八年级数学上册三角形难题
超难题系列：八年级上册数学《三角形》21道超难题
超难题系列八年级上册数学《三角形》21道超难题一．选择题（共1小题）1．（2020春•南岗区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD、CF，若∠CFE=32°，∠ADB=45°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°二．解答题（共21小题）2．（2021春•江都区期中）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A=80°，∠B=45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC=140°，求∠A的度数；【延伸推广】线所在的直线交于点P．若∠A=m°（m>54），∠B=54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）3．（2021•香洲区校级模拟）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）4．（2019秋•揭阳期末）探究与发现：如图①，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED，连接DE．（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．（3）深入探究：如图②，若∠B=∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．5．（2019秋•长葛市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数．（2）当点P在线段AD上运动时，设∠B=α，∠ACB=β（β>α），求∠E的大小．（用含α、β的代数式表示）6．（2019秋•辽阳期末）已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC=α．（1）当α=40°时，∠BPC= °，∠BQC= °；（2）当α= °时，BM∥CN；（3）如图②，当α=120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；（4）在α>60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：．7．（2019春•高邑县期末）如图，点C、D分别在∠AOB的OA、OB边上运动（不与点O重合）．射线CE与射线DF分别在∠ACD和∠CDO内部，延长EC与DF交于点F．（1）若∠AOB=90°，CE、DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线，猜想：∠F的度数是否随C，D的运动发生变化？请说明理由．（2）若∠AOB=α°（0<α<180），∠ECD=1 /n ∠ACD，∠CDF=1/n ∠CDO，则∠F= °．（用含α、n的代数式表示）8．（2019春•芙蓉区校级期中）在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．（1）如图，点D在线段BC上．①若∠B=70°，∠C=30°，则∠DAE= ；②若∠B=α，∠C=β，则∠DAE= ．（用含α、β的代数式表示）（2）如图2，若点D在边CB的延长线上时，若∠ABC=α，∠C=β，写出∠DAE与α、β满足的数量关系式，并说明理9．（2018春•南安市期末）阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．（Ⅰ）问题引入：如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=70°，则∠BOC= 度；若∠A=α，则∠BOC= （用含α的代数式表示）；（Ⅱ）类比探究：如图②，在△ABC中，∠CBO=1/3 ∠ABC，∠BCO=1/3 ∠ACB，∠A=α．试探究：∠BOC与∠A的数量关系（用含α的代数式表示），并说明理由．如图③，BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=1/n ∠DBC，∠BCO=1/n∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用含α、n的代数式表示）．10．（2018春•镇平县期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，a=4，b=6，设三角形的周长是x．（1）直接写出c及x的取值范围；（2）若x是小于18的偶数①求c的长；②判断△ABC的形状．11．（2017秋•开江县期末）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，则∠BEC= ；若∠A=a°，则∠BEC= ．【探究】（1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=a°，（2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；（3）如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．12．（2021春•镇江期末）直线AB、CD为平面内两条直线，点M、点N分别在直线AB、CD上，点P（P不在直线AB、CD上）为平面内一动点．（1）如图1，若AB、CD相交于点O，∠MON=40°；①当点P在△OMN内部时，求证：∠MPN-∠OMP-∠ONP=40°；②小芳发现，当点P在∠MON内部运动时，∠MPN、∠OMP、∠ONP还存在其它数量关系，这种数量关系是；③探究，当点P在∠MON外部时，∠MPN、∠OMP、∠ONP之间的数量关系共有种；（2）如图2，若AB∥CD，请直接写出∠MPN与∠AMP、∠CNP之间存在的所有数量关系是．13．（2021春•永嘉县校级期中）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：；（3）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= 度（4）如图3所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．14．（2021春•安丘市期末）如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=40°，∠C=70°．（1）求∠DAE的度数；（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数．15．（2020秋•椒江区校级月考）在一个钝角三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如图，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．（1）∠ABO的度数为°，△AOB （填“是”或“不是”）“智慧三角形”；（2）若∠OAC=20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．（直接写出答案）模型：角平分线模型16．（2020秋•阜平县期中）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相17．（2019春•庐江县期末）已知：三角形ABC和同一平面内的点D．（1）如图1，点D在BC边上，DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．若∠EDF=85°，则∠A的度数为°．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF=∠A，证明：DE∥BA．（3）如图3，点D是三角形ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E，DF∥CA交直线AB于F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．18．（2019春•新华区校级期末）直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，①当∠ABO=60°时，求∠AEB的度数；②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．19．（2018秋•崇左期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．（1）如图（1）若∠BOD=35°，求∠AOC的度数，若∠AOC=135°，求∠BOD的度数．（2）如图（2）若∠AOC=150°，求∠BOD的度数．（3）猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并结合图（1）说明理由．（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°<∠AOD<90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．20．（2019春•永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．（3）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．21．（2019春•潍坊期末）△ABC中，∠C=80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在边AB上，且∠α=50°，如图1，则∠1+∠2= ；（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为．（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由22．（2019春•城厢区校级期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP 上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF= °；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．。
人教版八年级数学上册全等三角形典型6类难题题型归类
人教版八年级数学上册 全等三角形 典型6类难题题型归类一、角平分线型角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线 。
（1）构造全等三角形1. 如图，在Δ ABC 中， D 是边 BC 上一点， AD 平分∠ BAC ，在 AB 上截取 AE=AC ，连结 DE ，已知 DE=2cm ， BD=3cm ，求线段 BC 的长。
2. 已知：如图所示， BD 为∠ ABC 的平分线， AB=BC ，点 P 在 BD 上， PM ⊥ AD 于 M ， •PN ⊥ CD 于 N ，判断 PM 与 PN 的关系．PD A C M N思路：截取构造全等三角形思路：构造全等三角形3. 已知：如图 E 在△ ABC 的边 AC 上，且∠ AEB= ∠ ABC 。
(1) 求证：∠ ABE= ∠ C ；(2) 若∠ BAE 的平分线 AF 交 BE 于 F ， FD ∥ BC 交 AC 于 D ，设 AB=5 ， AC=8 ，求 DC 的长。
4、 如图所示，已知∠ 1= ∠ 2 ， EF ⊥ AD 于 P ，交 BC 延长线于 M ，求证： 2 ∠ M= （∠ ACB- ∠ B ）5、 如图，在△ ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、 CE 分别平分∠ BAC 、∠ ACB ， 求证： AC=AE+CD ．思路： 外角的性质+代数思想 思路：（1）三角形内角和+等量代换 （2）构造全等三角形6、如下图，已知在四边形ABCD 中，BC ＞AB,AD=CD,BD 平分∠ABC.求证:∠A ＋∠C=180°.（可转化为证明一个角是另一个角的邻补角）7、如下图，已知在△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE.求证：CE=1/2BD.思路：1. 构造全等（角平分线添加辅助线）2. 内角平分线形成的∠A0C=思路：构造全等（角平分线添加辅助线）（1）向两边作垂线（2）翻折(截取)构造全等 思路：构造全等(角平分线添加辅助线)（3）“角平分线+垂直”构造等腰三角形二、中点型由中点应产生以下联想：1、利用中心对称图形构造 8 字型全等三角形2 、想到中线，倍长中线1、如图 , 已知 : AD 是 BC 上的中线 , 且 DF=DE ．求证 :BE ∥ CF ．思路：构造 8 字型全等三角形2 、如图，△ ABC 中， D 是 BC 的中点， DE ⊥ DF ，试判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论。
初中八上三角形难题
1、已知：如图，△ABC 中，D 是AB 上除顶点外的一点. 求证：AB+AC>DB+DC2、已知：如图，点P 为△ABC 内任一点.求证：PA+PB+PC>21(AB+BC+AC). 3、 已知：如图，D 、E 是△ABC 内的两点.求证：AB+AC>BD+DE+EC.4、如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，AD =AC =BD ，∠BAC =63°， 求∠DAC 的度数.5、如图△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别为BC 、AC 边上的点，且AD=AE ，连结DE ，当22oBAD ∠=时，求EDC ∠的度数.6、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 交AB 于E ，交AC 于F ，交BC 的延长线于H ．求证：∠H ＝21（∠ACB －∠B ）．D C B A 1题图 P C B A 2题图E D C BA 3题图B 7平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． 7、（1）如图a ，若AB ∥CD ，点P 在AB 、CD 外部，则有∠B=∠BOD ，又因∠BOD 是△POD 的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D ，得∠BPD=∠B-∠D ．将点P 移到AB 、CD 内部，如图b ，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD 、∠B 、∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b 中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，如图c ，则∠BPD ﹑∠B ﹑∠D ﹑∠BQD 之间有何数量关系？（不需证明）； （3）根据（2）的结论求图d 中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数．8、如图，已知△ABC ，D 为AB 边上一点，∠BDC=∠ACB ，过点D 作直线DF ， (1) 若DF ∥AC ，判断∠FDA 与∠BCD 之间存在的数量关系，并证明； (2)若将直线DF 绕这点D 旋转(不含与AB 、CD 重合的情况)点H ，判断∠ADH 、∠AHD 、∠BCD 之间存在的数量关系并证明.自己画图）9、△ABC 中，∠BAC ＝∠ACB ．(1)如图，E 是AB 延长线上一点，连结CE ，∠BEC 的平分线交BC 于点D ，交AC 于点P ．求证：∠CPD ＝90°－21∠BCE ；(2)若E 是射线BA 上一点(E 不与A 、B 重合)，连结CE ， ∠BEC 的平分线所在直线交BC 于点D ，交CA 所在直线 于点P ．∠CPD 与∠BCE 有什么关系?请画出图形，给出 你的结论，并说明理由．A BP D Q C 图c F A B P D C 图b P A BD C 图a OFOF E C B A10、（1）已知：如图，△ABC 中，∠ABC= 50o ，∠ACB=70o ，D 为边BC 上一点（D 与B 、C 不重合），连接AD ，∠ADB 的平分线所在直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ．求证：2∠AED －∠CAD=170o ．（2）若∠ABC=∠ACB=n o ，且D 为射线CB 上一点，（1）中其他条件不变，请直接写出∠AED 与∠CAD 的数量关系（用含n o 的式子表示）． 。
八年级数学上册全等三角形难题模型题精选强化(解析版)
八年级数学上册全等三角形难题模型题精选强化（解析版）一、手拉手模型强化1.（难度★）如图，DAC ∆和EBC ∆均是等边三角形，A 、C 、B 三点共线，AE 与BD 相交于点P ，AE 与BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：①ACE DCB ∆≅∆；②60DPA ∠=︒；③AC DN =；④EM BN =；⑤//DC EB ，其中正确结论是 （填序号）．【解答】解：DAC ∆和EBC ∆都是等边三角形，60ACD BCE ∴∠=∠=︒，120ACE DCB ∴∠=∠=︒，在ACE ∆与DCB ∆中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE DCB SAS ∴∆≅∆，故①正确；AEC DBC ∴∠=∠，60ECB ∠=︒，60EAC AEC ECB ∴∠+∠=∠=︒，60APD EAC ABP EAC AEC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，故②正确；ACE DCB ∆≅∆，CAM CDN ∴∠=∠，在ACM ∆与DCN ∆中，60CAM CDN AC DCACM DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()ACM DCN ASA ∴∆≅∆，DN AM ∴=，同理可得EM BN =，故④正确；在AMC ∆中，AMC MCN ∠>∠，180180606060MCN ACD BCE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，60ACM ∠=︒，AMC ACM ∴∠>∠，AC AM ∴>，AC DN ∴≠，故③错误；60DCE BEC ∠=∠=︒，//CD BE ∴，故⑤正确；故答案为：①②④⑤．2.（难度★★）如图，ABC ∆和EBD ∆中，90ABC DBE ∠=∠=︒，AB CB =，BE BD =，连接AE ，CD ，AE 与CD 交于点M ，AE 与BC 交于点N ．（1）求证：AE CD =；（2）求证：AE CD ⊥；（3）连接BM ，有以下两个结论：①BM 平分CBE ∠；②MB 平分AM D ∠．其中正确的有 （请写序号，少选、错选均不得分）．【解答】（1）证明：ABC DBE ∠=∠，ABC CBE DBE CBE ∴∠+∠=∠+∠，即ABE CBD ∠=∠，在ABE ∆和CBD ∆中，AB CB ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE CBD ∴∆≅∆，AE CD ∴=．（2）ABE CBD ∆≅∆，BAE BCD ∴∠=∠，180NMC BCD CNM ∠=︒-∠-∠，180ABC BAE ANB ∠=︒-∠-∠，又CNM ANB ∠=∠，90ABC ∠=︒，90NMC ∴∠=︒，AE CD ∴⊥．（3）结论：②理由：作BK AE ⊥于K ，BJ CD ⊥于J ．ABE CBD ∆≅∆，AE CD ∴=，ABE CDB S S ∆∆=， ∴1122AE BK CD BJ =， BK BJ ∴=，作BK AE ⊥于K ，BJ CD ⊥于J ，BM ∴平分AMD ∠．不妨设①成立，则CBM EBM∆≅∆，则AB BD =，显然不可能，故①错误．故答案为②．二、角平分线性质强化3.（难度★）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E．若BD=√2，则CD的长为2．【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，在Rt△BED中，∠B＝45°，∴2DE2＝BD2＝（√2）2＝2，∴DE2＝1，∴DF＝DE＝1，在Rt△CDF中，∠C＝30°，∴CD＝2DF＝2，故答案为：2．⊥，4．（难度★）如图，点P在MAN∠的角平分线上，点B，C分别在AM，AN上，作PR AMABP ACP∠+∠=︒，则下面三个结论：⊥，垂足分别是R，S．若180PS AN①AS AR=；②//PC AB；③BRP CSP∆≅∆．其中正确的是()A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 【解答】解：点P 在MAN ∠的角平分上，PR AM ⊥，PS AN ⊥，PR PS ∴=，90ARP ASP ∠=∠=︒，∴在Rt APR ∆和Rt APS ∆中，AP AP PR PS =⎧⎨=⎩， Rt APR Rt APS(HL)∴∆≅∆，AS AR ∴=，故①正确；180ABP ACP ∠+∠=︒，ABP PCS ∴∠=∠，又PR PS =，90PRB PSC ∠=∠=︒，()BRP CSP AAS ∴∆≅∆，故③正确；若MAP CPA ∠=∠，则//PC AB ，则需要AC PC =得出PAN CPA ∠=∠，从而根据MAP PAN ∠=∠，得出MAP CPA ∠=∠，而题中没有条件说明AC PC =，故②错误；故选：C ．5．（难度★）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，CE AD ⊥，垂足为F ．若30CAB ∠=︒，55B ∠=︒，则BDE ∠的度数为( )A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒【解答】解：30CAB ∠=︒，55B ∠=︒，180305595ACB ∴∠=︒-︒-︒=︒，CE AD ⊥，90AFC AFE ∴∠=∠=︒， AD 是ABC ∆的角平分线，130152CAD EAD ∴∠=∠=⨯︒=︒， 又AF AF =，()ACF AEF ASA ∴∆≅∆AC AE ∴=，AD AD =，CAD EAD ∠=∠，ACD AED ∴∆≅∆ ()SAS ，DC DE ∴=，DCE DEC ∴∠=∠，901575ACE ∠=︒-︒=︒，957520DCE DEC ACB ACE ∴∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒，202040BDE DCE DEC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：B ．6．（难度★）已知OM 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OM 上一点，点C 、D 分别在射线OA 、OB 上，连接PC 、PD ．（1）如图①，当PC ⊥OA ，PD ⊥OB 时，则PC 与PD 的数量关系是 PC ＝PD ．（2）如图②，点C 、D 在射线OA 、OB 上滑动，且∠AOB ＝90°，当PC ⊥PD 时，PC 与PD 在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．【解答】解：（1）PC＝PD，理由：∵OM是∠AOB的平分线，∴PC＝PD（角平分线上点到角两边的距离相等），故答案为：PC＝PD；（2）证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，∴∠PEC＝∠PFD＝90°，∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF，在△PCE和△PDF中{∠PPP=∠PPP PPPP=PPPP PP=PP，∴△PCE≌△PDF（AAS），∴PC＝PD．7．（难度★）如图，90ACB∠=︒，AC CD=，过点D作AB的垂线交AB的延长线于点E．若2AB DE=，则BAC∠的度数为()A ．45︒B ．30︒C ．22.5︒D ．15︒【解答】解：连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，90ACB ∠=︒，AC CD =，45DAC ADC ∴∠=∠=︒， 90ACB ∠=︒，DE AB ⊥，90DEB ACB DCM ∴∠=︒=∠=∠，ABC DBE ∠=∠，∴由三角形内角和定理得：CAB CDM ∠=∠，在ACB ∆和DCM ∆中CAB CDM AC CDACB DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ACB DCM ASA ∴∆≅∆，AB DM ∴=，2AB DE =，2DM DE ∴=，DE EM ∴=，DE AB ⊥，AD AM ∴=，114522.522BAC DAE DAC ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，故选：C．8．（难度★）在ABC∠=，ACB∠的平分线交AB于D，AE平分BAC∠=︒，AB ACBAC∆中，120交BC于E，连接DE，DF BC∠=30︒．⊥于F，则EDC【解答】解：过D作DM AC⊥，⊥交CA的延长线于M，DN AECD平分ACB∠，∴=，DF DMBAC∠=︒，120DAM∴∠=︒，60AE平分BAC∠，BAE∴∠=︒，60∴∠=∠，DAM BAE∴=，DM DNDF BC⊥，∠，DE∴平分AEB=，AE平分BAC∠交BC于E，AB AC∴⊥，AE BC∴∠=︒，90AEB∴∠=︒，DEF45B ACB∠=∠=︒，30DCF∴∠=︒，15∴∠=︒，EDC30故答案为：30．9．（难度★★）已知：点O 到ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线的距离相等，且OB OC =．（1）如图1，若点O 在边BC 上，求证：AB AC =；（2）如图2，若点O 在ABC ∆的内部，求证：AB AC =；（3）若点O 在ABC ∆的外部，AB AC =成立吗？请画出图表示．【解答】（1）证明：过点O 分别作OE AB ⊥于E ，OF AC ⊥于F ， 由题意知，在Rt OEB ∆和Rt OFC ∆中OB OC OE OF =⎧⎨=⎩， Rt OEB Rt OFC(HL)∴∆≅∆，ABC ACB ∴∠=∠，AB AC ∴=；（2）过点O 分别作OE AB ⊥于E ，OF AC ⊥于F ， 由题意知，OE OF =．90BEO CFO ∠=∠=︒，在Rt OEB ∆和Rt OFC ∆中OB OC OE OF =⎧⎨=⎩， Rt OEB Rt OFC(HL)∴∆≅∆，OBE OCF ∴∠=∠，又OB OC =，OBC OCB ∴∠=∠，ABC ACB ∴∠=∠，AB AC ∴=；（3）不一定成立，当A ∠的平分线所在直线与边BC 的垂直平分线重合时AB AC =，否则AB AC ≠．（如示例图）三、割补法强化10．（难度★）如图，在△ABC 和△DBC 中，∠A ＝40°，AB ＝AC ＝2，∠BDC ＝140°，BD ＝CD ，以点D 为顶点作∠MDN ＝70°，两边分别交AB ，AC 于点M ，N ，连接MN ，则△AMN 的周长为 4 ．【解答】解：延长AC 至E ，使CE ＝BM ，连接DE ．∵BD ＝CD ，且∠BDC ＝140°，∴∠DBC ＝∠DCB ＝20°，∵∠A ＝40°，AB ＝AC ＝2，∴∠ABC ＝∠ACB ＝70°，∴∠MBD ＝∠ABC +∠DBC ＝90°，同理可得∠NCD ＝90°，∴∠ECD ＝∠NCD ＝∠MBD ＝90°，在△BDM 和△CDE 中，{PP =PPPPPP =PPPP PP =PP，∴△BDM ≌△CDE （SAS ），∴MD ＝ED ，∠MDB ＝∠EDC ，∴∠MDE ＝∠BDC ＝140°，∵∠MDN ＝70°，∴∠EDN ＝70°＝∠MDN ，在△MDN 和△EDN 中，{PP =PPPPPP =PPPP PP =PP，∴△MDN ≌△EDN （SAS ），∴MN ＝EN ＝CN +CE ，∴△AMN 的周长＝AM +MN +AN ＝AM +CN +CE +AN ＝AM +AN +CN +BM ＝AB +AC ＝4；故答案为：4．11．（难度★）在MAN ∠内有一点D ，过点D 分别作DB AM ⊥，DC AN ⊥，垂足分别为B ，C ．且BD CD =，点E ，F 分别在边AM 和AN 上．（1）如图1，若BED CFD ∠=∠，请说明DE DF =；（2）如图2，若120BDC ∠=︒，60EDF ∠=︒，猜想EF ，BE ，CF 具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【解答】解：（1）DB AM ⊥，DC AN ⊥，90DBE DCF ∴∠=∠=︒，在BDE ∆和CDF ∆中，,,,BED CFD DBE DCF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDE CDF AAS ∴∆≅∆．DE DF ∴=；（2）EF FC BE =+，理由：过点D 作CDG BDE ∠=∠，交AN 于点G ，在BDE ∆和CDG ∆中，EBD GCD BD CDBDE CDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()BDE CDG ASA ∴∆≅∆，DE DG ∴=，BE CG =．120BDC ∠=︒，60EDF ∠=︒，60BDE CDF ∴∠+∠=︒．60FDG CDG CDF ∴∠=∠+∠=︒，EDF GDF ∴∠=∠．在EDF ∆和GDF ∆中，DE DG EDF GDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆≅∆．EDF GDF SAS()∴=，EF GF∴=+=+．EF FC CG FC BE12．（难度★）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，且CE＝BD，连接DE交BC于点F．（1）求证：EF＝DF；（2）过点D作DG⊥BC，垂足为G，求证：BC＝2FG．【解答】证明：（1）过点D作DH∥AC，DH交BC于H，如图1所示：则∠DHB＝∠ACB，∠DHF＝∠ECF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠DHB，∴BD＝HD，∵CE＝BD，∴HD＝CE，在△DHF 和△ECF 中，{∠PPP =∠PPPPPPP =PPPP PP =PP，∴△DHF ≌△ECF （AAS ），∴EF ＝DF ；（2）如图2，由（1）知：BD ＝HD ，∵DG ⊥BC ，∴BG ＝GH ，由（1）得：△DHF ≌△ECF ，∴HF ＝CF ，∴GH +HF =12BH +12CH =12BC ，∴BC ＝2FG ．13．（难度★★）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝∠ACB ，CE 是高，且∠ECA ＝36°，平面内有一异于点A ，B ，C ，E 的点D ，若△ABC ≌△CDA ，则∠DAE 的度数为 117°、27°、9°和81° ．【解答】解：如图：∵在△ABC中，AB＝AC，CE是高，且∠ECA＝36°，∴∠BAC＝54°，∠ACB＝∠ABC＝63°，∵△ABC≌△CDA，∴∠CAD＝∠ACB＝63°，∴∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝63°+54°＝117°，同理，∠DAE＝9°，当△ABC为钝角三角形时，∵在△ABC中，AB＝AC，CE是高，且∠ECA＝36°，∴∠EAC＝54°，∠ACB＝∠ABC＝27°，∵△ABC≌△CDA，∴∠CAD＝∠ACB＝27°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝54°﹣27°＝27°，同理可得：∠DAE＝81°．故答案为：117°、27°、9°和81°．14．（难度★）如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝10或20时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．【解答】解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°，∴∠C＝∠PAQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝10时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，{PP=PP，PP=PP∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当AP＝CA＝20时，在△ABC和△PQA中，{PP=PP，PP=PP∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝10或20时，△ABC与△APQ全等；故答案为：10或20．四、综合运用强化15.（难度★）如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为（）A ．8B ．6C ．5D ．4【解答】解：∵BE 和CE 分别平分∠ABC 和∠BCD ，∴∠EBC =12P ABC ，∠ECB =12P DCB ，∵AB ∥CD ，∴∠ABC +∠DCB ＝180°，∴∠EBC +∠ECB =12×180°=90°，∴∠BEC ＝180°﹣（∠EBC +∠ECB ）＝90°，要使PE 取最小值，只要BC 最小即可，此时BC ⊥AB ，BC ⊥CD ，∠PBE ＝∠PCE ＝45°，∴BE ＝CE ，即△CEB 是等腰直角三角形，当PE ⊥BC 时，PE 最短，∴P 为BC 的中点，∵∠BEC ＝90°，∴PE =12BC ，当BC ⊥CD 时，BC 最小，此时BC ＝AD ＝8，∴PE 最小值是12×8＝4，故选：D ．16．（难度★）如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE BC ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F ，连接E ，F ．给出下列五个结论：①AP EF =；②PD EC =；③PFE BAP ∠=∠；④APD ∆一定是等腰三角形；⑤AP EF ⊥．其中正确结论的序号是 ①③⑤ ．【解答】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．四边形ABCD是正方形．ABP CBD∴∠=∠又NP AB⊥，PE BC⊥，∴四边形BNPE是正方形，ANP EPF∠=∠，NP EP∴=，AN PF∴=在ANP∆与FPE∆中，NP EPANP EPFAN PF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ANP FPE SAS∴∆≅∆，AP EF∴=，PFE BAP∠=∠（故①③正确）；APN∆与FPM∆中，APN FPM∠=∠，NAP PFM∠=∠90PMF ANP∴∠=∠=︒AP EF∴⊥，（故⑤正确）；P是BD上任意一点，因而APD∆是等腰三角形和PD EC=不一定成立，（故②④错误）；故正确的是：①③⑤．故答案为：①③⑤17．（难度★）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE 交AC 于点F ．（1）若∠B ＝70°，求∠C 的度数；（2）若AE ＝AC ，AD 平分∠BDE 是否成立？请说明理由．【解答】解：（1）∵∠B ＝70°，AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠B ＝70°，∵∠B +∠BAD +∠ADB ＝180°，∴∠BAD ＝40°，∵∠CAE ＝∠BAD ，∴∠CAE ＝40°，∵AE ∥BC ，∴∠C ＝∠CAE ＝40°；（2）AD 平分∠BDE ，理由是：∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD +∠CAD ＝∠CAE +∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，{PP =PP PPPP =PPPP PP =PP，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）∴∠B ＝∠ADE ，∵∠B ＝∠ADB ，∴∠ADE ＝∠ADB ，即AD 平分∠BDE ．18．（难度★★）如图，四边形ABDC 中，对角线AD 平分BAC ∠，136ACD ∠=︒，44BCD ∠=︒，则ADB ∠的度数为( )A ．54︒B ．50︒C ．48︒D ．46︒【解答】解：如图所示，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，DF DE ∴=，又136ACD ∠=︒，44BCD ∠=︒，92ACB ∴∠=︒，44DCF ∠=︒，CD ∴平分BCF ∠，又DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ，DF DG ∴=，DE DG ∴=，BD ∴平分CBE ∠，12DBE CBE ∴∠=∠， AD 平分BAC ∠，12BAD BAC ∴∠=∠， 111()9246222ADB DBE BAD CBE BAC ACB ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒， 故选：D ．19．（难度★★）如图，已知等边三角形ABC ，点D 为线段BC 上一点，以线段DB 为边向右侧作DEB ∆，使DE CD =，若ADB m ∠=︒，(1802)BDE m ∠=-︒，则DBE ∠的度数是( )A ．(60)m -︒B ．(1802)m -︒C ．(290)m -︒D ．(120)m -︒【解答】解：如图，连接AE ．ABC ∆是等边三角形，60C ABC ∴∠=∠=︒，ADB m ∠=︒，(1802)BDE m ∠=-︒，180ADC m ∴∠=︒-︒，180ADE m ∠=︒-︒，ADC ADE ∴∠=∠，AD AD =，DC DE =，()ADC ADE SAS ∴∆≅∆，60C AED ∴∠=∠=︒，DAC DAE ∠=∠，DEA DBA ∴∠=∠，1802BDE BAE m ∴∠=∠=︒-，AE AC AB ==，1(1801802)2ABE AEB m m ∴∠=∠=︒-︒+=， (60)DBE ABE ABC m ∴∠=∠-∠=-︒，故选：A ．20．（难度★★）如图，等腰直角ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，ABC ∠的平分线分别交AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，延长AM 交BC 于点N ，连接DM ，NE ．下列结论：①AE AF =；②AM EF ⊥；③AEF ∆是等边三角形；④DF DN =，⑤//AD NE ．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：90BAC ∠=︒，AC AB =，AD BC ⊥，45ABC C ∴∠=∠=︒，AD BD CD ==，90ADN ADB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∴∠=︒=∠， BE 平分ABC ∠，122.52ABE CBE ABC ∴∠=∠=∠=︒， 9022.567.5BFD AEB ∴∠=∠=︒-︒=︒67.5AFE BFD AEB ∴∠=∠=∠=︒，AF AE ∴=，故①正确；③错误， M 为EF 的中点，AM EF ∴⊥，故②正确；AM EF ⊥，90AMF AME ∴∠=∠=︒，9067.522.5DAN MBN ∴∠=︒-︒=︒=∠，在FBD ∆和NAD ∆中，FBD DAN BD ADBDF ADN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FBD NAD ASA ∴∆≅∆，DF DN ∴=，故④正确；67.5BAM BNM ∠=∠=︒，∴=，BA BN=，∠=∠，BE BEEBA EBN∴∆≅∆，()EBA EBN SAS∴∠=∠=︒，BNE BAE90∴∠=∠=︒，ENC ADC90∴．故⑤正确，//AD EN故选：D．。
初二数学三角形难题汇总完整版
初二数学三角形难题汇总Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】初二数学三角形测试题一、填空1、(1)全等三角形的_________和_________相等；(2)两个三角形全等的判定方法有:______________________________；另外两个直角三角形全等的判定方法还可以用：_______；(3)如右图，已知AB=DE，∠B=∠E，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：_____________，理由是：_____________；这个条件也可以是：_____________，理由是：_____________；(4)如右图，已知∠B=∠D=90°，，若要使△ABC≌△ABD，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：_____________，理由是：_____________；这个条件也可以是：_____________，理由是：_____________；这个条件还可以是_____________，理由是：_____________；2．如图5，⊿ABC≌⊿ADE，若∠B=40°，∠EAB=80°，∠C=45°，则∠EAC=?，∠D=，∠DAC=?。
3．如图6，已知AB=CD，AD=BC，则≌，≌。
4．如图7，已知∠1=∠2，AB⊥AC，BD⊥CD，则图中全等三角形有_____________；5．如图8，若AO=OB，∠1=∠2，加上条件，则有ΔAOC≌ΔBOC。
7、如图,在一小水库的两测有A、B两点，A、B间的距离不能直接测得，采用方法如下：取一点可以同时到达A、B的点C，连结AC并延长到D，使AC=DC；同法，连结BC并延长到E，使BC=EC；这样，只要测量CD的长度，就可以得到A、B的距离了，这是为什么呢？根据以上的描述，请画出图形，并写出已知、求证、证明。
全等三角形的重难点模型(八大题型)(解析版)—八年级数学上册(浙教版)
全等三角形的重难点模型（八大题型）【题型01：平移型】【题型02：翻折型】【题型03：旋转型】【题型04：一线三等角型（三类型）】【题型05：手拉手模型（四大类型）】【题型06：半角模型】【题型07：对角互补模型】【题型08：平行+线段中点构造全等模型】【题型1 平移型】【方法技巧】【典例1】如图，点E，C在线段BF上，AB=DE，BE=CF，AC=DF．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠B=45°，∠F=85°，求∠A的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理,解题的关键是熟练运用全等三角形的判定．（1）首先根据BE=CF可得BC=EF，即可判定△ABC≌△DEF；（2）首先根据（1）中两三角形全等，可得∠ACB=∠F=85°，在△ABC中根据三角形内角和定理即可求出∠A．【详解】（1）证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，∴在△ABC和△DEF中，AB=DE AC=DF BC=EF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．（2）解：∵△ABC≌△DEF，∠B=45°，∠F=85°，∴∠ACB=∠F=85°，∴∠A=180°―∠ACB―∠B=50°．【变式1-1】如图、点B、E、C、F在一条直线上AB=DE，AC=DF，BE=CF．(1)求证：∠A=∠D；(2)求证：AC∥DF．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、平行线的判定等知识，熟记相关几何判定与性质是解决问题的关键．（1）由题中条件，利用两个三角形全等的判定定理SSS得到△ABC≌△DEF，再由三角形全等的性质即可得证；（2）由（1）中△ABC≌△DEF得到∠ACB=∠F，再由同位角相等两直线平行即可得证．【详解】（1）证明：∵BE=CF，∴BC=FE，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE AC =DF BE =CF∴△ABC≌△DEF (SSS)，∴∠A =∠D ；（2）证明：由（1）知△ABC≌△DEF ，∴ ∠ACB =∠F ，∴ AC∥DF ．【变式1-2】如图，在△ABC 和 △DEF 中，边AC ，DE 交于点H ，AB∥DE ，AB =DE ，BC =EF ．(1)若∠B =55°，∠ACB =100°，求∠CHE 的度数；(2)求证：△ABC≌△DEF ．【答案】(1)∠CHE =25°；(2)证明见解析．【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．（1）根据三角形内角和定理求出∠A ，再根据平行线的性质得出∠CHE =∠A 即可；（2）根据平行线的性质得出∠B =∠DEF ，求出BC =EF ，再根据全等三角形的判定定理推出即可；【详解】（1）解：∵∠B =55°，∠ACB =100°，∴∠A =180°―∠B ―∠ACB =25°，∵AB∥DE ，∴∠CHE =∠A =25°；（2）证明：∵AB∥DE ，∴∠B =∠DEF ，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE ∠B =∠DEF BC =EF∴△ABC≌△DEF (SAS)．【变式1-3】如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，∠A =∠D =90°，BE =CF ，AC =DF ．求证：∠B =∠DEF ．【答案】答案见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键即可得到答案．根据BE =CF 得到BE +EC =EC +CF 即BC =FE ，之后利用HL 证明Rt △ABC≌Rt △DFE 即可得到答案．【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +EC =EC +CF ，即BC =FE ．∵∠A =∠D =90°，则在Rt △ABC 和Rt △DFE 中，BC =FE AC =DE ，∴Rt △ABC≌Rt △DFE(HL)．∴∠B =∠DEF ．【题型2 翻折型】【方法技巧】【典例2】如图，AB=AD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)若AB=4，CD=3，求四边形ABCD的面积．【变式2-1】如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：AC=BD【答案】证明见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由两个三角形全等的判定定理AAS 得到△ABC≌△BAD (AAS)，再由三角形全等性质即可得证，熟练掌握两个三角形全等判的定定理AAS 及性质是解决问题的关键．【详解】证明：在△ABC 与△BAD 中，∠1=∠2∠C =∠D AB =AB，∴△ABC≌△BAD (AAS)，∴AC =BD ．【变式2-2】如图，已知AD 平分∠BAC ，AB =AC ．求证：△ABD≌△ACD ．【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据AD 平分∠BAC ，可得∠BAD =∠CAD ，再根据边角边可证明△ABD≌△ACD ．【详解】证明：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD =∠CAD ，在△ABD 和△ACD 中，∵AB =AC ，∠BAD =∠CAD ，AD =AD ，∴△ABD≌△ACD (SAS)．【变式2-3】如图，AB =AC ，BO =CO ，求证：∠ADC =∠AEB ．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，连接OA ，证明△AOB≌△AOC (SSS)得出∠B =∠C ，再由三角形外角的定义及性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】证明：如图，连接OA ，在△AOB 和△AOC 中，AB =AC OB =OC OA =OA，∴△AOB≌△AOC (SSS)，∴∠B =∠C ，∵∠DOB =∠EOC ，∴∠B +∠DOB =∠C +∠EOC ，∴∠ADC =∠AEB ．【题型3旋转型】【方法技巧】【典例3】如图，在△ABC 和△AEF 中，点E 在BC 边上，∠C ＝∠F ，AC ＝AF ，∠CAF ＝∠BAE ，EF 与AC 交于点G ．（1）试说明：△ABC ≌△AEF ；（2）若∠B ＝55°，∠C ＝20°，求∠EAC 的度数．【答案】（1）见解答；（2）35°．【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，即∠BAC＝∠EAF，在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（ASA）；（2）解：∵∠B＝55°，∠C＝20°，∴∠BAC＝180°﹣55°﹣20°＝105°，∵△ABC≌△AEF，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝55°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝70°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝105°﹣70°＝35°．【变式3-1】如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：AB＝AD．【答案】证明见解答．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AB＝AD．【变式3-2】如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠BAC＝∠ADE．（1）求证：△ABC≌△DEA；（2）若∠CAD＝30°，求∠BCD的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠BCD＝105°．【解答】（1）证明：∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAE．在△ABC和△DEA中，∵，∴△ABC≌△DEA（AAS）．（2）解：由（1）知△ABC≌△DEA（AAS），∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝30°，∴，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝30°+75°＝105°．∴∠BCD＝105°．【变式3-3】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE与△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS）．【变式3-4】如图，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE．【答案】见解答．【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE．在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．【题型4 一线三等角型】【方法技巧】模型一一线三垂直如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。
八上 三角形 较难(含解析)
八上三角形较难一、选择题1.如果，正方形ABCD的边长为2cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ=AE，则PD等于（）A．cm或cm B．cmC．cm或cm D．cm或cm2.如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①点G是BC的中点；②FG=FC；③AG∥CF；④S△FGC=．其中正确结论是（）A．①②B．②④C．①②③D．①③④3.如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO，若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④︰＝2︰3.其中正确结论的个数是( )A .4个B .3个C .2个D .1个4.已知△ABC的三边长分别为a、b、c，判断式子b2-a2+2ac-c2的结果是（）A．负数B．正数C．非正数D．非负数5.如图，在正方形袖ABCD中，AC为对相线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G、F，H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH．下列结论：①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3=13，其中结论正确的是( )A .1个B .2个C .3个D .4个6.如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（）A．5 B．4 C．3 D．27.如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（-2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A．（，3）、（-，4）B．（，3）、（-，4）C．（，）、（-，4）D．（，）、（-，4）8.如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49.如图所示，点A为∠MON的角平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B、C，P 为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D．∠MON=50°，则∠BDC=（）A．120°B．130°C．140°D．150°10.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为( )A .B .C .D .11.如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（）A．2 B．4 C．2D．4二、解答题12.如图边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于G，连AG.(1)求证△ABG≌△AFG；(2)求BG的长。
八年级上册三角形题目
八年级上册三角形题目一、选择题（1 - 10题）1. 若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）- A. 6.- B. 3.- C. 2.- D. 11.- 解析：设第三边为x，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
所以7 - 3＜x＜7+3，即4＜x＜10，在给出的选项中只有A选项6满足条件。
2. 三角形的内角和是（）- A. 90°.- B. 180°.- C. 360°.- D. 720°.- 解析：三角形内角和定理表明三角形的内角和为180°，所以答案是B。
3. 在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，则∠C的度数为（）- A. 50°.- B. 60°.- C. 70°.- 解析：因为三角形内角和为180°，已知∠A = 50°，∠B = 60°，所以∠C=180° - ∠A - ∠B = 180°-50° - 60° = 70°，答案为C。
4. 以下能判定三角形是等腰三角形的是（）- A. 有两个角为30°，60°。
- B. 有两个角为40°，100°。
- C. 有两个角为50°，80°。
- D. 有两个角为20°，140°。
- 解析：等腰三角形的判定是有两个角相等的三角形是等腰三角形。
A选项中两个角不相等；B选项中，180°-100° - 40° = 40°，有两个角相等为40°，所以这个三角形是等腰三角形；C选项中两个角不相等；D选项中180°-140° - 20° = 20°，虽然有两个角相等，但不是等腰三角形的常规判定情况（因为140°是钝角）。
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补充题：
1．如图1，△ABC的边BC直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．
(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
(3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
2、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AC的中点，连接BD，作∠ADF=∠CDB，连接CF交BD于E，求证：BD⊥CF。