初中数学经典试题训练(四)
(易错题精选)初中数学四边形基础测试题及答案
（易错题精选）初中数学四边形基础测试题及答案一、选择题1．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）A ．7B ．7或8C ．8或9D ．7或8或9【答案】D【解析】试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°=1080°，解得：n=8． 则原多边形的边数为7或8或9．故选D ．考点：多边形内角与外角．2．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD ++的最小值是（ ）A ．16B ．15.2C ．15D ．14.8【答案】D【解析】【分析】 根据题意，当PC ⊥BD 时，PB PC PD ++有最小值，由勾股定理求出BD 的长度，由三角形的面积公式求出PC 的长度，即可求出最小值.【详解】解：如图，当PC ⊥BD 时，PB PC PD BD PC ++=+有最小值，在矩形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，由勾股定理，得226810BD +=，∴=10PB PD BD +=，在△BCD 中，由三角形的面积公式，得11=22BD PC BC CD ••，即1110=8622PC ⨯⨯⨯⨯， 解得： 4.8PC =， ∴PB PC PD ++的最小值是：10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=； 故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P 的位置，得到PC 最短.3．如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ⊥AC .若4AB =,6AC =，则BD 的长为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8 【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理先求出BO 的长，再根据平行四边形的性质即可求解.【详解】∵6AC =，∴AO=3，∵AB ⊥AC ，∴BO=2234+=5∴BD=2BO=10，故选B.【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知勾股定理的应用.4．如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接AM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE ，若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，则∠EBF 的余弦值是（ ）A．13 B．13 C ．23 D．13【答案】B【解析】【分析】首先证明△ABF ≌△DEA 得到BF=AE ；设AE=x ，则BF=x ，DE=AF=1，利用四边形ABED 的面积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到12•x•x+•x×1=6，解方程求出x 得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE ，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，∵∠ABF+∠BAF ＝90°，∠EAD+∠BAF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EAD ，在△ABF 和△DEA 中 BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DEA （AAS ），∴BF ＝AE ；设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，∵四边形ABED 的面积为6， ∴111622x x x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2， 在Rt △BEF中，BE∴cos 13BF EBF BE ∠===． 故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．5．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°【答案】C【解析】【分析】 根据多边形内角和公式2180()n -⨯︒即可求出结果．【详解】解：黑色正五边形的内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．6．如图，在矩形ABCD 中， 4,6,AB BC ==点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且1,CF =若在此矩形上存在一点P ，使得PEF V 是等腰三角形，则点P 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】【分析】 根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，③当EF 为底，P 为顶角顶点时，分别确定点P 的位置，即可得到答案．【详解】∵在矩形ABCD 中，461AB BC CF ===，，，点E 是AD 的中点，32184EF ∴==>．∴PEF V 是等腰三角形，存在三种情况：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC 上存在两个点P ，在AB 上存在一个点P ，共3个，使PEF V 是等腰三角形；②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，186,Q在BC上存在一个点P，使PEFV是等腰三角形；③当EF为底，P为顶角顶点时，点P一定在EF的垂直平分线上，∴EF的垂直平分线与矩形的交点，即为点P，存在两个点．综上所述，满足题意的点P的个数是6．故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）A．14B．16C．26D．310【答案】B【解析】【分析】过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=12 x，CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝12AD＝12x，OE∥AB，∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，∴CF＝12 OE＝x．∴tan∠EDC＝EFDF＝122xx x+＝16．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．8．如图，平行四边形ABCD的周长是26,cm对角线AC与BD交于点,,O AC AB E⊥是BC中点，AOD△的周长比AOBV的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm【答案】B【解析】【分析】根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD+=，由AOD△的周长比AOBV的周长多3cm，则3AD AB-=，求出AD的长度，即可求出AE的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长是26cm，∴126132AB AD+=⨯=，∵BD是平行四边形的对角线，则BO=DO，∵AOD△的周长比AOBV的周长多3cm，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB++-++=-=，∴5AB=，8AD=，∴8BC AD==，∵AC AB⊥，点E是BC中点，∴118422AE BC==⨯=；【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG ≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝12BD，AO＝CO，AB∥CD，即可得BO＝DO＝AD＝BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝12BD，AO＝CO，AB∥CD∵BD＝2AD∴BO＝DO＝AD＝BC，且点E是OC中点∴BE⊥AC，∴①正确∵E、F、分别是OC、OD中点∴EF∥DC，CD＝2EF∵G是AB中点，BE⊥AC∴AB＝2BG＝2GE，且CD＝AB，CD∥AB ∴BG＝EF＝GE，EF∥CD∥AB∴四边形BGFE是平行四边形，∴②④正确，∵四边形BGFE是平行四边形，∴BG＝EF，GF＝BE，且GE＝GE∴△BGE≌△FEG（SSS）故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线及等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．10．如图，在▱ABCD中，E为边AD上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠B＝48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（）A．33°B．34°C．35°D．36°【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°，由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°，∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°，∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°.故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．11．下列命题中是真命题的是（）A．多边形的内角和为180°B．矩形的对角线平分每一组对角C．全等三角形的对应边相等D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式可对A进行判定；根据矩形的性质可对B进行判定；根据全等三角形的性质可对C进行判定；根据平行线的性质可对D进行判定．【详解】A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．12．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（ ）A ．2B ．169C ．32D ．2【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∵四边形EFGH 为正方形，∴EG FH ，∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∵ABE △≌CDG V ，∴CDG V 为等腰三角形，∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，∴4MN =，设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等， 即2114(42)22x x ?-，解得：121,4x x ==， ∵4x =不符合题意，故舍去，∴1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S ， 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．13．如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且点O 是BD 的中点，若AB ＝AD ＝5，BD ＝8，∠ABD ＝∠CDB ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．40B ．24C ．20D ．15 【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AC ⊥BD ，∠BAO=∠DAO ，得到AD=CD ，推出四边形ABCD 是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．【详解】∵AB ＝AD ，点O 是BD 的中点，∴AC ⊥BD ，∠BAO ＝∠DAO ，∵∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ，∴AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形，∵AB ＝5，BO 12=BD ＝4， ∴AO ＝3，∴AC ＝2AO ＝6，∴四边形ABCD 的面积12=⨯6×8＝24， 故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．14．如图，在ABCD Y 中，8AC =，6BD =，5AD =，则ABCD Y 的面积为( )A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】C【解析】【分析】 由勾股定理的逆定理得出90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，得出ABCD Y 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴142OC OC AC ===，132OB OD BD ===， ∴22225OA OD AD +==，∴90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，∴ABCD Y 是菱形，∴ABCD Y 的面积11862422AC BD =⨯=⨯⨯=； 故选C ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．15．如图，△ABC 中，AB=4，AC=3，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A ．1B ．34C ．23D ．12【答案】D【解析】【分析】 由等腰三角形的判定方法可知△AGC 是等腰三角形，所以F 为GC 中点，再由已知条件可得EF 为△CBG 的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF 的长．【详解】∵AD 是△ABC 角平分线，CG ⊥AD 于F ，∴△AGC 是等腰三角形，∴AG=AC=3，GF=CF ，∵AB=4，AC=3，∴BG=1，∵AE 是△ABC 中线，∴BE=CE ，∴EF 为△CBG 的中位线，∴EF=12BG=12， 故选：D ．【点睛】 此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．16．已知ABCD Y (AB BC >)，用尺规在ABCD 内作菱形，下列作法错误的是( )A ．如图1所示，作对角线AC 的垂直平分线EF ，则四边形AECF 为所求B ．如图2所示，在AB DC ，上截取AE AD DF DA ==，，则四边形AEFD 为所求 C ．如图3所示，作ADC ABC ∠∠、的平分线DE BF ，，则四边形DEBF 为所求 D ．如图4所示，作BDE BDC DBF DBA ∠=∠∠=∠，，则四边形DEBF 为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可．【详解】解：A 、根据线段的垂直平分线的性质可知AB ＝AD ，一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B 、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C 、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D 、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．17．如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ，∠A ＝90°，EG ∥BC ，且CG ⊥EG 于G ，下列结论：①∠CEG ＝2∠DCB ；②∠ADC ＝∠GCD ；③CA 平分∠BCG ；④∠DFB ＝12∠CGE ．其中正确的结论是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG ∥BC ，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE，，正确．故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．18．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF，交AC于点M，连结DE，BO．若∠BOC=60°，FO=FC，则下列结论：①AE=CF；②BF 垂直平分线段OC；③△EOB≌△CMB；④四边形是BFDE菱形．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】利用ASA定理证明△AOE≌△COF，从而判断①；利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论②；在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等，从而判断③；连接BD，先证得BO=DO， OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相垂直平分，即可证得四边形EBFD是菱形，从而判断④．【详解】解：∵矩形ABCD中，O为AC中点∴∠DCA=∠BAC，OA=OC，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，故①正确∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故②正确；∵△BOC为等边三角形，FO=FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故③错误；连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，且BO=DO由①可知△AOE≌△COF，∴OE=OF∴四边形EBFD是平行四边形由②可知，OB=CB ，OF=FC又∵BF=BF∴△OBF ≌△OCF∴BD ⊥EF∴平行四边形EBFD 是菱形，故④正确所以其中正确结论的个数为3个；故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．19．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，将边长为4的菱形OBCD 的边OB 固定在x 轴上，开始时30DOB ∠=︒，现把菱形向左推，使点D 落在y 轴正半轴上的点D ¢处，则下列说法中错误的是（ ）A ．点C '的坐标为()4,4B ．60CBC '∠=︒ C ．点D 移动的路径长度为4个单位长度D ．CD 垂直平分BC '【答案】C【解析】【分析】 先证明四边形OBC′D′是正方形，且边长=4，即可判断A ；由平行线的性质得∠OBC 的度数，进而得到60CBC '∠=︒，即可判断B ；根据弧长公式，求出点D 移动的路径长度，即可判断C ；证明CD ⊥BC ′，BC′=BC=2BE ，即可判断D ．【详解】∵四边形OBCD 是菱形，∴OB=BC=CD=OD ，∴OB=BC ′=C ′D ′=OD ′，∵∠BOD′=90°，∴四边形OBC′D′是正方形，且边长=4，∴点C '的坐标为()4,4，故A 不符合题意．∵30DOB ∠=︒，OD ∥BC ，∴∠OBC=180°-30°=150°，∵∠OBC ′=90°，∴60CBC '∠=︒，故B 不符合题意．∵点D 移动的路径是以OD 长为半径，圆心角为∠DOD ′=90°-30°=60°的弧长，∴点D 移动的路径长度=604180π⨯=43π，故C 符合题意. 设CD 与BC′交于点E ，∵在菱形OBCD 中，∠C=30DOB ∠=︒，∵60CBC '∠=︒，∴∠BEC=180°-60°-30°=90°，即CD ⊥BC ′，∴BC′=BC=2BE ，∴CD 垂直平分BC '，故D 不符合题意．故先C ．【点睛】本题主要考查菱形的性质，正方形的判定和性质以及点的坐标，熟练掌握菱形的性质和正方形性质，含30°角的直角三角形的性质，是解题的关键．20．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点()5,3D 在边AB 上，以C 为中心，把CDB △旋转90︒，则旋转后点D 的对应点'D 的坐标是( )A ．()2,10B ．()2,0-C ．()2,10或()2,0-D ．()10, 2或()2,0-【答案】C【解析】【分析】 先根据正方形的性质求出BD 、BC 的长，再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，然后分别根据旋转的性质求解即可得．【详解】Q 四边形OABC 是正方形，(5,3)D5,3,2,90BC OC AB OA AD BD AB AD B ∴======-=∠=︒由题意，分以下两种情况：（1）如图，把CDB △逆时针旋转90︒，此时旋转后点B 的对应点B '落在y 轴上，旋转后点D 的对应点D ¢落在第一象限由旋转的性质得：2,5,90B D BD B C BC CB D B '''''====∠=∠=︒10OB OC B C ''∴=+=∴点D ¢的坐标为(2,10)（2）如图，把CDB △顺时针旋转90︒，此时旋转后点B 的对应点B ''与原点O 重合，旋转后点D 的对应点D ''落在x 轴负半轴上由旋转的性质得：2,5,90B D BD B C BC CB D B ''''''''''====∠=∠=︒∴点D ''的坐标为(2,0)-综上，旋转后点D 的对应点D ¢的坐标为(2,10)或(2,0)-故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．。
(压轴题)初中数学八年级数学上册第四单元《一次函数》测试题(有答案解析)(4)
一、选择题1．一次函数()0y kx b k =+≠在平面直角坐标系内的图像如图所示，则k 和b 的取值范围是（ ）A ．0k >，0b >B ．0k <，0b <C ．0k <，0b >D ．0k >，0b < 2．正比例函数y ＝kx （k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y ＝x ﹣k 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．如图①，点P 为矩形ABCD 边上一个动点，运动路线是A →B →C →D →A ，设点P 运动的路径长为x ，S △ABP ＝y ，图②是y 随x 变化的函数图象，则矩形对角线AC 的长是（ ）A ．25B ．6C ．12D ．24 4．将直线y=-2x 向上平移后得到直线AB ，直线AB 经过点（1，4），则直线AB 的函数表达式为（ ）A ．y=2x+2B ．y=2x-6C ．y=-2x+3D ．y=-2x+6 5．如图1，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接BE ，DE ，过E 作EF ⊥BC 于F ．设AE ＝x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的( )A ．线段BEB ．线段EFC ．线段CED ．线段DE 6．在平面直角坐标系中，解析式为31y x =+的直线a ，解析式为3y x =的直线b ，如图所示，直线a 交y 轴于点A ，以OA 为边作一个等边三角形OAB ∆，过点B 作y 轴的平行线交直线a 于点1A ，以1A B 为第二个等边三角形11A BB ∆，…顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长是（ ）A ．20192B ．20202C ．4038D ．40407．若某正比例函数过(2,3)-，则关于此函数的叙述不．正确的是（ ）． A ．函数值随自变量x 的增大而增大B ．函数值随自变量x 的增大而减小C ．函数图象关于原点对称D ．函数图象过二、四象限8．已知正方形轨道ABCD 的边长为2,m 小明站在正方形轨道AD 边的中点M 处，操控一辆无人驾驶小汽车，小汽车沿着折线A B C D ---以每秒1m 的速度向点D (终点)移动，如果将小汽车到小明的距离设为,S 将小汽车运动的时间设为,t 那么()S m 与()t s 之间关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 9．如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，P 为矩形边上的一个动点，运动路线是A→B→C→D→A ，设P 点经过的路程为x ，以A ，P ，B 为顶点的三角形面积为y ，则选项图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列函数中y 随x 的增大而增大，且图象与x 轴交点在y 轴左侧的是（ ） A ．21y x =- B ．21y x =+ C ．21y x =-+ D ．21y x =-- 11．甲、乙两车从A 地出发，匀速驶向B 地．甲车以80/km h 的速度行驶1h 后，乙车沿相同路线行驶．乙车先到达B 地并停留1h 后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离()y km 与乙车行驶时间(h)x 之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120/km h ；②150m =；③点H 的坐标是()7,80；④7.4n =其中说法正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．①③④ 12．已知点A （1，1y ）和点B （a ，2y ）在y =-2x +b 的图象上且1y >2y ，则a 的值可能是（ ）A ．2B ．0C ．-1D ．-2二、填空题13．已知平面直角坐标系中A ．B 两点坐标如图，若PQ 是一条在x 轴上活动的线段，且PQ=1，求当BP+PQ+QA 最小时，点Q 的坐标___.14．若函数()224y m x m =-+-是关于x 的正比例函数，则常数m 的值是__________．15．函数y ＝2x x-中，自变量x 的取值范围是_____． 16．将直线y =2x 向下平移3个单位长度得到的直线解析式为_____.17．将直线y ＝x 沿y 轴正方向平移2个单位后过点（1，a ﹣2），则a ＝_____． 18．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为t(分钟)，所走的路程为s(米)，s 与t 之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①小明中途休息用了20分钟；②小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米；③小明在上述过程中所走的路程为6600米；④小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度．其中正确的是________(填序号)．19．某网约车的收费标准为：起步价为15元，里程费为2.5元/千米，若该网约车行驶距离为x 千米，总费用y 与x 之间的函数关系式为_____________（总费用=起步价+里程费 ） 20．若长方形的周长为24cm ，一边为cm x ，面积为2cm y ，则y 与x 的关系式为y =__________．三、解答题21．如图，等腰Rt AOB △在平面直角坐标系xOy 上，90,4B OA ∠=︒=．点C 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向运动，过点C 作直线l OA ⊥，直线l 与射线OB 相交于点N ．（1）点B 的坐标为____________；（2）点C 的运动时间是t 秒．①当24t 时，AOB 在直线l 右侧部分的图形的面积为S ，求S （用含t 的式子表示）；②当0t >时，点M 在直线l 上且ABM 是以AB 为底的等腰三角形，若32CN CM =，求t 的值．22．纺织厂生产某种产品，每件出厂价定为80元，每件的成本是60元，由于在生产过程中平均每生产一件此种产品，就会有0.5立方米的污水排出，为了保护环境，工厂需要对污水净化处理后才能排出．已知处理1立方米污水的费用为2元，另外每月排污设备物资损耗为8000元．设该厂每月生产此产品x 件（0x >且x 是整数），每月获得纯利润y 元．（纯利润=总收人-总支出）（1）求出y 与x 之间的函数表达式；（2）如果该厂本月获得的纯利润是106000元，请求出该厂在本月生产此产品的件数． 23．疫情过后，地摊经济迅速兴起．小李以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额y （元）与销售量x （千克）之间的关系如图所示．（1）求降价后销售额y （元）与销售量x （千克）之间的函数表达式；（2）当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元？24．甲船从A 港出发顺流匀速驶向B 港，乙船从B 港出发逆流匀速驶向A 港，甲船后面拖拽着一艘无动力小艇，行驶一段时间后，甲船发现拖拽小艇缆绳松了，小艇不知去向，立刻原路返回寻找，找到小艇后，继续拖拽小艇顺流驶向B 港．已知小艇漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船与A 港的距离、与行驶时间之间的函数图象如图1所示．（1）求乙船在逆流中行驶的速度；（2）求甲船在逆流中行驶的路程；（3）求甲船到A 港的距离y 与行驶时间x 之间的函数关系式；（4）甲船拖拽的小艇与A 港的距离和经历的时间之间的函数图像如图2所示，求点C 的坐标．25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(12,0)-，点B 的坐标为(3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，连接,AC BC ，有90ACB ︒∠=．（1）求点C 的坐标；（2）求ACB ∠的平分线所在直线l 的表达式；（3）若P 为直线l 上的点，连接,PB PC ，若12PBC ACB S S ∆=，求点P 的坐标．26．如图，已知直线2y kx =+与直线3y x =交于点(1,)A m ，与y 轴交于点B ．（1）求k 和m 的值；（2）求AOB 的周长；（3）设直线y n =与直线2y kx =+，3y x =及y 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，求出n 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据一次函数的图象和性质判断即可．【详解】解：∵一次函数y=kx+b （k≠0）在平面直角坐标系内的图象过第一、二、三象限， ∴k ＞0，b ＞0，故选：A ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与系数之间的关系，关键是掌握数形结合思想． 2．B解析：B【分析】根据正比例函数的性质可得出k＞0，进而可得出-k＜0，由1＞0，-k＜0利用一次函数图象与系数的关系，可找出一次函数y=x-k的图象经过第一、三、四象限，此题得解．【详解】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，∴k＞0，∴﹣k＜0．又∵1＞0，∴一次函数y＝x﹣k的图象经过第一、三、四象限．故选：B．【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0⇔y=kx+b 的图象在一、三、四象限”是解题的关键．3．A解析：A【分析】根据题意易得AB+BC=6，当点P运动到C点时三角形ABP的面积为4，故而可求出AB、BC 的长，进而求出AC．【详解】解：由图像及题意可得：AB+BC=6，当点P运动到C点时三角形ABP的面积为4，即1=42ABPS AB BC⋅=，∴AB=2，BC=4，在Rt ABC中，AC==；故选A．【点睛】本题主要考查函数与几何，关键是根据图像得到动点的运动路程，然后利用勾股定理求解线段的长即可．4．D解析：D【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，根据平移时k的值不变可得k=-2，把（1，4）代入即可求出b的值，即可得答案．【详解】设直线AB的解析式为y=kx+b，∵将直线y=-2x向上平移后得到直线AB，∴k=-2，∵直线AB经过点（1，4），∴-2+b=4，解得：b=6，∴直线AB 的解析式为：y=-2x+6，故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移k 值不变． 5．D解析：D【分析】根据各个选项中假设的线段，可以分别由图象得到相应的y 随x 的变化的趋势，从而可以判断哪个选项是正确的．【详解】A 、由图1可知，若线段BE 是y ，则y 随x 的增大先减小再增大，而由由大变小的距离小于由小变大的距离，在点A 的距离是BA ，在点C 时的距离是BC ，BA ＜BC ，故选项A 错误；B 、由图1可知，若线段EF 是y ，则y 随x 的增大越来越小，故选项B 错误；C 、由图1可知，若线段CE 是y ，则y 随x 的增大越来越小，故选项C 错误；D 、由图1可知，若线段DE 是y ，则y 随x 的增大先减小再增大，而由由大变小的距离大于由小变大的距离，在点A 的距离是DA ，在点C 时的距离是DC ，DA ＞DC ，故选项D 正确；故选D ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．6．A解析：A【分析】延长A 1B 交x 轴于D ，A 2B 1交x 轴于E ，根据等边三角形的性质得OA=OD ，A 1B=BB 1，A 2B 1=B 2B 1，直线OB 的解析式为3y x =，得出∠BOD=30°，由直线a ：1y =+得出第一个等边三角形边长为1，由30°角的性质得BD=12，由勾股定理得代入求得A 1的纵坐标，即可求得第二个等边三角形的边长，…，按照此规律得到第三个、第四个等边三角形的边长，从而求得第2020个等边三角形的边长．【详解】解：延长A 1B 交x 轴于D ，A 2B 1交x 轴于E ，如图，∵△OAB、△BA1B1、△B1A2B2均为等边三角形，∴OA=OD，A1B=BB1，A2B1=B2B1，∵直线OB的解析式为3，∴∠BOD=30°，由直线a：3可知OA=1，∴OB=1，∴BD=12，∴22112⎛⎫- ⎪⎝⎭=32，把33得y=52，∴A1D=52，∴A1B=2，∴BB1=A1B=2，∴OB1=3，∴B1E=32，∴22332⎛⎫- ⎪⎝⎭33，把333得y=112，∴A2E=112，∴A2B1=4，同理得到A3B2=23，…，按照此规律得到第2020个等边三角形的边长为22019，故选A ．【点睛】本题考查了图形类规律探究、一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，找出第n 个等边三角形的边长为2n-1是解题的关键．7．A解析：A【详解】解：设正比例函数解析式(0)y kx k =≠，∵正比例函数过(2,3)-，∴32k -=， ∴32k =-， ∴正比例函数解析式为32y x =-， ∵302k =-<， ∴图象过二、四象限，函数值随自变量x 增大而减小，图象关于原点对称，∴四个选项中，只有A 选项中的不正确，其余三个选项中的结论都是正确的.故选A ．8．D解析：D【分析】求出小汽车在AB 、BC 上运动时，MQ 的表达式即可求解．【详解】解：设小汽车所在的点为点Q ，①当点Q 在AB 上运动时，AQ=t ，则MQ 2=MA 2+AQ 2=1+t 2，即MQ 2为开口向上的抛物线，则MQ 为曲线，②当点Q 在BC 上运动时，同理可得：MQ 2=22+（1-t+2）2=4+（3-t ）2，MQ 为曲线；故选：D ．【点睛】本题考查了动点图象问题，解题的关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．9．B解析：B【分析】根据题意可以分别表示出各段的函数解析式，从而可以根据各段对应的函数图象判断选项的正误即可.【详解】由题意可得，点P到A→B的过程中，y=0（0≤x≤2），故选项C错误，点P到B→C的过程中，y=12⨯2（x-2）=x-2（2＜x≤6），故选项A错误，点P到C→D的过程中，y=12⨯2⨯4=4（6＜x≤8），故选项D错误，点P到D→A的过程中，y=12⨯2(12-x)=12-x(8<x≤12)，由以上各段函数解析式可知，选项B正确，故选B.【点睛】本题考查动点问题的函数图象，明确题意，写出各段函数对应的函数解析式，明确各段的函数图象是解题关键.10．B解析：B【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的函数解析式，可以判断哪个选项中的函数y随x的增大而增大，且图象与x轴交点在y轴左侧，本题得以解决．【详解】解：函数y=2x-1，y随x的增大而增大，与x轴的交点是（0.5，0），在y轴右侧，故选项A不符题意；函数y=2x+1，y随x的增大而增大，与x轴的交点是（-0.5，0），在y轴左侧，故选项B 符题意；函数y=-2x+1，y随x的增大而减小，与x轴的交点是（0.5，0），在y轴右侧，故选项C 不符题意；函数y=-2x-1，y随x的增大而减小，与x轴的交点是（-0.5，0），在y轴左侧，故选项D 不符题意；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．11．D解析：D【分析】根据乙追上甲的时间求出乙的速度可判断①，根据乙由相遇点到达B点所用时间可确定m 的值，即可判断②，根据乙休息1h甲所行驶的路程可判断③，由乙返回时，甲乙相距80km，可求出两车相遇的时间即可判断④，【详解】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km ，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km ，则乙的速度为120km/h ．①正确；由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B ，用时4小时，每小时比甲快40km ，则此时甲乙距离4×40=160km ，则m=160>150，②不正确；当乙在B 地停留1h 时，甲前进80km ，甲乙相距=160-80=80km ，时间=6+1=7小时，则H 点坐标为（7，80），③正确；乙返回时，甲乙相距80km ，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=7+0.4=7.4，④正确．所以正确的有①③④，故选D ，【点睛】本题考查通过分段函数图像解决问题，根据题意明确图像中的信息是解题关键， 12．A解析：A【分析】函数解析式y=-2x+b 知k ＜0，可得y 随x 的增大而减小，求出a 的取值范围即可求解．【详解】解：由y=-2x+b 知k ＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵1y >2y ，∴a>1∴a 的值可能是2故选：A ．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．二、填空题13．（0）；【分析】如图把点向右平移1个单位得到作点关于轴的对称点连接与轴的交点即为点此时的值最小求出直线的解析式即可解决问题【详解】如图把点向右平移1个单位得到作点关于轴的对称点连接与轴的交点即为点此解析：（197，0）； 【分析】 如图把点B 向右平移1个单位得到()1,3E ，作点E 关于x 轴的对称点()1,3F -，连接AF ，AF 与x 轴的交点即为点Q ，此时BP PQ QA ++的值最小，求出直线AF 的解析式，即可解决问题.【详解】如图把点B 向右平移1个单位得到()1,3E ，作点E 关于x 轴的对称点()1,3F -，连接AF ，AF 与x 轴的交点即为点Q ，此时BP PQ QA ++的值最小，设最小AF 的解析式为y kx b =+，则有354k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得74194k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AF 的解析式为71944y x =-， 令0y =，得到197x =， ∴19,07Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为19,07⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查轴对称最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点问题，属于中考常考题型. 14．【分析】根据正比例函数的定义列出式子计算求出参数m 的值【详解】解:∵函数y=（m-2）x+4-m2是关于x 的正比例函数∴4-m2=0且m-2≠0解得m=-2或m=2（不符合题意舍去）故答案为：m=-解析：2m =-【分析】根据正比例函数的定义列出式子计算求出参数m 的值．【详解】解:∵函数y=（m-2）x+4-m 2是关于x 的正比例函数,∴4-m 2=0且m-2≠0,解得,m=-2或m=2（不符合题意,舍去）．故答案为：m=-2．【点睛】本题考查的是正比例函数的定义,一般地,形如y=kx （k 是常数,k≠0）的函数叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数．15．x≥2【分析】根据被开方数大于等于0分母不等于0列式进行计算即可得解【详解】解：根据题意得x ﹣2≥0且x≠0解得x≥2且x≠0所以自变量x 的取值范围是x≥2故答案为x ≥2【点睛】本题考查的知识点为：解析：x ≥2．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．【详解】解：根据题意得，x ﹣2≥0且x ≠0，解得x ≥2且x ≠0，所以，自变量x 的取值范围是x ≥2．故答案为x ≥2．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 16．【分析】根据直线的平移规律上加下减左加右减求解即可【详解】解：直线y 2x 向下平移3个单位长度得到的直线解析式为【点睛】本题考查了直线的平移变换直线平移变换的规律是：对直线y=kx+b 而言：上下移动解析：23y x =-.【分析】根据直线的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可.【详解】解：直线y =2x 向下平移3个单位长度得到的直线解析式为23y x =-.【点睛】本题考查了直线的平移变换. 直线平移变换的规律是：对直线y=kx+b 而言：上下移动，上加下减；左右移动，左加右减．例如，直线y=kx+b 如上移3个单位，得y=kx+b +3；如下移3个单位，得y=kx+b －3；如左移3个单位，得y=k （x +3）+b ；如右移3个单位，得y=k （x －3）+b ．掌握其中变与不变的规律是解决直线平移变换问题的基本方法．17．5【分析】根据平移规律可得直线y ＝x 沿y 轴正方向平移2个单位后得y ＝x+2然后把（1a ﹣2）代入即可求出a 的值【详解】解：将直线y ＝x 沿y 轴正方向平移2个单位后得y ＝x+2根据题意将（1a ﹣2）代入解析：5【分析】根据平移规律可得，直线y ＝x 沿y 轴正方向平移2个单位后得y ＝x +2，然后把（1，a ﹣2）代入即可求出a 的值．【详解】解：将直线y ＝x 沿y 轴正方向平移2个单位后得y ＝x +2，根据题意，将（1，a ﹣2）代入，得：1+2＝a ﹣2，解得：a ＝5，故答案为：5．【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，直线平移后的解析式有这样的规律“左加右减，上加下减”．18．①②④【分析】根据函数图象可知小明40分钟爬山2800米40～60分钟休息60～100分钟爬山（3800-2800）米爬山的总路程为3800米根据路程速度时间之间的关系进行解答即可【详解】解：①小明解析：①②④【分析】根据函数图象可知，小明40分钟爬山2800米，40～60分钟休息，60～100分钟爬山（3800-2800）米，爬山的总路程为3800米，根据路程、速度、时间之间的关系进行解答即可．【详解】解：①小明中途休息的时间是：60-40=20分钟，故本选项正确；②小明休息前爬山的速度为28007040=（米/分钟），故本选项正确；③小明在上述过程中所走路程为3800米，故本选项错误；’④因为小明休息后爬山的速度是380028002510060-=-（米/分钟），所以小明休息前爬山的平均速度大于小明休息前后爬山的平均速度，故本选项正确；故答案为①②④．【点睛】本题考查的知识点是函数图象，解题关键是从图象中获取必要的信息．19．【分析】根据乘车费用=起步价+里程费得出【详解】解：依题意有：故答案为：【点睛】根据题意找到所求量的等量关系是解决问题的关键本题乘车费用=起步价+里程费解析：15 2.5xy=+【分析】根据乘车费用=起步价+里程费得出．【详解】解：依题意有：15 2.5xy=+．故答案为：15 2.5xy=+．【点睛】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题乘车费用=起步价+里程费．20．【分析】首先利长方形周长公式表示出长方形的另一边长然后利用长方形的面积公式求解即可【详解】∵长方形的周长为24cm其中一边长为xcm∴另一边长为：（12-x）cm∵长方形面积为∴y与x的关系式为y=解析：212x x -+【分析】首先利长方形周长公式表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解即可．【详解】∵长方形的周长为24cm ，其中一边长为xcm ，∴另一边长为：（12-x ）cm ，∵长方形面积为2cm y ，∴y 与x 的关系式为y=x(12−x)=-x 2+12x ．故答案为：y=-x 2+12x【点睛】本题考查函数关系式，理解长方形的边长、周长以及面积之间的关系是关键．三、解答题21．（1）（2，2）；（2）①21(4)2S t =-；②t =6或65t =． 【分析】（1）过B 点作BD ⊥OA 于点D ，根据等腰直角三角形的性质即可求得OD 与BD 的长度，从而可求得B 点的坐标；（2）①证明△ACM 为等腰直角三角形，再由三角形的面积公式求得结果；②过AB 的中点D ，作线段AB 的垂直平分线DE ，求出直线OB 与DE 的解析式，再用t 表示C 、M 、N 的坐标，进而用t 表示CN 与CM ，根据已知条件32CN CM =，列出t 的方程进行解答便可．【详解】解：（1）过B 点作BD ⊥OA 于点D ，如图1，∵∠OBA =90°，OB =AB ，OA =4．∴122BD OD AD OA ====， ∴B （2，2），故答案为（2，2）；（2）①当2≤t ≤4时，如图2，则AC =OA -OC =4-t ，∵∠OBA =90°，OB =AB ，∴∠OAB =45°，∵直线l ⊥OA ，∴∠ACM =90°，∴∠AMC =45°=∠CAM ，∴AC =CM =4-t ， ∴21(4)2ACM S S t ∆==-； ②过AB 的中点D ，作线段AB 的垂直平分线DE ，如图3，∵△ABM 是以AB 为底的等腰三角形，∴MA =MB ，∴点M 在直线DE 上，∵点M 在直线l 上，∴点M 为直线l 与直线DE 的交点，设直线OB 的解析式为y =kx （k ≠0），由（1）知，B （2，2），∴2=2k ，∴k =1，∴直线OB 的解析式为：y =x ，∵∠ABO =∠ADM =90°，∴DE ∥OB ，∴设直线DE 的解析式为y =x +n ，∵A （4，0），B （2，2），D 为AB 的中点，∴D （3，1），把D （3，1）代入y =x +n 中，得1=3+n ，∴n =-2，∴直线DE 的解析式为：y =x -2，∵OC =t ，∴C （t ，0），N （t ，t ），M （t ，t -2）， ∵32CN CM =，t ＞0 ∴3|2|2t t =-， ∴3(2)2t t =-，或3(2)2t t =-， 解得，t =6，或65t =． 【点睛】 本题主要考查了点的坐标，待定系数法，求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，难度不大，第（3）题关键是求出AB 的垂直平分线的解析式和正确列出t 的方程．22．（1）y ＝19x−8000（x ＞0且x 是整数）；（2）这个月该厂生产产品6000件．【分析】（1）本题的等量关系是：纯利润＝产品的出厂单价×产品的数量−产品的成本价×产品的数量−生产过程中的污水处理费−排污设备的损耗．可根据此等量关系来列出总利润与产品数量之间的函数关系式．（2）根据（1）中得出的式子，将y 的值代入其中，求出x 即可．【详解】解：（1）依题意得：y ＝80x−60x−2×0.5x−8000，化简得：y ＝19x−8000．∴函数关系式为y ＝19x−8000（x ＞0且x 是整数）；（2）当y ＝106000时，代入得：106000＝19x−8000，解得：x ＝6000．答：这个月该厂生产产品6000件．【点睛】本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，可根据题意找出等量关系，列出函数式进行求解．23．（1） 2.560(40)y x x =+>；（2）180千克【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到降价后销售额y （元)与销售量x （千克）之间的函数表达式；（2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以列出相应的方程，从而可以得到当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元．【详解】解：（1）设降价后销售额y （元)与销售量x （千克）之间的函数表达式是y kx b =+， AB 段过点(40,160)，(80,260)，∴4016080260k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得， 2.560k b =⎧⎨=⎩， 即降价后销售额y （元)与销售量x （千克）之间的函数表达式是 2.560(40)y x x =+>； （2）设当销售量为a 千克时，小李销售此种水果的利润为150元，2.5602150a a +-=，解得，180a =，答：当销售量为180千克时，小李销售此种水果的利润为150元．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．24．（1）6/km h ；（2）3km ；（3）19(02)5630(2)215579()222x x y x x x x ⎧⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪-<⎪⎩；（4）3(2，27)2 【分析】（1）由速度=路程÷时间列式求解；（2）因为甲船、乙船在逆流中行驶的速度相同，只需由图示得出甲船在逆流中行驶的时间．（3）观察图形，要分成3段讨论，每一段中已知两点，可用待定系数法确定一次函数的解析式．（4）根据等量关系：小艇脱离船中后，船顺流行驶的路程=船逆流行驶的路程+小艇漂流的路程，据此即可解答．【详解】解：（1）乙船在逆流中行驶的速度为6/km h ．（2）甲船在逆流中行驶的路程为6(2.52)3()km ⨯-=．（3）设甲船顺流的速度为/akm h ， 由图象得23(3.5 2.5)24a a -+-=，解得9a =．当02x 时，19y x =，当2 2.5x 时，设116y x b =-+，把2x =，118y =代入，得130b =，1630y x ∴=-+，当2.5 3.5x 时，设129y x b =+，把 3.5x =，124y =代入，得27.5b =-，197.5y x ∴=-． 综上所述，19(02)5630(2)215579()222x x y x x x x ⎧⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪-<⎪⎩； （4）水流速度为(96)2 1.5(/)km h -÷=，设甲船从A 港航行x 小时小艇缆绳松了． 根据题意，得9(2) 1.5(2.5)3x x -=-+，解得 1.5x =，1.5913.5⨯=，即小艇缆绳松了时甲船到A 港的距离为13.5km ．∴点C 坐标3(2，27)2． 【点睛】 此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，要求学生要提高阅读理解水平，从中挖掘有用信息，记住船顺流航行的速度=船在静水中航行的速度+水流速度，船逆流航行的速度=船在静水中航行的速度-水流速度．25．（1）C (0,6)；（2）36y x =+；（3）(3,3)P --或(3,15)P【分析】（1）设点C 的坐标为(0,)(0)c c >，根据勾股定理分别用c 表示出,,AC BC AB ，列出关于c 的方程即可求解；（2）设l 与x 轴交于点D ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，设BD m =，在等腰直角三角形CDE 中，CE DE =，通过1122BCD S BD CO BC DE =⋅=⋅△将,CE DE 用m 的代数式表示出来，在Rt DBE 中，根据勾股定理将BE 表示出来，最后根据CE BE BC +=列方程求解；（3）分两种情况：点P 在CD 的延长线上或DC 的延长线上，①取AB 的中点F ，连接CF ，过点F 作1//FP BC 交CD 于点1P ，点1P 就是所要求作的点，利用待定系数法求出点1P 的坐标；②在线段DC 的延长线上取点2P ，使得点21P C PC =，2P 即是所求作的点，写出2P 的坐标，据此答案为1P ，2P 的坐标即为所求．【详解】解：（1）设点C 的坐标为(0,)(0)c c >(12,0),(3,0)A B -12,3,15OA OB AB ∴===在Rt AOC 中，222AC AO CO =+在Rt BOC 中，222BC BO CO =+在Rt ABC △中，222AB AC BC =+22222AO CO BO CO AB ∴+++=，即2222212315,6c c c +++=∴=∴点C 的坐标是(0,6)（2）如图，设直线l 交x 轴于点D ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，设DB 的长为m 12,3,6,OA OB OC ===15,65,35AB AC BC ∴===1122BCD S BD CO BC DE =⋅=⋅ 25635,5m DE DE ∴=∴= 又在Rt DBE 中，222BD DE BE =+，即222255,55m m BE BE m ⎛⎫=+∴= ⎪ ⎪⎝⎭由题意，在Rt DEC △中，45DCE ︒∠=，于是25CE DE ==由CE BE BC +=，即2553555m m +=5m = 又由||||OA OB >，知点D 在线段OA 上，||3OB =||2OD ∴=，故点(2,0)D -设直线l 的解析式为y kx b =+，把(0,6)C 和(2,0)D -代入得620b k b =⎧⎨-+=⎩ 解得：36k b =⎧⎨=⎩故直线l 的表达式为36y x =+（3）①取AB 的中点( 4.5,0)F -，过点F 作BC 的平行线交直线l 于点1P ，连接CF易知112P BC FBC ACB S S S ==∴点1P 为符合题意的点()()3,0,0,6B C∴ 直线BC 的表达式为26y x =-+直线1P F 可由直线BC 向左平移152个单位得到 ∴直线1P F 的表达式为15262y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即29y x =-+ 由2936y x y x =-+⎧⎨=+⎩解得33x y =-⎧⎨=-⎩ ∴点1(3,3)P --②在直线l 上取点2P ，使21P C PC =此时有1212P BC P BC ACB S S S ==∴点2P 符合题意由21P C PC =，可得点2P 的坐标为(3,15) ∴点(3,3)P --或(3,15)P 可使12PBC ACB S S =【点睛】本题考查了坐标系内点的坐标问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的平移，勾股定理及三角形面积问题等知识，用待定系数法，勾股定理是解此题的关键． 26．（1）1k =，3m =；（2）AOB 的周长是2210++3）n 的值是125或6或32． 【分析】（1）把A(1，m)代入3y x =求得m 的值，再把m 的值代入2y kx =+求得k 的值即可； （2）先求得点B 的坐标，过点A 作AC y ⊥轴于点C ，利用勾股定理分别求得OB 、OA 、AB 的长，即可求解；（3）设直线y n =与直线2y x =+，3y x =及y 轴分别交于点1P ，2P ，3P ，分三种情况讨论即可求解．【详解】（1）∵直线2y kx =+与直线3y x =交于点A(1，m)，∴3m =，2m kx =+，∴1k =；（2）∵直线2y x =+与y 轴交于点B ，∴B (0，2)，∴OB=2，过点A 作AC y ⊥轴于点C ．(1,3)A ，1AC ∴=，3OC =，321BC ∴=-=，在Rt ABC △中，222AB AC BC ∴=+= 在Rt AOC 中，22221310OA AC OC =+=+=．AOB ∴的周长是2210++（3）设直线y n =与直线2y x =+，3y x =及y 轴分别交于点1P ，2P ，3P ，则有1(2,)n P n -，2,3nP n ⎫⎛ ⎪⎝⎭，3(0,)P n ． ①当1P 在2P ，3P 中间时，则有2131P P P P =，(2)23n n n ∴--=-．解得125n =． ②当2P 在1P ，3P 中间时，则有1232PP P P =，(2)33n n n ∴--=．解得6n =．③当3P 在1P ，2P 中间时，则有1323PP P P =，0(2)3n n ∴--=．解得32n =． n ∴的值是125或6或32． 【点睛】 本题考查了两条直线相交的问题，解题的关键是利用图象求解，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系，学会用分类讨论的思想思考并解决问题．。
初中数学培优题库试题4附答案
初中数学培优题库试题4附答案第I卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1. 一个多边形的内角和是720° ,这个多边形的边数是（）A. 4B. 5C. 6D. 72.如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若Zl = 50° ,则Z2=()土A. 20°B. 30°C. 40°D・50°3.如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是（）A. 6<L<15 B- 6<L<16C. 11<L<13 D- 10<L<164.如图，己知AB = AD,那么添加下列一个条件后，仍无法判定AABC^AADC 的是( )D—BA. CB=CD B- ZBAC=ZDACC. ZBCA=ZDCAD. ZB=ZD=90°6.如图，BC=6, AC 的垂直平分线交AD 于点E,则A.10 7. 5.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕0点旋转到AC 位 置，己知AB 丄BD, CD 丄BD,垂足分别为B, D, A0=4 m, AB=1.6 m,C0=l m,则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为（ ）ACDE 的周长是（ ）D. 12 如图，矩形ABCD 中，AB=10, BC=5,点E, F, G, H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE = CG, BF = DH,则四边形EFGH 周长的最小值为B. 10&D. 0. 5 mA. 0. 2 m B- 8D. 15^/38.如图，在AABC中，ZBAC=90° , AB=AC，点D为边AC的中点, DE丄BC于点E,连接BD,贝lj t^ZDBC的值为（c. 2-^3 D.*9.如图，矩形纸片ABCD中，AB = 4, BC = 6,将AABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F,则DF的长等于（）3 A-55 B-37 5C. T D -3 410・如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点.己知FG=2,则线段AE的长度为（)A DB** EA. 6B. 8C. 10D. 1211.如图，点E,点F分别在菱形ABCD的边AB, AD上，且AE=DF,BF交DE于AF HF延长BF交CD的延长线于点出若旷2,则忆的值为5*1212.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD, 使B点落在点P处，折痕为EC,连接AP并延长AP交CD于F点，连接 CP并延长CP交AD于Q点.给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②ZPBA=ZAPQ；③AFPC为等腰三角形；④厶 APB^AEPC.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4第I【卷（非选择题共84分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）13・下列命题是真命题的序号为____ ・①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③任意多边形的内角和为360° ；④三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.14.____ 如图，某景区的两个景点A, B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MX与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时，测得景点A的俯角为45° ,景点B的俯角为30° ,此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A, B间的距离为_ 米（结果保留根号）.15.________________________________________ 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是_____________ 步.16.矩形ABCD中，AB = 6, BC=8,点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△ PBE^ADBC,若AAPD是等腰三角形，则PE的长为17.如图，直线y=—x+l与两坐标轴分别交于A, B两点，将线段0A分成n等份，分点分别为P], P：, P3,…，Pn-u过每个分点作X轴的垂, Ts,…，Ti ffl Si, S2, S3,…，Sn-x 分线分别交直线AB于点Ti, T2别表示^ATiOPt,处△T2P1P2,…，的面积,则S】+ S2 + S3+e，，+Sn 1= _______________________ •三、解答题(本大题共7个小题，共64分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18・(本题满分7分)如图，点 A, D, C, F 在同一条直线上，AD=CF, AB=DE, BC=EF. (1)求证：ZiABC竺ZiDEF；.(2)若ZA=55° , ZB=88° ,求ZF 的度数(2)若 AD=3, AB = 5, 求気的19.（本题满分7分）如图，在锐角三角形ABC 中，点D, E 分别在边AC, AB 上，AG 丄BC 于 点 G, AF 丄DE 于点 F, ZEAF=ZGAC.（1）求证：△ADEs/XABC；20・（本题满分8分）随着航母编队的成立，我国海军日益强大，2018年4月12日，中央军 委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻.如 图，我军巡逻舰在某海域航行到A 处时，该舰在观测点P 的南偏东45° 的方向上，且与观测点P 的距离PA 为400海里；巡逻舰继续沿正北方 向航行一段时间后，到达位于观测点P 的北偏东30°方向上的B 处， 问此时巡逻舰与观测点P 的距离PB 为多少海里？（参考数据：迈 al.414, A /3^1.732,结果精确到1海里）.21・(本题满分9分)如图，在口ABCD中，AE丄BC, AF丄CD,垂足分别为E, F,且BE=DF.(1)求证：口ABCD是菱形;.⑵若AB=5, AC=6,求口ABCD的面积B22・(本题满分10分)如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角ZDCE=30° ,楼高AB=60 米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60° ,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45° ,其中点A, C, E在同一直线上.(1)求坡底C点到大楼距离AC的值；(2)求斜坡CD的长度.n图123.(本题满分11分)如图，在ZXABC中，BOAC，点E在BC上，CE=CA，点D在AB上，连接DE, ZACB+ZADE=180° ,作 CH丄AB,垂足为 H.(1)如图1,当ZACB = 90°时，连接CD,过点C作CF1CD交BA的延长线于点F.①求证：FA=DE；②请猜想三条线段DE, AD, CH之间的数量关系，直接写出结论；(2)如图 2,当ZACB=120° 时, 三条线段DE, AD, CH之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论.Bn24.(本题满分12分)如图1,己知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE丄BC,垂足为点E, GF1CD,垂足为点F.(1)证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；AC②推断：器的值为 _____ ;(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角(0° <a <45° ),如图2 所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B, E, F三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG交AD于点H.若AG=6, GH=2迪，则BC =10.D 参考答案l.C 2.C 3.D 4. C 5.C 6. C 7. B 8. A 9. B 12. B13 •④ 14. 100 + 100^3 15.譽 16律或 318. (1)证明：・.・AC=AD+DC, DF=DC+CF,且 AD = CF, ・・・AC=DF.p\B=DE,在AABC 和 ADEF 中，＜BC=EF,I AC =DF ,•••△ABC9ADEF(SSS)・(2)解：由(1)可知 ZF=ZACB.V ZA=55° , ZB = 88° ,A ZACB = 180° -(ZA+ZB)=180° 一(55° +88° )= ・・・ZF=ZACB = 37° .19. (1)证明：TAG 丄BC, AF 丄DE, A ZAFE= ZAGC=90° I ZEAF= ZGAC,・•・ ZAED= ZACB.I ZEAD=ZCAB,・•・ AADE^AABC.AD AE 3(2)解：由(1)可知△ ADEs^ABC,・••菖=北=才 V ZAFE=ZAGC = 90° , ZEAF=ZGAC,人A AF AE . AF 3•••△EAFsdAG,AC' %飞.11. B20.解：在ZXAPC 中，ZACP=90° , ZAPC = 45° ,则 AC=PC.VAP = 400 海里，・•・由勾股定理知 AP2=AC2+PC2=2PC2,即 400: = 2PC:, ・・・PC = 200边海里.又•・•在直角 ABPC 中，ZPCB=90° , ZBPC = 60° , ・・・PB=£"矿=2PC=400迈=566（海里）.答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为566海里.21.(1)证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，・・・ZB=ZD.•・・AE』BC, AF±CD, A ZAEB= ZAFD=90° .VBE=DF, AAAEB^AAFD, ・・・AB=AD,・・・四边形ABCD是菱形.(2)解：如图，连接BD交AC于点0.•・•四边形ABCD是菱形，AC=6,・・・AC丄BD,1 1A0=0C=-AC=-X6=3.7AB = 5, A0=3, •I BO=^AB:-AO2=苗一3’=4,•••BD=2BO=8,22.解: ⑴在 TTtAABC 中,ZBAC=90° , ZBCA=60°答：坡底c点到大楼距离AC的值是20宀米.(2)如图，过点D作DF丄AB于点F.设CD=2x,则DE = x, 在 /TfABDF 中，VZBDF=45° ,・・・BF=DF, ・・・60-x=20帝 +书x, ・・・x=40羽一 60, 答：CD的长为(80书一 120)米.23.⑴①证明：TCF丄CD, A ZFCD = 90° .,AB =60CE={5X.V ZACB=90° ,・•・ ZFCA+ ZACD= ZACD+ ZDCE,・・・ZFCA=ZDCE.V ZFAC=90° +ZB, ZCED=90° +ZB, ・・・ZFAC=ZCED.VAC=EC, A AAFC^AEDC,A FA=DE.②解：DE+AD = 2CH.(2)解：AD+DE=2^CH.理由如下：如图，连接CD,作ZFCD=ZACB,交BA延长线于点F.I ZFCA+ZACD =ZACD+ZBCD,・•・ ZFCA=ZBCD.V ZEDA=60° , /.ZEDB=120° .V ZFAC=120° +ZB, ZDEC = 120° +ZB,・•・ ZFAC=ZDEC.VAC=EC, .*.AFAC^ADEC,・・・AF=DE, FC=DC.TCH 丄FD,•••FH=HD, ZFCH=ZHCD = 60° .在 TTfACHD 中，tan60° =—,CH・・.DH={5CH.•・• AD+DE=AD+AF=2DH=2^3CH,即 AD+DE=2(5CH.24.(1)①证明：•・•四边形ABCD是正方形，AZ BCD=90 ° , ZBCA=45° .TGE丄BC, GF丄CD, ・・・ZCEG=ZCFG=ZECF=90° ,・•・四边形CEGF是矩形，ZCGE=ZECG=45° ,・・・EG=EC,・・・四边形CEGF是正方形.②解：^2提示：由①知四边形CEGF是正方形，AZCEG=ZB = 90° , ZECG=45° ,CG 厂A—=^2, GE〃AB,.AG CG 厂••BE=CE=^-(2)解：AG=V2BE.理由如下：如图，连接CG,由旋转性在 7?tACEG 和 TTrACBA 中,CE 0A/2 CB O A/2，氏=cos45‘ = 2，=2CG CAMACGS^CE,• AG_£A_r隹=5§=p2'・•・线段AG与BE之间的数量关系为AG=7^BE.(3)解：3萌提示：・・・ZCEF=45° ,点B, E, F三点共线, ・・・ZBEC=135° .VAACG^ABCE, .I ZAGC= ZBEC= 135° ,A ZAGH=ZCAH=45° .J ZCHA= ZAHG, ••• AAHG^ACHA,.AG_GH_AH•AC^AH^OT设 BC=CD=AD = a,贝ij AC={^,AGGH/2迈AH则由•少£=咒由'少£ 剖搦,四L翌1淫=艺・・皐9B Z HV 0V * 匕—2Q Q，祠严Hd+m4=H0 ^-=HV-OV=HQ fiM咛*・。
初中数学几何证明经典试题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
APCDBAFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 BF2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD．（初三）经典1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初中数学-几何证明经典试题（含答案）
初中数学-⼏何证明经典试题（含答案）初中⼏何证明题已知：如图，O 是半圆的圆⼼，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF 已知：如图，P 是正⽅形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三⾓形．3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正⽅形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正⽅形．4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（⼆）A P C DB A F GC EBO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF 1、已知：△ABC 中，H 为垂⼼（各边⾼线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初⼆）2、设MN 是圆O 外⼀直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，⾃A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初⼆）3、如果上题把直线MN 由圆外平移⾄圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初⼆）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为⼀边，在△ABC 的外侧作正⽅形ACDE 和正⽅形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的⼀半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正⽅形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初⼆）2、如图，四边形ABCD 为正⽅形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初⼆）3、设P 是正⽅形ABCD ⼀边求证：PA ＝PF ．（初⼆）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典题（四）E1、已知：△ABC 是正三⾓形，P 是三⾓形内⼀点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初⼆）2、设P 是平⾏四边形ABCD 内部的⼀点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初⼆）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平⾏四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的⼀点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初⼆）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任⼀点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，D求证：≤L＜2．2、已知：P是边长为1的正⽅形ABCD内的⼀点，求PA＋PB＋PC的最⼩值．3、P为正⽅形ABCD内的⼀点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正⽅形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（⼀）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初中数学实数经典测试题附答案
【解析】
【分析】
根据4.84<5<5.29，可得答案．
【详解】
∵4.84<5<5.29，
∴2.2< <2.3，
∴1.2< -1<1.3，
故选B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，利用 ≈2.236是解题关键．
6．下列各式中，正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【案.
20．如图所示，数轴上表示3、 的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A．- B．3- C．6- D． -3
【答案】C
【解析】
点C是AB的中点，设A表示的数是c，则 ，解得：c=6- ．故选C．
点睛：本题考查了实数与数轴的对应关系，注意利用“数形结合”的数学思想解决问题．
【详解】
A. ，原选项错误，不符合题意；
B. ，原选项错误，不符合题意；
C. ，原选项正确，符合题意；
D. ，原选项错误，不符合题意.
故选：C
【点睛】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的计算，重点是掌握平方根、算术平方根、立方根的性质.
7． 的算术平方根为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
B选项中，因为 ，所以B中计算错误；
C选项中，因为 ，所以C中计算错误；
D选项中，因为 ，所以D中计算正确；
故选D.
14．如图，已知x2＝3，那么在数轴上与实数x对应的点可能是（）
A．P1B．P4
C．P2或P3D．P1或P4
【答案】D
【解析】
试题解析：
∵x2=3，
∴x=± ，
根据实数在数轴上表示的方法可得
教师专业能力考试试题 初中数学试卷 (4)
2022 第1页（共6页）秘密★启用前贵阳市2022年初中学业水平考试试题卷数 学同学你好！答题前请认真阅读以下内容：1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷 ． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器．一、选择题：以下每小题均有A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1．下列各数为负数的是（A ）−2（B ）0（C ）3（D 52．如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（A ） （B ） （C ） （D ） 3．中国科学技术大学利用“墨子号”科学实验卫星，首次实现在地球上相距1200公里的两个地面站之间的量子态远程传输，对于人类构建全球化量子信息处理和量子通信网络迈出重要一步．1200这个数用科学记数法可表示为 （A ）0.12×104（B ）1.2×104（C ）1.2×103（D ）12×1024．如图，将菱形纸片沿着线段AB 剪成两个全等的图形，则∠1的度数是 （A ）40° （B ）60°（C ）80°（D ）100°53x 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（A ）x ≥3（B ）x ＞3（C ）x ≤3（D ）x ＜3（第2题）（第4题）2022 第2页（共6页）6．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的点，∠B ＝∠ACD ， 12AC AB ∶＝∶，则△ADC 与△ACB 的周长比是（A ）12∶ （B ）12∶（C ）13∶（D ）14∶7．某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签 方式决定每个人的出场顺序．主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽．下列说法中正确的是 （A ）小星抽到数字1的可能性最小 （B ）小星抽到数字2的可能性最大（C ）小星抽到数字3的可能性最大（D ）小星抽到每个数的可能性相同8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个 小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边 的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是 （A ）4 （B ）8（C ）12（D ）169．如图，已知∠ABC ＝60°，点D 为BA 边上一点，BD ＝10，点O 为线段BD 的中点，以点O 为圆心，线段OB 长为半径作弧，交BC 于点E ，连接DE ，则BE 的长是 （A ）5 （B ）52（C ）53（D ）5510．如图，在平面直角坐标系中有P ，Q ，M ，N 四个点，其中恰有三点在反比例函数ky x ＝（k ＞0）的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数ky x ＝的图象上的点是（A ）点P （B ）点Q（C ）点M（D ）点N11．小红在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：5，5，6，7，8，9，10．她发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（A ）5，10（B ）5，9（C ）6，8（D ）7，8（第6题）（第9题）（第10题）（第8题）2022 第3页（共6页）12．在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax +b 与y ＝mx +n （a ＜m ＜0）的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y =mx +n 的图象中，y 的值随着x 值的增大而增大；②方程组y ax b y mx n -⎧⎨-⎩＝＝的解为32x y -⎧⎨⎩＝＝；③方程mx +n ＝0的解为2x ＝； ④当x ＝0时，1ax b +-＝． 其中结论正确的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4二、填空题：每小题4分，共16分． 13．因式分解：a 2＋2a ＝ ▲ ．14．端午节到了，小红煮好了10个粽子，其中有6个红枣粽子，4个绿豆粽子．小红想从煮好的粽子中随机捞一个，若每个粽子形状完全相同，被捞到的机会相等，则她捞到红枣粽子的概率是 ▲ ．15．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”.如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x ，y 的系数与相应的常数项，即可表示方程x +4y ＝23，则表示的方程是 ▲ ．16．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，AC ＝B C ＝6cm ，∠ACB ＝∠ADB ＝90°．若BE ＝2AD ， 则△ABE 的面积是 ▲ cm 2，∠AEB ＝ ▲ 度．三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）（1）a ，b 两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“＜”或“＞”填空：a ▲ b ，ab ▲ 0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ① x 2＋2x −1＝0；② x 2−3x ＝0；③ x 2−4x ＝4；④ x 2−4＝0．（第17题）（第12题）（第16题）2022 第4页（共6页）18．（本题满分10分）小星想了解全国2019年至2021年货物进出口总额变化情况，他根据国家统计局2022年发布的相关信息，绘制了如下的统计图，请利用统计图中提供的信息回答下列问题：（1）为了更好的表现出货物进出口额的变化趋势，你认为应选择 ▲ 统计图更好（填“条形”或“折线”）；（2）货物进出口差额是衡量国家经济的重要指标，货物出口总额超过货物进口总额的差额称为货物进出口顺差，2021年我国货物进出口顺差是 ▲ 万亿元； （3）写出一条关于我国货物进出口总额变化趋势的信息． 19．（本题满分10分）一次函数3y x --＝的图象与反比例函数ky x ＝的图象相交于A （-4，m ），B （n ，-4）两点． （1）求这个反比例函数的表达式；（2）根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的x 的取值范围． 20．（本题满分10分）国发〔2022〕2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？（第18题）（第19题）2022 第5页（共6页）21．（本题满分10分）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的 垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ，点F 在DC 上， 且MF ∥AD ．（1）求证：△ABE ≌△FMN ； （2）若AB ＝8，AE ＝6，求ON 的长．22．（本题满分10分）交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪C 和测速仪E 到路面之间的距离CD ＝EF ＝7m ，测速仪C 和E 之间的距离CE ＝750m ，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C 处测得小汽车在隧道入口A 点的俯角为25°，在测速仪E 处测得小汽车在B 点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A 行驶到点B 所用的时间为38s （图中所有点都在同一平面内）． （1）求A ，B 两点之间的距离（结果精确到1m ）；（2）若该隧道限速22m/s ，判断小汽车从点A 行驶到点B 是否超速？通过计算说明理由．3.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）23．（本题满分12分）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，连接BC ．ED 垂直平分OB ，垂足为E ，且交BC 于点F ，交BC 于点P ，连接BF ，CF ． （1）求证：∠DCP ＝∠DPC ；（2）当BC 平分∠ABF 时，求证：CF //AB ；（3）在（2）的条件下，OB ＝2，求阴影部分的面积．（第21题）（第22题）（第23题）24．（本题满分12分）已知二次函数24＝．++y ax ax b（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过（1，c），（3，d），（−1，e），（−3，f ）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，（第24题）求二次函数的表达式．25．（本题满分12分）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在□ABCD中，AN为BC边上的高，AD m＝，点M在AD边上，且BA＝BM，AN点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．（1）问题解决：如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则AM＝▲；AN（2）问题探究：如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；（3）拓展延伸：当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．图①图②备用图（第25题）2022第6页（共6页）。
经典初中数学试题及答案
经典初中数学试题及答案一、选择题1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. πC. 0.33333D. √2答案：D2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A二、填空题4. 一个数的绝对值是其本身的数是________。
答案：非负数5. 如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式被称为________。
答案：三次多项式6. 一个圆的半径是5厘米，那么这个圆的面积是________。
答案：78.5平方厘米三、计算题7. 计算下列表达式的值：(1) (-2)^3(2) √(9) + √(16)答案：(1) -8(2) 58. 解下列方程：(1) 2x + 5 = 13(2) 3y - 7 = 8答案：(1) x = 4(2) y = 5四、解答题9. 一个班级有40名学生，其中男生和女生的比例是3:2。
求这个班级有多少名男生和女生？答案：男生有24名，女生有16名。
10. 一个长方体的长、宽和高分别是10厘米、8厘米和6厘米，求这个长方体的体积。
答案：长方体的体积是480立方厘米。
五、证明题11. 证明：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
证明：设直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，我们有：c^2 = a^2 + b^2六、应用题12. 某工厂生产一批零件，如果每天生产100个，需要20天完成。
现在工厂改进了生产效率，每天可以生产120个，问需要多少天可以完成？答案：需要15天可以完成。
七、综合题13. 在一个直角坐标系中，点A的坐标是(2,3)，点B的坐标是(-1,-2)，求线段AB的长度。
答案：线段AB的长度是√((2 - (-1))^2 + (3 - (-2))^2) = √(9 + 25) = √34。
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初中数学经典试题训练（四）
2013.1.30
8. 若关于x 的分式方程
23
3
x m m x x -=
--无解，则m 的值为（ ）
A.=3m
B. 3=2
m C. =1m D. 3=12
m 或
9．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，有三个正方形CDEF 、DGHK 、GRPQ ，它们分别是△ACB 、△EDB 和△HGB 的内接正方形，EF =10cm ，HK =7cm ，则第三个正方形的边长PQ 的长为（ ）．
A. 4cm
B. 5cm
C. 4.5 cm
D. 4.9 cm
10. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点E ，EC ＝2cm ，AD 上有一点P ，PA ＝6cm ，过点P 作PF ⊥AD 交BC 于点F ，将纸片折叠，使P 与E 重合，折痕交PF 于Q ，则线段PQ 的长是（ ）cm. A.4 B.4.5 C. 145
D. 146
14.若方程
12
2-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值
范围 .
15.在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于 点F,若1A E F S =△,则矩形ABCD 的面积是 . 16．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线l 1⊥x 轴于 点（1，0），直线l 2⊥x 轴于点（2，0），直线l 3⊥x 轴于 点（3，0），……直线l n ⊥x 轴于点（n ，0）．函数y =x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，……l n 分别交于A 1，A 2，A 3， ……A n; 函数y =2x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，……，l n 分别 交于点B 1，B 2，B 3，……B n 。
如果△OA 1B 1的面积记为S 1， 四边形A 1A 2B 2B 1的面积记作S 2，四边形A 2A 3B 3B 2的面积 记作S 3，……四边形A n －1A n B n B n －1的面积记作S n ，那么S 2013=__________________
F
E
D
C
B
A
（第15题） R
Q
P K
H
G F
E
D
C
B
A （第9题）
（第10题）
Q P
F
E D
C
B
A
24.(本题满分10分)
如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，6A B A D ==，D E D C ⊥交AB 于E ，DF 平分∠EDC 交BC 于F ，连结EF ．
（1）证明：E F C F =；
（2）若3A D A E =，求CF 的长．
F
D B
A E
第24题图
25. (本题满分10分)某工厂有一种材科，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂
方计划由20个工人一天内加工完成．并要求每人只加工一种配件．根据下表提供的信息。
解答下列问题：
（1
（2）如果加工每种配件的人数均不少于3人．那么加工配件的人数安排方案有几种？并写出每种安排方案．
（3）要使此次加工配件的利润最大，应采用（2）中哪种方案？并求出最大利润值．
26.（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4, 0），点B的坐标是（0, b）（b > 0）. P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C. 记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连结PP′，P′A，P′C. 设点P的横坐标为a,
（1）当b=3时，
①求直线AB的解析式；
②若点P′ 的坐标是（-1，m）,求m的值；
（2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D. 当P′D:DC=1:3时，求a的值；（3）若点P在第一象限，是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由。
第26题图
备用图
初中数学经典试题训练（四）答案
2013.1.30
8 D 9 D 10 D 14 24a a ≠-＜且 15 12 16 2012.5 24.（1）证明：过D 作DG ⊥BC 于G ．
由已知可得，四边形ABGD 为正方形． …………１分 ∵DE ⊥DC ，
∴∠ADE +∠EDG =90°=∠GDC +∠EDG ，
∴∠ADE =∠GDC ． ………………………3分 又∵∠A=∠DGC ，且AD =GD ， ∴△ADE ≌△GDC ．
∴DE =DC ，且AE =GC ． ……………………4分 在△EDF 和△CDF 中，
∠EDF =∠CDF ，DE =DC ，DF 为公共边，
∴△EDF ≌△CDF ．
∴EF =CF ． ……………………………………………6分
（2）∵AD=3AE ， ∴2
A EG C ==． ………………………………………7分 设E F x =，则88
B F
C F x
=-=-，BE =6－2=4. 由勾股定理，得 222(8)4x x =-+．
解之，得 5x =， 即5E F =．
∴CF = EF =5……………………………10分
25.解：（1）依题意得
16x+12y+10（20-x-y ）=240 2分 y=-3x+20
∴y 与x 的函数关系是：y=-3x+20 3分 （2）依题意得
33203420(203)323x 5
53
x x=3,4,5
x x x x ≥⎧
⎪
-+≥⎨
⎪---≥⎩
≤≤分
解得：分∵为正整数，∴
∴有3种安排方案：①甲3人，乙11人，丙6人；②甲4人，乙8人，丙8人 ；
③甲5人，乙5人，丙10人 6分
（3）设此次销售利润为W 元.
W=16x ·6+12(20-3x)·8+10·2x ·5 7分 =-92x+1920 8分 ∵W 随x 的增大而减小
∴x=3时 W 最大=1644元
∴要获利最大，应采用（2）中的方案①，最大利润为1644元. 10分
F
D
B
A E
第24题图
26.
(1)34,033k=
y=
x+3
4433m=
1+3m=3
4
4
A B y kx x y =+=-=⨯解：①设直线的解析式为把代入，得-4k+3=0∴∴②依题意，P 点的坐标是(1，m)∴，∴
(2)''''2a 1,=a+4
3
4a=
5P P A C P P D A C D P D P P D C C A
=∵∥∴△∽△∴即
∴
(3)'90,'''.1''21
4242
3
1'2112
2
42
A P C P A P C P H x H P P C H A H P H A C
a a a A C P A O B P H P C A C O B P C
b b O A
A C
∠=︒=⊥∴====∴=+∴=
==∴===∴= 分三种情况讨论
①若作轴于点（）
∽，即
'90,
','4a b a=
b=2a=4b=4.
3
P C A P P P C A C ∠=︒③若则点都在第一象限，与条件矛盾
∴△不可能是以为直角顶点的等腰直角三角形.∴所有满足条件的，的值为，或，'90,''2a=a+4a=4'114
4
P A C P A C A P P A C A C P A O B P A P C A C
O B P C b b O A
A C
∠=︒====∴===∴= ②若则，∴，∴△∽△，即
备用图。