数学人教版八年级上册等要三角形的性质
人教版八年级数学上册等腰三角形
学习目标
1、理解等腰三角形的性质，体会等腰三角形性质和等边 三角形性质的联系.（重点） 2、探索并掌握等边三角形性质的过程，并用以解决实际 问题.（难点）
课堂导入
思考1：如果把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？ 结论：等边三角形的三条边都相等，是一种特殊的等腰三角形.所以等边三 角形具有等腰三角形的所有性质.
新知探究
例1：如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.
证明：∵△ABC，△BDE都是等边三角形， ∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE=60°. ∵在△ABE和△CBD中，AB=CB， ∠ABE=∠CBD， BE=BD， ∴△ABE≌△CBD（SAS）. ∴AE=CD.
∵等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点, ∴CE=CD= 3 . 2
C
E
随堂练习
如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，
DF=DE，则∠E=（ A ）
A.15° B.20°
C.25°
D.30°
解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°. ∵CG=CD， ∴∠CGD =∠CDG. ∴∠ACB =∠CGD+∠CDG=2∠CDG. 同理可得∠CDG=2∠E， ∴∠ACB =4∠E=60°. ∴∠E=15°.
如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=CE，则
∠BCD+∠CBE的大小是多少？
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠A=∠ABC=60°，且AB=BC=AC.
∵在△ADC和△CEB中， AC=CB，
A
D
E
∠A=∠BCE， AD=CE， ∴△ADC≌△CEB（SAS），∠CBE=∠ACD.
2024年人教版八年级上册数学第13章第3节第1课时等腰三角形
感悟新知
知3－讲
特别提醒 1.等腰三角形的定义也是一种判定方法. 2.“等角对等边”是我们以后证明两条线段相
等的常用方法，在证明过程中，经常通过 计算三角形各角的度数，或利用角的关系 得到角相等，从而得到所对的边相等.
感悟新知
知3－讲
3. 已知底边及底边上的高作等腰三角形已知：一个等腰三 角形底边长为a，底边上的高为h(如图13 .3 -9). 求作：这个等腰三角形.
感悟新知
几何语言：如图13 .3 -3，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC，AD ⊥ BC， ∴ AD 平分∠ BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC，BD=DC， ∴ AD ⊥ BC(或AD 平分∠ BAC)； (3)∵ AB=AC，AD 平分∠ BAC， ∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)．
感悟新知
知2－练
3-1.[中考·宿迁] 如图，已知AB=AC=AD，且AD ∥ BC，求 证：∠ C=2 ∠ D．
感悟新知
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD. ∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.
知3－讲
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求 证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边” 判定等腰三角形，只需证明三 角形两个内角相等即可.
感悟新知
知3－练
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F， ∴∠ AED= ∠ CFD=9 0 °. ∵ D 为AC 的中点，∴ AD=DC.
八年级上册数学1等腰三角形(人教版)
设∠A=x，则 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x
从而 ∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°
解得x=36° 所以， 在△ABC中，∠A=36°， ∠ABC=∠C=72°
在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折 痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发 现等腰三角形具有什么特征？
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平 分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．
例 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数
∵ ∠ADB +∠ADC =180°， 例 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.
的中线．求证：∠BAD =∠CAD，AD⊥BC． 证明：作底边的中线AD．
（1）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？ 你还有其他方法证明性质1吗？
（3）已知等腰三角形的一个内角为70°,则它的另外两 探索并证明等腰三角形的性质
∴ ∠B =∠C．
Ｂ
C
D
探索并证明等腰三角形的性质
你还有其他方法证明性质1吗？ 可以作底边的高线或顶角的角平分线.
A
Ｂ
C
D
探索并证明等腰三角形的性质
性质2可以分解为三个命题，本节课证明“等腰三 角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．
探索并证明等腰三角形的性质
已知：如图，△ABC 中，AB =AC，AD 是底边BC
探索并证明等腰三角形的性质 2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等．
人教版八年级数学上册 等腰三角形的性质 讲义
等腰三角形的性质知识点一、等腰三角形的概念与性质顾名思义，至少有两边相等的三角形叫等腰三角形，这两条边就是等腰三角形的“腰”，另一边叫做“底边”腰和底边的夹角叫做“底角”，两腰的夹角叫做“顶角”如图，过等腰三角形ABC的顶点A，作垂线AD⊥BC于D，则△ADB与△ADC有什么关系？为什么？等腰三角形性质总结：1、两腰相等2、两底角相等3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（简称：三线合一）例1、等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A、50°，50°，80°B、80°，80°，20°C、100°，100°，20°D、50°，50°，80°或80°，80°，20°例2、等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ）A 、40°，40°B 、100°，20°C 、50°，50°D 、40°，40°或100°，20°例3、一个等腰三角形的一边是6，周长是12，则它的三边长分别为_____________1、已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（ ）A 、55°，55°B 、70°，40°C 、55°，55°或70°，40°D 、以上都不对2、在下列命题中，正确的是（ ）A 、等腰三角形是锐角三角形B 、等腰三角形两腰上的高相等C 、两个等腰直角三角形全等D 、等腰三角形的角平分线是中线3、已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为6cm ，则它的周长为（ ）A 、11cmB 、17cmC 、16cmD 、16cm 或17cm4、在ABC ∆中，x BC AC AB ==,，若ABC ∆的周长为24，则x 的取值范围是（）A 、121≤≤xB 、120≤<xC 、120<<xD 、126<<x5、三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形6、若△ABC三条边的长度分别为m,n,p,且()02=-+-pnnm，则这个三角形为（）A．等腰三角形 B.等边三角形C．直角三角形 D.等腰直角三角形7、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.8、有一个内角为140°的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.9、如果△ABC中，AB=AC，它的两边长为2cm和4cm，那么它的周长为________.10、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为cm10，那么它的三边长为______.11、如果等腰三角形的周长为cm18，那么它的底边x的取值范围是_______.12、已知等腰三角形的一个顶角与一个底角的和为︒110，则其顶角的度数为______.13、等边三角形的周长为cm15，则它的边长为________14、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度.15、如图，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，BD=5cm，那么BC的长为_________.16、如图，D是等腰三角形ABC的腰AC上一点，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F，若∠BDE=158°，则∠DEF=_____.17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
人教版八年级上册数学课件 第十三章轴对称 等腰三角形 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 (2)
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
(2)若∠BAD＝35°，则∠C的度数为( C )
A．35° B．45° C．55° D．65°
7．(4分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD ＝4，则△ABC的周长是__2_0_．
8．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DE⊥AB. (1)求证：∠BAD＝∠BDE； (2)若AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积．
16．(15分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是射线BC上一点，E是射 线AC上一点，且AD＝AE.
(212).如5°图 ① ， 若 ∠ BAC ＝ 90° ， D 是 BC 中 点 ， 则 ∠ EDC 的 度 数 为 _________；
(2)如图②，当点D在线段BC上时，若∠BAD＝40°，求∠EDC的度数； (3)如图③，当点D在线段BC延长线上时，试判断∠BAD和∠EDC的数 量关系，并证明．
13．(易错题)(青海中考)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内 角的度数分别为____5_5_°__，__5_5_°__或__7_0_°__，__4_0_°____________________．
【变式】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三
角形的底角的度数为___6_3_°__或__2_7_°________．
八年级数学人教版(上册)第2课时等腰三角形的判定
讲授新课
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形 的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限 于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形 中，此结论不一定成立．
侵权必究
讲授新课
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB
的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
探究EF、BE、FC之间的关系.
∴ AC=AB. ( 等角对等边 ) B
C
即△ABC为等腰三角形. 侵权必究
讲授新课
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
A 12
B
D
C
∵∠1=∠2 ,
∴ BD=DC
（等角对等边）.
C D
1
A2
B
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC （等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
侵权必究
讲授新课
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那：1.作线段AB=a. 2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB
于点D. 3.在MN上取一点C，使DC=h. 4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
C
M A DB
N
侵权必究
讲授新课
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB 边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F， 求证：△CEF是等腰三角形．
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
侵权必究
目录页
新课导入
讲授新课
当堂练习
课堂小结
侵权必究
新课导入
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
侵权必究
学习目标
探索等腰三角形的判定定理及其应用
人教版八年级数学上册等腰三角形的性质优秀
21
思考、应用2
已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°， AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数。
22
一.基本概念
等边三角形
1.定义: 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
如图AB=AC=BC ,△AB,C就是等边(正三三角角形 形)
A
2.等边三角形的基本性质:
三条边都相等。即AB=AC=BC
A
证明: 作顶角的平分线AD，
则有∠1＝∠2
12
在△ABD和△ACD中
AB＝AC ∠1＝∠2
BD C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SAS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
人教版八年级数学上册等腰13三.3角.1形等的腰性三质角优形秀的p性pt质 课件(共26张PPT)
人教版八年级数学上册等腰13三.3角.1形等的腰性三质角优形秀的p性pt质 课件(共26张PPT)
变式１．已知，在△ABC中，AB＝AC， ∠A＝80º，求∠C和∠B的度数.
变式2．已知，在△ABC中，AB＝AC，
底角比顶角大15º，
A
求∠A、∠B 和∠C
的度数.
B
C
19
例2
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点， ∠B=30。求∠ADC 和∠１的度数．
（1）∵ AB=AC，BD=DC（已知）
图片欣赏
人教版八年级数学上册等腰13三.3角.1形等的腰性三质角优形秀的p性pt质 课件(共26张PPT)
（二）回顾定义，引出新知
定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
顶角
人教版八年级数学上册等腰13三.3角.1形等的腰性三质角优形秀的p性pt质 课件(共26张PPT)
八年级数学人教版(上册)第1课时等腰三角形的性质
证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线，
∴ DBC 1 ABC，ECB 1 ACB，
2
2
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，
∴EC∥DF. 侵权必究
当堂练习
7.A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方 形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点 的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
侵权必究
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
侵权必究
当堂练习
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ B ）
A．30°，60°
B．45°，45°
C．45°，90°
D．20°，70°
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，
若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ A ） A．40° B．30° C．70° D．50°
侵权必究
讲授新课
(1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴
∠C＝∠ABC
＝ ＝
112(1(18800°－°－50°)＝∠6A5)°.
2
(2)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴ED⊥BC，
又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
B
C
∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
归纳 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用
方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
侵权必究
讲授新课
如图，在△ABC中，AB=AD=DC， ∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数. 解：∵AB=AD=DC
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等腰三角形教学设计
教材分析
1．本小节内容安排在第十四章“轴对称”的第三节。
等腰三角形是一种特殊的三角形，它是轴对称图形，可以借助轴对称变换来研究等腰三角形的一些特殊性质。
这一节的主要内容是等腰三角形的性质与判定，以及等边三角形的相关知识，重点是等腰三角形的性质与判定，它是研究等边三角形，是证明线段相等角相等的重要依据，这也是全章的重点之一。
2．本节重在呈现一个动手操作得出概念、观察实验得出性质、推理证明论证性质的过程，学生通过学习，既体会到一个观察、实验、猜想、论证的研究几何图形问题的全过程，又能够运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力。
学情分析
1．学生在此之前已接触过等腰三角形，具有运用全等三角形的判定及轴对称的知识和技能，本节教学要突出“自主探究”的特点，即教师引导学生通过观察、实验、猜想、论证，得出等腰三角形的性质，让学生做学习的主人，享受探求新知、获得新知的乐趣。
2．在与等腰三角形有关的一些命题的证明过程中，会遇到一些添加辅助线的问题，这会给学生的学习带来困难。
另外，以前学生证明问题是习惯于找全等三角形，形成了依赖全等三角形的思维定势，对于可直接利用等腰三角形性质的问题，没有注意选择简便方法。
教学目标
知识技能：1、理解掌握等腰三角形的性质。
2、运用等腰三角形的性质进行证明和计算。
数学思考：1、观察等腰三角形的对称性，发展形象思维。
2、通过时间、观察、证明等腰三角形性质，发展学生合情推理能力和演绎推理能
力。
情感态度：引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
教学重点和难点
重点：等腰三角形的性质及应用。
难点：等腰三角形的性质证明。
教学过程
教学环节
教师活动预设学生行为设计意图
【活动1】
实践观察，认识等腰三角形出示问题：
（1）把一张长方形的纸片对折，并剪下阴
影部分（如教科书图12.3-1），再把它展开，
得到一个什么图形？
（2）上述过程中得到的△ABC有什么特
点？分别说出它的边、角名称。
教师在学生观察的同时提出问题，在学生充
分发表自己的看法基础上画出图形，介绍
腰、底、顶角、底角。
学生动手剪纸，观察
积极发表自己的看法
为学生提供参与
数学活动的时间
和空间，调动学
生的主观能动
性，激发好奇心
和求知欲
【活动2】探索等腰三角形的性质出示问题：
（1）活动1中剪出的等腰三角形是轴对称
图形吗？把它沿折痕对折，找出其中重合的
线段和角，填空：
相等的线段：
相等的角：
（2）你能猜一猜等腰三角形有什么性质
吗？
教师在学生的猜想基础上引导学生观察、完
善，归纳出性质1、性质2.
本次活动过程中，教师应重点关注：
（1）学生能否从轴对称的概念出发折纸判
定：
（2）学生能否有规范清晰的数学语言说出
自己的猜想；
（3）学生能否归纳全面；
（4）学生在活动和交流中表现出来的参与
意识
动手折纸，观察，完
成填空
各抒己见，说出自
己的猜想
通过学生观察，
教师的引导，归
纳出等腰三角形
的两条性质，在
这个过程中培养
学生自主探究学
习的品质
【活动3】等腰三角形性质定理的证明出示问题
（1）性质1的条件和结论分别是什么？
（2）用数学符号如何表达条件和结论？
（3）如何证明？
教师纠正和补充学生的发言，引导学生利用
全等三角形的性质，根据对称性寻找辅助线
的添加方法。
板书证明过程
（4）受性质1证明的启发，你能证明性质2
吗？
本次活动中，教师应关注：
（1）学生语言的规范性；
（2）学生的应用意识，模仿能力；
（3）学生在活动中发发表个人见解的勇气。
学生分析性质1的条
件和结论，并转换成
数学符号
学生证明
学生模仿证明性质2
培养学生的语言
转换能力，增强
理性认识，体验
性质的正确性，
提高演绎推理的
能力
【活动4】等腰三角形性质定理的运用出示问题
（1）如果等腰三角形的顶角是36°，那么它
的底角的度数是。
（2）在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，
AD是BC边上的高，则∠BAD= ，BD
= 。
=
教师评判
（3）如图，在△ABC中，AB=AC,点D在
AC上，且BD=BC=AD,求∠ABC各角的度
数。
教师参与讨论，认真听取学生的分析，引导
学生找出角的关系，书写解答过程。
本次活动中，教师应关注：
（1）学生能否正确运用等腰三角形的性质
解决问题；
（2）学生应用所学知识的应用意识。
学生独立思考解决问
题（1）（2）
学生讨论问题（3）
培养学生正确运
用所学知识的应
用能力，增强应
用意识，参与意
识，巩固所学性
质
【活动5】反馈练习出示练习
（1）等腰三角形一个角是36°，它的另外两
个角是。
（2）等腰三角形一个角是110°，它的另外
两个角是。
（3）如图，在△ABC中，AB=AD=DC,
∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数。
教师指导，给出答案。
本次活动中，教师应重点关注：
（1）学生能否正确应用等腰三角形的性质；
（2）学生是否注意到等腰三角形的底角一
定是锐角；
（3）学生是否注意到可能的多种情况。
学生思考，练习
及时巩固所学知
识，了解学生学
习效果，增强学
生应用知识的能
力，同时培养学
生分类讨论的思
想
【活动6】小结与作业：
这节课我们主要学习了什么内容？有哪些收获？教师与学生共同回顾性质，归纳常用辅助线
的添加方法。
教师应关注：
（1）等腰三角形学生的运用；
（2）辅助线的添加；
教师与学生共同回顾
性质，说出收获
巩固学生所学知
识，总结反思，
通过课后独立思
考，自我评价学
习效果。