2018考研高数 直角坐标系下平面图形的面积
坐标系中的面积问题总结
坐标系中的面积问题总结在二维平面几何中，坐标系是一个非常常见且重要的概念，我们经常会遇到各种与坐标系相关的面积问题。
在这篇文档中，我们将总结几种常见的坐标系中的面积问题及其解决方法。
1. 矩形面积问题矩形是最基本的几何图形之一，在坐标系中，矩形的面积可以通过矩形的长和宽来计算。
假设一个矩形的对角线端点为(x1,y1)和(x2,y2)，则矩形的面积S可以用以下公式表示：$S = |x_2 - x_1| \\times |y_2 - y_1|$2. 三角形面积问题三角形是另一种常见的几何图形，在坐标系中，我们可以利用三角形的顶点坐标来计算其面积。
假设三角形的三个顶点分别为(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)，则可以使用以下公式计算三角形的面积：$S = \\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$3. 圆形面积问题圆形是一个常见的曲线图形，在坐标系中，我们可以通过圆心和半径来计算圆的面积。
假设圆的圆心坐标为(x0,y0)，半径为r，则圆的面积S可以使用以下公式计算：$S = \\pi r^2$4. 不规则图形的面积问题对于不规则图形，也可以利用坐标系中的点来计算其面积。
一种常见的方法是利用格点法，即将不规则图形分割为小矩形或小三角形，然后计算这些小形状的面积之和。
在逼近不规则图形的过程中，分割的小形状越小，计算得到的面积越精确。
通过以上总结，我们可以看到在坐标系中解决面积问题的方法是多样的，不同类型的图形有不同的计算公式，我们可以根据具体情况选择合适的方法来计算面积。
希望这篇文档能帮助您更好地理解坐标系中的面积问题。
在直角坐标系中求图形的面积
在直角坐标系中求图形的面积图形的面积可以利用相应的面积公式求得，但是在平面直角坐标系内的求面积问题，往往不直接给出边或高之类的条件，而是给出一些点的坐标.现对这类题目的解法举例说明如下：一、计算三角形的面积例1 如图1所示，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A （-4，-3），B （0，-3），C （-2，1）.求三角形ABC 的面积.分析：观察图形，在坐标系中读取三角形ABC 的一边的长度，和该边上的高的长度.因为AB ∥x 轴，所以AB 可以作为底边.解：因为AB=0-（-4）=4，AB 边上的高为h=1-（-3）=4，所以三角形ABC 的面积是：21AB ·h=21×4×4=8.评注：当两点在平行于x 轴的直线上时，两点之间的距离是两点的横坐标的差的绝对值；当两点在平行于y 轴的直线上时，两点之间的距离是两点的纵坐标的差的绝对值.如果三角形中有一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可以直接利用三角形的面积公式求解.例2 如图2所示，在三角形AOB 中，A ，B ，C 三点的坐标分别为（-1，2），（-3，1），（0，-1），求三角形AOB 的面积.分析：三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角系的特点，可以将三角形的面积转化为正方形EFCD 的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求出此三角形的面积.解：如图2，作正方形EFCD ，则该正方形的面积为EF ·FC=3×3=9.因为三角形AEB 的面积是：21×AE ·EB=21×2×1=1，三角形BFC 的面积是：21BF ·FC=21×2×3=3，三角形ACD 的面积是：21×AC ·AD=21×3×1=23，所以三角形ABC 的面积是：9-1-3-23=27.点评：如果三角形的三边中没有任何一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，则应将其进行转化为几个规则图形的面积和或差.二、计算四边形的面积E FD图2y B CAO 11图1例3 如图3，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （-2，2），B （-3，-3），C （3，3），D （2，1），求四边形ABCD 的面积.分析：四边形ABCD 不是规则的四边形，要求其面积，可将该四边形的面积转化为两个直角三角形和一个梯形的面积的和来计算.解：作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，则四边形ABCD 的面积=三角形ABE 的面积+梯形AEFD 的面积+三角形DFC 的面积，因为三角形ABE 的面积为：21BE ·AE=21×1×5=25，梯形AEFD 的面积为：21（DF+AE ）·EF=21×（4+5）×4=18，三角形DFC 的面积为：21FC ·DF=21×1×4=2，所以四边形ABCD 的面积为：25+18+2=2221.点评：解决平面直角坐标系中的四边形的面积问题，一般思路是将不规则的图形转化为规则的图形，再利用相关的图形的面积公式求解.。
在直角坐标系下,巧解平面图形面积——用分割平面图形法求定积分
‘ｙ
歹附匀． ｖ＿２
ｙ＝ｌｎｘ
—ｊ
ｘ’
０
ｊ
ｙ．＿ｌＩｌ２
万方数据
臣囫竹敏“ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ００７２（下半肿Ｊ）
解：（１）画草图（如幽所示）：
Ａ（｛，一ｎ２１
（２）求出曲线之间交点（并标在图像上）
，ｐｌｎ２ ｛ｙ＝２ Ａｆ｛．＿ｌｎ２１ Ｂ旧．２１
ｌｖ＝ｌｎｘ
万方数据
在直角坐标系中,巧解平面图形面积——用分割平面图形法求
定积分
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
王积芳 华南农业大学珠江学院,广州·从化,510900
科教文汇 EDUCATION SCIENCE & CULTURE MAGAZINE 2007，""(6) 0次
关键词定积分分割平面图形法解题分析步骤归纳教育思想
中闺分类号：Ｇ６４２
立献标识码：Ａ
文章编号：１６７２—７８９４ｌ ２００７）０２＿０７１—０２
一元函数微积分，平面图形面积求法是重要知识点。对学生来 说，也是难点。特别是较为复杂图形（两条或两条以上曲线构成的） 利用定积分求面积时，学生感到更难。此方法可培养学生的分析问 题及解央问题的能力，它是培养学生数理逻辑能力的较好方法之 一。本文就这种情况做出如下分析及巧解。
（３）确定积分卜下限，选积分变量。
结合本图特点，过交点Ａ，Ｂ分另Ｉ怍ｙ轴垂线．选，为积分变 量。（若过交点Ａ，Ｂ作ｘ轴垂线，将阴影用彤划分两部分求和，使问 题变得更为复杂）在ｙ轴上的两条乖线作为即积分上、下限，积分
区间（一ｌｎ２，２】。 （４）确定被积函数：用位于右方的曲线表达式减去位于左方的
直角坐标系下平面图形的面积和旋转体的体积共40页
所围成的图形称为曲边扇形。
其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算，即：
dA 1r2 d （扇形面积近似替换）
2
由定积分的元素法，得曲边扇形面积的定积分表达式为
A
1
2
r2
d
◆极坐标系下的平面图形的面积计算例题
例6 求双纽线 2a2cos2 (a0)所围平面图形的面积。
3a2
2
21cos4t1costdt
40
偶次方化倍角
3 a 2
21 co s4 t co stco s4 tco std t
...
3a 2
40
8
◆极坐标系下的平面图形的面积（演示） r r( )
如果平面曲线由极坐标给出，如右图：
由 , , rr
0
0
10
V1
V2
返回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
1 yx3 , x 1 , y 0
绕x轴旋转一周
Vx
1
x6dx
0
1 7
2 yx3 , y 1 , x 0 1
绕x轴旋转一周
Vx
1dx
0
1x6dx
0
6 7
y=x3 x1
y=x3
x
1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
U b f (x)dx, 这种方法叫做定积分的元素法。 dU=f(x)dx称 a
为所求量U的元素。 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素
f(x)dx 和积分区间[a ,b]。
◆直角坐标系下的平面图形的面积（演示）
在直角坐标系下平面曲线围成图形面积的定积分计算方法及技巧
在直角坐标系下平面曲线围成图形面积的定积分计
算方法及技巧
定积分计算方法：
1. 将曲线围成的图形分解为多个小的矩形，每个矩形的面积可以用定积分计算；
2. 将曲线围成的图形分解为多个三角形，每个三角形的面积可以用定积分计算；
3. 将曲线围成的图形分解为多个椭圆，每个椭圆的面积可以用定积分计算；
4. 将曲线围成的图形分解为多个圆，每个圆的面积可以用定积分计算；
5. 将曲线围成的图形分解为多个抛物线，每个抛物线的面积可以用定积分计算；
技巧：
1. 将曲线围成的图形分解为多个小的矩形，每个矩形的面积可以用定积分计算，但是要注意，矩形的边长不能太大，否则会导致计算结果的误差；
2. 将曲线围成的图形分解为多个三角形，每个三角形的面积可以用定积分计算，但是要注意，三角形的边长不能太大，否则会导致计算结果的误差；
3. 将曲线围成的图形分解为多个椭圆，每个椭圆的面积可以用定积分计算，但是要注意，椭圆的长轴和短轴不能太大，否则会导致计算结果的误差；
4. 将曲线围成的图形分解为多个圆，每个圆的面积可以用定积分计算，但是要注意，圆的半径不能太大，否则会导致计算结果的误差；
5. 将曲线围成的图形分解为多个抛物线，每个抛物线的面积可以用定积分计算，但是要注意，抛物线的顶点不能太大，否则会导致计算结果的误差。
坐标系中的面积问题和规律问题
坐标系中的面积问题和规律问题
在数学领域中，坐标系常常被用来解决各种面积和规律问题。
从二维平面到三维空间，坐标系都能提供直观的解决方案。
二维平面中的面积问题
在二维平面中，我们经常会遇到计算各种形状的面积的问题。
通过坐标系可以轻松地解决这些问题。
矩形、三角形的面积计算
对于矩形和三角形这样的基本形状，我们可以利用坐标系中的直角坐标轴来计算它们的面积。
以矩形为例，如果我们知道矩形的对角坐标，可以通过计算两条边的长度相乘得到矩形的面积。
不规则形状的面积计算
对于不规则形状，我们可以通过将其分割为多个规则形状（如矩形、三角形）组合来计算整体的面积。
这个过程中，我们可以利用坐标系中的坐标点和线段来进行分割和计算。
规律问题
除了面积计算，坐标系还可以帮助我们解决各种规律问题。
图形的对称性
通过坐标系，我们可以轻松地判断一个图形是否具有对称性。
如果一个图形关于某个坐标轴或某个点对称，那么可以利用坐标系中的数值来验证这一规律。
图形的变换
利用坐标系，我们可以实现图形的平移、旋转、缩放等操作。
这些变换不仅可以帮助我们实现图形的规律性，还可以提供直观的方式展示这些规律。
结语
坐标系不仅是解决面积和规律问题的重要工具，更是数学研究和实践中不可或缺的基础知识。
通过理解和运用坐标系，我们可以更好地解决各种数学问题，发现其中的规律，并且应用于实际生活和工作中。
希望本文能够帮助读者更好地理解坐标系中的面积问题和规律问题。
在平面直角坐标系中求几何图形的面积2讲课文档
则△ ABC的面积是
10 。
y
5
4 4
H B(-1,3•) 3
2
• C(3,3)
5
1
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1
A(-3,-2) •
-2
-3
-4
第七页，共28页。
4.已知：A（4,2），B(-2,4），C（-2,-1）， 则△ ABC的面积是 15 。
y
5
B(-2,4)
x
-1
-2
S=S梯形OAMN– S1 –S2
第十六页，共28页。
5.如图所示，求△ OAB的面积。
y
方法三： 5
4
B(•3,4)
3
M
s1
2
• A(5,2)
1
s2
-2 -1 o• 1 2 3 4 5P x
-1
-2
S=S梯形OPMB– S1 –S2
第十七页，共28页。
8.如图所示，求△ OAB的面积。
6.如图所示，则四边形AOBC的面积是
。
y
方法二：
5
利用现在所学4过
的知识你能确定
M点的坐标吗3？
A(0,2)2 •
• C(3,4)
s1 1
M -2 -1 o•
1
2
3
4
• B(5,0)
5x
-1
-2
S=S △CMB– S1
第二十二页，共28页。
6.如图所示，则四边形AOBC的面积是
。
y
方法三： 5
一、坐标系中三角形面积的求法
1、三角形有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴
第三页，共28页。
1. 如图所示， △ ABC的面积是
解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积
解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积——代数结合，突破面积及点的存在性问题类型一：直接利用面积公式求图形的面积1.在平面直角坐标系中，给定三个点A、B、C，求△ABC的面积。
2.在平面直角坐标系xOy中，已知A(-1.5)，B(-1.0)，C(-4.3)，求△ABC的面积。
类型二：利用分割法求图形的面积3.在平面直角坐标系中，给定四个点A(4.0)，B(3.2)，C(-2.3)，D(-3.0)，求四边形ABCD的面积。
类型三：利用补形法求图形的面积4.已知三个点A(-2.1)，B(1.-3)，C(3.4)，求△ABC的面积。
类型四：探究平面直角坐标系中与面积相关的点的存在性5.在平面直角坐标系中，给定三个点A(4.0)，B(3.4)，C(0.2)。
1) 求四边形ABCO的面积S。
2) 连接AC，求△ABC的面积S。
3) 在x轴上是否存在一点P，使得△PAB的面积S等于10？若存在，求点P的坐标。
6.在平面直角坐标系中，给定三个点A(0.a)，B(b。
0)，C(b。
c)，其中a、b、c满足关系式|a-2|+(b-3)^2≤(c-4)^2.1) 求a、b、c的值。
2) 请用含m的式子表示四边形ABOP的面积，其中m=2.3) 在(2)的条件下，是否存在点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
BF·CF=5×7-3×5-4×3-2×7=22.方法二：将△ABC分成梯形BCDE、△ACD和△ABE三个部分。
则S△ABC=S梯形BCDE-S△ACD-S△ABE=(BE+CD)·DE-AD·CD-AE·BE=（3+5）×7-3×5-4×3=29.方法三：将△ABC分成梯形CAEF、△ABE和△BCF三个部分。