【课堂新坐标】高中数学 进位制教案 新人教版必修3

进位制(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换．2．过程与方法学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律．3．情感、态度与价值观领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系．●重点难点重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换．难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计．(教师用书独具)●教学建议本节课主要采用演示、讲解和练习三结合的教学方法，教学内容上选用趣味性较强的数字进行举例说明，使学生在学习的过程中随时有新的发现，让他们感觉到原来数字之间还有这么多的联系．这种方法充分体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则．通过具体实例，帮助学生理解十进制与其他进制之间的相互转换；通过练习，使学生进一步巩固所学到的知识．在课堂上让学生带着问题听老师讲解相关的知识，在此过程中，指导学生积极思考所提出的问题；然后布置相应的练习，让学生边学边练，实际操作，自我探索，自主学习，使学生在完成练习的过程中不知不觉实现知识的传递、迁移和融合；最后归纳总结，引导学生提出问题、讨论问题和解决问题，进一步加深对知识的理解和记忆，有助于知识的掌握．●教学流程创设问题情境引入问题：二进制，十进制之间怎样相互转化⇒学生自主学习，主动探索二进制与十进制的相互转化⇒分组讨论、各组展示自己的成果教师总结，强调关键点及注意点⇒通过例1的教学，使学生掌握k进制转化为十进制的方法⇒通过例2及变式训练使学生掌握十进制转化为k进制的方法⇒通过例3的学习使学生掌握不同进位制间的相互转化⇒归纳整理，课堂小结、整体认识进位制间的关系⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正(见学生用书第25页)课标解读 1.了解进位制的概念．(重点)2.掌握不同进位制之间的相互转化．(难点)进位制的概念【问题导思】十进制使用0～9十个数字，那么二进制使用哪些数字？六进制呢？【提示】二进制使用0～1两个数字，六进制使用0～5六个数字．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.进位制之间的相互转化【问题导思】二进制数110 011(2)化为十进制数是多少？【提示】110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝51.k进制化为十进制的方法a n·a n－1·a n－2……a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…a1k＋a0.(见学生用书第25页)k进制转化为十进制将二进制数101 101(2)化为十进制数．【思路探究】按二进制化十进制的方法，写成不同位上的数乘以基数的幂的形式，再相加求和．【自主解答】101 101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝32＋8＋4＋1＝45.一个k进制的正整数就是各位数码与k的方幂的乘积的和，其中幂指数等于相应数码所在位数(从右往左数)减1.例如：230 451(k)＝2×k5＋3×k4＋0×k3＋4×k2＋5×k＋1.将下列各数化成十进制数．(1)11 001 000(2)；(2)310(8)．【解】(1)11 001 000(2)＝1×27＋1×26＋0×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋0×20＝200；(2)310(8)＝3×82＋1×81＋0×80＝200.十进制转化为k进制(1)将194化成八进制数；(2)将48化成二进制数．【思路探究】除k取余→倒序写出→标明基数【自主解答】(1)∴194化为八进制数为302(8)．(2)∴48化为二进制数为110 000(2)．1．将十进制化成k进制的方法：用除k取余法，用k连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后将各步所得的余数倒序写出，即为相应的k进制数．2．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．十进制数一般不标注基数．将十进制数30化为二进制数．【解】∴30(10)＝11 110(2).不同进位制之间的转化将七进制数235(7)转化为八进制数．【思路探究】七进制→十进制→八进制【自主解答】235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124，利用除8取余法(如图所示)．∴124＝174(8)，∴235(7)转化为八进制为174(8)．1．本题在书写八进制数174(8)时，常因漏掉右下标(8)而致误．2．对于非十进制数之间的互化，常以“十进制数”为中间桥梁，用除k取余法实现转化．将二进制数1 010 101(2)化为十进制数结果为________；再将该数化为八进制数结果为________．【解析】 1 010 101(2)＝1×26＋0×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝85.∴85化为八进制数为125(8)．【答案】85 125(8)(见学生用书第26页)算法案例在实际问题中的应用(12分)古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上点火向境内报告，如图1－3－1所示，烽火台上点火表示数字1，未点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制数的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示有多少敌人入侵？图1－3－1【思路点拨】观察图形发现中间的烽火台未点火，得出其代表数字为0，其他都为1，由此得出二进制数，再将其转化为实际人数．【规范解答】由图易知这组烽火台表示的二进制数为11 011(2)，4分它表示的十进制数为11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27，8分由于十进制数的单位是1 000，故入侵敌人的数目为27×1 000＝27 000.12分本题将军事知识与进位制之间的转化巧妙结合起来，在将二进制数转化为十进制数后，应明确此数并不是所求敌人的人数，不要忽视题目中条件“单位是1 000”．把一个非十进制数转化为另一种非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k取余法，把十进制数转化为k进制数．而在使用除k取余法时要注意以下几点：1．必须除到所得的商是0为止；2．各步所得的余数必须从下到上排列；3．切记在所求数的右下角标明基数．(见学生用书第26页)1．下列各数中可能是四进制数的是( )A．55 B．32 C．41 D．38【解析】四进制数中最大数不超过3，故B正确．【答案】 B2．110(2)转化为十进制数是( )A．5 B．6 C．4 D．7【解析】110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6.【答案】 B3．把153化为三进制数，则末位数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【解析】153÷3＝51，余数为0，由除k取余法知末位数为0.【答案】 A4．把154(6)化为七进制数．【解】154(6)＝1×62＋5×61＋4×60＝70.∴70＝130(7)．∴154(6)＝130(7).(见学生用书第95页)一、选择题1．下列写法正确的是( )A．858(8)B．265(7)C．312(3)D．68(6)【解析】k进制中各位上的数字均小于k，故A、C、D选项错误．【答案】 B2．(2013·洛阳高一检测)把89转化为五进制数是( )A．324(5) B．253(5) C．342(5) D．423(5)【解析】故89＝324(5)．【答案】 A3．三位五进制数表示的最大十进制数是( )A．120 B．124 C．144 D．224【解析】三位五进制数最大为444(5)，444(5)＝4×52＋4×51＋4×50＝124.【答案】 B4．由389化为的四进制数的末位是( )A．3 B．2 C．1 D．0【解析】∵∴389＝12 011(4)，故选C.【答案】 C5．下列各数中，最小的数是( )A．111 111(2) B．75C．200(6) D．105(8)【解析】111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×21＋1×20＝63. 200(6)＝2×62＝72.105(8)＝1×82＋0×81＋5×80＝69.【答案】 A二、填空题6．将101 110(2)化为十进制数为________．【解析】101 110(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋1×21＋0×20＝32＋8＋4＋2＝46.【答案】467．已知一个k进制数132(k)与十进制数30相等，则k等于________．【解析】132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2＝30，∴k＝4或－7(舍)．【答案】 48．五进制数23(5)转化为二进制数为________．【解析】23(5)＝2×51＋3×50＝13，将13化为二进制数13＝1 101(2)．【答案】 1 101(2)三、解答题9．在什么进制中，十进制数71记为47?【解】设47(k)＝71(10)，则4×k1＋7×k0＝4k＋7＝71，∴k＝16，即在十六进位制中，十进制71记为47.10．设m是最大的四位五进制数，将m化为七进制．【解】∵m是最大的四位五进制数，∴m＝4 444(5)，∴m＝4×53＋4×52＋4×51＋4×50＝624(10)，∴，∴4 444(5)＝1 551(7)．11．若二进制数10b1(2)和三进制数a02(3)相等，求正整数a，b.【解】∵10b1(2)＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2，∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7，∵a∈{1,2}，b∈{0,1}，当a＝1时，b＝1适合，当a ＝2时，b ＝112不适合．∴a ＝1，b ＝1.(教师用书独具)计算机为什么要采用二进制呢？第一，二进制只有0和1两个数字，要得到表示两种不同稳定状态的电子器件很容易，而且制造简单，可靠性高．例如，电位的高与低，电容的充电与放电，晶体管的导通与截止，等等．第二，在各种记数法中，二进制运算规则简单，有布尔逻辑代数作理论依据，简单的运算规则使得机器内部的操作也变得简单．二进制加法法则只有4条： 0＋0＝0,0＋1＝1， 1＋0＝1,1＋1＝10，而十进制加法法则从0＋0＝0到9＋9＝18，有100条． 二进制的乘法法则也很简单： 0×0＝0,0×1＝0， 1×0＝0,1×1＝1， 而十进制的乘法法则要由一张“九九表”来规定，比较复杂.(见学生用书第27页)算法设计及其应用 1.算法设计与一般意义上的解决问题不同，它是对一类问题的一般解法的抽象与概括，它往往是把问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有时是重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成．2．对于给定的问题，设计其算法时应注意以下四点(1)与解决问题的一般方法相联系，从中提炼与概括步骤． (2)将解决问题的过程划分为若干步骤．(3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表述． (4)用简练的语言将各个步骤表达出来．设计一个算法，求方程x 2－4x ＋2＝0在(3,4)之间的近似根，要求精确度为10－4，算法步骤用自然语言描述．【思路点拨】 可以利用二分法的步骤设计算法． 【规范解答】 算法步骤如下；第一步，令f (x )＝x 2－4x ＋2，由于f (3)＝－1<0，f (4)＝2>0，所以设x 1＝3，x 2＝4.第二步，令m ＝x 1＋x 22，判断f (m )是否等于0，若f (m )＝0，则m 为所求的根，结束算法；若f (m )≠0，则执行第三步．第三步，判断f (x 1)f (m )>0是否成立，若成立，则令x 1＝m ；否则令x 2＝m .第四步，判断|x 1－x 2|<10－4是否成立，若成立，则x 1与x 2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若不成立，则返回第二步．已知平面坐标系中两点A (－1,0)，B (3,2)，写出求线段AB 的垂直平分线方程的一个算法．【解】 第一步，计算x 0＝－1＋32＝22＝1，y 0＝0＋22＝1，得AB 的中点N (1,1)．第二步，计算k 1＝2－03－－＝12，得AB 的斜率．第三步，计算k ＝－1k 1＝－2得AB 垂直平分线的斜率．第四步，由点斜式得直线AB 的垂直平分线的方程．y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.程序框图及基本逻辑结构程序框图是用规定的程序框、流程线及文字说明来准确、直观、形象地表示算法的图形，画程序框图前，应先对问题设计出合理的算法，然后分析算法的逻辑结构，画出相应的程序框图，在画循环结构的程序框图时应注意选择合理的循环变量及判断框内的条件．写出求13＋1…＋13(共7个3)的值的一个算法，并画出流程图．【思路点拨】 引入计数变量i ＝1，累加变量x ＝13，反复执行x ＝1x ＋3，用循环结构求解．【规范解答】 第一步，x ＝13，i ＝1.第二步，x ＝13＋x.第三步，i ＝i ＋1.第四步，如果i ＞6，则输出x ；否则，返回第二步，重新执行第二步，第三步． 相应算法的流程图如图所示．在音乐唱片超市里，每张唱片售价20元．商家为了促销，提出以下优惠措施：顾客如果购买5张以上(含5张)唱片，则按九折收费；如果购买10张以上(含10张)唱片，则按八五折收费．画出根据购买唱片张数计算金额的程序框图．【解】 收费额y (元)与购买张数x 的函数关系y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x x ＜，18xx ＜，17x x程序框图如图所示：算法语句的设计算法设计和程序框图是程序设计的基础，我们根据算法的三种逻辑结构(顺序结构、条件结构、循环结构)，对应五种不同功能的基本算法语句(输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句)，同时兼顾基本语句的格式要求，特别值得注意的是条件语句中条件的表达和循环语句中有关循环变量的取值范围，从而完成程序设计．图1－1【思路点拨】明确各程序框的含义，判断程序框图的结构，写出程序．【规范解答】程序如下所示：s＝1i＝3DOs＝s*ii＝i＋2LOOP UNTIL i>99PRINT sEND【解】程序框图如图所示．程序：r＝10x＝1WHILE x＜ry＝1WHILE y＜rIF x^2＋y^2＜r^2 THENPRINT x，yEND IF y ＝y ＋1 WEND x ＝x ＋1 WEND END方程思想方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组或者构造方程，通过解方程组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程思想在算法中有着广泛的应用，特别是求不定方程的整数解，常规解法就是通过试值的思想方法，但如果解的范围比较大，试值的次数就比较多，工作量较大，那么我们可以通过循环语句让计算机重复执行，代替人工单一重复的计算．我国古代数学家张邱建的《张邱建算经》中记载了著名的“百鸡问题”：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几只？”请用程序解决此问题．【思路点拨】 设出变量列出方程组，结合变量的特殊性逐一验证．【规范解答】 设鸡翁、鸡母、鸡雏各x 、y 、z 只，则问题转化为解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＋z 3＝100，x ＋y ＋z ＝100，继而转化为解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋4y ＝100，z ＝100－x －y ，所以x ，y 的范围为：0≤x ≤14,0≤y ≤25.运用循环语句让计算机实现逐一试值的过程，最后输出所有满足条件的非负整数解．程序如下： x ＝0 y ＝0WHILE x ＜＝14 WHILE y ＜＝25 IF 7]相传在远古时代有一片森林，栖息着3种动物，凤凰、麒麟和九头鸟，凤凰有1只头、2只脚，麒麟有1只头、4只脚，九头鸟有9只头、2只脚，它们这3种动物的头加起来一共是100只，脚加起来也正好是100只．问森林中各生活着多少只凤凰、麒麟和九头鸟？设计出计算程序，并画出流程图．【解】 设森林中有凤凰x 只，麒麟y 只，九头鸟z 只．本题的关键是如何考虑x ，y ，z 三个变量之间的关系．由题意可知：(1)当凤凰x ＝1时(只在开始时)，变量麒麟y 的取值可以从1～25； (2)让变量y 从1开始取值(例如：y 的值为1)； (3)通过表达式(100－x －y)/9，计算出z 的值；(4)完成上述步骤后，x ，y ，z 三个变量都取到了自己相应的值，但是这三个值是否是正确的解呢？我们必须通过以下的两个条件来判断：x ＋y ＋9z ＝100且2x ＋4y ＋2z ＝100；(5)如果全部满足，就输出x ，y ，z 的值，如果不满足，就让y 值加1，然后重复步骤(2)到步骤(4)，直至y 的取值超过25.(6)然后让x 的取值加1后，重复步骤(1)到步骤(5)的操作，直至x 的取值超过50为止，退出算法．计算程序如下：FOR x FROM 1 TO 50 FOR y FROM 1 TO 25z＝(100－x－y)/9IF2x＋4y＋2z＝100AND x＋y＋9z＝100 THENPRINT x，y，zEND FOREND FOREND综合检测(一)第一章算法初步(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面对算法描述正确的一项是( )A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形方式来表示C．同一个问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同，结果必然不同【解析】算法可以用自然语言、程序框图、程序语句等来描述，同一个问题可以有不同的算法，但结果是相同的．【答案】 C2．下列各进制数中，最小的是( )A．1 002(3)B．210(6)C．1 000(4) D．111 111(2)【解析】转化为十进制数，再去比较．1 002(3)＝29,210(6)＝78,1 000(4)＝64,111 111(2)＝63.【答案】 A3．(2012·安徽高考)如图1所示，程序框图的输出结果为( )图1A．3 B．4 C．5 D．8【解析】用表格列出x、y每次的取值情况如下表：x 1248y 123 4 可以很直观地看出输出结果是y＝4.【答案】 B4．(2013·青岛高一检测)下列赋值语句正确的是( )A．s＝a＋1 B．a＋1＝sC．s－1＝a D．s－a＝1【解析】赋值语句的格式为“变量＝表达式”，“二”的左侧只能是单个变量，B、C、D都不正确．【答案】 A5．用辗转相除法，计算56和264的最大公约数时，需要做的除法次数是( )A．3 B．4 C．6 D．7【解析】由辗转相除法264＝56×4＋40,56＝40×1＋16,40＝16×2＋8,16＝8×2，即得最大公约数为8，做了4次除法．【答案】 B6．给出程序如下图所示，若该程序执行的结果是3，则输入的x 值是( ) INPUT xIF x>＝0 THEN y ＝x ELSE y ＝－x END IF PRINT y ENDA ．3B ．－3C ．3或－3D ．0【解析】 若x ＝3则输出y ＝3，若x ＝－3，则输出y ＝－(－3)＝3. 【答案】 C7．给出一个程序框图，如图2所示，其作用是输入x 的值，输出相应的y 的值．若要使输入的x 的值与输出的y 的值相等，则输入的这样的x 的值有( )图2A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 经分析知满足该程序框图的函数解析式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x，2x －x，1x x，令y ＝x ，则解得x ＝0或x ＝1或x ＝3，所以满足条件的x 有3个． 【答案】 C图38．如图3给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．i ＞10?B ．i ＜10?C ．i ＞20?D ．i ＜20?【解析】 12＋12×2＋12×3＋…＋12×10共10个数相加，控制次数变量i 应满足i ＞10.【答案】 A9．用秦九韶算法求多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6在x ＝－4时，v 4的值为( )A ．－57B ．220C ．－845D ．3 392 【解析】 v 0＝3，v 1＝v 0x ＋5＝－7， v 2＝v 1x ＋6＝28＋6＝34，v 3＝v 2x ＋79＝34×(－4)＋79＝－57， v 4＝v 3x －8＝－57·(－4)－8＝220. 【答案】 B10．(2012·辽宁高考)执行如图4所示的程序框图，则输出的S 值是()图4A ．4 B.32 C.23 D ．－1【解析】 当i ＝1时，S ＝22－4＝－1； i ＝2时，S ＝22－－＝23； i ＝3时，S ＝22－23＝32；i ＝4时，S ＝22－32＝4；i ＝5时，S ＝22－4＝－1；当i ＝6时程序终止，故而输出的结果为－1. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 【解析】 先求168与56的最大公约数， 168＝56×3，所以56是168与56的最大公约数， 再求56与264的最大公约数， 264＝56×4＋40，56＝40×1＋16，40＝16×2＋8，16＝8×2，所以8是56与264的最大公约数．所以这三个数的最大公约数为8.【答案】812．程序框图如图5所示，若输出的y＝0，那么输入的x为________．图5【解析】由框图知，当x＝－3,0时，输出的y值均为0.【答案】－3或013．(2012·湖南高考)如果执行如图6所示的程序框图，输入x＝4.5，则输出的数i ＝________.图6【解析】当输入x＝4.5时，由于x＝x－1，因此x＝3.5，而3.5<1不成立，执行i ＝i＋1后i＝2；再执行x＝x－1后x＝2.5，而2.5<1不成立，执行i＝i＋1后i＝3；此时执行x＝x－1后x＝1.5，而1.5<1不成立，执行i＝i＋1后i＝4；继续执行x＝x－1后x 变为0.5,0.5<1，因此输出i为4.【答案】 414．现给出一个算法的算法语句如下，此算法的运行结果是________．T＝1S＝0WHILE S＜＝50S＝S＋TT＝T＋1WENDPRINT TEND【解析】因为1＋2＋…＋9＝45＜50,1＋2＋…＋10＝55＞50，所以T＝10＋1＝11，此算法的运行结果是11.【答案】 11三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(2013·泰安高一检测)用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ，当x ＝3时的值．【解】 f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ， v 0＝7，v 1＝7×3＋6＝27，v 2＝27×3＋5＝86，v 3＝86×3＋4＝262，v 4＝262×3＋3＝789，v 5＝789×3＋2＝2 369， v 6＝2 369×3＋1＝7 108，v 7＝7 108×3＝21 324.16．(本小题满分12分)(2013·临沂高一检测)设计算法：要求输入自变量x 的值输出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π2x －5， x >0，0， x ＝0，π2x ＋3， x <0，的值，并用复合IF 语句描述算法．【解】 INPUT xIF x>0 THENf(x)＝π2x －5ELSEIF x ＝0 THEN f(x)＝0 ELSEf(x)＝π2x ＋3END IF END IF PRINT f(x) END律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大2，第3个数比第2个数大3，第4个数比第3个数大4，…，以此类推．要求计算这50个数的和．先将下面给出的程序框图7补充完整，再根据程序框图写出对应程序．图7【解】把程序框图补充完整为：①i＜＝50?②P＝P＋i＋1对应程序：i＝1P＝1S＝0WHILE i＜＝50S＝S＋PP＝P＋i＋1i＝i＋1WENDPRINT SEND18．(本小题满分14分)已知某算法的程序框图如图8所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，…图8(1)若程序运行中输出的一个数组是(9，t)，求t的值；(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为多少；(3)写出程序框图的程序语句．【解】(1)开始时x＝1时，y＝0；接着x＝3，y＝－2；然后x＝9，y＝－4，所以t＝－4；(2)当n＝1时，输出一对，当n＝3时，又输出一对，…，当n＝2 013时，输出最后一对，共输出(x，y)的组数为1 007；(3)程序框图的程序语句如下：。