静电场二

q内 ∝ r
2
1 E∝ 2 r
总效果 E 大小为恒量 内
例3. 在半径R1 ，体电荷密度ρ 的均匀带电球体内挖去 在半径 一个半径R 的球形空腔。空腔中心o 与带电球体中心o 一个半径 2的球形空腔。空腔中心 2与带电球体中心 1 相距为a 相距为 [(R2+ a )< R1], r r 求空腔内任一点电场 。 R E 1 E1 2 r P 思考： 选用何种方法求解？ 思考：(1) 选用何种方法求解？ r r 1 ρ o r r22 o 1a R 失去球对称性, 挖去空腔 —— 失去球对称性 2 能否恢复对称性？补偿法！ 能否恢复对称性？补偿法！
S
r r dφe = EdS⊥ = E(dS cosθ ) = E ⋅ dS
r dS
θ
dS
1) 通过面元的电通量： 通过面元的电通量：
r E
r r dφe = EdS⊥ = E(dS cosθ ) = E ⋅ dS
θ < θ > θ = π π π
2 2 2 dφe > 0 dφe < 0 dφe = 0
r r r 才能找到恰当的高斯面，使 E ⋅ d S 中的 E 能够 才能找到恰当的高斯面， ∫
s
r 以标量形式提到积分号外， 分布。 以标量形式提到积分号外，从而简便地求出 E 分布。
球对称性
常见类型： 常见类型： 场源电荷分布
轴对称性 面对称性
[例一] 求均匀带电球体（q、R ）的电场分布 例一] 求均匀带电球体（ 对称性分析
S
r r 2) 通过曲面 S 的电通量 φ e = ∫sdφ e = ∫s E ⋅ dS r r 3) 通过封闭曲面的电通量 φ e = ∫ E ⋅ d S
s
r n
通过封闭曲面的电通量 r nr r r E φ e = ∫ E ⋅ dS
s
规定：封闭曲面外法向为正 规定：
r n
S
穿入的电场线 穿出的电场线
E内 =
qr 4πε 0 R
3
即：
r E=
r qr ( r ≤ R) 3 4πε 0 R r qr ( r ≥ R) 3 4πε 0 r
球体内区域
E∝r
球体外区域 ~ 电量 集中于球心的点电荷
E
q 4πε 0 R 2
∝r
R
1 ∝ 2 r
r
o
[例2] 求半径 ，电荷体密度 例 求半径R
ρ =k r
R2
R1
计算带电球层（ 1 计算带电球层（ R , R2, ρ
）
o
ρ
0
的电场分布
E =
ρ R 13 (r − 2 ) ( R1 ≤ r ≤ R 2 ) 3ε 0 r ρ ( R 23 − R 13 ) q = (r ≥ R2 ) 2 2 3ε 0 r 4 πε 0 r
( r ≤ R1 )
R1 R2
φe < 0 φe > 0
练习1 空间有点电荷 练习1：空间有点电荷q ，求下列情况下穿过曲面的电通量 1) 曲面为以电荷为中心的球面 2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面 3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面
1) 曲面为以电荷为中心的球面
r E
r E
q>0
q > 0 : φe > 0
q<0
r
S
r
S
q < 0 : φe < 0
r r φe = ∫ E ⋅ dS =
∫
r q r0 ⋅ d S q q = dS = 2 2 ∫ 4πε 0 r 4πε 0 r ε0
与 r 无关
单个点电荷场中， 单个点电荷场中，由 +q 发出的电场线延伸到 ∞ ， 终止。在无电荷处， 由 ∞ 而来的电场线到 -q 终止。在无电荷处，电场线 不中断、不增加。 不中断、不增加。
r r
R
R
dr ′
S
r
r′ o
ρ
R
<4> 电场强度的大小，方向 ？ 电场强度的大小， r r 1 由高斯定理： 由高斯定理： ∫ E ⋅ dS = ∑q 内
s
ε0
E ⋅ 4πr =
2
1
ε0
∑q
内
得：
κ κR2 E = ; E外 = 内 2ε0 2ε0r2
沿径向
〈5〉对结果的定性理解： 〉对结果的定性理解：
r r r r E = E1 + E2 + L + En
S
所有电荷的贡献。 包括 S 内、S 外，所有电荷的贡献。 的电通量： 穿过 S 的电通量：
r r r r r r r r φe = ∫ E ⋅ dS = ∫ E1 ⋅ dS + ∫ E2 ⋅ dS + L + ∫ En ⋅ dS
s
= φe1 + φe 2 + L + φen =
c b 厚度 a 较大
厚度 较小
厚度 为零 球面
E
a b c
E
区 区 区
o R1 R2
E
r
o R R2 1
o R 1= R2
[例4]
无限长均匀带电直线（ 无限长均匀带电直线（
λ）的电场
λ
dq
对称性分析： 对称性分析：
S r '
r P点处合场强 E
L
o dq '
r
P
dE
r dE
r r' dE + dE
s
(3) ∑q内 = ?
∑q
内
= ρ ⋅V = ⋅ π r r 3
╳
κ 4
dr ′
3
S
对否 ？
r
r′ o
ρ
R
k dq = ρdV = ⋅ 4πr′2dr′ r′
r > R:
r < R:
k q内 = ∫ ρdV = ∫ ⋅ 4πr′2dr′ = 2πkR2 ∑ r′ 0 0
k ′2dr′ = 2πkr2 ∑q内 = ∫ ρdV = ∫ r′ ⋅ 4πr 0 0
只有S 只有S内电荷有贡献
关于高斯定理的讨论： 关于高斯定理的讨论：
r r 1 ∫ E ⋅ dS = ∑q内
s
ε0
2. 揭示了静电场中“场”和“源”的关系 揭示了静电场中“ 电场线有头有尾
+ q : 发出 q ε 0 条电场线，是电场线的“头” 条电场线，是电场线的“ − q : 吸收 q ε 0 条电场线，是电场线的“尾” 条电场线，是电场线的“
§4.4 静电场的高斯定理
一.电场线
r 定量研究电场： 定量研究电场：对给定场源电荷求出其分布函数 E (r )
定性描述电场整体分布： 定性描述电场整体分布：电场线方法 电 场 线
r 空间矢量函数 E ：空间矢量函数
r 其上每点切向: 其上每点切向: 该点 E 方向 r 的单位面积的条数等于场强的大小， 通过垂直 E 的单位面积的条数等于场强的大小，
r' dE
S q
R
dq
o
P
dq′
r r' r dE + dE
dE
为中心， 以 O 为中心，r 为半径的球面 S 上各点彼此等价
r 大小相等 E r E 方向沿径向
确定高斯面 以半径 r 的同心球 面 S 为高斯面
S q
R
dq
r' dE
o
P
dq′
r r' r dE + d E
dE
r r o 2 通过S的电通量 的电通量： 通过S的电通量： ∫ E ⋅ dS = ∫ E cos 0 dS = E ⋅ 4πr
“头”、 “尾” “源”
静电场是有源场 静电场的重要性质 —— 静电场是有源场
关于高斯定理的讨论： 关于高斯定理的讨论：
r r 1 ∫ E ⋅ dS = ∑q内
s
ε0
3. 反映了库仑定律的平方反比关系 4. 利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场 成立条件：静电场 成立条件： 求解条件：电场分布具有某些对称性 求解条件：
即其疏密与场强的大小成正比。 即其疏密与场强的大小成正比。
实例： 实例：线
电偶极子的电场线
r 线分布的实验现象： 几种电荷的 E 线分布的实验现象：
单个点 电 极 极 单个点 电
正负点电极
两个同号的点电极
单个带电平板电极
分别带正负电的平行平板电极
带异号电荷的点电极和平板电极
“怒发冲冠”
二. 电通量 通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过 该面的电通量。 该面的电通量。
r dS
θ
dS
r E
r r 面积元矢量： 面积元矢量： dS = dS n
r 面积元范围内 E 视为均匀
微元分析法：以平代曲； 微元分析法：以平代曲； 以不变代变。 以不变代变。 1) 通过面元的电通量： 通过面元的电通量：
1
ε0
∑q
内
的电通量有贡献。 只有 S 内的电荷对穿过 S 的电通量有贡献。
练习3：请总结穿过静电场中任意封闭曲面的电通量 练习 ：请总结穿过静电场中任意封闭曲面的电通量 空间电荷分布的关系。 与空间电荷分布的关系。 三 .高斯定理 静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面）的电通量 静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面） 等于该封闭曲面所包围的电量代数和的 1 ε 0 倍：
（ k 为常数 ， r ≤ R ）带电球体内外的场强 。
ρ
o
R
用高斯定理求解方便 . 选高斯面
S
s
ρ = k r 未破坏电场分布的球对称性。 未破坏电场分布的球对称性。