_学年高中数学课时达标检测(十三)用样本的数字特征估计总体的数字特征新人教A版必修3
高中数学 用样本的数字特征估计总体的数字特征配套训练 新人教A版必修3推荐
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1.某校举行2012年元旦汇演,七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图所示,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )A.85,1.6B.85,4C.84,1.6D.84,4.84解析:所剩数据为84,84,86,84,87,∴平均数为=85.∴s2=[(84-85)2+(84-85)2+(86-85)2+(84-85)2+(87-85)2]=1.6.答案:A2.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( )A.62B.63C.64D.65解析:甲得分的中位数为28,乙得分的中位数为36,所以甲、乙两人得分的中位数之和为64.答案:C3.某校有甲、乙两个数学兴趣班,其中甲班有40人,乙班有50人,现分析两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均分为90分,乙班的平均分为81分,则这两个班的总平均分为.解析:=85.答案:854.一位研究化肥的科学家将一片土地划分成100个50m2的小块,并在50个小块上施用新化肥,留下50个条件大致相当的小块不施新化肥.施用新化肥的50块土地的小麦产量如下(单位:kg):15 29 22 15 3 30 22 16 5 222 13 20 25 42 25 20 38 12 2914 21 26 13 21 27 13 21 11 1810 18 24 24 36 34 23 18 10 917 23 23 8 16 23 31 16 23 40没有施用新化肥的50块土地的小麦产量如下(单位:kg):23 16 16 17 22 3 10 10 8 1416 5 24 16 32 23 15 18 9 214 245 24 15 2 15 25 17 293339 16 17 2 15 17 17 26 1326 11 18 19 12 20 27 12 28 22你认为新化肥已经取得成功了吗?解:利用科学计算器进行计算,第一组数据的平均数=20.32,标准差s1≈8.9609;第二组数据的平均数=17.36,标准差s2≈8.1578.可见,施用新化肥后平均产量有了提高,虽然出现了几个极端值,但产量相对稳定,所以新化肥已经取得了初步成效,但还需在稳定性上加强.新化肥是比较成功的.5.已知一样本的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,11,12,14,18,20,且该样本的中位数为10.5.(1)求该样本的平均数;(2)求该样本的方差.解:(1)由题意得=10.5,即a=10.于是2+3+3+7+a+11+12+14+18+20=100,所以2,3,3,7,10,11,12,14,18,20的平均数为=10.(2)设2,3,3,7,10,11,12,14,18,20的方差为s2,则s2=[(2-10)2+(3-10)2+…+(20-10)2]=35.6.6.甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次,每次命中的环数分别是:甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5(1)分别计算以上两组数据的平均数;(2)分别求出两组数据的方差;(3)根据计算结果,估计一下两名战士的射击情况.解:(1)(8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)=7(环),(6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7(环).(2)由方差公式s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2]得=3.0(环2),=1.2(环2).(3),说明甲、乙两战士的平均水平相当;又∵,说明甲战士射击情况波动大,因此乙战士比甲战士射击情况稳定.7.(2012广东高考,文13)由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为.(从小到大排列)解析:设该组数据依次为x1≤x2≤x3≤x4,则=2,=2,∴x1+x4=4,x2+x3=4.∵x1,x2,x3,x4∈N*,∴又∵标准差为1,∴x1=1,x2=1,x3=3,x4=3.答案:1,1,3,38.如果数据a1,a2,a3,…,a n的平均数为,方差为s2,则数据2a1,2a2,2a3,…,2a n的平均数与方差分别为,;数据2a1+1,2a2+1,2a3+1,…,2a n+1的平均数与方差分别为,.解析:记数据2a1,2a2,…,2a n的平均数为,方差为,则==2;=4s2.记数据2a1+1,…,2a n+1的平均数为,方差为,则==+1=2+1;=4s2.答案:2 4s22+1 4s29.一次科技知识竞赛,两组学生成绩如下表:分数50 60 70 80 90 100人数甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12已经计算得两个组的平均分都是80分,请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次,并说明理由.解:(1)甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分,从成绩的众数比较,甲组的成绩好一些.(2)[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172.[4×(50-80)2+4×(60-80)2+16×(70-80)2+2×(80-80)2+12×(90-80)2+12×(100-80)2]=(4×900+4×400+16×100+2×0+12×100+12×400)=256.因为,所以甲组的成绩比乙组的成绩稳定.(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均分都是80分,其中,甲组成绩在80分及以上的有33人,乙组成绩在80分及以上的有26人,从这一角度来看甲组的成绩总体较好.(4)从成绩统计表来看,甲组的成绩不低于90分的人数为14+6=20,乙组的成绩不低于90分的人数为12+12=24.所以乙组成绩集中在高分段的人数多,同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人,从这一角度来看,乙组的成绩较好.10.为了检验A,B两条网线从网络下载数据的稳定性,现选取一天内的10个不同的时间点,测得分别用A,B两条网线在同一网址下载同一文件所需要的时间(单位:s)如下表:A40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8B40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9分别计算A,B两条网线下载上面同一文件所用时间的标准差,并比较两者下载时间的稳定性.解:从数据容易得到A,B两条网线下载同一文件10次所需时间的平均数=40(s).分别计算出它们下载10次所用时间的标准差:s A=≈0.161(s),s B=≈0.077(s).由上面的计算可以看出:A,B两条网线下载同一文件10次所需时间的平均数相同,而A网线下载时间的标准差约为0.161s,比B网线下载时间的标准差0.077s大,说明B网线下载时间更稳定一些.11.某班4个小组的人数为10,10,x,8,已知这组数据的中位数与平均数相等,求这组数据的中位数.解:该组数据的平均数为(28+x),中位数一定是其中两个数的平均数,由于x未知,所以要分下列几种情况讨论.(1)当x≤8时,原数据按从小到大的顺序排列为x,8,10,10,其中位数为×(10+8)=9.若(x+28)=9,则x=8,此时中位数为9.(2)当8<x≤10时,原数据按从小到大的顺序排列为8,x,10,10,其中位数为(x+10).若(x+28)=(x+10),则x=8,而8不在8<x≤10的范围内,所以舍去.(3)当x>10时,原数据按从小到大的顺序排列为8,10,10,x,其中位数为×(10+10)=10.若(x+28)=10,则x=12,此时中位数为10.综上所述,这组数据的中位数为9或10.12.甲、乙两人在相同条件下打靶10次,每次打靶的成绩情况如图所示:(1)请填写下表:平均数中位数命中9环及以上次数甲7乙(2)从下列三个不同角度对这次测验结果进行分析:从平均数和中位数相结合看,谁的成绩好些?从平均数和命中9环及以上(包含9环)的次数相结合看,谁的成绩好些?从折线图中两人射击命中环数的走势看,谁更有潜力?解:(1)甲:中位数是7.5,命中9环及以上(包含9环)的次数为3;乙:平均数是6.7,中位数是6.5,命中9环及以上(包含9环)的次数为1.(2)由(1)知,从平均数和中位数结合看,甲的成绩好些;从平均数和命中9环及以上(包含9环)的次数相结合看,甲的成绩好些;从折线图中两人射击命中环数的走势看,甲的潜力更大些.。
学年高中数学第二章统计..用样本的数字特征估计总体的数字特征课时作业新人教A版必修
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征选题明细表知识点、方法题号众数、中位数、平均数、1,2,3方差(标准差)的理解应用频率分布直方图、表求众数、4,9中位数、平均数方差(标准差)的计算5,6,7,11,12,13茎叶图中样本数字特征8,10根底稳固1.有两位射击运发动在一次射击测试中各射靶7次,每次命中的环数如下:甲:7 8 10 9 8 8 6乙:9 10 7 8 7 7 8那么以下判断正确的选项是( D )(A)甲射击的平均成绩比乙好(B)乙射击的平均成绩比甲好(C)甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数(D)甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差解析:由题意得,甲射击的平均成绩为==8,众数为8,极差为4;乙射击的平均成绩为==8,众数为7,极差为3,故甲射击的平均成绩等于乙射击的平均成绩,甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数,甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差,应选D.2.某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( B )(A)3.5 (B)-3 (C)3 (D)-0.5解析:少输入90,=3,平均数少3,求出的平均数减去实际平均数等于-3.3.一组数据从小到大排列为-1,0,4,x,6,15, 且这组数据的中位数是5,那么这组数据的众数为( B )(A)5 (B)6 (C)4 (D)5.5解析:中位数为=5,x=6,所以众数为6.4.如图,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的平均数分别为和,标准差分别为s A和s B,那么( B )(A)>,s A>s B(B)<,s A>s B(C)>,s A<s B(D)<,s A<s B解析:由题图易得<10,>10,所以<,又A波动性大,B波动性小,所以s A>s B.5.在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88,假设样本B数据恰好是样本A数据都加上2后所得数据,那么A,B两样本的以下数字特征对应相同的是( D )(A)众数(B)平均数(C)中位数(D)标准差解析:众数、平均数、中位数分别为原来的加2,由标准差公式知,标准差不变.6.样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的两根,那么这个样本的方差是( C )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:x2-5x+4=0的两根是1,4.当a=1时,a,3,5,7的平均数是4;当a=4时,a,3,5,7的平均数不是1.所以a=1,b=4.那么方差s2=[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.7.设矩形的长为a,宽为b,其比满足b∶a=≈0.618,这种矩形给人以美感,称为黄金矩形.黄金矩形常应用于工艺品设计中.下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本:甲批次:0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次:0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值0.618比拟,正确结论是( A )(A)甲批次的总体平均数与标准值更接近(B)乙批次的总体平均数与标准值更接近。
高中数学 2.2.2(一)用样本的数字特征估计总体的数字特征(一)基础过关训练 新人教A版必修3
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(一)一、基础过关1．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a2．下列说法错误的是( ) A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．众数是一组数据中出现次数最多的数3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差等于( ) A．3.5 B．－3 C．3 D．－0.54．已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a，x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为( )A.a＋b2B.3a＋7b10C.7a＋3b10D.a＋b105．电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，则该电池的平均寿命估计为______小时．6．某商店的大米价格是3.00元/千克，面粉的价格是3.60元/千克，大米与面粉的销量分别是1 000千克，500千克，则该商店出售的粮食的平均价格是________元/千克．7．已知一组数据的频率分布直方图如下．求众数、中位数、平均数．8．有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下：[12.5,14.5)，6,0.06；[14.5,16.5)，16,0.16；[16.5,18.5)，18,0.18；[18.5,20.5)，22,0.22；[20.5,22.5)，20,0.20；[22.5,24.5)，10,0.10；[24.5,26.5)，8,0.08.试估计总体的平均数．二、能力提升9．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N为( )A.4041B．1 C.4140D．210．若有一个企业，70%的员工收入1万，25%的员工年收入3万，5%的员工年收入11万，则该企业员工的年收入的平均数是______万，中位数是____万，众数是____万．11．为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1,0.3，0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；(2)问参加这次测试的学生人数是多少？(3)问在这次测试中学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？三、探究与拓展12．已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130129 126 124 125 127 126 122 124 125126 128(1)填写下面的频率分布表：(2)(3)根据直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．答案1．D 2.B 3.B 4.B 5.28 6.3.207．解由频率分布直方图可知，众数为65，由10×0.03＋5×0.04＝0.5，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65，平均数为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67.8．解由于每组数据是一个范围，所以可以用每组中间值近似地表示平均数．方法一总体的平均数约为1100(13.5×6＋15.5×16＋17.5×18＋19.5×22＋21.5×20＋23.5×10＋25.5×8)＝19.42.故总体的平均数约为19.42.方法二求组中值与对应频率积的和13.5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42.故总体的平均数约为19.42.9．B10．2 1 1解析年收入的平均数是1×70%＋3×25%＋11×5%＝2(万)．11．(1)第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2.(2)参加这次测试的学生人数为50.1＝50.(3)由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．故这次测试中学生跳绳次数的中位数落在第3小组内．12．解(1)(2)(3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5.图中虚线对应的数据为中位数，即124.5＋2×58＝125.75.使用“组中值”求平均数：x ＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8.。
高中数学用样本估计总体 用样本的数字特征估计总体的数字特征练习与解析 新课标 人教版 必修3(A)
用样本估计总体-用样本的数字特征估计总体的数字特征 练习与解析一、选择题思路导引1.在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体的 A.平均状态 B.分布规律 C.波动大小D.最大值和最小值答案：C解析：数据的标准差和方差反映数据的波动大小，故选C. 2.在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，［a ，b ］是其中一组，抽查出的个体数在该组内的频率为m ，该组直方图的高为h ，则|a －b |的值等于A.h ·mB.m /hC.h /mD.与m ，h 无关答案：B解析：小长方形的高=组距频率，|a －b |=h m =小长方形的高频率.←标准差的统计意义，属基本概念题.3.频率分布直方图的重心是 A.众数 B.中位数 C.标准差 D.平均数 答案：D解析：平均数是频率直方图的“重心”. 4.能反映一组数据的离散程度的是A.众数B.平均数C.标准差D.极差 答案：C解析：标准差反映数据的波动大小及离散程度. 5.与原数据单位不一样的是A.众数B.平均数C.标准差D.方差 答案：D解析：方差的单位是原始数据单位的平方. 6.下列数字特征一定是数据组中数据的是 A.众数 B.中位数 C.标准差 D.平均数 答案：A解析：根据各数字特征的意义可知唯有众数一定是原数据中的数.←明确各统计量在直方图中的位置应根据它们的意义. 7.数据：1，1，3，3的众数和中位数分别是 A.1或3，2B.3，2C.1或3，1或3D.3，3答案：A解析：由众数的意义可得众数是1，3，中位数是231+=2. ←区分众数和中位数.8.频率分布直方图中最高小矩形的中间位置所对的数字特征是 ←结合各统计量和“频率分布直方A.中位数B.众数C.平均数D.标准差答案：B解析：众数是出现最多的数据，其频数最多，故选B. 9.甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.下列说法正确的个数为①甲队的技术比乙队好 ②乙队发挥比甲队稳定 ③乙队几乎每场都进球 ④甲队的表现时好时坏A.1B.2C.3D.4 答案：D解析：四种说法都正确，甲队的平均进球数多于乙队，故第一句正确；乙队标准差较小，说明技术水平稳定；甲队平均进球数是3.2，但其标准差却是3，离散程度较大，由此可判断甲队表现不稳定；平均进球数是1.8，标准差只有0.3，每场的进球数相差不多，可见乙队的确很少不进球.图中最高小矩形的中间位置”所反映的数据信息来选择.←认真审题，深入分析各说法与哪一种统计量有关.10.某校高一有四个班，1～4班的人数分别为N 1，N 2，N 3，N 4，总人数N ，英语成绩的平均分分别为M 1，M 2，M 3，M 4，则该校高一的英语平均分是A.M 1，M 2，M 3，M 4的平均数B..M 1，M 2，M 3，M 4的中位数C.M 1N 1，M 2N 2，M 3N 3，M 4N 4的平均数D. M 1N 1，M 2N 2，M 3N 3，M 4N 4和的N1答案：D解析：这组数据的总和M 1N 1+M 2N 2+M 3N 3+M 4N 4除以数据的总个数N 所得的商是平均数，故选D.二、填空题←依据平均数的定义判断. 11.数据－2，－1，0，1，2的方差是____________. 答案：2解析：利用公式计算.←要求用公式笔算. 公式的逆用.12.五个数1，2，3，4，a 的平均数是3，则a =____________，这五个数的标准差是____________.答案：5 2 解析：∵54321a++++=3，∴a =5.∴S =])35()34()33()12()31[(5122222-+-+-+-+-. 13.已知一个样本方差为s 2=101［(x 1－4)2+(x 2－4)2+…+(x 10－4)2］，则这个样本的容量是____________，平均数是____________.答案：10 4←明确公式中各参数的意义是正确运用公式的前提.解析：通过公式中字母参数意义可直接读出.14.在频率分布直方图上中位数的位置特点是____________. 答案：中位数两侧的矩形的面积各是0.5←在计算标准差时，各数据加上或减去一个常数，其数值不变.当每个数据乘以或除以一个常数a ，则所得的标准差是原来标准差的a 倍或1/a 倍.15.已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为4，则数据2x 1+3，2x 2+3，2x n +3的标准差是____________.答案：4解析：把数据都加上或减去同一常数后，其方差不变，把数据都乘以同一常数a ，则方差变为原来的a 2倍.←由方差的统计意义并结合“株高整齐”的要求来判断.16.对甲、乙两个小麦品种的各100株小麦的株高进行了测量，结果算得x 甲=0.95，s 甲2=1.01，x 乙=0.95，s乙2=1.35，由此可估计株高较整齐的小麦是____________.答案：甲比乙整齐解析：甲的方差小于乙的，反映了甲的株高较整齐. 三、解答题←尽管利用现代信息技术手段计算数据的标准差和平均数非常方便，但仍需我们熟记公式，并具有较高的运算能力.17.甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm ）.甲机床：10.2 10.1 10 9.8 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1；乙机床：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10.9 8.9 9.7 10.2 10.分别计算上面两个样本的平均数和方差.如图纸规定零件的尺寸为10 mm ，从计算的结果来看哪台机床加工这种零件较合适？（要求利用公式笔算）解：x 甲=)1.101.102.10(101+++ =,10100101=⨯ x 乙=10100101)104.103.10(101=⨯=+++ . ∴s 甲2=101［(10.2－10)2+(10.1－10)2+…+(10.1－10)2］ =101(0.22+0.12+0+0.22+0.12+0.32+0.32+0+0.12+0.12) =101(0.04+0.01+0+0.04+0.01+0.09+0.09+0+0.01+0.01)=101×0.3=0.03(mm 2). s 乙2=101［(10.3－10)2+(10.4－10)2+…+(10－10)2］ ←茎叶图与频率分布直方图都是常用的统计图.它们各有特点.=101(0.32+0.42+0.42+0.12+0.12+0+0.22+0.32+0.22+0) =101(0.09+0.16+0.16+0.01+0.01+0.04+0.09+0.04) =101×0.6=0.06 (mm 2). ∴s 甲2＜s 乙2∴用甲机床比乙机床稳定，即用甲机床加工较合适. 注意：此题两机床生产零件尺寸的平均数相等都是10 mm ，与规定尺寸相同，但方差不同，从方差可以估计出哪个机床加工的零件较合适.18.对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m/s ）的数据如下表.甲 27 38 30 37 35 31 乙332938342836（1）画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m/s ）数据的平均数、中位数、极差、标准差，并判断选谁参加比赛更合适.解：（1）画茎叶图，中间数为数据的十位数甲乙7 23 3 8 4 69 81 5 7 0 8 从这个茎叶图上可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是35，甲的中位数是33.因此乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好.（2）利用科学计算器：x 甲=33，x 乙=33；s 甲=3.96，s 乙=3.56；甲的中位数是33，极差11，乙的中位数是35，极差9.综合比较选乙参加比赛较为合适.高中数学用样本估计总体 用样本的数字特征估计总体的数字特征练习与解析 新课标 人教版 必修3(A)。
高二数学2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征练习新人教A版必修3
于是 mO<me < x . 故选 D.
4．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品
7 个月份的每月市场收购价格与其前三个月的
市场收购价格有关， 并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，
下表列出的是该
产品今年前 6 个月的市场收购价格：
月份
1
2
3
4
5
6
价格 ( 元 / 担)
68 78 67 71 72 70
可判断选项 C， D.
[ 解析 ] 若抽样方法是分层抽样，男生、女生应分别抽取
6 人、 4 人，所以 A 错；由题
目看不出是系统抽样， 所以 B 错；这五名男生成绩的平均数
86＋ 94＋ 88＋ 92＋ 90
x 1＝
5
＝ 90，
这五名女生成绩的平均数
88＋ 93＋ 93＋ 88＋ 93
x 2＝
＝ 91，
3
二、填空题 7．由正整数组成的一组数据
x1， x2， x3， x4，其平均数和中位数都是
2，且标准差等于 1，
则这组数据为 ________． ( 从小到大排列 ) [ 答案 ] 1,1,3,3
[ 解析 ] 不妨设 x1≤ x2≤ x3≤ x4， 得： x2＋x3＝ 4， x1＋ x2 ＋x3＋ x4＝ 8? x1＋ x4＝ 4， s2＝ 1? ( x1－ 2) 2＋ ( x2－2) 2＋ ( x3－ 2) 2＋( x4－ 2) 2＝ 4? ①如果有一个数为 0 或 4；则其余数为 2，不合题意；
C.
3．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取
30 名学生参加环保知识测试，得分
( 十分制 ) 如下图所示，假设得分值的中位数为 me，众数为 mO，平均值为 x ，则 ( )
高中数学人教A版必修3课后练习13 用样本的数字特征估计总体的数字特征
高中数学人教A版必修3课后练习13用样本的数字特征估计总体的数字特征题组1：夯实基础1.已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是() A．平均数>中位数>众数B．平均数<中位数<众数C．中位数<众数<平均数D．平均数＝中位数＝众数解析：∵平均数为18×(20+30+40+50+50+60+70+80)＝50，中位数为12×(50×50)＝50，众数为50，∴它们的大小关系是平均数＝中位数＝众数.答案：D2.某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数据的中位数为85，平均数为85.5，则x+y＝()A．12 B．13 C．14 D．15解析：因为中位数为85，所以4+x＝2×5，解得x＝6.又平均数为85.5，所以73+79+3×84+86+87+88+93+90+y＝855，所以y＝7.故x+y＝13.答案：B3.已知某组数据的方差s2＝16[(x1－3)2+(x2－3)2+(x3－3)2+…+(x6－3)2]，则x1+x2+x3+…+x6＝()A．3 B．6 C．18 D．36解析：由方差公式可知，6个数据的平均数是3，∴x1+x2+x3+…+x6＝6×3＝18.答案：C4.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2+(5－6)2+(6－6)2+(7－6)2+(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2+(5－6)2+(5－6)2+(6－6)2+(9－6)2]＝125，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错.答案：C5.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是()A．12.5，12.5 B．13.5，13C．13.5，12.5 D．13，13解析：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2，第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3，则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3＝13，由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间(10，15]的35的位置，即中位数为10+(15－10)×35＝13.故选D．答案：D6.设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为2和5，若y i＝x i+a(a为非零实数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为()A．2，5B．2+a，5C．2+a，5+aD．2，5+a解析：由题意知x＝110(x1+x2+…+x10)＝2，x x2＝110[(x1－2)2+(x2－2)2+…+(x10－2)2]＝5，对于y i＝x i+a，则有x＝110(x1+a+x2+a+…+x10+a)＝110(x1+x2+…+x10+10a)＝2+a，x x2＝110[(y1－2－a)2+(y2－2－a)2+…+(y10－2－a)2]＝5.答案：B7.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下:7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.则:(1)平均命中环数为__________；(2)命中环数的标准差为__________.解析：(1)x＝7+8+7+9+5+4+9+10+7+410＝7.(2)∵s2＝110[(7－7)2+(8－7)2+(7－7)2+(9－7)2+(5－7)2+(4－7)2+(9－7)2+(10－7)2+(7－7)2+(4－7)2]＝4，∴s＝2.答案：(1)7(2)28.:若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是__________.(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)解析：分析表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙.答案：丙9.已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差为√2，则xy＝__________.解析：由平均数得9+10+11+x+y＝50，所以x+y＝20.又由(9－10)2+(10－10)2+(11－10)2+(x－10)2+(y－10)2＝(√2)2×5＝10，得x2+y2－20(x+y)＝－192，(x+y)2－2xy－20(x+y)＝－192，所以xy＝96.答案：9610.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万民居，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由.解(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02.由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02＝1，解得a＝0.30.(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02＝0.12.由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.11.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示.请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析.(1)从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩好些)；(2)从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；(3)从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；(4)从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).解则(1)∵平均数相同，且x 甲2<x 乙2，∴甲稳定些. ∴甲的成绩比乙好.(2)∵平均数相同，甲的中位数<乙的中位数， ∴乙的成绩比甲好.(3)∵平均数相同，且乙命中9环及9环以上次数比甲多，∴乙的成绩比甲好.(4)∵甲的成绩在平均线上下波动；而乙处于上升趋势，从第四次以后就没有比甲少的情况发生， ∴乙更有潜力.题组2：难点突破1.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有引起大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 ( ) A ．甲地:总体平均数为3，中位数为4 B ．乙地:总体平均数为1，总体方差大于0 C ．丙地:中位数为2，众数为3D ．丁地:总体平均数为2，总体方差为3解析：根据信息可知，连续10天内，每天新增的疑似病例不能超过7人，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，选项C 中也有可能存在大于7的数；选项B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数；选项D 中，设连续10天，每天新增疑似病例分别为x 1，x 2，x 3，…，x 10，并设有一天超过7人，如第一天为8人，则s 2＝110[(8－2)2+(x 2－2)2+…+(x 10－2)2]>3，因为总体方差为3，所以说明连续10天，每天新增疑似病例不超过7人. 答案：D2.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为( )A ．1169B ．367C ．36D ．6√77解析：由题中茎叶图可知，去掉的两个数是87，99，所以87+90×2+91×2+94+90+x ＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17×[(87－91)2+(90－91)2×2+(91－91)2×2+(94－91)2×2]＝367. 答案：B3.若a 1，a 2，…，a 20这20个数据的平均数为x ，方差为0.2，则a 1，a 2，…，a 20，x 这21个数据的方差为________.解析：s 2＝121×[(a 1－x )2+(a 2－x )2+…+(a 20－x )2+(x −x )2]＝121×20×0.2＝421. 答案：4214.在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中x是这8个数据的平均数)，则输出的S的值是__________.解析：x＝(40+41+43+43+44+46+47+48)×18＝44，该程序框图是计算这8个数据的方差，经计算得S＝7，则输出7.答案：75.某工厂36(1)44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2；(3)36名工人中年龄在x－s与x+s之间的有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，根据题意，所抽取工人编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34，相应工人的年龄数据为44，40，36，43，36，37，44，43，37.(2)样本均值x＝19×(44+40+36+43+36+37+44+43+37)＝40.样本方差s2＝19×[(44－40)2+(40－40)2+(36－40)2+(43－40)2+(36－40)2+(37－40)2+(44－40)2+(43－40)2+(37－40)2]＝19×[42+02+(－4)2+32+(－4)2+(－3)2+42+32+(－3)2]＝1009.(3)由于x＝40，s＝√x2＝103≈3.33，36名工人中年龄在x－s≈36.67与x+s≈43.33之间有23人，所占比例为2336≈63.89%.6.某班有四个学习小组，各小组人数分别为10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数.解该组数据的平均数为14(10+10+x +8)＝14(28+x )，中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数.(1)当x ≤8时，原数据从小到大排序为x ，8，10，10，中位数是9，由14(28+x )＝9，得x ＝8，符合题意，此时中位数是9；(2)当8<x ≤10时，原数据从小到大排序为8，x ，10，10，中位数是12(x +10)，由14(28+x )＝12(10+x )，得x ＝8，与8<x ≤10矛盾，舍去；(3)当x>10时，原数据从小到大排序为8，10，10，x ，中位数是10，由14(28+x )＝10，得x ＝12，符合题意，此时中位数是10.综上所述，这组数据的中位数是9或10.。
高中数学 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征练习 新人教a必修3
2. 2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征（练）一、选择题1．甲、乙两中学生在一年里学科平均分相等，但他们的方差不相等，正确评价他们的学习情况是( ) A．因为他们平均分相等，所以学习水平一样B．成绩平均分虽然一样，方差较大的，说明潜力大，学习态度端正C．表面上看这两个学生平均成绩一样，但方差小的成绩稳定D．平均分相等，方差不等，说明学习不一样，方差较小的同学，学习成绩不稳定，忽高忽低[答案] C2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3[答案] D3．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88，若样本B数据恰好是样本A都加上2后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A．众数B．平均数C．中位数D．标准差[答案] D[解析]B样本数据恰好是A样本数据加上2后所得的众数、中位数、平均数比原来的都多2，而标准差不变．4．(2012·陕西高考)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53[答案] A[解析] 直接列举求解． 由题意知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为68－12＝56.5．(2012·山东卷)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差[答案] D[解析] 样本数据都加2后所得数据的波动性并没有发生改变，所以标准差不变，故选D.6．某市在非典期间一手抓防治非典，一手抓经济发展，下表是利群超市5月份一周的利润情况记录：A ．6.51万元B ．6.4万元C ．1.47万元D ．5.88万元[答案] A[解析] 从表中一周的利润可得一天的平均利润为x ＝0.20＋0.17＋0.23＋0.21＋0.23＋0.18＋0.257＝0.21.又五月份共有31天，∴五月份的总利润约是0.21×31＝6.51(万元)．7．(2012～2013·江西南昌一模)甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示，如图所示．若甲、乙小组的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列结论正确的是( )A.x 甲>x 乙，甲比乙成绩稳定B.x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定C.x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定D.x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定 [答案] A[解析] 根据茎叶图可知，甲组5名同学的成绩分别是88,89,90,91,92，乙组5名同学的成绩分别是83,84,88,89,91，可得x 甲＝90，x 乙＝87，故有x 甲>x 乙；s 2甲＝2，s 2乙＝9.2，故有s 2甲>s 2乙，所以甲比乙的成绩稳定，所以选A.8．如图是一次考试结果的频数分布直方图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为( )A ．46B ．36C ．56D ．60 [答案] A[解析] 根据频数分布直方图，可估计有4人成绩在[0,20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20,40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40,60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60,80)之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80,100)之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考虑总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1 380，平均数＝1 38030＝46.二、填空题9．(2012～2013·江苏南京高三一模)为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为________．[答案] 5[解析] 由茎叶图可知，该篮球运动员6场比赛的得分分别是14,17, 18,18,20,21，得分的平均数x ＝14＋17＋18＋18＋20＋216＝18，根据方差公式得s 2＝16[(14－18)2＋(17－18)2＋(18－18)2＋(18－18)2＋(20－18)2＋(21－18)2]＝5.10．(2012·广东高考卷)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)[答案] 1,1,3,3[解析] 不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4，得：x 2＋x 3＝4，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8⇒x 1＋x 4＝4s 2＝1⇔(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝4⇒①如果有一个数为0或4；则其余数为2，不合题意； ②只能取|x 1－2|＝1；得：这组数据为1,1,3,3. 11．若a 1，a 2，…，a 20这20个数据的平均数为x ，方差为0.20，则a 1，a 2，…，a 20，x 这21个数据的方差约为________．[答案] 0.19 [解析] s 2＝121×[(a 1－x )2＋(a 2－x )2＋…＋(a 20－x )2＋(x －x )2]＝121×20×0.20＝421≈0.19.12．某人5次上班途中所花的时间(单位：min)分别为x ，y,10,11,9.若这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为________．[答案] 4[解析] 由平均数公式，得(x ＋y ＋10＋11＋9)×15＝10，则x ＋y ＝20；又∵方差为2，则[(x －10)2＋(y －10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]×15＝2，得x 2＋y 2＝208,2xy ＝192，∴有|x －y |＝x －y2＝x 2＋y 2－2xy ＝4.三、解答题13．下图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数)，每人射击了6次．(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来；(2)请你用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较． [解] (1)环2，s2乙＝1环2.(2)x甲＝9，x乙＝9环，s2甲＝3因为x甲＝x乙，s2甲＜s2乙，所以甲与乙的平均成绩相同，但甲发挥得比乙稳定．14．某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445 ,451,454品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416 ,422,430(1)完成所附的茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．[解析](1)(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了的展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．(3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．15．某学校高一(1)班和高一(2)班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下：(1)高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算上上游了！”(2)请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议．[分析] (1)根据平均数、中位数、众数所反映的情况来分析；(2)结合方差的意义来提出建议．[解析](1)由于(1)班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上游，成绩应该属于中游．但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这段的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游．(2)①班成绩的中位数是87分，说明高于87分(含87)的人数占一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助．②班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，但学习优异的也很少，建议采取措施提高优秀率．16．(2012～2013·广东省惠来一中高一阶段考)对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图所示.(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数； (3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．[解析] (1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，10m＝0. 25，所以M ＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m ＋2＝40，m ＝4，p ＝m M ＝440＝0.10.因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a ＝2440×5＝0. 12.(2)因为该校高二学生有240人，分组[10,15)内的频率是0. 25， 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60.(3)估计这次学生参加社区服务的人数众数是15＋202＝17.5.因为n ＝2440＝0.6，所以样本中位数是15＋0.5－0.25a≈17.1，估计这次学生参加社区服务人数的中位数是17.1，样本平均人数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝17. 25.估计这次学生参加社区服务人数的平均数是17. 25.。
(新课标)_学年高中数学13用样本的数字特征估计总体的数字特征习题新人教A版必修3【含答案】.docx
课时作业( 十三) 用样本的数字特征估计总体的数字特征A组基础巩固1 ．在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7 ，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )A．9.4,0.484 B ．9.4,0.016C．9.5,0.04 D ．9.5,0.016答案：D2．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50 名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A．0.6 h B ．0.9 hC．1.0 h D ．1.5 h答案：B3．某学校对100 间学生公寓进行综合评比，依考核分数分为A，B，C，D四种等级，其中分数在[60,70) 为D等级，有15 间；分数在[70,80) 为C等级，有40 间；分数在[80,90)为B 等级，有20 间；分数在[90,100] 为A等级，有25 间．考核评估后，得其频率分布直方图如图所示，估计这100 间学生公寓评估得分的中位数是( )A．78.65 B ．78.75C．78.80 D ．78.85答案：B4．样本中共有五个个体，其值分别为a, 0,1,2,3. 若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.65B.65C. 2 D ．2答案：D5．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：1甲乙丙丁平均环数x 8.4 8.7 8.7 8.32 3.6 3.6 2.2 5.4方差s从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是( )A．甲 B ．乙C．丙 D ．丁解析：∵甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定，∴丙是最佳人选，故选 C.答案：C6．某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法( 每个分厂的产品为一层) 从 3 个分厂生产的电子产品中共取100 件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h ，则抽取的100 件产品的使用寿命的平均值为________ h.答案：1 0137．用一组样本数据8，x, 10,11,9 来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s＝________.解析：∵该组样本数据的平均数为10，∴(8 ＋x＋10＋11＋9) ÷5＝10，∴x＝12，2∴s＝15(4 ＋4＋0＋1＋1) ＝2，∴s＝ 2.答案：28．已知某班 4 个小组的人数分别为10,10 ，x, 8，这组数据中的中位数与平均数相等，则这组数据的中位数是________．解析：(1) 当x≤8 时，原数据按从小到大的顺序为x, 8,10,10 ，中位数为12(10 ＋8) ＝9.1若( x＋28) ＝9，则x＝8，此时中位数为9.4(2) 当8<x≤10 时，原数据按从小到大顺序排列为8，x, 10,10 ，中位数为12( x＋10) ，若1 1( x＋28) ＝( x＋10) ，则x＝8，而8 不在8<x≤10 的范围内，所以舍去．4 2(3) 当x>10 时，原数据为8,10,10 ，x，中位数为12(10＋10) ＝10.若14( x＋28) ＝10，则x＝12，所以此时中位数为10.综上所述，这组数据的中位数为9 或10.答案：9 或109．甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩情况如图．2(1) 分别求出两人得分的平均数与方差．(2) 根据图中数据算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．解：(1) 甲、乙两人五次测试的成绩分别为：甲10 分13 分12 分14 分16 分乙13 分14 分12 分12 分14 分甲的平均得分为10＋13＋12＋14＋16＝13，5乙的平均得分为13＋14＋12＋12＋14＝13.52s甲＝15[(10 －13)2＋(13 －13) 2＋(12 －13) 2＋(14 －13) 2＋(16 －13) 2] ＝4，2s乙＝乙＝15[(13 －13)2＋(14 －13)2＋(12 －13)2＋(12 －13)2＋(14 －13)2] ＝0.8.2 2(2) 由s甲>s乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．B组能力提升10．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成 5 组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.40 ，0.15 ，0.10,0.05 ，则参赛的选手成绩的众数和中位数可能是( )A．65,65 B ．70,65C．65,50 D ．70,50解析：众数为第二组中间值65. 设中位数为x，则0.03 ×10＋( x－60)×0.04 ＝0.5 ，解得x＝65. 故选 A.答案：A11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )3甲乙A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差－4＋5＋6＋7＋8解析：由条形图易知甲的平均数为x ＝6，甲＝52方差为s甲＝－2＋－52 2 2 2＋0 ＋1 ＋2＝2，中位数为6，极差为4；乙的平均数为x乙＝3×5＋6＋92＝6，方差为s乙＝乙＝5－52 2＋0＋3 12＝，中位数为5，极差为4，故5x 甲＝x 2 2乙，s乙＞s甲，且甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数，两人成绩的极差相等．答案：C12．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：(1) 求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差；(2) 比较两名同学的成绩，谈谈你的看法．解析：x甲＝1(65 ＋70＋80＋86＋89＋95＋91＋94＋107＋113) ＝89. 102s甲＝1[(65 －89)102 ＋(70 －89) 2＋(80 －89) 2＋(86 －89) 2＋(89 －89)2 ＋(95 －89)2 ＋(91－89)2＋(94 －89)2＋(107 －89)2＋(113 －89)2] ＝119.2 ，∴s 甲≈14.1x乙＝1(79 ＋86＋83＋88＋93＋99＋98＋98＋102＋114) ＝94.1042s乙＝1[(79 －94)102 ＋(86 －94) 2＋(83 －94) 2＋(88 －94) 2＋(93 －94)2 ＋(99 －94)2 ＋(98－94)2＋(98 －94)2＋(102 －94)2＋(114 －94)2] ＝96.8.∴s 乙≈9.8.∴x 甲＜x 乙且s 甲＞s乙．∴乙同学的平均成绩较高且标准差较小；说明乙同学比甲同学的成绩扎实，稳定．5。
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课时达标检测(十三) 用样本的数字特征估计总体的数字特征
一、选择题
1．下列说法不正确的是( ) A ．方差是标准差的平方 B ．标准差的大小不会超过极差
C ．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0
D ．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散
答案：D
2．下图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是( )
A.56分 B ．57分 C ．58分 D ．59分
答案：B
3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：
则7个剩余分数的方差为( ) A.1169
B ．367
C ．36
D ．6 77
答案：B
4．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )
A.x A ＞x B ，s A ＞s B B ．x A ＜x B ，s A ＞s B C.x A ＞x B ，s A ＜s B D ．x A ＜x B ，s A ＜s B
答案：B
5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示．假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x ，则( )
A ．m e ＝m 0＝x
B ．m e ＝m 0＜x
C ．m e ＜m 0＜x
D ．m 0＜m e ＜x
答案：D 二、填空题
6．五个数1,2,3,4，a 的平均数是3，则a ＝_____________________________________， 这五个数的标准差是________． 解析：由1＋2＋3＋4＋a 5
＝3得a ＝5；
由s 2＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2
]＝2得，标准差s ＝ 2.
答案：5
2
7．已知样本9,10,11，x ，y 的平均数是10，标准差是 2，则xy ＝________. 解析：由平均数得9＋10＋11＋x ＋y ＝50，∴x ＋y ＝20，又由(9－10)2
＋(10－10)2
＋(11－10)2
＋(x －10)2
＋(y －10)2
＝(2)2
×5＝10，得x 2
＋y 2
－20(x ＋y )＝－192，(x ＋y )2
－2xy －20(x ＋y )＝－192，xy ＝96.
答案：96
8．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据：
在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a是这8个数据的平均数)，则输出的S的值是________．
解析：a＝(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)÷8＝44，该程序框图是计算这8个数据的方差，经计算得S＝7，则输出7.
答案：7
三、解答题
9．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15，0.10，0.05.
求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数．
(2)高一参赛学生的平均成绩．
解：(1)由图可知众数为65，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，
∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，
∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为
55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，
∴平均成绩约为67.
10．(新课标全国卷Ⅱ)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：
(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．
解：(1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为
66＋68
2
＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.
(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的，分别占总体的5
50
＝0.1，
8
50
＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.
(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，并且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．。