圆教案24.1

24.1第一课时：圆（一）教学内容1．圆的有关概念．2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．3. 理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴一、圆的有关概念1：圆的定义:(1)画圆、描述、交流，得出圆的第一定义：定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.记作⊙O，读作“圆O”.观察：共性：这些点到O点的距离相等想一想：在平面内还有到O点的距离相等的点吗？它们构成什么图形？a 圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径的长r）；b 到定点距离等于定长的点都在圆上.定义2：圆是到定点距离等于定长的点的集合.2:点和圆的位置关系问题三：点和圆的位置关系怎样？（学生自主完成得出结论）如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：“数”“形”点在圆上d=r；点在圆内d<r；点在圆外d>r.例1已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A在⊙O________；当OP= 10cm时，点A在⊙O________；当OP=18cm时，点A在⊙O___________.例2求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.小结：要证几个点在同一个圆上，可以证明这几个点与一个定点的距离相等.3:弦，弧的概念 我们把①连接圆上任意两点的线段叫做弦②经过圆心的弦叫做直径③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作 AC ”，读作“圆弧 AC ”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示 ABC 叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示） AC 或 BC叫做劣弧．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．二、理解圆是轴对称图形，请回答下面两个问题．1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？ 2．你是用什么方法找到的？点评1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，•我能找到无数多条直径． 3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．三、垂径定理（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB，垂足为M ．下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M求证：AM=BM ， AC BC=， AD BD =. 分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中OA OBOM OM=⎧⎨=⎩ ∴Rt △OAM≌Rt △OBM∴AM=BM∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合， AC 与 BC 重合， AD 与 BD 重合． ∴ AC BC=， AD BD =例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中 CD，点O 是 CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为 CD上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径． 分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 解：如图，连接OC设弯路的半径为R ，则OF=（R-90）m∵OE ⊥CD∴CF=12CD=12×600=300（m ）根据勾股定理，得：OC 2=CF 2+OF 2即R 2=3002+（R-90）2 解得R=545 ∴这段弯路的半径为545m ．24.1 圆(第2课时)教学内容1．圆心角的概念．2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．一、圆心角的概念∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．二、有关弧、弦、圆心角关系的定理下面的定理：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等． 例1．如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF ，那么 AB 与 CD的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？D例2．如图3和图4，MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD •相交于MN •上的一点P ，•∠APM=∠CPM ．（1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．PN24.1 圆 （第3课时）教学内容：得到圆周角定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角.分析定义：○1圆周角需要满足两个条件； ○2圆周角与圆心角的区别 ①当圆心O 在圆周角∠ABC 的一边BC 上时，如图⑴所示，1一条弧上所对的圆周角有无数个．2通过度量，同弧所对的圆周角是没有变化的，同弧所对的圆周角是圆心角的一半。

2.分情况进行几何证明①当圆心O 在圆周角∠ABC 的一边BC 上时，如图⑴所示，（二）、圆周角定理及其推论1.结合圆周角的概念通过度量思考问题：○1一条弧所对的圆周角有多少个？ ②同弧所对的圆周角的度数有何关系？③同弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系吗？那么∠ABC=12∠AOC 吗？②当圆心O 在圆周角∠ABC 的内部时，如图⑵，那么∠ABC=12∠AOC 吗？③当圆心O 在圆周角∠ABC 的外部时，如图⑶，∠ABC=12∠AOC 吗？可得到：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．根据得到的上述结论，证明同弧所对的圆周角相等.得到:同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 问题：将上述“同弧”改为“等弧”结论会发生变化吗？ 总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．于是，在同圆或等圆中，两个圆心角，两个圆周角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则其它各组量都分别相等.半圆作为特殊的弧，直径作为特殊的弦，运用上述定理有什么新的结论？ 推论 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．第一课时作业设计一、选择题．1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）．A ．CE=DEB ． BCBD = C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>ADC(1) (2) (3)2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．83．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ ）A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACDC ． AD BD= D ．PO=PD 二、填空题1．如图4，AB 为⊙O 直径，E 是 BC中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____．BA(4) (5)2．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．3．如图5，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论） 三、综合提高题1．如图24-11，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，过C 、D 分别作CN ⊥CD 、DM •⊥CD ，•分别交AB 于N 、M ，请问图中的AN 与BM 是否相等，说明理由．2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．3．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=•8，•求∠DAC的度数．答案:一、1．D 2．D 3．D二、1．8 2．8 10 3．AB=CD三、1．AN=BM 理由：过点O作OE⊥CD于点E，则CE=DE，且CN∥OE∥DM．∴ON=OM，∴OA-ON=OB-OM，∴AN=BM．2．过O作OF⊥CD于F，如右图所示∵AE=2，EB=6，∴OE=2，∴OF=1，连结OD，在Rt△ODF中，42=12+DF2，3．（1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示:∵AB=16，AC=8，∴12AC=12（12AB），∴∠CAB=60°，同理可得∠DAB=30°，∴∠DAC=30°．（2）AC、AD在AB的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．第二课时作业设计一、选择题．1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等; B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）A． AB=2 CD B． AB> CD C． AB<2 CD D．不能确定3．如图5，⊙O中，如果 AB=2 AC，那么（）．A．AB=AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2ACBA(5) (6)二、填空题1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．3．如图6，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．三、解答题1．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N•在⊙O上．（1）求证： AM= BN；（2）若C、D分别为OA、OB中点，则AM MN NB==成立吗？BA2．如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求 BE的度数和 EF的度数．3．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．O第3课时作业设计◆随堂检测1、如图，点A B C ，，都在O 上，若34C =∠，则AOB ∠的度数为（ ） A 、34B 、56C 、60D 、682、如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD=40°,则∠DCF 等于（ ） A 、80° B 、50° C 、40° D 、20°3、如图，AB 是O 的直径，点C D ，是圆上两点，100AOC ∠=，则D ∠=_______.4、如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？◆典例分析A ，B 是圆O 上的两点，60AOB ∠=，C 是圆O 上不与A 、B 重合的任一点，求ACB ∠的度数是多少？分析：由于AOB ∠的度数一定，所以我们常常会认为点C 在圆O 上任意一点时，ACB ∠的度数DO CFG DE都是相等的.其实,这是没有看透题目的本质，所以导致解题过程出现漏洞.本题中,60AOB ∠=，所60 ，对应的优弧的度数应为300 .所以应有两解才对.解：分两种情况:（1）当C 点在劣弧AB 上时，如图所示，A ，B 是圆O 上两点，60AOB ∠=，AB 的度数为60，优弧AOB 的度数为300，又因为ACB ∠的度数是优弧AOB 的度数的一半，所以150ACB ∠= .（2）当点C 在优弧ADB 上时，ACB ∠=21AOB ∠=30 . 综上所述ACB ∠为30或150.◆课下作业 ●拓展提高1、如图，O 是ABC △的外接圆，已知50ABO ∠=，则ACB ∠的大小为（ ）A 、40B 、30C 、45D 、502、如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ⌒上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）A 、45°B 、60°C 、75°D 、90°3、如图，ABC △内接于O AD ，是O 的直径，30ABC ∠=，则CAD ∠=______.4、如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB ＝2cm ，CD ＝4cm ．以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且∠AOD ＝90°，求圆心O 到弦AD 的距离．AD。