回归方程及回归系数的显著性检验演示教学
回归系数的显著性检验
907求多元线形回归方程及预报一．功能 x1，x2, x3,………..xp 为自变量，Y 为随机变量， 求线形回归方程Y=b 0+x b 11+…+x b p p +ε其中,,10b b 。
，b p 为常数，ε是随机变量，且ε—N （0，26） 来描述Y 与X 的变化规律。
并用T 检验法检验线形回归是否显著。
如果线性回归显著，可用经验回归平面方程对Y 作出预报，并给出预报值的置信区间。
二．算法间介[16]，[15] (1) 求回归方程设x1,x2…xp 是确定变量，Y 是随机变量，他们之间有关系 Y=b 0+x b 11+…+x b p p +ε其中,,10b b 。
，b p 为常数，ε是随机变量，且ε—N （0，26），这是P 元线性回归模型， 我们讨论P>1的情形。
作n 次独立试验，得到n 组数据 （x k 1+2x k +,…),Y x p k p (k=1,2,…,n)记X j=∑=nk X n 11kj j=1,2,…,p,则（1）式可写为Y=+μb 1（x1-X 1）+…+(b p -xpXp)+ε其中 ε同于（1）中之ε，而μ=X b b 10+1+…+X b p p 对上面得到的几组试验数据，便有Y=X b k 11(+μ-X 1)+…+b p (X kp -X p )+εk 其中ε独立分布：εk —N （0，26）。
为了用最小乘法求（2）中μ，b b b p ,...,,21的估计值，我们引如下述符号Y =n1∑=ni Y11Y=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------X X XXXXX X X X X X XXX X X X p np n n P P PP......,1......................,1....,1.22112222121212111⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=∑∑==,,....,2,1,,)(),()(`11p k j y X X L X X X X L i n i j ij jy k ik ni j ij jkA==X X t⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------∑∑∑∑i p p ipp p ii X X X X X XX X X X X Xn 211111111112111)(...)()(0...................................))(....)(000 0(=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡L LLL L L L L L pp p P p p n ....0............... 0...00 0212222111211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡L n 00 A 为准对角阵，子块L 是P 介实对称可逆阵。
第三节 线性回归的显著性检验及回归预测
xy
i
n
]
2 b x i x i yi a x i 0 SS , SS E , SS R依赖： a y bx
5
注意：三个平方和SS , SS E , SS R的自由度分别记为 f , f E , f R , 则它们之间也有等式成立： f fE fR 且：f n-1, f E n 2, 则f R f f E 1.
2
x
i 1
n
i
x
2
式中：se为回归估计标准差
置信区间估计(例题分析)
【例】求出工业总产值的点估计为100亿元时， 工业总产值95%置信水平下的置信区间. yc 100 解：根据前面的计算结果,已知n=16， • se=2.457，t(16-2)=2.1448 • 置信区间为 1 (73 57.25)2
一元线性回归的方差分析表
离差来源 平方和 自由度 F值 SS R 回 归 SS y y 2 1 F R ci SS E 2 剩余 n-2
SS E yi yci
( n 2)
总计
SS yi y
2
n-1
8
线性关系的检验(例题分析)
1. 提出假设 H0 : 0; 2. 计算检验统计量F
i
(x
x ) nS xi
2 2
( xi )
2
③根据已知条件实际计算统计量t的值； ④ 比较②与③中的计算结果,得到结论.
3
回归系数的假设
b Se 1
对例题的回归系数进行显著性检验(＝0.05)
H0 : 0;
i
H1 : 0
回归方程和回归系数的显著性检验
§3回归方程及回归系数的显著性检验1、回归方程的显著性检验（1）回归平方和与剩余平方和建立回归方程以后.回归效果如何呢因变虽7与自变彊乃界2,…川廉是否确实存在线性关系呢这是需嬰进行统讣检验才能加以肯定或否定，为此，我们耍进一步研究因变虽丿取值的变化规律。
丿的每次取值片& = l,2,・・・j）是有波动的，这种波动常称为变差，每次观测值山的变差大小，常用该次观侧值》鮎戶次观测值的平均值” J1的差P （称为离差）來农示，而全部X次观测值的总变差可由总的离差平方和JS X? M一刃一九）2十亍庆一刀2詔十UJI JI J1f其中：j 称为回归平方和，是回归值/丘与均值p之差的平方和，它反映了自变虽"'◎，•••用欷的变化所引起的丿的波动，其自由度九5（朋为自变虽的个数）。
M£ =为=3「弘尸a3 称为剩氽平方和（或称残差平方和），是实测值丿免与回归值》丘之差的平方和，它是由试验误差及其它因素引起的，其自由度fQ = n~m~1。
总的离差平方和'妙的自由度为«-1 s 如果观测值给定，则总的离差平方和巧^是确定的，即Q+u是确定的，因此17大则£小，反之，u 小则0大,所以u与丘都可用來衡址回归效果，且回归平方和17越大则线性回归效果越显著，或者说剩余平方和£越小回归效果越显普，如果2=0,则回归超平血过所有观测点；如果。
大，则线性回归效果不好。
（2）复相关系数为检验总的回归效果，人们也常引用无虽纲抬标化「土»R称为复相关系数。
因为回归平方和卩实际上是反映回归方程中全部自变:&的“方差贡献”，因此丘2就是这种罚献在总回归平方和中所占的比例，因此尺表示全部自变虽与因变址丿的相关程度。
显然血尺。
复相关系数越接近1,回归效果就越好，因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意，艮|丿回归方程中自变虽的个数朋及观测组数以有关，、”“相对于朋并不很大时，常有较大的尺值，因此实际il•算中应注意朋与”的适为比例,一般认为应取乳至少为朋的5到10倍为宜。
线性回归分析ppt课件
21
多元回归分析中的其他问题 u变量筛选问题 Ø向前筛选策略
解释变量不断进入回归方程的过程，首先选择与被解释变量具有最高 线性相关系数的变量进入方程，并进行各种检验；其次在剩余的变量中挑 选与解释变量偏相关系数最高并通过检验的变量进入回归方程。 Ø向后筛选策略
变量不断剔除出回归方程的过程，首先所有变量全部引入回归方程并 检验，然后在回归系数显著性检验不显著的一个或多个变量中，剔除t检验 值最小的变量。 Ø逐步筛选策略
合准则。
最小二乘法将偏差距离定义为离差平方和，即
n
Q( 0, 1, p) ( yi E( yi ))2
i 1
最小二乘估计就是寻找参数β0
、β1、…
βp的估计
值β̂0 、β ̂1、… β ̂p，使式（1）达到极小。通过
求极值原理（偏导为零）和解方程组，可求得估计值，
SPSS将自动完成。
每个解释变量进 入方程后引起的 判定系数的变化 量和F值的变化 量（偏F统计量）
输出个解释变量 和被解释变量的 均值、标准差、 相关系数矩阵及 单侧检验概率值
输出判定系数、 调整的判定系数、 回归方程的标准 误、回归方程显 著性检验的方差 分析表
输出方程中各解 释变量与被解释 变量之间的简单 相关、偏相关系 数和部分相关
30
n回归分析的其他操作
Ø选项
DW值
输出标准化残差 绝对值大于等于 3（默认）的样 本数据的相关信 息
多重共线性分 析： 输出各解释变 量的容忍度、 方差膨胀因子、
特征值、条件 指标、方差 比例等
31
n回归分析的其他操作
Ø选项
•标准化预测值 •标准化残差 •剔除残差 •调整的预测值 •学生化残差 •剔除学生化残差
回归方程及回归系数的显著性检验教程文件
回归方程及回归系数的显著性检验§3 回归方程及回归系数的显著性检验１、回归方程的显著性检验(1) 回归平方和与剩余平方和建立回归方程以后, 回归效果如何呢？因变量与自变量是否确实存在线性关系呢？这是需要进行统计检验才能加以肯定或否定, 为此, 我们要进一步研究因变量取值的变化规律。
的每次取值是有波动的, 这种波动常称为变差, 每次观测值的变差大小, 常用该次观侧值与次观测值的平均值的差(称为离差)来表示, 而全部次观测值的总变差可由总的离差平方和,其中:称为回归平方和, 是回归值与均值之差的平方和, 它反映了自变量的变化所引起的的波动, 其自由度(为自变量的个数)。
称为剩余平方和(或称残差平方和), 是实测值与回归值之差的平方和, 它是由试验误差及其它因素引起的, 其自由度。
总的离差平方和的自由度为。
如果观测值给定, 则总的离差平方和是确定的, 即是确定的, 因此大则小, 反之, 小则大, 所以与都可用来衡量回归效果, 且回归平方和越大则线性回归效果越显著, 或者说剩余平方和越小回归效果越显著, 如果＝0, 则回归超平面过所有观测点; 如果大, 则线性回归效果不好。
(2) 复相关系数为检验总的回归效果, 人们也常引用无量纲指标, (3.1)或, (3.2)称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例, 因此表示全部自变量与因变量的相关程度。
显然。
复相关系数越接近１, 回归效果就越好, 因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意, 与回归方程中自变量的个数及观测组数有关, 当相对于并不很大时, 常有较大的值, 因此实际计算中应注意与的适当比例, 一般认为应取至少为的５到10倍为宜。
(3) 检验要检验与是否存在线性关系, 就是要检验假设, (3.3)当假设成立时, 则与无线性关系, 否则认为线性关系显著。
回归方程及回归系数的显著性检验
§ 3回归方程及回归系数的显著性检验1、回归方程的显著性检验（1）回归平方和与剩余平方和建立回归方程以后，回归效果如何呢？因变量丿与自变量旳=乜严\茂更是否确实存在线性关系呢？这是需要进行统计检验才能加以肯定或否定，为此，我们要进一步研究因变量丿取值的变化规律。
丿的每次取值找优■1,2严诃）是有波动的，这种波动常称为变差，每次观测值的变差大小，常用该次观侧值戸=』^^与觅次观测值的平均值” j 的差丿鸟-P（称为离差）来表示，而全部n次观测值的总变差可由总的离差平方和3护=另0丘-』卩=2。
氐-A?十刀庆-/PJU1 JU1其中:31 称为回归平方和，是回归值丿化与均值7之差的平方和，它反映了自变量xwr的变化所引起的丿的波动,其自由度f戸-E （帆为自变量的个数）。
Z 称为剩余平方和（或称残差平方和）,是实测值丿代与回归值之差的平方和，它是由试验误差及其它因素引起的，其自由度巾。
总的离差平方和g邓的自由度为播-1。
如果观测值给定，则总的离差平方和'a是确定的，即2+B是确定的，因此^大则e小，反之，卩小则2大，所以了与e都可用来衡量回归效果，且回归平方和*^越大则线性回归效果越显著，或者说剩余平方和2越小回归效果越显著，如果E = 0，则回归超平面过所有观测点；如果2大，则线性回归效果不好。
（2）复相关系数为检验总的回归效果，人们也常引用无量纲指标V 氏刃,(3.2)丘称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”，因此丘2就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例，因此丘表示全部自变量与因变量丿的相关程度。
显然0＜丘＜1。
复相关系数越接近1 ,回归效果就越好，因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意回归方程中自变量的个数闻及观测组数n有关，当？2相对于m并不很大时，常有较大的兄值,因此实际计算中应注意揪与N的适当比例，一般认为应取n至少为rn的5到10倍为宜。
回归方程及回归系数的显著性检验
.3 回归方程及回归系数的显著性检验§１、回归方程的显著性检验回归平方和与剩余平方和(1)与自变量, 是否确实存在线性关系呢？这回归效果如何呢？因变量建立回归方程以后我们要进一步研究因变量, 为此, 取值的变化规律。
的每次是需要进行统计检验才能加以肯定或否定常用该次观侧值, 每次观测值是有波动的, 这种波动常称为变差, 的变差大小取值而全部次观测值的总变差可由总的来表示, 的差(称为离差与次观测值的平均值)离差平方和,: 其中与均值之差的平方和, , 是回归值它反映了自变量称为回归平方和。
(其自由度为自变量的个数)的变化所引起的的波动,与回归值之差的平方和是实测值, 称为剩余平方和(或称残差平方和), 它的自由度为其自由度。
是由试验误差及其它因素引起的, 。
总的离差平方和,反之因此, 即小大则是确定的, , 如果观测值给定 , 是确定的则总的离差平方和且回归平方和越大则线性回归效果越显著, 小则大, 所以与, 或者说剩都可用来衡量回归效果如果; ＝如果0, 越小回归效果越显著则线性回归效果大, 余平方和, 则回归超平面过所有观测点不好。
复相关系数(2)人们也常引用无量纲指标为检验总的回归效果,, (3.1)或1 / 6., (3.2)称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此就因此。
是这种贡献在总回归平方和中所占的比例显然, 表示全部自变量与因变量的相关程度。
, , 因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意与复相关系数越接近１, 回归效果就越好因此实际值相对于并不很大时, 及观测组数回归方程中自变量的个数有关, , 当常有较大的一般认为应取的５到计算中应注意的适当比例倍为宜。
, 与10至少为检验(3)要检验与是否存在线性关系, 就是要检验假设, (3.3)应用统计量当假设无线性关系, 成立时, 否则认为线性关系显著。
检验假设则与, (3.4)它服从自由度为及这是两个方差之比的分布, 即,, (3.5)应有统计量下, 用此统计量, 成立则当给定检验水平可检验回归的总体效果。
回归方程和回归系数的显著性检验
§3 回归方程及回归系数的显著性检验１、回归方程的显著性检验(1) 回归平方和与剩余平方和建立回归方程以后, 回归效果如何呢因变量与自变量是否确实存在线性关系呢这是需要进行统计检验才能加以肯定或否定, 为此, 我们要进一步研究因变量取值的变化规律。
的每次取值是有波动的, 这种波动常称为变差, 每次观测值的变差大小, 常用该次观侧值与次观测值的平均值的差(称为离差)来表示, 而全部次观测值的总变差可由总的离差平方和,其中:称为回归平方和, 是回归值与均值之差的平方和, 它反映了自变量的变化所引起的的波动, 其自由度(为自变量的个数)。
称为剩余平方和(或称残差平方和), 是实测值与回归值之差的平方和, 它是由试验误差及其它因素引起的, 其自由度。
总的离差平方和的自由度为。
如果观测值给定, 则总的离差平方和是确定的, 即是确定的, 因此大则小, 反之, 小则大, 所以与都可用来衡量回归效果, 且回归平方和越大则线性回归效果越显著, 或者说剩余平方和越小回归效果越显著, 如果＝0, 则回归超平面过所有观测点; 如果大, 则线性回归效果不好。
(2) 复相关系数为检验总的回归效果, 人们也常引用无量纲指标,或,称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例, 因此表示全部自变量与因变量的相关程度。
显然。
复相关系数越接近１, 回归效果就越好, 因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意, 与回归方程中自变量的个数及观测组数有关, 当相对于并不很大时, 常有较大的值, 因此实际计算中应注意与的适当比例, 一般认为应取至少为的５到10倍为宜。
(3) 检验要检验与是否存在线性关系, 就是要检验假设,当假设成立时, 则与无线性关系, 否则认为线性关系显著。
检验假设应用统计量,这是两个方差之比, 它服从自由度为及的分布, 即,用此统计量可检验回归的总体效果。
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回归方程及回归系数验检性著显的．
3 回归方程及回归系数的显著性检验§
１、回归方程的显著性检验回归平方和与剩余平方和(1)
是否确实存在线性关系呢？这, 回归效果如何呢？因变量与自变量建立回归方程以后我们要进一步研究因变量, 取值的变化规律。
的每是需要进行统计检验才能加以肯定或否定, 为此常用该次观侧值每次观测值的变差大小, 次取值是有波动的, 这种波动常称为变差,
次观测值的总变差可由而全部, 的差(称为离差)来表示与次观测值的平均值总的离差平方和,
: 其中它反映了自变量称为回归平方和 , 是回归值与均值之差的平方和,。
)为自变量的个数的波动的变化所引起的, 其自由度(,
), 是实测值与回归值之差的平方和或称残差平方和称为剩余平方和(的自由度为其自由度。
总的离差平方和。
它是由试验误差及其它因素引起的,
,
, 是确定的即, 如果观测值给定则总的离差平方和是确定的, 因此大则反之小,
或者, 与, 大所以且回归平方和都可用来衡量回归效果, 越大则线性回归效果越显著小则如果越小回归效果越显著, ; 则线性回大, 说剩余平方和0, ＝如果则回归超平面过所有观测点归效果不好。
复相关系数(2)
人们也常引用无量纲指标, 为检验总的回归效果, (3.1)
或．
, (3.2)
称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此因此的相关程度。
显然, 就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例表示全部自变量与因变量
因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但, 回归效果就越好, 。
复相关系数越接近１
常有较大的并不很大时, 相对于,
与回归方程中自变量的个数及观测组数有关, 当应注意
一般认为应取, 的适当比例的５到10至少为倍为宜。
值与, 因此实际计算中应注意
检验(3)
就是要检验假设, 是否存在线性关系要检验与
, (3.3)
应用统计量否则认为线性关系显著。
检验假设无线性关系, 与成立时当假设, 则
, (3.4)
它服从自由度为即及的分布, , 这是两个方差之比
, (3.5)
应有则当给定检验水平成立, α下, 可检验回归的总体效果。
如果假设用此统计量统计量
, (3.6)≤
由对于给定的置信度α值为, , 的值分布表可查得如果根据统计量算得的个自变量的总体回归效果是显著, 为O, 即不能认为全部, 则拒绝假设即否则认为回归效果不显著。
的,
检验对回归方程进行显著性检验的方法称为方差分析。
上面对回归效果的讨论可归结于一个利用。
如表方差分析表中, 3.1方差分析表表3.1
来方差比方差平方和自由度源回
归
剩余
总
计
: 的以下关系可以导出与根据与的定义,
,。
值多大时回归效果才算是显著的问题。
因为对给定的检验水平α, 由利用这两个关系式可以解决
分布表可查出: 的临界值, 然后由即可求出的临界值
, (3.7)
时, 当则认为回归效果显著。
的回归方程进行显著性检验。
2.13.1利用方差分析对例例。
3.2 方差分析结果见表 3.2 表方差比差方源来平方和自由度
归回
余剩
计总
, 所以例2.1取检验水平分布表得, 而α＝0.05, 查的回归方程回归效果是显著的。
２、回归系数的显著性检验前面讨论了回归方程中全部自变量的总体回归效果, 但总体回归效果显著并不说明每个自变量
对因变量都是重要的, 即可能有某个自变量对并不起作用或者能被其它的的作用所代替, 因此对这种自变量我们希望从回归方程中剔除, 这样可以建立更简单的回归方程。
显然某个自变
: 就要检验假设, 是否显著因此检验每个自变量0, 就应取值为则它的系数, 作用不显著量如果对．
, (3.8) ,
: (1) 检验
: 假设下, 可应用在检验
, (3.9) ,
个元素。
其中为矩阵的对角线上第
对应的临界值分布表中可查出与α则拒绝假设对给定的检验水平α, 从, 如果有,
如果有0, 即认为与则接受假设,
有显著差异, 这说明有重要作用不应剔除; 对
应予剔除。
对成立, 即认为这说明不起作用,
: 检验(2)
分布的统计量1, 亦可用服从自由度分别为与的检验假设
, (3.10)
分布表其中, 的主对角线上第为矩阵个元素。
对于给定的检验水平α从
有重要作用。
对则拒绝假设中可查得临界, 如果有认为, ,
可以剔除。
一般一次对, 即认为自变量不起重要作用, 则接受假设, 如果
且这个自变量是所有不显著自变量中值最小者, 然后再建立回归方程, 检验只剔除一个自变量, 并继直到建立的回归方程及各个自变量均显著为止。
续进行检验,
(3.9)因为由, , 最后指出上述对各自变量进行显著性检验采用的两种统计量与实际上是等价的有式及(3.10), 式知
(3.11)
的回归方程各系数进行显著性检验。
3.2例2.1对例: 经计算
,
于是
,
其中＝0.004577。
由(3.7)式知＝0.002223,
,
,
, , 因为查分布表得,
比胸围, 及, 所以两个自变量都是显著的。
又由说明体长
的影响更大。
对体重
如果应用检验, 查分布表有, 又由
,
,
均为重要都是显著的,
, , 因为因此及应保留在回归方程中。
变量,
偏回归平方和(3)
还可应用偏回归平方和进行检验。
, 检验某一自变量是否显著
的回归平方和为个自变量
,
如果自并设, 个自变量的回归平方和设为, 则剩下的个自变量中去掉
,
就表示变量的偏回归平方和或贡献。
可以证明,
中的贡献在回归平方和称为则
, (3.12)
对回归方程的, 或者说越大, 说明在回归方程中越重要, 对的作用和影响越大偏回归平方和的一个指标。
)贡献越大。
因此偏回归平方和也是用来衡量每个自变量在回归方程中作用大小(贡献大小
的偏回归平方和分别为和2.1中,
例如在例
,
,
大。
的作用比 , 说明在回归方程中
: 的偏回归平方和分别为又如在例及 2.2中
,
,
,
,
在回归方程中所起的作用最小,
最大 , 的值最小即, 说明在回归方程中所起的作用最大。