《因式分解---公式法》课堂实录

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八年级数学上册 15.4.2《公式法因式分解》课堂教学实录新人教版【精品教案】

15.4.2 公式法课堂实录师：同学们好！生：老师好！师：首先检查一下预习情况！在预习的过程中能够有没有碰到不会的问题？生：在计算题的第一题我就碰到了困难．我觉得应该有简便方法，可是我又想不出来，我是直接算的，有点麻烦！生：我有好方法介绍给你．()11200720082007200720082200812222==-=+⨯⨯-=、原式师：大家觉得他的方法怎样？觉得简单的给他掌声．（掌声不断）师：“数学来源于生活，也应用于生活”．双休日，装潢师傅出了这样一道题：要在一个边长为12.75cm 的正方形纸板内，割去一个边长为7.25cm 的正方形，剩余部分的面积是多少？不使用计算器，你能计算出来吗？我这样解的： 2212.757.25- ………… ①()()12.757.2512.757.25=+- ………… ②()220 5.5110cm =⨯=．根据上面的计算，思考下面的问题：（1）由②到①属于；应用了公式；（2）由①到②属于；逆用了公式；（3）由因式分解和整式乘法的互逆关系，类比猜想因式分解中的平方差公式是：（4）运用平方差公式分解因式的多项式特征是：生：这很简单啊！（1）由②到①属于多项式相乘；应用了平方差公式；（2）由①到②属于因式分解；逆用了平方差公式；（3）由因式分解和整式乘法的互逆关系，类比猜想因式分解中的平方差公式是：()()22a b a b a b -=+-（4）运用平方差公式分解因式的多项式特征是：两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式师：（掌声）很好！今天我们就来学习用公式因式分解，首先介绍的是平方差公式．〖评析〗这是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法，让学生进一步感受到整式乘法与分解因式的互逆关系．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是？出示问题：下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是A ．22)(b a -+B ．mn m 2052-C ． 22y x -- D ．92+-x 生：A ．B ．C ．都不能，D ．92+-x =()()33+-+x x师：很好，能告诉我，你是怎么判断的呢？生：平方差公式分解因式的多项式应满足的条件：师：你真棒！大家看下面这个问题．出示问题：2．()()22a b a b --+是下列哪一个多项式的分解结果A ．224b a -B ．224b a +C ．224b a --D ．224b a +-生：我认为选D, 224b a +-先提取负号，变为)4(22b a --，再因式分解为()()22a b a b --+．师：你观察的很仔细！下次因式分解时我们也可以采用你的方法．下面有道练习题向我们同学提出了挑战，看你掌握知识的情况：出示问题：3．下列用平方差公式分解因式正确的是A ．224x y -+()()22x y x y =-+--B ．224x y --()()22x y x y =-+- C ．224x y +()()22x y x y =++ D ．224x y -+()()22y x y x =-+ 学生：可以用平方差做的是D ，224x y -+可以交换一下两个单项式的位置，变为224x y -然后运用平方差公式分解因式()()22y x y x =-+师：你的方法和刚刚那名同学不一样，有特点，很聪明，请坐！〖评析〗在学习了用平方差公式分解因式后，再观察与平方差公式结构类似的几个变式，判断能否运用平方差公式进行分解因式，达到检验．巩固和学以致用的目的，培养了学生有条理思考及语言表达能力．师：接下来我们来看看如何用平方差公式来做因式分解的题目，注意过程．出示问题：例3 分解因式（1）942-y（2）()()22q x p x +-+ 师：这两题怎么分析？生：在（1）中，4x 2 = （2x ）2，9=32，4x 2－9 = （2x ）2 –3 2，即可用平方差公式分解因式．教师板演：解：（1）4x 2 – 9= （2x ）2 – 3 2= （2x +3）（2x －3）；生：第（2）中把()()p -x 和p x +看成一个整体，设,,n q x m p x =+=+则原式转化为22n m -，再因式分解为()()n m n m -+，最后还原成()()q p q p x -++2教师板演：（2）（x +p ）2 – （x +q ）2= [（x +p ）+（x +q ）] [（x +p ）–（x +q ）]=（2x +p +q ）（p －q ）．师：在运用平方差公式因式分解时，一定要多观察多项式的特点，是否可以写成两个数的平方差的形式．〖评析〗通过例3的教学，进一步巩固平方差公式分解因式的应用，培养学生符号运算的能力，进一步培养学生逆向思维和勤于观察的习惯，体现了本节课的重点出示问题：例4 分解因式（1）44y x -（2）ab b a -3师：下面这两问题稍微有点难度，我们来挑战一下！出示问题：例4 分解因式（1）44y x -（2）ab b a -3师：如何处理指数为4次的二项式？生：将44y x -分解为()()2222y x y x -+ 师：你很聪明，但是将44y x -分解为()()2222y x y x -+就可以了吗？生：嗯···好像没有？师：为什么？生：x 2－y 2不是还可以因式分解吗？师：太厉害了，44y x -应当分解两次，分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．第（2）题将ab b a -3分解因式能直接运用平方差公式吗？生：不能，a 3b －ab 有公因式ab ，应先提出公因式，再进一步分解．师：由此可以得出什么结论？生：因式分解的方法不是孤立的，要综合起来用，在运用公式法分解因式前，先观察一下可不可以提公因式．师：你说的很有道理，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用公式分解因式.请同学来板演．学生板演：（1） x 4－y 4= （x 2+y 2）（x 2－y 2）= （x 2+y 2）（x +y ）（x －y ）；（2）b a 3－ab = ab （2a －1）= ab （a+1）（a －1）．〖评析〗通过（1）小题的教学，意图是让学生探究出运用幂的乘方逆运算将4次指数“降”为2次指数，从而转化成两数平方差的形式，进一步培养了学生的数感，在进一步了解平方差公式因式分解后，还可以继续运用平方差公式进行二次分解，此例很好的解决了“分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止”的要求，也突破了本节课的难点之一．在（2）小题中，初步体现了将前面所学到的因式分解的方法和新学的方法灵活运用，意在传递给学生这样一个信息：分解因式的方法不是孤立的，而是可以一起综合应用的．这样让学生初步意识到知识承上启下的关联作用．师：你能将多项式222b ab a ++与222b ab a +-分解因式吗？生：222)(2b a b ab a +=++．222)(2b a b ab a -=+-师：你为什么回答的这么肯定？生：因为乘法公式中有22))(b a b a b a -=-+（，它的逆运算就是22b a -=))(b a b a -+（，那么完全平方公式2)(b a ±=222b ab a +±的逆运算不就是222)(2b a b ab a ±=+±吗？师：你的推理很正确，观察一下，这两个多项式有什么特点？生1：是三项生2：有两项能够写成平方和的形式师：说得很好，其他同学有没有补充的？生：还有一项是两个数的乘积的2倍师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？生：不是，而是刚才两项的底数．师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征．再请一位同学来综合一下．生：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍．右边是两个数的和或差的平方．师生共同总结：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．即222)(2b a b ab a ±=+±同时归纳完全平方式的定义：把形如 222b ab a ++和222b ab a +-的式子叫作完全平方式．〖评析〗让学生经历观察．类比．归纳．概括的过程，探究出将乘法公式逆用就能解决问题，再来归纳出分解因式的完全平方公式．发展了学生的逆向思维和分析能力和推理能力，增强学生的符号感，发展了学生有条理地思考的能力．师：判断下列各式是不是完全平方式，并说出理由．出示问题：判断下列各式是不是完全平方式，并说出理由．(1)442+-a a(2)2244y x x ++(3)2224b ab a ++(4)22b ab a +-(5)962--x x(6)25.02++a a生：第一题是完全平方式．有三项，其中有两项正且能写成平方的形式，另一项是减去这两个数的积的2倍．生：第二题是完全平方式，有三项，其中有两项正且能写成平方的形式，另一项是加上这两个数的积的2倍．生：第三．四题不是完全平方式，因为中间一项不是两个数的乘积的2倍．生：第五题是完全平方式．三项，有两项能写成平方的形式，另一项也是两个数的积的2倍．师：其它同学同意他的意见吗？有没有补充的？生：这一题不是完全平方式，虽然有两部分能写成平方的形式，但这两项不是平方和师：同意他的意见吗？生齐答：同意．生：第六题是的．师：看来我们在观察一个多项式是否符合完全平方式的特点时，不仅要找有没有两项能够写成平方的形式，同时还要看这两项的符号是否同为正，更要看另一项是不是这两数的积的2倍．像刚才的第3题和第4题，第5题都只满足特征中的一部分．〖评析〗在学习了用完全平方公式分解因式后，再观察与完全平方结构类似的几个变式，判断能否运用完全平方式进行分解因式，达到检验．巩固和学以致用的目的，培养了学生有条理思考及语言表达能力．例5 分解因式（1）924162++x x ；（2）224y xy x -+- 师：如何分析？生：在（1）中，()22416x x =，239=，34224⋅⋅=x x ，所以924162++x x 是一个完全平方式，924162++x x ＝()234+x教师板演：=++924162x x ()2233424+⋅⋅+x x .=()234+x 生: 在（2）中，形式上不满足完全平方式的特点，但是224y xy x -+-＝)4(22y xy x +--，变形后括号内的多项式是完全平方式，可以分解因式．教师板演：224y xy x -+-=)4(22y xy x +--=-()[]22222y y x x +⋅⋅- = ()22y x -- 师：由刚才的例子，我们同学能否发现将因式分解为两数的和或差的平方，如何确定是两数的和还是两数的差的平方呢？生：由符号来决定．师：能不能具体一点？生：由中间一项的符号决定，就是两个数乘积2倍这项的符号决定，是正，就是两个数的和；是负，就是两个数的差．师：总之，在分解完全平方式时，要根据第二项的符号来选择运用哪一个完全平方公式．〖评析〗学生的思维很活跃，对于学生的回答表示充分的肯定，确保学生积极地参与到学习活动中来，通过积极参与与有效参与，来达到知识和能力．过程和方法，情感态度价值观三维目标的全面落实．例6 分解因式（1） ;36322ay axy ax ++ （2）()()36122++-+b a b a （小组合作学习）生：在（1）中有公因式3a ，应先提出公因式，再进一步分解．在（2）中，将a+b 看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式36122+-m m ．学生板演．()()22222323363y x a y xy x a ay axy ax +=++=++ ()()()()()222266623612-+=+⋅+⋅-+=++-+b a b a b a b a b a教师点评．〖评析〗教师将独立思考和小组合作交流有机结合，这样保证了人人参与活动，通过组内交流又使每个学生的思维得到碰撞，情感得到交流，极大地达到了教学效果．师：把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？出示问题：（1）44y x -；（2）33ab b a -；（3）22363ay axy ax ++；（4）22)()(q x p x +-+；（5）36)(12)(2++-+b a b a生：（1）可以把x 4．y 4看作（x 2）2．（y 2）2，可以利用平方差公式，得到44y x -＝（22y x -）（22y x +）而22y x -还可以利用平方差公式进行分解得到44y x -＝（22y x -）（22y x +）＝（x －y ）（x ＋y ）（22y x +）．（2）（3）中不能用公式，但是各项存在公因式，于是可以先提公因式，然后进行分解，得到（2）))(()(2233b a b a ab b a ab ab b a -+=-=-；（3）22222)(3)2(3363y x a y xy x a ay axy ax +=++=++；（4）中若把（x ＋p ）和（x ＋q ）看作一个整体，可以利用平方差公式分解．（5）把（a ＋b ）看作一个整体，恰好是完全平方式．学生板演．师：从中你可以发现因式分解的一般步骤吗？生：（1）先提公因式（有的话）；（2）利用公式（可以的话）；（1）分解因式时要分解到不能分解为止．〖评析〗小组合作，学生积极的思考讨论，陪养了学生的分析问题解决问题的能力，提高了学生的合作交流意识．能表述解题的方法，锻炼了学生的表达能力和严谨的思维方式，让学生数理学好数学的信心，增强学生克服困难的勇气．师：今天我们学习了用公式法因式分解，你有什么体会？生1：我学到了如何用平方差公式因式分解，两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）．生2：我学到了如何将完全平方式分解因式，遇到三项式中有两项符号相同且能化成平方的形式，另一项为这两个数的积的2倍的形式，如果能化成平方项是负的，首先将负号提取再分解．第二项是正的就是两数的和的平方，第二项是负的就是两数差的平方．生3：有公因式可提取的先提取公因式，然后再分解，同时根据第二项的符号来选用合适的公式．老师：同学们今天思路开阔，思维活跃，充分发挥和展示了你们的聪明才智．你们能灵活运用公式进行因式分解，老师课前都没有想到，很了不起！今后还要向同学们学习．布置作业．（课后延伸）。

公式法因式分解教案

公式法因式分解教案公式法因式分解教案篇一学习重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用.学习过程：一、创设情境引入新课复习乘方an的意义：an表示个相乘，即an=.乘方的结果叫a叫做，n是问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算?列式为，你能利用乘方的意义进行计算吗?二、探究新知：探一探：1根据乘方的意义填空(1)23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2();(2)55×54=_________=5();(3)(-3)3×(-3)2=_________________=(-3)();(4)a6a7=________________=a().(5)5m5n猜一猜：aman=(m、n都是正整数)你能证明你的猜想吗?说一说：你能用语言叙述同底数幂的乘法法则吗?同理可得：amanap=(m、n、p都是正整数)三、范例学习：【例1】计算：(1)103×104;(2)aa3;(3)mm3m5;(4)xmx3m+1(5)xx2+x2x1.填空：⑴10×109=;⑵b2×b5=;⑶x4x=;⑷x3x3=.2.计算：(1)a2a6;(2)(-x)(-x)3;(3)8m(-8)38n;(4)b3(-b2)(-b)4.【例2】：把下列各式化成(x+y)n或(x-y)n的形式. (1)(x+y)4(x+y)3(2)(x-y)3(x-y)(y-x)(3)-8(x-y)2(x-y)(4)(x+y)2m(x+y)m+1四、学以致用：1.计算：⑴10n10m+1=⑵x7x5=⑶mm7m9=⑷-4444=⑸22n22n+1=⑹y5y2y4y=2.判断题：判断下列计算是否正确?并说明理由⑴a2a3=a6();⑵a2a3=a5();⑶a2+a3=a5();⑷aa7=a0+7=a7();⑸a5a5=2a10();⑹25×32=67()。

八年级数学上册15.4.2《公式法因式分解》课堂教学实录新人教版

八年级数学上册15.4.2《公式法因式分解》课堂教学实录新人教版15.4.2公式法课堂记录老师:同学们好！学生:好老师！部门:首先检查预览！在预演中有什么你不会遇到的问题吗？学生:我在计算问题的第一个问题上遇到了困难。

我认为应该有一个简单的方法，但我想不出来。

我直接做了计算，有点麻烦！学生:我有一个很好的方法来介绍你。

1，原始形式？20082？2？2008年？2007年？20072？？2008年？2007年？？12岁？你认为他的方法怎么样？如果他认为简单，就给他掌声。

(掌声继续)老师:“数学来自生活，也适用于生活”。

周末，装饰师问了以下问题:要从边长为199219912.75厘米的方形纸板上切下一个边长为7.25厘米的方形，剩下的面积是多少？你能不用计算器计算吗？: 12.752？7.252？？？？①？？12.75？7.25？？12.75？7.25？？？？？②？20？5.5？110？cm2？。

根据以上计算，考虑以下问题:(1)属于从②到①；公式被应用。

(2)从①到②；这个公式用反了。

(3)通过因式分解与代数表达式乘法之间的倒数关系，类比推测因式分解中的平方方差公式为:(4)利用平方方差公式进行因式分解的多项式特征为:盛:这很简单！(1)属于从②到①的多项式乘法；应用平方方差公式。

(2)从①到②属于因子分解；平方方差的公式用反了。

(3)通过因式分解与代数表达式乘法之间的倒数关系，类比推测因式分解中的平方方差公式是a2？b2？？a。

b？？a。

b？(4)用平方方差公式因式分解的多项式特征是两个多项式都可以写成两个数的平方方差形式:(掌声)很好！今天，我们将学习使用公式的因式分解。

首先，我们将介绍平方偏差的公式。

[评价]这是对平方偏差公式的再认识。

通过代数表达式乘法的逆变形，我们可以得到因式分解的方法，这样学生就可以进一步感受到代数表达式乘法和因式分解之间的相互关系。

以下哪种类型的可以用平方偏差公式分解？表示的问题:在下列类型中，1a a2可以用平方方差公式分解？(？2平方米？20百万摄氏度？x2？y2 D？x2？学生9:不是a.b.c .也不是d？x2？9=？x？3？？？x？3？老师:很好。

数学初二数学利用公式法完全平方公式因式分解课堂实录

数学 - 初二数学利用公式法完全平方公式因式分解课堂实录导语在初二数学课程中，因式分解是我们必须要掌握的一个基础技能。

而利用公式法求解因式分解问题，则是我们在这个过程中需要掌握并愉快地应用的一个方法。

下面，就让我来通过一节初二数学课堂的实录，向大家介绍关于数学利用公式法进行完全平方公式因式分解的方法。

课程主要内容一、知识铺垫在开始进入完全平方公式的因式分解时，老师首先做了一个知识铺垫，即对完全平方的概念进行了简要讲解。

在此，我们从初中数学的角度来看，将完全平方定义为一个数的平方可以分解成两个相同的因数相乘的形式。

例如，4是一个完全平方数，因为 $4 = 2 \\times 2$（因数为2，乘积为4）。

二、完全平方公式的介绍之后，老师介绍了完全平方公式的概念和公式式样，并带领我们大声地朗诵了完全平方公式的推导过程和公式：(a+b)2=a2+2ab+b2在这里，需要注意的是：•公式右侧的2ab部分是两个变量a和b的积的两倍。

•根据完全平方的定义，公式左侧和公式右侧的式子是完全一致的。

因此，在进行因式分解时，我们要找出公式右侧的三个部分，将它们与公式左侧的部分逐一进行对比。

三、课堂案例示范随后，老师示范了如何利用完全平方公式进行因式分解。

以下是他在课堂上给我们出的一道例题：x2+10x+25老师说，我们可以先考虑将这个式子放到公式右侧上对比：(x+5)2=x2+10x+25我们可以看到，公式右侧的三个部分恰好与原式匹配。

因此，我们的答案就是：x2+10x+25=(x+5)2四、课后练习在示范完这个案例以后，老师要求我们在课后自己完成3道类似的练习。

以下是其中一道示例练习：x2+8x+16同样地，我们可以将这个式子放到公式右侧上对比：(x+4)2=x2+8x+16因此，我们的答案就是：x2+8x+16=(x+4)2总结通过这节数学课的学习，我们掌握了通过公式法进行完全平方公式的因式分解的方法。

同时，我们也学到了完全平方的定义和推导过程，这些都是我们后续的数学学习中必备的知识点。

14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》教案

学科：数学授课教师：年级：八年级总第课时课题14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》课时教学目标知识与技能用完全平方公式分解因式过程与方法1．理解完全平方公式的特点．2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．情感价值观通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力.教学重点用完全平方公式分解因式．教学难点灵活应用公式分解因式．教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高媒体资源多媒体投影教学过程教学流程教学活动学生活动设计意图复习提问1、分解因式：（1）－a2＋b2（2）2a－8a22、把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2思考解答复习引入完全平方公式1、把整式乘法的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2a b＋b2（a－b）2＝a2－2a b＋b2反过来，得到：a2＋2a b＋b2＝（a＋b）2a2－2a b＋b2＝（a－b）2注：（1）形如a2±2a b＋b2的式子叫做完全平方式，说出它们的特点。

（2）利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。

（3）上面两个公式用语言叙述为：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

尝试独立完成然后与同伴交流总结掌握完全平方公式分解因式特点例题练习1、分解因式：（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y22、练习：P119页：练习：1、2：（1）--（4）3、分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2（2）（a+b）2-12（a+b）+364、练习：P119页：练习：2：（5）（6）5下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a2－2a＋1 （2）a2－4a＋4 （3）a2＋2ab－b 2（4）a2＋ab＋b2（5）9a2－6a＋1 （6）a2＋a＋1/4 思考动手板演归纳总结巩固知识因式分解的一般步骤1、把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？（1）44yx-；（2）33abba-；（3）22363ayaxyax++；（4）22)()(qxpx+-+；（5）4x2+20（x-x2）+25（1-x）22、分解因式的一般步骤：（1）先提公因式（有的话）；（2）利用公式（可以的话）；（3）分解因式时要分解到每个多项式因式不能再分解为止．3、练一练：把下列多项式分解因式：（1）6a-a2-9；（2）-8ab-16a2-b2；（3）2a2-a3-a；课堂小结1、完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

(完整版)因式分解——公式法教案

因式分解——公式法（1）一．教课内容人教版八年级上册数学十四章因式分解——公式法第一课时二．教材剖析分解因式与数系中分解质因数近似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。

在后边的学习过程中应用宽泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。

所以分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。

同时，在因式分解中表现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。

所以，因式分解的学习是数学学习的重要内容。

依据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完好平方公式）。

所以公式法是分解因式的重要方法之一，是现阶段的学习要点。

三．教课目的知识与技术：理解和掌握平方差公式的构造特色，会运用平方差公式分解因式过程与方法： 1. 培育学生自主研究、合作沟通的能力2.培育学生察看、剖析和创新能力，深入学生逆向思想能力和数学应企图识，浸透整体思想感情、态度与价值观：让学生在合作学习的过程中体验成功的愉悦，进而加强学好数学的梦想和信心四．教课重难点要点：会运用平方差公式分解因式难点：正确理解和掌握公式的构造特色，并擅长运用平方差公式分解因式易错点：分解因式不完全五．教课方案（一）温故知新1.什么是因式分解？以下变形过程中，哪个是因式分解？为何？22（1）（ 2x - 1） = 4 x- 4x + 1;(2)3x2 + 9xy - 3x = 3x( x+ 3y + 1);(3)x2 - 4+ 2x = ( x + 2)( x - 2) + 2x.2.我们已经学过的因式分解的方法是什么？将以下多项式分解因式。

（1） a3b3 - 2a2 b - ab ;( 2) - 9 x2 y + 3xy2 - 6 xy.【设计企图】经过复习因式分解的定义和方法，为持续学习公式法作好铺垫。

3.依据乘法公式进行计算：（1）（ x + 1）(x -1)；（2）（ x + 2 y）(x - 2 y).4.依据上题结果分解因式：（1） x2 - 1；（2） x 2 - 4 y 2 .由以上 3、 4 两题，你发现了什么？【设计企图】经过整式乘法中的平方差公式引出公式法因式分解进而引出课题。

数学 - 初二数学利用公式法(完全平方公式)因式分解课堂实录

数学 - 初二数学利用公式法（完全平方公式）因式分解课堂实录引言数学的因式分解是一个重要的概念和技巧。

在初中数学教学中，因式分解通常作为解题的基础和扩展应用进行教授。

其中，利用公式法进行因式分解是一种高效且常用的方法。

在本文中，我们将记录下一堂初二数学课堂上，老师对于利用公式法进行因式分解的讲解和学生的实际操作。

通过这堂课的实录，我们可以更好地理解完全平方公式的运用和因式分解的思路。

一、概念复习在开始讲解利用公式法进行因式分解之前，老师首先对于完全平方公式进行了简要复习。

完全平方公式是一个非常重要的数学公式，可以用来将一个二次多项式进行因式分解。

完全平方公式的表达式如下：a2+2ab+b2=(a+b)2其中，a和b可以是任意实数。

利用完全平方公式，我们可以将一个二次多项式因式分解为两个一次多项式的乘积。

二、利用完全平方公式进行因式分解老师在课堂上提供了几个实际的例子，以帮助学生更好地理解如何利用完全平方公式进行因式分解。

例子一题目：因式分解x2+6x+9解析：首先，根据完全平方公式，我们可以将x2+6x+9写成(x+3)2的形式。

因此，答案为(x+3)2。

例子二题目：因式分解4x2−12x+9解析：首先，可以观察到4x2−12x+9的首项系数是4，即4x2。

因此，我们需要将完全平方公式应用到4x2上。

通过计算可知，4的平方是16。

因此，我们需要将4x2−12x+9中的第二项系数−12x分解为两个数的乘积，使得这两个数的和为−12，且乘积为16。

通过观察和计算，我们可以得出−6和−6是满足条件的两个数。

因此，我们将4x2−12x+9进行因式分解，得到(2x−3)2。

例子三题目：因式分解9x2+12x+4解析：与上一个例子类似，我们需要将完全平方公式应用到9x2上。

通过计算可知，9的平方是81。

因此，我们需要将9x2+12x+4中的第二项系数12x分解为两个数的乘积，使得这两个数的和为12，且乘积为81。

[初中数学]公式法课堂实录人教版

15.4.2公式法（第1课时）一、教学目标1.知道因式分解的平方差公式，会运用公式分解因式.2.会两次运用平方差公式分解因式，知道因式分解必须进行到不能分解为止.二、教学重点和难点1.重点：运用平方差公式分解因式.2.难点：平方差公式的运用.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.直接写出因式分解的结果：(1)2a2b+4ab2=(2)12x2yz-8xz2=(3)2a(x+y)-3b(x+y)=(4)x(m-n)-y(n-m)=（二）创设情境，导入新课师：前面我们学习了用提公因式法分解因式，（板书：x2-4，并指准）大家看一看，这个式子能用提公因式法分解因式吗？（稍停）不能.为什么不能？因为x2与-4这两项没有公因式，没有公因式就不好用提公因式法分解因式.师：那么，对像x2-4这样没有公因式的式子，怎么分解因式呢？我们可以考虑用另一种方法来分解，什么方法？公式法（板书课题：15.4.2公式法）.本节课我们学习用平方差公式来分解因式（板书：（平方差公式））.（三）尝试指导，讲授新课师：平方差公式我们以前就学过，（板书：(a+b)(a-b)=）(a+b)(a-b)等于什么？生：（齐答）a2-b2.（生答师板书：a2-b2）师：（指(a+b)(a-b)=a2-b2）把这个公式反过来，我们就得到公式a2-b2=(a+b)(a-b)（边讲边板书：a2-b2=(a+b)(a-b)）.师：（指(a+b)(a-b)=a2-b2）这是平方差公式，（指a2-b2=(a+b)(a-b)）这也是平方差公式，所不同的是，（指准公式）这是整式乘法的平方差公式（板书：整式乘法），而这是因式分解的平方差公式（板书：因式分解）师：（指a2-b2=(a+b)(a-b)）谁会用语言来说说因式分解的平方差公式的意思？生：……（让一两名同学说）师：（指准a2-b2=(a+b)(a-b)）两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 师：大家跟着老师来说一遍.（指准a2-b2=(a+b)(a-b)）两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.（生跟着说，如有必要可再跟说一遍）师：（指准a2-b2=(a+b)(a-b)）有了这个公式，以后凡是可以写成a2-b2样子的式子，都可以用这个公式来分解因式.师：（指x2-4）譬如，x2-4可以写成x2-22（边讲边板书：=x2-22），利用平方差公式，x2-22等于什么？（稍停）等于(x+2)(x-2)（边讲边板书：=(x+2)(x-2)）.这样我们就把x2-4分解因式了.师：下面我们再来看几个用平方差公式分解因式的例子.（师出示例1）例1 分解因式：(1)4x2-9； (2)(x+p)2－(x+q)2.师：（板书：解：(1)4x2-9）这个式子怎么用平方差公式分解因式？大家自己先试一试.（生尝试，师巡视）师：（指准4x2-9）用平方差公式分解因式，先要把这个式子写成a2-b2的样子，4x2-9可以写成(2x)2-32（边讲边板书：=(2x)2-32）.师：（指准(2x)2-32）在这个式子中，我们把2x看成公式中的a，把3看成公式中的b，利用公式，这个式子等于(2x+3)(2x-3)（边讲边板书：=(2x+3)(2x-3)）.师：（板书：(2)(x+p)2－(x+q)2）下面我们来看第(2)小题.师：（指准式子）这个式子怎么用平方差公式分解？（稍停）我们可以把x+p看成公式中的a，把x+q看成公式中的b，利用公式，(x+p)2－(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]（边讲边板书：=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]）.师：大家看一看，是不是这样的？（稍停，然后指准式子中的x+p和x+q）a2-b2=(a+b)(a-b). 师：（指[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]）这个式子等于什么？（稍停）等于(2x+p+q)(p-q)（边讲边板书：=(2x+p+q)(p-q)，如果学生基础较差，可写出去括号这一步）.（四）试探练习，回授调节2.分解因式：(1) x2-25 (2) 9-y2= == =(3) 1-a2 (4) 4x2-y2= == =(5) 9a2-4b2 (6) 0.81m2-16n2 = == =(7) a2-125b2 (8) 4x2y2-9z2= == =3.分解因式：(1) (a+b)2-a2 (2) (x+y)2-(x-y)2= == =（五）尝试指导，讲授新课师：下面我们再来看一道例题.（师出示例2）例2 分解因式：x4-y4.师：（板书：解：x4-y4=，并指准）这个式子怎么利用平方差公式分解因式？（稍停）哪位同学来说一说看法？生：……（让一两名好生发表看法）师：x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2（边讲边板书：(x2)2-(y2)2），这一步很重要，大家要看清楚.（稍停）师：（指准(x2)2-(y2)2）我们把x2看成是公式中的a，把y2看成是公式中的b，利用公式得到，这个式子等于(x2+y2)(x2-y2)（边讲边板书：=(x2+y2)(x2-y2)）.师：（指准(x2+y2)(x2-y2)）到这里，因式分解完成了吗？（稍停）还没有.为什么？因为x2-y2还可以继续分解.x2-y2=(x+y)(x-y)，所以这个式子等于(x2+y2)(x+y)(x-y)（边讲边板书：=(x2+y2)(x+y)(x-y)）.师：（指准(x+y)(x-y)(x2+y2)）到这里，因式分解才算完成，因为x2+y2不能再分解了，x+y也不能再分解了，x-y也不能再分解了.从这个题目，我们可以看到，分解因式必须进行到每个多项式因式都不能再分解为止.（六）试探练习，回授调节4.分解因式：(1) x4-1 (2) -a4+16= == == =（七）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？我们学习了用平方差公式分解因式.（指准公式）把整式乘法的平方差公式反过来，就成了因式分解的平方差公式.（指准例1）用平方差公式分解因式，先要把式子写成a2-b2的形式，然后套公式.（作业：P171习题2(1)(3)(4)）四、板书设计。

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因式分解—公式法》课堂教学实录于立波
师：同学们，大家好！我先做一下自我介绍，我叫于立波，来自于哈尔滨市旭东中学，很高兴认识大家，你来自我介绍一下，生：我是来自风华中学八年十五班的学生，我叫周建文师：相信在接下来的课堂中我会认识更多的同学师：上课，同学们好！
生：老师好师：请坐，都知道风华同学，反应快，特聪明，老师就来考考大家生：没问题
师：有一个边长为 5 的大正方形和一个边长为 4 的小正方形，这样叠
合在一起，那么绿色部分的面积是多少？
生：9
师：反应真的很快
师：如果大正方形的边长是10，小正方形的边长是6，那么绿色部分的面积又是多少？
生：64
师：算得真快
师：如果大正方形的边长是 5.6 ，小正方形的边长是 4.6 ，那么绿色部分的面积又是多少？你来说
生：10.2 ，师：你的运算能力真强师：你的结果
生：我没算出来师：你的算式
生: 5.62 4.62
师：同学们算出来了吗？看样子这样的算式快速算出有些困难，有没
有更好的方法简便计算呢？我们继续研究.
师：如果大正方形的边长是a,小正方形的边长是b,阴影的面积是多少？生：a2 b2
师：你还能用其他形式表示阴影的面积吗？
(同桌两名同学为一个小组，利用材料合作完成，完成后汇报)(
生：方法(1)割一个长方形、然后拼成大长方形方式得到(a b)(a b) 师：你们图形分割、拼接的很巧妙，讲解的也透彻
生：方法(2)割成两个长方形，一个正方形的方式，得到
(a b)2 2b(a b)
师：你们图形利用的非常好，表达的非常准确
生：方法(3)割成直角梯形的方式，可能得到2 -(a b)(a b)
2
师：分割的很巧妙，真是不错的想法，还有其它方法吗？(如果有同
学还想说，时间关系我们课下交流)
师：我们来看，不管哪个式子表示的都是阴影的面积，那么它们在数量上应该…？
生：相等
师：这样a2 b2 (a b)(a b),我们在哪儿见过类似的式子？生：平方差公式，是把整式乘法的平方差公式等号两边互换位置．师：说的非常好，观察这个等式，从右到左是整式乘法，那么从左到右是什么呢？生：因式分解师：这就是我们这节课所研究的因式分解的平方差公式，师：用这一公式因式分解多项式的方法就是公式法 (板书21.3.2 公式法( 1)) 师：谁能尝试用语言描述一下这个公式，生：两个数的平方差等于这两个数的和与
这两个数的差的积师：说的非常好，师：我们一起写一下
师：回头我们看， 5.62 4.62 (5.6 4.6) (5.6 4.6) 或 5.62 4.62实质应用的就是平方差公式因式分解， (或现在你能快速算出 5.62 4.62这个结果吗？)
师：既然同学们已经认识了平方差公式，那么在材料纸上写两个能用平方差公式因式分解的多项式，师：说一下，你写的多项式是什么？(标序号，去学生中巡视，搜取有代表性多项式)
生1 ：①m2n2
生2：② 25a29b2
生3：③(x y)2(x y)2
师：老师这也有几个多项式，④x2 y2，⑤x2 y2，⑥x2 y2师：在这些多项式中，哪些多项式能用平方差公式因式分解？哪些不能？为什么？
生1:①②③⑤能，它们因为它能写成（满足）a2 b2的形式，
师：大家看他刚才说的对吗？剩下的不能，解释为什么？
生2:④是和的形式，不行，⑥提出-1也变成了和的形式，也不行师:解释非常清楚
师:大家辨析的非常好，你觉得怎样的多项式才能用平方差公式因式分解，谁能提醒同学应该关注什么？生:主要应该有两项，有平方，还有差的形式，师:说的非常好，谁还有补充
生:两项异号师:是应该注意这一点，既然前三个可以因式分解，我们就一起写一下分解过程.
（三名同学板书，其他同学在练习本完成）师:请同学观察这三名同学的分解过程，比较一下，你觉得那个思维过程更严谨，你把中间的思维过
程体现以下.
师:那个步骤是关键的
生：写成（满足）a2 b2的形式
生：学生对②25a29b2进行完善
师:刚才的环节大家做的非常棒，还敢不敢继续挑战了？
生：敢
师：请看大屏幕，（y4、ab、x4，1、16x2、a3b）
从下列式子中选取两个式子用“ +”或“ -”连接组成一个多项式，并因式分解师：现在开始
师：请把你写的多项式，让你同桌来分解一下. （在同学中巡视，搜集下列式子）生1：x4 y4分解多项式并讲解生2：x4 16x2分解多项式并讲解生3：a3b ab 分解多项式并讲解师：命题的同学你给与点评一下，从书写上、过程上、表达上、讲解上等等，你说一说，他做的怎么样？师：同学们不仅题出的好，评的也好，改的更好师：观察这些题，从难度上你有什么感受？生：比刚才的难师：难在哪？生：分解次数多师：的确是这样，谁能与大家分享一下你分解这类多项式的一些经验或方法生：如有公因式，先提公因式，再考虑用公式，最后到底．师：说的干脆、简练、实用，谁还有补充吗？生：补充细节师：这节课我们从正方形的面积和整式乘法两个角度进一步认识平方差公式，并利用平方差公式分解因式，在应用过程中，注意公式中a、b 的多样性与对应性，特别是分解复杂多项式时，如有公因式，先提公因式，再考虑用公式，最后分解到不能再分为止．
作业：
1.（试一试中没完成部分）写出其它可因式分解的多项式，并因式分解
2.再加入一项8x，选取其中三个式子组成一个多项式，并因式分解。