【定稿】【答案】福州市2021届高三数学10月调研A卷

福州市2021届高三10月调研A 卷数学参考答案命题组：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D ，2．B ，3．A ，4．B ，5．A ，6．C ，7．C ，8．D ．8．解析：因为定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =， 所以()f x 在()0,+∞上也是单调递减，且()20f -=，()00f =， 所以当()(),20,2x ∈-∞-时，()0f x >，当()()2,02,x ∈-+∞时，()0f x <，所以由()10xf x -≥，可得0,21012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或0,01212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =，解得10x -或13x ，所以满足()10xf x -≥的x 的取值范围是[][]1,01,3-，故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．AB ，10．AD ，11．ACD ，12．ABD ．11．解析：记未使用过的乒乓球为A ，已使用过的为B ，任取3个球的所有可能是：1A2B ，2A1B ，3A ；A 使用后成为B ，故X 的所有可能取值是3,4,5；12623863(3),5628C C P X C ====21623830(4)56===C C P X C ，30623820(5)56===C C P X C ，又X 最有可能的取值是4，3302017()3452856564E X =⨯+⨯+⨯=. 综上，选ACD. 12．解析：()()()()()()()()2sin sin 2cos cos 2sin sin cos cos f x x x x x f x +π=+π++π=+=，故A 正确， ()()()()()()()()()()sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos f x x x x x x x f x π-=π-+π-=+-=+=，故B 正确，由于[][]sin 1,1,cos 1,1∈-∈-x x ，所以()sin sin 1x <，()cos cos 1x ， 故()()()sin sin cos cos 2f x x x =+<，C 错误，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 0,1∈x 且单调递增，故()sin sin y x =是区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，同理可判断，()cos cos y x =是区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，故()f x 是区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，D 正确．综上，选ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．651，14．(1,0)，15．16．25π4．14．解析：抛物线22(0)y px p =>的准线为2px =-， 把圆化成标准方程为22(1)2x y +-=，得圆心(0,1)M，半径r =圆心到准线的距离为2p，所以2222()()22p +=，即2p =，所以焦点坐标为(1,0).15．解析：由2cos215sin 20αα++=，得22(12sin)15sin 20αα-++=，即24sin15sin 40αα--=，所以(4sin 1)(sin 4)0αα+-=，因为sin 40α-≠，解得1sin 4α=-，又ππ(,)22α∈-，所以cos 4α==，所以sin tan cos 15ααα==-． 16．解析：2=AB ，AC BC ⊥，故底面三角形外接圆半径为1r =，()2211124∆=⋅≤+=ABC S CA CB CA CB ，当=CA CB 时等号成立，由1233ABC V S h =⋅=△，所以2h ≥， 当P 离平面ABC 最远时，外接球表面积最小，此时，P 在平面ABC 的投影为AB 中点1O ， 设球心为O ，则O 在1PO 上，故()2221R h R =-+，化简得到122h R h=+， 注意到函数122x y x =+在[)2,+∞上单调递增，故min 54R =， 所以2min min 254ππ4S R ==.四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．本题主要考查等差数列、等比数列的概念、通项公式，数列求和等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养有数学抽象、数学运算等，体现基础性，综合性．满分10分 解析：选①因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列． 所以1311422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ·························································· 4分 当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为14S =； 当n 为偶数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+，且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭， 综上，n S 存在最大值，且最大值为4． ·················································· 10分 选②解法1：因为116n n a a +-=-，14a =，所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列．所以()112541666n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭， ················································· 4分由于125066n -+≥，得25n ≤，所以n S 存在最大值，且最大值为25S 或24S ， 因为25252414255026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50． ·················· 10分 解法2：因为116n n a a +-=-，14a =，所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列．所以()112541666n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，从而()211149240142612248n n n S n n -⎛⎫⎛⎫=+⨯-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当24n =或25n =时n S 取得最大值，且最大值为50． ························· 10分 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-，所以()()()()()2111221791171622n n n n n n n n n a a a a a a a a ----+---+-=-+-+⋅⋅⋅+-==， 又14a =，所以217242n n n a -+=，······················································· 6分 当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值． ············································ 10分 18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想，涉及的核心素养有逻辑推理、数学运算等，体现基础性、综合性．满分12分．解析：（1）由已知及正弦定理得，sin (sin cos )sin (cos sin )B C C C B B -=-，即2sin sin sin cos sin cos sin()B C B C C B B C =+=+，因为πB C A +=-，所以sin()sin B C A +=，所以2sin sin sin B C A =， ································································ 3分 所以2sin b C a =，又因为sin h b C =， 所以2h a =，即2ah=． ··································································· 6分 （2）由（1）得12=h a ，△ABC 的面积214=S a ，所以211sin 24=bc A a ，即225sin =A a ， ·········································· 8分又由余弦定理，得2222cos 6=+-=-a b c bc A A ，即26=-A a ，所以422(6)20+-=a a ，解得=a 2=a ． ································ 12分 19．本小题主要考查相关系数、随机抽样等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想，涉及的核心素养有数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等，体现综合性、应用性．满分12分．解析：（1）样本(),i i x y （i =1，2，…，20）的相关系数为()()200.94ii xx y y r --===≈∑， 由于0.94接近1，说明各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性． ····································································································· 8分（2）更合理的抽样方法是分层抽样．理由如下：由（1）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异也很大，采用分层抽样的方法能较好地保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计． ················································································ 12分 20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；涉及的核心素养有直观想象、逻辑推理、数学运算等，体现基础性、综合性．满分12分． 解析：（1）证法一：连接A 1B ，因为四边形A 1B 1BA 是平行四边形，所以A 1B 与AB 1交于点N ， 连接BC 1，在△A 1BC 1中，N 是A 1B 中点，M 是A 1C 1中点， 所以MN //BC 1，又MN ⊄平面11B BCC ，1BC ⊂平面11B BCC ， 所以MN 平面11B BCC ．································································· 6分 证法二：取11B C 的中点Q ，连接,,MQ NP PQ ，则有11MQA B ，且1112MQ A B =，PN AB ，且12PN AB =， 又11ABA B ，11AB A B =，所以PNMQ ，且PN MQ =， 所以 PNMQ 为平行四边形，所以MNPQ ，又MN ⊄平面11B BCC ，PQ ⊂平面11B BCC ，所以MN平面11B BCC ．································································· 6分 （2）在平面ABC 内过点A 作射线l 垂直于AB ，易知AB ，l ，1AA 两两垂直，如图，以A 为原点，分别以AB ，l ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则11,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,0,22N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,0,1A ，设()00,,1M x y ， 则0011,2,2M x y N ⎛⎫--- =⎪⎝⎭，()001,,0M y A x =因为AP MN ⊥，所以011)024(AP M x N --=⋅=， 解得014x =，又因为11111||||22A M A C ==，所以220014x y +=，解得03y =（舍去负值）， 所以13,,144M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．设1(,,)x y z =n 为平面PMN 的一个法向量，因为1311,,,,0,04422MN PN ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1310,44210,2x y z x ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩取1y =，则130,1,⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭n ， 又2(0,1,0)=n 为平面1A PN 的一个法向量，所以122211cos,7⋅〈〉===⋅n nn nn n，所以二面角1A PN M--． ·········································12分21．本小题主要考查函数的单调性、导数、导数的几何意义及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查分类与整合思想、数形结合思想，涉及的核心素养有数学抽象、数学运算、逻辑推理等，体现综合性、应用性与创新性．满分12分．解析：（1）()12f x xx a'=++，依题意有()10f'-=，故32a=．经检验32a=．()()()22112313322x xx xf xx x++++'==++，()f x的定义域为32⎛⎫-+⎪⎝⎭，∞，当312x-<<-时，()0f x'>；当112x-<<-时，()0f x'<；当12x>-时，()0f x'>．所以()f x在区间31122⎛⎫⎛⎫---+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调递增，在区间112⎛⎫--⎪⎝⎭，单调递减． ·····································································································5分（2）()f x的定义域为()a-+，∞，()2221x axf xx a++'=+．方程22210x ax++=的判别式248a∆=-．若0∆<，即a<，在()f x的定义域内()0f x'>，故()f x无极值．若0∆=，则a=a=当a=()x∈+∞，()21f x-'=，当2x=时，()0f x'=，当2x ⎛⎛⎫∈-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值．当a =)x ∈+∞，()210f x +'>，()f x 也无极值．若0∆>，即a >a <则22210x ax ++=有两个不同的实根1x =，2x ．当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值．当a >1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点， 可知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+∞．由22210x ax ++=可得12121,2x x a x x +=-=，则()222212121221x x x x x x a +=+-=-， ()()()()()2121212121ln ln ln ln ln 2x a x a x a x a x x a x x a ⎡⎤+++=++=+++=⎣⎦， 所以()f x 的极值之和为()()()()2221211221eln ln ln 11ln 2ln 22f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．····································································································· 12分22．本小题主要考查直线与椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想，涉及的核心素养有数学运算，逻辑推理等，体现基础性，综合性．满分12分．解析：（1）由题意可得e ==，即222a b =，所以椭圆E 的方程为222212y x b b+=，与直线:2l y x =联立，可得223b x =，则2243b y =，又AB =224533b b +=，解得23b =，于是26a =，因此椭圆E 的方程为22163y x +=． ······················································ 5分 （2）根据题意，不妨设点A 在第一象限，由（1）可得()1,2A ，()1,2B --， 若直线AC 的斜率不存在，则()1,2C -，设()00,D x y ，于是可得点M ，N 的坐标分别为0002221,1y x x ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，00042,22y x y ⎛⎫-+-⎪-⎝⎭， 因此直线MN 的斜率为()()00220002200000222214624142212112y x x y x y x x x y -+++---===--+----， 若直线AC 的斜率存在，设直线AC 的方程为()121y k x -=-，点C 的坐标为(),C C x y ，则有121C C y k x -=-， 设直线BC 的方程为()21y k x +=+，则有21C C y k x +=+，因为2212261434211⎛⎫-- ⎪-⎝⎭⋅===---C C C C x y k k x x ，所以12k k =-， 即直线BC 的方程为()1221y x k -+=+， 同理，设直线AD 的方程为()221y k x -=-，则直线BD 的方程为()2221y x k -+=+， 由()121y k x -=-及()2221y x k -+=+，解得122121121242244,22k k k k k k M k k k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭； 由()221y k x -=-及()1221y x k -+=+，解得121122121242244,22k k k k k k N k k k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭， 于是直线MN 的斜率为121122121221122121121212244244221424222k k k k k k k k k k k kk k k k k k k k k k k k --+--+-++-==-------++， 综上所述，直线MN 的斜率为定值1-．················································ 12分。