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山东省青岛市市北区届中考数学一模试卷含解析含答案

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2019年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷(解析版)

2019年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷(解析版)

2019年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.在如图所示的数轴上若A、B两点到原点的距离相等，则点B所表示的数是（）A. −3B. −2C. 13D. 62.下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 晴B. 浮尘C. 大雨D. 大雪3.亚洲陆地面积约为4400万平方千米，用科学记数法正确表示44000000的是（）A. 44×106B. 0.44×108C. 4.4×103D. 4.4×1074.根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图．根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛，应推荐（）A. 李飞或刘亮B. 李飞C. 刘亮D. 无法确定5.下列计算正确的是（）A. a3+a2=a5B. a8÷a4=a2C. (2a3)2−a⋅a5=3a6D. (a−2)(a+3)=a2−66.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，A是弧DC中点，若∠ABD=15°，则∠BOC的度数为（）A. 120∘B. 150∘C. 210∘D. 75∘7.如图，一次函数y=-x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数C. 没有实数根D. 以上结论都正确8.如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，连接AE、CF，则下列结论正确的有（）个（1）DE=2（2）∠EAG=45°（3）△EAG的面积是18（4）cos∠FCG=√55A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算：√36+√24√3=______．10.如图，一块正方形地面上铺设了黑、白两种颜色的方砖，它们除颜色外完全相同．一个小球在地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．小球最终停留在黑砖上的概率是______．11.如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点D的坐标为______．12.甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知步行速度是骑自行车速度的13，设步行速度为x千米/时，则根据题意可以列出方程______．13.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，若AF=1，则菱形ABCD的面积等于______．14.有一个底面为正方形的棱柱（如图1），底面边长为20cm，棱柱高50cm，现沿着它底面的内切圆进行加工，切掉原来的三条侧棱后，形成的几何体如图2所示，其俯视图如图3所示，则该几何体的表面积为______cm2，体积为______cm3．（柱体的体积=底面积x高）三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）15.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，求AC的长度．16. 工人师傅用一块长为2m ，宽为1.2m 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）（1）若长方体底面面积为1.28m 2，求裁掉的正方形边长；（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的3倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方米的费用为50元，底面每平方米的费用为200元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？四、解答题（本大题共8小题，共62.0分）17. 如图，利用尺规在平面内确定一点O ，使得点O 到△ABC 的两边AB 、AC 的距离相等，并且点O 到B 、C 两点的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）．18. （1）解不等式组：{x−32＜12(x +1)≥x −1（2）化简：（a 2+12a-1）⋅2aa 2−119. 在不透明的口袋中，装有3个分别标有数字1、2、3的小球，它们除标示的数字外完全相同，小红、小明和小亮用这些道具做摸球游戏．游戏规则如下：由小红随机从口袋中摸出一个小球，记录下数字放回摇匀再由小明随机从口袋中摸出一个小球，记录下数字，放回摇匀．如果两人摸到的小球上数字相同，那么小亮获胜；如果两人摸到的小球上数字不同，那么小球上数字大的一方获胜． （1）请用树状图或列表的方法表示一次游戏中所有可能出现的结果； （2）这个游戏规则对三人公平吗？请说明理由．20. 春华中学为了解九年级学生的身高情况，随机抽测50名学生的身高后，所得部分资料如下（身高单位：cm ，测量时精确到1cm ）；身高 148 151 154 155 157 158 160 161 162 164 人数 1 1 2 1 2 3 4 3 4 5 身高 165 166 167 168 170 171 173 175 177 179 人数2361423111若将数据分成8组，取组距为4cm ，相应的频率分布表（部分）是： 分 组 频 数 频 率 147.5～151.5 2 0.04 151.5～155.5 3 0.06 155.5～159.5 5 0.10 159.5～163.5 11 0.22 163.5～167.5 ______ ______ 167.5～171.5 ______ ______ 171.5～175.5 4 0.08 175.5～179.5 2 0.04 合 计501.00请回答下列问题：（1）样本数据中，学生身高的众数、中位数各是多少？ （2）填写频率分布表中未完成的部分；（3）若该校九年级共有850名学生，请你估计该年级学生身高在172cm 及以上的人数21.在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=kx（k为常数，且k ≠0）的图象交于A、B两点，它们的部分图象如图所示，△BOD的面积是6．（1）求一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=kx的表达式；（2）请直接写出不等式y1＞y2的解集．22.如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点F为AC的中点，连接FD并延长到点E，使FD=DE，连接BF，CE和BE．（1）求证：BE=FC；（2）判断并证明四边形BECF的形状；（3）为△ABC添加一个条件，则四边形BECF是矩形（填空即可，不必说明理由）23.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，所以EF=FG=GH=HE=√2，设EB=x，则BF=√2-x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC∴BF=AE=√2-x在Rt△AEB中，由勾股定理，得x2+（√2-x）2=12解得，x1=x2=√22∴BE=BF，即点B是EF的中点．同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD，______一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD 面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）24.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6cm，BD=8cm点P从点B出发沿BA方向匀速运动，速度是1cm/s，点Q从点D出发沿DB方向匀速运动，速度是2cm/s，QE∥AB，与BC交于点E，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t≤4）．（1）当PQ⊥AB于P时，求t的值；（2）设四边形BPQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使BQ平分∠PQE？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A、B两点到原点的距离相等，A为3，则B为3的相反数，即B表示-3．故选：A．到原点距离相等的点所表示的数互为相反数，故可知B点表示的数为3的相反数．本题考查绝对值的意义及相反数的意义，要正确理解到原点距离相等的两个点所表示的数即为相反数．2.【答案】A【解析】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】D【解析】解：用科学记数法正确表示44000000的是4.4×107．故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】C【解析】解：李飞的成绩为5、8、9、7、8、9、10、8、9、7，则李飞成绩的平均数为=8，所以李飞成绩的方差为×[（5-8）2+2×（7-8）2+3×（8-8）2+3×（9-8）2+（10-8）2]=1.8；刘亮的成绩为7、8、8、9、7、8、8、9、7、9，则刘亮成绩的平均数为=8，∴刘亮成绩的方差为×[3×（7-8）2+4×（8-8）2+3×（9-8）2]=0.6，∵0.6＜1.8，∴应推荐刘亮，故选：C．根据折线统计图得出两人射击成绩，再计算出两人成绩的方差，据此即可作出判断．本题主要考查折线统计图与方差，解题的关键是根据折线统计图得出解题所需数据及方差的计算公式．5.【答案】C【解析】解：A、a2和a3不能合并，故本选项不符合题意；B、a8÷a4=a4，故本选项不符合题意；C、（2a3）2-a•a5=4a6-a6=3a6，故本选项符合题意；D、（a-2）（a+3）=a2+a-6，故本选项不符合题意；故选：C．根据合并同类项，同底数幂的除法，多项式乘以多项式，幂的乘方和积的乘方求出每个式子的值，再得出选项即可．本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，多项式乘以多项式，幂的乘方和积的乘方等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵A是弧DC中点，∠ABD=15°，∴∠AOC=30°，∴∠BOC=150°，故选：B．根据圆周角定理和平角解答即可．此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理和平角解答．7.【答案】A【解析】解：∵一次函数y=-x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=-x有两个不相等的实数根，ax2+bx+c=-x变形为ax2+（b+1）x+c=0，∴ax2+（b+1）x+c=0有两个不相等的实数根，故选：A．根据二次函数与一元二次方程的关系判断．本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：（1）∵将△ABG沿AG对折至△AFG∴AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°，在Rt△AFE和Rt△ADE中，，∴Rt△AFE≌Rt△ADE（HL），∴EF=DE，设DE=FE=x，则EC=6-x．∵G为BC中点，BC=6，∴CG=3，GE=3+x，在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：（6-x）2+32=（x+3）2，则DE=2；∴（1）正确；（2）∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，又∵∠BAD=90°，∴∠EAG=45°；∴（2）正确；（3）∵AF=AB=6，GE=DE+BG=2+3=5，∴S△EAG =AF•GE=×6×5=15；∴（3）错误；（4）过F作FH⊥CG于H，如图所示：则CE=CD-DE=6-2=4，∵△CEG的面积=CG•CE=×3×4=6，∴△CFG的面积=×6=，∴FH•CG=，即FH×3=，解得：FH=，∵GF=BG=3，GH===，∴CH=CG-GH=3-=，CF===，∴cos∠FCG===；∴（4）正确；综上所述：结论正确的有3个；故选：B．（1）由翻折变换的性质证明Rt△AFE≌Rt△ADE，得出EF=DE，设DE=FE=x，则EC=6-x．CG=3，GE=3+x，由勾股定理得出DE=2；（2）由∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，∠BAD=90°，即可得出∠EAG=45°；（3）由S△EAG =AF•GE得出S△EAG=15；（4）过F作FH⊥CG于H，求出FH=，GH=，CH=，CF=，得出cos∠FCG==；综合以上结果即可得出结论．本题考查翻折变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积计算、三角函数等知识，熟练掌握翻折变换的性质与勾股定理是关键．9.【答案】2√3+2√2【解析】解：原式===2+2，故答案为：2+2．先化简二次根式，再分母有理化，继而化简可得．本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．10.【答案】38【解析】解：观察这个图可知：黑色区域（6块）的面积占总面积（16块）的=，则它最终停留在黑色方砖上的概率是，故答案为：．根据几何概率的求法：最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．11.【答案】（4，2）【解析】解：线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B与点D是对应点，则点D的坐标为（8×，4×），即（4，2），故答案为：（4，2）．应点的坐标的比等于k或-k解答．本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．12.【答案】4.5x-4.53x=12【解析】解：设步行速度为x千米/时，则骑自行车的速度为3x千米/时，依题意，得：-=．故答案为：-=．设步行速度为x千米/时，则骑自行车的速度为3x千米/时，根据时间=路程÷速度结合骑自行车比步行少用半小时，即可得出关于x的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．13.【答案】3√32【解析】解：连接DB，∵AB的垂直平分线交对角线AC于点F，∴∠AEF=90°，AB=2AE，∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴∠FAE=30°，∴AE=，∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴AD=AB，∴△ADB是等边三角形，∴DB=AB=2AE=，∴AC=2AO=，故答案为：连接BD，根据菱形ABCD的性质得出AD=AB，再由∠BAD=60°得出△ADB是等边三角形，利用含30°的直角三角形的性质和菱形的面积解答即可．本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是证明△ADB 是等边三角形．14.【答案】900π+1200 3750π+5000【解析】解：（1）由图2可知，切割后的几何体是由个圆柱的表面积，2个边长为10cm的正方形，2个边长10cm，50cm的长方形组成；因此表面积为×2×π×50+×2×π×10×10+2×10×10+2×10×50=（900π+1200）cm2；（2）由几何体的组成部分，可知体积是圆柱体积和长方体体积组成，因此体积为×π×10×10×50+10×10×50=（3750π+5000）cm3，故答案为900π+1200，3750π+5000；通过给出图判断切割后的几何体的组成图形，切割后的几何体是由个圆柱的表面积，2个边长为10cm的正方形，2个边长10cm，50cm的长方形组成；然后再利用圆柱和长方体的表面积和体积公式进行求解；本题考查几何体的视图，不规则几何体的表面积和体积的求法；能够通过给出的视图，判断出组合体的组成图形是解题的关键．15.【答案】解：过点B作BD⊥AC于D，根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），∵斜坡BC的坡度i=1：5，∴BD：CD=1：5，∴CD=5BD=5×54=270（cm），∴AC=CD-AD=270-60=210（cm）．∴AC的长度是210cm．答：AC的长度为210cm．【解析】首先过点B作BD⊥AC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题，难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．16.【答案】解：（1）设裁掉的正方形的边长为xm，根据题意，得：（2-2x）（1.2-2x）=1.28，解得：x1=0.2或x2=1.4（舍），所以裁掉的正方形边长为0.2m；（2）∵长不大于宽的3倍，∴2-2x≤3（1.2-2x），解得：0＜x≤0.4，设总费用为w，根据题意，得：w=50×2x（3.2-4x）+200×（2-2x）（1.2-2x）=400x2-960x+480=400（x-1.2）2-96，∵对称轴x=1.2且开口向上，∴当0＜x≤0.4时，w随x的增大而减小，∴当x=0.4时，w取得最小值，最小值为160元，答：裁掉的正方形边长为0.4m时，总费用最低，最低为160元．【解析】（1）设裁掉的正方形的边长为xm，根据底面矩形的面积公式列出一元二次方程，解之可得；（2）先根据长不大于宽的3倍得出x的取值范围，再根据总费用=侧面的总费用+底面的总费用列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答．17.【答案】解：如图，①作线段BC的垂直平分线MN．②作∠BAC的平分线PA交MN于点O．点O即为所求．根据线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质解决问题，属于中考常考题型．18.【答案】解：（1）{x−32＜1①2(x +1)≥x −1②，由不等式①，得x ＜5， 由不等式②，得x ≥-3，故原不等式组的解集为-3≤x ＜5； （2）（a 2+12a-1）⋅2aa 2−1=a 2+1−2a2a ⋅2a(a+1)(a−1)=(a−1)2(a+1)(a−1) =a−1a+1． 【解析】（1）根据解不等式组的方法可以解答本题； （2）根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子．本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．19.【答案】解：（1）画树状图如下：由树状图知共有9种等可能结果；（2）由树状图知，小红获胜的结果有3种，小明获胜的结果有3中， ∴P （小亮获胜）=39=13，P （小红获胜）=39=13，P （小明获胜）=39=13， ∴游戏对三人公平． 【解析】（1）画树状图列出所有等可能结果；（2）结合树状图，利用概率公式计算出三人获胜的概率，比较大小即可得．此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】16 0.32 7 0.14【解析】解：（1）样本数据中，学生身高的众数是167cm 、中位数是=164（cm ）；（2）补全表格如下： 分 组 频 数 频 率 147.5～151.5 2 0.04 151.5～155.5 3 0.06 155.5～159.5 5 0.10 159.5～163.5 11 0.22 163.5～167.5 16 0.32 167.5～171.5 7 0.14 171.5～175.5 4 0.08 175.5～179.5 2 0.04 合 计501.00（3）估计该年级学生身高在172cm 及以上的人数约为850×（0.08+0.04）=102（人）． （1）根据众数的定义以及中位数的定义得出众数、中位数即可； （2）利用图表中不同身高的人数分布情况求出未知的频数和频率即可；（3）利用样本中身高在172cm 及以上的人数估计总体学生身高在172cm 及以上的人数即可． 本题考查了频数分布直方图以及中位数和众数的定义和利用样本估计总体等知识，注意利用频数分布表得出各组人数是解题关键．21.【答案】解：（1）∵B （-1，3）在反比例函数图象上，∴k =3×（-1）=-3，∴反比例函数图的解析式为：y 2=−3x ， ∵△BOD 的面积是6， ∴OD =4，D （-4，0），把D （-4，0），B （-1，3）代入y 1=ax +b 得{−a +b =3−4a+b=0，解得{b =4a=1，（2）由图象交点A 、B 两点的坐标可知，当y 1＞y 2时，-3＜x ＜-1． 【解析】（1）先根据点B 的坐标求出反比例函数图的解析式；根据反比例函数的几何意义求出点D 的坐标，再运用待定系数法即可求出求一次函数y 1=ax+b 的表达式； （2）观察图象交点A 、B 两点的坐标可知，当y 1＞y 2时，x 的取值范围．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，体现了数形结合的思想． 22.【答案】（1）证明：∵AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴BD =CD ，∵FD =DE ，∠BDE =∠CDF ， ∴△BDE ≌△CDF （SAS ）， ∴BE =CF ；（2）解：四边形BECF 是平行四边形， 理由：∵BD =CD ，ED =FD ， ∴四边形BECF 是平行四边形；（3）当AB =BC 时，四边形BECF 是矩形， ∵AB =BC =AC ，∴BD =CD =12BC ，DF =DE =12AC ， ∴BC =EF ，∴四边形BECF 是矩形． 【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到BD=CD ，根据启动建设性的性质即可得到结论； （2）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（3）根据等边三角形的性质得到BD=CD=BC ，DF=DE=AC ，于是得到结论．本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 23.【答案】不存在【解析】解：探究二：因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为3， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x ，则BF=-x ，在Rt △AEB 中，由勾股定理，得 x 2+（-x ）2=12整理得x 2-x+1=0b 2-4ac=3-4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的3倍； 探究三：因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为4， 所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x ，则BF=2-x ， ∵Rt △AEB ≌Rt △BFC ∴BF=AE=2-x在Rt △AEB 中，由勾股定理，得 x 2+（2-x ）2=12 整理得2x 2-4x+3=0 b 2-4ac=16-24＜0， 此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的3倍， 故答案为：不存在；探究四：因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为n ， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x ，则BF=-x ，∵Rt △AEB ≌Rt △BFC∴BF=AE=-x 在Rt △AEB 中，由勾股定理，得 x 2+（-x ）2=12整理得2x 2-2x+n-1=0b 2-4ac=8-4n ＜0， 此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的n 倍． 探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及一元二次方程的解法，读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键． 24.【答案】解：（1）如图1，由题意知，BP =t ，QD =2t ，∴BQ =8-2t ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AO =12AC =3，BO =12BD =4，AC ⊥BD ， 根据勾股定理得，AB =5， 假设存在t ，是PQ ⊥AB ， 在Rt △AOB 中，cos ∠ABO =45， 在Rt △BPQ 中，cos ∠PBQ =BPBQ =t8−2t ， ∴t8−2t =45， ∴t =3213；（2）如图2，过点Q 作QM ⊥AB 于M ，在Rt △BQM 中，QM =BQ •sin ∠ABQ =（8-2t ）•35=245-65t ， ∵QE ∥AB ，AB ∥CD ， ∴QE ∥CD ，∴∠BQE =∠BDC ， ∵∠CBD =∠CBD ， ∴∠BEQ ∽△BCD ， ∴EQCD =BQBD ， ∴EQ5=8−2t 8，∴EQ =5-54t ，∴y =S 四边形BPQE =12（BP +EQ ）•QM =12（t +5-54t ）（245-65t ）=320t 2-185t +12；（3）如图3，假设存在时刻t ，使BQ 平分线∠PQE ，则∠BQP =∠BQE ， 过点P 作PN ⊥BQ 于N ， ∵QE ∥AB ，∴∠ABQ =∠BQE ， ∴∠ABQ =∠BQP ， ∴BP =PQ ， ∴BN =12BQ =12（8-2t ）=4-t ， 在Rt △BPN 中，cos ∠PBQ =BN BP =45， ∴4−t t=45，∴t =209． 【解析】（1）先利用勾股定理求出AB=5，再用同角的余角的余弦函数建立方程求解即可得出结论； （2）先利用三角形函数表示出QM ，再判断出△BEQ ∽△BCD ，表示出EQ ，即可得出结论； （3）先判断出BP=PQ ，进而表示出BN ，再用三角函数建立方程求解，即可得出结论． 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．。

2022年山东省青岛市市北区中考数学一模试题及答案解析

2022年山东省青岛市市北区中考数学一模试题及答案解析

2022年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列四个数中，属于有理数的是( ) A. 111B. √153C. πD. −√22. 2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，北京是唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市．下列4个图形是四届冬奥会的部分图标，属于轴对称图形的是( )A.B.C.D.3. 2021年11月3日揭晓的2020年度国家自然科学奖，共评出了两项一等奖，其中一项是“有序介孔高分子和碳材料的创制应用”，有序介孔材料是上世纪90年代迅速兴起的新型纳米结构材料，孔径在0.000000002米～0.00000005米范围内，数据0.00000005用科学记数法表示为( )A. 5×10−9B. 5×10−8C. 5×10−7D. 0.5×10−74. 如图，在各选项中，可以从左边的平面圆形折成右边封闭的立体图形的是( ) A.B.C.D.5. 下列计算正确的是( ) A. a +a 2=a 3B. a 6÷a 3=a 2C. (−2x 2)3=−8x 6D. (−12)0+2−1=126. 如图，AB 是⊙O 直径，C 、F 为⊙O 上的点，AE 是⊙O 的切线，A 为切点，连接BC 并延长交AE 于点D.若∠ADB =50°，则∠BFC 的度数为( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 20°7. 若一元二次方程ax 2+bx +3=0有两个不相等的实数根，则二次函数y =ax 2+bx +3的图象与一次函数y =2ax +b 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A.B.C.D.8. 如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，∠AOB =60°，AE 平分∠BAD ，AE 与BC 相交于点E 、与BD 相交于点F ，则下列结论中正确的有( )①OB =OE ②∠BOE =75° ③OE 2=OF ⋅OD④若OE =1，则EC =√2⑤若△BOE 的面积是矩形ABCD 面积的16，则BC =32ABA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9. 计算：(√18−√4)⋅cos30°=______．310. 某大型商场为了吸引顾客，规定凡在本商场一次性消费100元的顾客可以参加一次摇奖活动，摇奖规则如下：一个不透明的纸箱里装有1个红球、2个黄球、5个绿球、12个白球，所有球除颜色外完全相同，充分掘匀后，从中随机取出一球，若取出的球分别是红、黄、绿球，顾客将分别获得50元、25元、20元现金，若取出白球则没有奖．若某位顾客有机会参加摇奖活动，则他每参与一次的平均收益为______元．11. 若一个圆内接正六边形的边长是4cm，则这个正六边形的边心距=______．12. 高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360公里的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x公里/小时，则根据题意可得方程______．13. 如图，A(2,m)是正比例函数y=kx与反比例函数y=6(x>0)的图象的交点．AB⊥x轴x于点B，平移直线y=kx使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是______．14. 如图所示，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=4.点F位于AB的1处、且靠近点A的3位置，点C、D分别在线段OA、OB上，CD=4.E为CD的中点．连接EF、BE.在CD滑动过程中(CD长度始终保持不变)，当EF取最小值时，阴影部分的面积为______．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。

2023年山东省青岛市市北区中考数学模拟试卷及答案解析

2023年山东省青岛市市北区中考数学模拟试卷及答案解析

2023年山东省青岛市市北区中考数学模拟试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．（3分）下列实数中，是有理数的是（）A．B．πC．D．0.131131113…2．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（）A．3×10﹣7B．0.3×10﹣6C．3×10﹣6D．3×1074．（3分）正在热映的春节档电影电影《满江红》中所使用的印信道具是中国悠久的金石文化的代表之一，它的表面均由正方形和等边三角形组成，可以看成图②所示的几何体，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，2）、B（﹣1，3）、C（﹣2，﹣1），线段AC交x轴于点P，如果将△ABC绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标是（）A．B．（2，﹣2）C．D．6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝120°，BD平分∠ABC交AC于点E，若BA＝BE，则∠ADB的大小为（）A．35°B．30°C．40°D．45°7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（）A．B．1C．D．8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论：①abc＞0；②a+2c＜﹣b；③c﹣3a＝0；④直线y＝m可能与y＝|ax2+bx+c|有4个交点；⑤若点M（x1，x2），点N（y1，y2）是抛物线上的两点，若x1＜x2，则y1＜y2．其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）计算：＝．10．（3分）已知关于x的一元二次方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是．11．（3分）如图，是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则甲、乙两人成绩较稳定的是；如果甲又连续射击了5次，且环数均为9环，那么甲的方差变化情况是（填“变大”“变小”或“不变”）．12．（3分）为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒84消毒液（含氯消毒剂）进行消杀，资料表明空气中氯含量不低于0.5%，才能有效杀灭新冠病毒．如图，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量y（%）与时间t（min）成正比例，消毒液挥发时，y与t成反比例，则此次消杀的有效作用时间是min．13．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝4，点C是上一动点，连接OC，过点A作AD⊥OC于点D，连接BD．当BD的长度最小时，图中阴影部分的面积为．14．（3分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜；③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；④若DF＝DC，则折叠后重叠部分的面积为．其中正确的是．（写出所有正确判断的序号）三、作图题（本题满分4分）15．（4分）如图：已知：点P和直线m．求作：以点P为直角顶点的等腰直角三角形，使它的斜边落在直线m上，并在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆O．结论：四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16．（8分）（1）化简：；（2）解不等式组．17．（6分）由于疫情爆发，张明一家小区被管控，规定每两日每户可派一人出小区购买生活必需品．为增添生活乐趣，张明制作了下面两个可以自由转动的转盘：A转盘被分成如图所示的三份（一个半圆，两个四分之一圆），并分别标有数字1，2，﹣3；B转盘被等分成三份，分别标有数字﹣1，﹣2，3．（1）A转盘转出﹣3的概率是．（2）张明让爸妈两人同时转动A、B两个转盘，规则如下：当转盘停止转动时（两个指针只要有一个指针停在分割线上时，重新转动两个转盘，直到指针停在标有数字的扇形区域），如果指针所指的数字之和为正数，则爸爸去；如果指针所指的数字之和为负数，则妈妈去．请问，这个游戏对双方公平吗？说明理由．18．（6分）安徽滁州琅琊山会峰阁更名为琅琊阁，如图①是悬挂着巨大匾额的琅琊阁，如图②，线段BC是悬挂在墙壁AM上的匾额的截面示意图．已知BC＝2米，∠MBC＝34°，从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B，仰角∠AEB＝56°，且DE＝4.4米，求匾额悬挂的高度AB的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）19．（6分）本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，并将目标效果测试中第二类选考项目（足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项）的情况进行统计，并将统计结果绘制成统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（1）学校参加本次测试和参加“排球垫球”测试的人数分别是多少人？（2）“篮球运球”的中位数落在等级；（3）将本次测试“足球运球”、“篮球运球”、“排球垫球”三项等级折算成分数，则它们的平均成绩分别为6.5分，7.6分，8分，求参加本次测试的学生第二类选考项目的平均成绩；（4）青岛市今年参加体育中考的人数约为8.5万人，你能否估计今年全市选择“篮球运球”的考生会有多少人？若能，求出其人数；若不能，请说明理由．20．（8分）如图，已知▱ABCD，EF为BC边上的垂直平分线，BC＝FC＝2AB，且∠ABD ＝90°．（1）求证：△ABD≌△CEF；（2）连接AF，请判断四边形ABDF的形状，并说明理由．21．（8分）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S（m）．头（1）当v＝2时，解答：①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．22．（10分）综合与实践知识再现如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以BC、CA、AB为边向外作的正方形的面积为S1、S2、S3．当S1＝36，S3＝100时，S2＝．问题探究如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）如图2，分别以BC、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系是．（2）如图3，分别以BC、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为S4、S5、S6，试猜想S4、S5、S6之间的数量关系，并说明理由．实践应用（1）如图4，将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△BGH，△ACE绕点A顺时针旋转一定角度至△AMN，GH、MN相交于点P．求证：S△PHN＝S四边形PMFG；（2）如图5，分别以图3中Rt△ABC的边BC、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC、CA、AB为直径的半圆柱的体积分别为V1、V2、V3．若AB＝4，柱体的高h＝8，直接写出V1+V2的值．23．（10分）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x 轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．（1）求b，c的值；（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．①求x关于t的函数解析式；②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？24．（12分）如图1，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB 匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P 到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s），过点P作PE⊥AC于E，PQ 交AC边于D，线段BC的中点为M，连接PM．（1）当t为何值时，△CDQ与△MPQ相似；（2）在点P、Q运动过程中，点D、E也随之运动，线段DE的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求DE的长；（3）如图2，将△BPM沿直线PM翻折，得△B'PM，连接AB'，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．2023年山东省青岛市市北区中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．【分析】根据无限不循环小数是无理数，分数和整数是有理数进行分析即可．【解答】解：A、是无理数，故此选项错误；B、π是无理数，故此选项错误；C、是有理数，故此选项正确；D、0.131131113…是无理数，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了实数，关键是掌握无理数和有理数定义．2．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是中心对称图形，轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．3．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：用科学记数法可以表示0.0000003得：3×10﹣7；故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，可得图形如下：故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．5．【分析】由A（﹣4，2），C（﹣2，﹣1）得直线AC解析式为y＝﹣x﹣4，可得P（﹣，0），过B作BM⊥x轴于M，过B'作B'N⊥x轴于N，证明△B'NP≌△PMB（AAS），得B'N＝PM，PN＝BM，即可得PN＝3，B'N＝，ON＝PN﹣OP＝3﹣＝，从而B'（，﹣）．【解答】解：由A（﹣4，2），C（﹣2，﹣1）可得直线AC解析式为y＝﹣x﹣4，在y＝﹣x﹣4中，令y＝0得x＝﹣，∴P（﹣，0），过B作BM⊥x轴于M，过B'作B'N⊥x轴于N，如图：∵∠B'PN＝90°﹣∠BPM＝∠PBM，∠B'NP＝90°＝∠BMP，PB'＝PB，∴△B'NP≌△PMB（AAS），∴B'N＝PM，PN＝BM，∵B（﹣1，3），∴PN＝3，B'N＝﹣1﹣（﹣）＝，∴ON＝PN﹣OP＝3﹣＝，∴B'（，﹣）；故选：C．【点评】本题考查坐标与图形变换﹣旋转，涉及全等三角形的判定与旋转，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．6．【分析】根据圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝30°，∵BA＝BE，∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣∠ABD）＝×（180°﹣30°）＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°，故选：D．【点评】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．7．【分析】根据矩形的性质得出DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，求出DF＝CF＝DC＝3，CE＝BE＝BC＝2，求出FH＝BH，根据勾股定理求出BF，求出FH＝BH＝，根据三角形的中位线求出EH，根据相似三角形的判定得出△EHG∽△DFG，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4，∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，∵点E、F分别为BC、CD的中点，∴DF＝CF＝DC＝3，CE＝BE＝BC＝2，∵EH∥CD，∴FH＝BH，∵BE＝CE，∴EH＝CF＝，由勾股定理得：BF＝＝＝5，∴BH＝FH＝BF＝，∵EH∥CD，∴△EHG∽△DFG，∴，∴＝，解得：GH＝，故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．8．【分析】根据抛物线的开口方向得a＞0，抛物线的对称轴可得b＝﹣4a＜0，抛物线与y 轴交点位置得c＜0，以此可判断①；由抛物线过点（﹣1，0）得a+c＝b，则a+2c＝b+c ＜0，﹣b＞0，以此可判断②；由抛物线过点（﹣1，0）得a﹣b+c＝0，将b＝﹣4a代入得c＝﹣5a，以此可判断③；根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象画出y＝|ax2+bx+c|的图象，即可判断④当x1＜x2，不能判断y1和y2的大小关系，以此即可求解．【解答】解：∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝＝2，∴b＝﹣4a＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+c＝b，∴a+2c＝b+c，∵b＜0，c＜0，∴b+c＜0，﹣b＞0，∴a+2c＜﹣b，故②正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∵b＝﹣4a，∴a+4a+c＝0，∴c＝﹣5a，∴c﹣3a＝﹣5a﹣3a＝﹣8a≠0，故③错误；函数y＝|ax2+bx+c|的图象如图，∴直线y＝m可能与y＝|ax2+bx+c|有4个交点，故④正确；点M（x1，x2），点N（y1，y2）是抛物线上的两点，当x1＜x2，不能证明y1＜y2．故⑤错误．综上，正确的说法有①②④，共3个．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与系数之间的关系是解题关键．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝2+＝2+8．故答案为：2+8．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．10．【分析】根据方程有两个实数根可以得到根的判别式大于等于0，由此求出k的范围即可；【解答】解：∵方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，且k2﹣1≠0，解得：k＜1；故答案为：k＜1且k≠﹣1．【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．11．【分析】根据条形统计图中提供的数据分别计算甲、乙两组的平均数、方差，通过方差的大小比较，得出稳定性．【解答】解：甲的平均数是：＝9（环），甲的方差是：×[（8﹣9）2×4+（9﹣9）2×2+（10﹣9）2×4]＝0.8，乙的平均数是：＝9（环），乙的方差是：×[（8﹣9）2×3+（9﹣9）2×4+（10﹣9）2×3]＝0.6，∵0.8＞0.6，∴乙成绩稳定．甲又连续射击5次，环数均为9环，则平均数还为9，则方差为×[（8﹣9）2×4+（9﹣9）2×2+（10﹣9）2×4]＝＜0.8，故方差变小．故答案为：乙；变小．【点评】此题考查平均数、方差的意义及计算方法，从条形统计图中获取甲、乙各组中的每一个数据，为计算平均数、方差提供原始的数据支撑．12．【分析】设y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0），代入（3，6）得到y＝2x；设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（k2＞0）代入（3，6）得到y＝（x＞6），把y＝0.5代入y＝2x，得到x＝，把y＝0.5代入y＝，得到x＝36，于是得到结论．【解答】解：∵喷洒消毒液时教室空气中的氯含量y（%）与时间t（min）成正比例，∴设y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0），代入（3，6）得：6＝3k1∴k1＝2，∴y＝2x；设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（k2＞0）代入（3，6）为6＝，∴k2＝18，∴喷洒消毒液时y关于x的函数关系式为y＝2x（0≤x≤6）；消毒液挥发时，y关于x的函数关系式为y＝（x＞6），把y＝0.5代入y＝2x，得：x＝，把y＝0.5代入y＝，得：x＝36，∵36﹣＝35.75．所以此次消杀的有效作用时间是35.75min．故答案为：35.75．【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．13．【分析】如图，取AO的中点T，连接DT，BT．首先说明T，D，B共线时，BD的值最小，再根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOD﹣S△OBD，求解即可．【解答】解：如图，取AO的中点T，连接DT，BT．∵AD⊥OC，∴∠ADO＝90°，∵AT＝OT＝2，∴DT＝2，∵∠BOT＝90°，OB＝4，OT＝2，∴BT＝＝＝2，∵BD≥BT﹣DT＝2﹣2，∴当T，D，B共线时，BD的值最小，最小值为2﹣2，如图，过点D作DH⊥OB于点H．∵DH∥OT，∴＝＝，∴＝＝，∴BH＝4﹣，DH＝2﹣，∴OH＝，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOD﹣S△OBD＝﹣×4×﹣×4×（2﹣）＝4π﹣4﹣，故答案为：4π﹣4﹣．【点评】本题考查扇形的面积，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．14．【分析】根据矩形的性质和三角形的内角和定理即可判定①正确；根据MN最大值和最小值时F的位置可判定②正确；根据四边形CDMH为正方形和勾股定理分别求出各边的长，可判定③正确；根据相似三角形的性质和勾股定理可得MN，OF，MQ和DF的长，利用面积和可判定④正确；从而求解．【解答】解：①如图1，由折叠可知BF⊥MN，∴∠BOM＝90°，∵MH⊥BC，∴∠BHP＝90°＝∠BOM，∵∠BPH＝∠OPM，∴∠CBF＝∠NMH，∵∠MHN＝∠C＝90°，∴△MHN∽△BCF，故①正确；②当F与C重合时，MN＝3，此时MN最小，当F与D重合时，如图2，此时MN最大，由勾股定理得：BD＝5，∵OB＝OD＝，∵tan∠DBC＝，即，∴ON＝，∵AD∥BC，∴∠MDO＝∠OBN，在△MOD和△NOB中，∵，∴△DOM≌△BON（ASA），∴OM＝ON，∴MN＝2ON＝，∵点F在线段CD上（不与两端点重合），∴折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜；故②正确；③如图3，连接BM，FM，当四边形CDMH为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3，∵AD＝BC＝4，∴AM＝BH＝1，由勾股定理得：BM＝＝，∴FM＝，∴DF＝＝＝1，∴CF＝3﹣1＝2，设HN＝x，则BN＝FN＝x+1，在Rt△CNF中，CN2+CF2＝FN2，∴（3﹣x）2+22＝（x+1）2，解得：x＝，∴HN＝，∵CH＝3，∴CN＝HN＝，∴N为HC的中点；故③正确；④如图4，连接FM，∵DF＝DC，CD＝3，∴DF＝1，CF＝2，∴BF＝＝2，∴OF＝，设FN＝a，则BN＝a，CN＝4﹣a，由勾股定理得：FN 2＝CN 2+CF 2，∴a 2＝（4﹣a ）2+22，∴a ＝，∴BN ＝FN ＝，CN ＝，∵∠NFE ＝∠CFN +∠DFQ ＝90°，∠CFN +∠CNF ＝90°，∴∠DFQ ＝∠CNF ，∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△QDF ∽△FCN ，∴，即，∴QD ＝，∵tan ∠HMN ＝tan ∠CBF ＝，∴，∴HN ＝，∴MN ＝＝，∵CH ＝MD ＝HN +CN ＝＝3，∴MQ ＝3﹣＝，∴折叠后重叠部分的面积为：S △MNF +S △MQF ＝＝+＝；法二：折叠后重叠部分的面积为：S △MNF +S △MQF＝S 正方形CDMH ﹣S △QDF ﹣S △NFC ﹣S △MNH＝3×3﹣﹣﹣＝；故④正确；所以本题正确的结论有：①②③④；故答案为：①②③④．【点评】本题主要考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，解答本题主要应用了矩形的性质、翻折的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关键．三、作图题（本题满分4分）15．【分析】先过P点作m的垂线，垂足为O点，再在直线m上截取OA＝OB＝OP，连接PA、PB，接着作∠BOP的角平分线交PB于C点，然后以O点为圆心，OC为半径在△PAB内部作半圆即可．【解答】解：如图，△PAB和半圆O为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质．四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16．【分析】（1）先计算分式除法，再计算分式加法即可；（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．【解答】解：（1）原式＝＝＝＝；（2），解不等式①，得x＜﹣3，解不等式②，得x≤﹣1，∴该不等式组的解集为x＜﹣3．【点评】本题考查了分式的混合运算以及解一元一次不等式组，掌握完全平方公式、平方差公式以及解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．17．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，据此求解即可．【解答】解：（1）A转盘转出﹣3的概率是＝；故答案为：；（2）列表如下：12﹣3﹣3﹣101﹣4﹣4﹣2﹣10﹣5﹣534500由表知，共有12种等可能结果，其中指针所指的数字之和为正数有3种结果，指针所指的数字之和为负数有5种结果，所以爸爸去的概率为＝，妈妈去的概率为，∵≠，∴这个游戏对双方不公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．【分析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt△BCN中，求出CN、BN，在Rt△ABE中用AB的代数式表示AE，再根据∠ADC＝45°得出CF＝DF，列方程求解即可．【解答】解：过点C作CN⊥AB，CF⊥AD，垂足为N、F，如图所示：在Rt△BCN中，CN＝BC•sin∠MBC＝2×0.56＝1.12（米），BN＝BC×cos34°＝2×0.83＝1.66（米），在Rt△ABE中，AE＝AB•tan∠EBA＝AB×tan34°＝0.67AB，∵∠ADC＝45°，∴CF＝DF，∴BN+AB＝AD﹣AF＝AD﹣CN，即：1.66+AB＝0.67AB+4.4﹣1.12，解得，AB≈4.9（米）．答：匾额悬挂的高度AB的长约为4.9米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．19．【分析】（1）根据参加“篮球运球”测试的人数及所占的百分比求出学校参加本次测试总人数，再用总人数乘以“排球垫球”所占的百分比得到参加“排球垫球”测试的人数；（2）根据中位数的定义即可求解；（3）利用加权平均数的公式计算即可；（4）用8.5万乘以样本中选择“篮球运球”的考生所占的百分比即可求解．【解答】解：（1）由条形统计图可知，参加“篮球运球”测试的人数有：10+25+40+30＝105（人），由扇形统计图可知，参加“篮球运球”测试的人数所占的百分比为35%，∴学校参加本次测试总人数为：105÷35%＝300（人），参加“排球垫球”测试的人数为：300×（1﹣10%﹣35%）＝165（人）；（2）由条形统计图可知，参加“篮球运球”测试的一共有105人，其中不及格的有10人，合格的有25人，良好的有40人，优秀的有30人，105个数据按从小到大的顺序排列后，第53个数落在“良好”等级，即“篮球运球”的中位数落在“良好”等级．故答案为：“良好”；（3）由（1）知，参加“篮球运球”测试的有105人，参加“排球垫球”测试的有165人，则参加“足球运球”的有30人，又将本次测试“足球运球”、“篮球运球”、“排球垫球”三项等级折算成分数，则它们的平均成绩分别为6.5分，7.6分，8分，∴参加本次测试的学生第二类选考项目的平均成绩为：＝7.71（分）；（4）能估计今年全市选择“篮球运球”的考生人数．由扇形统计图可知，参加“篮球运球”测试的人数所占的百分比为35%，所以今年全市选择“篮球运球”的考生人数有：8.5×35%＝2.975（万人）＝29750（人）．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了中位数、加权平均数的定义以及利用样本估计总体的思想．20．【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△BCF是等边三角形，AD＝FC，进而可以解决问题；（2）首先证明四边形ABDF是平行四边形，由∠ABD＝90°，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，AB＝CD，∵EF为BC边上的垂直平分线，∴BC＝2EC＝2BE，∠FEC＝90°，∵BC＝FC＝2AB，∴EC＝AB＝CD，BC＝BF＝FC，∴△BCF是等边三角形，∴AD＝FC，∴∠ABD＝∠FEC＝90°，在Rt△ABD和Rt△CEF中，，∴Rt△ABD≌Rt△CEF（HL）；（2）解：四边形ABDF是矩形，理由如下：∵△BCF是等边三角形，∴BC＝FC＝2AB＝2CD，∴FD＝CD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠ABD＝90°，∴四边形ABDF是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到四边形ABDF是平行四边形．21．【分析】（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2m/s，可以求出S头与t的函数关系式；②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间（总时间t减去甲从排尾赶到排头的时间），于是可以求S甲与t的函数关系式；（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程＝队伍速度×返回时间．【解答】解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头＝2t+300；②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150s，此时S头＝2t+300＝600m甲返回时间为：（t﹣150）s，∴S甲＝2t﹣S甲回＝600﹣4（t﹣150）＝1200﹣4t；因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝1200﹣4t；（2）T＝t追及+t返回＝+＝，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×＝400；因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为400m．【点评】考查行程问题中相遇、追及问题的数量关系的理解和应用，同时函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误．22．【分析】知识再现：利用勾股定理和正方形的面积公式可求解；问题探究：（1）利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解；（2）过点D作DG⊥BC交于G，分别求出S4＝BC2，S5＝AC2，S6＝AB2，由勾股定理可得AB2＝AC2+BC2，即可求S4+S5＝S6；实践应用：（1）设AB＝c，BC＝a，AC＝b，则HN＝a+b﹣c，FG＝c﹣a，MF＝c﹣b，＝（a+b﹣c）2，可证明△HNP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，则S△PMNS四边形PMFG＝（c﹣a）（c﹣b），再由c2＝a2+b2，可证明S△PHN＝S四边形PMFG；（2）设AB＝c，BC＝a，AC＝b，以AB为直径的圆的面积为S3、以BC为直径的圆的面积为S1、以AC为直径的圆的面积为S2，可得S1+S2＝S3，又由V2+V1＝（S1+S2）h＝S3h ＝V3，即可求V1+V2＝16π．【解答】知识再现：解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴S1+S2＝S3，∵S1＝36，S3＝100，∴S2＝64，故答案为：64；问题探究：（1）解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AC2+BC2，∴S1+S2＝S3，故答案为：S1+S2＝S3；（2）解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，过点D作DG⊥BC交于G，在等边三角形BCD中，CD＝BC，CG＝BC，∴DG＝BC，∴S4＝×BC×BC＝BC2，同理可得S5＝AC2，S6＝AB2，∴AB2＝AC2+BC2，∴S4+S5＝S6；实践应用：（1）证明：设AB＝c，BC＝a，AC＝b，∴HN＝a+b﹣c，FG＝c﹣a，MF＝c﹣b，∵△HGB是等边三角形，△ABF是等边三角形，∴HG∥AF，MN∥BF，∴∠HPN＝60°，∴△HNP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，＝（a+b﹣c）2，S四边形PMFG＝（c﹣a）（c﹣b），∴S△PHN∵△ABC是直角三角形，∴c2＝a2+b2，∴（a+b﹣c）2＝（a2+b2+c2+2ab﹣2bc﹣2ac）＝（c2+ab﹣bc﹣ac）＝（c ﹣a）（c﹣b），＝S四边形PMFG；∴S△PHN（2）解：设AB＝c，BC＝a，AC＝b，以AB为直径的圆的面积为S3、以BC为直径的圆的面积为S1、以AC为直径的圆的面积为S2，∵△ABC是直角三角形，∴c2＝a2+b2，∴c2＝a2+b2，∴S1+S2＝S3，∵V2＝S2h，V1＝S1h，V3＝S3h，。

2024年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷

2024年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分;不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．1．（3分）的相反数是（）A．3B．C．D．﹣32．（3分）下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）四名运动员参加了射击预选赛，他们的成绩的平均环数及方差S2如下表所示：甲乙丙丁8.39.29.28.5S211 1.1 1.7如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，那么应选（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（3分）一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，则它的左视图是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠ADC＝66°，则∠AGB的度数为（）A．66°B．69°C．104°D．114°6．（3分）已知：平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（﹣3，0），则下列结论正确的有（）（1）a﹣b+c＜0；（2）4a2﹣2bc＞0；（3）将抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位时，它会过原点；（4）直线y＝2ax﹣c不过第四象限．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7．（3分）如图，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，3）、（﹣3，1）、（﹣1，2），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，其中点A、B、C的对应点分别是点A′、B′、C′，则点B′的坐标是．8．（3分）计算：＝．9．（3分）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是．10．（3分）一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地，设这辆汽车原计划的速度是x km/h，根据题意所列方程是．11．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，BD＝8，AD⊥DB，点M、N分别是边AB、BC上的动点（不与A、B、C重合），点E、F分别为DN、MN的中点，连接EF，则EF的最小值为．12．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，△ABC的面积为12，设边BC＝x，边AC＝y，请写出y与x的函数关系式；若△ABC的边AC不大于边BC 的6倍，则x的取值范围是．13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝45°，点E是AD中点，在AB上取一点F，以点F为圆心，FB的长为半径作圆，该圆与DC边恰好相切于点D，连接BE，若图中阴影部分面积为4π，则AD＝．14．（3分）已知一个棱长为15的正方体木块，现在从它的八个顶点处分别截去棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体，则所得到的几何体的各条棱的长度之和最少为．三.作图题（本题满分5分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。

山东省青岛市市北区2017届中考数学一模试卷(含解析)

山东省青岛市市北区2017届中考数学一模试卷(含解析)

2021年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷一、选择题〔此题共8个小题，每题3分，共24分〕1．相反数是5的数是〔〕A．5B．﹣5C．D．﹣2．以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是〔〕A． B． C． D．3．图1和图2中所有的正方形都全等，将图 1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是〔〕A．①B．②C．③D．④4．线段MN在直角坐标系中的位置如下图，将MN绕点M逆时针旋转90°得到线段M1N1，那么点N的对应点N1的坐标为〔〕A．〔0，0〕B．〔﹣5，﹣4〕C．〔﹣3，1〕D．〔﹣1，﹣3〕5．根据表格估计一元二次方程x2+2x﹣4=0的一个解的范围在〔〕x﹣10123 x2+2x﹣4﹣5﹣4﹣1411 A．﹣1＜x＜0B．0＜x＜1C．1＜x＜2D．2＜x＜36．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．假设∠P=40°，那么∠ABC的度数为〔〕A．20°B．25°C．40°D．50°7．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一局部学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，那么所列方程正确的选项是〔〕A．﹣=20B．﹣=20C．﹣=D．﹣=8．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．假设∠COB=60°，FO=FC，那么以下结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S四边形DGOF=2：7．其中正确结论的个数是〔〕A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题〔本大题共6小题，每题3分，共18分〕9．计算：=．10．某种细胞的直径是米，将米用科学记数法表示为．11．某学校要从甲、乙两支女生礼仪队中，选拔一支身高相对整齐的队伍，代表学校承接迎宾任务，对两队女生升高情况〔cm〕的统计分析如表所示，在其它各项指标都相同的情况下，你认为队〔填甲或乙〕会被录取，理由是．平均数标准差中位数甲队乙队12．某产品每件本钱10元，试销阶段每件产品的销售单价x〔元/件〕与日销售量y〔件〕之间的关系如下表．2x〔元∕件〕15182022⋯y〔件〕250220200180⋯按照的律可得，日售利w〔元〕与售价x〔元/件〕之的函数关系式是．13．如，一根5m的子，一端拴在角的柱子上，另一端拴着一只小羊A〔羊只能在草地上活〕，那么小羊A在草地上的最大活区域面是平方米．14．如所示，点C〔1，0〕，直y= x+7与两坐分交于A，B两点，D，E分是AB，OA上的点，△C DE周的最小是．三、解答〔本大共10小，共78分〕15．〔4分〕用、直尺作，不写作法，但到保存作痕迹．：段a，求作：正方形ABCD，使其角AC=a．16．化：〔+〕÷〔2〕解不等式．17．〔6分〕甲、乙两个人做游：在一个不透明的口袋中装有4相同的牌，它分有数字1，2，3，4．从中随机摸出一牌然后放回，再随机摸出一牌，假设两次摸出的牌上数字之和是3的倍数，甲；否乙．个游双方公平？列表格或画状明理由．18．〔6分〕如，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，在距离CD的正前方30米的3点P处，以22°的仰角测得建筑物的顶端C恰好挡住教学楼的顶端A，而在建筑物CD上距离地面3米高的E处，测得教学楼的顶端A的仰角为45°，求教学楼AB的高度．〔参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈〕19．〔6分〕中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会〞海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其200名学生的海选比赛成绩〔成绩x取整数，总分100分〕作为样本进行整理，得到以下统计图表：抽取的200名学生海选成绩分组表组别海选成绩xA组50≤x＜60B组60≤x＜70C组70≤x＜80D组80≤x＜90E组90≤x＜100请根据所给信息，解答以下问题：〔1〕请把图1中的条形统计图补充完整；〔温馨提示：请画在答题卷相对应的图上〕〔2〕在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，那么a的值为，表示（C组扇形的圆心角θ的度数为度；3〕规定海选成绩在90分以上〔包括90分〕记为“优等〞，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等〞的有多少人？420．〔8分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b〔a，b为常数，且a≠0〕与反比例函数y2=〔m为常数，且m≠0〕的图象交于点A〔﹣2，1〕、B〔1，n〕1〕求反比例函数与一次函数的解析式；2〕连接OA、OB，求△AOB的面积；3〕直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围．21．〔8分〕如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连CD．1〕求证：AO=EO；2〕假设AE是△ABC的中线，那么四边形AECD是什么特殊四边形？证明你的结论．22．〔10分〕如图，需在一面墙上绘制两个形状相同的抛物绒型图案，按照图中的直角坐标系，最高点M到横轴的距离是4米，到纵轴的距离是6米；纵轴上的点A到横轴的距离是米，右侧抛物线的最大高度是左侧抛物线最大高度的一半．〔结果保存整数或分数，参考数据：=，=〕51〕求左侧抛物线的表达式；2〕求右侧抛物线的表达式；3〕求这个图案在水平方向上的最大跨度是多少米．23．〔10分〕【问题提出】任意三角形的两边及夹角〔是锐角〕，求三角形的面积．【问题探究】为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究．探究一：在Rt△ABC〔图1〕中，∠ABC=90°，AC=b，BC=a，∠C=α，求△ABC的面积〔用a、b、α的代数式表示〕在Rt△ABC中，∠ABC=90°∴sinα=AB=b?sinα∴S△ABC= BC?AB=absinα探究二：锐角△ABC〔图2〕中，AC=b，BC=a，∠C=α〔0°＜α＜90°〕求：△ABC的面积．〔用含a、b、α的代数式表示〕探究三：钝角△ABC〔图3〕中，AC=b，BC=a，∠C=α〔0°＜α＜90°〕求：△ABC的面积．〔用含a、b、α的代数式表示〕【问题解决】用文字表达：任意三角形的两边及夹角〔是锐角〕，求三角形面积的方法是【问题应用】平行四边形ABCD〔图4〕中，AB=b，BC=a，∠B=α〔0°＜α＜90°〕求：平行四边形ABCD的面积．〔用含a、b、α的代数式表示〕624．〔12分〕：如图，菱形ABCD中，AB=10cm，BD=12cm，对角线AC与BD相交于点O，直线MN以1cm/s从点D出发，沿DB方向匀速运动，运动过程中始终保持MN⊥BD，垂足是P，过点P作PQ⊥BC，交BC于点Q．〔0＜t＜6〕〔1〕求线段PQ的长；〔用含t的代数式表示〕〔2〕设△MQP的面积为y〔单位：cm2〕，求y与t的函数关系式；〔3〕是否存在某时刻t，使线段MQ恰好经过点 O？假设存在求出此时t的值；假设不存在，请说明理由．72021年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题〔此题共8个小题，每题3分，共24分〕1．相反数是5的数是〔〕A．5B．﹣5C．D．﹣【考点】14：相反数．【分析】根据相反数的意义求解即可．【解答】解：5的相反数是﹣5，应选：B．【点评】此题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是〔〕A．B．C．D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．应选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．3．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是〔〕8A．①B．②C．③D．④【考点】I7：展开图折叠成几何体．【分析】由平面图形的折叠及正方体的外表展开图的特点解题．【解答】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体，应选：A．【点评】此题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田〞字格的展开图都不是正方体的外表展开图．4．线段MN在直角坐标系中的位置如下图，将MN绕点M逆时针旋转90°得到线段M1N1，那么点N的对应点N1的坐标为〔〕A．〔0，0〕B．〔﹣5，﹣4〕C．〔﹣3，1〕D．〔﹣1，﹣3〕【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．【分析】根据网格结构作出图形，然后根据平面直角坐标系写出点N1的坐标即可．【解答】解：如图，点N的对应点N1的坐标为〔﹣3，1〕．【点评】此题考查了坐标与图形变化﹣旋转，作出图形更形象直观．95．根据表格估计一元二次方程x2+2x﹣4=0的一个解的范围在〔〕x﹣10123x2+2x﹣4﹣5﹣4﹣1411 A．﹣1＜x＜0B．0＜x＜1C．1＜x＜2D．2＜x＜3【考点】A4：估算一元二次方程的近似解．【分析】据表格中的数据，可以发现：x=1时，x2+2x﹣4=﹣1；x=2时，x2+2x﹣4=4，故一元2二次方程x+2x﹣4=0的其中一个解x的范围是1＜x＜2，进而求解．方程的一个解x的范围是：1＜x＜2，应选C．【点评】此题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围．6．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．假设∠P=40°，那么∠ABC的度数为〔〕A．20°B．25°C．40°D．50°【考点】MC：切线的性质．【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAO=90°．又∵∠P=40°，∴∠POA=50°，∴∠ABC=∠POA=25°．应选：B．10【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理．圆的切线垂直于经过切点的半径．7．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一局部学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，那么所列方程正确的选项是〔〕A．﹣=20B．﹣=20C．﹣=D．﹣=【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一局部学生骑自行车先走，过了分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：由题意可得，=，应选C．【点评】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．8．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．假设∠COB=60°，FO=FC，那么以下结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S四边形DGOF=2：7．其中正确结论的个数是〔〕A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分11线的性质；LB：矩形的性质．【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，那么两三角形不全等；③可证明∠CDE=∠DFE；④设S△EGO=x，那么S△AOE=2x，S△BOF=4x，可通过面积转化进行解答．【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，FO=FC，FB垂直平分OC，故①正确；②∵△BOC为等边三角形，∴OB=BC，FO=FC，BF=BF，∴△BCF≌△BOF，∴∠BOF=∠BCF=90°，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故②错误；③易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，∴∠ADE=∠1=30°，∠BEO=60°∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，∴∠CDE=∠DFE，12DE=EF，故③正确；④易知△AOE≌△COF，∴S△AOE=S△COF，∵S△COF=2S△CMF，∵∠FCO=30°，∴FM=，BM=CM，=，∴S△FOM：S△BOF=1：4，易证△GEO≌△MFO，∴S△GEO=S△MFO，易证明四边形DEBF是平行四边形，∴S△DEF=S△EFB=2S△BOF，S△EGO=x，那么S△AOE=2x，S△BOF=4x，S四边形DGOF=S△DEF﹣S△EGO=S△EFB﹣S△EGO=8x﹣x，∴S△AOE：S四边形DGOF=2x：〔8x﹣x〕=2：7，故④正确；所以其中正确结论的个数为3个；应选B．【点评】此题综合性比拟强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．13二、填空题〔本大题共6小题，每题3分，共18分〕9．计算：=．【考点】79：二次根式的混合运算．【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算．【解答】解：原式===．故答案为．【点评】此题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．10．某种细胞的直径是米，将米用科学记数法表示为×10﹣7．【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将米用科学记数法表示为×10﹣7，故答案为：×10﹣7．【点评】此题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．11．某学校要从甲、乙两支女生礼仪队中，选拔一支身高相对整齐的队伍，代表学校承接迎宾任务，对两队女生升高情况〔cm〕的统计分析如表所示，在其它各项指标都相同的情况下，你认为乙队〔填甲或乙〕会被录取，理由是乙队的标准差较小，身高比拟整齐．平均数标准差中位数甲队乙队【考点】W8：标准差；W2：加权平均数；W4：中位数．14【分析】先比甲的准差与乙的准差，再根据准差的意即可得出答案．【解答】解：乙被取，理由：∵甲的准差是、乙的准差是，乙的准差小于甲的准差，而准差越小数据的波越小，∴乙的身高数据波小，即比整，∴乙被取；故答案：乙，乙的准差小，身高比整．【点】本考了准差及中位数的知，准差是反映一数据的波大小的一个量．准差越大，平均的离散程度越大，定性也越小；反之，它与其平均的离散程度越小，定性越好．12．某品每件本钱10元，段每件品的售价x〔元/件〕与日售量y〔件〕之的关系如下表．x〔元∕件〕15182022⋯y〔件〕250220200180⋯按照的律可得，日售利w〔元〕与售价x〔元/件〕之的函数关系式是w=10x2+500x4000．【考点】HD：根据列二次函数关系式．【分析】根据意得出日售量y是售价x的一次函数，再利用待定系数法求出即可，再根据量×每件利=利，即可得出所利w二次函数．【解答】解：由表中数据得出y与x是一次函数关系，解析式：y=kx+b，，解得：，∴y与x之的函数关系式：y= 10x+400；故日售利w〔元〕与售价x〔元〕之的函数关系式：w=〔x 10〕y=〔x 10〕〔10x+400〕= 10x2+500x 4000．故答案：w= 10x2+500x 4000．15【点评】此题考查了一次函数解析式求法及二次函数的应用，求出一次函数解析式是解题关键．13．如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A〔羊只能在草地上活动〕，那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是π平方米．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．【解答】解：如图．小羊的活动范围是：S=+=π〔平方米〕．【点评】此题结合实际问题考查了扇形面积的计算方法，解题关键是弄清小羊活动的范围是哪些图形．14．如下图，点C〔1，0〕，直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，那么△CDE周长的最小值是10．【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】点C关于OA的对称点C′〔﹣1，0〕，点C关于直线AB的对称点C″〔7，6〕，连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就16是线段C′C″．【解答】解：如图，点C关于OA的对称点C′〔﹣1，0〕，点C关于直线 AB的对称点C″，∵直线AB的解析式为y=﹣x+7，∴直线CC″的解析式为y=x﹣1，由解得，∴E〔4，3〕，∵E是CC″中点，∴可得C″〔7，6〕．连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，△DEC的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″==10．故答案为10．【点评】此题考查轴对称﹣最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，属于中考常考题型．三、解答题〔本大题共10小题，共78分〕15．用圆规、直尺作图，不写作法，但到保存作图痕迹．：线段a，求作：正方形ABCD，使其对角线AC=a．【考点】N3：作图—复杂作图；LE：正方形的性质．【分析】首先画一条线段AC=a，然后作AC的垂直平分线，交AC于O，然后以O为圆心，a长为半径作弧，交AC的垂直平分线于B、D两点，连接AB、BC、CD、AD，即可得出所求作17的正方形．【解答】解：：线段a；求作：正方形ABCD，使AC=a．作法：1、作线段AC=a，2、作线段 AC的垂直平分线，交AC于0，3、以O为圆心，a长为半径作弧，交AC的垂直平分线于B、D两点，4、连接AB、BC、CD、AD，那么正方形ABCD即为求作的图形．【点评】此题考查了作图﹣复杂作图，正方形的判定，要求熟练掌握用尺规作图作线段垂直平分线的方法．16．〔1〕化简：〔+〕÷〔2〕解不等式组．【考点】6C：分式的混合运算；CB：解一元一次不等式组．【分析】〔1〕根据分式运算法那么即可求出答案〔2〕先分别求出两不等式的解集，然后求出它们的交集即可求出答案．【解答】解：〔1〕原式=〔﹣〕××=a（2〕由①可得：x＞﹣由②可得：x≤018∴不等式组的解集为：﹣＜x≤0，【点评】此题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用运算法那么，此题属于根底题型．17．甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，假设两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，那么甲胜；否那么乙胜．这个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由．【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数的情况数，求出甲获胜的概率，进而求出乙获胜的概率，比拟即可．【解答】解：根据题意列表如下：12341〔1，1〕〔2，1〕〔3，1〕〔4，1〕2〔1，2〕〔2，2〕〔3，2〕〔4，2〕3〔1，3〕〔2，3〕〔3，3〕〔4，3〕4〔1，4〕〔2，4〕〔3，4〕〔4，4〕所有等可能的情况数有16种，其中两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数的情况有：〔2，1〕，〔1，2〕，〔4，2〕，〔3，3〕，〔2，4〕，共5种，∴P〔甲获胜〕=，P〔乙获胜〕=1﹣=，那么该游戏不公平．【点评】此题考查了游戏的公平性，列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否那么就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，在距离CD的正前方30米的观测点P处，以22°的仰角测得建筑物的顶端C恰好挡住教学楼的顶端A，而在建筑物CD上距离地面3米高的E处，测得教学楼的顶端A的仰角为45°，求教学楼AB的高度．〔参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈〕19【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】如图作EF⊥AB于F，那么四边形 EFBD是矩形．设EF=AF=x，在Rt△PAB中，AB=x+3，PB=30+x，根据tan22°=，可得=，解方程即可解决问题．【解答】解：如图作EF⊥AB于F，那么四边形EFBD是矩形．∵∠AEF=45°，∠AFE=90°，∴∠AEF=∠EAF=45°，EF=AF，设EF=AF=x，那么BD=EF=x，在Rt△PAB中，∵AB=x+3，PB=30+x，tan22°=，∴=，x=15，AB=x+3=18m，答：教学楼AB的高度为18m．【点评】此题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．19．中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会〞海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名20学生的海选比赛成绩〔成绩x取整数，总分100分〕作为样本进行整理，得到以下统计图表：抽取的200名学生海选成绩分组表组别海选成绩xA组50≤x＜60B组60≤x＜70C组70≤x＜80D组80≤x＜90E组90≤x＜100请根据所给信息，解答以下问题：〔1〕请把图1中的条形统计图补充完整；〔温馨提示：请画在答题卷相对应的图上〕〔2〕在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，那么a的值为15，表示C组扇形的圆心角θ的度数为72度；3〕规定海选成绩在90分以上〔包括90分〕记为“优等〞，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等〞的有多少人？【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【分析】〔1〕用随机抽取的总人数减去A、B、C、E组的人数，求出D组的人数，从而补全统计图；〔2〕用B组抽查的人数除以总人数，即可求出a；用360乘以C组所占的百分比，求出C组扇形的圆心角θ的度数；〔3〕用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在90分以上〔包括90分〕所占的百分比，即可得出答案．【解答】解：〔1〕D的人数是：200﹣10﹣30﹣40﹣70=50〔人〕，21补图如下：〔2〕B组人数所占的百分比是×100%=15%，那么a的值是15；C组扇形的圆心角θ的度数为360×=72°；故答案为：15，72；〔3〕根据题意得：2000×=700〔人〕，答：估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等〞的有700人．【点评】此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b〔a，b为常数，且a≠0〕与反比例函数y2=〔m为常数，且m≠0〕的图象交于点A〔﹣2，1〕、B〔1，n〕（1〕求反比例函数与一次函数的解析式；2〕连接OA、OB，求△AOB的面积；3〕直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围．22【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】〔1〕将A的坐标代入反比例函数求出m的值，然后将B的坐标代入反比例函数求n的值，然后将A、B两点的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案．〔2〕求出直线与y轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求出答案．〔3〕根据图象即可求出x的取值范围．【解答】解：〔1〕将A〔﹣2，1〕代入y=，∴m=﹣2，∴反比例函数的解析式为：y=将B〔1，n〕代入y=﹣n=﹣2A〔﹣2，1〕和B〔1，﹣2〕代入y=ax+b，∴解得：∴一次函数的解析式为：y=﹣x﹣1，2〕令x=0代入y=﹣x﹣1y=﹣1∴S△AOB=×1×2+×1×1，3〕当y1＜y2时，∴﹣2＜x＜0，或x＞1【点评】此题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出A、B两点的坐标，23此题属于中等题型．21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD．1〕求证：AO=EO；2〕假设AE是△ABC的中线，那么四边形AECD是什么特殊四边形？证明你的结论．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L9：菱形的判定．【分析】〔1〕由“三线合一〞定理即可得到结论；〔2〕由AD∥BC，BD平分∠ABC，得到∠ADB=∠ABD，由等腰三角形的判定得到AD=BD，根据“SAS〞定理证得△ABO≌△BBO，由全等三角形的性质有AB=BE，于是AD=BE，进而得到AE=EC，根据平行四边形的判定即可得到结论．【解答】〔1〕证明：∵BD平分∠ABC，AE⊥BD，∴AO=EO；2〕平行四边形，证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠ABD，∴AD=BD，在△ABO和△BBO中，，∴△ABO≌△BBO，AB=BE，AD=BE，∵AE=CE，AE=EC，∴四边形AECD是平行四边形．【点评】此题主要考查了三线合一定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性24质，平行四边形的判定，证得∠ADB=∠ABD，由等腰三角形的判定得到AD=BD是解决问题的关键．22．〔10分〕〔2021?市北区一模〕如图，需在一面墙上绘制两个形状相同的抛物绒型图案，按照图中的直角坐标系，最高点M到横轴的距离是4米，到纵轴的距离是6米；纵轴上的点A到横轴的距离是1米，右侧抛物线的最大高度是左侧抛物线最大高度的一半．〔结果保存整数或分数，参考数据：=，=〕1〕求左侧抛物线的表达式；2〕求右侧抛物线的表达式；3〕求这个图案在水平方向上的最大跨度是多少米．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】〔1〕根据条件得到M〔6，4〕，设左侧抛物线的表达式为y=a〔x﹣6〕2+4，把A〔0，1〕代入y=a〔x﹣6〕2+4即可得到结论；〔2〕根据〔1〕中的结论设右侧抛物线的表达式为y=﹣〔x﹣h〕2+2，把C〔13，0〕代入y=﹣〔x﹣h〕2+2即可得到结论；〔3〕求出D〔23，0〕，于是得到结论．【解答】解：〔1〕∵最高点M到横轴的距离是4米，到纵轴的距离是6米∴M〔6，4〕，设左侧抛物线的表达式为y=a〔x﹣6〕2+4，把A〔0，1〕代入y=a〔x﹣6〕2+4得a=﹣，∴左侧抛物线的表达式为y=﹣〔x﹣6〕2+4；〔2〕∵抛物线y=﹣〔x﹣6〕2+4与x轴的交点C〔13，0〕，25∵右侧抛物线与左侧抛物线形状相同，∴设右侧抛物线的表达式为y=﹣〔x﹣h〕2+2，把C〔13，0〕代入y=﹣〔x﹣h〕2+2得0=﹣〔13﹣h〕2+2，解得：h=18，h=8〔不合题意，舍去〕，∴右侧抛物线的表达式为y=﹣〔x﹣18〕2+2；〔3〕∵C〔13，0〕，右侧抛物线的对称轴是直线x=18，∴D〔23，0〕，∴这个图案在水平方向上的最大跨度是23米．【点评】此题考查二次函数的实际运用，待定系数法求函数解析式，根据图象得出点的坐标是解决问题的关键．23．〔10分〕〔2021?市北区一模〕【问题提出】任意三角形的两边及夹角〔是锐角〕，求三角形的面积．【问题探究】为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究．探究一：在Rt△ABC〔图1〕中，∠ABC=90°，AC=b，BC=a，∠C=α，求△ABC的面积〔用a、b、α的代数式表示〕在Rt△ABC中，∠ABC=90°∴sinα=AB=b?sinα∴S△ABC= BC?AB=absinα探究二：锐角△ABC〔图2〕中，AC=b，BC=a，∠C=α〔0°＜α＜90°〕求：△ABC的面积．〔用含a、b、α的代数式表示〕探究三：钝角△ABC〔图3〕中，AC=b，BC=a，∠C=α〔0°＜α＜90°〕求：△ABC的面积．〔用含a、b、α的代数式表示〕【问题解决】26用文字表达：任意三角形的两边及夹角〔是锐角〕，求三角形面积的方法是S= absin∠C〔∠C是a、b两边的夹角〕【问题应用】平行四边形ABCD〔图4〕中，AB=b，BC=a，∠B=α〔0°＜α＜90°〕求：平行四边形ABCD的面积．〔用含a、b、α的代数式表示〕【考点】LO：四边形综合题．【分析】探究二：如图2中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解决问题；探究三：如图3中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解决问题；问题解决：S=absin∠C〔∠C是a、b两边的夹角〕；问题应用：如图4中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解决问题；【解答】解：探究二：如图2中，作AH⊥CB于H．Rt△AHC中，∠AHC=90°∴sinα=AH=b?sinα∴S△ABC= BC?AH=absinα探究三：如图3中，作AH⊥CB于H．27。

2024年山东省青岛中考数学一模考前训练试卷(解析版)

2024年山东省青岛中考数学一模考前训练试卷(解析版)

2024年山东省青岛中考数学一模考前训练试卷（解析版）（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。

写在本试卷上无效。

4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

写在本试卷上无效。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果某天中午的气温是4℃，记作4+℃，那么这天晚上的气温是零下5℃可记作（ ）A ．5−℃B ．4−℃C ．5+℃D ．9+℃【答案】A【分析】此题考查负数的意义，解题的关键是运用负数来描述生活中的实例．首先审清题意，明确正数和负数所表示的意义；再根据题意作答．【详解】解：某天中午的气温是4℃，记作4+℃，那么这天晚上的气温是零下5℃可记作5−℃，故选：A ．2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B. 该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．故选：D ．3 .第19届亚运会即将在杭州举办，据官网消息杭州奥体中心体育场建筑总面积约为216000平方米， 数据216000用科学记数法表示为（ ）A ．52.1610×B ．421.610×C ．42.1610×D ．321610×【答案】A 【分析】把一个大于10的数记成10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．【详解】解：根据科学记数法的概念可得，5216000 2.1610=×，故选：A ．4．下列运算正确的是（ ）A B ．3=C 4=D 【答案】D【分析】根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对D 进行判断；根据二次根式的除法法则对C 进行判断．【详解】解：A A 选项错误；B 、B 选项错误；C 2=，所以C 选项错误；D D 选项正确．故选D ．5 .如图，将ABC 先向右平移3个单位，再绕原点O 旋转180°，得到A B C ′′′ ，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ）A ．(2,0)B ．(2,3)−−C ．(1,3)−−D ．(3,1)−−【答案】C 【分析】先画出平移后的图形，再利用旋转的性质画出旋转后的图形即可求解．【详解】解：先画出△ABC 平移后的△DEF ，再利用旋转得到△A 'B 'C '，由图像可知A '（-1，-3），故选：C ．6 . 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为（）A. 20mB. 28mC. 35mD. 40m【答案】B【解析】【分析】由题意可知，37m AB =，7m =CD ，主桥拱半径R ， 根据垂径定理，得到37m 2AD =，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【详解】解：如图，由题意可知，37m AB =，7m =CD ，主桥拱半径R ，()7m OD OC CD R ∴=−=−，OC 是半径，且OC AB ⊥，137m 22AD BD AB ∴===， 在Rt △ADO 中，222AD OD OA +=，()2223772R R ∴+−= ， 解得：156528m 56R =≈， 故选B7 .如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，ACE △为等边三角形．若2AB =，则OE 的长度为（ ）A B C ．D ．【答案】B【分析】利用勾股定理求出AC 的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题．【详解】在正方形ABCD 中：2,90AB BC ABC ==∠=°，∴AC∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，∴12OC AC ==∵ACE △为等边三角形, O 为AC 的中点，∴EC AC ==，EO AC ⊥，∴90EOC ∠=°,∴OE 故选：B ．8 .已知二次函数2y ax bx c ++的图象开口向下，对称轴为直线=1x −，且经过点(30)−，， 则下列结论正确的是（ ）A ．0b >B ．0c <C ．0a b c ++>D ．30a c +=【答案】D 【分析】图象开口向下，得a <0， 对称轴为直线12b x a=−=−，得b =2a ，则b <0，图象经过(30)−，，根据对称性可知，图象经过点(1)0，，故c >0，当x =1时，a +b +c =0，将b =2a 代入，可知3a +c =0． 【详解】解：∵图象开口向下，∴a <0，∵对称轴为直线12b x a=−=−， ∴b =2a ，∴b <0，故A 不符合题意；根据对称性可知，图象经过(30)−，， ∴图象经过点(1)0，， 当x =1时，a +b +c =0，故C 不符合题意；∴c =-a -b ，∴c >0，故B 不符合题意；将b =2a 代入，可知3a +c =0，故D 符合题意．9. 如图，在ABC 中，8cm AB =，16cm BC =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2cm/s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4cm/s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么经过（ ）秒时QBP △与ABC 相似．A ．2秒B ．4秒C ．2或0.8秒D ．2或4秒【答案】C 【分析】设经过t 秒时, QBP △与ABC 相似,则2cm,82)cm,4(cm AP t BP t BQ t ==−=, 利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 BP BQ BA BC=时,BPQ BAC ∽ ,即 824;816t t −= 当BP BQ BC BA =时,BPQ BCA △∽△,即 824,168t t −=然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t 秒时, QBP △与ABC 相似,则2cm,82)cm,4(cm AP t BP t BQ t ==−= PBQ ABC ∠=∠ ,∴当 BP BQ BA BC=时,BPQ BAC ∽ , 即 824,816t t −= 解得：2t =当 BP BQ BC BA=时,BPQ BCA △∽△ , 即 824,168t t −=综上所述：经过0.8s 或2s 秒时,QBP △与ABC 相似故选：C10. 如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若2415AD AB ==，，则线段PE 的长等于（）A ．22B ．20C ．18D ．16解：过点P 作PG FN PH BN ⊥⊥，，垂足为G 、H ，由折叠得：ABNM 是正方形，15AB BN NM MA ====，1590CD CF D CFE ED EF ==∠=∠=°=，，，∴24159NC MD ==−=，在Rt FNC △中，12FN ，∴15123MF =−=，在Rt MEF 中，设EF x =，则9ME x =−，由勾股定理得，()22239+−=x x ，∵9090CFN PFGPFG FPG ∠+∠=°∠+∠=°，， ∴CFN FPG ∠=∠， ∵90CNF PGF ∠=∠=°， ∴FNC PGF ∽，∴345FGPG PF NC FN FC ==∶∶∶∶∶∶， 设3FG m =，则45PG m PF m ==，， ∴()12315123334GN PH BH m HN m m PG m ===−=−−=+==，，解得：3m =，∴515PFm ==， ∴15520PE PF FE =+=+=，故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．﹣12的绝对值是 ． 【答案】12 【详解】﹣12的绝对值是|﹣12|=12 12 . 如果x ＝1是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的一个实数根，那么m ＝ ；【答案】2【分析】把x =1代入方程x 2-3x +m =0得1-3+m =0，然后解关于m 的方程．【详解】解：把x =1代入方程x 2-3x +m =0得1-3+m =0，解得m =2．故答案为：2．13 . 一个袋子中装有4个黑球和n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个， 摸到白球的概率为35，则白球的个数n 为___________ 【答案】6【分析】根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答． 【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为35， ∴摸到黑球的概率为25． ∵袋子中有4个黑球，∴袋子中共有10个球，∴白球有6个．故答案为：6．14 .某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为 ___ 分．【答案】90【分析】根据加权平均公式进行计算，即可得到答案．【详解】解：该名教师的综合成绩为9540%8540%9020%90×+×+×=（分），故答案为：90．15 .如图，已知双曲线(0)k y k x=>经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ， 与直角边AB 相交于点C ，若OBC △的面积为6，则k = .【答案】4【分析】过D 点作x 轴的垂线交x 轴于E 点，可得到四边形DBAE ，和三角形OBC 的面积相等，通过面积转化，可求出k 的值．【详解】解：过D 点作x 轴的垂线交x 轴于E 点，ODE △的面积和OAC 的面积相等．OBC ∴ 的面积和四边形DEAB 的面积相等且为6．设D 点的横坐标为x ，纵坐标就为k x， D 为OB 的中点．EA x ∴=，2k AB x=， ∴四边形DEAB 的面积可表示为：12()62kk x x x += 4k =．故答案为：4．16 .如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE =EC ，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①△ADG ≌△FDG ；②GB =2AG ；③△GDE ∽△BEF ；④S △BEF =725． 在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）【答案】①②④．【详解】解：由折叠可知，DF =DC =DA ，∠DFE =∠C =90°，∴∠DFG =∠A =90°，∴△ADG ≌△FDG ，①正确；∵正方形边长是12，∴BE =EC =EF =6，设AG =FG =x ，则EG =x +6，BG =12-x ，由勾股定理得：EG 2=BE 2+BG 2，即：（x +6）2=62+（12-x ）2，解得：x =4∴AG =GF =4，BG =8，BG =2AG ，②正确；BE =EF =6，△BEF 是等腰三角形，,DG DE ≠ 则△GED 不是等腰三角形， ∴△GDE 与△BEF 不相似， ③错误；S △GBE =12×6×8=24，S △BEF =EF EG S △GBE =610×24=725，④正确. 故答案为：①②④三、作图题（本大题满分4分）17． 已知：Rt ABC ， ∠B =90°；求作：点P ，使点P 在ABC 内部，且,45PB PC PBC =∠=°．【答案】见解析【分析】分别以点B 、C 为圆心，大于BC 长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，然后再以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 、BC 于点M 、N ，以点M 、N 为圆心，大于MN 长一半为半径画弧，交于一点Q ，连接BQ ，进而问题可求解．【详解】解：如图，点P 即为所求：四、解答题（本大题共9小题，共68分）18．（1）计算：2111442a a a a − ÷+ −+−； （2）解不等式组：()231212x x x ≥− −<【答案】（1）12a −；（2）23x <≤ 【分析】（1）先计算括号内的分式的减法，再把除法转化为乘法，约分后可得答案；（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定不等式解集的公共部分即可．【详解】（1）解：原式2121442a a a a a −−+÷−+− 212(2)1a a a a −−⋅−− 12a =−． （2）解：解不等式23(1)x x ≥−得：3x ≤ 解不等式212x −<得：2x > ∴原不等式组的解集是23x <≤．19．2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．【答案】游戏对双方都公平【分析】根据题意列表求得双方的概率即可求解．【详解】解：所有可能的结果如下：1 2 3 4 51 ()1,1 ()1,2()1,3 ()1,4 ()1,5 2 ()2,1 ()2,2 ()2,3()2,4 ()2,5 ∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果．∴P （小冰获胜）51102== P （小雪获胜）51102== ∵P （小冰获胜）=P （小雪获胜）∴游戏对双方都公平．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE 的倾斜角EAD ∠为22°，长为3米的真空管AB 与水平线AD 的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE 的长度为0.5米．(1)真空管上端B 到水平线AD 的距离．(2)求安装热水器的铁架水平横管BC 的长度．（结果精确到0.1米）参考数据：3sin 375°≈，4cos375≈°，3tan 374°≈，3sin 228°≈，15cos 2216°≈，tan 220.4°≈ 【答案】(1)1.8米(2)0.9米【分析】（1）过B作BF⊥AD于F．构建R t△ABF中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．（2）根据BF的长可求出AF的长，再判定出四边形BFDC是矩形，可求出AD，根据BC＝DF＝AD−AF计算即可．【详解】（1）如图，过B作BF⊥AD于F．在R t△ABF中，∵sin∠BAF＝BF AB，∴BF＝AB sin∠BAF＝3sin37°≈1.8．∴真空管上端B到AD的距离约为1.8米．（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BAF＝AF AB，∴AF＝AB cos∠BAF＝3cos37°≈2.4，∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD−CE＝1.3米，在Rt △EAD 中，∵tan ∠EAD ＝ED AD ， ∴1.3AD 25=， ∴AD ＝3.25米，∴BC ＝DF ＝AD −AF ＝3.25−2.4＝0.85≈0.9∴安装热水器的铁架水平横管BC 的长度约为0.9米．20．孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣是最好的老师，阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐……各种兴趣爱好是打并创新之门的金钥匙． 某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长．对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表 组别 时长t （单位：h ） 人数累计 人数第一组 12t ≤< 正正正正正正 30第二组 23t ≤< 正正正正正正正正正正正正 60第三组 34t ≤< 正正正正正正正正正正正正正正 70第四组 45t ≤< 正正正正正正正正 40根据以上信息，解答下列问题：(1)补全频数直方图；(2)这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第__________组；(3)若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为__________，对应的扇形圆心角的度数为__________°；(4)学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2h，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？【答案】(1)图见解析(2)三(3)30%，108(4)330人【分析】（1）根据频数分布表补全图形即可；（2）根据中位数的定义，中间的一个数或两个数的平均数求出中位数；×°，即可得出答案；（3）根据百分比=该组频数÷总数，圆心角=百分比360（4）用2200乘以第一组所占百分比即可得出答案．【详解】（1）解：学生每周自主发展兴趣爱好时长频数直方图：（2）∵总人数为200人，∴中位数落在第100、101个学生每周自主发展兴趣爱好的时长的平均数， 又∵30+60=90＜100，30+60+70=160＞101，∴中位数落在第三组，故答案为：三；（3）第二组的学生人数占调查总人数的百分比为：60100%30%200×= 第二组的学生人数对应的扇形圆心角的度数为：30%360108×°=° 故答案为：30%，108；（4）估计该校需要增加自主发展兴趣爱好时间的人数为：302200330200×=（人） 答：估计该校有330人需要增加自主发展兴趣爱好时间．22 .某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现， 该种健身球每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：()2802040y x x =−+≤≤， 设这种健身球每天的销售利润为w 元．(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；(2)求w 与x 之间的函数关系式；(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)30(2)221201600w x x =−+−(3)该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元【分析】（1）在2080y x =−+中，令25x =，进行计算即可得； （2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w 与x 之间的函数关系式；（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．【详解】（1）解：在280y x =−+中，令25x =得，2258030y =−×+=， 故答案为：30；（2）解：根据题意得，2(20)(280)21201600w x x x x =−−+=−+−， 即w 与x 之间的函数关系式为：221201600w x x =−+−；（3）解：22212016002(30)200w x x x =−+−=−−+， ∵20−<，∴当30x =时，w 取最大值，最大值为200，即该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．23 . 如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴正半轴相交于点C ， 与反比例函数2y x=−的图象在第二象限相交于点(1,)A m −，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，AD CD =．(1)求一次函数的表达式；(2)已知点(,0)E a 满足CE CA =，求a 的值．【答案】(1)1y x =−+(2)1−1+【分析】（1）将点A 坐标代入反比例函数解析式求出m ，得(1,2)A −，由AD x ⊥轴可得2,1AD OD ==， 进一步求出点(1,0)C ，将A ，C 点坐标代入一次函数解析式，用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）由勾股定理求出AC 的长，再根据CE CA =且E 在x 轴上，分类讨论得a 的值．【详解】（1）解：（1）∵点(1,)A m −在反比例函数2y x=−的图象上， ∴221m =−=− ∴(1,2)A −∵AD x ⊥轴∴2,1AD OD == ∴2CDAD == ∴211OC CD OD =−=−=∴(1,0)C∵点(1,2),(1,0)A C −在一次函数y kx b =+的图象上 ∴20k b k b −+= +=解得11k b =− =∴一次函数的表达式为1y x =−+．（2）在Rt ADC 中，由勾股定理得，AC∴AC CE ==当点E 在点C 的左侧时，1a =−当点E 在点C 的右侧时，1a =+∴a的值为1−1+24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°．(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF 的形状，并证明你的结论．条件①：∠ABD=30°；条件2：AB=BC．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）【答案】(1)证明见解析(2)见解析【分析】（1）利用AAS即可证明△ABF≌△CDE；（2）若选择条件①：先证明四边形AECF是平行四边形，利用直角三角形斜边上的中线性质以及含30度角的直角三角形的性质证得AE=AF，即可证明平行四边形AECF是菱形．若选择条件②：先证明四边形AECF是平行四边形，得到AO=CO，再根据等腰三角形的性质即可证明平行四边形AECF是菱形．【详解】（1）证明：∵BE=FD，∴BE+EF=FD+EF，即BF=DE，∵AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，又∵∠BAF=∠DCE=90°，∴△ABF≌△CDE(AAS)；（2）解：若选择条件①：四边形AECF是菱形，由（1）得，△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∠AFB=∠CED，∴AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠BAF=90°，BE=EF，∴AE=12 BF，∵∠BAF=90°，∠ABD=30°，∴AF=12 BF，∴AE=AF，∴平行四边形AECF是菱形．若选择条件②：四边形AECF是菱形，连接AC交BD于点O，由（1）得，△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∠AFB=∠CED，∴AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，即EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形．25.如图，直线y23−＝x＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2103＋x＋c经过B、C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；(3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)y23=−x2103+x+4(2)E（3，8）(3)存在，点P的坐标是（32−，52−）或（132，52−）或（12−，136）【分析】（1）由一次函数的解析式可求出B点和C点坐标．再代入抛物线解析式中即可求出a和c的值，即得出抛物线解析式；（2）过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，23−m2103+m+4），则G（m，23−m+4），则可用m表示出EG的长，最后利用三角形面积公式即可求出S△BEC的值，再利用二次函数的性质即得出答案；（3）根据二次函数解析式即得出其对称轴，由此可得出A点坐标．再由点Q是抛物线对称轴上的动点，得出Q的横坐标为52．①当平行四边形以AM为边时，由题意可知点M的横坐标是3，再根据点M在直线y23=−x+4上，即得出其纵坐标．再结合平行四边形的性质即得出平移规律，由此可得出P点坐标；②当平行四边形以AM为边时，同理可知点M的横坐标是3，Q的横坐标为52，从而即得出P的坐标；③当平行四边形以AM为对角线时，由平行四边形的性质得出P到A的平移规律，即得出P点坐标．【详解】（1）当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），当y＝0时，23−x+4＝0，解得：x＝6，∴C（6，0），把B （0，4）和C （6，0）代入抛物线y ＝ax 2103+x +c 中得： 41036603c a c = +×+=， 解得：234a c =− = ， ∴抛物线的解析式为：y 23=−x 2103+x +4； （2）如图1，过E 作EG ∥y 轴，交直线BC 于G ，设E （m ，23−m 2103+m +4），则G （m ，23−m +4）， ∴EG ＝（23−m 2103+m +4）﹣（23−m +4）223m =−+4m ， ∴S △BEC 12=EG •OC 12=×6（223m −+4m ）＝﹣2（m ﹣3）2+18， ∵﹣2＜0，∴S 有最大值，此时E （3，8）；（3）y 23=−x 2103+x +423=−（x 52−）2496+； ∴该抛物线对称轴是：x 52=， ∴A （-1，0）∵点Q 是抛物线对称轴上的动点，∴Q的横坐标为52，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；①如图2，以AM为边时，由（2），可得点M的横坐标是3，∵点M在直线y23=−x+4上，∴点M的坐标是（3，2），又∵点A的坐标是（-1，0），点Q的横坐标为52，根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为32−，∴P（32−，52−）；②如图3，以AM为边时，∵由（2），可得点M的横坐标是3，∵A （-1，0），且Q 的横坐标为52， ∴P 的横坐标为132， ∴P （132，52−）； ③以AM 为对角线时，如图4，∵M 到Q 的平移规律可得P 到A 的平移规律，∴点P 的坐标是（12−，136）， 综上所述，在抛物线上存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标是（32−，52−）或（132，52−）或（12−，136）． 26 .（1）【问题发现】如图1所示，ABC 和ADE 均为正三角形，B 、D 、E 三点共线．猜想线段BD 、CE 之间的数量关系为______；BEC ∠=______°；（2）【类比探究】如图2所示，ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，90ACB AED ∠=∠=°，AC BC =，AE DE =，B 、D 、E 三点共线，线段BE 、AC 交于点F ．此时，线段BD 、CE 之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出BEC ∠的度数；（3）【拓展延伸】如图3所示，在ABC 中，90BAC ∠=°，30B ∠=°，8BC =，DE 为ABC 的中位线，将ADE 绕点A 顺时针方向旋转，当DE 所在直线经过点B 时，请直接写出CE 的长．【答案】（1）BD CE =，60；（2）BD ，BEC ∠的度数为45°，过程见解析；（3【分析】（1）证()SAS ABD ACE △≌△，得BD CE =，=BDA CEA ∠∠，进而判断出60BEC ∠=°即可； （2）证BAD CAE ∽，得135ADB AEC ∠=∠=°，BD AB AD CE AC AE==，则45BEC AEC AED ∠=∠−∠=°，再求出BD AB CE AC ==（3）分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出CE 的长即可．【详解】解：（1）∵ABC 和ADE 均为正三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=°，60ADE AED ∠=∠=°， ∴BAC DAC DAE DAC ∠−∠=∠−∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE = ∠=∠ =， ∴()SAS ABD ACE △≌△，∴BD CE =，=BDA CEA ∠∠，∵点B ，D ，E 在同一直线上，∴180120ADBADE ∠=°−∠=°， ∴120AEC ∠=°， ∴1206060BEC AEC AED ∠=∠−∠=°−°=°，综上所述, 线段BD 、CE 之间的数量关系为BD CE =，60BEC ∠=°， 故答案为：BD CE =，60．（2）∵ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，90ACB AED ∠=∠=°， ∴45BAC ABC ADE DAE ∠=∠=∠=∠=°， ∴BAD CAE ∠=∠，135ADB ∠=°， ∵Rt ABC △和Rt ADE △中，sin AC ABC AB ∠=，sin AE ADE AD ∠=，sin 45=°∴AC AE AB AD==， ∴AB AC AD AE=， 又∵BAD CAE ∠=∠， ∴BAD CAE ∽，∴135ADB AEC ∠=∠=°，BD AB AD CE AC AE==， ∴45BEC AEC AED ∠=∠−∠=°，∵AC AE AB AD==，∴AB AC =∴BD AB CE AC ==∴BD =；BD 、CE 之间的数量关系是BD =，BEC ∠的度数为45°；（3）分两种情况：①如图4，∵90BAC ∠=°，30B ∠=°，8BC =， ∴142AC BC ==，∴AB ∵DE 为ABC 的中位线，∴142DE BC ==，DE BC ∥，122AE AC ==，12AD AB == ∴30ADE ABC ∠=∠=°，12AD AE AB AC ==， 由旋转的性质得：BAD CAE ∠=∠， ∴BAD CAE ∽，∴BD AB CE AC ==180150ADBAEC ADE ∠=∠=°−∠=°， ∵9060AEDADE ∠=°−∠=°，∴90BEC AEC AED ∠=∠−∠=°，设CE x =，则BD ，4BE BD DE =++，在Rt BCE 中，由勾股定理得：)22248x ++=，解得：x =x ，∴CE =；②如图5，同①可得，BAD CAE ∽，∴BD AB CE AC ==ACE ABD ∠=∠， ∴90CBE BCE ABD ABC BCE ACE ABC BCE ACB ABC ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=°，∴90BEC ∠=°,设CE x =，则BD ，4BE BD DE =−=−，在Rt BCE 中，由勾股定理得：)22248x +−=，解得：x =x =，∴CE =；综上所述，CE。

青岛市初三中考数学一模模拟试题【含答案】

青岛市初三中考数学一模模拟试题【含答案】

第6题图ABCDE第7题图图②图①120°1234120°第10题图图1图22青岛市初三中考数学一模模拟试题【含答案】一、选择题(3分×10=30分) 1. 下列各数中,是5的相反数的是( )A ． -5B ． 5C ．0.5D ． 0.22.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3. 人类已知最大的恒星是盾牌座UY ,它的规模十分巨大,如果将盾牌座UY 放在太阳系的中心,它的表面将接近土星轨道,半径约等于1.43344937×109km .那么这个数的原数是( ) A .143 344 937 km B . 1 433 449 370 km C . 14 334 493 700 km D . 1.43344937 km4.下列计算正确的是( )A ．2a -3a =-1B ．(a 2b 3)3=a 5b 6C ．a 2 ·a 3=a 6D ．a 2+3a 2=4a 2 5. 已知关于x 的分式方程mx +1x=2有解,则m 的取值范围是（ ） A .m ≤1且m ≠0 B . m ≤1 C . m ≥-1 D . m ≥-1 且m ≠0 6. 如图所示,该物体的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．7. 如图所示,在Rt △ABC 中∠A =25°,∠ACB =90°,以点C 为圆心,BC 为半径的圆交AB 于一点D ,交AC 于点E ,则∠DCE 的度数为（ ） A . 30° B . 25° C . 40° D . 50°8. 不等式组101103x x +>⎧⎪⎨->⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9. 如图所示,分别用两个质地均匀的转盘转得一个数,①号转盘表示 数字2的扇形对应的圆角为120°,②号转盘表示数字3的扇形对 应的圆心角也是120°,则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）A ．12B ．29C ． 79D ．3410. 如图1所示,小明(点P )在操场上跑步,B CD E 123第12题图A E B C D第14题图A EFM A 'B C D 第15题图A 弯道和两段直道构成,若小明从点A (右侧弯道起点) 出发以顺时针方向沿着跑道行进.设行进的路程为x , 小明到右侧半圆形弯道的圆心O 的距离PO 为y ,可绘制出如图2所示函数图象,那么a -b 的值应为( ) A ．4 B ．52π-1 C ．D ．π二、填空题(3分×5=15分)11. (-3)0= .12. 如图所示,直线ABCD 被BC 所截,若AB ∥CD ,∠1=45°,∠2=35°,则∠3= .13.二次函数y =x 2-2mx +1在x ≤1时y 随x 增大而减小,则m 的取值范围是 .14. 如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD =2,AB =4,∠A =30°,以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E . 连接CE ,则阴影部分的面积是 .(结果保留π)15.如图所示,正方形ABCD 中,AB =8,BE =DF =1,M 是射线AD 上的动点,点A 关于直线EM 的对称点为A ，，当△A ，FC 为以FC 为直角边的直角三角形时,对应的MA 的长为 .三、解答题(本大题共8小题，满分75分)16. (8分)先化简22442x x x x -+-÷(x -4x),然后从xx的值代入求值.17.(9分) 陈老师为了了解所教班级学生完成数学纠错的具体情况，对本班部分学生进行了为期半年的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： ⑴陈老师一共调查了多少名同学？ ⑵将条形统计图补充完整；⑶为了共同进步，陈老师想从被调查的A 类学生中随机选取一位同学，再从D 类学生中随机选取一位同学组成二人学习小组,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．D18.(9分)如图所示,⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆,AB =AC ,延长BC 至点D ,使CD =AC ,连接AD 交⊙O 于点E ,连接BE 、CE ,BE 交AC 于点F .⑴求证：CE =AE ⑵填空： ①当∠ABC = 时,四边形AOCE 是菱形；②若AE,AB =则DE 的长为 .19. (9分) 如图所示，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长 为40cm ，灯罩BC 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与 底座构成的∠BAD =60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，求此时灯罩顶端C 到桌面的 高度CE 的长？（结果精确到0.1cm 1.732）20.(9分)如图所示,直线y =ax +1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,与双曲线y =kx(x >0)相交于点P ,PC ⊥x 轴于点C ,且PC =2,点A 的坐标为(-2,0). ⑴求双曲线的解析式；⑵若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点,且QH ⊥x 轴 于H ,当以点Q 、C 、H 为顶点的三角与△AOB 相似 时,求点Q 的坐标.21.(10分)为了迎接暑假的学生购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋. 其G F E B C DA 图1图2图3AD CBE F G GF E B CD A中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同. ⑴求m 的值⑵由于资金有限,该店能够购进的甲种运动鞋不超过105双,要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,求该专卖店共有几种进货方案(只需计算种数,不用列举各种方案)?⑶在⑵的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a (50<a <70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货.22.(10分)等腰直角三角形ABC 中,AC =BC E 为AC 中点,以CE 为斜边作如图所示等腰直角三角形CED .(1)观察猜想: 如图1所示,过D 作DF ⊥AE 于F ,交AB 于G ,线段CD 与BG 的关系为 ；(2)探究证明:如图2所示，将△CDE 绕点C 顺时针旋转到如图所示位置，过D 作DF ⊥AE 于F ，过B 作DE 的平行线与直线FD 交于点G ,(1)中结论是否成立?请说明理由； (3)拓展延伸: 如图3所示,当E 、D 、G 共线时,直接写出DG 的长度.23.(11分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的三个顶点B (4,0)、C (8,0)， D (8,8).抛物线y =ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标,并求出抛物线的解析式；(2动点P 从点A 出发,沿线段AB 向终点B 运动,同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动.速度均为1个单位长度，运动时间为t 秒.①如图1所示,过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ,过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ,点G 关于抛物线对称轴的对称点为H ,求当t 为何值时,△HAC 的面积为16；②如图2所示,连接EQ ,过Q 作QM ⊥AC 于M ,在点P 、Q 运动的过程中，是否存在某个t ,使得∠QEM =2∠QCE ,若存在请直接写出相应的t参考答案一、选择题(3分×10=30分) 1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D二、填空题(3分×5=15分)11.-2 12.80° 13.m ≥1 14.3-3π 15. 三、解答题(本大题共8小题，满分75分)16.解：224442x x x x x x-+÷--（）= ()22(24)2x x x x x --÷-= ()()222x x x x x -⨯+-= 12x + 当x =1时，原式=1132x =+ （名），又AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∴∠CED =∠ACB ，又∠AEB 和∠ACB 都为AB 所对的圆周角，∴∠AEB =∠ACB ，∴∠CED =∠AEB ，∵AB =AC ，CD =AC ，∴AB =CD ，在△ABE 和△CDE 中，BAEDCE AEB CED ABCD∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABE ≌△CDE （AAS ） (2)①60当△QCH ∽△BA重点高中提前招生模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、填空题（每小题5分，共60分）1．现在爸爸的年龄是儿子的7倍，5年后爸爸的年龄将是儿子的4倍，则儿子现在的年龄是 岁．2．若与互为相反数，则a2+b2＝．3．若不等式组无解，则m的取值范围是．4．如图，函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点（﹣1，0），则的值为．5．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是、，则∠BAC的度数为．6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，tan B＝3tan C，则sin B＝．7．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，且BE：EC＝1：4，AE⊥DE，则AB：BC＝．8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD：S△ACD＝1：3，则S△AOD：S△BOC＝；若S△AOD＝1，则梯形ABCD的面积为．9．如图，E为边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC，PR⊥BE，则PQ+PR的值为．10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1的末位数字为．11．一行数从左到右一共2000个，任意相邻三个数的和都是96，第一个数是25，第9个数是2x，第2000个数是x+5，那么x的值是．12．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值．二、解答题（2小题，共40分）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤13．有一个底面周长为4πcm的圆柱体，斜着截去一段后，剩下的几何体如图所示，求该剩下几何体的体积（结果保留π）14．计算：+++…+．参考答案一、填空题（每小题5分，共60分）1．【解答】解：设儿子现在的年龄是x岁，则爸爸的年龄是7x岁，由题意得：4（x+5）＝7x+5，解得：x＝5，．故答案为：5．2．【解答】解：根据题意得：，解得：．则a2+b2＝16+1＝17．故答案是：17．3．【解答】解：∵不等式组无解，∴m+1≤2m﹣1，∴m≥2．故答案为m≥2．4．【解答】解：∵函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点（﹣1，0），即x＝﹣1时，y＝0，∴a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，∴原式＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．故答案为﹣3．5．【解答】解：作OM⊥AB，ON⊥AC；由垂径定理，可得AM＝，AN＝，∵弦AB、AC分别是、，∴AM＝，AN＝；∵半径为1∴OA＝1；∵＝∴∠OAM＝45°；同理，∵＝，∴∠OAN＝30°；∴∠BAC＝∠OAM+∠OAN或∠OAM﹣∠OAN∴∠BAC＝75°或15°．6．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴tan C＝，∵tan B＝3tan C，∴tan B＝3，解得tan B＝，∴∠B＝60，∴sin B＝sin60°＝．故答案为：．7．【解答】解：∵∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED，∴△ABE∽△ECD，∴＝，设BE＝x，∵BE：EC＝1：4，∴EC＝4x，∴AB•CD＝x•4x，∴AB＝CD＝2x，∴AB：BC＝2x：5x＝2：5．故答案为2：5．8．【解答】解：（1）∵△AOD和△DOC中AO和CO边上的高相等，S△AOD：S△ACD＝1：3，∴，∵AD∥BC，∴△ADO∽△CBO，∴，∴S△AOD：S△BOC＝1：4，（2）∵S△AOD：S△ACD＝1：3，∴AO：OC＝1：2，∴S△AOD：S△BOC＝1：4；若S△AOD＝1，则S△ACD＝3，S△BOC＝4，∵AD∥BC，∴S△ABC＝S△BDC，∵S△AOB＝S△ABC﹣S△BOC，S△DOC＝S△BDC﹣S△BOC，∴S△AOB＝S△DOC＝2，∴梯形ABCD的面积＝1+4+2+2＝9．故答案为：1：4；9．9．【解答】解：根据题意，连接BP，过E作EF⊥BC于F，∵S△BPC+S△BPE＝S△BEC∴＝BC•EF，∵BE＝BC＝1，∴PQ+PR＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∵在Rt△BEF中，∠EBF＝45°，BE＝1，sin45°＝，∴＝，∴EF＝，即PQ+PR＝．∴PQ+PR的值为．故答案为：．10．【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（28﹣1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（216﹣1）（216+1）…（22048+1）+1，…＝（22048﹣1）（22048+1）+1，＝24096﹣1+1＝24096，因为24096的末位数字是6，所以原式末位数字是6．故答案为：6．11．【解答】解：∵第1个数是25，任意相邻三个数的和都是96，∴第4个数与第1个数相同，是25，同理，第7个数与第4个数相同，是25，即第1、4、7…个数字相同，同理可得，第2、5、8…个数字相同，第3、6、9…个数相同，所以第9个数与第3个数相同，是2x，∵2000÷3＝666…2，∴第2000个数与第2个数相同，∵相邻三个数的和是96，∴25+x+5+2x＝96，解得x＝22．故答案为：22．12．【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，P A，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON＝∠AON＝60°，P A＝P A′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON＝30°，∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，又∵OA＝OA′＝1，∴A′B＝．∴P A+PB＝P A′+PB＝A′B＝．故答案为：．二、解答题（2小题，共40分）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤13．【解答】解：两个几何体的体积和为：π×（）2×（6+4）＝40πcm3．一个几何体的体积为×40πcm3＝20πcm3，即剩下几何体的体积20πcm3．14．【解答】解：∵＝（﹣），∴原式＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．重点高中提前招生模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、填空题（每小题5分，共60分）1．现在爸爸的年龄是儿子的7倍，5年后爸爸的年龄将是儿子的4倍，则儿子现在的年龄是岁．2．若与互为相反数，则a2+b2＝．3．若不等式组无解，则m的取值范围是．4．如图，函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点（﹣1，0），则的值为．5．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是、，则∠BAC的度数为．6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，tan B＝3tan C，则sin B＝．7．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，且BE：EC＝1：4，AE⊥DE，则AB：BC＝．8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD：S△ACD＝1：3，则S△AOD：S△BOC＝；若S△AOD＝1，则梯形ABCD的面积为．9．如图，E为边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC，PR⊥BE，则PQ+PR的值为．10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1的末位数字为．11．一行数从左到右一共2000个，任意相邻三个数的和都是96，第一个数是25，第9个数是2x，第2000个数是x+5，那么x的值是．12．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值．二、解答题（2小题，共40分）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤13．有一个底面周长为4πcm的圆柱体，斜着截去一段后，剩下的几何体如图所示，求该剩下几何体的体积（结果保留π）14．计算：+++…+．参考答案一、填空题（每小题5分，共60分）1．【解答】解：设儿子现在的年龄是x岁，则爸爸的年龄是7x岁，由题意得：4（x+5）＝7x+5，解得：x＝5，．故答案为：5．2．【解答】解：根据题意得：，解得：．则a2+b2＝16+1＝17．故答案是：17．3．【解答】解：∵不等式组无解，∴m+1≤2m﹣1，∴m≥2．故答案为m≥2．4．【解答】解：∵函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点（﹣1，0），即x＝﹣1时，y＝0，∴a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，∴原式＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．故答案为﹣3．5．【解答】解：作OM⊥AB，ON⊥AC；由垂径定理，可得AM＝，AN＝，∵弦AB、AC分别是、，∴AM＝，AN＝；∵半径为1∴OA＝1；∵＝∴∠OAM＝45°；同理，∵＝，∴∠OAN＝30°；∴∠BAC＝∠OAM+∠OAN或∠OAM﹣∠OAN∴∠BAC＝75°或15°．6．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴tan C＝，∵tan B＝3tan C，∴tan B＝3，解得tan B＝，∴∠B＝60，∴sin B＝sin60°＝．故答案为：．7．【解答】解：∵∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED，∴△ABE∽△ECD，∴＝，设BE＝x，∵BE：EC＝1：4，∴EC＝4x，∴AB•CD＝x•4x，∴AB＝CD＝2x，∴AB：BC＝2x：5x＝2：5．故答案为2：5．8．【解答】解：（1）∵△AOD和△DOC中AO和CO边上的高相等，S△AOD：S△ACD＝1：3，∴，∵AD∥BC，∴△ADO∽△CBO，∴，∴S△AOD：S△BOC＝1：4，（2）∵S△AOD：S△ACD＝1：3，∴AO：OC＝1：2，∴S△AOD：S△BOC＝1：4；若S△AOD＝1，则S△ACD＝3，S△BOC＝4，∵AD∥BC，∴S△ABC＝S△BDC，∵S△AOB＝S△ABC﹣S△BOC，S△DOC＝S△BDC﹣S△BOC，∴S△AOB＝S△DOC＝2，∴梯形ABCD的面积＝1+4+2+2＝9．故答案为：1：4；9．9．【解答】解：根据题意，连接BP，过E作EF⊥BC于F，∵S△BPC+S△BPE＝S△BEC∴＝BC•EF，∵BE＝BC＝1，∴PQ+PR＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∵在Rt△BEF中，∠EBF＝45°，BE＝1，sin45°＝，∴＝，∴EF＝，即PQ+PR＝．∴PQ+PR的值为．故答案为：．10．【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（28﹣1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（216﹣1）（216+1）…（22048+1）+1，…＝（22048﹣1）（22048+1）+1，＝24096﹣1+1＝24096，因为24096的末位数字是6，所以原式末位数字是6．故答案为：6．11．【解答】解：∵第1个数是25，任意相邻三个数的和都是96，∴第4个数与第1个数相同，是25，同理，第7个数与第4个数相同，是25，即第1、4、7…个数字相同，同理可得，第2、5、8…个数字相同，第3、6、9…个数相同，所以第9个数与第3个数相同，是2x，∵2000÷3＝666…2，∴第2000个数与第2个数相同，∵相邻三个数的和是96，∴25+x+5+2x＝96，解得x＝22．故答案为：22．12．【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，P A，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON＝∠AON＝60°，P A＝P A′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON＝30°，∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，又∵OA＝OA′＝1，∴A′B＝．∴P A+PB＝P A′+PB＝A′B＝．故答案为：．二、解答题（2小题，共40分）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤13．【解答】解：两个几何体的体积和为：π×（）2×（6+4）＝40πcm3．一个几何体的体积为×40πcm3＝20πcm3，即剩下几何体的体积20πcm3．14．【解答】解：∵＝（﹣），∴原式＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．。

2024年山东省青岛市名校联考中考一模考试数学模拟试题(解析版)

2024年山东省青岛市名校联考中考一模考试数学模拟试题(解析版)

2024年青岛市名校联考中考一模考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：120分）说明：1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，90分．2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．3．本题由青岛市南区名校老师命制，青岛市南教研员审核．第Ⅰ卷（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m ，数0.000000102用科学记数法表示为（ ）A. 71.0210−×B. 81.0210−×C. 810.210−×D. 910210−× 【答案】A【解析】【分析】根据科学记数法的定义即可得．【详解】解：70.000000102 1.0210−=×，故选：A ．【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．2. 下列各图中，四边形ABCD 是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据成中心对称的定义进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，中阴影部分两个三角形成中心对称，故选：A．【点睛】本题考查了成中心对称．解题的关键在于熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转180°后能与另一个图形重合，这两个图形成中心对称．3. 如图所示的几何体的左视图为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【详解】解：从左面看易得左视图为：“”.故选：A．【点睛】本题考查三视图，解题的关键是注意能看到的棱用实线表示，看不到的棱用虚线表示．4. 某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（）A. 平均数是9.5B. 中位数是9.5C. 众数是9D. 方差是1【答案】D【解析】【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】A 选项：平均数()179108981010910910x ×+++++++++，故本选项不符合题意； B 选项：该组成绩的中位数是9992+=，故本选项不符合题意； C 选项：∵10出现了4次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是10，故本选项不符合题意； D 选项：该组成绩数据的方差()()()()222221792893994109110S =−+×−+×−+×−= ，故本选项符合题意；故选：D【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义． 5. 如图，线段AB 放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A 、B 均落在格点上，先将线段AB 绕点O 逆时针旋转90°得到线段11A B ，再将线段AB 向下平移3个单位得到线段22A B ，线段AB ，11A B ，22A B 的中点构成三角形面积为（ ）A. 152B. 15C. 3D. 32【答案】A【解析】【分析】本题主要考查旋转作图和平移作图，三角形的面积．首先作出线段11A B ，22A B ，确定线段AB ，11A B ，22A B 的中点，作出三角形，利用三角形的面积公式求解．【详解】如图，点E ，D ，F 分别是线段AB ，11A B ，22A B 的中点，A∴EDF 的面积是：1153522××=． 故选：A ． 6. 下列计算正确的是（ ） A. 1133a a −= B. 2322a a a +=C. ()326a a a ⋅−=−D. ()()32a a a −÷−=− 【答案】D【解析】 【分析】本题考查了负整指数幂，合并同类项，同底数幂的乘法与除法，正确的计算是解题的关键．【详解】解：A. 133a a−=，故该选项不正确，不符合题意； B. 2a 与2a 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；C. ()35322a a a a a ⋅⋅−=−−=，故该选项不正确，不符合题意；D. ()()()3232a a a a −−÷−=−=−，故该选项正确，符合题意． 故选：D ．7. 如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，切点为D ，CD 与AB 的延长线交于点C ，若305A AD ∠=°=，，则BC 的长度为（ ）A. 52B.C. 53D. 【答案】D【解析】【分析】如图，连接OD BD 、，则30ADO A ∠=∠=°，由AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，可得90ADB ODC ∠=°=∠，则30C BDC ∠=°=∠，BC BD =，设BD x =，则2AB x =，由勾股定理得，AD =5=，计算求解，然后作答即可．【详解】解：如图，连接OD BD 、，∵30A ∠=°，OA OD =，∴30ADO A ∠=∠=°， ∵AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，∴90ADB ODC ∠=°=∠，∴60ODB ∠=°，30BDC ADO ∠=∠=°， ∵OB OD =，∴60OBD BDC C ∠=°=∠+∠，∴30C BDC ∠=°=∠，∴BC BD =，设BD x =，则2AB x =，由勾股定理得，AD，5=，解得，x =， 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的性质，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，切线的性质，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，勾股定理是解题的关键．8. 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ；把纸片展平后再次折叠，使点A 落在EF 上的点A ′处，得到折痕BM 、BM 与EF 相交于点N ．若直线BA ′交直线CD 于点O ，5BC =，1EN =，则BE 的长为（ ）A.B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由折叠得90BA M BAM ′∠=∠=°，EF 垂直平分AB ，BM 垂直平分AA ′，则AN BN =，AN A N =′，AM A M ′=，所以BN A N ′=，则NBA NA B ′′∠=∠，即可推导出A MN MA N ′′∠=∠，则MN A N ′=，所以BN MN =，由三角形的中位线定理得EN AM ∥，12EN AM =，则22AM EN ==，再证明A MN A NM ′′∠=∠，则2AN A M ′′==，所以2BN A N ′==，由勾股定理得BE ，于是得到问题的答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90BAD ∠=°，连接AN ，AA ′，由折叠得90BA M BAM ′∠=∠=°，点B 与A 关于直线EF 对称，点A ′与点A 关于直线BM 对称， ∴EF 垂直平分AB ，BM 垂直平分AA ′，∴AN BN =，AN A N =′，AM A M ′=，∴BN A N ′=，∴NBA NA B ′′∠=∠，∵90A MN NBA ′′∠+∠=°，90MA N NA B ′′∠+∠=°， ∴A MN MA N ′′∠=∠， ∴MN A N ′=，∴BN MN =，∵BE AE =，∴EN AM ∥，12EN AM =， ∴2212AM EN ==×=，∴2A M ′=，∵AMN A MN ′∠=∠，AMN A NM ′∠=∠， ∴A MN A NM ′′∠=∠，∴2AN A M ′′==， ∴2BNA N ′==， ∵90BEN ∠=°，∴BE =故选：B ．【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、等角的余角相等、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9. 如图，二次函数2y ax bx c ++（0a ≠）的图象与x 轴的一个交点为()1,0−，对称轴为直线2x =．则下列结论中正确的有（ ）①0abc >； ②2a c b +<−；③30c a −=； ④若直线y m =与2y ax bx c =++相交，其交点个数为2或4个；A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与系数之间的关系是解题关键．根据抛物线的开口方向得0a >，抛物线的对称轴可得40b a =−<，抛物线与y 轴交点位置得 0c <，以此可判断①；由抛物线过点()1,0−得 ,a c b +=则20,0a c b c b +=+−， 以此可判断②；由抛物线过点()1,0−得0a b c −+=，将4b a =−代入得5c a =−，以此可判断③；根据二次函数()²0y ax bx c a =++≠的图象画出 ²y ax bx c ++的图象，即可判断④，即可求解．【详解】∵抛物线的开口方向向上，∴0a >， ∵抛物线的对称轴为直线22b x a=−=， ∴40b a =−<，∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴0c <，∴0abc >，故①正确； ∵二次函数()²0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的一个交点为()10−，， ∴0a b c −+=，∴a c b +=，∴2a c b c +=+，∵0,0b c <<， ∴0,0b c b +−，∴2a c b +<−，故②正确；∵二次函数()²0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的一个交点为()1,0−，0a b c ∴−+=，4b a =− ，40a a c ∴++=，5c a =− ，35380c a a a a ∴−=−−=−≠，故③错误； 函数²y ax bx c ++的图象如图，∴直线y m =可能与²y ax bx c ++有2个，3个或4个交点，故④错误；综上，正确说法有①②，共2个．故选: B ．10. 如图，用24块棱长分别为3cm ，4cm ，5cm 的长方体搭成一个大长方体，其表面积最小为（ ）A. 2748cmB. 2768cmC. 2788cmD. 2808cm【答案】B【解析】 【分析】本题考查长方体的表面积计算，熟知搭建过程中大面重叠，可是搭成的长方体表面积最小是解决问题的关键．【详解】根据搭成长方体表面积最小的要求，遵循把较大面重叠在一起的原则，进行如下搭建：将三块长方体按4cm ，5cm 面重叠得出一个大长方体, 此时三条棱长为4cm ，5cm ，9cm ，再用两个大长方体(即6个小长方体) 按5cm , 9cm 面重叠, 可得棱长为5cm,?8cm,9cm 的大长方体. 再用两个大长方体(即12个小长方体) 按8cm,?9cm 面重叠, 可得棱长为8cm,?9cm,10cm 的大长方体. 再用两个大长方体(即24个小长方体) 按9cm,1?0cm 面重叠, 可得棱长为9cm,1?0cm,16c m 的大长方体. 此时大长方体的表面积为：()29109161016788cm?××+×+×=将两块块长方体按4cm 5cm ，面重叠得出一个大长方体, 此时三条棱长为4cm,?5cm,6cm . 再用三个大长方体(即6个小长方体) 按5cm,?6cm 面重叠, 可得棱长为5cm,?6cm,12cm 的大长方体. 再用两个大长方体(即12个小长方体) 按6cm,1?2cm 面重叠, 可得棱长为6cm,1?2cm,10cm 的大长方体. 再用两个大长方体 (即24个小长方体) 按10cm,1?2cm 面重叠, 可得棱长为10cm,12cm,1?2cm 的大长方体.的的此时大长方体的表面积为：()2121012101212768cm?××+×+×=因为 768788,<所以搭成大长方体表面积最小值为768cm?，故选: B .第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）11.计算：212− +＝_____． 【答案】7【解析】【分析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的乘除运算法则化简得出答案．【详解】原式＝＝=4+3＝7．故答案为7．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12. 关于x 的一元二次方程()21230k x x −−+=有实数根，则k 的取值范围是______． 【答案】43k ≤且1k ≠ 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义，以及根的判别式0∆≥，得出不等式，解不等式即可求解．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【详解】解：根据题意得10k −≠且()2444130b ac k −=−−×≥， 解得：43k ≤且1k ≠． ∴k 的取值范围为43k ≤且1k ≠． 的故答案为：43k ≤且1k ≠． 13. 如图，AB CD ∥，直线MN 交AB ，CD 于点M 和N ，MH 平分AMN ∠，NH MH ⊥于点H ，若64MND ∠=°，则CNH ∠=______．【答案】58°【解析】【分析】依据平行线的性质，即可得到∠MND=∠AMN=64°，再根据MH 平分∠AMN ，NH ⊥MH ，即可得出∠MNH=58°，进而得到∠CNH=180°-∠HNM-∠MND=58°．【详解】∵AB ∥CD ，∴∠MND=∠AMN=64°，∵MH 平分∠AMN ，∴∠HMN=12∠AMN=32°， 又∵NH ⊥MH ，∴∠MNH=58°，∴∠CNH=180°-∠HNM-∠MND=58°，故答案为：58．【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 14. 甲、乙两个救援队向相距50千米某地震灾区送救援物资，已知甲救援队的平均速度是乙救援队平均速度的2倍，乙救援队出发40分钟后，甲救援队才出发，结果甲救援队比乙救援队早到20分钟．若设乙救援队的平均速度为x 千米/小时，则方程可列为____________． 【答案】505012x x+= 【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出速度，以时间差作为等量关系列方程．设乙救援队的平均速度为x 千米/小时，则甲救援队的平均速度为2x 千米/小时，根据乙救援队比甲救援队多用了1小时的等量关系列出方程即可．【详解】解：设乙救援队的平均速度为x 千米/小时，则甲救援队的平均速度为2x 千米/小时，∵乙救援队出发40分钟后，甲救援队才出发，结果甲救援队比乙救援队早到20分钟．∴乙救援队比甲救援队多用了1小时 根据题意得：505012x x+= 故答案为：505012x x+= 15. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，1AC =，60A ∠=°，将Rt ABC △绕点C 顺时针旋转90°后得到Rt DCE ，点B 经过的路径为 BE，将线段AB 绕点A 顺时针旋转60°后，点B 恰好落在CE 上的点F 处，点B 经过的路径为 BF，则图中阴影部分的面积是_______．（结果保留π）12π 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，含30°角的直角三角形特征，勾股定理，根据ACB CBE ABF S S S S +=−阴扇形扇形 计算即可，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积． 【详解】解：90ACB ∠=° ，1AC =，60A ∠=°，22AB AF AC ∴===，BC EC ∴===ACB CBE ABF S S S S ∴=+−阴扇形扇形2160212360π⋅×=×−12π+，12π+．16. 如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，连接,AC ACD ∠的平分线交AD 于点E ，过点D 做DF CE⊥于点G ，分别交AC AB 、于点H F 、，点P 是线段GC 上的任意一点，且PQ AC ⊥于点Q ，连接PH ，则下列结论正确的有____________．（填写序号）①2DH DG =； ②点G F B C 、、、在同一个圆上；③:3:1CDE DAF S S =△△； ④PH PQ +【答案】①②④【解析】【分析】本题考查矩形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，证明(ASA)CDG CHG ≌即可判断①，根据90HGC B ∠=∠°=即可判断②，证明∽CDE DAF △△，根据相似三角形的性质即可判断③，④过点H 作HT CD ⊥于T ，交CE 于K ，过K 作KR AC ⊥于R ，证明ABC CTH ∽结合(ASA)CDG CHG ≌利用勾股定理即可判断④．【详解】解： 四边形ABCD 4AB =，2AD =，2CB AD ∴==，4CDAB ==，90DAB B BCD CDA ∠=∠=∠=∠=°，AB CD ∥， CG 平分DCH ∠，DH CG ，DCG HCG ∴∠=∠，90DGC HGC ∠=∠=°，在CDG 和CHG △中，90DCG HCG CG CG DGC HGC ∠=∠ = ∠=∠=°， ∴(ASA)CDG CHG ≌，DG GH ∴=，2DH DG ∴=，故结论①正确；②∵90HGC B ∠=∠°=，∴180HGC B ∠+∠=°，∴点G F B C 、、、在同一个圆上；故②正确；③∵90DGC ∠=°，∴90DCE CDG ∠+∠=°，∵90ADF CDG ∠+∠=°∴ADF DCE ∠=∠，又CDE DAF ∠=∠，∴∽CDE DAF △△, ∴224:4:12CDE DAF CD S S AD ===故③不正确；④过点H 作HT CD ⊥于T ，交CE 于K ，过K 作KR AC ⊥于R ，CE 平分DCH ∠，KT CD ⊥，AC ⊥，KR KH KT KH HT ∴+=+=，∴当点P 与点K 重合时，PH PQ +为最小，最小值为线段HT 的长，∵AB CD ，TCH BAC ∴∠=∠，又90B ∠=︒，HT CD ⊥，90B GTC ∴∠=∠=°，∴ABC CTH ∽，BC ∴：HT AB =：CT ，2∴：4HT =：CT ，2CT HT ∴=，由①可知：(ASA)CDG CHG ≌，4CH CD ∴==，在Rt CHT 中，由勾股定理得：222CT HT CH +=，即：222(2)4HT HT +=，HT ∴PH PQ ∴+ 故结论④正确；综上所述：正确的结论是①②④，故答案为：①②④．三、作图题（本题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹17. 已知：点P 和直线m求作：以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，使它的斜边落在直线上，并在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆O ．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查了作图—复杂作图，解题关键是熟练掌握基本图形的性质，结合几何图形的特征把复杂作图分解为基本作图．【详解】解：先过点P 作直线m 的垂线，垂足为O 点，再在直线m 上截取OA OB OP ==，连接PA 、PB ， ∵要在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆O ，∴圆O 与PA 、PB 相切时，面积最大，即该半圆的半径为PB 边上的高，也是POB ∠的角平分线，则，接着作POB ∠的角平分线交PB 于点C ，然后以O 点为圆心，OC 为半径在PAB 内部作半圆即可．如图，PAB 和半圆O 为所作．四、解答题（本大题满分68分，共有9道小题）18. （1）计算：224211693x x x x x +− ÷− −+−； （2）解不等式组2417221132x x x x −>+ +−≤+①②． 【答案】（1）23x − （2）3x <− 【解析】【分析】本题主要考查了分式的混合计算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．（1）根据分式的混合计算法则求解即可；（2）先分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：（1）224211693x x x x x +− ÷− −+− 22(2)3(3)2x x x x +−×−+ 23x =−； （2）2417221132x x x x −>+ +−≤+①② 解不等式①得3x <−，解不等式②得1x ≤−，∴原不等式组的解集为3x <−．19. 4张相同的卡片上分别写有数字0、1、2−、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．（1）第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为______；（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）【答案】19. 3420. 公平，理由见解析【解析】【分析】本题考查的是概率以及游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）根据概率公式求解即可；（2）利用树状图法列举出所有可能，再利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．【小问1详解】解：共有4种等可能的结果，其中数字是非负数情况占3种， 则，第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为34， 故答案为：34； 【小问2详解】公平，理由如下：画树状图如图，∵共有12种等可能的结果，两个数的差为非负数的情况有6种，两个数的差为负数的情况有6种，∴P （结果为非负数）61122==，P （结果为负数）61122==． ∴游戏规则公平． 20. 为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，同学们在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为53°，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i =10AB =米，24AE =米，求广告牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米， 1.41≈ 1.73≈，sin 5345°≈，cos5335°≈，tan 5343°≈）【答案】广告牌CD 的高约5.7米【解析】【分析】过点B 作BM AE ⊥，BN CE ⊥，根据坡度的意义，求出30BAM ∠=°，再利用直角三角形的边角关系求出BM ，进而求出AM ， ME ，即可得到BN ，再在Rt BCN △中得出CN BN =，在Rt ADE △中由边角关系求出DE ，最终求出CD ，取近似值得出答案．【详解】解：如图，过点B 作BM AE ⊥，BN CE ⊥，垂足分别为M 、N ，如下图．由题意可知，45CBN ∠=°，53DAE ∠=°， i =10AB =米，24AE =米，∵1:tan BM i BAM AM==∠， ∴30BAM ∠=°， ∴152BM AB ==（米）． 在Rt ABM 中，152NE BM AB ===（米），∴AM AB =（米），∴()ME AM AE =+=米． ∵45CBN ∠=°，∴()=24CN BN ME ==米，∴()=CECN NE =+米， 在Rt ADE △中，53DAE ∠=°，24AE =米， ∴4tan 5324=323DE AE =⋅°≈×（米），∴29323 5.7CD CE DE =−=+−=−≈（米）． 答：广告牌CD 的高约5.7米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．21. 体育中考将至，某校为了了解本校九年级女生体育测试项目“仰卧起坐”的训练情况，随机调查了50名九年级女生一分钟仰卧起坐的个数，将她们的成绩分为四组进行统计，绘制成如下不完整的统计表．请根据统计表中的信息，解答下列问题：（1）若要将统计表中的信息绘制为扇形统计图，则C 组对应圆心角度数为__________°．（2）本次所抽取的50名女生一分钟仰卧起坐成绩的中位数落在__________组；（3）求本次所抽取的50名女生一分钟仰卧起坐的平均个数；（4）若在该校体育考试中，一分钟仰卧起坐个数超过20个（含20个）才算通过考试，请你估计该校九年级700名女生中，能通过体育考试的女生人数．【答案】（1）115.2（2）B（3）30个 （4）588人【解析】【分析】（1）根据抽取人数50人，列出关于n 的方程，解方程求出n ，再用360度乘以C 组人数占样的比例即可求解；（2）根据中位数的定义知道中位数是第25和26个数的平均数，由此即可得出答案；（3）根据加权平均数公式计算即可；（4）根据算出抽取的50人中通过考试率再乘总人数即可得出该校九年级通过考试的女生人数．【小问1详解】解：由题意，得182850n n+++=解得：8n=，∴216n=，∴C组对应圆心角度数为16 360115.250°×=°，故答案为：115.2．【小问2详解】解： 调查人数为50，∴中位数是第25和26个数的平均数．1881826n+=+=，∴中位数在B组，故答案为：B．【小问3详解】30（个)，答：本次所抽取的50名女生一分钟仰卧起坐的平均个数为30个．【小问4详解】解：1816870058850++×=（人)，答：估计该校九年级700名女生中，能通过体育考试的女生人数为588人．【点睛】本题考查了统计表，扇形统计图，中位数，平均数，用样本估计总体，解题关键是明确中位数的求法和用样本估计总体．22. 在ABC中，E，F分别为边AB，AC上的点，BF与CE相交于点D．（1）若14AE AB =，14AF AC =， （ⅰ）ED EC=______； （ⅱ）3CDF S = ，则ABC S = ______；（2）若1AE AB n =，1AF AC n=，CDF S =△______ABC S ． 【答案】（1）（ⅰ）15；（ⅱ）20； （2）21n n n−+． 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）先证明AEF ABC ∽，AEF ABC ∠=∠，14EF BC =，再证明EDF CDB ∽，可得14EF DE BC DC ==，即可求解； （ⅱ）通过相似三角形的性质可得14DF BD =，由面积关系即可求解； （2）先证明AEF ABC ∽，AEF ABC ∠=∠，1EF BC n =，再证明EDF CDB ∽，可得1EF DE BC DC n ==，由面积关系即可求解；本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．【小问1详解】解：（ⅰ）如图，连接EF ，∵14AE AB =，14AF AC =， ∴14AEAFAB AC ==，∵A A ∠=∠，∴AEF ABC ∽，∴AEF ABC ∠=∠，14EFBC =，∴EF BC ，∴EDF CDB ∽， ∴14EF DEBC DC ==， ∴15ED EC =， 故答案为：15；（ⅱ）∵EDF CDB ∽， ∴14DFBD =，∵3CDF S = ，∴12BDC S =△，∴15BCF S = ， ∵14AFAC =， ∴34CFAC =， ∴154203ABC S × ，故答案为：20；【小问2详解】 ∵1AE AB n =，1AF AC n =， ∴1AE AF AB n AC==， ∵A A ∠=∠，∴AEF ABC ∽，∴AEF ABC ∠=∠，1EF BC n=， ∴EF BC ∥，∴EDF CDB ∽， ∴1EFDE DF BC DC BD n===， ∴()1BCFCDF S n S =+ ， ∴()11ABC CDF n n S S n +=− ， ∴21CDF ABC n S S n n−=+ 故答案为：21n n n−+． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y k x b =+（10k ≠）的图象与反比例函数2k y x=（20k ≠）的图象相交于()3,4A ，()4,B m −两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式，并直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时x 的取值范围； （2）若点D 在x 轴上，位于原点右侧，且OA OD =，求:ABO ABD S S △△．【答案】（1）一次函数的关系式为1y x =+；40x −<<或3x >（2）1:6 【解析】【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的关键．（1）把点(3,4)A 代入22(0)k y k x≠可求出2k 的值，确定反比例函数关系式；进而求出点B 的坐标，再把点(3,4)A ，点(4,3)B −−代入一次函数1y k x b =+，求出1k ，b 的值，进而确定一次函数关系式；然后根据两个函数的图象和交点坐标可直观得出一次函数的值大于反比例函数的值时x 的取值范围；（2）根据三角形的面积公式进行计算即可．【小问1详解】反比例函数22(0)k y k x≠的图象过(3,4)A ， 23412k ∴=×=，∴反比例函数的关系式为12y x=， 又(4,)B m − 也在反比例函数12y x =的图象上， 1234m ∴==−−， ∴点(4,3)B −−，一次函数11(0)y k x b k =+≠的图象过点(3,4)A ，点(4,3)B −−，∴113443k b k b += −+=− ， 解得111k b = = ， ∴一次函数的关系式为1y x =+；由两个函数图象和交点坐标可知，一次函数的值大于反比例函数的值时x 的取值范围为40x −<<或3x >；【小问2详解】设直线1y x =+与x 轴的交点为C ，连接,OB BD ，如图，(3,4)A ，5OA ∴=， OA OD = ，5OD ∴=，把0y =代入1y x =+得，10x +=，解得=1x −，(1,0)C ∴−，1OC ∴=，156CD =+=，ABO AOC BOC S S S ∆∆∆=+ ，ABDACD BCD S S S ∆∆∆=+， ::1:6ABO ABD S S OC CD ∆∆∴==． 24. 已知：如图，在四边形ABCD 中，90ABC AD BC DE AC ∠=°⊥ ，，于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE AC =．（1）求证：ABC AFE ≌；（2）若30ACB ∠=°，连接AG ，判断四边形AGCD 是什么特殊的四边形？并证明你的结论．【答案】（1）见解析 （2）四边形AGCD 是菱形．理由见解析【解析】【分析】（1）根据AAS 证出ABC AFE ≌即可；（2）求出AF CF =，证DAF GCF ≌，推出AD CG =，即可得出答案．【小问1详解】证明：90ABC ∠=° ，DE AC ⊥，90ABC AFE ∴∠=∠=°，在ABC 和AFE 中，BAC FAEABC AFE AC AE∠=∠ ∠=∠ = ，()AAS ABC AFE ∴ ≌，【小问2详解】解：四边形AGCD 是菱形．理由如下：证明：30ACB ∠=° ，90ABC ∠=°，2AB AC ∴=，∵ABC AFE ≌，AB AF ∴=，2AC AF AF FC ∴==+，AF CF ∴=，AD BC ∥，DAF FCG ∴∠=∠，在DAF 和GCF 中，DFA CFGAF FC DAF FCG∠=∠ = ∠=∠ ，()ASA DAF GCF ∴ ≌，AD CG ∴=，AD CG ，∴四边形AGCD 是平行四边形，DG AC ⊥ ，∴平行四边形AGCD 是菱形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的综合运用，主要考查运用定理进行推理的能力．25. 市南区精准扶贫工作进入攻坚阶段，其某村在工作组长期的技术资金支持下，成立了果农合作社，大力发展经济作物，其中樱桃和枇杷两种果树的种植已初具规模．已知相关信息如下：【信息①】该村李大爷今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍．【信息②】李大爷今年樱桃销量比去年减少了%m ，枇杷销量比去年增加了2%m ．若樱桃售价与去年相同，枇杷售价比去年减少了%m ，则今年两种水果销售总额与去年两种水果的销售总额相同．【信息③】该村果农合作社共收获樱桃2800千克，经市场调研，樱桃市场需求量y （千克）与售价x （元/千克）之间的关系为：1004800y x =−+（838x ≤≤），因保质期和储存条件方面的原因剩余水果将被无偿处理销毁．（1）求李大爷今年收获樱桃至少多少千克？（2）补全表格，并出求出m 的值． 年份/项目 樱桃销量（千克） 樱桃售价（元） 枇杷销量（千克） 枇杷售价（元）去年100 30 200 20 今年()1001%m −（3）若樱桃种植成本为8元/千克，不计其它费用．求今年该果农合作社出售樱桃所获得的最大利润？【答案】（1）小李今年收获樱桃至少50千克（2）填表见解析，m 的值为12.5（3）今年该果农合作社出售樱桃可以获得的最大利润为35200元【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．（1）设小李今年收获樱桃a 千克，根据题意，列出不等式即可；（2）根据信息2可填空上表的数据，注意到等量关系“今年两种水果销售总额与去年两种水果的销售总额相同”即可列出方程；（3）根据市场的需求进行分情况讨论，①当2800y ≥时；②当2800y <时，三种情况根据x 的取值范围，进行计算相应的w 值．【小问1详解】解：设小李今年收获樱桃a 千克，根据题意得：4007a a −≤，解得：50a ≥，答：小李今年收获樱桃至少50千克；【小问2详解】由题意可知， 年份/项目樱桃销量（千克）樱桃售价（元） 枇杷销量（千克） 枇杷售价（元） 去年100 30 200 20 今年 ()1001%m − 30 ()20012%m + ()201%m −则，()()()1001%3020012%201%1003020020m m m −×+×+×−=×+×令%m t =，原方程可化为：()()()3000140001217000t t t −++−=， 整理可得：280t t −=，解得10t =，20.125t =，∴10m =（舍去），212.5m =， ∴m 的值为12.5；【小问3详解】设利润为w 元，①当2800y ≥时，10048002800x −+≥，则20x ≤，此时，()28008280022400w x x =−=−； ∵28000>，∴w 随着x 的增大而增大，∴20x 时，w 的最大值为33600；②当2800y <时，10048002800x −+<，则20x >，∵838x ≤≤，∴2038x <≤，此时，()2100480028008100480022400w x x x x =−+−×=−+−， 整理得()21002435200w x =−−+，∵1000−<，2038x <≤，∴24x =时，w 的最大值为35200综上所述，今年该果农合作社出售樱桃可以获得的最大利润为35200元．26. 在ABC 中，10cm 8cm AC BC CD AB CD ==⊥=，，，动点P 以1cm /s 的速度从点B 向点A 运动；同时，动点Q 从点C 出发，以2cm /s 的速度向点B 运动，动点R 从点A 出发，以2cm /s 的速度向点C 运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为()()s 05t t <<．连接RQ PR PQ ，，．（1）t 为何值时，PR BC ∥？（2）当:1:4BQP CDPQ S S =四边形△时，求t 值；（3）如图1，沿CQ 折叠RCQ 得到MCQ ，是否存在某一时刻t ，使四边形RQMC 为菱形？若存在求出t 值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t 为6017s 时，PR BC ∥； （2）当2t =或3时，:1:4BQP CDPQ S S =四边形△；（3）t 的值7039． 【解析】【分析】（1）利用勾股定理求得AB ，用t 的代数式表示出线段CR ，BQ ，AP 的长度，利用平行线的判定与性质得出比例式解答即可；（2）过点Q 作QE BD ⊥于点E ，:1:4BQP CDPQ S S =四边形△得到 :1:5BQP BCD S S =△△利用相似三角形判定与性质求得QE ，再利用三角形的面积公式得到关于t 的方程，解方程即可得出结论；（3）过点R 作RF BC ⊥于点F ，过点A 作AH BC ⊥于点H ，利用菱形的性质和等腰三角形的性质得到12CF FQ CQ t ===，利用相似三角形的判定与性质得到关于t 的比例式，解方程即可得出结论； 本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，添加三角形的高线构造相似三角形是解题的关键．【小问1详解】由题意得2AR t =，BP t =，2CQ t =，∵10cm AC BC ==，CD AB ⊥，8cm CD =，∴()6cm AD BD ==，∴12cm AB =，∴()102cm CRt =−，()102cm BQ t =−，()12cm AP t =−， 当AR AP AC AB=，PR BC ∥， ∴2121012t t −=， 解得：6017t =， ∴t 为6017s 时，PR BC ∥； 【小问2详解】由题意得：PB t =，2ARCQ t ==， ∴102BQ BC CQ t =−=−， 当:1:4BQP CDPQ S S =四边形△时， 则 :1:5BQP BCD S S =△△，过点Q 作QE BD ⊥于点E ，如图，∵CD AB ⊥，⊥QE AB ，的∴CE CD ∥，∴QEB CDB ∽， ∴QE BQ CD BC=， ∴102810QE t −=， ∴885QE t =−， ∴1188225BPQ S BP QE t t =×⋅=×−⋅， ∴181124825525t t BD CD ×−⋅=×⋅= ， 解得：2t =或3，∴当2t =或3时，:1:4BQP CDPQ S S =四边形△；【小问3详解】沿CQ 折叠，RCQ 得到MCQ ，存在某一时刻t ，使四边形RQMC 为菱形，t 值为7039理由： 过点R 作RF BC ⊥于点F ，过点A 作AH BC ⊥于点H ，如图，由题意得：PB t =，2ARCQ t ==， ∴102RC AC CR t =−=−，∵沿CQ 折叠RCQ 得到MCQ ，∴RCQ MCQ ≌ ，若四边形RQMC 为菱形，只需RC RQ =， ∵RC RQ =，RF BC ⊥，。

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2017年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）1．相反数是5的数是（）A．5 B．﹣5 C．D．﹣2．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（）A．①B．②C．③D．④4．线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，将MN绕点M逆时针旋转90°得到线段M1N1，则点N的对应点N1的坐标为（）A．（0，0） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，1）D．（﹣1，﹣3）5．根据表格估计一元二次方程x2+2x﹣4=0的一个解的范围在（）A．﹣1＜x＜0 B．0＜x＜1 C．1＜x＜2 D．2＜x＜36．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（）A．20° B．25° C．40° D．50°7．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．﹣=20 B．﹣=20 C．﹣=D．﹣=8．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF 交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S四边形DGOF=2：7．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算： = ．10．某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为．11．某学校要从甲、乙两支女生礼仪队中，选拔一支身高相对整齐的队伍，代表学校承接迎宾任务，对两队女生升高情况（cm）的统计分析如表所示，在其它各项指标都相同的情况下，你认为队（填甲或乙）会被录取，理由是．12．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表．按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是．13．如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是平方米．14．如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但到保留作图痕迹．已知：线段a，求作：正方形ABCD，使其对角线AC=a．16．化简：（ +）÷（2）解不等式组．17．（6分）甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲胜；否则乙胜．这个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由．18．（6分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，在距离CD的正后方30米的观测点P处，以22°的仰角测得建筑物的顶端C恰好挡住教学楼的顶端A，而在建筑物CD上距离地面3米高的E处，测得教学楼的顶端A的仰角为45°，求教学楼AB的高度．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，ta n22°≈）19．（6分）中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表：抽取的200名学生海选成绩分组表请根据所给信息，解答下列问题：（1）请把图1中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）（2）在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，则a的值为，表示C组扇形的圆心角θ的度数为度；（3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；（3）直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围．21．（8分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD．（1）求证：AO=EO；（2）若AE是△ABC的中线，则四边形AECD是什么特殊四边形？证明你的结论．22．（10分）如图，需在一面墙上绘制两个形状相同的抛物绒型图案，按照图中的直角坐标系，最高点M到横轴的距离是4米，到纵轴的距离是6米；纵轴上的点A到横轴的距离是1米，右侧抛物线的最大高度是左侧抛物线最大高度的一半．（结果保留整数或分数，参考数据： =， =）（1）求左侧抛物线的表达式；（2）求右侧抛物线的表达式；（3）求这个图案在水平方向上的最大跨度是多少米．23．（10分）【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形的面积．【问题探究】为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究．探究一：在Rt△ABC（图1）中，∠ABC=90°，AC=b，BC=a，∠C=α，求△ABC的面积（用含a、b、α的代数式表示）在Rt△ABC中，∠ABC=90°∴sinα=∴AB=b•sinα∴S△ABC=BC•AB=absinα探究二：锐角△ABC（图2）中，AC=b，BC=a，∠C=α（0°＜α＜90°）求：△ABC的面积．（用含a、b、α的代数式表示）探究三：钝角△ABC（图3）中，AC=b，BC=a，∠C=α（0°＜α＜90°）求：△ABC的面积．（用含a、b、α的代数式表示）【问题解决】用文字叙述：已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形面积的方法是【问题应用】已知平行四边形ABCD（图4）中，AB=b，BC=a，∠B=α（0°＜α＜90°）求：平行四边形ABCD的面积．（用含a、b、α的代数式表示）24．（12分）已知：如图，菱形ABCD中，AB=10cm，BD=12cm，对角线AC与BD相交于点O，直线MN以1cm/s从点D出发，沿DB方向匀速运动，运动过程中始终保持MN⊥BD，垂足是点P，过点P作PQ⊥BC，交BC于点Q．（0＜t＜6）（1）求线段PQ的长；（用含t的代数式表示）（2）设△MQP的面积为y（单位：cm2），求y与t的函数关系式；（3）是否存在某时刻t，使线段MQ恰好经过点O？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．2017年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）1．相反数是5的数是（）A．5 B．﹣5 C．D．﹣【考点】14：相反数．【分析】根据相反数的意义求解即可．【解答】解：5的相反数是﹣5，故选：B．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（）A．①B．②C．③D．④【考点】I7：展开图折叠成几何体．【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．【解答】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体，故选：A．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．4．线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，将MN绕点M逆时针旋转90°得到线段M1N1，则点N的对应点N1的坐标为（）A．（0，0） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，1）D．（﹣1，﹣3）【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．【分析】根据网格结构作出图形，然后根据平面直角坐标系写出点N1的坐标即可．【解答】解：如图，点N的对应点N1的坐标为（﹣3，1）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，作出图形更形象直观．5．根据表格估计一元二次方程x2+2x﹣4=0的一个解的范围在（）A．﹣1＜x＜0 B．0＜x＜1 C．1＜x＜2 D．2＜x＜3【考点】A4：估算一元二次方程的近似解．【分析】据表格中的数据，可以发现：x=1时，x2+2x﹣4=﹣1；x=2时，x2+2x﹣4=4，故一元二次方程x2+2x﹣4=0的其中一个解x的范围是1＜x＜2，进而求解．【解答】解：根据表格中的数据，知：方程的一个解x的范围是：1＜x＜2，故选C．【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围．6．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（）A．20° B．25° C．40° D．50°【考点】MC：切线的性质．【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAO=90°．又∵∠P=40°，∴∠POA=50°，∴∠ABC=∠POA=25°．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理．圆的切线垂直于经过切点的半径．7．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．﹣=20 B．﹣=20 C．﹣=D．﹣=【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：由题意可得，﹣=，故选C．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．8．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF 交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S四边形DGOF=2：7．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；LB：矩形的性质．【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等；③可证明∠CDE=∠DFE；④设S△EGO=x，则S△AOE=2x，S△BOF=4x，可通过面积转化进行解答．【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵△BOC为等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，BF=BF，∴△BCF≌△BOF，∴∠BOF=∠BCF=90°，∴BO⊥EF，∵BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故②错误；③易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，∴∠ADE=∠1=30°，∠BEO=60°∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，∴∠CDE=∠DFE，∴DE=EF，故③正确；④易知△AOE≌△COF，∴S△AOE=S△COF，∵S△COF=2S△CMF，∵∠FCO=30°，∴FM=，BM=CM，∴=，∴S△FOM：S△BOF=1：4，易证△GEO≌△MFO，∴S△GEO=S△MFO，易证明四边形DEBF是平行四边形，∴S△DEF=S△EFB=2S△BOF，设S△EGO=x，则S△AOE=2x，S△BOF=4x，S四边形DGOF=S△DEF﹣S△EGO=S△EFB﹣S△EGO=8x﹣x，∴S△AOE：S四边形DGOF=2x：（8x﹣x）=2：7，故④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选B．【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算： = ．【考点】79：二次根式的混合运算．【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算．【解答】解：原式===．故答案为．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．10．某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为9.5×10﹣7．【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将0.00000095米用科学记数法表示为9.5×10﹣7，故答案为：9.5×10﹣7．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．11．某学校要从甲、乙两支女生礼仪队中，选拔一支身高相对整齐的队伍，代表学校承接迎宾任务，对两队女生升高情况（cm）的统计分析如表所示，在其它各项指标都相同的情况下，你认为乙队（填甲或乙）会被录取，理由是乙队的标准差较小，身高比较整齐．【考点】W8：标准差；W2：加权平均数；W4：中位数．【分析】先比较甲队的标准差与乙队的标准差，再根据标准差的意义即可得出答案．【解答】解：乙队被录取，理由为：∵甲队的标准差是0.038、乙队的标准差是0.025，乙队的标准差小于甲队的标准差，而标准差越小数据的波动越小，∴乙队的身高数据波动小，即比较整齐，∴乙队被录取；故答案为：乙，乙队的标准差较小，身高比较整齐．【点评】本题考查了标准差及中位数的知识，标准差是反映一组数据的波动大小的一个量．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．12．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表．按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是w=﹣10x2+500x﹣4000 ．【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据题意得出日销售量y是销售价x的一次函数，再利用待定系数法求出即可，再根据销量×每件利润=总利润，即可得出所获利润w为二次函数．【解答】解：由图表中数据得出y与x是一次函数关系，设解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+400；故日销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：w=（x﹣10）y=（x﹣10）（﹣10x+400）=﹣10x2+500x﹣4000．故答案为：w=﹣10x2+500x﹣4000．【点评】本题考查了一次函数解析式求法及二次函数的应用，求出一次函数解析式是解题关键．13．如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是π平方米．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．【解答】解：如图．小羊的活动范围是：S=+=π（平方米）．【点评】本题结合实际问题考查了扇形面积的计算方法，解题关键是弄清小羊活动的范围是哪些图形．14．如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是10 ．【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段C′C″．【解答】解：如图，点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″，∵直线AB的解析式为y=﹣x+7，∴直线CC″的解析式为y=x﹣1，由解得，∴E（4，3），∵E是CC″中点，∴可得C″（7，6）．连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，△DEC的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″==10．故答案为10．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．用圆规、直尺作图，不写作法，但到保留作图痕迹．已知：线段a，求作：正方形ABCD，使其对角线AC=a．【考点】N3：作图—复杂作图；LE：正方形的性质．【分析】首先画一条线段AC=a，然后作AC的垂直平分线，交AC于O，然后以O为圆心，a长为半径作弧，交AC的垂直平分线于B、D两点，连接AB、BC、CD、AD，即可得出所求作的正方形．【解答】解：已知：线段a；求作：正方形ABCD，使AC=a．作法：1、作线段AC=a，2、作线段AC的垂直平分线，交AC于0，3、以O为圆心， a长为半径作弧，交AC的垂直平分线于B、D两点，4、连接AB、BC、CD、AD，则正方形ABCD即为求作的图形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，正方形的判定，要求熟练掌握用尺规作图作线段垂直平分线的方法．16．（1）化简：（ +）÷（2）解不等式组．【考点】6C：分式的混合运算；CB：解一元一次不等式组．【分析】（1）根据分式运算法则即可求出答案（2）先分别求出两不等式的解集，然后求出它们的交集即可求出答案．【解答】解：（1）原式=（﹣）×=×=a（2）由①可得：x＞﹣由②可得：x≤0∴不等式组的解集为：﹣＜x≤0，【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．17．甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲胜；否则乙胜．这个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由．【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数的情况数，求出甲获胜的概率，进而求出乙获胜的概率，比较即可．【解答】解：根据题意列表如下：所有等可能的情况数有16种，其中两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数的情况有：（2，1），（1，2），（4，2），（3，3），（2，4），共5种，∴P（甲获胜）=，P（乙获胜）=1﹣=，则该游戏不公平．【点评】此题考查了游戏的公平性，列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，在距离CD的正后方30米的观测点P处，以22°的仰角测得建筑物的顶端C恰好挡住教学楼的顶端A，而在建筑物CD上距离地面3米高的E处，测得教学楼的顶端A的仰角为45°，求教学楼AB的高度．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】如图作EF⊥AB于F，则四边形EFBD是矩形．设EF=AF=x，在Rt△PAB中，AB=x+3，PB=30+x，根据tan22°=，可得=，解方程即可解决问题．【解答】解：如图作EF⊥AB于F，则四边形EFBD是矩形．∵∠AEF=45°，∠AFE=90°，∴∠AEF=∠EAF=45°，∴EF=AF，设EF=AF=x，则BD=EF=x，在Rt△PAB中，∵AB=x+3，PB=30+x，∴tan22°=，∴=，∴x=15，∴AB=x+3=18m，答：教学楼AB的高度为18m．【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．19．中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表：抽取的200名学生海选成绩分组表请根据所给信息，解答下列问题：（1）请把图1中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）（2）在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，则a的值为15 ，表示C组扇形的圆心角θ的度数为72 度；（3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【分析】（1）用随机抽取的总人数减去A、B、C、E组的人数，求出D组的人数，从而补全统计图；（2）用B组抽查的人数除以总人数，即可求出a；用360乘以C组所占的百分比，求出C 组扇形的圆心角θ的度数；（3）用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在90分以上（包括90分）所占的百分比，即可得出答案．【解答】解：（1）D的人数是：200﹣10﹣30﹣40﹣70=50（人），补图如下：（2）B组人数所占的百分比是×100%=15%，则a的值是15；C组扇形的圆心角θ的度数为360×=72°；故答案为：15，72；（3）根据题意得：2000×=700（人），答：估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有700人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；（3）直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将A的坐标代入反比例函数求出m的值，然后将B的坐标代入反比例函数求出n的值，然后将A、B两点的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案．（2）求出直线与y轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求出答案．（3）根据图象即可求出x的取值范围．【解答】解：（1）将A（﹣2，1）代入y=，∴m=﹣2，∴反比例函数的解析式为：y=将B（1，n）代入y=﹣∴n=﹣2将A（﹣2，1）和B（1，﹣2）代入y=ax+b，∴解得：∴一次函数的解析式为：y=﹣x﹣1，（2）令x=0代入y=﹣x﹣1∴y=﹣1∴S△AOB=×1×2+×1×1=，（3）当y1＜y2时，∴﹣2＜x＜0，或x＞1【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出A、B两点的坐标，本题属于中等题型．21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD．（1）求证：AO=EO；（2）若AE是△ABC的中线，则四边形AECD是什么特殊四边形？证明你的结论．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L9：菱形的判定．【分析】（1）由“三线合一”定理即可得到结论；（2）由AD∥BC，BD平分∠ABC，得到∠ADB=∠ABD，由等腰三角形的判定得到AD=BD，根据“SAS”定理证得△ABO≌△BBO，由全等三角形的性质有AB=BE，于是AD=BE，进而得到AE=EC，根据平行四边形的判定即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，AE⊥BD，∴AO=EO；（2）平行四边形，证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠ABD，∴AD=BD，在△ABO和△BBO中，，∴△ABO≌△BBO，∴AB=BE，∴AD=BE，∵AE=CE，∴AE=EC，∴四边形AECD是平行四边形．【点评】本题主要考查了三线合一定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，证得∠ADB=∠ABD，由等腰三角形的判定得到AD=BD是解决问题的关键．22．（10分）（2017•市北区一模）如图，需在一面墙上绘制两个形状相同的抛物绒型图案，按照图中的直角坐标系，最高点M到横轴的距离是4米，到纵轴的距离是6米；纵轴上的点A到横轴的距离是1米，右侧抛物线的最大高度是左侧抛物线最大高度的一半．（结果保留整数或分数，参考数据： =， =）（1）求左侧抛物线的表达式；（2）求右侧抛物线的表达式；（3）求这个图案在水平方向上的最大跨度是多少米．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据已知条件得到M（6，4），设左侧抛物线的表达式为y=a（x﹣6）2+4，把A（0，1）代入y=a（x﹣6）2+4即可得到结论；（2）根据（1）中的结论设右侧抛物线的表达式为y=﹣（x﹣h）2+2，把C（13，0）代入y=﹣（x﹣h）2+2即可得到结论；（3）求出D（23，0），于是得到结论．【解答】解：（1）∵最高点M到横轴的距离是4米，到纵轴的距离是6米∴M（6，4），设左侧抛物线的表达式为y=a（x﹣6）2+4，把A（0，1）代入y=a（x﹣6）2+4得a=﹣，∴左侧抛物线的表达式为y=﹣（x﹣6）2+4；（2）∵抛物线y=﹣（x﹣6）2+4与x轴的交点C（13，0），∵右侧抛物线与左侧抛物线形状相同，∴设右侧抛物线的表达式为y=﹣（x﹣h）2+2，把C（13，0）代入y=﹣（x﹣h）2+2得0=﹣（13﹣h）2+2，解得：h=18，h=8（不合题意，舍去），∴右侧抛物线的表达式为y=﹣（x﹣18）2+2；（3）∵C（13，0），右侧抛物线的对称轴是直线x=18，∴D（23，0），∴这个图案在水平方向上的最大跨度是23米．【点评】此题考查二次函数的实际运用，待定系数法求函数解析式，根据图象得出点的坐标是解决问题的关键．23．（10分）（2017•市北区一模）【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形的面积．【问题探究】为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究．探究一：在Rt△ABC（图1）中，∠ABC=90°，AC=b，BC=a，∠C=α，求△ABC的面积（用含a、b、α的代数式表示）在Rt△ABC中，∠ABC=90°∴sinα=∴AB=b•sinα∴S△ABC=BC•AB=absinα探究二：锐角△ABC（图2）中，AC=b，BC=a，∠C=α（0°＜α＜90°）求：△ABC的面积．（用含a、b、α的代数式表示）探究三：钝角△ABC（图3）中，AC=b，BC=a，∠C=α（0°＜α＜90°）求：△ABC的面积．（用含a、b、α的代数式表示）【问题解决】。

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