1.5等腰三角形的轴对称性(1)
1.5等腰三角形的轴对称性(1)
A
顶角
腰
腰
底角
2个
B
底边
C
问题2： 等腰三角形是轴对称图形,为什么呢？
它的对称轴是什么？
问题3： 你知道等腰三角形有什么性质吗？ 你是怎样思考的。
动手做一做：
沿等腰三角形的对称轴将三角 形对折，你能发现等腰三角形的 哪些特征?
等腰三角形的性质
1．等腰三角形是轴对称图形； （等边对等角） 2．等腰三角形的两个底角相等； 3．等腰三角形顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高重合（也称 “等腰三角形三线合一”），
等腰三角形的轴对称性
回顾与思考 1、什么叫轴对称图形？ 答：把一个图形沿某条直线对折,对折的两 部分是完全重合的,那么就称这样的图形为 轴对 称图形。
2．角是不是轴对称图形呢？ 如果是，它的对称轴是什么？ 3．线段是不是轴对称图形呢？ 如果是，它的对称轴是什么？
在学过的几何图形中还有 哪些是轴对称图形呢？
它们所在直线都是等腰三角形的对称 轴。
你能用说理的方法进一步证实你的发现吗?
A
已知：ΔABC中，AB=AC， M是BC的中点，连结AM。
B M C
（1）∠B与∠C相等吗？为什么？ （2）AM平分∠BAC吗？为什么？ （3）AM与BC的位置关系怎样？为什么？
⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为 40 ° ______. ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两 个角为 70°,40°或55°,55° ⒊等腰三角形一个角为110°, 35 °，35 ° 它的另外两个角为___________.
A
D
B
C
E
3.如图，在△ABC中，AB=AC，点D 在BC上，且AD=BD。找出图中相等 的角并说明理由。
等腰三角形的轴对称性(解析版)
2.5等腰三角形的轴对称性一、单选题1．如图，l∥m ，等边∥ABC 的顶点A 在直线m 上，则∥α=（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】B【解析】过B 点作BF∥l ，如图，∥BF∥l ，∥∥CBF=40°，∥l∥m ，∥BF∥m ，∥∥ABF=α，∥∥ABC 是等边三角形∥∥ABC=60°=∥CBF+∥ABF ，∥α=20°，故选：B ．2．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，25B ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）．A ．55°B ．65°C ．75°D ．45°【答案】B【解析】∥AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∥AD∥BC ，∥BAD=∥CAD ，∥∥B+∥BAD=90°，∥∥B=25°，∥∥BAD=65°，故选：B ．3．如图，∥ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ，若∥BAC ＝70°，则∥EAN 的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．50°D ．55° 【答案】B【解析】70BAC ∠=︒，18070110B C ∴∠+∠=︒-︒=︒， AB 的垂直平分线交BC 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，EA EB NA NC ∴==，，EAB B NAC C ∴∠=∠∠=∠，，BAC BAE NAC EAN B C EAN ∴∠=∠+∠-∠=∠+∠-∠，1107040EAN B C BAC ∴∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．4．如图，在∥ABC 中，AD∥BC ，垂足为D ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，BD ＝DE ，若∥ABC 的周长为26cm ，AF ＝5cm ，则DC 的长为（ ）A ．8cmB ．7cmC ．10cmD ．9cm【答案】A 【解析】解：∥AD∥BC ，BD ＝DE ，EF 垂直平分AC ，∥AB ＝AE ＝EC ，∥∥ABC 周长26cm ，AF ＝5cm ，∥AC＝10（cm），∥AB+BC＝16（cm），∥AB+BE+EC＝16（cm），即2DE+2EC＝16（cm），∥DE+EC＝8（cm），∥DC＝DE+EC＝8（cm），故选：A．5．如图，∥ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE∥AC于点E，EF//AB交BC于点F，已知AE=5，则∥EFC的周长为（）A．60B．45C．30D．15【答案】B【解析】解：∥∥ABC是等边三角形，∥∥A=60°，∥DE∥AC，∥∥ADE=30°，∥AD=2AE=2×5=10，∥D为AB的中点，∥AB=2AD=20，∥AC=AB=20，∥EC=AC﹣AE=15，∥EF∥AB，∥∥EFC=∥B=60°，∥FEC=∥A=60°，∥∥EFC是等边三角形，∥∥EFC的周长=3EC=3×15=45．故选：B．6．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；如图所示，∥ABC不能够分成两个等腰三角形；如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；故选B.7．如图，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如下图形，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】如图，∥将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上． ∥EF∥DG ，∥E=∥D=60°，∥∥ENM=∥D=60°，∥MGD=∥E=60°，∥EM=NM=EN ，DM=GM=DG ，∥∥MEN ，∥MDG 是等边三角形．∥∥A=∥B=30°，∥MA=MB ，∥∥ABM 是等腰三角形．∥图中等腰三角形有3个．故选：B ．8．如图，∥ABC 中，AB AC =，D 是BC 中点，下列结论，不一定正确的是（ ）A ．AD BC ⊥B ．AD 平分BAC ∠ C ．2AB BD = D ．B C ∠=∠【答案】C 【解析】解：∥AB=AC ，∥∥B=∥C ，∥AB=AC ，D 是BC 中点，∥AD 平分∥BAC ，AD∥BC ，所以，结论不一定正确的是AB=2BD ．故选：C ．二、填空题9．如图，在∥ABC 中，AB=AC ，BD∥AC ，CE∥AB ，D 、E 为垂足，BD 与CE 交于点O ，则图中全等三角形共有_________对．【答案】3【解析】解：有3对：理由是∥AB=AC ，∥∥ABC=∥ACB ，∥BD∥AC ，CE∥AB ，∥∥BDC=∥BEC=90°，∥BC=BC ，∥∥BEC∥∥BDC ，∥∥ADB=∥AEC ，∥A=∥A ，AB=AC ，∥∥ADB∥∥AEC ，∥AD=AE ，∥BE=DC ，∥∥EOB=∥DOC ，∥BEC=∥BDC ，∥∥BEO∥∥CDO ，故答案为3．10．如图，线段AB BC ，的垂直平分线12,l l 交于点O ．若35B ︒∠=，则AOC ∠=__________︒【答案】70【解析】解：连接BO 并延长，如图：线段AB BC ，的垂直平分线12,l l 交于点O∥AO=OB=OC∥A=∥ABO ，∥C=∥CBO∥∥A+∥C=∥ABC=35°∥70AOC AOD COD A ABO C CBO A C ABC ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=故答案为：7011．如图，在ABC 中，AB AC =，50A ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D 点，连接BD ，则DBC ∠的度数是________．【答案】15°【解析】∥AB=AC ，∥A=50∥，∥ ∥ABC=12(180∥−∥A)=12(180∥−50∥)=65∥， ∥MN 垂直平分线AB ，∥AD=BD ，∥ ∥ABD=∥A=50∥，∥ ∥DBC=∥ABC−∥ABD=65∥−50∥=15∥.故答案为:15∥.12．如图，∥ABD ，∥ACE 都是等边三角形，BE 和CD 交于O 点，则∥BOC=__________度．【答案】120【解析】∥∥ABD 、∥ACE 都是正三角形，∥AD=AB ，AC=AE ，∥DAB=∥CAE=60°，∥∥DAC=∥BAE ，∥∥ADC∥∥ABE(SAS)，∥∥ADC=∥ABE ，∥∥DAB=∥BOD=60°，∥BOC=180-∥BOD=120°，故答案为：12013．已知：如图所示，点D 在BC 的延长线上，120ACD AB AC ︒∠==，，则ABC ∆的形状为___________【答案】等边三角形【解析】解：∥点D 在BC 的延长线上，120ACD ︒∠=，∥60ACB ︒∠=，∥AB AC =，∥∥ABC 的形状为等边三角形．故答案为：等边三角形．14．如图，在ABC 中，BO ，CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，过O 点的直线分别交AB ､AC 于点D ､E ，且//DE BC ．若68==，AB cm AC cm ，则ADE 的周长为________．【答案】14cm【解析】DE BC ∥，DOB OBC ∴∠=∠，又BO 是ABC ∠的平分线，DBO OBC ∴∠=∠，DBO DOB ∴∠=∠，BD OD ∴=，同理：OE EC =，ADE ∴的周长14 AD OD OE AE AD BD AE EC AB AC cm ====＋＋＋＋＋＋＋．15．在Rt∥ABC 中，∥B=90°，AC=16，BC=8，那么∥C=______度．【答案】60°【解析】∥Rt∥ABC 中，∥B=90°，AC=16，BC=8， ∥BC=12AC ， ∥Rt∥ABC 中，∥B=90°，∥∥A=30°，∥∥C=90°-∥A=60°．故答案为：6016．如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，DE AC ⊥，垂足为E ，50BAC ∠=︒，则ADE ∠的度数是______．【答案】65【解析】∥AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∥∥BAD ＝∥CAD ，∥∥BAC ＝50°，∥∥DAC ＝25°，∥DE∥AC ，∥∥ADE ＝90°−25°＝65°，故答案为65°．17．等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AH HG ⊥，BG HG ⊥，12HG =，4AH =，则BG =________．【答案】8【解析】ABC 是等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，BC CA ∴=，90BCG ACH ∠+∠=︒，,A BG HG H HG ⊥⊥，90G H ∴∠=∠=︒，90BCG CBG ∠∴∠+=︒，CBG ACH ∴∠=∠，在BCG 和CAH 中，G H CBG ACH BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCG CAH AAS ∴≅，,CG AH BG CH ∴==，12,4H HG A ==，1248BG CH HG CG HG AH ∴==-=-=-=，故答案为：8．18．如图，在等边三角形ABC 中，BD=CE,AD,BE 交于点F,则AFE ∠=_________;【答案】60°【解析】解：在等边∥ABC 中，AB=BC ，∥ABC=∥C=60°，在∥ABD 和∥BCE 中，∥60AB BC ABC C BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∥∥ABD∥∥BCE （SAS ），∥∥BAD=∥CBE ，在∥ABF 中，∥AFE=∥BAD+∥ABF=∥CBE+∥ABF=∥ABC=60°，即∥AFE=60°．故答案为：60°．三、解答题19．如图，已知ABC 中，AB AC =．M 是BC 的中点，D 、E 分别是AB 、AC 边上的且AD AE =． 求证：MD ME =．【答案】见详解【解析】∥AB AC =，∥∥B=∥C ，∥M 是BC 的中点，∥BM=CM ，又∥AD AE =，∥AB -AD=AC -AE ，即BD=CE ，∥∆BDM∥∆CEM ，∥MD ME =．20．如图，点D ，E 在ABC 的边AB 上，,,8CA CB CD CE AE ===，求BD 的长．【答案】8BD =【解析】解：如图，过C 作CM AB ⊥，垂足为M ．∥AC BC =，CD CE =，且CM AB ⊥，∥,==AM BM DM EM ，∥+=+AM EM BM DM ，∥AE BD =．∥8AE =，∥8BD =．21．如图，在Rt ABC △和Rt BAD △中，AB 为斜边，AC BD =，BC 、AD 相交于点E ．（1）请说明AE BE =的理由；（2）若45=︒∠AEC ，1AC =，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE=1.【解析】（1）证明：在Rt ACE 和Rt BDE △中，∥AEC ∠与BED ∠是对顶角，∥AEC BED ∠=∠．∥90C D ∠=∠=︒，AC BD =，∥Rt ACE ∥Rt BDE △（AAS ）．∥AE BE =．（2）∥45=︒∠AEC ，90C ∠=︒，∥45CAE ∠=︒，∥AEC CAE ∠=∠ ，∥1CE AC ==．22．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ． （1）求证：ADE ∆是等边三角形．（2）求证：12AE AB =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)∥∥ABC 为等边三角形，∥∥A=∥ABC=∥C=60°．∥DE∥BC ，∥∥AED=∥ABC=60°，∥ADE=∥C=60°．∥∥ADE 是等边三角形(2)∥∥ABC 为等边三角形，∥AB=BC=AC ．∥BD 平分∥ABC ， ∥AD=12AC ∥∥ADE 是等边三角形，∥AE=AD ． ∥AE=12AB ． 23．已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，E 为BC 边上一点，过E 点的直线交AB 及AC 延长线于D 、F 两点，DE AE =．（1）求证DE EF =；（2）求证BD CF =；（3）若5BE =，3CE =，请直接写出CEF △的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.5.【解析】证明：（1）,ED EA =,EDA EAD ∴∠=∠90BAC ∠=︒，90,EAD EAC EDA F ∴∠+∠=︒=∠+∠,EAC F ∴∠=∠,EA EF ∴=.ED EF ∴=（2）如图，过D 作//DM AC 交BC 于M ，DMB ACB ∴∠=∠,EDM F ∠=∠，AB AC =,B ACB ∴∠=∠，B DMB ∴∠=∠，DB DM ∴=，在EDM △与EFC 中，EDM F DE FEDEM FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EDM EFC ASA ∴≌,DM FC ∴=.BD CF ∴=（3）过D 作DP BC ⊥于P ，,90AB AC BAC =∠=︒，DB DM =，45B DMB ∴∠=∠=︒，45BDP MDP ∴∠=∠=︒，=BP MP DP ∴=，EDM EFC ≌，3EM EC ∴==，5BE =，2BM ∴=，1DP ，1131 1.522DME S ME DP ∴==⨯⨯=，1.5.CEF S ∴=24．如图，ABC ∆是等边三角形，BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，延长BC 到点Q ，使得CP CQ =．（1）请用尺规作图的方法，过点P 作PM BQ ⊥，垂足为M ；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BM QM =．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）解：如图，（2）证明：∥∥ABC是等边三角形，BP平分∥ABC，∥P是AC的中点（三线合一）∥∥ABC＝2∥PBC，∥CP＝CQ，∥∥Q＝∥CPQ．又∥∥ACB＝∥Q＋∥CPQ，∥∥ACB＝2∥Q，又∥∥ABC＝∥ACB，∥2∥PBC＝2∥Q，∥∥PBC＝∥Q，∥PB＝PQ．∆是等腰三角形，∥PBQ又∥PM∥BQ，∥BM＝QM．25．如图，∥ACB和∥DCE均为等腰三角形，∥ACB=∥DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．（1）求证：AD=BE；（2）若∥CAE=15°，AD=4，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）8【解析】（1）∥ACB和∥DCE均为等腰三角形，∥ACB=∥DCE=90°，∴∠=∠,ADC BCE在ACD △与BCE 中，AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD BCE SAS ∴≌，AD BE ∴=；（2）ABC 是等腰直角三角形，45ABC ∴∠=︒，由（1）可知，15CAE CBE ∠=∠=︒，4BE AD ==,451560ABE ABC CBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，90ABE ACB ∴∠=∠=︒，则在Rt AEB 中，30EAB ∠=︒，28AB BE ∴==．26．如图，已知∥ABC 是等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 边上的点，且BD CE =，AD 、BE 相交于点P .（1）求证：AD BE =；（2）求出APE ∠ 的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°.【解析】（1）∥∥ABC 是等边三角形，∥AB=BC=AC ，∥ABC=∥BAC=∥C=60°，在∥ABD 和∥BCE ，AB BC ABD C BD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∥∥ABD∥∥BCE （SAS ），∥AD=BE．（2）∥∥ABD∥∥CBE，∥∥BAD=∥CBE，∥∥ABP+∥CBE=∥ABD=60°，∥∥ABP+∥BAD=60°，∥∥APB=180°-60°=120°．=180°-120°=60°．∥APE27．如图，∥ABC中，AB＝AC，∥A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∥ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【答案】（1）∥ECD=36°；（2）BC长是5．【解析】解：（1）∥DE垂直平分AC，∥CE＝AE，∥∥ECD＝∥A＝36°；（2）∥AB＝AC，∥A＝36°，∥∥B＝∥ACB＝72°，∥∥BEC＝∥A+∥ECD＝72°，∥∥BEC＝∥B，∥BC＝EC＝5．。
等腰三角形性质定理(基础)知识讲解
等腰三角形性质定理（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识．3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝1802A ︒-∠ . （2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx 即为所求”.(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a 的等边三角形它的高是2a ，面积是24a . 【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 推论：等边三角形的各个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形的性质的作用证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a ，h （如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC ＝a,BC 边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC 的垂直平分线l,交BC 与点D.3.在直线l 上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC 就是所求作的等腰三角形.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1】1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.【答案与解析】解：∵AB＝AC∴∠B ＝∠C∵AB＝BD∴∠2＝∠3∵∠2＝∠1＋∠C∴∠2＝∠1＋∠B∵∠2＋∠3＋∠B＝180°∴∠B＝180°－2∠2∴∠2＝∠1＋180°－2∠2∴3∠2＝∠1＋180°∵∠1＝30°∴∠2＝70°【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1练习】举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x在△ABC中，根据三角形内角和得，x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②由①，②解得x＝36°∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、（2016秋•威海期中）在等腰三角形中，已知一个角为40°，那么另两个角的度数是．【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40°，分别从40°是等腰三角形顶角与40°是底角的角度去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数1140702=⨯︒=︒；(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．∴另两个角为70°，70°或40°，100°．【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解．【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1105 2=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，3＋3＜7，故不能构成三角形，应舍去．∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．举一反三：【变式】计算：（1）一个等腰三角形的一边长为8cm，周长为20cm，求其它两边的长．（2）已知等腰三角形的一边长等于6cm，一边长等于7cm，求它的周长．（3）已知等腰三角形的一边长等于5cm，一边长等于12cm，求它的周长．【答案】解：（1）①底边长为8，则腰长为：（20﹣8）÷2=6，所以另两边的长为6cm，6cm，能构成三角形；②腰长为8，则底边长为：20﹣8×2=4，底边长为8cm，另一个腰长为4cm，能构成三角形．因此另两边长为8cm、4cm或6cm、6cm；（2）①6是腰长时，周长=6+6+7=19；②6是底边时，7是腰，周长=6+7+7=20；综上，它的周长为19或20；（3）分两种情况：当腰为5cm时，5+5＜12，所以不能构成三角形；当腰为12cm时，12+12＞5，12﹣12＜5，所以能构成三角形，周长是：12+12+5=29cm．类型三、等腰三角形的性质及其运用4、如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．【思路点拨】过E作EF∥AB交BC延长线于F，根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出∠F=∠FCE，从而可得到BD=CE=EF，再根据AAS判定△DGB≌△EGF，根据全等三角形的性质即可证得结论．【答案与解析】证明：过E作EF∥AB交BC延长线于F．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F=∠B，∵∠ACB=∠FCE，∴∠F=∠FCE，∴CE=EF，∵BD=CE，。
等腰三角形的性质PPT授课课件
HK版 八年级上
第三章 声的世界
第2节 声音的特性
第2课时 噪声的防治
习题链接
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1 噪声；空气 4 dB；不能
答案呈现
7 人耳 10 见习题
2D
5D
8C
3C
6 声源；传播过程 9 B
基础巩固练
8．[中考·山东潍坊]将教室的门窗关闭，室内同学听到的 室外噪声减弱。对该现象说法正确的是( C ) A．室外噪声不再产生 B．噪声音调大幅降低 C．在传播过程中减弱了噪声 D．噪声在室内的传播速度大幅减小
AB=AC,
∵
BD=CD，
AD=AD,
∴△BAD ≌△CAD (SSS).
∠B=∠C.
这样，我们就证明了性质1
感悟新知
归纳
知1－讲
我们可以发现等腰三角形的性质： 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边 对顶角”.
感悟新知
例 1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
16 B
答案呈现
17 B 18 见习题 19 见习题
基础巩固练
1．某市已经明令禁止在城区内燃放烟花爆竹，因为燃放 烟花爆竹除了会造成空气污染外，燃放烟花爆竹时的 巨大声音还是一种___噪__声___(填“乐音”或“噪声”)，爆 竹的巨大声音是__空__气____的振动产生的。
基础巩固练
7．[安徽霍邱月考]如图所示，在女子10 m气手枪比赛中，射 击时，很多运动员在耳朵里放一个耳塞或戴上耳罩，这 主要是在___人__耳___处减弱噪声。
能力提升练
解：(1)据题可知，“控制音量”是在声源处减弱噪声， 控制的是噪声的响度。
八年级数学上册《1.5.3 等腰三角形的轴对称性》学案 苏科版
《1.5.3 等腰三角形的轴对称性》
姓名日期
学习目标：
1、掌握等边三角形的性质及其判定
2、
学习重难点：
一、预习展示：
1、等腰三角形具有哪些性质：
2
质？（分别从边、角、对称性考虑）
边：
角：
对称性：
3．等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？
二、探究学习：
（1）3个角相等的三角形是等边三角形吗？为什么？
（2）有2个角是60
（3）有1个角是60
么？
三、当堂盘点
1、下列三角形：①有两个角等于60°；等腰三角形；③三个外角的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，
其中是等边三角形的有 （A ．①②③ B ．①②④ C ．①③2、如图，△ABC 是等边三角形，在△ADE 中，∠BAD=15°，则∠CA E= ，
∠CDE= 。
3．如 图，等边三角形ABC 中，BD=CE ，AD 则∠AFE 的度数为
4.如图,△ABC 和△CDE 都是等边三角形,线上.（1）AD 与BE 相等吗？为什么？
（2）连接MN ，试说明△MNC 为等边三角形
5.如图，△ABC 是等边三角形，D 为AC 且∠1=∠2，BD=CE ．
求证：△ADE 是等边三角形．
A
B C E 第2题图
E ∠。
八年级数学上册 1.1.5(等腰三角形的轴对称性)教案(二) 苏科版 教案
教学时间（日期、课时）：
教材分析：
学情分析：
教学目标：
1、掌握等角对等边的性质
2、掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质
3、经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象概括能力，感受分类、转化等数学思想方法；
4、会用“∵……∴……（ ）”等方式来进行说理，进一步发展有条理的思考和表达，提高演绎推理的能力
例2.如图，在在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D，DE∥AB交AC于点E. △ADE是等腰三角形吗？为什么？
三．小结
1、等角对等边的性质；
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
板书设计
作业设计
P25 4、5
教学反思
页边批注
教学准备
《数学学与练》
集体备课意见和主要参考资料
页边批注
学过程
一．新课导入
1、复习巩固：
介绍上节所学关于等腰三角形知识；
2、操作、实践：
（1）取一张长方形纸片，如图所示，任意折叠。
C C
2 B
1
A A
①观察图中∠1与∠2有什么关系？说明理由。
②度量线段AB与BC的长度，想一想，再试一次。
（2）按步骤画△ABC
取一张直角三角形纸片，按下列步骤折叠：
（1）（2）（3）（4）
问题：（4）中有几个全等的三角形，分别说明它们全等的理由。图中与AD相等的线段有哪些？BD与AC的大小有什么关系？
3、小结、交流：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
.例1．如图，在△ABC中AB=AC,角平分线BD,CE相交于点O，OB与OC相等吗？请说明理由
2.5 等腰三角形的轴对称性(1)(教案)
2.5 等腰三角形的轴对称性（1）（教案）连云港外国语学校 张兆驹教学目标：1、通过“折纸、画图、观察、归纳”的活动，知道等腰三角形的轴对称性和相关性质；2、会用“因为……所以……理由是……”或“根据……因为……所以”等方式进行说理，进一步发展有条理地思考和表达，提高演绎推理的能力.教学重点：等腰三角形相关性质的应用教学难点：等腰三角形的“三线合一”性质的灵活运用 教学过程：一、情境创设同学们，我们在七年级已研究了一般三角形的性质，今天我们一起来探究特殊的三角形---等腰三角形． 那么，你对等腰三角形有哪些了解？（师生共同回忆等腰三角形及其相关的名称，并板书） 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角． 腰和底边的夹角叫做底角．生活中有哪些物体让你联想到等腰三角形？ （学生举例）设计意图：首先让学生明确：本学段的几何图形都是按一般到特殊的顺序研究的．通过学生描述等腰三角形在生活中的应用，让学生感受到数学就在我们身边，以及研究等腰三角形的必要性． 二、操作探究 剪纸游戏：你能利用手中的这个矩形纸片剪出一个等腰三角形吗? 你是如何想到的呢?学情分析：大部分学生会有自己的想法，根据轴对称图形的性质，利用对折纸片，再“剪一刀”就是就得到了两条“腰”； 可能还有的同学会利用正方形的折法，获得特殊的等腰直角三角形； 可能还有同学先画图，再依线条剪得．DC BA D C (B )(A )D C (B )(A )设计意图：设计了问题“你是如何想到的？”，为的是剖析学生的思维过程：“折叠”就是为了得到“对称轴”，“剪一刀”就是就得到了两条“腰”,由“重合”保证了“等腰”．这样就建立了“操作”与“证明”的中间桥梁．从实际操作中得到证明的方法，也为发现“三线合一”做了铺垫．在这个过程中，注重落实三维目标．让学生在获取新知的过程中更好的认识自我,建立自信.要不失时机的对学生给予鼓励和表扬，使活动更加深入,课堂充满愉悦和温馨． 折纸游戏：利用手中的这个等腰三角形，把它沿顶角的平分线对折，你有什么发现呢？（同学们动手操作）通过对上面等腰三角形的折叠我们可以得出： 等腰三角形的性质：性质一：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线．．．．．是它的对称轴． 你能用图形和符号语言（简洁的符号表达）来描述上述性质吗？ （教师可以和学生一起分析性质的条件和结论）如右图，在△ABC 中，如果AB =AC ，AD 为顶角的平分线，则AD 所在的直线是△ABC 的对称轴． 根据等腰三角形的轴对称性，同学们还发现了等腰三角形有什么其它性质吗？（小组探究并获得相关结论） 性质二：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质三：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）． 你也能用图形和符号语言来描述上述两个性质吗？ （小组讨论，并填写在学案上，表达时可以和同学们一起描述过程，加深印象）1.在△ABC 中，如果AB =AC ，那么∠B =C .2.在△ABC 中，AB =AC ，点D 在BC 上. 如果∠BAD =∠CAD ，那么AD ⊥BC ，BD =CD . 如果BD =CD ，那么∠BAD =∠CAD ，AD ⊥BC . 如果AD ⊥BC ，那么∠BAD =∠CAD ，BD =CD . 及时巩固：完成课本练习1．C B AC (B )ADCBADCBADCBA学情分析：这个环节是本节课的重点，也是教学难点．尽管在教学过程中，因为学生的相异构想，数学猜想的初始叙述不准确，甚至不正确，但不应立即去纠正他们，而是让同学们不断地质疑﹑辨析、研讨和归纳，逐渐完善结论．让他们真正经历数学知识的形成过程，真正的体现以人为本的教学理念，努力创设和谐的教育教学的生态环境．通过设置恰当的动手实践活动，引导学生经历观察、动手实践、猜想、验证等数学探究活动，这种探究的学习过程，恰恰是研究几何图形性质的一般规律和方法．设计意图：能让学生观察的，尽量让学生观察；能让学生思考的，尽量让学生思考；能让学生表达的，尽量让学生表达；能让学生作结论的，尽量让学生作结论．把学习的过程真正还给学生，不怕学生说不好，不怕学生出问题，其实学生说不好的地方、学生出问题的地方都正是我们应该教的地方，是教学的切入点、着眼点、增长点． 三、例题示范例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在BC 上，且AD =BD . （1）找出图中相等的角并说明理由； （2）若∠ADC =70O，求∠BAC 的度数．例2.如图，D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB =AC ，AD =AE ， 求证：BD =CE .例3：如右图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上，且AD =BD =BC ， 求∠A 的度数．（及时巩固：完成课本剩余练习）设计意图：带有说理的求解题，主要关注和检测学生在叙述过程理由是否合理、充分，求解过程是否简洁． 例1补充了第二小问，使问题具体化，是让学生对第一小问说理的再认识．例2中证明方法多样,可以利用全等三角形证明线段相等；也可以作辅助线，利用刚刚学过的性质2，通过此题，教会学生选择简捷方法,并能有效利用所学知识综合解题，本题对于学生知识的灵活应用、能力的提高都有一定的作用充例3，主要是拓展学生的视野，了解黄金三角形的特殊性，同时进一步巩固等腰三角形的性质．DCBADCBAEDCBAAOHGFEB四、课堂小结畅谈收获：总结活动情况，重在肯定与鼓励．引导学生回忆从本课学习中所得到的新知识，运用的数学思想方法，新旧知识的联系等，提高学生自主建构知识网络、分析解决问题的能力．设计意图：帮助学生梳理知识，回顾探究过程中所用到的从特殊到一般的数学方法，启发学生更深层次的思考，为学生的下一步学习做好铺垫．反思过程不仅是学生学习过程的继续，更重要的是一种提高和发展自己的过程． 五、课后作业1．基础性作业：习题对应练习 2．拓展性作业：连云港三年大变样,要在拥堵路段铺设高架桥, 如图∠AOB 是一钢架，∠AOB ＝10°,为使钢架更坚固，需要内部添加一些钢管EF 、FG 、GH …， 添加的钢管的长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管多少根？ 设计意图：通过基础性作业，让所有的学生通过写作业，都有成功的收获；利用拓展性作业，激发学生进一步学习新知识的兴趣． 六、教学后记本节课的教学内容是等腰三角形的第一课时，通过剪纸、折纸开始，让学生重新认识了等腰三角形，观察等腰三角形的对称性，发展形象思维；通过动手操作、观察、思考，积累数学活动经验，感受数学思考过程的条理性，发展抽象思维能力.通过学生之间的交流活动，培养学生主动与他人合作交流的意识.设计力求体现使学生“学会学习，为终身学习做准备”的理念，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，让学生在活动中获得知识、形成技能和能力；在教法上采用启发探索式教学模式，整堂课以问题为思维主线，引导学生通过观察，自主探索，使学生观察、主动思考，并充分利用计算机辅助教学，以加强感性认识并培养学生用运动联系的观点观察现象、解决问题.整个教学环节层层推进、步步深入，融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体，注重调动学生思维的积极性，把知识的形成过程转化为学生亲自观察、实验、发现、探索、运用的过程．使学生在获得知识的同时提高兴趣、增强信心、提高能力.最终实现“人人学有价值的数学、人人都能获得必需的数学以及不同的人在数学上都能得到不同的发展”，让学生真正感受到:课伊始，趣已生；课继续，情更浓；课已尽，意犹存．让数学课堂真正焕发出无穷的活力！。
2-5 等腰三角形的轴对称性(解析版)
姓名：班级2.5 等腰三角形的轴对称性本课重点（1）等腰（等边）三角形的性质与判定本课难点（2）等腰（等边）三角形中的动态综合问题全卷共25题，满分：120分，时间：90分钟一、单选题（每题3分，共30分）1．（2021.江苏八年级期中）有下列说法：①等腰三角形的腰相等；②等腰三角形的两底角相等，③等腰三角形的中线、高线和角平分线互相重合；④等腰三角形两底角的平分线相等；⑤等腰三角形的腰一定大于腰上的高线其中正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质分别判断即可．【详解】解：①等腰三角形的腰相等，故正确；②等腰三角形的两底角相等，故正确；③等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，故错误；④等腰三角形两底角的平分线相等，故正确；⑤等腰三角形的腰一定大于或等于腰上的高线，故错误；故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，解题的关键是了解等腰三角形的性质，难度不大．2．（2021·山东九年级一模）如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据边三角形纸片ABC的周长为6可求BC=2，根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【详解】解：∵等边三角形纸片ABC的周长为6，∴2BC=∵E，F是边BC上的三等分点，∴EF=23，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是23×3=2．故选：B．【点睛】考查了等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明△DEF是等边三角形．3．（2021·江苏中考真题）如图，在44⨯的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得ABC是等腰直角．．．．三角形，满足条件的格点C的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．4．（2021·福建九年级二模）如图，正五边形ABCDE中，F为CD边中点，连接AF，则BAF∠的度数是（）A ．50︒B ．54︒C ．60︒D ．72︒【答案】 B 【分析】连接AC ，AD ，正五边形ABCDE 中，得到AB =AE =BC =DE ，∠B =∠E ，证得△ABC ≌△AED ，根据全等三角形的性质得到∠BAC =∠EAD ，AC =AD ，根据等腰三角形的性质得到∠CAF =∠DAF ，即可得到结论．【详解】解：连接AC ，AD ，五边形ABCDE 是正五边形，∴,AB AE BC DE B E ===∠=∠，108BAE ∠=︒，在△ABC 和△AED 中AB AE B E BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△AED ，,BAC EAD AC AD ∴∠=∠= AF CD ⊥CAF DAF ∴∠=∠1542BAF EAF BAE ∴∠=∠=∠=︒．故选B ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．5．（2021·广东九年级一模）如图，在ABC 中，8AB AC ==，AD 是角平分线，BE 是中线，则DE 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ． 6 【答案】B 【分析】由等腰三角形的性质推出AD BC ⊥，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求得DE ．【详解】解：∵ 8AB AC ==，AD 是角平分线，∴ AD BC ⊥，∴ 90ADC ∠=︒，∵ BE 是中线，∴ AE CE =，∴ 118422DE AC ==⨯=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟记这两个性质是解决问题的关键．6．（2021·辽宁九年级一模）如图，ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，点E 在AD 上，且12DE BC =，则AFE ∠=（ ） A ．100°B ．105°C ．110°D ．115° 【答案】B 【分析】由ABC 是等边三角形，可得∠B =60°，由AD 是BC 边上的中线，可得BD =CD =12BC ，AD ⊥BC ，由12DE BC =，ED =CD ，可求∠ECD =45°，由三角形外角性质可求∠AFC =105°． 【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴∠B =60°，AB =AC ，∵AD 是BC 边上的中线，∴BD =CD =12BC ，AD ⊥BC ， ∵12DE BC =，∴ED =CD ，∠EDC =90°，∴∠ECD =∠DEC =45°， ∵∠AFC 是△FBC 的外角，∴∠AFC =∠B +∠FCD =60°+45°=105°．故选择：B ．【点睛】本题考查等边三角形性质，等式性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，掌握等边三角形性质，等式性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质是解题关键．7．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE CD =，则下列结论错误．．的是（ ）A ．30CED ∠=︒B ．120∠=︒BDEC ．DE BD = D ．DE AB =【答案】D【分析】因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有∠ADB＝∠CDB＝90°，且∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，可得∠CDE＝∠CED＝30°，所以就有∠CBD＝∠DEC，即DE＝BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°.由此得出答案解决问题．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB＝60°，∵BD是AC上的中线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故ABC均正确．故选：D ．【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．8．（2021·广东八年级期末）如图，∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，则下列结论正确的有（）①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE；④CD＝BE ．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】由∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，可得出∠ABC＝∠ACB，再利用等角对等边可得出AB＝AC，可判断①；由∠A＝∠A，AB＝AC及∠ABE＝∠ACD，可证出△ABE≌△ACD（ASA），再利用全等三角形的性质可得出AD＝AE，CD＝BE，可判断②④；由AB＝AC，AD＝AE，可得出BD＝CE 可判断③即可．【详解】解：∵∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，∴∠ABE+∠EBC＝∠ACD+∠DCB ，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC ，结论①正确；在△ABE和△ACD中，A AAB ACABE ACD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AD＝AE，CD＝BE，结论②④正确；∵AB＝AC，AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE ，∴BD＝CE，结论③正确．∴正确的结论有4个．故选择：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．9．（2021·重庆八年级期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 是BC 边的中点，点P 是AC 边上一个动点，连接PD ，以PD 为边在PD 的下方作等边三角形PDQ ，连接CQ ．则CQ 的最小值是（ ）A ．32B ．1C ．2D ．32【答案】B【分析】以CD 为边作等边三角形CDE ，连接EQ ，由题意易得∠PDC =∠QDE ，PD =QD ，进而可得△PCD ≌△QED ，则有∠PCD =∠QED =90°，然后可得点Q 是在QE 所在直线上运动，所以CQ 的最小值为CQ ⊥QE 时，最后问题可求解．【详解】解：以CD 为边作等边三角形CDE ，连接EQ ，如图所示：∵PDQ 是等边三角形，∴60,,CED PDQ CDE PD QD CD ED ∠=∠=∠=︒==，∵∠CDQ 是公共角，∴∠PDC =∠QDE ，∴△PCD ≌△QED （SAS ），∵90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 是BC 边的中点，∴∠PCD =∠QED =90°，122CD DE CE BC ====， ∴点Q 是在QE 所在直线上运动，∴当CQ ⊥QE 时，CQ 取的最小值，∴9030QEC CED ∠=︒-∠=︒，∴112CQ CE ==；故选B ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．10．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，A ，B ，E 三点在同一直线上，ABC ，CDE △都是等边三角形，连接AD ，BE ，OC ：下列结论中正确的是（ ）①△ACD ≌△BCE ；②△CPQ 是等边三角形；③OC 平分AOE ∠；④△BPO ≌△EDO ．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】B 【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可．【详解】∵△ABC ，△CDE 都是等边三角形，∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠ECD =60°，∴∠ACB +∠PCQ =∠ECD +∠PCQ ，∠PCD =60°，∴∠ACD =∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE ， ∴①的说法是正确的；∵△ACD ≌△BCE ，∴∠PDC =∠QEC ，∵∠PCD =∠QCE =60°，CD =CE ，∴△PCD ≌△QCE ，∴PC =QC ，∴△CPQ 是等边三角形；∴②的说法是正确的；∵△PCD ≌△QCE ，∴PD =QE ，PCD QCE S S =△△，过点C 作CG ⊥PD ，垂足为G ，CH ⊥QE ，垂足为H ， ∴1122PD CG QE CE •=•，∴CG =CH ，∴OC 平分AOE ∠，∴③的说法是正确的； 无法证明△BPO ≌△EDO ．∴④的说法是错误的；故答案为①②③，故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的全等与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活进行三角形全等的判定，活用角的平分线性质定理的逆定理是解题的关键．二、填空题（每题3分，共24分）11．（2021·广东清远市·八年级期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝50°，BD 为∠ABC 的平分线，则∠ABD ＝_______°．【答案】32.5【分析】由已知根据等腰三角形的性质易得两底角的度数，结合角平分线的定义即可求解．【详解】解：∵AB =AC ，∠A =50°，∴∠ABC =∠C =180502︒-︒=65°， 又BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD =32.5°．故答案为：32.5．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义；正确的识别图形是解题的关键．12．（2021·江苏九年级二模）顶角是36︒的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，AC AD BE 、、是正五边形ABCDE 的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．【答案】6 【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可．【详解】解：设BE 与AC 、AD 交于M 、N ，ABCDE 是正五边形，内角和为5218540(0)-⨯︒=︒，每一个内角为5405108︒÷=︒，∴∠ABC ＝∠BAE ＝∠AED ＝∠BCD ＝∠CDE ＝108°，∵AB ＝BC ＝AE ＝ED ，∴∠BAC ＝∠BCA ＝36°，∠EAD ＝∠ADE ＝36°，∴∠CAD ＝36°，∠ACD ＝∠ADC ＝72°，∴AC ＝AD ，∴△ACD 是黄金三角形，同理可求：∠BAN ＝∠ANB ＝∠AME ＝∠EAM ＝72°，∠CBM ＝∠BMC ＝∠DNE ＝∠DEN ＝72°， ∴△AMN 、△DEN 、△EAM 、△CMB ，△ABN 也是黄金三角形．则图中黄金三角形的个数有6个．故答案为：6．【点睛】此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义．注意：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形．13．（2021·山东济南市·八年级期末）如图，△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DFE ＝90°，AB ＝AC ，FD ＝FE ，△DEF 的顶点E 在边BC 上移动，在移动过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与线段CA 相交于点Q ，当E 为BC 中点，连接AE 、PQ ，若AP ＝3，AQ ＝4，PQ ＝5，则AC 的长＝________．【答案】12【分析】在CQ上截取CH，使得CH=AP，连接EH，证明△CHE≌△APE（SAS），由全等三角形的性质得出HE=PE，∠CEH=∠AEP，证明△HEQ≌△PEQ（SAS），得出HQ=PQ ，则可求出答案．【详解】解：在CQ上截取CH，使得CH=AP，连接EH ，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠EAP=45°，AB=AC ，∵E是BC的中点，∴AE=CE，∵在△CHE与△APE中：CH APC EAP AE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CHE≌△APE（SAS），∴HE=PE，∠CEH=∠AEP ，∴∠HEQ=∠AEC-∠CEH-∠AEQ=∠AEC-∠AEP-∠AEQ=∠AEC-∠PEF=90°-45°=45°，∴∠HEQ=∠PEQ=45°，∵在△HEQ与△PEQ中，PE HEHEQ PEQEQ EQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△HEQ≌△PEQ（SAS），∴HQ=PQ，∴AC=AQ+QH+CH=AQ+PQ+AP=4+5+3=12，故答案为：12．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．14．（2021·重庆南开中学八年级期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，AD=CE，连接BD，AE，点M、N分别在线段BE、BD上，满足BM=BN，MN=ME，若∠DBC：∠BEN=8：7，则∠AEN 的度数为_______．【答案】45°【分析】由三角形ABC 为等边三角形，得到AB =AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠C =60°，再由AD =CE ，利用SAS 得出三角形ACE 与三角形BAD 全等，得到∠EAC =∠ABD ，由∠BGE 为三角形ABG 的外角，利用外角性质得到∠BGE =60°，设∠DBC=8x ，∠BEN =7x ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出14x +14x +8x =180°，得出x 的值，利用三角形外角的性质即可得出答案；【详解】解：∵△ABC 为等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠C =60°，在△ACE 和△BAD 中，60CE AD C BAC CA AB ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△BAD （SAS ），∴∠CAE =∠ABD ；∴∠BGE =∠ABD +∠BAE =∠EAC +∠BAE =∠BAC =60°，∵∠DBC ：∠BEN =8：7，设∠DBC=8x ，∠BEN =7x ，∵MN =ME ，∴∠MNE =∠BEN =7x ，∴∠BMN =14x ，∵BM =BN ，∴∠BMN =∠BNM =14x ，在△BMN 中，14x +14x +8x =180°，∴x =5°∵∠BNE =∠BGE +∠AEN=∠BNM +∠MNE =21x =105°，∴∠AEN=105°-60°=45°；故答案为：45°【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠BEG =60°和利用方程的数学思想．15．（2021·重庆八中八年级期末）如图，在ABC 中，30B ∠=︒，M 、N 为边AB 、BC 上的两个动点，将BMN △沿MN 翻折，翻折后点B 的对应点D 落在直线BC 上方，连接CD ，2DCB AMD ∠=∠，且20AMD ∠>︒，则当CDN △是等腰三角形时，AMD ∠=_____________度．【答案】40【分析】连接BD ，根据折叠的性质可得,30MBD MDB NBD NDB MBD ∠=∠∠=∠=︒-∠，得2,2(30)AMD MBD DNC MBD ∠=∠∠=︒-∠ ，再分DN =DC ，DN =NC ，NC =DC 三种情况讨论可得结果．【详解】解：连接BD ，如图，由折叠可得，MB =MD ，BN =DN ，∴,MBD MDB NBD NDB ∠=∠∠=∠，∵=30ABC ∠︒ ∴30NBD NDB MBD ∠=∠=︒-∠∴()2,230AMD MBD DNC DBM ∠=∠∠=︒-∠∵2DCN AMD ∠=∠ ∴4DCN MBD ∠=∠∵CDN △是等腰三角形，∴分三种情况讨论：①当NC =DC 时，2(30)DNC NDC MBD ∠=∠=︒-∠又180DNC NDC DCN ∠+∠+∠=︒ ∴2(30)2(30)4180MBD MBD MBD ︒-∠+︒-∠+∠=︒整理得，120180︒=︒ 故此种情况不存在；②当DN =DC 时，DNC DCN ∠=∠ ∴2(30)4MBD MBD ︒-∠=∠解得，=10MBD ∠︒∴20AMD ∠=︒；∵∠AMD ＞20°，∴此种情况须舍去；③当DN =NC 时，4NDC NCD MBD ∠=∠=∠∵180DNC NDC DCN ∠+∠+∠=︒∴2(30)44180MBD MBD MBD ︒-∠+∠+∠=︒解得，20MBD ∠=︒ ∴40AMD ∠=︒ 综上，AMD ∠的度数为40︒ 故答案为：40【点睛】此题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，灵活掌握分类讨论思想是解答此题的关键．16．（2021·淮安市浦东实验中学八年级期中）如图，60AOB ∠=︒，C 是OB 延长线上一点，若18cm OC =，动点P 从点C 出发沿CB 以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 沿OA 以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间，当t =______s 时，POQ △是等腰三角形？【答案】6或18【分析】分点P 在线段OC 上和点P 在线段OB 上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）点P 在线段OC 上时，若ΔPOQ 是等腰三角形，则只有OP=OQ 才满足因此有18−2t=t 解得t=6(s)（2）点P 在线段OB 上时，若ΔPOQ 是等腰三角形，∵60AOB ∠=︒∴ΔPOQ 也是等边三角形 因此有2t−18=t 解得t=18(s)综上，当t 等于6s 或18s 时，ΔPOQ 是等腰三角形。
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1.5等腰三角形的轴对称性（1）
【学习目标】：
1. 根据等腰三角形的轴对称性得出并掌握等腰三角形的等边对等角“三线合一”的性质；
2. 能够熟练的运用等腰三角形的相关性质解决问题.
【重点难点】：等腰三角形相关性质的应用；等腰三角形的“三线合一”性质的灵活运用. 【预习指导】：
1、对于等腰三角形我想大家一定都不陌生。
在前面三角形的学习中我们已经有所认识. 拿出事先准备的等腰三角形，把等腰三角形沿顶角的平分线对折。
同学们有什么发现吗？
通过对上面等腰三角形的折叠我们可以得出： 根据等腰三角形的轴对称性，同学们还发现了等腰三角形什么性质吗？
2、性质巩固：
（1）如图.
在△ABC 中,如果AB=AC,那么∠________=∠_______；
（2）如图.在△ABC 中, AB=AC,点D 在BC 上.如果∠BAD=∠CAD,那么 AD ⊥BC , BD=CD. 如果BD=CD,那么∠________=∠_______, _______⊥______; 如果AD ⊥BC,那么_______________, _____________.
【典题选讲】：
例1 根据下列条件求等腰三角形格内角的度数. （1）一个内角为70°；
（2）一个外角为100°.
例2 如图,在△ABC 中,AB=AC,且BC=BD=AD,求△ABC 各角的度数.
C
例3 如图，在△ABC中，AB = AC，点D在BC上，且AD = BD.
（1）、找出相等的角并说明理由.
（2）若∠ADC=700，求∠BAC的度数.
【学习体会】：
【课堂练习】：
1．（1）、等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm,则它的周长为 ____. （2）、等腰三角形的周长为10,一边长为4,那么另外两边长为_________ .
2.（1）等腰三角形的一个底角是70度，则它的顶角是 .
（2）等腰三角形的一个角是30度，则它的另外两个角分别为 .
（3）等腰三角形的一个角是100度，则它的另外两个角分别为 .
（4）等腰三角形的周长是10cm，腰长是4cm，则底边为 .
（5）等腰三角形的周长是20cm，一边长是8cm，则其它两边长为 .
3．已知在△ABC中，AB = AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.判断AO与BC的位置关系，并说明理由.
B
C
F C
D
B
E A
4．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ，试说明DE=DF 的道理．
5.如图，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，且AE 平分∠BAC.如果
∠B=300
，求∠C 的度数.
B
A
6.如图，在等腰△ABC 中,AB=AC ，D 、E 在底边BC 上且AD=AE ，你能说明BD 与CE 相等吗？为什么？
（ 编写者：李晓红）
E D C B A。