2018版高中数学苏教版必修五学案：1章末复习课
2018版高中数学苏教版必修5学案：1习题课正弦定理和余弦定理
习题课正弦定理和余弦定理［学习目标］1•进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用 2提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.3•初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、 向量有关的综合问 题•自主学习知识点一正弦定理及其变形a =b = csin A sin B sin C2. a = 2Rsin A , b = 2Rsin_B , c = 2Rsin C.（化边为角）3. sin A = 2R ，sin B= 2R ，sin C=2R.（化角为边） 知识点二余弦定理及其推论2 2 21.a = b + c — 2bccos A , cos A = 2•在△ ABC 中，c 2= a 2+ b 2? C 为直角，c 2>a 2+ b 2? C 为钝角；c 2<a 2+ b 2? C 为锐角.知识点三解三角形的几类问题和解法2R.穴訝•（边角互化）知识点四三角形内角的函数关系在厶ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C,则有(1) sin(A + B)= sin C, cos(A + B) = —cos C, tan(A+ B) = —tan C,A +BC A + B C(2) sin — = cos , cos 3 = sin -.歹题型探究题型一利用正弦、余弦定理解三角形或求值n 1 例 1 如图，在△ ABC 中，B= 3，, AB= 8，点D 在BC 边上，且CD = 2, cos/ ADC =f.3 7(1)求sin/ BAD;⑵求BD , AC的长.解⑴在厶ADC中，1 n因为cos/ ADC = 7，/ ADC € (0, 3),4伍所以sin / ADC = 47 ,所以sin / BAD = sin(/ ADC —B)=sin / ADC cos B —cos / ADC sin B =3 x1—1 ^3= g7 2 7 2 14 .(2)在厶ABD中，由正弦定理得在厶ABC中，由余弦定理得AC2= AB2+ BC2—2AB BC c os B=82+ 52—2 X 8 X 5 X ] 49,所以AC= 7. 重点突破AB sin/ BAD sin / ADB 8X讦144 .3=3.反思与感悟应用正弦、余弦定理解三角形时，要注意结合题目中的条件，选择适当的定理当题目中出现多个三角形时，应注意弄清每一个三角形中的边角关系，并分析这几个三角形中的边角之间的联系•跟踪训练1 如图，在△ ABC中，已知点D在BC边上，AD丄AC, sin / BAC = 押，AB =33 2, AD = 3，贝U BD的长为 ________A答案3解析2\[2•/ sin/ BAC = sin(90 °/ BAD)= cos/ BAD =-^,3•••在厶ABD 中，有BD2= AB2+ AD2—2AB AD cos/BAD = 18 + 9-2 3 2 3 2^2 = 3.3• BD = 3.题型二判断三角形的形状例2 在厶ABC中，b= asin C, c= acos B，试判断厶ABC的形状.a2+ c2—b22 . 2 .2a + c —b代入c= acos B,得c= a •2ac所以c2+ b2= a2,所以△ ABC是以A为直角的直角三角形.又因为b = asin C,所以b = a c，所以b= c,a所以△ ABC也是等腰三角形.综上所述，△ ABC是等腰直角三角形.反思与感悟(1)判断三角形形状时，要灵活应用正弦、余弦定理进行边角转化•但究竟是化边为角还是化角为边，应视具体情况而定•(2)常用的几种转化形式：①若cos A= 0,贝y A= 90° △ ABC为直角三角形；②若cos A<0，则△ ABC为钝角三角形；③若cos A>0且cos B>0且cos C>0，则△ ABC为锐角三角形；④若sin2A+ sin2B= sin2C,则C= 90 ° △ ABC 为直角三角形；⑤若sin A = sin B或sin(A—B)= 0，贝U A = B,A ABC为等腰三角形；⑥若sin 2A = sin 2B,则A= B或A+ B= 90°, △ ABC为等腰三角形或直角三角形•解由余弦定理知cos B=2ac4跟踪训练2 在厶ABC中，cos A= 4,且(a —2) : b : (c+ 2)= 1 : 2 : 3,试判断三角形的形状.5解由已知设 a —2= x,贝U b = 2x, c+ 2= 3x, 所以a= 2+ x, c= 3x—2,由余弦定理得cos A = 4x2+ 3x—2 2—x+ 2 2 = 5.4x(3x—2) 5解得x= 4,所以a= 6, b = 8, c= 10, 所以a2+ b2= c2,所以三角形为直角三角形.题型三正弦、余弦定理与交汇知识点的综合应用例3 在厶ABC中，a, b, c分别是角A, B, C的对边,3 f fcos B =匚，且AB BC=—21.5(1)求厶ABC的面积;⑵若a = 7,求角C.~f f f -f解⑴•/ AB BC=—21,「. BA BC= 21.二BA BC = |BA| |BC| cos B = accos B= 21.3 4•・ac = 35,T cos B =二，二sin B = 75 5'1 1 4•••S- AB C=尹csinB=2x 35 x4 =14.⑵T ac= 35, a = 7,「・c= 5.由余弦定理得，b2= a2+ c2—2accos B = 32,「. b = 4 2.由正弦定理得，一三=—毛.sin C sin Bc 5^4 2•-sin C= b sin B=忑x 4 = 2.c<b且B为锐角，•• C —定是锐角.• - C = 45°.反思与感悟对于向量与正弦、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系.跟踪训练3 已知△ABC的三内角A、B、C所对边长分别是a、b、c,设向量m= (a+ b, sin C), n= ( .3a+ c, sin B —sin A),若m// n，则角B 的大小为 ___________ .答案150°解析■/ m / n,「. (a + b)(si n B —sin A) —sin C(,3a+ c)= 0,由正弦定理有(a+ b)(b—a)= c( , 3a+ c),即a? + c? —b? = —\i'3ac,再由余弦定理，得 cos B =- -23 ,••• B = 150° 题型四有关创新型问题例4 已知x>0, y>0，且x 2- xy + y 2= 1，求x 2- y 2的最大值与最小值 解 构造△ ABC ，使 AB = 1, BC = x , AC = y , C = 60° 由余弦定理知 AB 2= AC 2+ BC 2-2AC BCcos C , • 1 = x 2 + y 2- xy ,即x , y 满足已知条件， 2 2 4 2 2 x - y = 3(sin A — sin B)2=3(1 — cos 2A - 1 + cos 2B) =3(cos 2B - cos 2A) 2=3【COS (240 — 2A) — cos 2 A] 2 3 .3=3( — 2cos 2A — ~2S in 2A)2^3s in (2A + 60 °).•/ 0°<A<120° ,• 60°<2A + 60°<300° , 当 2A + 60° = 90°时，x 2— y 2有最小值一3当 2A + 60° = 270°时，x 2— y 2 有最大值—^3. 反思与感悟 解答此类题目，我们可以根据条件， 构造三角形，利用正弦、 余弦定理将问题 予以转化.如本题中将x 2-y 2转化为三角恒等变换及y = Asin( 3x+©的值域的问题.跟踪训练4已知x 、y 均为正实数，且 x 2 + y 2- 3= xy ,求x + y 的最大值.解 构造△ ABC ，角A , B , C 的对边分别为x , y , £, C = 60°由余弦定理知 x 2 + y 2- 3 =xy ，即x 、y 满足已知条件.__ j= y =_ V3 =2'sin A = sin B = sin 60 =' • x = 2sin A , y = 2sin B ,• x + y = 2(sin A + sin B) =2[sin A + sin(120 一 A)]由正弦定理得 xsin A •x =竽sin A ,2 3 y =—in B=2(sin A+^cos A + gsi n A) [3 1=2 ,3(亍sin A + 2cos A) =2 3sin(A + 30°.••• 0°<A<120° , A 当 A = 60°时，x + y 有最大值 2^3.尹当堂检测1•在钝角厶ABC 中，a = 1, b = 2,则最大边c 的取值范围是 ____________ . 答案5< c v 3解析 在钝角△ ABC 中，由于最大边为 c ,所以角C 为钝角.所以c 2>a 2+ b 2= 1 + 4 = 5,即 c > .瓦 又因 c < a + b = 1 + 2= 3,所以< c < 3.2•在△ ABC 中，若c = 2acos B ，则△ ABC 的形状一定是 _________ 三角形. 答案等腰 解析•/ c = 2acos B ，由正弦定理得2cos Bs in A = sin C = si n(A + B),A sin AcosB — cos Asin B = 0,即 sin(A — B)= 0, 又•.•一 n<— B< n,A A —B = 0 ,A A = B.•••△ ABC 是等腰三角形.3.已知△ ABC 的三边长分别为 AB = 7, BC = 5, AC = 6.则AB BC 的值为 ___________ 答案 -19 解析由余弦定理的推论知:所以 A B BC = |AB| |BC| • cos -ft )=7x 5X (— 3!)= — 19.x/3 c4.在△ ABC 中，B = 60 ° a = 1, S^BC =，则一2 sin C答案 2A c = 2,自查自cos B = AB 2+ BC 2- AC 22AB BC 1935.解析ABC= ^acsin B = 1 c 于2 2 2 1 ••• b2= a2+ c2—2accos B = 1 + 4—2 1 •(㊁)=3,- c b 3^--b= 3，… =' =^~= 2. u sin C sin B 电2a b c三角形•5. 在△ ABC 中，若-O-T=二77 =二TC，则△ ABC 是cos A cos B cos C ------------答案等边a b解析■/= , • sin Acos B—sin Bcos A = 0,cos A cos B•si n(A —B)= 0,•/ A, B€ (0, n, • A—B € (— n, n )•- A —B= 0 ,• A= B.同理B = C,「. A= B= C,•△ ABC为等边三角形.「课堂那结------------------------------------ 11•判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形（如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等）•对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论2•解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解•。
苏教版高中数学必修五教学案第课时不等式专题复习
总 课 题不等式 总课时 第28课时 分 课 题不等式专题复习 分课时 第 1 课时 引入复习1．练习：（1）函数2231x x y --=的定义域为_________________；（2）比较大小：122-_________________310-；（3）已知}01|{>+=x x M ，}011|{>-=x x N ，则=⋂N M _________________； （4）不等式031>--x x 的解集是_________________； （5）方程05)2(2=++++m x m x 有两个正根，则m 的取值范围是_______________；（6）已知00>>>x b a ，，那么xa xb ++的取值范围是________________________； （7）已知b a ，都是正数，4=ab ，则b a +的最小值是_________________；（8）若14<<-x ，则22222-+-x x x 有最_____值____________； （9）已知1log log 1122=⋅ >>b a b a ，，，则ab 的最小值是_____________； （10）现有含盐%7的盐水，若通过加入含盐%4的盐水xg ，制成生产上需要的含盐%5以上，%6以下的盐水，则x 的取值范围是__________________________． 例题剖析已知c b a >>，求证：ca cb b a -≥-+-411．解关于x 的不等式：)(12R a a x ax ∈ +<-．例3 证明不等式：（1）若00>>b a ，，且b a ≠，则3322b a b a ab +<+；（2）若b a ，是实数，且b a ≠，则4433b a b a ab +<+；（3）把（1）和（2）中的不等式推广到一般情形，并证明你的结论．例1 例2巩固练习1．已知00>>b a ，，则222b a +与2b a +的大小关系是222b a +_______2b a +． 2．已知0>ab ，那么a b b a +________2；已知0<ab ，那么ab b a +________2-； 3．函数θθθcos 2cos )(+=f ，)22(ππθ -∈，，则)(θf 的最小值为____________． 4．函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示． （1）方程0)(=x f 的解集是__________________________；（2）不等式0)(<x f 的解集是________________________； （3）不等式0)(>x f 的解集是________________________．5．甲、乙两同学分别解“)1[∞+ ∈，x ，求函数122+=x y 的最小值”的过程如下： 甲：x x x y 221221222=⋅≥+=，又1≥x ，所以2222≥x ． 从而2222≥≥x y ，即y 的最小值是22．乙：因为122+=x y 在)1[∞+ ，上单调递增，所以y 的最小值是31122=+⨯．试判断谁错？错在何处？yx 2 1 O －1课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，)2lg(b a R +=， 试比较R Q P ，，的大小．2．已知数列}{n a 的通项公式902+=n n a n ，+∈N n ，则数列中最大项是第_______项．3．若直角三角形两条直角边的和等于10，则当该直角三角形面积最大时，斜边的长是________________________．二 提高题4．求函数)0(432> --=x x x y 的最大值．5．已知关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 有两个根，且一个根比1小，另一个根比1大，求实数a 的取值范围．三 能力题6．设不等式x x ax ax 424222+<-+对任意实数x 均成立，求实数a 的取值范围．7．已知不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范围．。
2018版高中数学苏教版必修5学案：1.1 正弦定理(二)
[学习目标] 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.4.能应用正弦定理解决简单的实际问题.知识点一 对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a 、b 和A 解三角形为例，从两个角度予以说明： (1)代数角度由正弦定理得sin B ＝b sin A a，①若b sin A a >1，则满足条件的三角形个数为0，即无解.②若b sin A a ＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解.③若b sin A a <1，则满足条件的三角形个数为1或2.(2)几何角度知识点二 三角形面积公式 任意三角形的面积公式：(1)S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.(2)S △ABC ＝12ah ，其中a 为△ABC 的一边长，而h 为该边上的高的长.(3)S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )＝12rl ，其中r ，l 分别为△ABC 的内切圆半径及△ABC 的周长.(4)S △ABC ＝p (p －a )(p －b )(p －c )(其中p ＝a ＋b ＋c2).题型一 三角形解的个数的判断例1 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答. (1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.解 (1)a ＝10，b ＝20，a <b ，A ＝80°<90°， 讨论如下：∵b sin A ＝20sin 80°>20sin 60°＝103， ∴a <b sin A ，∴本题无解.(2)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°，∵b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， ∴b sin A <a <b ，∴本题有两解.由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又∵B ∈(0，π)，∴B 1＝60°，B 2＝120°.当B 1＝60°时，C 1＝90°，c 1＝a sin C 1sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43；当B 2＝120°时，C 2＝30°，c 2＝a sin C 2sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴B 1＝60°时，C 1＝90°，c 1＝43；B 2＝120°时，C 2＝30°，c 2＝2 3.反思与感悟 已知三角形两边和其中一边的对角时，利用正弦定理求出另一边对角的正弦值后，需利用三角形中“大边对大角”来判断此角是锐角、直角还是钝角，从而确定三角形有两解还是只有一解.也可以用几何法来判断，即比较已知角的对边与另一边和该角正弦值乘积的大小来确定解的个数.跟踪训练1 (1)满足a ＝4，b ＝3，A ＝45°的△ABC 的个数为 .(2)△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若该三角形有两解，则x 的取值范围是 . 答案 (1)1 (2)2<x <2 2解析 (1)因为A ＝45°<90°，a ＝4>3＝b ，所以△ABC 的个数为1个. (2)由a sin B <b <a ，得22x <2<x ，∴2<x <2 2. 题型二 三角形的面积例2 在△ABC 中，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .解 ∵cos B 2＝255，∴cos B ＝2cos 2B 2－1＝35.∴B ∈(0，π2)，∴sin B ＝45.∵C ＝π4，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝7210.∵a sin A ＝c sin C ，∴c ＝a sin C sin A ＝27210×22＝107. ∴S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.反思与感悟 求三角形的面积关键在于选择适当的公式，因此，要认真分析题中的条件，结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角恒等变换等知识的应用.跟踪训练2 (1)在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝ .(2)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于 . 答案 (1)23 (2)32或34解析 (1)∵cos C ＝13，∴C ∈(0，π2)，∴sin C ＝1－(13)2＝223，又S △ABC ＝12ab sin C ＝12·32·b ·223＝43，∴b ＝2 3.(2)由正弦定理得sin C ＝AB ·sin B AC ＝3×121＝32，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝60°或120°，∴A ＝90°或30°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32或34.题型三 正弦定理在生活中的应用例3 一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为 海里/时. 答案 8 6 解析 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝64×3222＝326，∴v ＝MN4＝86(海里/时).反思与感悟 运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.跟踪训练3 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为 km. 答案 30 2解析 如图，由已知条件，得AC ＝60 km ，∠BAC ＝30°， ∠ACB ＝90°＋15°＝105°， ∠B ＝45°.由正弦定理得BC ＝AC sin ∠BAC sin B＝302(km).题型四 正弦定理和三角变换的综合应用例4 在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，若c ＝2＋6，C ＝30°，求a ＋b 的取值范围. 解 由正弦定理得c sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝a ＋b sin A ＋sin B ，∵c ＝2＋6，C ＝30°，∴a ＋b sin A ＋sin B ＝2＋6sin 30°，∴a ＋b ＝2(2＋6)(sin A ＋sin B ). ∵A ＋B ＝180°－30°＝150°. ∴sin B ＝sin(150°－A )＝sin150°2cos 150°－2A 2＋cos 150°2sin 150°－2A 2，① sin A ＝sin150°2cos 150°－2A 2－cos 150°2sin 150°－2A 2，②由①②得sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(150°－A ) ＝2sin 75°cos(75°－A )， ∴a ＋b ＝2(2＋6)(sin A ＋sin B ) ＝2(2＋6)×2sin 75°cos(75°－A ) ＝2(2＋6)×2×6＋24cos(75°－A )＝(2＋6)2cos (75°－A ). 当A ＝75°时，(a ＋b )max ＝8＋4 3. ∵A ＋B ＝150°，∴0°<A <150°，－150°<－A <0°. ∴－75°<75°－A <75°， ∴cos(75°－A )∈(6－24，1]，∴a ＋b >(2＋6)2×6－24＝2＋6，∴2＋6<a ＋b ≤8＋4 3.综上所述，a ＋b ∈(2＋6，8＋4 3 ].反思与感悟 (1)求某个式子的取值范围，可以将其转化为一个角的三角函数，再求范围.注意不要因为忽略相应自变量的取值范围而导致错误.(2)三角形的内角和为180°为三角变换在三角形中的应用提供了一些特殊的式子，如sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos (B ＋C )等，解题中应注意应用.跟踪训练4 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＋b a ＝sin B sin B －sin A ，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C .试确定△ABC 的形状. 解 由正弦定理a ＋b a ＝sin B sin B －sin A ＝bb －a ，∴b 2－a 2＝ab ，①∵cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C ，∴cos(A －B )－cos(A ＋B )＝1－(1－2sin 2C )，∴(cos A cos B ＋sin A sin B )－(cos A cos B －sin A sin B )＝1－1＋2sin 2C ， ∴2sin A sin B ＝2sin 2C ， ∴c 2＝ab .②①②结合得b 2－a 2＝c 2，∴△ABC 是以B 为直角的直角三角形.1.在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则角C ＝ .答案 π4解析 由正弦定理BC sin A ＝ABsin C 得sin C ＝AB ·sin ABC ＝6×323＝22， ∴C ＝π4或3π4.又∵AB <BC ， ∴C <A ，∴C ＝π4.2.已知△ABC 中，b ＝43，c ＝2，C ＝30°，则满足条件的三角形有 个. 答案 0解析 由正弦定理和已知条件得43sin B ＝2sin 30°，∴sin B ＝3>1，∴此三角形无解.3.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是 . ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②a ＝18，b ＝20，A ＝60°，有一解； ③a ＝5，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解. 答案 ④解析 对①，a ＝b sin A ，故有一解；对②，b sin A <a <b ，故有两解； 对③，a >b sin A ，故有一解； 对④，A 为钝角，且a >b ，故有一解.4.在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ .答案 1解析 由正弦定理b sin B ＝c sin C 得1sin B ＝3sin C .∵sin C ＝sin2π3＝32，∴sin B ＝12. ∵C ＝2π3，∴B 为锐角，∴B ＝π6，A ＝π6，故a ＝b ＝1.故填1.5.在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lg sin B －lg(sin C －sin A )，则此三角形的形状是 三角形. 答案 直角解析 ∵lg(sin A ＋sin C )＝lg sin 2Bsin C －sin A ，∴sin 2C －sin 2A ＝sin 2B ， 结合正弦定理得c 2＝a 2＋b 2， ∴△ABC 为直角三角形.6.在△ABC 中，AB ＝3，D 为BC 的中点，AD ＝1，∠BAD ＝30°，则△ABC 的面积S △ABC ＝ . 答案32解析 ∵AB ＝3，AD ＝1，∠BAD ＝30°， ∴S △ABD ＝12·3·1·sin 30°＝34，又D 是BC 边中点， ∴S △ABC ＝2S △ABD ＝32.1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况：可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.。
苏教版高中必修5数学教案
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课题：一元二次方程的应用
教学目标：
1.了解一元二次方程的基本概念和性质；
2.掌握一元二次方程的解法和应用；
3.能够运用一元二次方程解决生活中的实际问题。
教学重点和难点：
1.掌握一元二次方程的解法；
2.能够灵活运用一元二次方程解决实际问题。
教学过程：
一、导入：通过实际生活中的问题引入一元二次方程的概念和应用。
二、讲解：介绍一元二次方程的定义、标准形式以及解法。
三、练习：让学生通过一些简单的例题进行练习，巩固知识点。
四、拓展：给学生提供一些更复杂的应用题，让他们运用所学知识解决问题。
五、总结：总结本节课的内容，强调一元二次方程的重要性和实际应用。
教学评价：通过课堂练习和作业，检测学生对一元二次方程的掌握程度。
课后作业：完成指定的练习题和实际应用题，加深对一元二次方程的理解。
教学反思：根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学方法，确保学生的学习效果。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 本章回顾》18
《数列》单元复习课（1）一、教学目标1．进一步熟悉数列的相关概念；2．使学生掌握等差、等比数列的通项公式及其应用；3．会证明或判断有穷或无穷数列为等差、等比数列．二、教学重点1．等差、等比数列的通项公式及其应用；2．等差、等比数列的证明．三、教学难点等差、等比数列的证明．四、教学过程活动一：问题情境1回忆数列的相关概念，并举例说明什么是数列的项，首项，通项公式和前n项和？数列又有哪些表示方法？思考后小组讨论并展示．【设计意图】以上（1）中数列的相关概念不需要记忆，只需了解，通过让学生自行举例，有利于使学生对概念形成较为具体、直观的认识，同时通过小组讨论并展示，暴露学生中对数列相关概念理解的偏差，从而得到及时的纠正，形成比较深刻的认识．2填空：1．等差数列的定义：⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽;试用一个式子表示该定义：⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽;2．等差数列的通项公式为：⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽;3．如何证明数列{a n}为等差数列？若将1~3中“等差数列”变为“等比数列”，请通过类比回答与之相应的问题．【设计意图】以上（2）中有关等差、等比数列的知识均非常重要，需准确理解与掌握，故以填空题形式出示，并通过对等差数列相关知识的类比，回忆等比数列的相应知识，有利于学生对等差等比数列形成整体的认识．活动二：典例分析例1 若直角三角形的三边的长组成公差为3的等差数列，求该直角三角形的三边长．变式1 若直角三角形的三边的长组成等差数列，求该直角三角形的三边长的比；变式2 若三角形的三边长组成等比数列，求这个等比数列公比的取值范围．【设计意图】通过本例使学生熟悉三个数成等差等比数列时的常见处理方式，以及三角形中的等差、等比数列问题处理时的一些隐含的注意点．例2 已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．解：设这四个数为：3,,,3a d a d a d a d --++，则由题意，得 2222(3)()()(3)94()()(3)(3)18a d a d a d a d a d a d a d a d ⎧-+-++++=⎨-+--+=⎩解得7232a d ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以这四个数为：1,2,5,8-或8,5,2,1-或8,5,2,1---或1,2,5,8---. 变式1 若三个数成等比数列，首尾两数之积为中间数的4倍，首尾两数的平方和为70，求这三个数．变式2 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列．解：设插入的三个数为234,,a a a ，由题得243，234,,a a a ，3组成等比数列，设公比为q ，则513243q -=，得13q =±． 所求的三数为81,27,9或81,27,9--．点评：解题时用到等比数列的性质：若{}n a 为等比数列，则n m n m a a q -=．【设计意图】通过本例使学生熟悉三个数，四个数成等差等比数列的设法，从而使运算得到简化，同时通过例题出现多解培养学生思维的严密性，训练学生分类讨论的数学思想方法．例3 若数列{a n }为等比数列，请判断下列命题是否成立？并给出证明．（1）数列{2n a }为等比数列；（2）数列{1n n a a +}为等比数列；（3）数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列．变式1 若数列{a n }为等比数列，求证：数列{lg ||n a }为等差数列．变式2 若数列{1n n a a +}为等比数列，记221n n n b a a +=+，判断{b n }是否为等比数列并证明你的结论．变式3 若数列{a n }满足11a =，且11320n n n a a a ++++=，21n n n a b a +=+． （1）求证：数列{n b }为等比数列；（2）求数列{a n }通项公式．【设计意图】通过本例使学生熟悉数列{a n }为等比数列时，由{a n }生成的一些常见等差、等比数列，同时训练学生证明无穷数列为等差、等比数列的重要方法，三个变式由浅入深，层层深入，在学生的最近发展区设置变式，以达到学生跳一跳能够到的目的．活动三：随堂巩固1．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =___________．【答案】642．已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是___________．【答案】(][),13,-∞-+∞3．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =______． 【答案】332（n --41） 4．若数列{1n n a a +}为等比数列，探求使数列{a n }成为等比数列的条件，并证明．【设计意图】通过本组活动及时巩固课堂复习内容，使学生对等差等比数列有了更进一步的认识，可以有效减少遗忘．课堂小结与作业布置．。
2018版高中数学苏教版必修五学案：1章末复习课
解三角形【学习目标】1•整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识2能灵活、熟练运用正弦、余弦定理解三角形.3 •能解决三角形与三角变换的综合问题及实际问题U知识梳理----------------------------知识点一正弦定理及其推论设厶ABC的外接圆半径为R,贝Ua1 ------- = = = .si nA2 • a ________ , b ______ .3 • sin A = _______ , sin B= ________ , sin C= ________ .4 .在△ ABC 中，A>B? ________ ? ________ .知识点二余弦定理及其推论. 2 .21. a = _________________ , b = ___________________ ,2C = _______________ .2. _______________ cos A= _________ ; cos B = ;cos C= ________ .3. 在△ ABC 中，c2= a2+ b2? C 为___________ ; c2>a2+ b2? C 为___________ ;c2<a2+ b2? C 为知识点三三角形面积公式1111. S=，ah a = ?bh b = ?ch c.1112. S= ?absin C = ?bcsin A= 2casin B.题型探究---------------------------类型一利用正弦、余弦定理解三角形例 1 如图，在△ ABC 中，AB= AC = 2, BC = 2*3,点 D 在BC 边上，/ ADC = 45° 求AD的长.反思与感悟解三角形的一般方法：(1) 已知两角和一边，如已知A、B和c,由A+ B + C =冗求C,由正弦定理求a、b.(2) 已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A + B + C= n求另一角.⑶已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B,由A+ B + C =冗求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a、b、c,可应用余弦定理求A、B、C.,-, n 1 跟踪训练1 如图，在厶ABC中，/ B =才，AB = 8,点D在BC边上，CD = 2, cos/ ADC =3 7(1) 求sin/ BAD ;(2) 求BD，AC 的长．类型二三角变换与解三角形的综合问题命题角度 1 三角形形状的判断例 2 在厶ABC 中，若(a2+ b2)s in (A—B) = (a2—b2) • sin(A+ B)，试判断厶ABC的形状.命题角度 2 三角形的边、角及面积的求解例3 △ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知a = bcos C + csin B.(1)求B；⑵若b= 2,求厶ABC的面积的最大值.反思与感悟该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，在运用定理进行边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.跟踪训练2 在厶ABC中，a, b, c分别是三个内角A, B，C的对边，若a= 2, C =｛，cos4B=2二5,求厶ABC的面积S.2 5类型三正弦、余弦定理在实际中的应用例4某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，/ BAC = 60°在A地听到弹射声音的时间比在B地晚专秒•在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°求该仪器的垂直弹射高度CH （声音的传播速度为340米/秒）•H反思与感悟应用解三角形知识解决实际问题的步骤:(1) 分析题意，准确理解题意；(2) 根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3) 将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解；(4) 检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.跟踪训练3甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，当堂训练问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？B厂"规律与右法■----------------------------------1 .在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ ABC中，A>B等价于a>b等价于sin A>sin B.2 •根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1) 化边为角；(2) 化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.3•正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用•运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.2. 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C,a b c3.2R 2R 2R4. a>b sin A>sin B知识点二2 2 2 2 2 21. b + c — 2bccosA c + a — 2cacos B a + b — 2abcosC b 2+ c 2— a 2 c 2+ a 2— b 2 a 2 + b 2—c 2 2. 2bc 2ca 2ab 3 .直角 钝角锐角题型探究例1解 在厶ABC 中，AB = AC = 2, BC = 2 3,_ BC 2+ AC 2— AB 2 cOs C =2BC A C 1•••sin c =2. 在厶ADC 中，由正弦定理，得 AD = ___ AC得 sin C sin / ADC ，••• AD = ：x 2= 221跟踪训练1 解 ⑴在厶ADC 中，因为cos / ADC =-,所以 sin /ADC = ^y 3.所以 sin / BAD = sin( / ADC — / B)=sin / ADC cos B — cos / ADC sin B答案精析知识梳理知识点一i.snB snc2R 由余弦定理，得迟1- 1X色刃37 2 7 2 14 -⑵在△ ABD中，由正弦定理，得3 38 X——'——ABsin/ BAD 14BD=' = ■— '= 3.sin / ADB 4羽7在厶ABC 中，由余弦定理，得AC2= AB2+ BC2—2AB BC cos B= 82+ 52- 2 X 8 X 5X*= 49,所以AC = 7.例 2 解•/ (a2+ b2)sin(A—B)2 2=(a —b )sin(A+ B),••• b2[si n(A + B) + si n(A —B)]=a2[si n(A + B)—si n(A —B)],2 2二2b sin Acos B= 2a cos Asin B, 即a2cos Asin B= b2sin Acos B.方法一由正弦定理知a= 2Rs in A, b = 2Rsi n B,•- sin Acos Asin B= sin Bsin Acos B,又sin Asin B 丰 0,•sin Acos A= sin Bcos B,•sin 2A = sin 2B.在厶ABC 中，0V2A V 2n 0< 2B v 2n,• 2A= 2B 或2A = n—2B,• A= B 或 A + B=才.•△ ABC为等腰三角形或直角三角形.由正弦定理、余弦定理，得方法••• a2(b2+ c2- a2)= b2(a2+ c2- b2),••• (a2—b2)(a2+ b2- c2)= 0,•a2—b2= 0 或a2+ b2—c2= 0.即 a = b 或a2+ b2= c2.•△ ABC为等腰三角形或直角三角形.例3解⑴由正弦定理a= 2Rsin A, b = 2Rsi n B,c= 2Rsin C,得2Rsin A= 2Rsi n Bcos C+ 2Rsin Csi n B.即sin A = sin Bcos C + sin Csin B.又A= n—(B + C),•• sin[ n- (B+ C)] = sin(B + C)=sin Bcos C+ sin Csi n B,即sin Bcos C+ cos Bsin C= sin Bcos C+ sin Csin B,•cos Bsi n C= sin Csi n B.■/ sin C 丰 0,• cos B= sin B且B为三角形内角,nB= —4'1 亚(2)S^ ABC = ?acsin B = ~ac,由正弦定理，得a =器=:"n A2=2 一2sin A,同理，c= 2 . 2sin C,• S^ABC =亍x 2 2sin A x 2 2sin C=2 . 2si n As in C=2 2sin As"(苧一A)3 n 3 n=2 2sin A(sin ycos A —cos ~sin A)2=2(sin Acos A+ sin A)=sin 2A + 1 —cos 2A=,2si n(2A-4) + 1.•.当2A —亍=n即A=护寸，S^ABC有最大值2 + 1.跟踪训练2 解因为cos B = 2cos1 2B—1 = 3,2 54故B为锐角，所以sin B = 5,所以sin A= sin( n—B—C)=sin.3n 3n 7 寸:=sin _cos B—cos ^sin B =asin C 101 1 1048所以&ABc=；；acsin B=：x2x x .2 2 7 5 7例4解由题意，设AC = x,2则BC = x—石X 340= x—40.在厶ABC中，由余弦定理，得BC2= BA2+ AC2— 2 BA AC cos/ BAC,即(x—40)2= 10 000 + x2—100x，解得x= 420.在Rt△ ACH 中，AC= 420, / CAH = 30°所以CH = AC tan/CAH = 140 .3.答该仪器的垂直弹射高度CH为140 3米.跟踪训练3 解设甲、乙两船经t小时后相距最近且分别到达P、Q两处，因乙船到达A由正弦定理，得c= = v，sin A 7处需2小时.①当O W t v 2时，如图⑴，在厶APQ 中，AP = 8t, AQ = 20 —10t,所以PQ =-AQ2+ AP2—2AQ AP c os 120",20—10t 2+ 8t 2— 2 20—10t X 8t X —；= 84t2—240t + 400= 2 ‘21t2-60t + 100;②当t= 2 时，PQ = 8X 2= 16;③当t>2时，如图⑵, 在厶APQ 中，AP = 8t，AQ= 10t —20,••• PQ = ；AQ2+ AP2—2AQ APcos 60 °=2 21t2—60t + 100.综合①②③知,PQ = 2 21t2—60t+ 100(t > 0).30 10当且仅当t=岁=学时，PQ最小.答甲、乙两船行驶号小时后，相距最近.当堂训练1 •锐2.穿3.f(x)>0 4.解在厶ABC中，AC = AB = BCsin 厂sin 60 = sin 0+ 60化简得AC= 4 .3 sin 0米),BC= 4 .3 sin（0+ 60°（米）.当0= 105°时，AC= 4 3 sin 0= 4,3 sin 105 °=4 _3cos 15 （米）,BC= 4 .3 sin（+ 60°= 4 , 3sin 165=4 3sin 15 （米）.1所以& ABC = °AC BC sin 60 °=3 .3（平方米）.2 21 .在△ ABC中，关于x的方程(1 + x)sin A+ 2xsin B+ (1 —x )sin C = 0有两个不等的实根，则A为________ 角.(填“锐”，“直”，“钝”)2 .在△ ABC中，AB = 3, BC = 伍,AC= 4,则边AC上的高为______________________________________________________________ .3. __________________ 设a, b, c是厶ABC 的三条边，对任意实数x, f(x)= b2x2+ (b2+ c2—a2)x+c2,则f(x)与0 的大小关系为.4. 如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有的两面墙的夹角为60°即C= 60°且两面墙的长度足够大)，现有可供建造第三面围墙的材料6米(即AB长为6米)，记/ ABC = ©当0= 105°时，求所建造的三角形露天活动室的面积.。
苏教版高二数学必修5全套学案
苏教版高二数学必修5全套学案§1.1正弦定理学习目标1.掌握正弦定理的内容；2.掌握正弦定理的证明方法；3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动．思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系.如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又，从而在直角三角形ABC中，．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=，则，同理可得，从而．类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即．试试：（1）在中，一定成立的等式是（）．A．B.C.D.（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于．理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；（2）等价于，，．（3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如；．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※典型例题例1.在中，已知，，cm，解三角形．变式：在中，已知，，cm，解三角形．例2.在．变式：在．三、总结提升※学习小结1.正弦定理：2.正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※知识拓展，其中为外接圆直径.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.在中，若，则是（）.A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D．等边三角形2.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶1∶D．2∶2∶3.在△ABC中，若，则与的大小关系为（）.A.B.C.≥D.、的大小关系不能确定4.已知ABC中，，则=．5.已知ABC中，A，，则=．课后作业1.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三角形．2.已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，求实数k的取值范围为．§1.2余弦定理学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习过程一、课前准备复习1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即==．复习2：在△ABC中，已知，，，解此三角形．。
高中数学 模块复习课讲义 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学教案
模块复习课一、正、余弦定理及其应用 1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C(3)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝a2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(5)a ∶b ∶c ＝ sin_A ∶sin _B ∶sin _C ； (6)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ， a sin C ＝c sin A(7)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab变形2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．二、等差数列及其前n 项和 1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n2或S n＝na 1＋n n －12d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数) 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．三、等比数列及其前n 项和 1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·qn－1(a 1≠0，q ≠0)．3．等比中项如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝b G，G 2＝ab ，G ＝±ab ，称G 为a ，b 的等比中项．4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q.6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为q n.四、数列求和的常用方法1．公式法直接利用等差、等比数列的求和公式求和．2．分组转化法把数列转化为几个等差、等比数列，再求解．3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式(1)1n n＋1＝1n－1n＋1；(2)12n－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1；(3)1n＋n＋1＝n＋1－n.4．倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．5．错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．五、不等关系两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝ba －b ＜0⇔a ＜b .(a ，b ∈R )，(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞1⇔a ＞b ，ab ＝1⇔a ＝bab ＜1⇔a ＜b .(a ∈R ，b ＞0)，六、一元二次不等式及其解法 1．“三个二次”的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集{x |x ＜x 1或x ＞x 2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a {x |x ∈R }一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅ ∅(x －a )(x －b )＞0或(x －a )(x －b )＜0型不等式的解法不等式解集a ＜ba ＝ba ＞b(x －a )·(x －b )＞0 {x |x ＜a 或x ＞b } {x |x ≠a }{x |x ＜b 或x ＞a } (x －a )·(x －b )＜0{x |a ＜x ＜b }∅{x |b ＜x ＜a }口诀：大于取两边，小于取中间． 3．常见分式不等式的解法(1)f x g x＞0(＜0)⇔f (x )·g (x )＞0(＜0)．(2)f x g x≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式． 七、基本不等式及其应用 1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(a ＞0，b ＞0)(1)基0本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(a ＞0，b ＞0) (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ) (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝ ⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b22≥⎝⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)1．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .(√)2．当b 2＋c 2－a 2＞0时，三角形ABC 为锐角三角形．(×) [提示] 只能保证A 为锐角，但不能保证三角形为锐角三角形．3．在△ABC 中，asin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C.(√)4．在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(√) 5．若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)[提示] “常数”必须强调为“同一个常数”． 6．等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．(√)7．数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a na n＋a n＋2.(√)＋1＝8．已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列．(√)9．满足a n＋1＝qa n(n∈N*，q为常数)的数列{a n}为等比数列．(×) [提示]必须强调q≠0.10．G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(×)[提示]G2＝ab不能得出G是a，b的等比中项，如G＝0，a ＝0，b＝1.11．如果数列{a n}为等比数列，则数列{ln a n}是等差数列．(×) [提示]当a n＞0时，结论才能成立．12．数列{a n}的通项公式是a n＝a n，则其前n项和为S n＝a1－a n.(×)1－a[提示]公式成立的条件是a≠0，且a≠1.13．若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞), 则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(√)14．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(×)[提示]当a＞0或a＝0，b＝0且c＞0时，结论才能成立．15．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(×)[提示]当a＝0，b＝0且c≤0时，不等式在R上也是恒成立的．16．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集一定不是空集．(√)17．函数y ＝x ＋1x的最小值是2.(×)[提示] 当x ＞0时，x ＋1x的最小值是2.18．函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.(×)[提示] cos x ≠4cos x.19．“x ＞0且y ＞0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．(×)[提示] x y ＋yx≥2Dx ＞0且y ＞0，如x ＝－4，y ＝－1.20．若a ＞0，则a 3＋1a2的最小值为2a .(×)[提示] 2a 不是定值． 21．不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．(×)[提示] a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R .a ＋b2≥ab 成立的条件是a ＞0，b ＞0.22．两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(√) 1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6C [因为S △ABC ＝12ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C ．由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，得2ab cos C ＝2ab sin C ，即cos C ＝sin C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.故选C.]2．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29 D ．25A [因为cos C2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×552－1＝－35.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A.]3．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3B [因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角， 故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12.由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6.故选B.]4．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC的面积为________．233[由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以bc ＝833，所以S △ABC＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.] 5．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.π3[法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理， 得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A . ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B . ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴c os B ＝12.∴B ＝π3.法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12.又0＜B ＜π，∴B ＝π3.]6．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn.(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． [解] (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.7．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . [解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.8．(2017·全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n＝2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和．[解] (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，两式相减得(2n －1)a n ＝2， 所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式， 所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＋1＝22n ＋12n －1＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n2n ＋1.9．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .[解] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin∠A ＝ABsin∠ADB .由题设知，5sin 45°＝2sin∠ADB ，所以sin∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB ＜90°，所以cos∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC ＝sin∠ADB ＝25.在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25.所以BC ＝5.10．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． [解] (1)由题设得12ac sin B ＝a23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A.由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.。
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学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能灵活、熟练运用正弦、余弦定理解三角形．3．能解决三角形与三角变换的综合问题及实际问题.知识点一 正弦定理及其推论 设△ABC 的外接圆半径为R ，则 1.asin A＝________＝________＝________. 2．a ＝________，b ＝________，c ＝________. 3．sin A ＝________，sin B ＝________，sin C ＝________. 4．在△ABC 中，A >B ⇔________⇔________.知识点二 余弦定理及其推论1．a 2＝________________，b 2＝________________， c 2＝________________.2．cos A ＝________；cos B ＝________； cos C ＝________.3．在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为________；c 2>a 2＋b 2⇔C 为________；c 2<a 2＋b 2⇔C 为________．知识点三 三角形面积公式 1．S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c .2．S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .类型一 利用正弦、余弦定理解三角形例1 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，求AD 的长．反思与感悟 解三角形的一般方法：(1)已知两角和一边，如已知A 、B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a 、b . (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a 、b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a 、b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a 、b 、c ，可应用余弦定理求A 、B 、C .跟踪训练1 如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD，AC的长．类型二三角变换与解三角形的综合问题命题角度1三角形形状的判断例2在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．命题角度2三角形的边、角及面积的求解例3△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．反思与感悟 该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，在运用定理进行边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．跟踪训练2 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cosB2＝255，求△ABC 的面积S .类型三 正弦、余弦定理在实际中的应用例4 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217秒．在A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH (声音的传播速度为340米/秒)．反思与感悟应用解三角形知识解决实际问题的步骤：(1)分析题意，准确理解题意；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．跟踪训练3甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？1．在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sin A＋2x sin B＋(1－x2)sin C＝0有两个不等的实根，则A 为________角．(填“锐”，“直”，“钝”)2．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则边AC上的高为________．3．设a，b，c是△ABC的三条边，对任意实数x，f(x)＝b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2，则f(x)与0的大小关系为________．4.如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有的两面墙的夹角为60°(即C＝60°且两面墙的长度足够大)，现有可供建造第三面围墙的材料6米(即AB长为6米)，记∠ABC＝θ.当θ＝105°时，求所建造的三角形露天活动室的面积．1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B等价于a>b等价于sin A>sin B.2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．答案精析知识梳理 知识点一 1.b sin Bc sin C2R 2．2R sin A 2R sin B 2R sin C 3.a 2Rb 2Rc 2R4．a >b sin A >sin B 知识点二1．b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C 2.b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab3．直角 钝角 锐角 题型探究例1 解 在△ABC 中， ∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，由余弦定理，得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝32，∴sin C ＝12.在△ADC 中，由正弦定理， 得AD sin C ＝ACsin ∠ADC， ∴AD ＝222×12＝ 2. 跟踪训练1 解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC ＝7.例2 解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B ) ＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )] ＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2b 2sin A cos B ＝2a 2cos A sin B ， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ，∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A sin B ≠0， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin2A ＝sin2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 方法二 由正弦定理、余弦定理，得 a 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 例3 解 (1)由正弦定理a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ，得2R sin A ＝2R sin B cos C ＋2R sin C sin B .即sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B . 又A ＝π－(B ＋C )，∴sin [π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， ∴cos B sin C ＝sin C sin B . ∵sin C ≠0，∴cos B ＝sin B 且B 为三角形内角， ∴B ＝π4.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝24ac ，由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝222×sin A＝22sin A ， 同理，c ＝22sin C ， ∴S △ABC ＝24×22sin A ×22sin C ＝22sin A sin C ＝22sin A sin(3π4－A )＝22sin A (sin3π4cos A －cos 3π4sin A ) ＝2(sin A cos A ＋sin 2A ) ＝sin2A ＋1－cos2A ＝2sin(2A －π4)＋1∴当2A －π4＝π2，即A ＝3π8时，∴S △ABC 有最大值2＋1.跟踪训练2 解 因为cos B ＝2cos 2B 2－1＝35，故B 为锐角，所以sin B ＝45，所以sin A ＝sin(π－B －C ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B＝sin 3π4cos B －cos 3π4sin B ＝7210.由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.例4 解 由题意，设AC ＝x ， 则BC ＝x －217×340＝x －40.在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2＝BA 2＋AC 2－2·BA ·AC ·cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝10000＋x 2－100x ，解得x ＝420. 在Rt △ACH 中，AC ＝420，∠CAH ＝30°， 所以CH ＝AC ·tan ∠CAH ＝140 3.答 该仪器的垂直弹射高度CH 为1403米．跟踪训练3 解 设甲、乙两船经t 小时后相距最近且分别到达P 、Q 两处，因乙船到达A 处需2小时．①当0≤t ＜2时，如图(1)，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ， 所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ·AP ·cos120° ＝(20－10t )2＋(8t )2－2(20－10t )×8t ×⎝⎛⎭⎫－12 ＝84t 2－240t ＋400＝221t 2－60t ＋100； ②当t ＝2时，PQ ＝8×2＝16； ③当t >2时，如图(2)，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝10t －20， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ·AP cos60° ＝221t 2－60t ＋100.综合①②③知，PQ ＝221t 2－60t ＋100(t ≥0)．当且仅当t ＝3021＝107时，PQ 最小． 答 甲、乙两船行驶107小时后，相距最近． 当堂训练1．锐 2.3323.f (x )>0 4．解 在△ABC 中，AC sin θ＝AB sin60°＝BC sin (θ＋60°). 化简得AC ＝43·sin θ(米)，BC ＝43·sin(θ＋60°)(米)．当θ＝105°时，AC ＝43·sin θ＝43·sin105°＝43cos15°(米)，BC ＝43·sin(θ＋60°)＝43sin165° ＝43sin15°(米)．所以S △ABC ＝12AC ·BC ·sin60° ＝33(平方米)．。