异面直线所成的角习题课

异面直线所成的角
复习目标:
①掌握异面直线所成角的概念及求异 面直线所成角的常用方法。 ②掌握求角计算题的步骤：“一作，二证， 三计算”，思想方法是将空间问题转化为 平面问题即“降维”的思想方法。
知识回顾:
(1)定义：
设a、b是异面直线，过空间任一点O引 a //a，b//b，则 a， b所成的锐角(或直角)，叫做异 a 面直线a、b所成的角.
动”的观点，用“平移转化”的方法， 使之成为相交直线所成的角。
具体地讲是选择“特殊点”作异面直线 的平行线，构作含异面直线所成(或其补角) 的角的三角形，再求之。
（2）补形法：把空间图形补成 熟悉的或完整的几何体，如正方 体、平行六面体等，其目的在于 易于发现两条异面直线的关系。
注意点：
• 1、异面直线所成角的范围是（0º ，90º ]， 在把异面直线所成的角平移转化为平面三 角形中的角，常用余弦定理求其大小，当 余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不 符合两条异面直线所成角的定义，故其补 角为所求的角，这一点要注意。 • 2、当异面直线垂直时，应用线面垂直的定 义或三垂线定理（或逆定理）判定所成的 角为90º ，也是不可忽视的办法。
b
a
b
O
(2)范围：
π 0， 2
求异面直线所成的角主要思路:
b
线线角抓平移
a' P
a
例1、在正方体AC1中，求异面直 线A1B和B1C所成的角
D1 C1
A1
B1
A1B和B1C所 成的角为60° 和A1B成角为 60°的面对角 线共有 8 条。
D
C
A
B
A
E M D F C
B
例2．A为正三角形BCD所在平面外一点，且 AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中 点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、 CE所成角的余弦值。 A
另解:延长DC至P,使DC=CP，E为AD中点， 故∠ PAF(或其补角 )为异面直 ∴AP//EC 。 线AF、CE所成的角。 B
P
M
A
E B
N
C
二、数学思想、方法、步骤：
1.数学思想： 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化 归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而 转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。 2.方法： 求异面直线所成的角： 3.步骤： 平移 构造可解三角形
①作（找） ② 证 ③ 点 ④ 算
巩固练习:
C
F
B
例4、如图，在三棱锥D－ABC中， DA⊥平面ABC，∠ACB = 90°， ∠ABD = 30°，AC = BC，求异面 直线AB 与CD所成的角的余弦值。
D
A
B
思考题 四面体A—BCD的棱 长均为a, E，F分别 为棱BC，AD的中点， P （1）求异面直线CF 和BD所成的角的余 B 弦值。
7 F PF FC PC 2 FC PC cos120 a. 2 3 AP 2EC 3a. AF a, 2 P 2 PAF中应用余弦定理, 得 cos PAF . 3 2 ∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是 3
2 2
E
D C
练 习 1 ： 如 图 ， P 为 Δ ABC 所 在 平 面 外 一 点 ， PC⊥AB ，PC=AB=2 ，E、 F分别为 PA 和BC的中点。 P （1）求证：EF与PC为异面直线； （2）求EF与PC所成的角； E （3）求线段EF的长。
A C
M
B 1 1 ME PC 1 MF AB 1 MEF中, , , PC AB EM MF 2 2 ME / / PC MF / / AB
F
EF EM MF 2
2 2
练习2．如图，a、b为异面直线，直线a上的线 段AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、F 分别为AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直 线a与b所成的角的度数．
A
E D
B
F C
a b
A
E M D F C
B
例2、在三棱锥ABCD中AD=BC=2a，E， F分别是AB，CD的中 点EF= ，求 AD和 3a BC所成的角
∠EMF=120º
AD和BC所成的角为60º
切记:别忘了角的范围!!
3、空间四边形PABC中，M，N分 别是PB，AC的中点， PA=BC=4，MN=3， 求PA与BC所成的角？
1、在正方体AC1中，M,N分别是 A1A和B1B的中点，求异面直线CM 和D1N所成的角？
D1 A1 M D A B B1 N C C1
巩固练习:
2、在正方体AC1中，M,N分别是 A1A和B1B的中点，求异面直线A1M 和D1N所成的角？
D1 A1 B1 M D A B C C1
解： 如图，连B1D1与A1C1 交于O1， 于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所 成的角（或其补角）
3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
例2、在三棱锥ABCD中AD=BC=2a，E， F分别是AB，CD的中 点EF= 3a ，求AD和 BC所成的角
∠EMF=120º
AD和BC所成的角为60º
切记:别忘了角的范围!!
例3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.
求异面直线AB1与BD1所成角；
D1
E
C1 B1
A1
o
线线角 注意90º 的特殊 情形
巩固练习:
1、在正方体AC1中，M,N分别是 A1A和B1B的中点，求异面直线CM 和D1N所成的角？
D1 A1 M D A B B1 N C C1
2、若M为A1B1的中点，N为BB1的中点， 求异面直线AM与CN所成的角；
D1
M A1 B1 C1
N
D A E
C
F
B
3、空间四边形PABC中，M，N分 别是PB，AC的中点， PA=BC=4，MN=3， 求PA与BC所成的角？
A
MEF 为EF与PC所成的角或其补角
M
C
1 1 ME PC 1 MF AB 1 MEF中, , , PC AB EM MF 2 2 ME / / PC MF / / AB
B
F
EF与PC所成的角 45 为
练 习 1 ： 如 图 ， P 为 Δ ABC 所 在 平 面 外 一 点 ， PC⊥AB ，PC=AB=2 ，E、 F分别为 PA 和BC的中点。 P （1）求证：EF与PC为异面直线； （2）求EF与PC所成的角； E （3）求线段EF的长。
D
A
B
思路一：平移
（1）固定CD，移动AB ，
AB向前移动
D
A
B
F
E
C
AB向上移动
D M
A
B
C
AB还有其他方向可以移动
(2)：固定AB ，移动 CD ，
D
A
B
C
(3)：同时移动 AB ，CD ，
D E
F A
N C
M
B
思路二：补形
N
D
D
B A C
E
P
M
A
B C
归纳小结:
（1）平移法：即根据定义，以“运
P
M
A
E B
N
C
变题:已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.
O为底面中心，F为DD1中点E在A1B1上,求AF与OE 所成的角
D1
E A1 F B1 C1
D C N A O
B
2、若M为A1B1的中点，N为BB1的中点， 求异面直线AM与CN所成的角；
D1
M A1 B1 C1
N
D A E
A1C1与BD1所成角的余弦值为
5 5
例2．A为正三角形BCD所在平面外一点，且 AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中 点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、 A CE所成角的余弦值。
解：连结DF，取DF的中点G，连结EG， CG，又E是AD的中点，故EG//AF， B 所以∠GEC（或其补角）是异面直线 AF、CE所成的角。 E F
A C
假设EF与PC不是异面直线, 则EF与PC共面由题意可知 B 其平面为PBC
F
P 平面PBC PE 平面PBC即PA 平面PBC P, A, B, C共面 E 平面PBC
这与已知P为ΔABC所在平面外一点矛盾
练 习 1 ： 如 图 ， P 为 Δ ABC 所 在 平 面 外 一 点 ， PC⊥AB ，PC=AB=2 ，E、 F分别为 PA 和BC的中点。 （1）求证：EF与PC为异面直线； P （2）求EF与PC所成的角； E （3）求线段EF的长。
C
D A
B
变题:已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.
O为底面中心，F为DD1中点E在A1B1上,求AF与OE 所成的角
D1
E A1 F B1 C1
D C N A O
B
例4、如图，在三棱锥D－ABC中， DA⊥平面ABC，∠ACB = 90°， ∠ABD = 30°，AC = BC，求异面 直线AB 与CD所成的角的余弦值。
G
D
1 1 3 3 1 3 AB a. EG AF a. FG DF 2 2 2 4 2 4 3 1 7 2 2 2 2 CG FG FC ( AB) ( AB) a. 4 2 4 2 在EGC中用余弦定理得 cos GEC . 3 2
C
∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是
A
Q
F D