2008年广州市数学中考试题参考答案

2008年广州市初中毕业生学业考试数学试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题3分，满分30分.二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题3分，满分18分.题号 1112 1314 15 16 答案33701x ≠1真0.5三、解答题：本大题考查基础知识和基本运算，及数学能力，满分102分. 17．本小题主要考查代数式恒等变形中分解因式的基本运算技能．满分９分. 解： 32a ab -22()a a b =-()()a a b a b =+-.18．本小题主要考查平均数、权重、加权平均数等基本的统计概念，考查从统计表和统计图中读取有效信息的能力．满分9分．解：（1）小青该学期的平时平均成绩为：（88＋70＋98＋86）÷4＝85.5.（2）按照如图所示的权重，小青该学期的总评成绩为： 85.5×10％＋90×30％＋87×60％＝87.75.19．本小题主要考查利用数轴表示实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的代数运算能力．满分10分. 解：由数轴知，0,0a b <>且.∴ 0a b -<.222()a b a b -a b a b =-+-()()a b b a =--+- a b b a =--+- 2a =-.图21.1.51120.本小题主要考查菱形、特殊直角三角形、等腰梯形的性质与判定等基础知识，考查空间观念和基本的逻辑推理能力．满分10分. 证法1：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC 平分∠DAB . ∵ ︒=∠60DAB ， ∴ ∠CAE 1302D A B ︒=∠=.∵ AC CE ⊥，∴ ∠E = 90°－∠CAE = 90°－30°= 60°. ∴ D AB E ∠=∠. ∵ AB //CD ，∴ 四边形AECD 是等腰梯形． 证法2：连结BD ,∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴AC BD ⊥，且AD AB =． 由AD AB =，︒=∠60DAB ，得,△ABD 是等边三角形，即AB AD BD ==． ∵ AC BD ⊥且AC CE ⊥, ∴CE BD //．AB DC // ,∴四边形DBEC 是平行四边形． ∴B D E C =． ∴A D E C =．∴ 四边形AECD 是等腰梯形．证法3：设线段AD 和EC 的延长线交于点F ．∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC 平分∠DAB . ∵ ︒=∠60DAB ， ∴ ∠CAE = 1302C A FD A B ︒∠=∠=.∵ AC CE ⊥，∴ ∠E =∠F = 90°－30°= 60°.图1D AB CE图2DA B CE图3D ABCEF∴ △AEF 是等边三角形，且点C 是EF 的中点．//DC AB ,∴ 点D 是AF 的中点． ∴ 1122A D A F E F E C ===．∴ 四边形AECD 是等腰梯形．21. 本小题主要考查一次函数、反比例函数的图象与性质，考查用待定系数法求函数解析式的基本方法，以及从平面直角坐标系中读图获取有效信息的能力，考查数形结合的数学思想．满分12分． （1）解：由图象知，点A 的坐标为（－6，－2），点B 的坐标为（4，3）． （2）∵反比例函数xm y =的图象经过点B ，∴34m =，即12m =．∴所求的反比例函数解析式为12y x=．∵一次函数b kx y +=的图象经过A 、B 两点，∴ 26,34.k b k b -=-+⎧⎨=+⎩解这个方程组，得1,21.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴ 所求的一次函数解析式为112y x =+．（3）由图象知，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时，x 的取值范围为：60,4x x -<<>或．22. 本小题主要考查建立分式方程模型解决简单实际问题的能力，考查基本的代数计算推理能力．满分12分． 解法1：设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时．根据题意得：303015.1.560x x-=即30201.4x x -=即 101.4x = ∴ 40.x =经检验，x = 40是原方程的根。

∴ 1.5 1.54060.x =⨯=答：摩托车的速度为40千米/时，抢修车的速度为60千米/时． 解法2：设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时．根据题意得：303015.1.560x x=+两边同乘以6x 去分母，得 180120 1.5.x =+即 1.560.x = ∴ 40.x =经检验，x = 40是原方程的根。

∴ 1.5 1.54060.x =⨯=答：摩托车的速度为40千米/时，抢修车的速度为60千米/时．23．本小题主要考查圆、等腰三角形、线段垂直平分线、角平分线、尺规作图等基础知识，考查几何推理能力和空间观念．满分12分．证明：（1）方法1：∵ BCD E =，∴ BCBDBD D E +=+，即 C D BE=．∴ D E C B C E ∠=∠． ∴ AC = AE ．方法2：连结BE ，CD .∵ BCD E =，∴ ∠1＝∠2. ∵ ∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4． 即 D E C B C E ∠=∠． ∴ AC = AE ．（2）利用直尺和圆规，作线段CE 的垂直平分线与∠MCE 的平分线，如图所示。

方法1：设线段CE 的垂直平分线交CE 于点H ． 过点F 作FG ⊥AM 于点G ，作FK ⊥AN 于点K ，∵ 点F 在∠MCE 的平分线上， ∴ FG ＝FH ． 又∵AC = AE ，__ A BC DEM N图1__ ABC DEM N图2123 4∴ 线段CE 的垂直平分线FH 平分∠MAN ． ∴ FG ＝FK ． ∴ FH ＝FK ．∴ 点F 在∠CEN 的平分线上． 即 EF 平分∠CEN . 方法2：∵D E C B C E ∠=∠， ∴ N EC M C E ∠=∠． ∵ FC 平分∠MCE ， ∴ 12FC E M C F M C E ∠=∠=∠．∵ FH 垂直平分线段CE ， ∴ FC ＝FE ． ∴ FC E FEC ∠=∠． ∴ 1122F E C F C E M C E N E C ∠=∠=∠=∠．即 EF 平分∠CEN .24. 本小题主要考查圆、矩形、平行四边形、直角三角形等基础图形的性质与判定，考查计算能力、推理能力和空间观念．满分14分． （1）证明：方法1: CD ⊥OA , CE ⊥OB , ∴ ∠ODC ＝∠OEC ＝90︒. 又 ∠AOB ＝90︒， ∴ 四边形OECD 是矩形. ∴ ,OD EC =且//O D E C .∴ O D G C EH ∠=∠.EH DG = ,∴O D G C E H ∆≅∆（SAS ）. ∴O G C H =. 同理可证 O H C G =.∴四边形OGCH 为平行四边形. 方法2: CD ⊥OA , CE ⊥OB ,__ABCDE M N FG KHABOCD EGH∴∠ODC ＝∠OEC ＝90︒.又 ∠AOB＝90︒，∴四边形OECD是矩形.∴,OD EC=且//O D E C.∴O D G C EH∠=∠.EHDG=,∴O D G C E H∆≅∆（SAS）.∴,OG CH GOD HCE=∠=∠.连结OC,CEOD//,∴C O D O C E∠=∠.∴C O G C O D G O D O C E H C E O C H ∠=∠-∠=∠-∠=∠.∴//O G C H.∴四边形OGCH为平行四边形.方法3: CD⊥OA, CE⊥OB,∴∠ODC ＝∠OEC ＝90︒.又 ∠AOB＝90︒，∴四边形OECD是矩形.连结OC,设OC与ED相交于点M, 则MDEMMCOM==,. DG = HE,∴H M E M E H M D D G M G=-=-=.∴四边形OGCH为平行四边形.(2) 解: 线段DG的长度不变.点C是 AB上的点, OA＝3，∴3O C O A==.四边形OECD是矩形,∴3ED O C==.DG=GH=HE, BOCD EGHM∴113D GE D ==.(3) 证明: 方法1：过点H 作HF ⊥CD 于点F ， ,CD EC ⊥ ∴//H F E C . ∴D H F D EC ∆∆ . ∴23D F D H D CD E ==.∴23D F C D =，从而13C F C D F D C D =-=.在Rt △CFH 中,2222291CDHF CFHFCH+=+=.在Rt △H F D 中,2222449H F D H D F C D =-=-.∴ 222241144993C H CD C D C D =-+=-∴ 2222133(4)123C D C H C D C D +=+⨯-=.故CD 223CH +为定值12. 方法2：延长OG 交CD 于点K ， OE // CD , ∴ △EGO ∽△DGK . ∴ 2O GO E E G K GK DD G===.∴ OE DK OG GK 21,21==.∴ 3322O K O G C H ==，12D K C D=.在Rt △ODK 中,222229144O D O K D K C HC D =-=-，即2221(4)9C H O DC D =+.在Rt △OCD 中,9222==+OCCDOD.∴ ()()2222222214433412933C D C H C D O D C DO D C DO C+=+⨯+=⨯+==.故CD 223CH +为定值12.25. 本小题主要考查等腰三角形、等腰梯形、解直角三角形、二次函数等基础知识，考查运算能力、推理能力和空间观念．满分14分．BOCD EGH K M ABOC D EGHF解：（1）当4t =时，点B 与点Q 重合，点D 与点P 重合，重合部分为△BCD ．证明如下．过点A 作A G B C ⊥于点G ，过点D 作D E B C ⊥于点E ，则//AG DE AG DE =且． ∴ 四边形AGED 为矩形，从而AD = GE ． 在梯形A B C D 中，∵2cm A B A D D C ===，4cm B C =， ∴1cm C E BG ==． ∴在Rt △CDE 中，3cm D E =． 在等腰PQR ∆中，过点P 作PH QR ⊥于点H ． ∵120Q PR ∠= ，6cm QR =， ∴30PQ R ∠= ．在Rt PQH ∆中，∵tan 30PH QH=，∴3tan 3033cm 3PH Q H ==⨯=．∴D E PH =．即点P 在直线AD 上． ∵ 134EC C H D P +=+==， ∴ 当4t =时，点D 与点P 重合． ∴12D B C S S B C DE ∆==⨯⨯21433cm 2=⨯⨯=．（2）①当46t ≤<时，如图所示，方法1：∵cm QC t =，4cm B C =，6cm QR =， ∴()4cm QB t =-，()6cm CR t =-．设PQ 与A B 交于点M ，P R 与C D 交于点N ． 在BQM ∆中，GlHEC （Q ）DPRAB∵30BQ M ∠= ，又可求得60ABC ∠= ， ∴30BM Q ∠= ．∴()4cm BM QB t ==-． 过点M 作M S B C ⊥于点S ． 在R t B SM ∆中，)3sin 604cm 2M S BM t ==- ．∴()22134cm 24BQ M S Q B M S t ∆=⨯⨯=-．同理可得，)2236cm 4C RN S t ∆=-．∴P Q R B Q M C R N S S S S ∆∆∆=--()()223334644t t =---23332t =-+-)2355322t =--+∴当5t =时，253cm 2S =最大值．方法2：∵cm QC t =，4cm B C =，6cm QR =， ∴()4cm QB t =-，()6cm CR t =-． 设PQ 与A B 交于点M ，P R 与C D 交于点N ． 在BQM ∆中，∵30BQ M ∠= ，又可求得60ABC ∠=， ∴30BM Q ∠=．在Rt PQH ∆中，∵sin 30PH PQ=，∴PQ =．lSQCPRAB11622P Q R S Q R P H ∆=⨯⨯=⨯⨯=．在BQM ∆与PQR ∆中，∵30BQ M PQ R ∠=∠= ，30BM Q PRQ ∠=∠= ， ∴BQM PQR ∆∆ ．∴2BQ M PQ RS BQ S PQ ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭23323S ⎛= ⎝． ∴)2234cm 4BQ M S t ∆=-．同理可得，)2236cm 4C RN S t ∆=-．∴P Q R B Q M C R N S S S S ∆∆∆=--()()223334644t t =---23332t t =-+-()2355322t =--+∴当5t =时，253cm 2S =最大值．②当610t ≤≤时，如图所示，方法1：∵cm QC t =，4cm B C =，6cm QR =， ∴()6cm RC t =-，()10cm BR t =-． 设P R 与A B 交于点F ， 在B F R ∆中，∵60FBR ∠=，30FRB ∠=， ∴B F R ∆为直角三角形．∴()111022B F B R t ==-，)1022RFBR t ==-．Q R PC广州市2008年初中毕业生学业考试数学试题参考答案 第 11 页 共 11 页∴)22110cm 28FBR S S BF RF t ∆==⨯⨯=-．∵610t ≤≤，∴当6t =时，23cm S =最大值．综上可知，当5t =时，253cm 2S =最大值． 方法2： ∵cm QC t =，6cm QR =，4cm B C =， ∴()6cm RC t =-，()10cm BR t =-． 设P R 与A B 交于点F ，过点F 作FG BC ⊥于点G ， 在R t B G F ∆中，∵60FBG ∠= ， ∴3tan 603FGBG FG == ． 在R t R G F ∆中，∵30FRG ∠= ， ∴3tan 30F GG R F G == ．∵10B G G R B R t +==-， ∴33103FG FG t +=-． ∴)310cm 4FG t =-． ∴)221310cm 28FBR S S BR FG t ∆==⨯⨯=-． ∵610t ≤≤，∴当6t =时，23cm S =最大值．综上可知，当5t =时，2S =最大值．。