内蒙古通辽市中考数学真题试题(含解析)【含答案】
2024年内蒙古通辽市中考数学试卷(附答案解析)
2024年内蒙古通辽市中考数学试卷（附答案解析）一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）某地区某日最高气温是零上8℃，记作+8℃，最低气温是零下3℃，应该记作（）A．﹣3℃B．+3℃C．﹣5℃D．+5℃【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，某地区某日最高气温是零上8℃，记作+8℃，最低气温是零下3℃，应该记作﹣3℃．故选：A．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．2．（3分）如图，这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据简单几何体的三视图的画法画出它的俯视图即可．【解答】解：这个几何体的俯视图是，故选：D．【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确解答的关键．3．（3分）在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高（单位：cm）如下：170175169171172170173这组数据的中位数是（）A．175B．172C．171D．170【答案】C．4．（3分）下列运算结果正确的是（）A．4xy﹣3xy＝1B．（﹣a2）3＝﹣a6C．＝﹣5D．+＝【答案】B．5．（3分）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点A（﹣4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（）A．（﹣4，﹣2）B．（4，﹣2）C．（4，2）D．（﹣2，﹣4）【分析】根据所给图形，得出y轴为其对称轴，再根据轴对称的性质即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，此图形关于y轴对称，所以点A（﹣4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（4，2）．故选：C．【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称、坐标确定位置及关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟知轴对称的性质是解题的关键．6．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k1≠0，k1，k2，b1，b2为常数）的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的是（）A．b1+b2＞0B．b1b2＞0C．k1+k2＜0D．k1k2＜0【分析】根据函数图象，可以得到b1＝2，b2＝﹣1，k1＞0，k2＞0，然后即可判断各个选项中的说法是否正确．【解答】解：由图象可得，b1＝2，b2＝﹣1，k1＞0，k2＞0，∴b1+b2＞0，故选项A正确，符合题意；b1b2＜0，故选项B错误，不符合题意；k1+k2＞0，故选项C错误，不符合题意；k1k2＞0，故选项D错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．（3分）不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（）A．B．C．D．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸出白球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：红白白红（红，红）（红，白）（红，白）白（白，红）（白，白）（白，白）白（白，红）（白，白）（白，白）共有9种等可能的结果，其中两次都摸出白球的结果有4种，∴两次都摸出白球的概率为．故选：C．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．8．（3分）将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．45°B．35°C．30°D．25°【分析】由平行线的性质推出∠3＝∠1＝25°，即可求出∠2的度数．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝25°，∴∠2＝60°﹣25°＝35°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠3＝∠1．9．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（）A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBDC．OA2+OB2＝AD2D．AD2+OA2＝OD2【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵OA2+OB2＝AD2，∴OA2+OD2＝AD2，∴∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意，D、∵AD2+OA2＝OD2，∴∠OAD＝90°，∴OA⊥AD，∴不能证得▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．10．（3分）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料成），则BC长为（）A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m【答案】C．11．（3分）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（）A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m【分析】如图，连接OA，先证明CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，再进一步的利用勾股定理计算即可．【解答】解：如图，连接OA，∵D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB＝1m，∴CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，设拱门所在圆的半径为rm，∴OA＝OC＝r，而CD＝2.5m，∴OD＝2.5﹣r，∴r2＝0.52+（2.5﹣r）2，解得：r＝1.3，∴拱门所在圆的半径为1.3m；故选B．【点评】本题考查的是垂径定理的实际应用、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键．12．（3分）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y＝（k为常数，k＞0）上，将正六边形ABCDEF向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（）A．4B．3C．2D．3【解答】解：如图，作DG⊥EF交EF的延长线于点G，DG交反比例函数图象于点H，∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，∴∠EDO＝＝＝60°，∴EDG＝30°，∴EG＝ED，GD＝设正六边形ABCDEF的边长为a，则E（，），H（a，），∵点EH都在反比例函数图象上，∴，解得a＝4，∴H（4，），∴k＝4．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正六边形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）13．（3分）分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2＝．【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：3ax2﹣6axy+3ay2，＝3a（x2﹣2xy+y2），＝3a（x﹣y）2，故答案为：3a（x﹣y）2．14．（3分）如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度L的合格尺寸（L的取值范围）【分析】从图上可以看出：合格尺寸最小应是40﹣0.01＝39.99；最大应是40+0.01＝40.01．【解答】解：根据题意，得.39.99≤L≤40.01．故答案为：39.99≤L≤40.01．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，理解40±0.01的意义是解题的关键．15．（3分）分式方程的解是．【解答】解：去分母得：3x＝2x﹣4，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解．故答案为：x＝﹣416．（3分）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是cm2（结果用含π的式子表示）．【分析】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2计算即可．【解答】解：这个扇形纸片的面积是为×2π×5×12＝60π（cm2）．故答案为：60π．17．（3分）关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列结论正确的是（填写所有正确结论的序号）．①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴；②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4；③若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于2．【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质，逐个进行判断即可得解．【解答】解：当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣4，∴抛物线的对称轴是y轴，故①正确．又若此抛物线与x轴只有一个公共点，∴Δ＝4m2﹣4（m2+m﹣4）＝﹣4m+16＝0．∴m＝4，故②错误．由题意，∵抛物线为y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4，∴对称轴是直线x＝﹣＝m．又抛物线开口向上，∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．又∵A（m﹣2，y1），B（m+1，y2），∴m﹣（m﹣2）＝2＞m+1﹣m＝1．∴y1＞y2，故③错误．由题意，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4的对称轴是直线x＝m，∴顶点为（m，m﹣4）．∴顶点在直线y＝x﹣4上．又直线y＝x与y＝x﹣4平行，∴顶点到直线y＝x的距离等于两条平行线间的距离．又直线y＝x﹣4与y轴的夹角为45°，且y＝x﹣4是y＝x向下平移4个单位得到的，∴两平行线间的距离为4sin45°＝4×＝2．∴顶点到直线y＝x的距离为2，故④正确．故答案为：①④．三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出解答各题的文字说明、证明过程或计算步骤18．（5分）计算：|﹣2|+2sin60°﹣（﹣π）0．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：|﹣2|+2sin60°﹣（﹣π）0＝2﹣+2×﹣1＝2﹣+﹣1＝1．19．（6分）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣（a+b）（4a﹣b），其中a＝﹣，b＝2．【分析】根据平方差公式、多项式乘多项式的运算法则去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将a，b的值代入计算即可．【解答】解：原式＝4a2﹣b2﹣（4a2﹣ab+4ab﹣b2）＝4a2﹣b2﹣4a2+ab﹣4ab+b2＝﹣3ab．当a＝﹣，b＝2时，原式＝＝．【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20．（6分）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B 点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB 的高度（精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，参考数据：≈1.73）．【分析】延长AB交DC于H，得到∠AHD＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长AB交DC于H，则∠AHD＝90°，∵∠BCH＝30°，BC＝6米，∴BH＝BC＝3米，CH＝BC＝3米，∵∠ADC＝45°，∴AH＝DH＝CD+CH＝（4+3）米，∴AB＝AH﹣BH＝4+3﹣3＝1+3≈6.2（米），答：杨树AB的高度约为6.2米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．21．（8分）为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛事，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本．【收集数据】调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：6061629473738585877263647066746567757671949384917682838392848080829291867786887270719390819074788175【整理描述数据】通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：组别成绩分组频数A60≤x＜70aB70≤x＜8016C80≤x＜9016D90≤x≤100b（1）频数分布表中a＝8，b＝10，并补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中m＝20，D所对应的扇形的圆心角度数是72°．【应用数据】（3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数．【分析】（1）根据所给的数据即可得a和b的值，即可补全频数分布直方图；（2）利用D组的人数除以总人数即可得m的值，用360°乘以D组的人数所占的百分比即可求出D 所对应的扇形的圆心角度数；（3）用总人数乘以样本中成绩不低于90分是人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）频数分布表中a＝8，b＝10，补全频数分布直方图如下：故答案为：8，10；（2）∵m%＝×100%＝20%，∴m＝20，D所对应的扇形的圆心角度数是360°×20%＝72°；故答案为：20，72°；（3）600×20%＝120（人），答：估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数为120人．【点评】本题考查频数（率）分布直方图，频数（率）分布表，扇形统计图和用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．（8分）如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．（1）求证：∠ABC＝2∠ACD；（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，如图，先根据切线的性质得到∠ODA＝∠ODB＝90°，再根据四边形的内角和与等角的补角相等得到∠ABC＝∠AOD，接着根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠ACD，从而得到结论；（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，先利用勾股定理计算出AB＝10，再证明△AOD∽△ABC，则利用相似比得到＝，然后解方程即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠ODA＝∠ODB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠COD＝180°，∵∠AOD+∠COD＝180°，∴∠ABC＝∠AOD，∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ABC＝2∠ACD；（2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵∠OAD＝∠BAC，∠ADO＝∠ACB，∴△AOD∽△ABC，∴＝，即＝，解得r＝3，即⊙O的半径为3．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．23．（10分）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．（1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；（2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半．请你给出最节省费用的购买方案．【分析】（1）设每台煎蛋器的价格是x元，每台三明治机的价格是y元，根据“购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m台煎蛋器，则购买（50﹣m）台三明治机，根据购买三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设学校采购这两种机器所需总费用为w元，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出最节省费用的购买方案．【解答】解：（1）设每台煎蛋器的价格是x元，每台三明治机的价格是y元，根据题意得：，解得：．答：每台煎蛋器的价格是65元，每台三明治机的价格是110元；（2）设购买m台煎蛋器，则购买（50﹣m）台三明治机，根据题意得：50﹣m≥m，解得：m≤．设学校采购这两种机器所需总费用为w元，则w＝65m+110（50﹣m），即w＝﹣45m+5500，∵﹣45＜0，∴w随m的增大而减小，又∵m为正整数，∴当m＝33时，w取得最小值，此时50﹣m＝50﹣33＝17，∴最节省费用的购买方案为：购买33台煎蛋器，17台三明治机．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．24．（8分）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“牵形图”，AM＝AN，DM＝DN．求证∠AMD＝∠AND．【模型应用】（2）如图2、△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D．请你从以下两个条件：①∠AMD＝2∠C；②AC＝AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）【拓展提升】（3）如图3，AC为⊙O的直径，＝，∠BAC的平分线AD交BC于点E，交⊙O于点D，连接CD．求证AE＝2CD．【分析】（1）利用SSS证明△ADM≌△ADN，即可；（2）选择②为条件，①为结论：在AC取点N，使AN＝AM，连接DN，证明△ADM≌△ADN，可得DM＝DN，∠AMD＝∠AND，再由AC＝AM+MD，可得DN＝CN，从而得到∠C＝∠CDN，即可；选择①为条件，②为结论：在AC取点N，使AN＝AM，连接DN，证明△ADM≌△ADN，可得DM＝DN，∠AMD＝∠AND，再由∠AMD＝2∠C，可得∠C＝∠CDN，从而得到DN＝CN，即可；（3）连接BD，取AE的中点F，连接BF，根据圆周角定理可得BD＝CD，从而得到∠BCD＝∠CBD，再由AC为⊙O的直径，可得AE＝2BF＝2AF，从而得到∠ABF＝∠BAF，然后根据，可得AB ＝BC，可证明△ABF≌△CBD，从而得到BF＝BD＝CD，即可．【解答】解：（1）在△ADM和△ADN中，，∴△ADM≌△ADN（SSS），∴∠AMD＝∠AND；（2）解：（Ⅰ）选择②为条件，①为结论，如图，在AC取点N，使AN＝AM，连接DN，∵AD平分∠MAC，∴∠DAM＝∠DAN，在△ADM和△ADN中，∵AM＝AN，∠DAM＝∠DAN，AD＝AD，∴△ADM≌△ADN（SAS），∴DM＝DN，∠AMD＝∠AND，∵AC＝AM+MD，AC＝AN+NC，∴DM＝CN，∴DN＝CN，∴∠C＝∠CDN，∴∠AMD＝∠AND＝∠CDN+∠C＝2∠C；（Ⅱ）选择①为条件，②为结论，如图，在AC取点N，使AN＝AM，连接DN，∵AD平分∠MAC，∴∠DAM＝∠DAN，在△ADM和△ADN中，∵AM＝AN，∠DAM＝∠DAN，AD＝AD，∴△ADM≌△ADN（SAS），∴DM＝DN，∠AMD＝∠AND，∵∠AMD＝2∠C，∴∠AND＝2∠C＝∠CDN+∠C，∴∠CDN＝∠C，∴DN＝CN，∴DM＝CN，∵AC＝AN+NC，∴AC＝AM+MD；（3）如图，连接BD，取AE的中点F，连接BF，∵∠BAC的平分线AD，∴，∴BD＝CD，∴∠BCD＝∠CBD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴AE＝2BF＝2AF，∴∠ABF＝∠BAF，∵∠BAF＝∠BCD，∴∠ABF＝∠CBD，∵，∴AB＝BC，∴△ABF≌△CBD（ASA），∴BF＝BD＝CD，∴AE＝2CD．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题关键．25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点C，D，抛物线（k为常数）经过点D且交x轴于A，B两点．（1）求抛物线表示的函数解析式；（2）若点P为抛物线的顶点，连接AD，DP，CP．求四边形ACPD的面积．【分析】（1）求出D（0，3），可得3＝﹣×（0﹣2）2+k，k＝4，即可得抛物线表示的函数解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）连接OP，求出C（2，0），OC＝2，A（﹣2，0），OA＝2，抛物线顶点P坐标为（2，4），可得S＝S△AOD+S△POD+S△POC＝10．四边形ACPD【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，∴D（0，3），∵抛物线经过点D（0，3），∴3＝﹣×（0﹣2）2+k，解得k＝4，∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+x+3；∴抛物线表示的函数解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）连接OP，如图；在y＝﹣x+3中，令y＝0得x＝2，∴C（2，0），OC＝2，在y＝﹣x2+x+3中，令y＝0得0＝﹣x2+x+3，解得x＝6或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），OA＝2，由y＝﹣（x﹣2）2+4可得抛物线顶点P坐标为（2，4），＝S△AOD+S△POD+S△POC＝×2×3+×3×2+×2×4＝3+3+3＝10；∴S四边形ACPD∴四边形ACPD的面积为10．【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，三角形面积等知识，解题的关键是用割补法求出四边形ACPD的面积．26．（10分）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF和一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE＝1，AB＝2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α（0°≤α≤90°）角，观察图形的变化，完成探究活动．【初步探究】如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G，BG交AD于点M．问题1BE和DF的数量关系是BE＝DF，位置关系是BE⊥DF．【深入探究】应用问题1的结论解决下面的问题．问题2如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA＝OD＝OG．【尝试应用】问题3如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．【分析】（1）先证△AEB≌△AFD，得到BE＝DF，再根据△AMB和△DMG内角和推导，证∠G＝90°即可；（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证；（3）由（2）知点OA＝OD＝OG，则点G的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧上，再根据α的变化求圆心角即可得解．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵△AEF是含有45°的直角三角尺，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝90°，∵∠BAD﹣∠DAE＝∠EAF﹣∠DAE，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，∵∠AMB＝∠DMG，∴∠G＝∠BAM＝90°，即BE⊥DF，故答案为：BE＝DF，BE⊥DF．（2）∵△BAD是直角三角形，O是BD中点，∴OA＝BD＝OD，由（1）知∠G＝90°，∴△BGD是直角三角形，∴OG＝BD＝OD，∴OA＝OD＝OG．（3）由（2）知，OA＝OD＝OG，∴点G的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧，连接OA，OG，∵旋转角α从0°变化到60°，∴此时点G的运动路线就是，∵∠BAE＝60°，∴ABE＝30°，∴∠OBG＝45°﹣30°＝15°，∵OB＝OG＝BD，∴∠DOG＝30°，∴∠AOG＝180°﹣∠AOB﹣∠DOG＝60°，∵AB＝2，∴BD＝AB＝2，∴OA＝OG＝，∴的长度＝＝π．即点G经过路线的长度为π．。
内蒙古通辽市中考数学真题试题(含解析)
内蒙古通辽市·2018·中考数学真题试题一、选择题（本题包括10个小题每小题3分共30分，每小题只有一个正确选项，请在答题卡上将代表正确答案字母用2B铅笔涂黑）1．（3.00分）倒数是（）A．2018 B．﹣2018 C．﹣D．2．（3.00分）剪纸是我国传统民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形是（）A．B．C． D．3．（3.00分）下列说法错误是（）A．通过平移或旋转得到图形与原图形全等B．“对顶角相等”逆命题是真命题C．圆内接正六边形边长等于半径D．“经过有交通信号灯路口，遇到红灯”是随机事件4．（3.00分）小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系大致图象是（）A．B．C．D．5．（3.00分）如图，一个几何体主视图和左视图都是边长为6等边三角形，俯视图是直径为6圆，则此几何体全面积是（）A．18π B．24π C．27π D．42π6．（3.00分）学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本价格比文学类图书平均每本价格贵5元，且购买科普书数量比购买文学书数量少100本．求科普类图书平均每本价格是多少元？若设科普类图书平均每本价格是x元，则可列方程为（）A．﹣=100 B．﹣=100C．﹣=100 D．﹣=1007．（3.00分）已知⊙O半径为10，圆心O到弦AB距离为5，则弦AB所对圆周角度数是（）A．30° B．60° C．30°或150°D．60°或120°8．（3.00分）一商店以每件150元价格卖出两件不同商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总盈亏情况是（）A．亏损20元B．盈利30元C．亏损50元D．不盈不亏9．（3.00分）已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同交点，则一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=在同一坐标系内大致图象是（）A．B．C．D．10．（3.00分）如图，▱ABCD对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD=60°，AD=AB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD=AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④S△ADE=5S△OFE，其中正确个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题包括7个小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题横线上）11．（3.00分）·2018·5月13日，我国第一艘国产航母出海试航，这标志着我国从此进入“双航母”时代，据估测该航母满载排水量与辽宁舰相当，约67500吨，将67500用科学记数法表示为．12．（3.00分）如图，∠AOB一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB度数是．13．（3.00分）一组数据2，x，1，3，5，4，若这组数据中位数是3，则这组数据方差是．14．（3.00分）如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出，人们称它为“赵爽弦图”．已知AE=3，BE=2，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点机会均等），则恰好落在正方形EFGH内概率为．15．（3.00分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为．16．（3.00分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD面积为．17．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k＞0）图象与半径为5⊙O 交于M、N两点，△MON面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN最小值是．三、解答题（本题包括9个小题共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5.00分）计算：﹣|4﹣|﹣（π﹣3.14）0+（1﹣cos30°）×（）﹣2．19．（6.00分）先化简（1﹣）÷，然后从不等式2x﹣6＜0非负整数解中选取一个合适解代入求值．20．（6.00分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处海拔高度约为1400米，由B处望山脚A 处俯角为30°，由B处望山脚C处俯角为45°，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据≈1.732）21．（6.00分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整频数分布表和频数分布直方图．学生立定跳远测试成绩频数分布表请根据图表中所提供信息，完成下列问题：（1）表中a= ，b= ，样本成绩中位数落在范围内；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内学生有多少人？22．（7.00分）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD中点，过点A作BC平行线交BE 延长线于F，且AF=CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF形状，并证明你结论．23．（8.00分）为提升学生艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈．为了解学生对四门功课喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查学生共有多少人？扇形统计图中∠α度数是多少？（2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办·2018·度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起概率．24．（9.00分）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒售价各是多少元？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球数量大于乙种羽毛球数量，已知甲种羽毛球每筒进价为50元，乙种羽毛球每筒进价为40元．①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？25．（10.00分）如图，⊙O是△ABC外接圆，点O在BC边上，∠BAC平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC平行线与AC延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC长．26．（12.00分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．（1）请直接写出抛物线解析式及顶点D坐标；（2）连接BC与抛物线对称轴交于点E，点P为线段BC上一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P横坐标为m．①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10个小题每小题3分共30分，每小题只有一个正确选项，请在答题卡上将代表正确答案字母用2B铅笔涂黑）1．（3.00分）倒数是（）A．2018 B．﹣2018 C．﹣D．【分析】根据倒数定义，互为倒数两数乘积为1，×2018=1即可解答．【解答】解：根据倒数定义得：×2018=1，因此倒数是2018．故选：A．2．（3.00分）剪纸是我国传统民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形是（）A．B．C． D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．3．（3.00分）下列说法错误是（）A．通过平移或旋转得到图形与原图形全等B．“对顶角相等”逆命题是真命题C．圆内接正六边形边长等于半径D．“经过有交通信号灯路口，遇到红灯”是随机事件【分析】根据平移、旋转性质、对顶角性质、圆内接多边形性质、随机事件概念判断即可．【解答】解：通过平移或旋转得到图形与原图形全等，A正确，不符合题意；“对顶角相等”逆命题是相等角是对顶角，是假命题，B错误，符合题意；圆内接正六边形边长等于半径，C正确，不符合题意；“经过有交通信号灯路口，遇到红灯”是随机事件，D正确，不符合题意；故选：B．4．（3.00分）小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据小刚行驶路程与时间关系，确定出图象即可．【解答】解：根据题意得：小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系大致图象是故选：B．5．（3.00分）如图，一个几何体主视图和左视图都是边长为6等边三角形，俯视图是直径为6圆，则此几何体全面积是（）A．18π B．24π C．27πD．42π【分析】依据题意可得这个几何体为圆锥，其全面积=侧面积+底面积．【解答】解：圆锥全面积=π×32+π×3×6=27πcm2．故选：C．6．（3.00分）学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本价格比文学类图书平均每本价格贵5元，且购买科普书数量比购买文学书数量少100本．求科普类图书平均每本价格是多少元？若设科普类图书平均每本价格是x元，则可列方程为（）A．﹣=100 B．﹣=100C．﹣=100 D．﹣=100【分析】直接利用购买科普书数量比购买文学书数量少100本得出等式进而得出答案．【解答】解：设科普类图书平均每本价格是x元，则可列方程为：﹣=100．故选：B．7．（3.00分）已知⊙O半径为10，圆心O到弦AB距离为5，则弦AB所对圆周角度数是（）A．30° B．60° C．30°或150°D．60°或120°【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角三角函数值求角度即可．【解答】解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=，∴tan∠1=，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角度数是60°或120°．故选：D．8．（3.00分）一商店以每件150元价格卖出两件不同商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总盈亏情况是（）A．亏损20元B．盈利30元C．亏损50元D．不盈不亏【分析】设盈利商品进价为x元，亏损商品进价为y元，根据销售收入﹣进价=利润，即可分别得出关于x、y一元一次方程，解之即可得出x、y值，再由两件商品销售收入﹣成本=利润，即可得出商店卖这两件商品总亏损20元．【解答】解：设盈利商品进价为x元，亏损商品进价为y元，根据题意得：150﹣x=25%x，150﹣y=﹣25%y，解得：x=120，y=200，∴150+150﹣120﹣200=﹣20（元）．故选：A．9．（3.00分）已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同交点，则一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=在同一坐标系内大致图象是（）A．B．C．D．【分析】依据抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同交点，即可得到k＜0，进而得出一次函数y=kx﹣k图象经过第一二四象限，反比例函数y=图象在第二四象限．【解答】解：∵抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同交点，∴△=4﹣4（k+1）＞0，解得k＜0，∴一次函数y=kx﹣k图象经过第一二四象限，反比例函数y=图象在第二四象限，故选：D．10．（3.00分）如图，▱ABCD对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD=60°，AD=AB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD=AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④S△ADE=5S△OFE，其中正确个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD=AD•BD；依据∠CDE=60°，∠BDE30°，可得∠CDB=∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依据OE是△ABD中位线，即可得到OE∥AD，OE=AD，进而得到△OEF∽△ADF，依据S△ADF=4S△OEF，S△AEF=2S△OEF，即可得到S△ADE=6S△OFE．【解答】解：∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，∴AD=AE=AB，∴E是AB中点，∴DE=BE，∴∠BDE=∠AED=30°，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S▱ABCD=AD•BD，故①正确；∵∠CDE=60°，∠BDE30°，∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵Rt△AOD中，AO＞AD，∴AO＞DE，故③错误；∵O是BD中点，E是AB中点，∴OE是△ABD中位线，∴OE∥AD，OE=AD，∴△OEF∽△ADF，∴S△ADF=4S△OEF，且AF=2OF，∴S△AEF=2S△OEF，∴S△ADE=6S△OFE，故④错误；故选：B．二、填空题（本题包括7个小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题横线上）11．（3.00分）·2018·5月13日，我国第一艘国产航母出海试航，这标志着我国从此进入“双航母”时代，据估测该航母满载排水量与辽宁舰相当，约67500吨，将67500用科学记数法表示为 6.75×104．【分析】科学记数法表示形式为a×10n形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n绝对值与小数点移动位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将67500用科学记数法表示为：6.75×104．故答案为6.75×104．12．（3.00分）如图，∠AOB一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB度数是75°30′（或75.5°）．【分析】首先证明∠EDO=∠AOB=37°45′，根据∠EDB=∠AOB+∠EDO计算即可解决问题；【解答】解：∵CD∥OB，∴∠ADC=∠AOB，∵∠EDO=∠CDA，∴∠EDO=∠AOB=37°45′，∴∠EDB=∠AOB+∠EDO=2×37°45′=75°30′（或75.5°），故答案为75°30′（或75.5°）．13．（3.00分）一组数据2，x，1，3，5，4，若这组数据中位数是3，则这组数据方差是．【分析】先根据中位数定义求出x值，再求出这组数据平均数，最后根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]进行计算即可．【解答】解：∵按从小到大顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据中位数为3，∴x=3，∴这组数据平均数是（1+2+3+3+4+5）÷6=3，∴这组数据方差是：[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=，故答案为：．14．（3.00分）如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出，人们称它为“赵爽弦图”．已知AE=3，BE=2，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点机会均等），则恰好落在正方形EFGH内概率为．【分析】根据几何概型概率求法，飞镖扎在小正方形内概率为小正方形内与大正方形面积比，根据题意，可得小正方形面积与大正方形面积，进而可得答案．【解答】解：根据题意，AB2=AE2+BE2=13，∴S正方形ABCD=13，∵△ABE≌△BCF，∴AE=BF=3，∵BE=2，∴EF=1，∴S正方形EFGH=1，，故飞镖扎在小正方形内概率为．故答案为．15．（3.00分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为x（x﹣1）=21 ．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=21，故答案为：x（x﹣1）=21．16．（3.00分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC 长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD面积为9．【分析】只要证明△ABD是等边三角形，推出BD=AD=DC，可得S△ADC=S△ABD即可解决问题；【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴∠C=∠DAC=30°，∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°，∵AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AD=DC，∴S△ADC=S△ABD=×62=9，故答案为9．17．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k＞0）图象与半径为5⊙O 交于M、N两点，△MON面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN最小值是5．【分析】先求出a2+b2=c2+d2=25，再求出ac=，同理：bd=，即可得出ac﹣bc=0，最后用两点间距离公式即可得出结论．【解答】解：如图，设点M（a，b），N（c，d），∴ab=k，cd=k，∵点M，N在⊙O上，∴a2+b2=c2+d2=25，作出点N关于x轴对称点N'（c，﹣d），∴S△OMN=k+（b+d）（a﹣c）﹣k=3.5，∴bc﹣ad=k+7，∴，∴ac=，同理：bd=，∴ac﹣bc=﹣=[（c2+d2）﹣（a2+b2）]=0，∵M（a，b），N'（c，﹣d），∴MN'2=（a﹣c）2+（b+d）2=a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd=a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）=50，∴MN'=5，故答案为：5．三、解答题（本题包括9个小题共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5.00分）计算：﹣|4﹣|﹣（π﹣3.14）0+（1﹣cos30°）×（）﹣2．【分析】直接利用绝对值性质以及零指数幂性质和特殊角三角函数值以及负指数幂性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=﹣（4﹣2）﹣1+（1﹣）×4=﹣4+2﹣1+4﹣2=﹣1．19．（6.00分）先化简（1﹣）÷，然后从不等式2x﹣6＜0非负整数解中选取一个合适解代入求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=•=，由不等式2x﹣6＜0，得到x＜3，∴不等式2x﹣6＜0非负整数解为x=0，1，2，则x=0时，原式=2．20．（6.00分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处海拔高度约为1400米，由B处望山脚A 处俯角为30°，由B处望山脚C处俯角为45°，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据≈1.732）【分析】作BD⊥AC于D，利用直角三角形性质和三角函数解答即可．【解答】解：如图，作BD⊥AC于D，由题意可得：BD=1400﹣1000=400（米），∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵，即，∴AD=400（米），在Rt△BCD中，∵，即，∴CD=400（米），∴AC=AD+CD=400+400≈1092.8≈1093（米），答：隧道最短为1093米．21．（6.00分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整频数分布表和频数分布直方图．学生立定跳远测试成绩频数分布表请根据图表中所提供信息，完成下列问题：（1）表中a= 8 ，b= 20 ，样本成绩中位数落在 2.0≤x＜2.4 范围内；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内学生有多少人？【分析】（1）根据题意和统计图可以求得a、b值，并得到样本成绩中位数所在取值范围；（2）根据b值可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据统计图中数据可以求得该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内学生有多少人．【解答】解：（1）由统计图可得，a=8，b=50﹣8﹣12﹣10=20，样本成绩中位数落在：2.0≤x＜2.4范围内，故答案为：8，20，2.0≤x＜2.4；（2）由（1）知，b=20，补全频数分布直方图如右图所示；（3）1000×=200（人），答：该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内学生有200人．22．（7.00分）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD中点，过点A作BC平行线交BE 延长线于F，且AF=CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF形状，并证明你结论．【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等；（2）根据AB=AC，且AD是BC边上中线可得∠ADC=90°，由四边形ADCF是矩形可得答案．【解答】证明：（1）∵E是AD中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）连接DF，∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE，∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB，∵AB=AC，∴DF=AC，∴四边形ADCF是矩形．23．（8.00分）为提升学生艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈．为了解学生对四门功课喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查学生共有多少人？扇形统计图中∠α度数是多少？（2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办·2018·度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起概率．【分析】（1）用A科目人数除以其对应百分比可得总人数，用360°乘以C对应百分比可得∠α度数；（2）用总人数乘以C科目百分比即可得出其人数，从而补全图形；（3）画树状图展示所有12种等可能结果数，再找出恰好是“书法”“乐器”结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）本次调查学生总人数为4÷10%=40人，∠α=360°×（1﹣10%﹣20%﹣40%）=108°；（2）C科目人数为40×（1﹣10%﹣20%﹣40%）=12人，补全图形如下：（3）画树状图为：共有12种等可能结果数，其中恰好是书法与乐器组合在一起结果数为2，所以书法与乐器组合在一起概率为=．24．（9.00分）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒售价各是多少元？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球数量大于乙种羽毛球数量，已知甲种羽毛球每筒进价为50元，乙种羽毛球每筒进价为40元．①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）设甲种羽毛球每筒售价为x元，乙种羽毛球每筒售价为y元，由条件可列方程组，则可求得答案；（2）①设购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，由条件可得到关于m不等式组，则可求得m取值范围，且m为整数，则可求得m值，即可求得进货方案；②用m可表示出W，可得到关于m一次函数，利用一次函数性质可求得答案．【解答】解：（1）设甲种羽毛球每筒售价为x元，乙种羽毛球每筒售价为y元，根据题意可得，解得，答：该网店甲种羽毛球每筒售价为60元，乙种羽毛球每筒售价为45元；（2）①若购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，根据题意可得，解得75＜m≤78，∵m为整数，∴m值为76、77、78，∴进货方案有3种，分别为：方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒，方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒，方案一，购进甲种羽毛球78筒，乙种羽毛球为122筒；②根据题意可得W=（60﹣50）m+（45﹣40）（200﹣m）=5m+1000，∵5＞0，∴W随m增大而增大，且75＜m≤78，∴当m=78时，W最大，W最大值为1390，答：当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元．25．（10.00分）如图，⊙O是△ABC外接圆，点O在BC边上，∠BAC平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC平行线与AC延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC长．【分析】（1）先判断出∠BAC=2∠BAD，进而判断出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD⊥OD即可得出结论；（2）先判断出∠ADB=∠P，再判断出∠DCP=∠ABD，即可得出结论；（3）先求出BC，再判断出BD=CD，利用勾股定理求出BC=BD=，最后用△ABD∽△DCP 得出比例式求解即可得出结论．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵BC是⊙O直径，∴∠BAC=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD，∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BOD=∠BAC=90°，∵DP∥BC，∴∠ODP=∠BOD=90°，∴PD⊥OD，∵OD是⊙O半径，∴PD是⊙O切线；（2）∵PD∥BC，∴∠ACB=∠P，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠P，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，∴∠DCP=∠ABD，∴△ABD∽△DCP，（3）∵BC是⊙O直径，∴∠BDC=∠BAC=90°，在Rt△ABC中，BC==13cm，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BOD=∠COD，∴BD=CD，在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，∴BC=CD=BC=，∵△ABD∽△DCP，∴，∴，∴CP=16.9cm．26．（12.00分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．（1）请直接写出抛物线解析式及顶点D坐标；（2）连接BC与抛物线对称轴交于点E，点P为线段BC上一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P横坐标为m．①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长最大值．【分析】（1）应用待定系数法；（2）①求出直线BC解析式，表示PF．当PF=DE时，平行四边形存在．②利用△PFH∽△BCO，应用相似三角形性质表示△PFH周长，应用函数性质讨论最值．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣5解得∴y=x2﹣4x﹣5∴顶点坐标为D（2，﹣9）（2）①存在设直线BC函数解析式为y=kx+b（k≠0）把B（5，0），C（0，﹣5）代入得∴BC解析式为y=x﹣5当x=m时，y=m﹣5∴P（m，m﹣5）当x=2时，y=2﹣5=﹣3∴E（2．﹣3）∵PF∥DE∥y轴∴点F横坐标为m当x=m时，y=m2﹣4m﹣5∴F（m，m2﹣4m﹣5）∴PF=（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）=﹣m2+5m∵E（2，﹣3），D（2，﹣9）∴DE=﹣3﹣（﹣9）=6如图，连接DF∵PF∥DE∴当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形即﹣m2+5m=6解得m1=3，m2=2（舍去）当m=3时，y=3﹣5=2此时P（3，﹣2）∴存在点P（3，﹣2）使四边形PEDF为平行四边形．②由题意在Rt△BOC中，OB=OC=5∴BC=5∴C△BOC=10+5∵PF∥DE∥y轴∴∠FPE=∠DEC=∠OCB∵FH⊥BC∴∠FHP=∠BOC=90°∴△PFH∽△BCO∴即C△PFH=∵0＜m＜5∴当m=﹣时，△PFH周长最大值为。
内蒙古自治区通辽市中考数学试题(含答案)
2022年中考往年真题练习: 内蒙古通辽市中考数学试卷一、挑选题（共10小题, 每小题3分, 满分30分)1．如图, 有五个一样的小立方块搭成的几何体, 这个几何体的左视图是（)A．B．C．D．2．在一个暗箱内放有a个除颜色外其余完全一样的小球, 其中红球只有3个且摸到红球的概率为15%, 则a的值是（)A．20 B．15 C．12 D．93．若n=﹣6, 则估计n的值所在范围, 下列最接近的是（)A．4＜n＜5 B．3＜n＜4 C．2＜n＜3 D．1＜n＜24．将0. 0006049保留两位有效数字并用科学记数法表示正确的是（)A．6. 0×10﹣4B．6. 0×10﹣3C．6. 1×10﹣4D．6. 1×10﹣35．相交两圆的半径分别为1和3, 把这两个的圆心距的取值范围在数轴上表示正确的是（) A．B．C．D．6．小刚徒步到同学家取自行车, 在同学家逗留几分钟后他骑车原路返回, 他骑车速度是徒步速度的3倍．设他从家出发后所用的时间为t（分钟) , 所走的路程为s（米) , 则s与t的函数图象大致是（) A．B．C．D．7．美是一种感觉, 当人体的下半身长与身高的比值越接近0. 618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm, 下半身长与身高的比值是0. 60, 为尽可能达到好的效果, 她应穿的高跟鞋的高度约为（) A．6cm B．10cm C．4cm D．8cm8．4点10分, 时针与分针所夹的小于平角的角为（)9．如图, 过x轴正半轴上的任意一点P, 作y轴的平行线, 分别与反比例函数y=﹣和y=的图象交于A、B两点．若点C是y轴上任意一点, 连接AC、BC, 则△ABC的面积为（)A．3B．4C．5D．1010．为安置100名中考女生入住, 需要同时租用6人间和4人间两种客房, 若每个房间都住满, 则租房方案共有（)A．8种B．9种C．16种D．17种二、填空题（共7小题, 每小题3分, 满分21分)11．5的倒数是_________, |1﹣|=_________, ﹣=_________．12．2, 3, 4, 5, 6这五个数的平均数是4, 则这组数据的方差是_________．13．如图, 梯形ABCD中, AD∥BC, DC⊥BC, 将梯形沿对角线BD折叠, 点A恰好落在DC边上的点A′处, 若∠A′BC=15°, 则∠A′BD的度数为_________．14．一个扇形的弧长是20πcm, 面积是240πcm2．则这个扇形的半径是_________．15．已知方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1、x2, 则=_________．16．如图, △ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O, 则S△ABO: S△BCO: S△CAO=_________．17．观察下列等式:1×2=×（1×2×3﹣0×1×2)2×3=×（2×3×4﹣1×2×3)3×4=×（3×4×5﹣2×3×4)…计算: 3×[1×2+2×3+3×4+…+n（n+1) ]=_________．三、解答题（共9小题, 满分69分)18．先化简, 再求值．（) ÷（其中x=)19．如图, 小艳家（点A) 在学校（点C) 北偏东60°方向, AC=600（m) ．小颖家（点B) 在小艳家正南, 学校在小颖家北偏西45°方向．求: 小颖家与小艳家的距离．（结果保留根号)测验类别平常期中考试期末考试测验1 测验2 测验3 测验4成绩106 102 115 109 112 110（1) 计算洋洋该学期的数学平常平均成绩；（2) 加入学期的总评成绩是根据如图所示的权重计算, 请计算出洋洋该学期的数学总评成绩．21．某校学生乘车到距学校60千米的景区游玩, 一部分学生乘慢车, 另一部分学生乘快车, 他们同时出22．如图, AB是⊙O的直径, BC⊥AB于点B, 连接OC交⊙O于点E, =．求证:（1) AD∥OC；（2) CD是⊙O的切线．23．如图, 四边形ABCD与四边形ACED都是平行四边形, R是DE的中点, BR交AC、CD于点P、Q．若AD=, AB=AC=2．求: BP、PQ的长．24．甲口袋里装有2个一样的小球, 它们分别写有数字1和2；乙口袋里装有3个一样的小球, 它们分别写有数字3, 4, 5；丙口袋里有2个一样的小球, 它们分别写有数字6, 7．从三个口袋中各随机地取出1个小球, 按要求解答下列问题:（1) 画出“树形图”；（2) 取出的3个小球上只有1个偶数数字的概率是几？（3) 取出的3个小球上全是奇数数字的概率是几？25．已知直线y=2x+4与x轴交于点A, 与y轴交于点B, 点P在坐标轴上, 且PO=240．求△ABP的面积．26．如图, 在平面直角坐标系中, 将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上, 且点A（0, 2) 、（1) 求点C的坐标；（2) 求抛物线的解析式；（3) 在抛物线上是否存在点P与点Q（点C、D除外) 使四边形ABPQ为正方形？若存在求出点P、Q 两点坐标, 若不存在说明理由．2022年中考往年真题练习: 内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、挑选题（共10小题, 每小题3分, 满分30分)1．如图, 有五个一样的小立方块搭成的几何体, 这个几何体的左视图是（)A．B．C．D．考点分析:简单组合体的三视图。
2020年内蒙古通辽市中考数学试题(解析版)
2020年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）（2020•通辽）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万【分析】根据科学记数法定义：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，即可表示．【解答】解：30000用科学记数法表示为：3×104．故选：B．【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，解决本题的关键是掌握科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．[科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．2．（3分）（2020•通辽）下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数【分析】分别根据乘法的定义，单项式的定义以及偶数的定义逐一判断即可．【解答】解：A.2a＝a+a，即2a是2个数a的和，说法正确；B.2a是2和数a的积，说法正确；C.2a是单项式，说法正确；D.2a不一定是偶数，故原说法错误．故选：D．【点评】本题主要考查了单项式的定义，偶数的定义，熟记相关定义是解答本题的关键．3．（3分）（2020•通辽）下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，可得答案．【解答】解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（3分）（2020•通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（）A．B．C．D．【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可．【解答】解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；B．∠α＝∠β，故本选项错误；C．∠α＝∠β，故本选项错误；D．∠α与∠β互补，故本选项错误，故选：A．【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．5．（3分）（2020•通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k＜1C．k≤1且k≠0D．k≤1【分析】若一元二次方程有有实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【解答】解：k＝0时，是一元一次方程，有实数根；k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．（3分）（2020•通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个交的平分线．故选：B．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．7．（3分）（2020•通辽）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到∠P AO＝90°，∠PBO＝90°，求出∠AOB，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：连接OA、OB，∵P A，PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠P AO＝90°，∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠P AO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°，由圆周角定理得，∠C=12∠AOB＝54°，故选：C．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．8．（3分）（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE【分析】根据菱形的判定定理即可得到结论．【解答】解：添加∠BAC ＝90°时，∵AD 是△ABC 的中线，∴AD =12BC ＝CD ，∴四边形ADCE 是菱形，选项A 正确；添加∠DAE ＝90°，∵四边形ADCE 是平行四边形∴四边形ADCE 是矩形，选项B 错误；添加AB ＝AC ，可得到AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴四边形ADCE 是平行四边形是矩形，选项C 错误；添加AB ＝AE ，∵四边形ADCE 是平行四边形，∴AE ＝CD ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ＝AE ，∴AB ＝BD ，故不能选项D 不能判定四边形ADCE 是菱形；故选：A ．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定、熟练掌握菱形的判定是关键．9．（3分）（2020•通辽）如图，OC 交双曲线y =k x 于点A ，且OC ：OA ＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB ∥x 轴，则k 的值是（ ）A ．18B ．50C ．12D ．2009【分析】延长DA 、CB ，交x 轴于E 、F ，通过证得三角形相似求得△AOE 的面积＝9，根据反比例函数系数k 的几何意义，即可求得k 的值．【解答】解：延长DA 、CB ，交x 轴于E 、F ，∵四边形ABCD 矩形，且AB ∥x 轴，∴DE ⊥x 轴，CF ⊥x 轴，∴AE ∥CF ，∴△AOE ∽△COF ，∴S △OFC S △AOE =（OC OA ）2=259，∵矩形ABCD 的面积是8，∴△ABC 的面积为4，∵AB ∥x 轴，∴△ABC ∽△OFC ，∴S △OFC S △ABC =（OC AC ）2， ∵OC ：OA ＝5：3，∴OC AC =52，∴S △OFC 4=254，∴S △OFC ＝25，∴S △OFC S △AOE =259，∴S △AOE ＝9，∵双曲线y =k x 经过点A ，∴S △AOE =12|k |＝9，∵k ＞0，∴k ＝18，故选：A ．【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．10．（3分）（2020•通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（ ）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax 2﹣a ＝a （x +1）（x ﹣1）；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的圆心角是120°．A ．14B ．12C ．34D ．1【分析】根据各个小题中的说法可以判断是否为真命题，从而可以得到随机抽取一个是真命题的概率．【解答】解：（1）无理数都是无限小数是真命题，（2）因式分解ax 2﹣a ＝a （x +1）（x ﹣1）是真命题；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm 是真命题；（4）弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的半径是240π×2÷20π＝24cm ，圆心角为：180°×20π24π=150°，故弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的圆心角是120°是假命题；故随机抽取一个是真命题的概率是34， 故选：C ．【点评】本题考查命题和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个命题的真假．二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）（2020•通辽）计算：（1）（3.14﹣π）0＝ 1 ；（2）2cos45°＝ √2 ；（3）﹣12＝ ﹣1 ．【分析】（1）根据任何非零数的零次幂等于1即可；（2）根据特殊角的三角函数值计算即可；（3）根据有理数的乘方的定义计算即可．【解答】解：（1）（3.14﹣π）0＝1；（2）2cos45°=2×√22=√2；（3）﹣12＝﹣1×1＝﹣1．故答案为：（1）1；（2）√2；（3）﹣1．【点评】本题主要考查了实数的运算．熟练掌握相关定义是解答本题的关键．12．（3分）（2020•通辽）若数据3，a ，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是 3 ；（2）a 的值是 1 ；（3）方差是 85 ．【分析】根据平均数、中位数、方差、众数的意义和计算方法进行计算即可．【解答】解：（1）不论a 取何值，出现次数最多的是3，出现3次，因此众数是3；（2）（3×3+a +5）＝3×5，解得，a ＝1，（3）S 2=15[（1﹣3）2+（5﹣3）2]=85，故答案为：3，1，85． 【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的意义是正确计算的关键．13．（3分）（2020•通辽）如图，点O 在直线AB 上，∠AOC ＝58°17′28″．则∠BOC 的度数是 121°42′32″ ．【分析】依据邻补角的定义，即可得到∠BOC的度数．【解答】解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝58°17′28″，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣58°17′28″＝121°42′32″，故答案为：121°42′32″．【点评】本题主要考查了邻补角的定义．解题的关键是掌握邻补角的定义：如果两个角互为邻补角，那么它们的和为180°．14．（3分）（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多2n+3个小正方形．【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．【解答】解：∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，关键是通过图形找出规律，按规律求解．15．（3分）（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了12个人．【分析】根据增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得（1+x）2＝1691+x＝±13x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．16．（3分）（2020•通辽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则P A2，PB2，PC2三者之间的数量关系是PB2+AP2＝2CP2．【分析】连接BQ，由“SAS”可证△ACP≌△BCQ，可得∠CAP＝∠CBQ＝45°，可得∠ABQ＝90°，由勾股定理可得PB2+BQ2＝PQ2，即可求解．【解答】解：如图，连接BQ，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵△PCQ是等腰直角三角形，∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ2＝2CP2，∴∠ACP＝∠BCQ，又∵AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，∴∠ABQ＝90°，∴PB2+BQ2＝PQ2，∴PB2+AP2＝2CP2，故答案为：PB2+AP2＝2CP2．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明∠ABQ＝90°是本题的关键．17．（3分）（2020•通辽）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB 的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，P A+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为3+2√3．【分析】点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，进而求解．【解答】解：如图，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC，则四边形ABA′C为菱形，菱形的对角线交于点O，设菱形的边长为2m，在△ABC中，BC＝2BO＝2×AC sin∠OAC＝4m×sin60°＝2√3m，从图②看，BC＝3√3=2√3m，解得：m=3 2；点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，则∠BAA′＝60°，故AA′B为等边三角形，∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，而AB∥A′C，故∠P A′C为直角，则a＝PC=A′Ccos∠BCA′=2mcos30°=4√33m，此时b＝AA′＝2m，则a+b＝2m+4√33m＝3+2√3．故答案为3+2√3．【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）（2020•通辽）解方程：2x−2=3x．【分析】方程两边都乘以最简公分母x（x﹣2）把分式方程化为整式方程，然后解整式方程，再进行检验．【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣2）得，2x＝3x﹣6，解得x＝6，检验：当x＝6时，x（x﹣2）＝6×4＝24≠0，所以x＝6是分式方程的解．因此，原分式方程的解是x＝6．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19．（6分）（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．【分析】在两个直角三角形中，利用边角关系求出BD、CD的长，即可求楼高BC．【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），答：这栋楼高BC约为270米．【点评】本题考查直角三角形的边角关系的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．20．（6分）（2020•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3m，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※√3；（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．【解答】解：（1）（﹣2）※√3=（﹣2）2×√3−（﹣2）×√3−3√3=4√3+2√3−3√3=3√3；（2）3※m≥﹣6，则32m﹣3m﹣3m≥﹣6，解得：m≥﹣2，将解集表示在数轴上如下：【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤．21．（7分）（2020•通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数，然后根据概率公式计算；（2）找出取出的3个小球上全是奇数的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率=5 12；（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，所以取出的3个小球上全是奇数的概率=212=16．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．22．（7分）（2020•通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB •P A，求证：AB⊥CD．【分析】连接AC、BC，如图，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，∠C＝∠B，则可判断△APC∽△BPD，利用相似比得到PC•PD＝P A•PB，利用PC2＝PB•P A得到PC＝PD，然后根据垂径定理得到结论．【解答】证明：连接AC、BC，如图，∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△APC∽△BPD，∴PC：PB＝P A：PD，∴PC•PD＝P A•PB，∵PC2＝PB•P A，∴PC＝PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了圆周角定理和垂径定理．23．（8分）（2020•通辽）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．【分析】（1）根据爱好运动的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以得到爱好阅读和上网的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据爱好运动的学生所占的百分比，可以计算出该校学生总数大约有多少名．【解答】解：（1）40÷40%＝100（名），即在这次调查中，共调查了100名学生；（2）爱好上网的学生有：100×10%＝10（名），爱好阅读的学生有：100﹣40﹣20﹣10＝30（名），补全的条形统计图如右图所示；（3）800÷40%＝2000（名），答：该校学生总数大约有2000名．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（9分）（2020•通辽）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A 型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求A，B型服装的单价；（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？【分析】（1）设A型服装的单价为x元，B型服装的单价为y元，根据“2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B 型服装m 件，则购进A 型服装（60﹣m ）件，根据购进A 型件数不少于B 型件数的2倍，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，设该专卖店需要准备w 元的货款，根据总价＝单价×数量，即可得出w 关于m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设A 型服装的单价为x 元，B 型服装的单价为y 元，依题意，得：{2x +3y =4600x +2y =2800， 解得：{x =800y =1000． 答：A 型服装的单价为800元，B 型服装的单价为1000元．（2）设购进B 型服装m 件，则购进A 型服装（60﹣m ）件，依题意，得：60﹣m ≥2m ，解得：m ≤20．设该专卖店需要准备w 元的货款，则w ＝800（60﹣m ）+1000×0.75m ＝﹣50m +48000， ∵k ＝﹣50，∴w 随m 的增大而减小，∴当m ＝20时，w 取得最小值，最小值＝﹣50×20+48000＝47000．答：该专卖店至少需要准备47000元货款．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25．（9分）（2020•通辽）中心为O 的正六边形ABCDEF 的半轻为6cm ，点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm /s 的速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动，连接PB ，PE ，QB ，QE ，设运动时间为t （s ）．（1）求证：四边形PBQE 为平行四边形；（2）求矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比．【分析】（1）证明△ABP ≌△DEQ （SAS ），可得BP ＝EQ ，同理PE ＝BQ ，由此即可证明；（2）求出t ＝0s 或6s 时，四边形PBQE 是矩形，求出矩形面积和正六边形面积，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝F A ，∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠D ＝∠DEF ＝∠F ，∵点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm /s 速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动， ∴AP ＝DQ ＝t ，PF ＝QC ＝6﹣t ，在△ABP 和△DEQ 中，{AB =DE∠A =∠D AP =DQ，∴△ABP ≌△DEQ （SAS ），∴BP ＝EQ ，同理可证PE ＝QB ，∴四边形PEQB 为平行四边形．（2）解：连接BE 、OA ，则∠AOB =360°6=60°，∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝6，BE ＝2OB ＝12，当t ＝0时，点P 与A 重合，Q 与D 重合，四边形PBQE 即为四边形ABDE ，如图1所示： 则∠EAF ＝∠AEF ＝30°，∴∠BAE ＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE 是矩形，即四边形PBQE 是矩形．当t ＝6时，点P 与F 重合，Q 与C 重合，四边形PBQE 即为四边形FBCE ，如图2所示： 同法可知∠BPE ＝90°，此时四边形PBQE 是矩形．综上所述，t ＝0s 或6s 时，四边形PBQE 是矩形，∴AE=√122−62=6√3，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6√3=36√3；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×14矩形ABDE的面积＝6×14×36√3=54√3，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比=2 3．【点评】本题考查了正六边形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．26．（12分）（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x 轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD 于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B 、D 的坐标，再由对称求得C 点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设P （m ，0），则M （m ，﹣m 2+5m +6），N （m ，m ﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB 的面积关于m 的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m 的值，进而得P 点的坐标；（3）分三种情况：M 为直角顶点；N 为直角顶点；Q 为直角顶点．分别得出Q 点的坐标．【解答】解：（1）令y ＝0，得y ＝x ﹣6＝0，解得x ＝6，∴B （6，0），令x ＝0，得y ＝x ﹣6＝﹣6，∴D （0，﹣6），∵点C 与点D 关于x 轴对称，∴C （0，6），把B 、C 点坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c 中，得{−36+6b +c =0c =6， 解得，{b =5c =6， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+5x +6；（2）设P （m ，0），则M （m ，﹣m 2+5m +6），N （m ，m ﹣6），则MN ＝﹣m 2+4m +12，∴△MDB 的面积=12MN ⋅OB =−3m 2+12m +36═﹣3（m ﹣2）2+48，∴当m＝2时，△MDB的面积最大，此时，P点的坐标为（2，0）；（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，解得，n＝4±√55，∴Q（0，4+√55）或（0，4−√55）．综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+√55）或（0，4−√55）．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．第21页（共21页）。
内蒙古通辽市中考数学真题及答案
内蒙古通辽市中考数学真题及答案一、选择题（本题包括10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确答齐案,请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）（2020•通辽）2020年我市初三毕业生超过30000人,将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万2．（3分）（2020•通辽）下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数3．（3分）（2020•通辽）下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨4．（3分）（2020•通辽）如图,将一副三角尺按下列位置摆放,使∠α和∠β互余的摆放方式是（）A．B．C．D．5．（3分）（2020•通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根,k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k≤16．（3分）（2020•通辽）根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．7．（3分）（2020•通辽）如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,∠P＝72°,则∠C＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°8．（3分）（2020•通辽）如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断▱ADCE 是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE9．（3分）（2020•通辽）如图,OC交双曲线y于点A,且OC：OA＝5：3,若矩形ABCD的面积是8,且AB∥x 轴,则k的值是（）A．18 B．50 C．12 D．10．（3分）（2020•通辽）从下列命题中,随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；（4）弧长是20πcm,面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．A．B．C．D．1二、填空题（本题包括7小题,每小题3分,共21分,将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）（2020•通辽）计算：（1）（3.14﹣π）0＝；（2）2cos45°＝；（3）﹣12＝．12．（3分）（2020•通辽）若数据3,a,3,5,3的平均数是3,则这组数据中（1）众数是；（2）a的值是；（3）方差是．13．（3分）（2020•通辽）如图,点O在直线AB上,∠AOC＝58°17′28″．则∠BOC的度数是．14．（3分）（2020•通辽）如图,用大小相同的小正方形拼大正方形,拼第1个正方形需要4个小正方形,拼第2个正方形需要9个小正方形…,按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多个小正方形．15．（3分）（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎,经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎,每轮传染中平均一个人传染了个人．16．（3分）（2020•通辽）如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,点P在斜边AB上,以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,∠PCQ＝90°,则PA2,PB2,PC2三者之间的数量关系是．17．（3分）（2020•通辽）如图①,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝120°,点E是边AB的中点,点P是边BC上一动点,设PC＝x,PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象,其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为．三、解答题（包括9小题,共69分,每小题分值均在各题号后面标出,请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）（2020•通辽）解方程：．19．（6分）（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α,看这栋楼底部的俯角为β,A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27,tanβ＝2.73,求这栋楼高．20．（6分）（2020•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n,规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n,如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※；（2）若3※m≥﹣6,求m的取值范围,并在所给的数轴上表示出解集．21．（7分）（2020•通辽）甲口袋中装有2个相同小球,它们分别写有数字1,2；乙口袋中装有3个相同小球,它们分别写有数字3,4,5；丙口袋中装有2个相同小球,它们分别写有数字6,7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．22．（7分）（2020•通辽）如图,⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P,且PC2＝PB•PA,求证：AB⊥CD．23．（8分）（2020•通辽）某校研究学生的课余爱好情况,采取抽样调查的方法,从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好,并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中,共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名,则该校学生总数大约有多少名．24．（9分）（2020•通辽）某服装专卖店计划购进A,B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求A,B型服装的单价；（2）专卖店要购进A,B两种型号服装60件,其中A型件数不少于B型件数的2倍,如果B型打七五折,那么该专卖店至少需要准备多少货款？（2020•通辽）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s （9分）25．的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．26．（12分）（2020•通辽）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B,与y轴交于点D,点C与点D关于x轴对称,点P是线段OB上一动点,过点P 作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线BD于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时,求点P的坐标；（3）在（2）的条件下,在y轴上是否存在点Q,使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在,直接写出点Q的坐标；若不存在,说明理由．2020年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确答齐案,请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）（2020•通辽）2020年我市初三毕业生超过30000人,将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万【解答】解：30000用科学记数法表示为：3×104．故选：B．2．（3分）（2020•通辽）下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数【解答】解：A.2a＝a+a,即2a是2个数a的和,说法正确；B.2a是2和数a的积,说法正确；C.2a是单项式,说法正确；D.2a不一定是偶数,故原说法错误．故选：D．3．（3分）（2020•通辽）下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨【解答】解：A、守株待兔是随机事件,故此选项不合题意；B、瓮中捉鳖是必然事件,故此选项不合题意；C、水中捞月是不可能事件,故此选项符合题意；D、百步穿杨是随机事件,故此选项不合题意；故选：C．4．（3分）（2020•通辽）如图,将一副三角尺按下列位置摆放,使∠α和∠β互余的摆放方式是（）A．B．C．D．【解答】解：A．∠α与∠β互余,故本选项正确；B．∠α＝∠β,故本选项错误；C．∠α＝∠β,故本选项错误；D．∠α与∠β互补,故本选项错误,故选：A．5．（3分）（2020•通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根,k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k≤1【解答】解：k＝0时,是一元一次方程,有实数根；k不等于0时,是一元二次方程,根据题意,△≥0,∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0,解得k≤1,故选：D．6．（3分）（2020•通辽）根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点,选项B中作了两个交的平分线．故选：B．7．（3分）（2020•通辽）如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,∠P＝72°,则∠C＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°【解答】解：连接OA、OB,∵PA,PB分别为⊙O的切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠PAO＝90°,∠PBO＝90°,∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°,由圆周角定理得,∠C∠AOB＝54°,故选：C．8．（3分）（2020•通辽）如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断▱ADCE 是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE【解答】解：添加∠BAC＝90°时,∵AD是△ABC的中线,∴AD BC＝CD,∴四边形ADCE是菱形,选项A正确；添加∠DAE＝90°,∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形,选项B错误；添加AB＝AC,可得到AD⊥BC,∴∠ADC＝90°,∴四边形ADCE是平行四边形是矩形,选项C错误；添加AB＝AE,∵四边形ADCE是平行四边形,∴AE＝CD,∵AD是△ABC的中线,∴BD＝CD＝AE,∴AB＝BD,故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；故选：A．9．（3分）（2020•通辽）如图,OC交双曲线y于点A,且OC：OA＝5：3,若矩形ABCD的面积是8,且AB∥x 轴,则k的值是（）A．18 B．50 C．12 D．【解答】解：延长DA、交x轴于E,∵四边形ABCD矩形,且AB∥x轴,∴∠CAB＝∠AOE,∴DE⊥x轴,CF⊥x轴,∴∠AEO＝∠ABC∴△AOE∽△CAB,∴（）2,∵矩形ABCD的面积是8,OC：OA＝5：3,∴△ABC的面积为4,AC：OA＝2：3,∴（）2,∴S△AOE＝9,∵双曲线y经过点A,∴S△AOE|k|＝9,∵k＞0,∴k＝18,故选：A．10．（3分）（2020•通辽）从下列命题中,随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；（4）弧长是20πcm,面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．A．B．C．D．1【解答】解：（1）无理数都是无限小数是真命题,（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）是真命题；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm是真命题；（4）弧长是20πcm,面积是240πcm2的扇形的半径是240π×2÷20π＝24cm,圆心角为：150°,故弧长是20πcm,面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°是假命题；故随机抽取一个是真命题的概率是,故选：C．二、填空题（本题包括7小题,每小题3分,共21分,将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）（2020•通辽）计算：（1）（3.14﹣π）0＝ 1 ；（2）2cos45°＝；（3）﹣12＝﹣1 ．【解答】解：（1）（3.14﹣π）0＝1；（2）2cos45°；（3）﹣12＝﹣1×1＝﹣1．故答案为：（1）1；（2）；（3）﹣1．12．（3分）（2020•通辽）若数据3,a,3,5,3的平均数是3,则这组数据中（1）众数是 3 ；（2）a的值是 1 ；（3）方差是．【解答】解：（1）不论a取何值,出现次数最多的是3,出现3次,因此众数是3；（2）（3×3+a+5）＝3×5,解得,a＝1,（3）S2[（1﹣3）2+（5﹣3）2],故答案为：3,1,．（2020•通辽）如图,点O在直线AB上,∠AOC＝58°17′28″．则∠BOC的度数是121°42′32″．（3分）13．【解答】解：∵点O在直线AB上,且∠AOC＝58°17′28″,∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣58°17′28″＝121°42′32″,故答案为：121°42′32″．14．（3分）（2020•通辽）如图,用大小相同的小正方形拼大正方形,拼第1个正方形需要4个小正方形,拼第2个正方形需要9个小正方形…,按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多2n+3 个小正方形．【解答】解：∵第1个正方形需要4个小正方形,4＝22,第2个正方形需要9个小正方形,9＝32,第3个正方形需要16个小正方形,16＝42,…,∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形,第n个正方形有（n+1）2个小正方形,故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．15．（3分）（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎,经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎,每轮传染中平均一个人传染了12 个人．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人,根据题意,得（1+x）2＝1691+x＝±13x1＝12,x2＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．16．（3分）（2020•通辽）如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,点P在斜边AB上,以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,∠PCQ＝90°,则PA2,PB2,PC2三者之间的数量关系是PB2+AP2＝2CP2．【解答】解：如图,连接BQ,∵∠ACB＝90°,AC＝BC,∴∠CAB＝∠CBA＝45°,∵△PCQ是等腰直角三角形,∴PC＝CQ,∠PCQ＝90°＝∠ACB,PQ2＝2CP2,∴∠ACP＝∠BCQ,又∵AC＝BC,∴△ACP≌△BCQ（SAS）,∴∠CAP＝∠CBQ＝45°,∴∠ABQ＝90°,∴PB2+BQ2＝PQ2,∴PB2+AP2＝2CP2,故答案为：PB2+AP2＝2CP2．17．（3分）（2020•通辽）如图①,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝120°,点E是边AB的中点,点P是边BC上一动点,设PC＝x,PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象,其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为7 ．【解答】解：如图,将△ABC沿BC折叠得到△A′BC,则四边形ABA′C为菱形,菱形的对角线交于点O,由图②知,当点P与点B重合时,y＝PA+PE＝AB+BE＝AB AB＝3,解得：AB＝2,即：菱形的边长为2,则该菱形的高为AB＝3,点A关于BC的对称点为点A′,连接A′E交BC于点P,此时y最小,∵AB＝AC,∠BAC＝120°,则∠BAA′＝60°,故AA′B为等边三角形,∵E是AB的中点,故A′E⊥AB,而AB∥A′C,故∠PA′C为直角,A′C＝AB＝2,则PC4,此时b＝PC,a＝A′E＝3（菱形的高）,则a+b＝3+4＝7．故答案为7．三、解答题（包括9小题,共69分,每小题分值均在各题号后面标出,请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）（2020•通辽）解方程：．【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣2）得,2x＝3x﹣6,解得x＝6,检验：当x＝6时,x（x﹣2）＝6×4＝24≠0,所以x＝6是分式方程的解．因此,原分式方程的解是x＝6．19．（6分）（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α,看这栋楼底部的俯角为β,A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27,tanβ＝2.73,求这栋楼高．【解答】解：在Rt△ABD中,BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米）,在Rt△ACD中,CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米）,∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米）,答：这栋楼高BC约为270米．20．（6分）（2020•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n,规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n,如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※；（2）若3※m≥﹣6,求m的取值范围,并在所给的数轴上表示出解集．【解答】解：（1）（﹣2）※（﹣2）2（﹣2）34233；（2）3※m≥﹣6,则32m﹣3m﹣3m≥﹣6,解得：m≥﹣2,将解集表示在数轴上如下：21．（7分）（2020•通辽）甲口袋中装有2个相同小球,它们分别写有数字1,2；乙口袋中装有3个相同小球,它们分别写有数字3,4,5；丙口袋中装有2个相同小球,它们分别写有数字6,7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果,其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5,所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2,所以取出的3个小球上全是奇数的概率．22．（7分）（2020•通辽）如图,⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P,且PC2＝PB•PA,求证：AB⊥CD．【解答】证明：连接AC、BC,如图,∵∠A＝∠D,∠C＝∠B,∴△APC∽△BPD,∴PC：PB＝PA：PD,∴PC•PD＝PA•PB,∵PC2＝PB•PA,∴PC＝PD,∵AB为直径,∴AB⊥CD．23．（8分）（2020•通辽）某校研究学生的课余爱好情况,采取抽样调查的方法,从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好,并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中,共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名,则该校学生总数大约有多少名．【解答】解：（1）40÷40%＝100（名）,即在这次调查中,共调查了100名学生；（2）爱好上网的学生有：100×10%＝10（名）,爱好阅读的学生有：100﹣40﹣20﹣10＝30（名）,补全的条形统计图如右图所示；（3）800÷40%＝2000（名）,答：该校学生总数大约有2000名．24．（9分）（2020•通辽）某服装专卖店计划购进A,B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求A,B型服装的单价；（2）专卖店要购进A,B两种型号服装60件,其中A型件数不少于B型件数的2倍,如果B型打七五折,那么该专卖店至少需要准备多少货款？【解答】解：（1）设A型服装的单价为x元,B型服装的单价为y元,依题意,得：,解得：．答：A型服装的单价为800元,B型服装的单价为1000元．（2）设购进B型服装m件,则购进A型服装（60﹣m）件,依题意,得：60﹣m≥2m,解得：m≤20．设该专卖店需要准备w元的货款,则w＝800（60﹣m）+1000×0.75m＝﹣50m+48000,∵k＝﹣50,∴w随m的增大而减小,∴当m＝20时,w取得最小值,最小值＝﹣50×20+48000＝47000．答：该专卖店至少需要准备47000元货款．25．（2020•通辽）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s （9分）的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O,∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA,∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F,∵点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s速度沿AF,DC向终点F,C运动,∴AP＝DQ＝t,PF＝QC＝6﹣t,在△ABP和△DEQ中,,∴△ABP≌△DEQ（SAS）,∴BP＝EQ,同理可证PE＝QB,∴四边形PEQB为平行四边形．（2）解：连接BE、OA,则∠AOB60°,∵OA＝OB,∴△AOB是等边三角形,∴AB＝OA＝6,BE＝2OB＝12,当t＝0时,点P与A重合,Q与D重合,四边形PBQE即为四边形ABDE,如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°,∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°,∴此时四边形ABDE是矩形,即四边形PBQE是矩形．当t＝6时,点P与F重合,Q与C重合,四边形PBQE即为四边形FBCE,如图2所示：同法可知∠BPE＝90°,此时四边形PBQE是矩形．综上所述,t＝0s或6s时,四边形PBQE是矩形,∴AE6,∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×636；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6矩形ABDE的面积＝63654,∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．26．（12分）（2020•通辽）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B,与y轴交于点D,点C与点D关于x轴对称,点P是线段OB上一动点,过点P 作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线BD于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时,求点P的坐标；（3）在（2）的条件下,在y轴上是否存在点Q,使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在,直接写出点Q的坐标；若不存在,说明理由．【解答】解：（1）令y＝0,得y＝x﹣6＝0,解得x＝6,∴B（6,0）,令x＝0,得y＝x﹣6＝﹣6,∴D（0,﹣6）,∵点C与点D关于x轴对称,∴C（0,6）,把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中,得,解得,,∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；（2）设P（m,0）,则M（m,﹣m2+5m+6）,N（m,m﹣6）,则MN＝﹣m2+4m+12,∴△MDB的面积3m2+12m+36═﹣3（m﹣2）2+48, ∴当m＝2时,△MDB的面积最大,此时,P点的坐标为（2,0）；（3）由（2）知,M（2,12）,N（2,﹣4）,当∠QMN＝90°时,QM∥x轴,则Q（0,12）；当∠MNQ＝90°时,NQ∥x轴,则Q（0,﹣4）；当∠MQN＝90°时,设Q（0,n）,则QM2+QN2＝MN2,即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2,解得,n＝4±2,∴Q（0,4+2）或（0,4﹣2）．综上,存在以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0,12）或（0,﹣4）或（0,4+2）或（0,4﹣2）．。
内蒙古通辽市中考数学真题试题(含解析)
内蒙古通辽市中考数学真题试题一.选择题（本题包括10个小题每小题3分共30分，每小题只有一个正确选项，请在答题卡上将代表正确答案字母用2B铅笔涂黑）1.（3.00分）倒数是（）A.2018B.﹣2018C.﹣D.2.（3.00分）剪纸是我国传统民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形是（）A. B. C. D.3.（3.00分）下列说法错误是（）A.通过平移或旋转得到图形与原图形全等B.“对顶角相等”逆命题是真命题C.圆内接正六边形边长等于半径D.“经过有交通信号灯路口，遇到红灯”是随机事件4.（3.00分）小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系大致图象是（）A. B.C D.5.（3.00分）如图，一个几何体主视图和左视图都是边长为6等边三角形，俯视图是直径为6圆，则此几何体全面积是（）A.18πB.24πC.27πD.42π6.（3.00分）学校为创建“书香校园”购买了一批图书.已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本价格比文学类图书平均每本价格贵5元，且购买科普书数量比购买文学书数量少100本.求科普类图书平均每本价格是多少元？若设科普类图书平均每本价格是x元，则可列方程为（）A.﹣=100B.﹣=100C.﹣=100D.﹣=1007.（3.00分）已知⊙O半径为10，圆心O到弦AB距离为5，则弦AB所对圆周角度数是（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°8.（3.00分）一商店以每件150元价格卖出两件不同商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总盈亏情况是（）A.亏损20元B.盈利30元C.亏损50元D.不盈不亏9.（3.00分）已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同交点，则一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=在同一坐标系内大致图象是（）A. B. C. D.10.（3.00分）如图，▱ABCD对角线AC.BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD=60°，AD=AB，连接OE.下列结论：①S▱ABCD=AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④S△ADE=5S△OFE，其中正确个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二.填空题（本题包括7个小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题横线上）11.（3.00分）5月13日，我国第一艘国产航母出海试航，这标志着我国从此进入“双航母”时代，据估测该航母满载排水量与辽宁舰相当，约67500吨，将67500用科学记数法表示为.12.（3.00分）如图，∠AOB一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB度数是.13.（3.00分）一组数据2，x，1，3，5，4，若这组数据中位数是3，则这组数据方差是.14.（3.00分）如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出，人们称它为“赵爽弦图”.已知AE=3，BE=2，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点机会均等），则恰好落在正方形EFGH内概率为.15.（3.00分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）.现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为.16.（3.00分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC 长为半径作弧，两弧相交于M.N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD.若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD面积为.17.（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k＞0）图象与半径为5⊙O 交于M.N两点，△MON面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN最小值是.三.解答题（本题包括9个小题共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答文字说明.证明过程或计算步骤）18.（5.00分）计算：﹣|4﹣|﹣（π﹣3.14）0+（1﹣cos30°）×（）﹣2.19.（6.00分）先化简（1﹣）÷，然后从不等式2x﹣6＜0非负整数解中选取一个合适解代入求值.20.（6.00分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A.C两地海拔高度约为1000米，山顶B处海拔高度约为1400米，由B处望山脚A 处俯角为30°，由B处望山脚C处俯角为45°，若在A.C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据≈1.732）21.（6.00分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整频数分布表和频数分布直方图.学生立定跳远测试成绩频数分布表分组频数1.2≤x＜1.6 a1.6≤x＜2.0 122.0≤x＜2.4 b2.4≤x＜2.8 10请根据图表中所提供信息，完成下列问题：（1）表中a= ，b= ，样本成绩中位数落在范围内；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内学生有多少人？22.（7.00分）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD中点，过点A作BC平行线交BE 延长线于F，且AF=CD，连接CF.（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF形状，并证明你结论.23.（8.00分）为提升学生艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A.书法；B.绘画；C.乐器；D.舞蹈.为了解学生对四门功课喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查学生必须选择而且只能选择其中一门）.将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查学生共有多少人？扇形统计图中∠α度数是多少？（2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办·2018·度校园文化艺术节，决定从A.书法；B.绘画；C.乐器；D.舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起概率.24.（9.00分）某网店销售甲.乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元.（1）该网店甲.乙两种羽毛球每筒售价各是多少元？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲.乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球数量大于乙种羽毛球数量，已知甲种羽毛球每筒进价为50元，乙种羽毛球每筒进价为40元.①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？25.（10.00分）如图，⊙O是△ABC外接圆，点O在BC边上，∠BAC平分线交⊙O于点D，连接BD.CD，过点D作BC平行线与AC延长线相交于点P.（1）求证：PD是⊙O切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC长.26.（12.00分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D.（1）请直接写出抛物线解析式及顶点D坐标；（2）连接BC与抛物线对称轴交于点E，点P为线段BC上一个动点（点P不与B.C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P横坐标为m.①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由.②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长最大值.参考答案与试题解析一.选择题（本题包括10个小题每小题3分共30分，每小题只有一个正确选项，请在答题卡上将代表正确答案字母用2B铅笔涂黑）1.（3.00分）倒数是（）A.2018B.﹣2018C.﹣D.【分析】根据倒数定义，互为倒数两数乘积为1，×2018=1即可解答.【解答】解：根据倒数定义得：×2018=1，因此倒数是2018.故选：A.2.（3.00分）剪纸是我国传统民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形是（）A. B. C. D.【分析】根据轴对称图形和中心对称图形概念对各选项分析判断即可得解.【解答】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确；D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误.故选：C.3.（3.00分）下列说法错误是（）A.通过平移或旋转得到图形与原图形全等B.“对顶角相等”逆命题是真命题C.圆内接正六边形边长等于半径D.“经过有交通信号灯路口，遇到红灯”是随机事件【分析】根据平移.旋转性质.对顶角性质.圆内接多边形性质.随机事件概念判断即可. 【解答】解：通过平移或旋转得到图形与原图形全等，A正确，不符合题意；“对顶角相等”逆命题是相等角是对顶角，是假命题，B错误，符合题意；圆内接正六边形边长等于半径，C正确，不符合题意；“经过有交通信号灯路口，遇到红灯”是随机事件，D正确，不符合题意；故选：B.4.（3.00分）小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系大致图象是（）A. B. C.D.【分析】根据小刚行驶路程与时间关系，确定出图象即可.【解答】解：根据题意得：小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系大致图象是故选：B.5.（3.00分）如图，一个几何体主视图和左视图都是边长为6等边三角形，俯视图是直径为6圆，则此几何体全面积是（）A.18πB.24πC.27πD.42π【分析】依据题意可得这个几何体为圆锥，其全面积=侧面积+底面积.【解答】解：圆锥全面积=π×32+π×3×6=27πcm2.故选：C.6.（3.00分）学校为创建“书香校园”购买了一批图书.已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本价格比文学类图书平均每本价格贵5元，且购买科普书数量比购买文学书数量少100本.求科普类图书平均每本价格是多少元？若设科普类图书平均每本价格是x元，则可列方程为（）A.﹣=100B.﹣=100C.﹣=100D.﹣=100【分析】直接利用购买科普书数量比购买文学书数量少100本得出等式进而得出答案. 【解答】解：设科普类图书平均每本价格是x元，则可列方程为：﹣=100.故选：B.7.（3.00分）已知⊙O半径为10，圆心O到弦AB距离为5，则弦AB所对圆周角度数是（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【分析】由图可知，OA=10，OD=5.根据特殊角三角函数值求角度即可.【解答】解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=，∴tan∠1=，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角度数是60°或120°.故选：D.8.（3.00分）一商店以每件150元价格卖出两件不同商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总盈亏情况是（）A.亏损20元B.盈利30元C.亏损50元D.不盈不亏【分析】设盈利商品进价为x元，亏损商品进价为y元，根据销售收入﹣进价=利润，即可分别得出关于x.y一元一次方程，解之即可得出x.y值，再由两件商品销售收入﹣成本=利润，即可得出商店卖这两件商品总亏损20元.【解答】解：设盈利商品进价为x元，亏损商品进价为y元，根据题意得：150﹣x=25%x，150﹣y=﹣25%y，解得：x=120，y=200，∴150+150﹣120﹣200=﹣20（元）.故选：A.9.（3.00分）已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同交点，则一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=在同一坐标系内大致图象是（）A. B. C. D.【分析】依据抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同交点，即可得到k＜0，进而得出一次函数y=kx﹣k图象经过第一二四象限，反比例函数y=图象在第二四象限.【解答】解：∵抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同交点，∴△=4﹣4（k+1）＞0，解得k＜0，∴一次函数y=kx﹣k图象经过第一二四象限，反比例函数y=图象在第二四象限，故选：D.10.（3.00分）如图，▱ABCD对角线AC.BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD=60°，AD=AB，连接OE.下列结论：①S▱ABCD=AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④S△ADE=5S△OFE，其中正确个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD=AD•BD；依据∠CDE=60°，∠BDE30°，可得∠CDB=∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依据OE是△ABD中位线，即可得到OE∥AD，OE=AD，进而得到△OEF∽△ADF，依据S△ADF=4S△OEF，S△AEF=2S△OEF，即可得到S△ADE=6S△OFE.【解答】解：∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，∴AD=AE=AB，∴E是AB中点，∴DE=BE，∴∠BDE=∠AED=30°，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S▱ABCD=AD•BD，故①正确；∵∠CDE=60°，∠BDE30°，∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵Rt△AOD中，AO＞AD，∴AO＞DE，故③错误；∵O是BD中点，E是AB中点，∴OE是△ABD中位线，∴OE∥AD，OE=AD，∴△OEF∽△ADF，∴S△ADF=4S△OEF，且AF=2OF，∴S△AEF=2S△OEF，∴S△ADE=6S△OFE，故④错误；故选：B.二.填空题（本题包括7个小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题横线上）11.（3.00分）5月13日，我国第一艘国产航母出海试航，这标志着我国从此进入“双航母”时代，据估测该航母满载排水量与辽宁舰相当，约67500吨，将67500用科学记数法表示为6.75×104.【分析】科学记数法表示形式为a×10n形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n绝对值与小数点移动位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数绝对值＜1时，n是负数.【解答】解：将67500用科学记数法表示为：6.75×104.故答案为6.75×104.12.（3.00分）如图，∠AOB一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB度数是75°30′（或75.5°）.【分析】首先证明∠EDO=∠AOB=37°45′，根据∠EDB=∠AOB+∠EDO计算即可解决问题；【解答】解：∵CD∥OB，∴∠ADC=∠AOB，∵∠EDO=∠CDA，∴∠EDO=∠AOB=37°45′，∴∠EDB=∠AOB+∠EDO=2×37°45′=75°30′（或75.5°），故答案为75°30′（或75.5°）.13.（3.00分）一组数据2，x，1，3，5，4，若这组数据中位数是3，则这组数据方差是.【分析】先根据中位数定义求出x值，再求出这组数据平均数，最后根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]进行计算即可.【解答】解：∵按从小到大顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据中位数为3，∴x=3，∴这组数据平均数是（1+2+3+3+4+5）÷6=3，∴这组数据方差是：[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=，故答案为：.14.（3.00分）如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出，人们称它为“赵爽弦图”.已知AE=3，BE=2，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点机会均等），则恰好落在正方形EFGH内概率为.【分析】根据几何概型概率求法，飞镖扎在小正方形内概率为小正方形内与大正方形面积比，根据题意，可得小正方形面积与大正方形面积，进而可得答案.【解答】解：根据题意，AB2=AE2+BE2=13，∴S正方形ABCD=13，∵△ABE≌△BCF，∴AE=BF=3，∵BE=2，∴EF=1，∴S正方形EFGH=1，，故飞镖扎在小正方形内概率为.故答案为.15.（3.00分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）.现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为x（x﹣1）=21 .【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程.【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=21，故答案为：x（x﹣1）=21.16.（3.00分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC 长为半径作弧，两弧相交于M.N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD.若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD面积为9.【分析】只要证明△ABD是等边三角形，推出BD=AD=DC，可得S△ADC=S△ABD即可解决问题；【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴∠C=∠DAC=30°，∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°，∵AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AD=DC，∴S△ADC=S△ABD=×62=9，故答案为9.17.（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k＞0）图象与半径为5⊙O 交于M.N两点，△MON面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN最小值是5.【分析】先求出a2+b2=c2+d2=25，再求出ac=，同理：bd=，即可得出ac﹣bc=0，最后用两点间距离公式即可得出结论.【解答】解：如图，设点M（a，b），N（c，d），∴ab=k，cd=k，∵点M，N在⊙O上，∴a2+b2=c2+d2=25，作出点N关于x轴对称点N'（c，﹣d），∴S△OMN=k+（b+d）（a﹣c）﹣k=3.5，∴bc﹣ad=k+7，∴，∴ac=，同理：bd=，∴ac﹣bc=﹣=[（c2+d2）﹣（a2+b2）]=0，∵M（a，b），N'（c，﹣d），∴MN'2=（a﹣c）2+（b+d）2=a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd=a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）=50，∴MN'=5，故答案为：5.三.解答题（本题包括9个小题共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答文字说明.证明过程或计算步骤）18.（5.00分）计算：﹣|4﹣|﹣（π﹣3.14）0+（1﹣cos30°）×（）﹣2.【分析】直接利用绝对值性质以及零指数幂性质和特殊角三角函数值以及负指数幂性质分别化简得出答案.【解答】解：原式=﹣（4﹣2）﹣1+（1﹣）×4=﹣4+2﹣1+4﹣2=﹣1.19.（6.00分）先化简（1﹣）÷，然后从不等式2x﹣6＜0非负整数解中选取一个合适解代入求值.【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x值，代入计算即可求出值.【解答】解：原式=•=•=，由不等式2x﹣6＜0，得到x＜3，∴不等式2x﹣6＜0非负整数解为x=0，1，2，则x=0时，原式=2.20.（6.00分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A.C两地海拔高度约为1000米，山顶B处海拔高度约为1400米，由B处望山脚A 处俯角为30°，由B处望山脚C处俯角为45°，若在A.C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据≈1.732）【分析】作BD⊥AC于D，利用直角三角形性质和三角函数解答即可.【解答】解：如图，作BD⊥AC于D，由题意可得：BD=1400﹣1000=400（米），∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵，即，∴AD=400（米），在Rt△BCD中，∵，即，∴CD=400（米），∴AC=AD+CD=400+400≈1092.8≈1093（米），答：隧道最短为1093米.21.（6.00分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整频数分布表和频数分布直方图.学生立定跳远测试成绩频数分布表分组频数1.2≤x＜1.6 a1.6≤x＜2.0 122.0≤x＜2.4 b2.4≤x＜2.8 10请根据图表中所提供信息，完成下列问题：（1）表中a= 8 ，b= 20 ，样本成绩中位数落在 2.0≤x＜2.4 范围内；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内学生有多少人？【分析】（1）根据题意和统计图可以求得a.b值，并得到样本成绩中位数所在取值范围；（2）根据b值可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据统计图中数据可以求得该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内学生有多少人.【解答】解：（1）由统计图可得，a=8，b=50﹣8﹣12﹣10=20，样本成绩中位数落在：2.0≤x＜2.4范围内，故答案为：8，20，2.0≤x＜2.4；（2）由（1）知，b=20，补全频数分布直方图如右图所示；（3）1000×=200（人），答：该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内学生有200人.22.（7.00分）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD中点，过点A作BC平行线交BE 延长线于F，且AF=CD，连接CF.（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF形状，并证明你结论.【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB.AE=DE即可判定全等；（2）根据AB=AC，且AD是BC边上中线可得∠ADC=90°，由四边形ADCF是矩形可得答案. 【解答】证明：（1）∵E是AD中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）连接DF，∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE，∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB，∵AB=AC，∴DF=AC，∴四边形ADCF是矩形.23.（8.00分）为提升学生艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A.书法；B.绘画；C.乐器；D.舞蹈.为了解学生对四门功课喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查学生必须选择而且只能选择其中一门）.将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查学生共有多少人？扇形统计图中∠α度数是多少？（2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办·2018·度校园文化艺术节，决定从A.书法；B.绘画；C.乐器；D.舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起概率.【分析】（1）用A科目人数除以其对应百分比可得总人数，用360°乘以C对应百分比可得∠α度数；（2）用总人数乘以C科目百分比即可得出其人数，从而补全图形；（3）画树状图展示所有12种等可能结果数，再找出恰好是“书法”“乐器”结果数，然后根据概率公式求解.【解答】解：（1）本次调查学生总人数为4÷10%=40人，∠α=360°×（1﹣10%﹣20%﹣40%）=108°；（2）C科目人数为40×（1﹣10%﹣20%﹣40%）=12人，补全图形如下：（3）画树状图为：共有12种等可能结果数，其中恰好是书法与乐器组合在一起结果数为2，所以书法与乐器组合在一起概率为=.24.（9.00分）某网店销售甲.乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元.（1）该网店甲.乙两种羽毛球每筒售价各是多少元？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲.乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球数量大于乙种羽毛球数量，已知甲种羽毛球每筒进价为50元，乙种羽毛球每筒进价为40元.①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）设甲种羽毛球每筒售价为x元，乙种羽毛球每筒售价为y元，由条件可列方程组，则可求得答案；（2）①设购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，由条件可得到关于m不等式组，则可求得m取值范围，且m为整数，则可求得m值，即可求得进货方案；②用m可表示出W，可得到关于m一次函数，利用一次函数性质可求得答案.【解答】解：（1）设甲种羽毛球每筒售价为x元，乙种羽毛球每筒售价为y元，根据题意可得，解得，答：该网店甲种羽毛球每筒售价为60元，乙种羽毛球每筒售价为45元；（2）①若购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，根据题意可得，解得75＜m≤78，∵m为整数，∴m值为76.77.78，∴进货方案有3种，分别为：方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒，方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒，方案一，购进甲种羽毛球78筒，乙种羽毛球为122筒；②根据题意可得W=（60﹣50）m+（45﹣40）（200﹣m）=5m+1000，∵5＞0，∴W随m增大而增大，且75＜m≤78，∴当m=78时，W最大，W最大值为1390，答：当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元.25.（10.00分）如图，⊙O是△ABC外接圆，点O在BC边上，∠BAC平分线交⊙O于点D，连接BD.CD，过点D作BC平行线与AC延长线相交于点P.（1）求证：PD是⊙O切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC长.【分析】（1）先判断出∠BAC=2∠BAD，进而判断出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD⊥OD即可得出结论；（2）先判断出∠ADB=∠P，再判断出∠DCP=∠ABD，即可得出结论；（3）先求出BC，再判断出BD=CD，利用勾股定理求出BC=BD=，最后用△ABD∽△DCP 得出比例式求解即可得出结论.【解答】解：（1）如图，连接OD，∵BC是⊙O直径，∴∠BAC=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD，∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BOD=∠BAC=90°，∵DP∥BC，∴∠ODP=∠BOD=90°，∴PD⊥OD，∵OD是⊙O半径，∴PD是⊙O切线；（2）∵PD∥BC，∴∠ACB=∠P，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠P，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，∴∠DCP=∠ABD，∴△ABD∽△DCP，（3）∵BC是⊙O直径，∴∠BDC=∠BAC=90°，在Rt△ABC中，BC==13cm，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BOD=∠COD，∴BD=CD，在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，∴BC=CD=BC=，∵△ABD∽△DCP，∴，∴，∴CP=16.9cm.26.（12.00分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D.（1）请直接写出抛物线解析式及顶点D坐标；（2）连接BC与抛物线对称轴交于点E，点P为线段BC上一个动点（点P不与B.C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P横坐标为m.①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由.②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长最大值.【分析】（1）应用待定系数法；（2）①求出直线BC解析式，表示PF.当PF=DE时，平行四边形存在.②利用△PFH∽△BCO，应用相似三角形性质表示△PFH周长，应用函数性质讨论最值. 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣5解得∴y=x2﹣4x﹣5∴顶点坐标为D（2，﹣9）（2）①存在设直线BC函数解析式为y=kx+b（k≠0）把B（5，0），C（0，﹣5）代入得∴BC解析式为y=x﹣5当x=m时，y=m﹣5∴P（m，m﹣5）当x=2时，y=2﹣5=﹣3∴E（2.﹣3）∵PF∥DE∥y轴∴点F横坐标为m当x=m时，y=m2﹣4m﹣5∴F（m，m2﹣4m﹣5）∴PF=（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）=﹣m2+5m∵E（2，﹣3），D（2，﹣9）∴DE=﹣3﹣（﹣9）=6如图，连接DF∵PF∥DE∴当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形即﹣m2+5m=6解得m1=3，m2=2（舍去）当m=3时，y=3﹣5=2此时P（3，﹣2）∴存在点P（3，﹣2）使四边形PEDF为平行四边形.②由题意在Rt△BOC中，OB=OC=5∴BC=5∴C△BOC=10+5∵PF∥DE∥y轴∴∠FPE=∠DEC=∠OCB∵FH⊥BC∴∠FHP=∠BOC=90°∴△PFH∽△BCO∴即C△PFH=∵0＜m＜5∴当m=﹣时，△PFH周长最大值为。
内蒙古通辽市2022年中考数学真题
内蒙古通辽市2022年中考数学真题(共12题；共24分)1．（2分）−3的绝对值是（）A．−13B．3C．13D．−3【答案】B【解析】【解答】解：∵|−3|=3，∴−3的绝对值是3，故答案为：B．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数求解即可。
2．（2分）冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故答案为：A【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形。
根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
3．（2分）节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有120万种以上，将数据120万用科学记数法表示为（）A ．0.12×106B ．1.2×107C ．1.2×105D ．1.2×106【答案】D【解析】【解答】解：120万=1200000=1.2×106．故答案为：D【分析】 把一个数表示成a 与10的n 次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a 不为分数形式，n 为整数），这种记数法叫做科学记数法 。
根据科学记数法的定义计算求解即可。
4．（2分）正多边形的每个内角为108°，则它的边数是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．5【答案】D【解析】【解答】解：∵正多边形的每个内角等于108°，∴每一个外角的度数为180°-108°=72°， ∴边数=360°÷72°=5， 故答案为：D ．【分析】根据题意先求出每一个外角的度数为180°-108°=72°，再求解即可。
2022年内蒙古通辽中考数学真题及答案
2022年内蒙古通辽中考数学真题及答案一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1.3-的绝对值是（）A.13- B.3 C.13 D.3-【答案】B【解析】【分析】根据绝对值的定义化简即可．【详解】解：∵33-=，∴3-的绝对值是3，故选：B．【点睛】本题考查绝对值的概念，能够熟练的求出某个有理数的绝对值是解决本题的关键．2.冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解．【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．3.节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有120万种以上，将数据120万用科学记数法表示为（）A.60.1210⨯ B.71.210⨯ C.51.210⨯ D.61.210⨯【答案】D 【解析】【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a ×10n，n 为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．【详解】解：120万=1200000=1.2×106．故选：D【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 是正整数，正确确定a 的值和n 的值是解题的关键．4.正多边形的每个内角为108︒，则它的边数是（）A.4 B.6C.7D.5【答案】D 【解析】【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解．【详解】解：∵正多边形的每个内角等于108°，∴每一个外角的度数为180°-108°=72°，∴边数=360°÷72°=5，故选D．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便．5.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x 人，物价为y 钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（）A .8374x y x y+=⎧⎨-=⎩ B.8374x y x y-=⎧⎨+=⎩ C.8374x y x y+=⎧⎨+=⎩ D.8374x y x y-=⎧⎨-=⎩【答案】B 【解析】【分析】根据译文可知“人数×8-3=钱数和人数×7+4=钱数”即可列出方程组．【详解】解：由题意可得，8374x yx y-=⎧⎨+=⎩，故选：B．【点睛】本题考查列二元一次方程组．解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．6.如图，一束光线AB 先后经平面镜OM ，ON 反射后，反射光线CD 与AB 平行，当35ABM ∠=︒时，DCN ∠的度数为（）A.55︒B.70︒C.60︒D.35︒【答案】A 【解析】【分析】根据题意得：∠ABM =∠OBC ，∠BCO =∠DCN ，然后平行线的性质可得∠BCD =70°，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠ABM =∠OBC ，∠BCO =∠DCN ，∵∠ABM =35°，∴∠OBC =35°，∴∠ABC =180°-∠ABM -∠OBC =180°-35°-35°=110°，∵CD ∥AB ，∴∠ABC +∠BCD =180°，∴∠BCD =180°-∠ABC =70°，∵∠BCO +∠BCD +∠DCN =180°，∠BCO =∠DCN ，∴1(180)552DCN BCD ︒︒-∠=∠=．故选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．7.在平面直角坐标系中，将二次函数()211y x =-+的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A.()221y x =-- B.()223y x =-+C.21y x =+ D.21y x =-【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将二次函数()211y x =-+的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为()2211121y x x =-++-=-故选D．【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．8.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos ADC ∠的值为（）A.13B.13C.23D.3【答案】B 【解析】【分析】首先根据勾股定理求出AB 的长度，然后根据圆周角定理的推论得出ADC CBA ∠=∠，90ACB ︒∠=，计算出cos CBA ∠即可得到cos ADC ∠．【详解】解：∵AB 为直径，3CB =，2AC =，∴90ACB ︒∠=，222AB CB AC =+，∴AB =∴cos13CB CBA AB ∠===，∵ AC AC=，∴ADC CBA ∠=∠，∴313cos 13ADC ∠=故选：B．【点睛】本题考查圆的性质和三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键．9.若关于x 的分式方程：121222k x x--=--的解为正数，则k 的取值范围为（）A.2k <B.2k <且0k ≠C.1k >-D.1k >-且0k ≠【答案】B 【解析】【分析】先解方程，含有k 的代数式表示x ，在根据x 的取值范围确定k 的取值范围．【详解】解：∵121222k x x--=--，∴()22121x k --+=-，解得：2x k =-，∵解为正数，∴20k ->，∴2k ＜，∵分母不能为0，∴2x ≠，∴22k -≠，解得0k ≠，综上所述：2k ＜且0k ≠，故选：B．【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．10.下列命题：①()3235m n m n ⋅=；②数据1，3，3，5的方差为2；③因式分解()()3422x x x x x -=+-；④平分弦的直径垂直于弦；有意义，则1≥x ．其中假命题的个数是（）A.1B.3C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，逐项判断即可求解．【详解】解：①()3362m n m n ⋅=，故原命题是假命题；②数据1，3，3，5的平均数为()1133534+++=，所以方差为()()()()222211333335324⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦，是真命题；③()()()324422x x x x x x x -=-=+-，是真命题；④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；在实数范围内有意义，则10x -≥，即1≥x ，是真命题；∴假命题的个数是2．故选：C【点睛】本题主要考查了积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．11.如图，正方形ABCD 及其内切圆O ，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（）A.4π B.14π-C.8π D.18π-【答案】B 【解析】【分析】设正方形的边长为a ，则其内切圆的直径为a ，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积比求出概率，即可．【详解】解：设正方形的边长为a ，则其内切圆的直径为a ，∴其内切圆的半径为2a ，正方形的面积为a 2，∴阴影部分的面积为222124a a a ππ⎛⎫⎛⎫-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是221414aa ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-．故选：B【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之．12.如图，点D 是OABC 内一点，AD 与x 轴平行，BD 与y轴平行，BD =，120BDC ∠=︒，BCD S =△()0ky x x =<的图像经过C ，D 两点，则k 的值是（）A.-B.6- C.- D.12-【答案】C 【解析】【分析】过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，延长BD 交CE 于点F ，可证明△COE ≌△ABE （AAS），则OE=BD S △BDC =12•BD •CF 可得CF =9，由∠BDC =120°，可知∠CDF =60°，所以DF ，所以点D 的纵坐标为；设C （m ，D （m +9，，则k m +9），求出m 的值即可求出k 的值．【详解】解：过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，延长BD 交CE 于点F ，∵四边形OABC 为平行四边形，∴AB ∥OC ，AB =OC ，∴∠COE =∠ABD ，∵BD ∥y 轴，∴∠ADB =90°，∴△COE ≌△ABD （AAS），∴OE =BD∵S △BDC =12•BD •CF ，∴CF =9，∵∠BDC =120°，∴∠CDF =60°，∴DF∴点D 的纵坐标为设C （m ，D （m ，∵反比例函数y =kx（x ＜0）的图像经过C 、D 两点，∴k m m +9），∴m =-12，∴k 故选：C．【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合问题，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，设出关键点的坐标，并根据几何关系消去参数的值是本题解题关键．二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）13.菱形ABCD 中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的边长为_____．【答案】5【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【详解】如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴OA 12=AC ＝4，OB 12=BD ＝3，AC ⊥BD ，∴AB ==5故答案为5【点睛】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记菱形的各种性质是解题的关键．14.如图，依据尺规作图的痕迹，求α∠的度数_________°．【答案】60【解析】【分析】先根据矩形的性质得出//AB CD ，故可得出∠ABD 的度数，由角平分线的定义求出∠EBF 的度数，再由EF 是线段BD 的垂直平分线得出∠EFB 、∠BEF 的度数，进而可得出结论．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 为矩形，∴//AB CD ，∴60ABD CDB ∠=∠=︒，由尺规作图可知，BE 平分∠ABD ，∴11603022EBF ABD ∠=∠=⨯︒=︒，由尺规作图可知EF 垂直平分BD ，∴∠EFB =90°，∴9060BEF EBF ∠=︒-∠=︒，∴∠α=∠BEF =60°．故答案为：60°．【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、角平分线以及垂直平分线的知识，解题关键是熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．15.如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 上的点，AE AB =，BE DE =，则tan BDE ∠=______．【答案】1-##1-+【解析】【详解】解：设1AB =，在矩形ABCD 中，E 为AD 上的点，AE AB =，BE DE =，ED BE ∴==1AD AE ED ∴=+=+，tan 1AB BDE AD ∴∠===，1-．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求正切，掌握正确的定义是解题的关键．16.在Rt ABC 中，90C ∠=︒，有一个锐角为60︒，6AB =，若点P 在直线．．AB 上（不与点A ，B 重合），且30PCB ∠=︒，则AP 的长为_______．【答案】92或9或3【解析】【分析】分∠ABC =60、∠ABC =30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【详解】解：当∠ABC =60°时，则∠BAC =30°，∴132BC AB ==，∴AC ==，当点P 在线段AB 上时，如图，∵30PCB ∠=︒，∴∠BPC =90°，即PC ⊥AB ，∴39cos 22AP AC BAC =⋅∠==；当点P 在AB 的延长线上时，∵30PCB ∠=︒，∠PBC =∠PCB +∠CPB ，∴∠CPB =30°，∴∠CPB =∠PCB ，∴PB =BC =3，∴AP =AB +PB =9；当∠ABC =30°时，则∠BAC =60°，如图，∴132AC AB ==，∵30PCB ∠=︒，∴∠APC =60°，∴∠ACP =60°，∴∠APC =∠PAC =∠ACP ，∴△APC 为等边三角形，∴PA =AC =3．综上所述，AP 的长为92或9或3．故答案为：92或9或3【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．17.如图，O 是ABC 的外接圆，AC 为直径，若AB =，3BC =，点P 从B 点出发，在ABC 内运动且始终保持CBP BAP ∠=∠，当C ，P 两点距离最小时，动点P 的运动路径长为______．【答案】.3【解析】P 的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP 的长最小时点P 的位置，进而求出点P 的运动路径长．【详解】解：AC 为O 的直径，90.ABC ︒∴∠=90.ABP PBC ︒∴∠+∠=,PAB PBC ∠=∠Q 90.PAB ABP ︒∴∠+∠=∴90.APB ︒∴∠=∴点P 在以AB 为直径的圆上运动，且在△ABC 的内部，如图，记以AB 为直径的圆的圆心为1O ，连接1O C 交1O 于点P '，连接1,.O P CP11CP ,O C O P ≥-Q ∴当点1,,O P C 三点共线时，即点P 在点P '处时，CP 有最小值，∵AB =∴1O B=在1Rt BCO ∆中，11tan BC BO C O B ∠===∴∠160.BO C ︒=∴)6033.1803BP π='=∴.,C P 两点距离最小时，点P的运动路径长为.3【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P 的路径是解答本题的关键．三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18.1141602-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭︒．【答案】4【解析】【分析】根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．【详解】解：原式＝)34122+⨯-62=-4=【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．19.先化简，再求值：242a a a a ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭，请从不等式组104513a a +>⎧⎪-⎨≤⎪⎩的整数解中选择一个合适的数求值．【答案】22a a +，3【解析】【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据不等式组求出a 的值并代入原式即可求出答案．【详解】解：242a a a a ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭2242a a a a -=⋅-()()2222a a a aa +-=⋅-22a a =+，104513a a +>⎧⎪⎨-≤⎪⎩①②，解不等式①得：1a >-解不等式②得：2a ≤，∴12a -<≤，∵a 为整数，∴a 取0，1，2，∵0,20a a ≠-≠，∴a =1，当a =1时，原式21213=+⨯=．【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．20.如图，一个圆环被4条线段分成4个相等的区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内．（1）求：吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率_______；（2）求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率．（用树状图或列表法表示）【答案】（1）1 4（2）3 4【解析】【分析】（1）根据概率公式直接求解；（2）根据列表法求概率即可求解．【小问1详解】吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率1 4，故答案为：1 4【小问2详解】共有12种等可能结果，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的共有8种可能，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率为83 124．【点睛】本题考查了概率公式与列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．21.某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点后一1.7≈）.【答案】AB的长度约为9.8米【解析】【分析】延长BA交CE的垂线DG于点F，,AC DF交于点G,则四边形DFBE是矩形，根据图示，可得四边形DFBE是正方形，解Rt,RtCGD AGF，即可求解．【详解】解：如图，延长BA交CE的垂线DG于点F，,AC DF交于点G,则四边形DFBE 是矩形，45,FDB∠=︒DF FB∴=，∴四边形DFBE是正方形，14BF EB∴==，906030DCG∠=︒-︒=︒，AF CD∥，30FAG DCG∴∠=∠=︒，Rt CDG △中，3203tan 2033DG DCG CD =∠⋅==，143GF DF DG ∴=-=-，Rt AFG △中，tan tan 30FG FG AF FAG ==∠︒20314320-==，∴1420349.8AB BF AF =-=-=-米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．22.某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目A ：足球；项目B ：篮球；项目C ：跳绳；项目D ：书法），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．（1）本次调查的学生共有_______人；在扇形统计图中，B 所对应的扇形的圆心角的度数是______︒；（2）将条形统计图补充完整；（3）若全校共有1200名学生，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数．【答案】（1）200、108；（2）见解析（3）900人【解析】【分析】（1）由A 活动的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以B 活动人数所占比例即可得；（2）用总人数减去其它活动人数求出C 的人数，从而补全图形；（3）用样本估计总体可得结论．【小问1详解】本次调查的学生共有30÷15%=200（人），扇形统计图中，B 所对应的扇形的圆心角的度数是360°×60200=108°，故答案为：200、108；【小问2详解】C 活动人数为200-（30+60+20）=90（人），补全图形如下：【小问3详解】60901200900200+⨯=（人）所以，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数为900人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23.为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：甲：所有商品按原价8.5折出售；乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．设需要购买体育用品的原价总额为x 元，去甲商店购买实付y 甲元，去乙商店购买实付y 乙元，其函数图象如图所示.（1）分别求y 甲，y 乙关于x 的函数关系式；（2）两图象交于点A ，求点A 坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．【答案】（1）y 甲=0.85x ；y 乙与x 的函数关系式为y 乙=()03000.790(300)x x x x ⎧≤≤⎨+⎩＞（2）（600，510）（3）当x ＜600时，选择甲商店更合算；当x =600时，两家商店所需费用相同；当x ＞600时，选择乙商店更合算．【解析】【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y 与x 的函数关系式；（2）根据（1）的结论列方程组解答即可；（3）由点A 的意义并结合图象解答即可．【小问1详解】由题意可得，y 甲=0.85x ；乙商店：当0≤x ≤300时，y 乙与的函数关系式为y 乙=x ；当x ＞300时，y 乙=300+（x -300）×0.7=0.7x +90，由上可得，y 乙与x 的函数关系式为y 乙=()03000.790(300)x x x x ⎧≤≤⎨+⎩＞【小问2详解】由0.850.790y x y x ⎧⎨+⎩甲乙＝＝，解得600510x y ⎧⎨⎩乙＝＝，点A 的坐标为（600，510）；【小问3详解】由点A 的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元，结合图象可知，当x ＜600时，选择甲商店更合算；当x =600时，两家商店所需费用相同；当x ＞600时，选择乙商店更合算．【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．24.如图，在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒，以O 为圆心，OB 的长为半径的圆交边AB 于点D ，点C 在边OA 上且CD AC =，延长CD 交OB 的延长线于点E ．（1）求证：CD 是圆的切线；（2）已知4sin 5OCD ∠=，AB =，求AC 长度及阴影部分面积．【答案】（1）证明见详解；（2）AC =3，阴影部分面积为503π．【解析】【分析】（1）连接OD ，证明∠ODE =90°即可；（2）在Rt △OCD 中，由勾股定理求出OC 、OD 、CD ，在Rt △OCE 中，由勾股定理求出OE ，用△OCE 的面积减扇形面积即可得出阴影部分面积．【小问1详解】证明：连接OD∵OD =OB∴∠OBD =∠ODB∵AC =CD∴∠A =∠ADC∵∠ADC =∠BDE∴∠A =∠EDB∵∠AOB =90°∴∠A +∠ABO =90°∴∠ODB +∠BDE =90°即OD ⊥CE ，又D 在o 上∴CD 是圆的切线；【小问2详解】解：由（1）可知，∠ODC =90°在Rt △OCD 中，4sin 5OD OCD OC ∠==∴设OD =OB =4x ，则OC =5x ，∴3CD x ===∴AC =3x∴OA =OC +AC =8x在Rt △OAB 中：222OB OA AB +=即：()()(22248x x +=解得1x =，（-1舍去）∴AC =3，OC =5，OB =OD =4在在Rt △OCE 中，4sin 5OE OCD CE∠==∴设OE =4y ，则CE =5y ，∵222OE OC CE +=()()222455y y +=解得53y =，（53-舍去）∴2043OE y ==219012050-5-4-42360233OB S OE OC πππ⋅=⋅=⨯⨯=阴影∴阴影部分面积为50-43π．【点睛】本题考查切线的判断和性质、勾股定理、三角函数、阴影部分面积的求法，解题的关键在于灵活运用勾股定理和三角函数求出相应的边长，并能将阴影部分面积转化为三角形与扇形面积的差．25.已知点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，正方形AFEG 与正方形ABCD 有公共点A ．（1）如图1，当点G 在AD 上，F 在AB（2）将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；（3）AB =，2AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．【答案】（1）2（3）4【解析】【分析】（1）根据题意可得GE DC ∥，根据平行线分线段成比例即可求解；（2）根据（1）的结论，可得AG AD AE AC ==，根据旋转的性质可得DAG CAE ∠=∠，进而证明GAD EAC ∽，根据相似三角形的性质即可求解；（3）勾股定理求得CG ，EC ，进而根据GAD EAC ∽，由相似三角形的性质即可求解．【小问1详解】正方形AFEG 与正方形ABCD 有公共点A ，点G 在AD 上，F 在AB 上，GE DC∴∥AG AE DG EC ∴=EC AE DG AG∴= 四边形AFEG 是正方形∴AE =∴222DG AGE ====【小问2详解】如图，连接AE ，正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，DAG CAE∴∠=∠AG AD AE AC == GAD EAC ∴ ∽∴AC CE DG AD ==，【小问3详解】如图，AB =，22AG AD =，AD AB ∴==,282AG =⨯=,16AC ==，,,G F C 三点共线，Rt AGC △中，GC ===8CE GC GE ∴=-=，由（2）可知GAD EAC ∽，∴CE AC DG DA==，()816DA CE DG AC -⋅∴==4=．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．26.如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，直线BC 方程为3y x =-．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上一点，若12PBC ABC S S = ，请直接写出点P 的坐标；（3）点Q 是抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．【答案】（1）y =-x 2+4x -3（2）(352+,152-+)或(352-,152-)或（3132+,5132-+）或(32-,52--)（3）(72,54-)【解析】【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点B 、C 坐标；再代入2y x bx c =-++，求出b 、c 即可求解；（2）过点A 作AN ⊥BC 于N ，过点P 作PM ⊥BC 于M ，过点P 作PE ∥BC ，交y 轴于E ,交抛物线于p 1,p 2，过点E 作EF ⊥BC 于F ，先求出AN ，再根据两三角形面积关系，求得PM =22，从而求得CE =1，则点P 是将直线BC 向上或向下平移1个单位与抛物线的交点，联立解析式即可求出交点坐标；（3）过点Q 作AD ⊥CQ 于D ，过点D 作DF ⊥x 轴于F 财富点C 作CE ⊥DF 于E ，证△CDE ≌△DAD （AAS），得DE =AF ，CE =DF ，再证四边形OCEF 是矩形，得OF =CE ，EF =OC =3，然后设DE =AF =n ，则CE =DF =OF =n +1，DF =3-n ，则n +1=3-n ，解得：n =1，即可求出D (2,-2),用待定系数法求直线CQ 解析式为y =12x -3，最后联立直线与抛物线解析式，求出交点坐标即可求解．【小问1详解】解：对于直线BC 解析式y =x -3，令x =0时，y =-3，则C (0,-3)，令y =0时，x =3，则B (3,0)，把B (3,0)，C (0,-3)，分别代入2y x bx c =-++，得-9303b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：43b c =⎧⎨=-⎩，∴求抛物线的解析式为：y =-x 2+4x -3；【小问2详解】解：对于抛物线y =-x 2+4x -3，令y =0，则-x 2+4x -3=0，解得：x 1=1,x 2=3,∴A (1,0)，B (3,0)，∴OA =1，OB =3，AB =2，过点A 作AN ⊥BC 于N ，过点P 作PM ⊥BC 于M ，如图，∵A (1,0)，B (3,0)，C (0,-3)，∴OB =OC =3，AB =2，∴∠ABC =∠OCB =45°，∴AN ，∵12PBC ABC S S =，∴PM =22，过点P 作PE ∥BC ，交y 轴于E ，过点E 作EF ⊥BC 于F ，则EF =PM=2，∴CE =1∴点P 是将直线BC 向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P 1，P 2，P 3，P 4，∵B (3,0)，C (0,-3)，∴直线BC 解析式为：y =x -3，∴平移后的解析式为y =x -2或y =x -4,联立直线与抛物线解析式，得2432y x x y x ⎧=-+-⎨=-⎩或2434y x x y x ⎧=-+-⎨=-⎩，解得：1352152x y ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，1352152x y ⎧-=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，131325132x y ⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，131325132x y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∴P 点的坐标为(352+,152-352-,152--)或（3132+,5132-+）或(3132-,5132--)．【小问3详解】解：如图，点Q 在抛物线上，且∠ACQ =45°，过点Q 作AD ⊥CQ 于D ，过点D 作DF ⊥x 轴于F ，过点C 作CE ⊥DF 于E，∵∠ADC =90°，∴∠ACD =∠CAD =45°，∴CD =AD ，∵∠E =∠AFD =90°，∴∠ADF =90°-∠CDE =∠DCE ，∴△CDE ≌△DAD （AAS），∴DE =AF ，CE =DF ，∵∠COF =∠E =∠AFD =90°，∴四边形OCEF 是矩形，∴OF =CE ，EF =OC =3，设DE =AF =n ，∵OA =1，∴CE =DF =OF =n +1∴DF =3-n ，∴n +1=3-n解得：n =1，∴DE =AF =1，∴CE =DF =OF =2，∴D (2,-2),设直线CQ 解析式为y =px -3，把D (2,-2)代入，得p =12,∴直线CQ 解析式为y =12x -3，联立直线与抛物线解析式，得213243y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=-+-⎩解得：117254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，2203x y =⎧⎨=-⎩（不符合题意，舍去），∴点Q 坐标为(72,54-).【点睛】本题属二次函数与一次函数综合题目，考查了用待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象性质是解题的关键．。
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2017年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．﹣5的相反数是（）A．5 B．﹣5 C．D．2．下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（）A．B．C．D．3．空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，最适合用的统计图是（）A．折线图B．条形图C．直方图D．扇形图4．下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（）A． B．C． D．5．若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是（）A．1 B．1.2 C．0.9 D．1.46．近似数5.0×102精确到（）A．十分位B．个位 C．十位 D．百位7．志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（）A．540元B．1080元C．1620元D．1800元8．若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．9．下列命题中，假命题有（）①两点之间线段最短；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行；⑤若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD．A．4个B．3个C．2个D．1个10．如图，点P在直线AB上方，且∠APB=90°，PC⊥AB于C，若线段AB=6，AC=x，S△PAB=y，则y与x的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．不等式组的整数解是．12．如图，CD平分∠ECB，且CD∥AB，若∠A=36°，则∠B= ．13．毛泽东在《沁园春•雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗，小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是．14．若关于x的二次三项式x2+ax+是完全平方式，则a的值是．15．在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB= ．16．如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为．17．如图，直线y=﹣x﹣与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的坐标为．三、解答题（本大题共9小题，共69分）18．计算：（π﹣2017）0+6sin60°﹣|5﹣|﹣（）﹣2．19．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x从0，1，2，3四个数中适当选取．20．一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快，比原计划提前24min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．21．小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．22．如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°，若OC⊥EF，点A比点B高7cm．求：（1）单摆的长度（≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．23．某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示．（1）求出下列成绩统计分析表中a，b的值：（2）小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格判断，小英是甲、乙哪个组的学生；（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由．24．如图，AB为⊙O的直径，D为的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积．25．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是阶准菱形；已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a ＞b），满足a=8b+r，b=5r，请写出▱ABCD是阶准菱形．（2）操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣2，0），B（2，2），与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；（2）若点D在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；（3）在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2017年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．﹣5的相反数是（）A．5 B．﹣5 C．D．【考点】14：相反数．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：﹣5的相反数是5，故选：A．2．下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：A、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，B、的俯视图是第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，C、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，D、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，故选：B．3．空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，最适合用的统计图是（）A．折线图B．条形图C．直方图D．扇形图【考点】VE：统计图的选择．【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．【解答】解：由分析可知，要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．故选D ．4．下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可．【解答】解：A 、是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 、不是中心对称图形，故本选项符合题意；故选D ．5．若数据10，9，a ，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是（ ）A ．1B ．1.2C ．0.9D ．1.4【考点】W7：方差；W1：算术平均数．【分析】先由平均数的公式计算出a 的值，再根据方差的公式计算即可．【解答】解：∵数据10，9，a ，12，9的平均数是10，∴（10+9+a+12+9）÷5=10，解得：a=10，∴这组数据的方差是 [（10﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（9﹣10）2]=1.2． 故选B ．6．近似数5.0×102精确到（）A．十分位B．个位 C．十位 D．百位【考点】1H：近似数和有效数字．【分析】根据近似数的精确度求解．【解答】解：近似数5.0×102精确到十位．故选C．7．志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（）A．540元B．1080元C．1620元D．1800元【考点】SA：相似三角形的应用．【分析】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积，然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案．【解答】解：∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，∴每平方厘米的广告费为：180÷50=元，∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：30×15×=1620元故选（C）8．若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】AA：根的判别式；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，将其表示在数轴上即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，∴，解得：k＞﹣1．故选A．9．下列命题中，假命题有（）①两点之间线段最短；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行；⑤若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD．A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】O1：命题与定理．【分析】根据线段的性质公理判断①；根据角平分线的性质判断②；根据垂线的性质、平行公理的推论判断③④；连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出结论．依此判断⑤．【解答】解：①两点之间线段最短，说法正确，不是假命题；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上，说法正确，不是假命题；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法错误，是假命题；④在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，原来的说法错误，是假命题；⑤如图，连接AC、BD．∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP，∴=，∴PA•PB=PC•PD，故若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD的说法正确，不是假命题．故选：C．10．如图，点P在直线AB上方，且∠APB=90°，PC⊥AB于C，若线段AB=6，AC=x，S△PAB=y，则y与x的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】根据已知条件推出△APC∽△PBC，根据相似三角形的性质得到PC=，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵PC⊥AB于C，∠APB=90°，∴∠ACP=∠BCP=90°，∴∠APC+∠BPC=∠APC+∠PAC=90°，∴∠PAC=∠BPC，∴△APC∽△PBC，∴，∵AB=6，AC=x，∴BC=6﹣x，∴PC2=x（6﹣x），∴PC=，∴y=AB•PC=3=3，故选D．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．不等式组的整数解是0，1，2 ．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】根据不等式组的解法得出不等式组的解集，再求得整数解即可．【解答】解：解不等式一得，x＞﹣1，解不等式二得，x≤2，不等式组的解集为﹣1＜x≤2，不等式组的整数解为0，1，2，故答案为0，1，2．12．如图，CD平分∠ECB，且CD∥AB，若∠A=36°，则∠B= 36°．【考点】JA：平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质，得出∠A=∠ECD，∠B=∠BCD，再根据角平分线的定义，即可得到∠ECD=∠BCD，进而得出∠B=∠A．【解答】解：∵CD∥AB，∴∠A=∠ECD，∠B=∠BCD，又∵CD平分∠ECB，∴∠ECD=∠BCD，∴∠B=∠A=36°，故答案为：36°．13．毛泽东在《沁园春•雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗，小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是．【考点】X4：概率公式．【分析】先找出唐朝以后出生的人物，然后依据概率公式计算即可．【解答】解：在秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗5五人中，唐朝以后出生的有2人．∴在上述5人中随机抽取一张，所有抽到的人物为唐朝以后出生的概率=．故答案为：．14．若关于x的二次三项式x2+ax+是完全平方式，则a的值是±1 ．【考点】4E：完全平方式．【分析】这里首末两项是x和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和积的2倍，故﹣a=±1，求解即可【解答】解：中间一项为加上或减去x和积的2倍，故a=±1，解得a=±1，故答案为：±1．15．在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB= 8或3 ．【考点】L5：平行四边形的性质．【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，得出AB=BE=CF=CD，分两种情况，即可得到结论．【解答】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∴AB=BE=CF=CD∵EF=5，∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，∴AB=8；②在▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∴AB=BE=CF=CD∵EF=5，∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，∴AB=3；综上所述：AB的长为8或3．故答案为：8或3．16．如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为y=x﹣．【考点】F9：一次函数图象与几何变换．【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作AC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．【解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作AC ⊥OC于C，∵正方形的边长为1，∴OB=3，∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是4，∴三角形ABO面积是5，∴OB•AB=5，∴AB=，∴OC=，由此可知直线l经过（，3），设直线方程为y=kx，则3=k，k=，∴直线l解析式为y=x，∴将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为y=x﹣；故答案为：y=x﹣．17．如图，直线y=﹣x﹣与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的坐【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】过C作CE⊥x轴于E，求得A（﹣3，0），B（0，﹣），解直角三角形得到∠OAB=30°，求得∠CAE=30°，设D（﹣3，），得到AD=，AC=，于是得到C（﹣+，﹣），列方程即可得到结论．【解答】解：过C作CE⊥x轴于E，∵直线y=﹣x﹣与x，y轴分别交于点A，B，∴A（﹣3，0），B（0，﹣），∴tan∠OAB==，∴∠OAB=30°，∴∠CAE=30°，设D（﹣3，），∵AD⊥x轴，∴AD=，∵AD=AC，∴AC=，∴CE=，AE=，∴C（﹣+，﹣），∵C在反比例函数y=的图象上，∴（﹣+）•（﹣）=k，∴k=6﹣12，∴D（﹣3，4﹣2），三、解答题（本大题共9小题，共69分）18．计算：（π﹣2017）0+6sin60°﹣|5﹣|﹣（）﹣2．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】根据零指数幂的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质化简即可解决问题．【解答】解：原式=1+6×﹣3+5﹣4=2．19．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x从0，1，2，3四个数中适当选取．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】首先化简（1﹣）÷，然后根据x的取值范围，从0，1，2，3四个数中适当选取，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（1﹣）÷=×=∵x﹣1≠0，x﹣2≠0，x﹣3≠0，∴x≠1，2，3，当x=0时，原式==﹣20．一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快，比原计划提前24min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．【考点】B7：分式方程的应用．【分析】根据题意结合行驶的时间的变化得出等式进而求出答案．【解答】解：设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，根据题意可得：=+，解得：x=120，经检验得：x=120是原方程的根，答：汽车出发后第1小时内的行驶速度是120千米/小时．21．小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．【分析】首先依据题先用树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可．【解答】解：这个游戏对双方是公平的．如图，∴一共有6种情况，和大于4的有3种，∴P（和大于4）==，∴这个游戏对双方是公平的．22．如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°，若OC⊥EF，点A比点B高7cm．求：（1）单摆的长度（≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；O4：轨迹．【分析】（1）作AP⊥OC、BQ⊥OC，由题意得∠AOP=60°、∠BOQ=30°，设OA=OB=x，根据三角函数得OP=OAcos∠AOP=x、OQ=OBcos∠BOQ=x，由PQ=OQ﹣OP可得关于x的方程，解之可得；（2）由（1）知∠AOB=90°、OA=OB=7+7，利用弧长公式求解可得．【解答】解：（1）如图，过点A作AP⊥OC于点P，过点B作BQ⊥OC于点Q，∵∠EOA=30°、∠FOB=60°，且OC⊥EF，∴∠AOP=60°、∠BOQ=30°，设OA=OB=x，则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=x，在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ=x，由PQ=OQ﹣OP可得x﹣x=7，解得：x=7+7≈18.9（cm），答：单摆的长度约为18.9cm；（2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB=7+7，∴∠AOB=90°，则从点A摆动到点B经过的路径长为≈29.295，答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm．23．某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示．（1）求出下列成绩统计分析表中a，b的值：（2）小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格判断，小英是甲、乙哪个组的学生；（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由．【考点】W7：方差；VD：折线统计图；W1：算术平均数；W4：中位数．【分析】（1）由折线图中数据，根据中位数和甲权平均数的定义求解可得；（2）根据中位数的意义求解可得；（3）可从平均数和方差两方面阐述即可．【解答】解：（1）由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10，∴其中位数a=6，乙组学生成绩的平均分b==7.2；（2）∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，而小英的成绩位于全班中上游，∴小英属于甲组学生；（3）①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高；②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．24．如图，AB为⊙O的直径，D为的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积．【考点】ME：切线的判定与性质．【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．（2）由△AFO≌△CFD（SAS），推出S△AFO=S△CFD，推出S四边形ACDE=S△ODE，求出△ODE的面积即可．【解答】（1）证明：∵D为的中点，∴OD⊥AC，∵AC∥DE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接DC，∵D为的中点，∴OD⊥AC，AF=CF，∵AC∥DE，且OA=AE，∴F为OD的中点，即OF=FD，在△AFO和△CFD中，∴△AFO≌△CFD（SAS），∴S△AFO=S△CFD，∴S四边形ACDE=S△ODE在Rt△ODE中，OD=OA=AE=4，∴OE=8，∴DE==4，∴S四边形ACDE=S△ODE=×OD×DE=×4×4=8．25．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是 3 阶准菱形；已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a ＞b），满足a=8b+r，b=5r，请写出▱ABCD是12 阶准菱形．（2）操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）利用平行四边形准菱形的意义即可得出结论；（2）先判断出∠AEB=∠ABE，进而判断出AE=BF，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形：如图2，∵b=5r，∴a=8b+r=40r+r=8×5r+r，利用邻边长分别为41r和5r的平行四边形进行8+4=12次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为41r和5r的平行四边形是12阶准菱形：故答案为：3，12（2）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣2，0），B（2，2），与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；（2）若点D在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；（3）在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的函数表达式；（2）由轴对称的最短路径得：因为B与C关于对称轴对称，所以连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；（3）存在，当A和C分别为直角顶点时，画出直角三角形，设P（1，y），根据三角形相似列比例式可得P的坐标．【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（2，2）代入抛物线y=ax2+bx+2中，，解得：，∴抛物线函数表达式为：y=﹣x2+x+2；（2）y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+；∴对称轴是：直线x=1，如图1，过B作BE⊥x轴于E，∵C（0，2），B（2，2），对称轴是：x=1，∴C与B关于x=1对称，∴CD=BD，连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，∴AB==2，AC==2，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2+2；答：△ACD的周长的最小值是2+2，（3）存在，分两种情况：①当∠ACP=90°时，△ACP是直角三角形，如图2，过P作PD⊥y轴于D，设P（1，y），则△CGP∽△AOC，∴，∴，∴CG=1，∴OG=2﹣1=1，∴P（1，1）；②当∠CAP=90°时，△ACP是直角三角形，如图3，设P（1，y），则△PEA∽△AOC，∴，∴=，∴PE=3，∴P（1，﹣3）；综上所述，△ACP是直角三角形时，点P的坐标为（1，1）或（1，﹣3）．。