(数学试卷 文)2018届北京市西城区高三二模试题(含答案解析)

（数学试卷文）2018届北京市西城区高三二模试题（含答案解析）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|01}A x x =<<，2{|20}B x x x =-<，则下列结论中正确的是 （A ）A B =∅ （B ）A B =R （C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆2．复数11i =- （A ）1i 22+ （B ）1i22-+（C ）1i22--（D ）1i 22-3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是 （A ）1y x=（B ）2y x = （C ）cos y x = （D ）ln ||y x =-4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的 侧棱长是 （A（B（C）（D）5．向量,,a b c 在正方形格中的位置如图所示．若向量λ+a b 与c共线，则实数λ= （A ）2-（B ）1-（C ）1（D ）26．设,a b ∈R ，且0ab ≠．则“1ab >”是“1a b>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．设不等式组1,3,25x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤表示的平面区域为D ．若直线0ax y -=上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是（A ）1[,2]2（B ）1[,3]2（C ）[1,2]（D ）[2,3]8．地铁某换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安 全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：（A ）A（B ）B（C ）D（D ）E第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数1||2y x =+的最大值是____．10．执行如右图所示的程序框图，输出的k 值为____． 11．在△ABC 中，3a =，2b =，4cos 5B =，则sin A =____． 12．双曲线22:1916y x C -=的焦距是____；若圆222(1)(0)x y r r -+=>与双曲线C的渐近线相切，则r =____．13．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5万棵．若植树的棵数每年的增长率均为a ，则a =____．14．已知函数2,1,()1,1,2x a x f x x a x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩≤其中a ∈R .如果函数()f x 恰有两个零点，那么a 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ． 16．（本小题满分13分）已知函数cos2()sin cos xf x x x=+．（Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）求()f x 的取值范围． 17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值； （Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III ）某研究机构提出，可以选取常数0 4.5X =，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率． 18．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥，G 为AB 的中点．2CD DA AF FE ====，4AB =． （Ⅰ）求证：//DF 平面BCE ；（Ⅱ）求证：平面BCF ⊥平面GCE ； （Ⅲ）求多面体AFEBCD 的体积．19．（本小题满分13分）已知函数ln ()xf x ax x =-，曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设1b >，求()f x 在区间1[,]b b 上的最大值和最小值．20．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2222 1 (0)x y a b a b+=>>(0,1)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y x =与椭圆C 交于A ，B 两点，斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，与直线y x =交于点P （点P 与点A ，B ，M ，N 不重合）． （ⅰ）当1k =-时，证明：||||||||PA PB PM PN =； （ⅱ）写出||||||||PA PB PM PN 以k 为自变量的函数式（只需写出结论）．西城区高三模拟测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．C2．A3．D4．B 5．D6．D7．B8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1210．511．91012．10，3513．25%14．1[2,)2--注：第12题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ． 依题意，得21,2(13).d q d q +=⎧⎨++=⎩………………2分 解得2,3,d q =⎧⎨=⎩或1,0.d q =-⎧⎨=⎩（舍去）………………4分所以21n a n =-，13n n b -=．………………6分 （Ⅱ）因为1213n n n a b n -+=-+，………………7分所以21[135(21)](1333)n n S n -=++++-+++++………………9分[1(21)]13213nn n +--=+-………………11分2312n n -=+．………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由sin cos 0x x +≠，………………2分π)04x +≠，………………3分所以ππ4x k +≠，其中k ∈Z ．………………4分所以()f x 的定义域为π{|π,}4x x k k ∈≠-∈R Z ．………………5分（Ⅱ）因为22cos sin ()sin cos x xf x x x-=+………………7分cos sin x x =-………………9分π)4x =+．………………11分由（Ⅰ）得ππ4x k +≠，其中k ∈Z ，所以π1cos()14x -<+<，………………12分所以()f x 的取值范围是(．………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为3.4100408.5⨯=人．………………2分 10.100.350.250.150.100.05a =-----=， 10.100.200.300.40b =---=．………………4分（Ⅱ）指标检测值不低于5的样本中，有患病者40(0.300.40)28⨯+=人，未患病者60(0.100.05)9⨯+=人，共37人．………………6分此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数约为378500031450100⨯=人． ………………8分（Ⅲ）当0 4.5X =时，在100个样本数据中， 有40(0.100.20)12⨯+=名患病者被误判为未患病，………………10分有60(0.100.05)9⨯+=名未患病者被误判为患病者， ………………12分 因此判断错误的概率为21100． ………………13分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//CD EF ，且CD EF =，所以四边形CDFE 为平行四边形，所以//DF CE ．……2分因为DF ⊄平面BCE ，……3分所以//DF 平面BCE ．……4分 （Ⅱ）连接FG ．因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =，AD AB ⊥， 所以AD ⊥平面ABEF ，所以BF AD ⊥．………………6分 因为G 为AB 的中点，所以//AG CD ，且AG CD =；//EF BG ，且EF BG =， 所以四边形AGCD 和四边形BEFG 均为平行四边形． 所以//AD CG ，所以BF CG ⊥．………………7分 因为EF EB =，所以四边形BEFG 为菱形， 所以BF EG ⊥．………………8分 所以BF ⊥平面GCE ．………………9分所以平面BCF ⊥平面GCE ．………………10分 （Ⅲ）设BF GE O =I ．由（Ⅰ）得//DF CE ，所以//DF 平面GCE ， 由（Ⅱ）得//AD CG ，所以//AD 平面GCE ， 所以平面//AD F 平面GCE ，所以几何体AD F GCE -是三棱柱．………………11分 由（Ⅱ）得BF ⊥平面GCE ．所以多面体AFEBCD 的体积ADF GCE B GCE V V V --=+………………12分13GCE GCE S FO S BO ∆∆=⋅+⋅43GCE S FO ∆=⋅=14分 19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为221ln ()x ax f x x --'=，………………2分所以(1)1f a '=-． 依题意，有(1)(1)112f a --=--，即1112a a -+=--，………………4分 解得1a =．………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得221ln ()x xf x x --'=．当0<<1x 时，210x ->，ln 0x ->，所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当>1x 时，210x -<，ln 0x -<，所以()0f x '<，故()f x 单调递减．所以()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减．………………8分 因为101b b<<<，所以()f x 最大值为(1)1f =-．………………9分 设111()()()()ln h b f b f b b b b b b =-=+-+，其中1b >．………………10分则21()(1)ln 0h b b b'=->， 故()h b 在区间(1,)+∞上单调递增．………………11分 所以()(1)0h b h >=，即1()()f b f b >，………………12分故()f x 最小值为11()ln f b b b b=--．………………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =，1b =，且222a b c =+．………………2分解得a =．………………3分所以椭圆C 的方程是2213x y +=．………………4分（Ⅱ）（ⅰ）由22,33,y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得(22A ，()22B ．………………5分 1k =-时，设直线l 的方程为y x t =-+．由22,33,y x t x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2246330x tx t -+-=．………………6分 令223648(1)0t t ∆=-->，解得24t <． 设1122(,),(,)M x y N x y ，则1232t x x +=，212334t x x -⋅=．………………8分由,,y x t y x =-+⎧⎨=⎩得(,)22t tP ．………………9分所以23||||2t PA PB -=-=．………………10分因为1||PM x =，同理2||PN x =-．所以12||||222t tPM PN x x =-⋅- 2233324224t t t t -=-⋅+232t -=.所以||||||||PA PB PM PN =．………………12分 （ⅱ）22||||13||||2(1)PA PB k PM PN k +=+．………………14分。