分式思维拓展训练
初中数学思维拓展训练
初中数学思维拓展训练数学是研究数量、结构、变化和空间等概念的一门学科。
它不仅是一门基础学科，也是一门应用广泛的学科。
在中学阶段，数学思维的培养尤为重要，它能够帮助学生提高逻辑思维能力、解决问题的能力，以及创新思维的能力。
主要学习内容初中数学的学习内容主要包括：有理数、整式、分式、方程、不等式、函数、几何等。
每个部分都有其独特的特点和难点，需要学生进行深入的学习和理解。
学习注意事项在学习数学的过程中，需要注意以下几点：1.注重基础：数学是一门循序渐进的学科，需要学生打好基础，才能进行更深入的学习。
2.多做练习：数学是一门需要通过大量练习来提高的学科，学生需要多做练习，才能掌握知识点。
3.培养逻辑思维：数学是一门逻辑性很强的学科，学生需要培养逻辑思维，才能更好地理解和应用数学知识。
主要学习方法和技巧方法一：理解概念在学习数学时，首先要理解概念。
理解概念需要从两个方面入手：一是理解概念的内涵，二是理解概念的外延。
理解概念的内涵，就是要理解概念的定义、性质、特点等；理解概念的外延，就是要了解概念的应用范围、相关知识点等。
方法二：多做练习多做练习是学习数学的重要方法。
通过多做练习，可以加深对知识点的理解，提高解题能力，培养逻辑思维。
在做练习时，需要注意以下几点：一是要注意时间管理，合理安排时间，提高效率；二是要注意错题整理，及时总结错误，避免重复犯错；三是要注意知识点梳理，及时复习巩固，提高记忆效果。
方法三：参与讨论参与讨论是学习数学的有效技巧。
通过参与讨论，可以与他人分享学习心得，互相启发，拓展思维。
在参与讨论时，需要注意以下几点：一是要积极发言，表达自己的观点，提高沟通能力；二是要虚心倾听，借鉴他人的经验，提高自己的学习能力；三是要注重团队协作，发挥集体智慧，提高解决问题的能力。
中考备考技巧1.制定学习计划：根据自己的实际情况，制定合理的学习计划，明确学习目标和进度。
2.分析历年中考题目：通过分析历年中考题目，了解中考题目的特点和趋势，有针对性地进行复习。
人教版数学八年级上册第15章 分式 综合拓展训练
A．
B．
C．
D．
8．若 a＝ +1，则
＝（ ）
A．3
B．4
C．
D．
9．若关于 x 的分式方程 ﹣ ＝3 的解为正整数，且关于 y 的不等式组
至多有六个整数解，则符合条件的所有整数 m 的取值之和为（ ）
A．1
B．0
C．5
D．6
10．若分式
的值为正数，则 x 需满足的条件是（ ）
A．x 为任意实数 C．x 二．填空题
B．方程 ﹣
＝1 无解
第1页（共14页）
C．方程
＝
的根为 x＝0
D．解分式方程时，一定会出现增根
7．暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用 600 元和 800 元两次购进该小 说，第二次购进的数量比第一次多 40 套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店 第一次购进该科幻小说 x 套，由题意列方程正确的是（ ）
B．x D．x
第2页（共14页）
11．分式 的值比分式 的值大 3，则 x 的值为
．
12．已知 ﹣ ＝4，则
＝
．
13．已知关于 x 的方程
使关于 x 的不等式组
的解集为 x＜2，且使关于 x 的分式方程
+ ＝2 的解为非负数，则所有满足条件的 a 的值之和为
．
15．若关于 x 的分式方程 ﹣ ＝1 有增根，则 a 的值
．
三．解答题 16．解下列方程或不等式（组）：
（1）
（2）2（5x+2）≤x﹣3（1﹣2x）
（3）
，并把它的解集在数轴上表示出来．
17．（1）先化简，再求值：（1﹣ ）÷
，其中 m＝1；
湘教版2019年八年级上册《分式》的拓展题型3
1.3 分 式 总分100分（1~11每小题5分，12~14每小题10分, 15题15分）姓名： 家长签字：1.若x,y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A.y x x -+2 B.22x y C.2332x y D.22)(2y x y - 2.如果a-b=3ab,那么=-ba 11 。
3.已知a 、b 为实数，且ab=1,a ≠1,设M=11+++b b a a ，N=1111+++b a ，则M ，N 的大小关系是（ ） A.M ＞N B.M=N C.M ＜N D.无法确定4.若a+b+c=0，且abc ≠0,则⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a c c a b c b a 111111的值为（ ）A.1B. 0C. -1D. -35.若等式13)1)(3(53++-=+--x bx ax x x 恒成立，则（a 2+b 2-2ab ）-8a+8b+17的值是（）A.50B. 37C. 29D. 265.已知,12131=-n m 则式子n mn m mmn n 669634-+-+的值是（ ） A.35- B. 45- C. 85 D. 356.若,31=+x x 则=+122x x 。
7.已知x 2-3x+1=0,则代数式12+-x x x的值是 。
8.已知m 2+2m-2=0,那么代数式2442+∙⎪⎭⎫⎝⎛++m m m m m 的值是（ ）A.-2B. -1C. 2D. 39.已知2414122--=+m n n m ，则n m 11-的值等于（ ）A.1B. 0C. -1D. 41-10.已知 (x-y)(2x-y)=0 (xy ≠0),则x yy x+的值为（ ）A.2B. 212- C. -2或212- D. 2或21211.已知,41=+a a 则21⎪⎭⎫⎝⎛-a a = 。
12.先化简，再求值)225(262---÷--x x x x ，其中x=-2.13.先化简，再求值x x x x x x 44)242(22++÷-+-，其中x 是0,1,2这三个数中合适的数。
分式方程拓展训练培优提高
分式方程拓展训练培优提高分式方程拓展训练一、分式方程的特殊解法1.交叉相乘法例1：解方程：$\frac{1}{x}=\frac{3}{x+2}$解法：交叉相乘得到$x(x+2)=3$，化简后得到$x^2+2x-3=0$，解得$x=1$或$x=-3$，但$x=-3$不符合原方程的定义域，所以解为$x=1$。
2.化归法例2：解方程：$\frac{12}{x-1}-\frac{2}{x-1}=\frac{1}{x-1}$解法：通分得到$\frac{10}{x-1}=\frac{1}{x-1}$，解得$x=11$。
3.左边通分法例3：解方程：$\frac{x-8}{x-7}-\frac{1}{x+7-x}=\frac{8}{x-7-x}$解法：左边通分得到$\frac{(x-8)-(x+7)}{(x-7)(x+7)}=\frac{8}{-2x}$，化简得到$-x^2+2x-15=0$，解得$x=3$或$x=-5$，但$x=-5$不符合原方程的定义域，所以解为$x=3$。
4.分子对等法例4：解方程：$\frac{1}{a}+\frac{1}{a-1}=\frac{b}{x}+\frac{1}{x-1}$，其中$a\neq b$解法：分子对等得到$\frac{x-1+a-1}{ax(a-1)}=\frac{bx+1+abx-ab}{x(x-1)ax(a-1)}$，化简得到$abx^2+(a+b-2)bx+a-1=0$，由于$a\neq b$，所以系数$a+b-2=0$，解得$a=1$，代入原方程得到$x=2$。
5.观察比较法例5：解方程：$\frac{4x}{5x-2}+\frac{17}{5x-2}=\frac{5x+24}{4x}$解法：观察到分母都含有$5x-2$，设$5x-2=t$，则原方程化为$\frac{4}{t}+\frac{17}{t}=\frac{t+24}{4(t+2)}$，化简得到$t^2-50t+76=0$，解得$t=2$或$t=48$，代回得到$x=\frac{4}{5}$或$x=\frac{50}{9}$，但$x=\frac{50}{9}$不符合原方程的定义域，所以解为$x=\frac{4}{5}$。
北师大版八年级数学下册专题复习思维特训(十五) 分式方程的特殊解法
思维特训(十五) 分式方程的特殊解法方法点津 ·1．局部通分，分子相等法：方程两边通分后，出现分子相等，又分式相等，所以得分母相等求解．2．拆项法：若分式的分子、分母的次数相同，可逆用分式的加减法法则，把分式写成整式＋分式的形式，再利用等式的性质，把方程进行简化．3．化积为差法：即利用1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，通过正负项抵消，起到简化方程的目的． 典题精练 ·类型之一 局部通分，分子相等法1．解方程：x －2x －1－x －4x －3＝x －6x －5－x －8x －7.2．阅读下列材料：方程1x ＋1－1x ＝1x －2－1x －3的解为x ＝1， 方程1x －1x －1＝1x －3－1x －4的解为x ＝2， 方程1x －1－1x －2＝1x －4－1x －5的解为x ＝3，… (1)请你观察上述方程与解的特征，写出一个解为x ＝5的分式方程；(2)写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解．类型之二 拆项法3．解下列分式方程：(1)5x －96x －19＋x －8x －9＝4x －19x －6＋2x －21x －8；(2)13－2x 11－2x ＋17－2x 15－2x ＝19－2x 17－2x ＋11－2x 9－2x.类型之三 化积为差法4．解方程：1x ＋10＋1（x ＋1）（x ＋2）＋1（x ＋2）（x ＋3）＋…＋1（x ＋9）（x ＋10）＝25.5．阅读下列材料：11×3＝12×(1－13)， 13×5＝12×(13－15)， 15×7＝12×(15－17)，… 受此启发，请你解下面的方程：1x （x ＋3）＋1（x ＋3）（x ＋6）＋1（x ＋6）（x ＋9）＝32x ＋18.详解详析1．解：两边通分，得（x －2）（x －3）－（x －1）（x －4）（x －1）（x －3）＝ （x －6）（x －7）－（x －5）（x －8）（x －5）（x －7）， 即2x 2－4x ＋3＝2x 2－12x ＋35， ∴x 2－4x ＋3＝x 2－12x ＋35，移项、合并同类项，得8x ＝32，解得x ＝4.经检验，x ＝4是分式方程的解．2．解：(1)1x －3－1x －4＝1x －6－1x －7. (2)1x －n －1x －（n ＋1）＝1x －（n ＋3）－1x －（n ＋4）(n 为整数)， 解为x ＝n ＋2.3．解：(1)原方程可化为(5－1x －19)＋(1＋1x －9)＝(4＋5x －6)＋(2－5x －8)， 即1x －9－1x －19＝5x －6－5x －8， ∴－10（x －9）（x －19）＝－10（x －6）（x －8）， ∴(x －9)(x －19)＝(x －6)(x －8)，即14x ＝123，∴x ＝12314. 经检验，x ＝12314是原方程的解． (2)原方程可化为(1＋211－2x )＋(1＋215－2x )＝(1＋217－2x )＋(1＋29－2x)， 即211－2x ＋215－2x ＝217－2x ＋29－2x ， ∴211－2x －29－2x ＝217－2x －215－2x ， ∴－4（11－2x ）（9－2x ）＝－4（17－2x ）（15－2x ）， ∴(11－2x )(9－2x )＝(17－2x )(15－2x )，解得x ＝132. 经检验，x ＝132是原方程的解．4．解：∵1（x ＋1）（x ＋2）＝1x ＋1－1x ＋2， 1（x ＋2）（x ＋3）＝1x ＋2－1x ＋3，…， 1（x ＋9）（x ＋10）＝1x ＋9－1x ＋10， ∴原方程可化为1x ＋10＋1x ＋1－1x ＋2＋1x ＋2－1x ＋3＋…＋1x ＋9－1x ＋10＝25， ∴1x ＋1＝25，解得x ＝32. 经检验，x ＝32是原方程的解． 5．解：1x （x ＋3）＋1（x ＋3）（x ＋6）＋1（x ＋6）（x ＋9）＝32x ＋18， 13(1x －1x ＋3)＋13(1x ＋3－1x ＋6)＋13(1x ＋6－1x ＋9)＝32x ＋18， 13(1x －1x ＋9)＝32x ＋18， 2(x ＋9)－2x ＝9x ，解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解．。
《分式》拓展训练教案
《分式》拓展训练教案 教学目标：知识与技能：（1）复习巩固分式相关知识，提高对分式的意义、分式的运算、分式方程的理解和运用；（2）提升运用分式知识解决问题的思维能力，提高解题的技能、技巧．过程与方法：（1）经历方法探究的过程，得到解题方法的提炼和深化；（2）通过对有一定深度和广度问题的探究，把思维拓展作为培养学生学习能力的重要手段；（3）尝试相互合作、研究讨论的学习模式．情感态度价值观：（1）培养学生热爱数学，敢于钻研，科学、严谨的学习态度；（2）培养学生大胆交流，合作共进的学习意识．教学重、难点：重点：分式运算的拓展．难点：分式应用的拓展．教学方法：小组讨论，讲练结合．教学过程：一、课内变式：1．当m =__________时，分式()()21332m m m m ---+的值的零． 2．要使分式11xx-有意义，则x 的取值范围是_____________． 3．已知2a x +与2b x -的和等于244x x -，则a =___________，b =____________． 4．若关于x 的方程212x a x +=--的解为正数，则a 的取值范围是____________． 操作方法：让学生先尝试，再由能力强的学生上台讲解，如还有疑问再同桌讨论，最后老师公布答案．二、典例精讲：例1：解方程：22221111132567129208x x x x x x x x +++=++++++++ 提示：先将分母分解因式，再尝试拆项，由学生试解．例2：已知0a b c ++=，1114a b c ++=-，那么222111a b c++的值为（ ） A ．3 B ．8 C ．16 D ．20 提示：考虑三项的完全平方形式，尝试变形．例3：设a 、b 、c 满足0abc ≠且a b c +=，求222222222222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++的值． 提示：先通分，再尝试合理分组，再通过对a b c +=的合理变形代入化简原式求值．三、课后练习：1．已知2310x x -+=，则2421x x x ++的值为_____________．2．若a b x a b -=+，且0a ≠，则b a等于（ ） A ．11x x -+ B ．11x x +- C ．11x x -+ D ．11x x +- 3．已知()22221111x x A B C x x x x x +-=++--，其中A 、B 、C 为常数，求A B C ++的值． 4．学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买多少枝？5．某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，求11111a b c c +++++的值． 四、课时小结：（略）五、课外作业：1.收集与分式相关拓展延伸问题，交流学习心得；2.加强运用所学知识解决实际问题的实践．六、板书设计：（略）七、教学反思：。
北师大版八年级数学下册分式计算的拓展 课后练习二及详解
分式计算的拓展课后练习（二）
主讲教师：黄炜北京四中数学教师
题一：化简并求值：．
题二：已知：x2xy+6y2=0，那么的值为．
题三：若x＞0，试比较和的大小．
题四：已知两个分式A=，B=，其中x≠2，则A与B的关系是．题五：已知a＞b＞0，m＜0，比较的大小．
题六：已知，求的值．
题七：已知方程x2+3x的两根为x1、x2，求值．
题八：分式的最小值是多少？
分式计算的拓展
课后练习参考答案
题一：15．
详解：=15．题二：答案：．
详解：∵x2xy+6y2=0，
∴(x y)(x y)= 0，
∴x y=0或x y=0，
即x=2y或x=3y，
∴当x=2y时，=；
当x=3y时，
原式的值为：．
题三：答案：当0＜x＜1时，＜；
题四：当x=1时，=；
题五：当x＞1时，＞．
详解：对x＞0进行分类，
0＜x＜1时，＜1，＞1；
当x=1时=1，=1；
当x＞1时，＞1，＜1．
由此可以得到答案．
当0＜x＜1时，＜；
当x=1时，=；
当x＞1时，＞．
题六：答案：互为相反数．
详解：∵B==，又∵A=，
∴A+B=+=0，
∴A与B的关系是互为相反数．。
人教版数学八年级上册 第15章 分式 综合拓展训练
【分式】综合拓展训练一．选择题1．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠0B．x≠4C．x≠0且x≠﹣4D．x≠﹣42．化简的结果是（）A．B．C．D．3．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则﹣的值为（）A．B．﹣C．﹣1D．﹣34．目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺，它的最小刻度为0.2nm（其中1nm＝10﹣9m），用科学记数法表示这个最小刻度（单位：m），结果是（）A．2×10﹣8m B．2×10﹣9m C．2×10﹣10m D．2×10﹣11m5．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．已知非零实数x满足x2﹣3x﹣1＝0，则x2+的值为（）A．11B．9C．7D．57．定义运算“※”：a※b＝，如果5※x＝2，那么x的值为（）A．4B．4或10C．10D．4或8．甲、乙两地相距m千米，某人从甲地前往乙地，原计划n小时到达，因故延迟了1小时到达，则他平均每小时比原计划少走的千米数为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣9．下列运算中正确的是（）A．B．C．D．10．若关于x的方程有正数解，则（）A．m＞0且m≠3B．m＜6且m≠3C．m＜0D．m＞6二．填空题11．当x＝时，分式无意义．12．若＝﹣2，则＝．13．若x、y、z满足3x+7y+z＝1和4x+10y+z＝2001，则分式的值为．14．用换元法解方程时，若设＝t，则原方程可化为关于t的一元二次方程是．15．如果b﹣a＝﹣6，那么的值是．三．解答题16．计算：（1）（2a﹣b）（a+3b）﹣（a+2b）2；（2）（）．17．新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控．甲、乙两个工厂生产同一种防护口罩，甲厂每天比乙厂多生产口罩5万只，甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同．（1）求甲、乙两个工厂每天分别生产该种口罩多少万只？（2）甲、乙两厂接到一笔订单，要求10日内生产200万只该种口罩，乙厂引进设备提升产能，为完成订单，乙厂至少每天要多生产多少万只该种口罩？18．化简：（1）+•；（2）（+）÷．19．李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有48分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿道具用了2分钟，然后立即骑自行车（匀速）返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．（1）李明步行的速度是多少？（2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？20．一般情况下，不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝1，b＝2．我们称使得成立的一对数a，b为“有效数对”，记为（a，b）．（1）判断数对①（﹣2，1），②（3，3）中是“有效数对”的是；（只填序号）（2）若（k，﹣1）是“有效数对”，求k的值；（3）若（4，m）是“有效数对”，求代数式的值．。