＝4；当n＝3时，a3＝3+4＝7；当n＝4时，a4＝4+4＝8；当n＝5时，a5＝5+6＝11；当n＝6时，a6＝6+6＝12；…，可得数列{a n}的前20项的和为（1+2+3+4+...+20）+（2+4+6+8+...+20）+（2+4+6+8+ (20)＝×20×21+×10×22×2＝210+220＝430．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z＝1+3i，则|z2|＝5．【解答】解：由（1+i）z＝1+3i，得z＝，∴|z2|＝．故答案为：5．14．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的所有取值的集合是{﹣2，﹣1，1，2}．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，可行域为点（0，1），（1，1），（1，0），（2，0），当直线z＝x﹣2y分别过上述四个点时，z对应的值分别为﹣2，﹣1，1，2，∴z＝x﹣2y的所有取值的集合是：{﹣2，﹣1，1，2}．故答案为：{﹣2，﹣1，1，2}．15．（5分）以坐标原点O为圆心的圆与抛物线及其准线y2＝4x分别交于点A，B和C，D，若|AB|＝|CD|，则圆O的方程是x2+y2＝5．【解答】解：设圆O的方程为x2+y2＝r2，（r＞0），y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，代入圆O方程可得y2＝r2﹣1，则弦长为|CD|＝2，由抛物线和圆的对称性可得设AB：x＝t（t＞0），代入圆的方程可得y2＝r2﹣t2，可得|AB|＝2，由|AB|＝|CD|，解得t＝1，将x＝1代入抛物线方程可得y2＝4，解得y＝±2，则弦长为4，解得r＝，则圆O的方程为x2+y2＝5，故答案为：x2+y2＝5．16．（5分）若对任意的x＞0，不等式x2﹣2（m2+m+1）lnx≥1恒成立，则m＝0或﹣1．【解答】解：设m2+m+1＝t，令f（x）＝x2﹣2tlnx﹣1，则f′（x）＝2x﹣．当t＜0时，f′（x）＞0，则f（x）在定义域内单调递增，不存在最值，对任意的x＞0，不等式不恒成立．当t＞0时，f′（x）＝0，可得x＝，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，可得当x＝取得最小值为t﹣tlnt，即t﹣tlnt≥1．令g（t）＝t﹣tlnt﹣1．（t＞0）则g′（t）＝﹣lnt，令g′（t）＝﹣lnt＝0，可得t＝1．当0＜t＜1时，f′（t）＞0，则f（t）在（0，1）单调递增；当t＞1时，f′（t）＜0，则f（t）在（1，+∞）单调递减；当t＝1取得最大值为1．要使即t﹣tlnt≥1成立，则t＝1，即m2+m+1＝1，解得m＝0或m＝﹣1，故答案为：0或﹣1三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝2sin C，2b＝3c．（1）cos C；（2）若∠B的平分线交AC于点D，且△ABC的面积为，求BD的长．【解答】解：（1）∵sin A＝2sin C，∴a＝2c．又∵2b＝3c．∴．（2）由，可得：．设△ABC的面积为S，∴，∴c2＝4，c＝2．则a＝4，b＝3．∵BD为∠B的平分线，∴，∴CD＝2AD．又CD+AD＝3．∴CD＝2，AD＝1．在△BCD中，由余弦定理可得：，∴．18．（12分）某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：数据表明y与x之间有较强的线性关系．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据：回归直线的系数，．，P（K2≥6.635）＝0.01，P（K2≥10.828）＝0.01．【解答】解：（1）由题意可知，故＝.，故回归方程为．（2）将x＝110代入上述方程，得．（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30，36．抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人．于是可以得到2×2列联表为：于是，因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠A1AB＝∠A1AD．（1）证明：四边形BB1D1D为矩形；（2）若AB＝A1A，∠BAD＝60°，A1A与平面ABCD所成的角为30°，求二面角A1﹣BB1﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接A1B，A1D，A1O．∵∠A1AB＝∠A1AD，AB＝AD，∴A1B＝A1D．又O为BD的中点，∴AO⊥BD，A1O⊥BD．∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥AA1．∵BB1∥AA1，∴BD⊥BB1．又四边形BB1D1D是平行四边形，则四边形BB1D1D为矩形．（2）解：过点A1作A1E⊥平面ABCD，垂足为E，由已知可得点E在AC上，∴∠A1AC＝30°．设AB＝A1A＝1，则．在菱形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝60°，∴．∴点E与点O重合，则A1O⊥平面ABCD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则．∴．设平面A1BB1的法向量为，则，∴即取x＝1，可得为平面A1BB1的一个法向量．同理可得平面BB1D的一个法向量为．∵．所以二面角A1﹣BB1﹣D的余弦值为．20．（12分）设椭圆的离心率为，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为．（1）求E的方程；（2）过E的左焦点F1作直线l1与E交于A，B两点，过右焦点F2作直线l2与E交于C，D两点，且l1∥l2，以A，B，C，D为顶点的四边形的面积，求l1与l2的方程．【解答】解：（1）由已知得，解得，∴椭圆E的方程为．（2）设l2：x＝my+1，代入得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则.．设l1的方程为x＝my﹣1，则AB与CD之间的距离为．由对称性可知，四边形为平行四边形，∴．令，则m2+2＝t2+1，∴，即，解得或（舍），∴m＝±1．故所求方程为l1：x﹣y+1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0或l1：x+y+1＝0，l2：x+y﹣1＝0．21．（12分）已知f（x）＝lnx﹣ax+a，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若有三个不同的零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知f（x）的定乂域为（0，+∞），又，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立；当a＞0时，令f'（x）＞0得；令f'（x）＜0得．综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞0时，f（x）在上为增函数，在上为减函数．（2）由题意，则，当a≤1时，∵，∴g（x）在（0，+∞）上为增函数，不符合题意．当a＞1时，，令φ（x）＝x2﹣（1+a）x+1，则△＝（1+a）2﹣4＝（a+3）（a﹣1）＞0．令φ（x）＝0的两根分别为x1，x2且x1＜x2，则∵x1+x2＝1+a＞0，x1•x2＝1＞0，∴0＜x1＜1＜x2，当x∈（0，x1）时，φ（x）＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（0，x1）上为增函数；当x∈（x1，x2）时，φ（x）＜0，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（x1，x2）上为减函数；当x∈（x2，+∞）时，φ（x）＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（x2，+∞）上为增函数．∵g（1）＝0，∴g（x）在（x1，x2）上只有一个零点1，且g（x1）＞0，g（x2）＜0．∴＝＝．∵，又当x∈[x1，1）时，g（x）＞0．∴∴g（x）在（0，x1）上必有一个零点．∴．∵2a+2＞1，又当x∈（1，x2]时，g（x）＜0，∴2a+2＞x2．∴g（x）在（x2，+∞）上必有一个零点．综上所述，故a的取值范围为（1，+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t 为参数）．（1）若，求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C有两个不同的交点A，B，且P（2，1）为AB的中点，求|AB|．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：x+y﹣3＝0，曲线C的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为y2＝2x．（2）把代入抛物线方程y2＝2x得t2sin2α+2t（sinα﹣cosα）﹣3＝0（*），设A，B所对应的参数为t1，t2，则．∵P（2，1）为AB的中点，∴P点所对应的参数为，∴sinα﹣cosα＝0，即．则（*）变为，此时，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）求函数f（x）的最小值a；（2）根据（1）中的结论，若m3+n3＝a，且m＞0，n＞0，求证：m+n≤2．【解答】（1）解：f（x）＝|x+1|+|x﹣1|≥|x+1﹣（x﹣1）|＝2，当且仅当﹣1≤x≤1时取等号，所以f（x）min＝2，即a＝2．（2）证明：假设：m+n＞2，则m＞2﹣n，m3＞（2﹣n）3．所以m3+n3＞（2﹣n）3+n3＝2+6（1﹣n）2≥2．①由（1）知a＝2，所以m3+n3＝2．②①与②矛盾，所以m+n≤2．。

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2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）=95.44%) 5. （5分）数学文化《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八^一 ”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯.A . 24 B. 48 C. 12 D . 606. （5分）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•）1. （5 分）若集合 A={x|x 2-2x -3V 0}，B={ - 1, 0，1，2}，则 A H B=（A . { - 1，0，1，2} B. {x| - 1v x v 3} C. {0，1，2} D . { - 1，0，1}2. （5分）已知复数z 满足（z - i ） i=2+i ，i 是虚数单位，则| z| =（） A. 「B. ： C. !■3. （5分）已知变量x ， A . 12 B. 11 C. 34. （5 分）设 X 〜N （1， D . 3D .- 14，则z=3x+y 的最大值为（ 1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若 X 〜N （ LL, 0）,贝U P （ Li- oV X v H + 0 =68.26% P （ — 2ov v ABCD(j+2 y 满足约束条件。

1 2 x A . .7539 B . 6038 C. 7028 D . 6587A .丙被录用了B.乙被录用了C•甲被录用了D.无法确定谁被录用了CS值是2 2三7丄7二1 上的点，F i，F2是其焦点，且,bPF1丄PF2,若厶PF1F2的面积是1,且a+b=3，则双曲线的离心率为（）A. .2 B•几C.二D.二9. （5分）设P是双曲线10. （5分）已知△ ABC的三个内角A,B、C的对边分别为a、b、c,若2sin （上11. （5分）三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（A.心兀B.殳亦兀|C.也兀D.厶迁开12. （5分）定义在R上的奇函数f （x）满足条件f （1+x）=f （1 - x）,当x€ ［0, 1］时，f（x）=x,若函数g（x）=|f （x）| - ae-lxl在区间［-2018, 2018］上有4032 个零点，则实数a的取值范围是（）A. (0, 1)B. (e, e3)C. (e, e2)D. (1, e3)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13. （5 分）已知’>1,1, . '1. '■，若-■，则入_____________________ .14. _______________________________________________________ （5分）在（1 - x）2（1 - . ■：）4的展开式中，x2的系数是___________________ .15. （5 分）已知函数f （x）=4sin w- sin2（斗吕-）-2sin23x（3> 0）在区间2 4-—一气一一上是增函数，且在区间［0, x］上恰好取得一次最大值，则w的取值范围是________________ .16. （5分）从抛物线x2=4y的准线I上一点P引抛物线的两条切线PA PB,且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为丄，则P点的横坐标为______________6=1,且a=2,则厶ABC的面积的最大值为（、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤•17. （12分）设正项等比数列｛a n｝，a4=81，且a2，a3的等差中项为—丨二一二. （I）求数列｛a n｝的通项公式；（II）若b n=log3a2n-i，数列｛b n｝的前n项和为S n,数列｛匚」满足cj―-——，T n 为数列｛c n｝的前n项和，若T n V入恒成立，求入的取值范围.18. （12 分）女口图，在四棱锥P—ABCD中，PC丄底面ABCD AD// BC,AD=2BC=2PC=2 △ ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点.（I）求证：平面EACL平面PCD（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.D A19. （12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率A1 上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10% A2 上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20% A3 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30% A4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10% A6 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30% 某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：类型A i A A A4 A A 数量20 10 10 30 20 10以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（I）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a=950（元），记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；（II）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望值.20. （12分）已知椭圆C1：芝+M二1（（a＞b＞0））的一个焦点为F1© 后），且经过点P丄.:，.（I）求椭圆C的标准方程；（II）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的入倍（心1），过点C（- 1, 0）的直线I与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若＜'■，求厶OAB面积取得最大值时直线I的方程.21. （12分）已知函数益（£二1世吃卅十（a€ R）.（I）讨论g （x）的单调性；（II）当0＜戸＜丄时，函数f （7二曙（玄）-（号■十2）£-x在其定义域内有两个不同的极值点，记作X1，X2，且X1 v X2，若m》1，证明：：.・J ‘ I请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.［选修4-4：坐标第5页（共25页）系与参数方程选讲］22. ( 10分)在直角坐标系xOy中，直线I倾斜角为a其参数方程为J：_ ' H，'l-y=tsin<l(t为参数)，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位)，曲线C的极坐标方程为p- 4cos 0 =0(I)若直线I与曲线C有公共点，求直线I倾斜角a的取值范围；(II)设M (x，y)为曲线C上任意一点，求x+的取值范围.［选修4-5:不等式选讲］23. 已知函数f (x) =|x-3| -|x+5| .(I )求不等式f (x)> 2的解集；(U)设函数f (x)的最大值为M，若不等式x2+2x+m< M有解，求m的取值范围.2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. （5 分）若集合A={x|x2-2x-3V 0}，B={ - 1, 0, 1, 2}，则A H B=（）A. { - 1，0，1，2}B. {x| - 1v x v 3}C. {0，1，2}D. { - 1，0，1}【解答】解：集合A={x| x2- 2x- 3v 0} ={x| —1 v x v 3}，B={ - 1, 0, 1, 2}，则A H B={0, 1 , 2}. 故选：C.2. （5分）已知复数z满足（z- i）i=2+i, i是虚数单位，则| z| =（）A. 「B. ：C. !■D. 3【解答】解：由（z- i）i=2+i，得z- i=丄_』丄 -'-■八，1-i2••• z=1- i,则|z|八：…-.故选：A.3. （5分）已知变量x, y满足约束条件.■:,则z=3x+y的最大值为（A. 12B. 11C. 3D.- 1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y 得y= - 3x+z,平移直线y=- 3x+z,由图象可知当直线y=-3x+z,经过点A时, 直线的截距最大，此时z 最大.即A ( 1 , 2),此时 Z max =3X 3+2=11,4. (5分)设X 〜N (1,1),其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( ) (注：若 X 〜N ( ^, d 2),贝U P (厂 o<X v p+ o) =68.26% P (厂 2 eV X v p+2 o) =95.44%)A . .7539B . 6038 C. 7028 D . 6587【解答】解：：X 〜N (1 , 1), A p = 1 o =1 p+o =2••• P ( p- o< X Vp +d =68.26%, •••则 P (0< X v 2) =68.26%则 P (1 < X v 2) =34.13%,A 阴影部分的面积为：0.6587.A 正方形ABCD 中随机投掷10000个点,贝U 落入阴影部分的点的个数的估计值是 6587.故选：D5. （5分）数学文化《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：ly=2故选：B.远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八^一 ”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯. A . 24 B. 48 C. 12 D . 60【解答】解：根据题意，设最底一层有a 盏灯，则由题意知从下而上，第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a 为首项，以丄为公比的等比数列， a<l-4r ） 2 f又由 S= | =381，解可得a=192,即该塔中间一层有24盏灯；故选：A .6. （5分）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A .丙被录用了 B.乙被录用了C •甲被录用了 D.无法确定谁被录用了【解答】解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，贝U 丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立.故选：C.贝Ua =axC【解答】解：T f (- x) =- f (x),可得f (x)为奇函数，排除B, 上吕v 1，排除A.3当x>0时，厂」-一，* 1-1,•••在区间(1, +X)上f (x)单调递別3增，排除D,故选C.8. (5分)执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是( )【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知: 初始 S=2 当 k=0 时，S D =- 1, k=1 时，Si^-, 同理 S 2=2, S3= - 1, 9二,…，2可见S n 的值周期为3.•••当 k=2017 时，Qoi7=Si4,2k=2018,退出循环.输出2故选：A .2 29. （5分）设P 是双曲线务三二1 （匸＞0,上的点，F1,巨是其焦点，且/ bPF 丄PF 2,若厶PFF 2的面积是1,且a+b=3，则双曲线的离心率为（ L D .2【解答】解：方法一：设|PF|=m , |P 巨|= n ,由题意得••• Rt A PFF 2中，根据勾股定理得 m 2+n 2=4c 2• ( m - n ) 2=m 2+n 2 —鸟口门二厶匕―4, 结合双曲线定义，得（m - n ） 2=4a i 2, • 4C 2 — 4=4a 2，化简整理得 C 2 - a 2=1，即 b 2=1, 则 b=1，由 a+b=3，得 a=2,所以 c= . | = ■,故选C .on2•该双曲线的离心率为 A . .2 B.仃 C. 由PF 丄PF 2, △ PFF 2的面积是1,方法二：由双曲线的焦点三角形的面积公式b 2S=-,/ F i Pb=B,由 PF 丄PR ，贝U/ F i PR=90°,2贝仏际的面积S =^L =b —1,由 a+b=3,得 a=2,所以 c=：.二 ",n=1，得 mn=2,•该双曲线的离心率为e故选c.10. （5分）已知△ ABC的三个内角A, B、C的对边分别为a、b、c,若2sinA兀€TT兀）、2 &A 兀.2 S6，,2兀.又a=2,由余弦定理得：4=圧+呂-2bc，L |，即4=圧乜2+匕0 根据基本不等式得：4=2+心2b沁=3bc.即脣丄当且仅当b=c时，等号成立.△ ABC面积S丄bcsinA wL・■! 迟=塔（当且仅当b=c时，等号成立）2 23 2 3•••△ ABC的面积的最大值工二.3故选：B.11. （5分）三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（）A. 4眄71B. 2逅兀c. Q近几D.昭◎开【解答】解析：三棱锥的直观图如图，以△ PBC所在平面为球的截面,则截面圆O i的半径为当•—二1,以4 ABC所在平面为球的截面，2 sin6 0°=1,且a=2,则厶ABC的面积的最大值为（c宇D.胡【解答】解2sin（A. ；A|兀2丨&)=1, A€(0, n),2 23 2则球的半径R为，丄所以球的体积为生兀x 駅）'=必兀.<3故选：A.12. (5分)定义在R上的奇函数f (x)满足条件f (1+x) =f( 1 - x),当x€ ［0,1］时，f(x) =x,若函数g(x) =|f (x) | - ae-lxl在区间［-2018, 2018］上有4032 个零点，则实数a的取值范围是( )A. (0, 1)B. (e, e3)C. (e, e2)D. (1, e3)【解答】解：••• f (x)满足条件f (1+x) =f (1 - x)且为奇函数，函数f (x) =f (2 - x) = - f (- x)••• f (- x) =f (2+x) ? f (x+4) =f (x)二f (x)周期为4,•••当x€ ［ 0, 1］时，f (x) =x，根据m (x) =| f (x) | 与n (x) =ae-|x|图象, 函数g (x) =|f (x) | - ae-|x|在区间［-2018, 2018］上有4032 个零点，即m (x) =| f (x) |与n (x) =ae-|x|在［0, 4］有且仅有两个交点，.$⑴⑴…IT!⑶对⑶ 即e v a v e3.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13-（5分）已知，>!,：_, . | 1 . ■ ■，若■，则入=亍【解答】解：2）, b=（-l, A），；丄1，.•."=—1+2入=0解得入二.2故答案为：丄.14. （5分）在（1 - x）2（1 - /・：）4的展开式中，x2的系数是-10 .【解答】解：（1-x）2（1-换）4= （1-2X+X2）（1-4冷中-町航）'+x2）••• x2的系数=1 - 2 +1 = - 10.故答案为：-10.15. （5 分）已知函数f （x）=4sin w- sin2（斗吕-）-2sin23x（3>0）在区间2 4［弓，竽］上是增函数，且在区间［0, x］上恰好取得一次最大值，则w的取值范围是_.【解答】解：f （x）=4sin w - sin2（斗^） - 2sin2wx2 4=4s in -2sin2wx=2sin wx( 1+sin w) - 2sin2wx =2sin w，即：f （x）=2sin w，•••［-钱，手］是函数含原点的递增区间.乂心z W又•••函数在［丰:晋］上递增「［昜总］3［手即,切线PB 的方程为y -电一三 4 2 (x -x ),即 •••得不等式组又••• 3> 0,• ■3 ^―,3又函数在区间［o , n 上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知CDx=2k+, k € Z ,2即函数在x 迦L +匹处取得最大值，可得0W 工 W n,W 20)2W综上，可得I I H' •故答案是：［寺，壬］.16. (5分)从抛物线x 2=4y 的准线I 上一点P 引抛物线的两条切线PA PB,且A 、 B 为切点，若直线AB 的倾斜角为丄，则P 点的横坐标为6【解答】解：如图，设 A (x i , y i ) , B (x 2, y 2), P (x o ,- 1),22| K1 七|• T 4- 4，…又•••o 52V♦ 产4，…J ■去7 -2 由x 2=4y ，得 •切线PA 的方程为切线PB 的方程为y - y 2y — yi=-T (x — x i ),(x-X 2),- 盖1 42(x — x i ),即兄］‘一2工［Z+4尸0 ；即切线PA 的方程为y -2•••点P (x o,- 1)在切线PA PB上，…巧Q_4=0，耳2'—2区2尤Q_4=0，可知x i, x2是方程x2- 2x o x - 4=0的两个根,三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤•17. (12分)设正项等比数列｛a n｝，a4=81，且a2，a3的等差中项为专(.且、十且」•(I)求数列｛a n｝的通项公式；(II)右b n=log3a2n-1，数列｛ b n｝的前n项和为S n，数列｛c ］彳两足匚二~ ，T n□n4为数列｛c n｝的前n项和，若T n V汕恒成立，求入的取值范围.【解答】解：(I)设等比数列｛a n｝的公比为q (q>0)，3= a. i q =S1ajq+ajq 二3（N］十吕］q）所以由题意，得*••• （2 分）解得丿••• （3 分）X l+X2=2x o，得（II ）由（I ）得 I ■ j :n （b ［亠％） q ----------- ———订 2n ［l+（2n-l ） 1 a 二 ---------- ------------n2irl=2n-l（5 分） ••• （6 分）18. （12 分）女口图，在四棱锥P—ABCD中，PC丄底面ABCD AD// BC, AD=2BC=2PC=2 △ ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点.（I）求证：平面EACL平面PCD（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.【解答】证明：（I）：PC丄底面ABCD AC?底面ABCD二PCX AC,由题意可知，AD / BC,且AD=2BC=2△ ABC是等腰直角三角形，••• AC=，CD= ，•••（2 分）••• CE2+AC2=AD2，即卩AC丄CD, •••（3 分）又••• PCH CD=C …（4 分）••• AC丄平面PCD, ••- （5 分）：AC?平面EAC二平面EAC X平面PCD ••- （6分）解：（II）解法1:由（1）得平面EAC X平面PCD 平面EACH平面PCD=EC 作PH丄EC,则PH丄平面EAC, •••（8分）••• PA与平面EAC所成角为/ PAH, •••（9分）在Rt A PAC中, PA=,若恒成立，则恒成立，则，所以…（12 分）18. （12 分）女口图，在四棱锥P—ABCD中，PC丄底面ABCD AD// BC,AD=2BC=2PC=2 △ ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点.（I）求证：平面EACL平面PCD（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.【解答】证明：（I）：PC丄底面ABCD AC?底面ABCD二PCX AC,由题意可知，AD / BC,且AD=2BC=2△ ABC是等腰直角三角形，••• AC=，CD= ，•••（2 分）••• CE2+AC2=AD2，即卩AC丄CD, •••（3 分）又••• PCH CD=C …（4 分）••• AC丄平面PCD, ••- （5 分）：AC?平面EAC二平面EAC X平面PCD ••- （6分）解：（II）解法1:由（1）得平面EAC X平面PCD 平面EACH平面PCD=EC 作PH丄EC,则PH丄平面EAC, •••（8分）••• PA与平面EAC所成角为/ PAH, •••（9分）若恒成立，则恒成立，在Rt A PAC中, PA=,则，所以…（12 分）18. （12 分）女口图，在四棱锥P—ABCD中，PC丄底面ABCD AD// BC,AD=2BC=2PC=2 △ ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点.（I）求证：平面EACL平面PCD（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.【解答】证明：（I）：PC丄底面ABCD AC?底面ABCD二PCX AC,由题意可知，AD / BC,且AD=2BC=2△ ABC是等腰直角三角形，••• AC=，CD= ，•••（2 分）••• CE2+AC2=AD2，即卩AC丄CD, •••（3 分）又••• PCH CD=C …（4 分）••• AC丄平面PCD, ••- （5 分）：AC?平面EAC二平面EAC X平面PCD ••- （6分）解：（II）解法1:由（1）得平面EAC X平面PCD 平面EACH平面PCD=EC 作PH丄若恒成立，则恒成立，EC,则PH丄平面EAC, •••（8分）••• PA与平面EAC所成角为/ PAH, •••（9分）在Rt A PAC中, PA=,则，所以…（12 分）18. （12 分）女口图，在四棱锥P—ABCD中，PC丄底面ABCD AD// BC, AD=2BC=2PC=2 △ ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点.（I）求证：平面EACL平面PCD（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.【解答】证明：（I）：PC丄底面ABCD AC?底面ABCD二PCX AC,由题意可知，AD / BC,且AD=2BC=2△ ABC是等腰直角三角形，••• AC=，CD= ，•••（2 分）••• CE2+AC2=AD2，即卩AC丄CD, •••（3 分）又••• PCH CD=C …（4 分）••• AC丄平面PCD, ••- （5 分）若恒成立，则恒成立，：AC?平面EAC二平面EAC X平面PCD ••- （6分）解：（II）解法1:由（1）得平面EAC X平面PCD 平面EACH平面PCD=EC 作PH丄EC,则PH丄平面EAC, •••（8分）••• PA与平面EAC所成角为/ PAH, •••（9分）在Rt A PAC中, PA=,则，所以…（12 分）18. （12 分）女口图，在四棱锥P—ABCD中，PC丄底面ABCD AD// BC,AD=2BC=2PC=2 △ ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点.（I）求证：平面EACL平面PCD（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.【解答】证明：（I）：PC丄底面ABCD AC?底面ABCD二PCX AC,由题意可知，AD / BC,且AD=2BC=2△ ABC是等腰直角三角形，••• AC=，CD= ，•••（2 分）••• CE2+AC2=AD2，即卩AC丄CD, •••（3 分）若恒成立，则恒成立，又••• PCH CD=C …（4 分）••• AC丄平面PCD, ••- （5 分）：AC?平面EAC二平面EAC X平面PCD ••- （6分）解：（II）解法1:由（1）得平面EAC X平面PCD 平面EACH平面PCD=EC 作PH丄EC,则PH丄平面EAC, •••（8分）••• PA与平面EAC所成角为/ PAH, •••（9分）在Rt A PAC中, PA=,则，所以…（12 分）18. （12 分）女口图，在四棱锥P—ABCD中，PC丄底面ABCD AD// BC,AD=2BC=2PC=2 △ ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点.（I）求证：平面EACL平面PCD（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.【解答】证明：（I）：PC丄底面ABCD AC?底面ABCD二PCX AC,由题意可知，AD / BC,且AD=2BC=2△ ABC是等腰直角三角形，若恒成立，则恒成立，••• AC=，CD= ，•••（2 分）••• CE2+AC2=AD2，即卩AC丄CD, •••（3 分）又••• PCH CD=C …（4 分）••• AC丄平面PCD, ••- （5 分）：AC?平面EAC二平面EAC X平面PCD ••- （6分）解：（II）解法1:由（1）得平面EAC X平面PCD 平面EACH平面PCD=EC 作PH丄EC,则PH丄平面EAC, •••（8分）••• PA与平面EAC所成角为/ PAH, •••（9分）在Rt A PAC中, PA=,则，所以…（12 分）18. （12 分）女口图，在四棱锥P—ABCD中，PC丄底面ABCD AD// BC,AD=2BC=2PC=2 △ ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点.（I）求证：平面EACL平面PCD（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.【解答】证明：（I）：PC丄底面ABCD AC?底面ABCD二PCX AC,若恒成立，则恒成立，由题意可知，AD / BC,且AD=2BC=2△ ABC是等腰直角三角形，••• AC=，CD= ，•••（2 分）••• CE2+AC2=AD2，即卩AC丄CD, •••（3 分）又••• PCH CD=C …（4 分）••• AC丄平面PCD, ••- （5 分）：AC?平面EAC二平面EAC X平面PCD ••- （6分）解：（II）解法1:由（1）得平面EAC X平面PCD 平面EACH平面PCD=EC 作PH丄EC,则PH丄平面EAC, •••（8分）••• PA与平面EAC所成角为/ PAH, •••（9分）在Rt A PAC中, PA=,则，所以…（12 分）18. （12 分）女口图，在四棱锥P—ABCD中，PC丄底面ABCD AD// BC,AD=2BC=2PC=2 △ ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点.（I）求证：平面EACL平面PCD（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.若恒成立，则恒成立，【解答】证明：（I）：PC丄底面ABCD AC?底面ABCD二PCX AC,由题意可知，AD / BC,且AD=2BC=2△ ABC是等腰直角三角形，••• AC=，CD= ，•••（2 分）••• CE2+AC2=AD2，即卩AC丄CD, •••（3 分）又••• PCH CD=C …（4 分）••• AC丄平面PCD, ••- （5 分）：AC?平面EAC二平面EAC X平面PCD ••- （6分）解：（II）解法1:由（1）得平面EAC X平面PCD 平面EACH平面PCD=EC 作PH丄EC,则PH丄平面EAC, •••（8分）••• PA与平面EAC所成角为/ PAH, •••（9分）在Rt A PAC中, PA=,则，所以…（12 分）18. （12 分）女口图，在四棱锥P—ABCD中，PC丄底面ABCD AD// BC,AD=2BC=2PC=2 △ ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点.（I）求证：平面EACL平面PCD（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.若恒成立，则恒成立，【解答】证明：（I）：PC丄底面ABCD AC?底面ABCD二PCX AC,由题意可知，AD / BC,且AD=2BC=2△ ABC是等腰直角三角形，••• AC=，CD= ，•••（2 分）••• CE2+AC2=AD2，即卩AC丄CD, •••（3 分）又••• PCH CD=C …（4 分）••• AC丄平面PCD, ••- （5 分）：AC?平面EAC二平面EAC X平面PCD ••- （6分）解：（II）解法1:由（1）得平面EAC X平面PCD 平面EACH平面PCD=EC 作PH丄EC,则PH丄平面EAC, •••（8分）••• PA与平面EAC所成角为/ PAH, •••（9分）在Rt A PAC中, PA=,。

2018届广东省茂名市高考联考数学(理)试题(二)含答案

广东省省际名校（茂名市）2018届高三下学期联考（二）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}22log 815A x y x x ==-+，{}1B x a x a =<<+，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是（）A．(],3-∞B．(],4-∞C．()3,4D．[]3,42．若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A．45B．35C．35-D．45-3.设函数()f x 在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A.()1y f x =在R 上为减函数 B.()y f x =在R 上为增函数C.()2f x y -=在R 上为减函数D.()3y f x =-⎡⎤⎣⎦在R 上为增函数4.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作S .在一次投掷中，已知S 是奇数，则9S =的概率是（）A．1B．2C．1D．15.如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则AC BD ⋅=（）A．2B．3C．6D．126.以()0,b 为圆心，a 为半径的圆与双曲线()2222:10,0a y x C a bb >->=的渐近线相离，则C 的离心率的取值范围是（）A．511,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B．51,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭C．532⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭D．53,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭7.n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对*n N ∀∈都有234n n S a =+，则n S =（）A．223n-⨯B．43n⨯C．143n --⨯D．1223n ---⨯8.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A．323B．643C．16D．139.执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）A．14B．34C．4πD．14π-10.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组240,4,0x y x y ⎧-≥⎪≤⎨⎪≥⎩的点(),x y 组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕y 轴旋转180︒，所得几何体的体积为1V ；满足不等式组()2222224,,0x y r x y r r y ⎧+≤⎪⎪+-≥⎨⎪≥⎪⎩的点(),x y 组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕y 轴旋转180︒，所得几何体的体积为2V .利用祖暅原理，可得1V =（）A．323πB．643πC．32πD．64π11.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X 的数学期望是（）A．185B．92C．367D．16312.记函数()sin 2cos f x nx nx =-在区间[]0,π内的零点个数为()*n a n N ∈，则数列{}n a 的前20项的和是（）A．430B．840C．1250D．1660第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.i 是虚数单位，复数z 满足()113i z i +=+，则2z =．14.若实数,x y 满足约束条件1,10,326,,,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪-+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩则2z x y =-的所有取值的集合是．15.以坐标原点O 为圆心的圆与抛物线及其准线24y x =分别交于点,A B 和,C D ，若AB CD =，则圆O 的方程是．16.若对任意的0>x ，不等式()2221ln 1x m m x -++≥恒成立，则m =．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin 2sin ,23A C b c ==.（1）cos C ；（2）若B ∠的平分线交AC 于点D ，且ABC ∆的面积为4，求BD 的长.18.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y如下表：数据表明y 与x 之间有较强的线性关系.（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑ ， ay bx =- .()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()()226.6350.01,10.8280.01P K P K ≥=≥=.19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且11A AB A AD ∠=∠.（1）证明：四边形11BB D D 为矩形；（2）若1,60AB A A BAD =∠=︒，1A A 与平面ABCD 所成的角为30︒，求二面角11A BB D --的余弦值.20.设椭圆()22220:1x y E a a bb =>>+，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为（1）求E 的方程；（2）过E 的左焦点1F 作直线1l 与E 交于,A B 两点，过右焦点2F 作直线2l 与E 交于,C D 两点，且12//l l ，以,,,A B C D 为顶点的四边形的面积83S =，求1l 与2l 的方程.21.已知()ln ,f x x ax a a R =-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()()2112g x f x x =+-有三个不同的零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-，直线l 的参数方程为2cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数).（1）若34πα=，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有两个不同的交点,A B ，且()2,1P 为AB 的中点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x x x =++-.（1）求函数()f x 的最小值a ；（2）根据（1）中的结论，若33m n a +=，且0,0m n >>，求证:2m n +≤.试卷答案一、选择题1-5:DDCBC 6-10:BAACC 11、12：DA二、填空题13.514.{}2,1,1,2--15.225x y +=16.0或1-三、解答题17.解:（1）因为sin 2sin A C =，所以2a c =.于是，()2222223272cos 328222c c c a b c C ab c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⨯⨯.（2）由7cos 8C =可得sin C =设ABC ∆的面积为S，∴113sin 222284S ab C c c ==⋅⋅⋅=，∴24,2c c ==.则4,3a b ==.∵BD 为B ∠的平分线，∴2a CD c AD==，∴2CD AD =.又3CD AD +=.∴21CD AD ==,.在BCD ∆中,由余弦定理可得22274224268BD =+-⨯⨯⨯=，∴BD =.18.解:(（1）由题意可知120,90x y ==，故()()()()()()()()()()()()()()()222221451201109013012090901201201029010512078901001207090145120130120120120105120100120b --+--+--+--+--=-+-+-+-+- 50000180400108040.8625100022540013505++++====++++.901200.86a=-⨯=-，故回归方程为 0.86y x =-.（2）将110x =代入上述方程，得 0.8110682y =⨯-=.（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36.抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人.于是可以得到22⨯列联表为：于是()2260241812610 6.63530303624K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.19.（1）证明:连接AC ，设AC BD O ⋂=，连接111,,A B A D A O .∵11,A AB A AD AB AD ∠=∠=，∴11A B A D =.又O 为BD 的中点，∴1,AO BD A O BD ⊥⊥..∴BD ⊥平面11A ACC ，∴1BD AA ⊥.∵11//BB AA ，∴1BD BB ⊥.又四边形11BB D D 是平行四边形，则四边形11BB D D 为矩形.（2）解:过点1A 作1A E ⊥平面ABCD ，垂足为E ，由已知可得点E 在AC 上，∴130A AC ∠=︒.设11AB A A ==，则11,22A E AE ==.在菱形ABCD 中，1,60AB AD BAD ==∠=︒，∴AC AO ==∴点E 与点O 重合，则1A O ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -.则11111110,0,,0,,0,,0,,0222222A B B D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，.∴()111111110,,,,,0,0,1,0,1,222222A B A B BD B D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.设平面11A BB 的法向量为(),,m x y z = ，则1110m A B m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴110,21022y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即,.y z y =⎧⎪=取1x =，可得(m =为平面11A BB 的一个法向量.同理可得平面1BB D的一个法向量为(n =。

广东省省际名校(茂名市)2018届高三下学期联考(二)数学(理)试题(含参考答案)

广东省省际名校（茂名市）2018届高三下学期联考（二）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由题意可得：，又，，∴,∴故选：D2.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴故选：D3.设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A. 在上为减函数B. 在上为增函数C. 在上为减函数D. 在上为增函数【答案】C【解析】A错，比如在上为增函数，但在上不具有单调性；B错，比如在上为增函数，但在上增函数，在上为减函数；D错，比如在上为增函数，但在上为减函数；故选：C4.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作.在一次投掷中，已知是奇数，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设两枚骰子向上点数分别为X，Y，则符合X+Y为奇数的基本事件为18（见表格），其中符合X+Y=9基本事件为4，根据古典概型知所求概率为故选：B5.如图，正六边形的边长为2，则（）A. 2B. 3C. 6D. 12【答案】C【解析】，.故选：C6.以为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线相离，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由条件可得，，∴，即，∴故选：B点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7.是数列的前项和，且对都有，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可知，两式相减，得，整理得由可得，则故选：A8.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】该几何体是如图所示的四面体ABCD，其体积为故答案为：A点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．9.执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】随机数x，y的取值范围分别是共产生n个这样的随机数对.数值i表示这些随机数对中满足关系的个数..故选：C10.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组的点组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为；满足不等式组的点组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为.利用祖暅原理，可得（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件可得，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点的距离为h，则所得截面,所以，由祖庚原理可得又，所以故选：C11.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，第次取出额必然是红球，而前k-1次中，有且只有1次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，故，于是得到X的分布列为故故选：D12.记函数在区间内的零点个数为，则数列的前20项的和是（）A. 430B. 840C. 1250D. 1660【答案】A【解析】令，得①或②由①得，令，得，故①共有n个解，由②得，令，得③，令，得④当n为偶数时，③有个解，④有个解，故②有n个解，故当n为奇数时，③有个解，④有个解，故②有n+1个解，故令故故选：A点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.是虚数单位，复数满足，则__________．【答案】5【解析】由题意可得：∴∴故答案为：5点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可；复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．14.若实数满足约束条件则的所有取值的集合是__________．【答案】【解析】由约束条件可知，满足条件的点为，所以z可以取得值为故答案为：15.以坐标原点为圆心的圆与抛物线及其准线分别交于点和，若，则圆的方程是__________．【答案】【解析】设，圆O半径为r，则∵，∴A或B的坐标为，∴∴，解得，∴圆O的方程为：故答案为：16.若对任意的，不等式恒成立，则__________．【答案】0或【解析】设，则，由已知可得：对恒成立，令，，则可知：在上单调递减，在上单调递增，若，则，令，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，∴∴，即t=1，所以则故答案为：0或三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知的内角所对的边分别为，.（1）；（2）若的平分线交于点，且的面积为，求的长.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由，又，利用余弦定理得到；（2）由可得. 设的面积为，，解得，，再由内角平分线定理得到，在中,由余弦定理可得结果.试题解析：（1）因为，所以.于是，.（2）由可得.设的面积为，∴，∴.则.∵为的平分线，∴，∴.又.∴.在中,由余弦定理可得，∴.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：数据表明与之间有较强的线性关系.（1）求关于的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为和，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数，.，.【答案】（1）（2）82（3）可以认为【解析】试题分析：(1)由表格得到，进而得到，，从而得到关于的线性回归方程；(2)将代入上述方程，得；（3）列出2×2列联表，求出，从而作出判断.试题解析：（1）由题意可知，故.，故回归方程为.（2）将代入上述方程，得.（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36.抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人.于是可以得到列联表为：于是，因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19.如图，四棱柱的底面为菱形，且.（1）证明：四边形为矩形；（2）若，与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：(1)由四棱柱性质可知四边形为平行四边形，连接，设，连接.，易证∴平面，∴.∵，∴；(2)过点作平面，垂足为，由已知可得点在上，证明点与点重合，则平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式计算即可.试题解析：（1）证明:连接，设，连接.∵，∴.又为的中点，∴..∴平面，∴.∵，∴.又四边形是平行四边形，则四边形为矩形.（2）解:过点作平面，垂足为，由已知可得点在上，∴.设，则.在菱形中，，∴.∴点与点重合，则平面.以为坐标原点，建立空间直角坐标系.则.∴.设平面的法向量为，则,∴即取，可得为平面的一个法向量.同理可得平面的一个法向量为。

广东省七校2018届高三第二次联考理科数学试卷(含答案)

2017—2018学年高三年级第二次联考数学（理科） 2017．12第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}0)3)(2(,0,ln 3=-+=<<==x x x B e x x y y A ，=⋂B A 则( ) A ． {}3,2- B. {}2- C. {}3 D. ∅ 2．已知为虚数单位，i 且,21,21i z i m z -=+=若21z z 为实数，则实数m 的值为（） A ．2 B ．2- C ．21 D ．21- 3．已知)(x f 为奇函数，1)2(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则)3(f =（） A ．21 B ． 1 C ．23D ． 2 4．若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆2212x y +=的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）A ．221x y -= B. 2212x y -= C. 2212y x -= D. 22132x y -= 5．已知31)2sin(=+απ，(,0)2πα∈-，则)2sin(απ+等于（）A ．97B ．97-C ．924 D ．924-6．若执行右面的程序框图，则输出的k 值是（）A ．3 B. 4 C. 5 D. 67.下列说法正确的是（） A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”.B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题.C ．)0(0，－∞∈∃x ，使0034x x <成立. D ．“若tan 3α≠，则3πα≠”是真命题.8.若函数)(x f y =)1,0(≠>a a 且的图象如右图所示，则下列函数图象正确的是（）A B C D 9. 已知实数a 、b 满足4)2()2(22=-+-b a ，则使02≤-+b a 的概率为（） A.ππ42- B.43 C.41 D.ππ423+ 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为l ，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个三棱柱切割得到的，则该几何体外接球的表面积为（） A.π20B. π18C. π16D. π811. P ､Q 为三角形ABC 中不同的两点,若PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ,053=++QC QB QA ,则:PAB QAB S S △△为（）A ．31 B ．53 C ．75 D ． 97 12.设定义在R 上的函数()x f ，对任意的R x ∈，都有())1(1x f x f --=+，且()02=f ，当1>x 时，()()0>+'x f x f ，则不等式()01ln <-⋅x x f 的解集为（）A. ()()1,00,Y ∞-B.()()+∞-,10,1YC. ()()1,,1-∞-+∞YD.()()1,00,1Y -第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～23为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13. 在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么∠B 等于_______.14. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为_______钱. 15.已知函数()24sin x x x f -+=，则()________11=⎰-dx x f16.已知()102sin 226k f x x k π⎛⎫>=++⎪⎝⎭，函数与函数4)3cos()(+-=πx k x g若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀32,6,34,3ππππs t 都，使得等式)()(s g t f =成立，则实数k 的取值集合是________. 三、解答题:本大题共7小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)设数列{n a }满足n a n a a a n 2)12(53321=-++++Λ （1）求{n a }的通项公式；（2）数列{}n b 满足231)1(log 2+=-n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S 18．（本小题满分12分）网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物,且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物。