专题1.7+极坐标与参数方程篇-题型突破解答题揭秘高端精品

【简介】坐标系与参数方程作为选做题，和不等式以二选一的形式出现，主要考查极坐标方程及应用，直线，圆和椭圆的参数方程的应用，难度一般不大，但是在做题过程有许多细节需要注意，例如审题时注意问的是参数方程还是极坐标方程，在应用上要从极坐标和参数方程中做出适合的选取，应用直线的参数方程解题时要理解参数t 的意义，如果理解不准极易出错，总之，对于本章的复习，要对概念要有准确的理解.【2015新课标1】在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积.【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以ρ，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决. 【2015新课标2】在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=． （Ⅰ）.求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．【答案】（Ⅰ）(0,0)和3)2；（Ⅱ）4．【名师点睛】（Ⅰ）将曲线2C 与3C 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立2C 与1C 和3C 与1C 的极坐标方程，求得,A B 的极坐标，由极径的概念将AB 表示，转化为三角函数的最大值问题处理，高考试卷对参数方程中参数的几何意义和极坐标方程中极径和极角的概念考查加大了力度，复习时要克服把所有问题直角坐标化的误区． 【2016新课标1】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【答案】（I ）圆，222sin 10a ρρθ-+-=；（II ）1【2016新课标2】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x +6)2+y 2=25.（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，∣AB ∣l 的斜率.【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）. 【解析】【2016新课标3】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,()sin ,x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.【答案】（I ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（II ）31(,)22． 【解析】试题分析：（I ）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C 1的参数方程为普通方程，利用公式cos x ρθ=与sin y ρθ=将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（II ）利用参数方程表示出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立||()PQ d α=的三角函数表达式，最后求出最值与相应点P 的坐标即可．试题解析：（I ）1C 的普通方程为2213x y +=.2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分（II ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα.因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-. ……8分当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22. ……10分【考点】椭圆的参数方程，直线的极坐标方程．【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为(cos ,cos )a b αα，将其转化为三角问题进行求解． 【2017新课标1】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a .【2017新课标2】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．【答案】（1）()()22240x y x -+=≠；（2）2+．（2）设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>，由题设知2,4cos B OA ρα==，于是OAB △的面积S=1sin 4cos |sin()|2|sin(2)2233B OA AOB ραααππ⋅⋅∠=⋅-=--≤+ 当12απ=-时，S取得最大值2+，所以OAB △面积的最大值为2+． 【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程、三角形面积的最值【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。

重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程． 【2017新课标3】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.【答案】（1）()2240x y y -=≠；（2（2）C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠.联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.故1tan 3θ=-，从而2291cos ,sin 1010θθ==. 代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M【考点】参数方程与普通方程的互化；极坐标中的极径的求解【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 【3年高考试题比较】坐标系与参数方程每年都以解答题的形式，和不等式以二选一的形式出现，在试卷中是最后一道题，但不是压轴题，属于解答题中的容易或比较容易的试题.内容主要涉及曲线与极坐标方程、参数方程、普通方程的关系，求曲线的轨迹、求曲线的交点，极坐标与直角坐标的转化等知识与方程，综合三年的高考题，对于极坐标的考察较多，不仅会极坐标与直角坐标转化，也要掌握极坐标的应用，同时椭圆、圆和直线的参数方程也要应用熟练，尤其是直线的参数方程易错点较多，复习时要引起重视. 【必备基础知识融合】1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换ϕ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O (极点)；自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标.其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角. 3.极坐标与直角坐标的互化4.5.(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R ). (2)直线l 过点M (a ，0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos__θ＝a .(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin__θ＝b . 6.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数. 7.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使用x ，y 的取值范围保持一致. 8.常见曲线的参数方程和普通方程(t 为参数)(θ为参数)(φ为参数)提醒一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离. 【解题方法规律技巧】典例1：将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.典例2：在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ. (1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两交点间的距离. 解 (1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， ∴x －3y －1＝0，表示一条直线. 由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1. 所以C 2是圆心为(1，0)，半径r ＝1的圆. (2)由(1)知，点(1，0)在直线x －3y －1＝0上， 所以直线C 1过圆C 2的圆心.因此两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径. 所以两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.典例3：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解 (1)消去t ，得C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2， ∴曲线C 1表示以点(0，1)为圆心，a 为半径的圆.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上. 所以a ＝1.典例4：以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程.典例5：在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，半径r ＝3.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ →＝2QP →，求动点P 的轨迹方程.解 (1)设M (ρ，θ)是圆C 上任意一点. 在△OCM 中，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π3，由余弦定理得 |CM |2＝|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，化简得ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.(2)设点Q (ρ1，θ1)，P (ρ，θ)， 由OQ →＝2QP →，得OQ →＝23OP →，∴ρ1＝23ρ，θ1＝θ，代入圆C 的方程，得23ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，即ρ＝9cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3. 典例6：已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位. (1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离.典例7：已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值. 解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.典例8：平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6.(1)求圆C 和直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值.典例9：以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0＜α＜π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值. 解 (1)由ρsin 2θ＝4cos θ得(ρsin θ)2＝4ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝4x 得到t 2sin 2α－4t cos α－4＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别是t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝4cos αsin 2 α，t 1t 2＝－4sin 2α. ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4sin 2α≥4，当α＝π2时取到等号. ∴|AB |min ＝4，即|AB |的最小值为4.典例9:在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |的值.(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0， Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.典例10：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为；（1）求直线的直角坐标系方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交点分别为，，点，求的值．【答案】（1），曲线;(2) .【易错易混温馨提醒】一、直线参数方程的应用参数t解题时注意正负易错1：已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值．【答案】（1），（2）二、注意直线与圆锥曲线联立时的判别式大于0易错2：在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在平面直角坐标系中，将曲线C 的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线D ，过点()2,0M 作直线l ，交曲线D 于A B 、两点，若2MA MB ⋅=，求直线l 的斜率.【答案】（1）2220x y y +-=；（2）线l 的斜率为2-. 【解析】试题分析：（1）利用222,sin x y y ρρθ=+=把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 的参试题解析：(1)由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，将222,sin x y y ρρθ=+=，代入整理得2220x y y +-=.(2)把2220x y y +-=中的x 换成2x ，即得曲线D 的直角坐标方程2204xy y +-=. 设直线l 的参数方程为2,{x tcos y tsin φφ=+=（t 为参数， [)0,φπ∈），代入曲线D 的方程，整理得()()222cos 4sin 4cos 8sin 40t t φφφφ++-+=，()()2224cos 8sin 16cos 4sin 0φφφφ∆=--+>,cos sin 0φφ⇒<.设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ， 则12,t t 为上述方程的两个根. 由122240cos 4sin t t φφ=>+，得,MA MB 同向共线. 故由122242cos 4sin MA MB t t φφ⋅===21sin tan 32φφ⇒=⇒=±.由cos sin 0φφ<，得tan φ=即直线l 的斜率为2-..三、非标准形式的直线参数方程应用参数t 时要注意换为标准的参数. 易错3：在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是1{x y ==（t 为参数），以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22223cos 4sin 12ρθρθ+=，且直线l 与曲线C 交于,P Q 两点.（Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）把直线l 与x 轴的交点记为A ，求AP AQ ⋅的值. 【答案】(1)见解析；（2）18.7（II ）解法1：在10x y --=中，令0y =，得1x =，则()1,0A ．由223412{ 10x y x y +=--=消去y 得27880x x --=.设()11,P x y ， ()22,Q x y ，其中12x x < ， 则有1287x x +=， 1287x x =-.故)1111AP x =-=-，)2211AQ x =-=-，所以AP AQ ⋅ ()()12211x x =--- ()121218217x x x x ⎡⎤=--++=⎣⎦.解法2：把()()112,{2,2x t y t =+=+==⋅代入223412x y +=，整理得21490t +-=， 则12914t t =-， 所以AP AQ ⋅ ()()1212182247t t t t =-⋅=-=. 四、注意参数范围对于方程的影响易错4：在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22,{32x cos y sin αα=+=+（α为参数， 2παπ≤≤），以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；（2）当1C 与2C 有两个公共点时，求实数t 的取值范围．【答案】（1）曲线2C 的直角坐标方程为0x y t -+=；（2）11t -<≤-.1C 有两个公共点，则当2C 与1C2=，整理得1t -=∴1t =-或1t =（舍去）， 当2C 过点()4,3时， 430t -+=，所以t=-1. ∴当1C 与2C 有两个公共点时，11t -<≤-．点睛：本题的易错点在把曲线1C 的参数方程化为直角坐标方程时，忽略了2παπ≤≤，得到曲线1C 是整个圆，那后面就会出错，所以在解题时，一定要注意认真审题，实行等价转化. 五、求轨迹方程时注意一些特殊点的取舍.易错5：在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为{x tcos y tsin αα== (t 为参数)，其中0απ<<，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是sin 5ρθ=， P 为曲线1C 与2C 的交点. (1)当3πα=时，求点P 的极径；(2)点Q 在线段OP 上，且满足20OP OQ ⋅=，求点Q 的轨迹的直角坐标方程.【答案】(1)3(2) ()()22240x y y +-=≠(2)在极坐标系中，设点(),Q ρθ， ()1,P ρθ，由题意可得， 1120[ 5sin ρρρθ==，进而可得4sin ρθ=，从而点Q 的轨迹的直角坐标方程为()()22240x y y +-=≠. 六、参数方程化为普通方程时注意范围的变化在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为{x t y kt==（t 为参数），直线2l的参数程为{3x mmy k==（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C . （1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q 为曲线1C 的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最小值. 【答案】（1）1C 的普通方程为()22103x y y +=≠;(2) d的最小值为由于1C的参数方程为{x y sina==（a 为参数， a k π≠， k Z ∈），所以曲线1C上的点)sin Qa a ，到直线80x y +-=的距离为d ==所以当sin 13a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时， d的最小值为【新题好题提升能力】1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1参数方程为（为参数），曲线C 2的参数方程为（为参数）， 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 1, C 2的极坐标方程； （2）若射线 分别交C 1, C 2于两点， 求的最大值.【答案】（1）（2）时，有最大值.2. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数)，曲线.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线、的极坐标方程；(2)射线与曲线、分别交于点(且均异于原点)当时，求的最小值.【答案】(1)的极坐标方程为，的极坐标方程为；(2).（当且仅当时取等号）.所以的最小值为3. 在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值．【答案】（1）,；（2）或.综上：或．4. 已知直角坐标系中动点，参数，在以原点为极点、轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中，动点在曲线：上.（1）求点的轨迹的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若动点的轨迹和曲线有两个公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）点的轨迹的方程：，曲线的方程为：，；（2）.（2）曲线的方程为：，即表示过点，斜率为的直线，动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.由轨迹和曲线有两个公共点，结合图形可得．（或圆心到直线的距离小于半径和去求）.5. 在平面直角坐标系中，直线的方程是，曲线的参数方程是（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线与曲线的极坐标方程；（2）若射线与曲线交于点，与直线交于点，求的取值范围．【答案】(1)直线极坐标方程：，曲线的极坐标方程为；(2).（2）设，则，所以，因为，所以，所以，所以，故的取值范围是．6. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点的坐标为，直线与曲线交于，两点，求的值.【答案】(1) ， (2)8（2）在（为参数）中，令，得直线的参数方程的标准形式为（为参数），代入曲线：，整理得：，设，所对应参数分别为，，则，，所以，．7. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），圆与圆外切于原点，且两圆圆心的距离，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求圆和圆的极坐标方程；（Ⅱ）过点的直线与圆异于点的交点分别为点和点，与圆异于点的交点分别为点和点，且.求四边形面积的最大值.【答案】（1）见解析;（2）9 .由（1）得，所以所以当时，即时，有最大值9.8. 平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求.【答案】(1)直线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.(2).由一元二次方程的根与系数的关系知，，∴.9. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，已知点为曲线上的动点，点在线段上，且满足，动点的轨迹为.(1)求的直角坐标方程；(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求的面积的最大值.【答案】(1)，但不包括点；(2).由题设知，，于是面积为,.当时，取得最大值.所以面积的最大值为.10. 在平面直角坐标系xOy 中，圆22:40C x y y +-=，直线:40l x y +-=.(1)以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 和直线l 的交点的极坐标； (2)若点D 为圆C 和直线l 交点的中点，且直线CD 的参数方程为1{2x at y t b=+=+ (t 为参数)，求a ， b 的值.【答案】（1）4,2π⎛⎫⎪⎝⎭和点4π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）2a =， 3b =. 又点C 的坐标为()0,2，所以直线CD 的普通方程为20x y -+=，把1{2x at y t b=+=+ (t 为参数)代入20x y -+=，可得()230a t b -+-=，则20{30a b -=-=，即2a =， 3b =. 11. 已知直线l的参数方程为1{12x y t=--=（t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(),P x y 是直线l 与圆面24cos 3πρθ⎛⎫≤-⎪⎝⎭y +的取值范围. 【答案】（1）2220x y x ++-=（2）[]2,2-（2）设z y =+，故圆C的方程2220x y x ++-= ()(2214x y ⇒++=，∴圆C的圆心是(-，半径是2，将12{12x ty t=--=代入z y =+得z t =-， 又∵直线l过(C -，圆C 的半径是2，∴22t -≤≤，∴22t -≤-≤y +的取值范围是[]2,2-. 12. 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为22413sin p θ=+，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为6{x t m y =-=（t 为参数， m R ∈）.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若曲线C 上的动点M 到直线l，求m 的值. 【答案】（1）22:14x C y +=，直线l 的普通方程为：0x m -+=（2）2m =±由点到直线的距离公式可得：d ==据条件可知max |4cos |63m πϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，由于[]4cos 4,43m m m πϕ⎛⎫++∈-+ ⎪⎝⎭，分如下情况： ①0m ≤时，由46m -=得2m =-； ②0m >时，由46m +=得2m =； 综上， 2m =±.13. 已知曲线1C 的极坐标方程是4cos ρθ=,曲线1C 经过平移变换2{1x x y y ''=+=-得到曲线2C ；以极点为原点,极轴为x 轴正方向建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是2{1x tcos y tsin θθ=+=+ (t 为参数).（Ⅰ）求曲线1C ， 2C 的直角坐标方程;（Ⅱ）设直线l 与曲线1C 交于A 、B 两点,点M 的直角坐标为(2,1),若3AB MB =,求直线l 的普通方程 【答案】(1) 曲线1C :()2224x y -+=. ()()222:414C x y -++=（250y --=50y +-=50y --=或50y +-= 14.已知圆锥曲线2{x cos y θθ== (θ是参数)和定点(A ,1F 、2F 是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点1F 且垂直于直线2AF 的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线2AF 的极坐标方程．【答案】(1) 1{12x y t=-= (t 为参数).(2) sin cos ρθθ+=试题解析：(1)圆锥曲线2{x cos y θθ==化为普通方程22143x y +=，所以()()121,0,1,0F F -，则直线2AF的斜率k =1F 且垂直于直线2AF 的直线l的斜率3k '=，直线l 的倾斜角是30.所以直线l 的参数方程是130{30x tcos y tsin =-+= (t 为参数)，即1{12x y t=-= (t 为参数).。