2011高考数学一轮复习课件：椭圆

(0,0)，半径为2.
以PF为直径的圆的方程为x2＋ 是 ，半径为 =2, ∵两圆心之间的距离为 故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切． 圆心坐标
椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命 题的热点，尤其是离心率问题是各地高考考查的重点， 多在选择、填空中出现，主要考查学生结合定义，几
何性质，分析问题解决问题的能力以及运算能力.2009
(2)过点 P 1 ( 6 , 1), P 2 ( 3 , 2 )
x y 6、已知F1、F2为椭圆 2 2 1a b 0 的两 a b
个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为
16，椭圆的离心率e=
2
2
3 ，求椭圆的标准方程。 2
x2 y 2 7、已知F1、F2是椭圆 16 9 1 的两个焦点,
已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两 焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的
一个焦点，求椭圆的方程．
利用定义可得2a，焦点位置不确定要注意讨论.
【解】
设所求的椭圆方程为 ＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得解得
a＝4，c＝2，b2＝12，
故所求方程为
1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过 两点 ，求椭圆的方程． 解：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)． ∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，
(1)待定系数法易求． (2)利用 建立k、m关系，根据Δ建立不
等式可求m范围．
【解】
(1)依题意a=1，b=c，
∴b2=
，
∴所求椭圆C的方程为2x2＋y2＝1. (2)设直线l：y＝kx＋m，消去y得 (k2＋2)x2＋2kmx＋m2－1＝0， Δ＝4k2m2－4(k2＋2)(m2－1)
＝－4(2m2－k2－2)＞0，
解析：当a＜6时，轨迹不存在； 当a＝6时，轨迹为线段； 当a＞6时，轨迹为椭圆． 答案：C
3．已知椭圆 A．2 C． 5 解析：
上一点P到椭圆一个焦点的距离为 ( B． 3 D．7 )
3，则P到另一个焦点的距离为
答案：D
4．椭圆
的焦点坐标为________．
解析：由方程知焦点在y轴上，故a2＝9，b2＝4，
取值范围为________．
则该椭圆的离心率的
利用正弦定理得|PF1|、|PF2|的关系，结合定义
可得PF2，再根据焦点弦长的最大最小值建立不 等关系.
【解析】
在△PF1F2中，由正弦定理知
即|PF1|=e |PF2|.
①
又∵P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，将①代入得|PF2|＝ ∈(a－c，a＋c)，同除以a得，1－e＜ 【答案】 ( ＜1＋e， －1,1)
2．(2010· 茂名一模)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且 与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是 等腰直角三有形，则这个椭圆的离心率是 ( )
解析：∵△ABF2是等腰直角三角形，∴|AF1|＝|F1F2|，将x＝－c 代入椭圆方程 得A(－c，± )，从而 ＝2c，即
∴2m2－k2－2＜0，x1＋x2＝
∵
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
消去x2得
∴x1＝－3x2，消去x1得 3k2m2＝(k2＋2)(1－m2)，∴k2＝
∴2m2－2－
＜0⇒(m2－1)(4m2－1)＜0，
1 1 ( 1, ) ( ,1). ∴ m∈ 2 2
4．(2010· 广州模拟)已知椭圆C：
3．直线y＝kx＋b(k≠0)与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，则 |AB|= |x1-x2|= |y1-y2|
(2010· 厦门模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点，
一个长轴端点为(0,1)，短轴端点和焦点所组成的四边形为
正方形．若直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于不同 的两点A、B，且 (1)求椭圆C的方程； (2)求实数m的取值范围．
y P
M
b
F1
a
F2
o c
x
a b 0.
a b c
2 2 2
y
F1 (0, c)
y x 2 1 2 a b
2
2
(0, c) F2
x
M( x, y )
当焦点在x轴上时：
x y 2 1 2 a b y x 2 1 2 a b
2 2
2 2
2
2
当焦点在y轴上时：
2
总有a b 0 且a b c
则
两式联立，解得m＝
∴所求椭圆方程为
1．椭圆性质的挖掘
(1)设椭圆
(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当
x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当 x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处． (2)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0) 构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．
∴c2＝5，∴焦点为(0，± 答案：(0，± )
)．
5．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实 数k的取值范围是________．
解析：椭圆方程化为
焦点在y轴上，则
即k＜1.又k＞0，∴0＜k＜1. 答案：(0,1)
类型一:求椭圆的方程
1、ΔABC中，三边a﹥b﹥c,且a+c=2b,已知顶点A(1,0)、C(1,0)，则顶点B的轨迹方程是_________. 2、已知定圆 x y 6 x 55 0 ，动圆M和已 知圆内切且过点P（-3，0），求圆心M的轨迹及其 方程。 3.一圆与圆 x2 y 2 6 x 5 0 外切，同时与
过F2的直线交椭圆于点A,B,若|AB|=5,|AF1|+|BF1|
=______.
求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，
有时还可根据条件用代入法．用特定系数法求椭圆方程
的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程
第一节 椭圆
M M
a
O F1 F2
OM a
MF1 MF2 2a F1F2
M
MF1 MF2 2a F1F2
F1
F2
平面内与两个定点F1，F2的距离之 和等于常数（大于 F1 F2 ）的点的轨迹 叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦 点间的距离叫做椭圆的焦距.
在椭圆的定义中，若2a=|F1F2|或2a＜|F1F2|动点P的
年江苏综合考查了直线方程的求法、两直线的交点求 法及离心率的求法.属中档题.
(2009· 江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，A1、A2、 B1、B2为椭圆 (a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点， 直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为
线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．
2 2
圆 x2 y 2 6 x 91 0 内切，求动圆圆心的轨迹 方程_____________。
10 ， 5 4、椭圆的焦点与长轴较近短点的距为 焦点与短轴两短点的连线互相垂直，求椭圆的标 准方程 。
5、求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)短轴长是 2 5 ,且椭圆经过点 P( 3 , 2)
二、椭圆的标准方程及其几何意义
条件 2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
标准方程 及图形
条件 范围 对称性
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0 |x|≤a；|y|≤b |x|≤b；|y|≤a
曲线关于 x轴 、
y 轴、原点 对称 a,0 ) 短 长轴顶点( ± 轴顶点(0，± b) c,0 ) (±
＝1(a＞b＞0)的
离心率为
，且经过P(1，
)．
(1)求椭圆C的方程； (2)设F是椭圆C的左焦点，判断以PF为直径的圆与以椭 圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
解：(1)∵椭圆 经过点P(1, ),
(a＞b＞0)的离心率为
，且
∴椭圆C的方程为
(2)∵a2＝4，b2＝3，∴c＝ ∴椭圆C的左焦点F的坐标为(－1,0)． 以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2＋y2＝4，圆心坐标是
曲线关于 x轴、y轴、原点 对
称 长轴顶点( 0，± a)短轴顶点 b,0 ) ( ± c) ( 0，±
顶点 焦点 焦距 离心率
|F1F2|＝ 2c (c2＝ a2－b2 ) e＝ ∈ (0,1) ，其中c＝
1．若椭圆 或
的离心率为
，则实数m (
)
或 解析：分两种情况可得
答案：A
2．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1| ＋|PF2|＝a(a＞0)，则动点P的轨迹是 A．椭圆 C．椭圆或线段或不存在 B．线段 D．不存在 ( )
即m2－n2＝4，又e＝ ∴m＝4，
n2＝12.
从而椭圆的方程为 答案：
1．直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，
然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离．
2．消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐
标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这 是进一步解题的基础．
[解析] A1(-a,0)，B2(0，b)． 故A1B2的方程为： B1(0，-b)，F(c,0)．故B1F的方程为： y= -b.
交点T的坐标满足：
解之得T
∴OT中点
故有整理得：3a2-10ac-c2=0. ∴e2+10e-3=0，∴e=2 - 5.