北京市海淀区2018届高三一模理科数学word
北京市海淀区2018届高三数学下学期期中练习(一模)试题理
则称数表 A 为一个“ N 数表” ai, j 为数表 A 的一个“ N 值”，
对任意给定的 n ，所有“ N 数表”构成的集合记作 n ．
(I) 判断下列数表是否是“ N 数表”．若是，写出它的一个“ N 值”；
1 2 3
1 4 7
A 4 5 6 ， B 8 2 5
7 8 9
6 9 3
， co s 2C
.
6
(13)一次数学会议中，有五位教师来自 A，B，C 三所学校，其中 A 学校有 2 位，B 学校有 2
位，C 学校有 1 位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则
共有
种不同的站队方法．
(
14)设函数
f
(
x)
x
2
x, 3x,
xa xa．
①若 f (x) 有两个零点，则实数 a 的取值范围是
( 19)（本小题 14 分）
已知椭圆
C：x a
2 2
y2 b2
1（ a
b
0 ）的离心率为
3 ，且点 T (2,1) 在椭圆 C 上，设 2
与 OT 平行的直线 l 与椭圆 C 相交于 P ，Q 两点，直线TP ，TQ 分别与 x 轴正半轴交于 M ，
N 两点． (I)求椭圆 C 的标准方程； (Ⅱ)判断 OM ON 的值是否为定值，并证明你的结论．
15. （本题满分 13 分）
（Ⅰ）
f
(
)
2
3 sin
cos
2 cos2
1
6
66
6
2
3 1 2
3 2
2
3 2
2
1
2 ····················································································· 3 分
2018年北京市海淀区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{0，a}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，且A⊆B，则a可以是（）A．﹣1B．0C．l D．22．（5分）已知向量＝（l，2），＝（﹣1，0），则+2＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，4）C．（1，2）D．（1，4）3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．8D．104．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M，P（x，y）为M中任意一点，则y﹣x的最大值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣25．（5分）已知a，b为正实数，则“a＞1，b＞1”是“lga+lgb＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，则S的值不可能是（）A．1B．C．D．7．（5分）下列函数f（x）中，其图象上任意一点P（x，y）的坐标都满足条件y≤|x|的函数是（）A．f（x）＝x3B．C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝ln（x+1）8．（5分）已知点M在圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上，点N在圆C2：（x+1）2+（y+1）2＝1上，则下列说法错误的是（）A．的取值范围为B．取值范围为C．的取值范围为D．若，则实数λ的取值范围为二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数＝．10．（5分）已知点（2，0）是双曲线C：的一个顶点，则C的离心率为．11．（5分）直线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为．12．（5分）在△ABC中，若c＝2，，，则sin C＝，cos2C＝．13．（5分）一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有种不同的站队方法．14．（5分）设函数．①若f（x）有两个零点，则实数a的取值范围是；②若a≤﹣2，则满足f（x）+f（x﹣1）＞﹣3的x的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知．（I ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．16．（13分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J＝﹣些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度（I）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）若a+b＝108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）17．（14分）已知三棱锥P﹣ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中：（I）证明：平面P AC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点M在棱PC上，满足，，点N在棱BP上，且BM⊥AN，求的取值范围．18．（13分）已知函数f（x）＝．（I）当a＝0时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）的最大值为，求a的值．19．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且点T（2，1）在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论．20．（13分）设A＝（a i，j）n×n＝是由1，2，3，…，n2组成的n行n列的数表（每个数恰好出现一次），n≥2且n∈N*．既是第i行中的最大值，也是第j列中的最若存在1≤i≤n，1≤j≤n，使得a i，j小值，则称数表A为一个“N﹣数表”a i为数表A的一个“N﹣值”，，j对任意给定的n，所有“N﹣数表”构成的集合记作Ωn．（1）判断下列数表是否是“N﹣（2）数表”．若是，写出它的一个“N﹣（3）值”；，；（Ⅱ）求证：若数表A是“N﹣数表”，则A的“N﹣值”是唯一的；（Ⅲ）在Ω19中随机选取一个数表A，记A的“N﹣值”为X，求X的数学期望E（X）．2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{0，a}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，且A⊆B，则a可以是（）A．﹣1B．0C．l D．2【解答】解：∵集合A＝{0，a}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，且A⊆B，∴﹣1＜a＜2，∴a可以是1．故选：C．2．（5分）已知向量＝（l，2），＝（﹣1，0），则+2＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，4）C．（1，2）D．（1，4）【解答】解：根据题意，向量＝（l，2），＝（﹣1，0），则2＝（﹣2，0）则+2＝（﹣1，2）；故选：A．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．8D．10【解答】解：当k＝0时，满足继续循环的条件，则S＝0，k＝1；当k＝1时，满足继续循环的条件，则S＝2，k＝2；当k＝2时，满足继续循环的条件，则S＝10，k＝3；当k＝3时，不满足继续循环的条件，故输出的S＝10，故选：D．4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M，P（x，y）为M中任意一点，则y﹣x的最大值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：根据题意知，A（﹣2，﹣1），B（2，﹣1），C（4，2），D（0，2）；设z＝y﹣x；平移目标函数z＝y﹣x，当目标函数过点D时，y﹣x取得最大值为2﹣0＝2．故选：B．5．（5分）已知a，b为正实数，则“a＞1，b＞1”是“lga+lgb＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由lga+lgb＞0得lgab＞0，即ab＞1，当a＞1，b＞1时，ab＞1成立，当a＝4，b＝，满足ab＞1，但b＞1不成立，则“a＞1，b＞1”是“lga+lgb＞0”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，则S的值不可能是（）A．1B．C．D．【解答】解：由题意知，棱长为1的正方体在竖直墙面上的投影面积S的最小值为正方形，且边长为1，其面积为1；最大值为矩形，且相邻的两边长为1和，其面积为1×＝；∴S的取值范围是[1，]；又＜，∴不可能的是选项D．故选：D．7．（5分）下列函数f（x）中，其图象上任意一点P（x，y）的坐标都满足条件y≤|x|的函数是（）A．f（x）＝x3B．C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝ln（x+1）【解答】解：函数f（x）图象上任意一点P（x，y）的坐标都满足条件y≤|x|的函数的图象位于下图中的①、②或④的区域，在A中，f（x）＝x3的图象位于③，④的部分区域，故A错误；在B中，f（x）＝的图象位于②③的部分区域，故B错误；在C中，f（x）＝e x﹣1的图象位于①②③④的部分区域，故C错误；在D中，f（x）＝ln（x+1）的图象位于②的区域，故D正确．故选：D．8．（5分）已知点M在圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上，点N在圆C2：（x+1）2+（y+1）2＝1上，则下列说法错误的是（）A．的取值范围为B．取值范围为C．的取值范围为D．若，则实数λ的取值范围为【解答】解：∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM＝+1，ON＝+1时，取得最小值（+1）2cosπ＝﹣3﹣2，故A正确；设M（1+cosα，1+sinα），N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ），则＝（cosα+cosβ，sinα+sinβ），∴||2＝2cosαcosβ+2sinαsinβ+2＝2cos（α﹣β）+2，∴0≤||≤2，故B错误；∵两圆外离，半径均为1，|C1C2|＝2，∴2﹣2≤|MN|≤2+2，即2﹣2≤||≤2+2，故C正确；∵﹣1≤|OM|≤+1，≤|ON|≤+1，∴当时，≤﹣λ≤，解得﹣3﹣2≤λ≤﹣3+2，故D正确．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数＝1+i．【解答】解：＝＝i+1．故答案为：1+i．10．（5分）已知点（2，0）是双曲线C：的一个顶点，则C的离心率为．【解答】解：根据题意，点（2，0）是双曲线C：的一个顶点，则a＝2，双曲线的方程为，则b＝1，则c＝＝，则双曲线的离心率e＝＝；故答案为：．11．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为2．【解答】解：直线（t为参数）消去参数t，得x﹣2y＝0，曲线（θ为参数）消去参数，得（x﹣2）2+y2＝1，联立，得或．∴直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为2．故答案为：2．12．（5分）在△ABC中，若c＝2，，，则sin C＝，cos2C＝．【解答】解：△ABC中，若c＝2，，，利用正弦定理：，则：，所以：cos2C＝1﹣2sin2C＝1﹣＝．故答案为：．13．（5分）一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有48种不同的站队方法．【解答】解：有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，要求来自同一所学校的教师不相邻，先安排A学校和C学校的三位老师，有中排法，再把B学校的两位老师插空排到A学校和C学校的三位老师的空位中，并对B学校的两位老师进行排序，有＝24种排法，由乘法原理得不同的排列方法有：＝48种，故答案为：48．14．（5分）设函数．①若f（x）有两个零点，则实数a的取值范围是（﹣，]；②若a≤﹣2，则满足f（x）+f（x﹣1）＞﹣3的x的取值范围是（﹣1，+∞）．【解答】解：①若a＝0，则f（x）＝，由f（x）＝0，可得x＝0，x＝﹣，符合题意；若a＜0，x＝0符合题意；若x＝﹣符合题意，则a＞﹣，即为﹣＜a＜0；若a＞0，则x＝0和x＝﹣符合题意，可得a≤，综上可得，a的范围是（﹣，]；②若x＜a≤﹣2，则x﹣1＜a﹣1≤﹣3，f（x）的导数为3x2﹣3＞0，可得f（x）＜f（﹣2）＝﹣2，f（x﹣1）＜﹣27+9＝﹣18，即有f（x）+f（x﹣1）＜﹣30，不符题意；则x≥a，若x﹣1≥a，f（x）+f（x﹣1）＞﹣3，即为x+x﹣1＞﹣3，解得x＞﹣1；若a﹣1≤x﹣1＜a，f（x）+f（x﹣1）＞﹣3，即为x+（x﹣1）3﹣3（x﹣1）＞﹣3，化为x3﹣3x2+x+5＞0，由于a≤﹣2，且a≤x＜a+1，可得g（x）＝x3﹣3x2+x+5的导数g′（x）＝3x2﹣6x+1＞0，即g（x）在[a，a+1）递增，g（a）取得最小值，且为a3﹣3a2+a+5，且a3﹣3a2+a+5，而在a≤﹣2时，a3﹣3a2+a+5递增，且为负值，不符题意．综上可得a的范围是（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣，]，（﹣1，+∞）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知．（I ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）直接将x ＝带入，可得：＝＝2．（Ⅱ）由＝因为函数y＝sin x 的单调递增区间为（k∈Z），令（k∈Z），解得（k∈Z），故f（x ）的单调递增区间为（k∈Z）．16．（13分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J＝﹣些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度（I ）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖 和传播的概率；（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X ，求X 的分布列； （Ⅲ）若a +b ＝108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M ，求M 的最大值和最小值．（只需写出结论） 【解答】（本题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从上表12个月中，随机取出1个月， 该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播． 用A i 表示事件抽取的月份为第i 月，则Ω＝{A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8，A 9，A 10，A 11，A 12}共12个基本事件， A ＝{A 2，A 6，A 8，A 9，A 10，A 11}共6个基本事件，所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率．（4分）（Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X 所有可能的取值为0，1，2．，，随机变量X的分布列为：（Ⅲ）a+b＝108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，则M的最大值为58%，最小值为54%．（13分）17．（14分）已知三棱锥P﹣ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中：（I）证明：平面P AC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点M在棱PC上，满足，，点N在棱BP上，且BM⊥AN，求的取值范围．【解答】（本题满分14分）证明：（Ⅰ）证法一：设AC的中点为O，连接BO，PO．由题意，PO＝1，AO＝BO＝CO＝1因为在△P AC中，P A＝PC，O为AC的中点所以PO⊥AC，因为在△POB中，PO＝1，OB＝1，所以PO⊥OB因为AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面P AC（4分）所以平面P AC⊥平面ABC证法二：设AC的中点为O，连接BO，PO．因为在△P AC中，P A＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，因为P A＝PB＝PC，PO＝PO＝PO，AO＝BO＝CO所以△POA≌△POB≌△POC所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°所以PO⊥OB因为AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面P AC（4分）所以平面P AC⊥平面ABC证法三：设AC的中点为O，连接PO，因为在△P AC中，P A＝PC，所以PO⊥AC设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB．因为在△OAB中，OA＝OB，Q为AB的中点所以OQ⊥AB．因为在△P AB中，P A＝PB，Q为AB的中点所以PQ⊥AB．因为PQ∩OQ＝Q，PQ，OQ⊂平面OPQ所以AB⊥平面OPQ因为OP⊂平面OPQ所以OP⊥AB因为AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面P AC（4分）所以平面P AC⊥平面ABC解：（Ⅱ）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，如图建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A（﹣1，0，0），P（0，0，1）由OB⊥平面APC，故平面APC的法向量为由，设平面PBC的法向量为，则由得：令x＝1，得y＝1，z＝1，即由二面角A﹣PC﹣B是锐二面角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为（9分）（Ⅲ）设，0≤μ≤1，，，令得（1﹣λ）•1+（﹣1）•（1﹣μ）+λ•μ＝0即，μ是关于λ的单调递增函数，当时，，所以．（14分）18．（13分）已知函数f（x）＝．（I）当a＝0时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）的最大值为，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，，故，令f'（x）＞0，得0＜x＜e；故f（x）的单调递增区间为（0，e）（4分）（Ⅱ）方法1：令则由，故存在，g（x0）＝0故当x∈（0，x0）时，g（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0故故，解得（13分）故a的值为e2．（Ⅱ）方法2：f（x）的最大值为的充要条件为：对任意的x∈（0，+∞），且存在x0∈（0，+∞），使得，等价于对任意的x∈（0，+∞），a≥e2lnx﹣x且存在x0∈（0，+∞），使得a≥e2lnx0﹣x0，等价于g（x）＝e2lnx﹣x的最大值为a．∵，令g'（x）＝0，得x＝e2．x，g′（x），g（x）的变化如下：故g（x）的最大值为g（e2）＝e2lne2﹣e2＝e2，即a＝e2．（13分）19．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且点T（2，1）在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，解得：，，故椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）根据题意，假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为（2，﹣1），直线l的方程为，即．联立方程，得x2﹣4x+4＝0，此时，直线l与椭圆C相切，不合题意．故直线TP和TQ的斜率存在．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线，直线故，由直线，设直线（t≠0）联立方程，当△＞0时，x1+x2＝﹣2t，，|OM|+|ON|＝＝＝＝＝4．20．（13分）设A＝（a i，j）n×n＝是由1，2，3，…，n2组成的n行n列的数表（每个数恰好出现一次），n≥2且n∈N*．若存在1≤i≤n，1≤j≤n，使得a i，j既是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值，则称数表A为一个“N﹣数表”a i，j为数表A的一个“N﹣值”，对任意给定的n，所有“N﹣数表”构成的集合记作Ωn．（1）判断下列数表是否是“N﹣（2）数表”．若是，写出它的一个“N﹣（3）值”；，；（Ⅱ）求证：若数表A是“N﹣数表”，则A的“N﹣值”是唯一的；（Ⅲ）在Ω19中随机选取一个数表A，记A的“N﹣值”为X，求X的数学期望E（X）．【解答】（本题满分13分）解：（Ⅰ）A是“N﹣数表”，其“N﹣值”为3，B不是“N﹣数表”．（3分）证明：（Ⅱ）假设a i，j 和a i'，j'均是数表A的“N﹣值”，①若i＝i'，则a i，j＝max{a i，1，a i，2，…，a i，n}＝max{a i'，1，a i'，2，…，a i'，n}＝a i'，j'；②若j＝j'，则a i，j＝min{a1，j，a2，j，…，a n，j}＝min{a1，j'，a2，j'，…，a n，j'}＝a i'，j'；③若i≠i'，j≠j'，则一方面a i，j＝max{a i，1，a i，2，…，a i，n}＞a i，j'＞min{a1，j'，a2，j'，…，a n，j'}＝a i'，j'，另一方面a i'，j'＝max{a i'，1，a i'，2，…，a i'，n}＞a i'，j＞min{a1，j，a2，j，…，a n，j}＝a i，j；矛盾．即若数表A是“N﹣数表”，则其“N﹣值”是唯一的．（8分）解：（Ⅲ）解法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A＝（a i，j ）19×19．定义数表B＝（b j，i ）19×19如下，将数表A的第i行，第j列的元素写在数表B的第j行，第i列，即b j，i ＝a i，j（其中1≤i≤19，1≤j≤19）由题意，得：①数表B是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②数表B的第j行的元素，即为数表A的第j列的元素③数表B的第i列的元素，即为数表A的第i行的元素④若数表A中，a i，j是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值则数表B中，b j，i是第i列中的最大值，也是第j行中的最小值．定义数表C＝（c j，i ）19×19如下，其与数表B对应位置的元素的和为362，即c j，i ＝362﹣b j，i（其中1≤i≤19，1≤j≤19）由题意得：①数表C是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表B中，b j，i是第i列中的最大值，也是第j列中的最小值则数表C中，c j，i是第i列中的最小值，也是第j列中的最大值特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A＝（a i，j ）19×19①数表C是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表A中，a i，j是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值则数表C中，c j，i是第i列中的最小值，也是第j列中的最大值即对任意的A∈Ω19，其“N﹣值”为a i，j（其中1≤i≤19，1≤j≤19），则C∈Ω19，且其“N﹣值”为c j，i ＝362﹣b j，i＝362﹣a i，j．记C＝T（A），则T（C）＝A，即数表A与数表C＝T（A）的“N﹣值”之和为362，故可按照上述方式对Ω19中的数表两两配对，使得每对数表的“N﹣值”之和为362，故X的数学期望E（X）＝181．（13分）解法2：X所有可能的取值为19，20，21，…，341，342，343．记Ω19中使得X＝k的数表A的个数记作n k，k＝19，20，21，…，341，342，343，则．则，则，故，E（X）＝181．（13分）。
2018海淀区高中数学(理)一模试卷及答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2018. 4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{0,},{12}A a B x x ==-<< | ，且A B ⊆，则a 可以是 (A)1- (B) 0 (C) 1 (D) 2（2）已知向量(1,2),(1,0)==-a b ，则+2=a b(A) (1,2)- (B) (1,4)- (C) (1,2) (D) (1,4) （3）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 (A) 2 (B) 6 (C) 8 (D) 10（4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为,M 且(,)P x y 为M 中任意一点，则y x -的最大值为(A) 1 (B) 2(C) 1- (D) 2-（5）已知a ，b 为正实数，则“1a >，1b >”是“lg lg 0a b +>”的( )(A)充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C)充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件（6）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S ，则S 的值不可能是(A) 1 (B)65(C)43(D)32（7）下列函数()f x 中，其图象上任意一点(,)P x y 的坐标都满足条件y x ≤的函数是(A) 3()f x x = (B) ()f x = (C) ()e 1x f x =- (D) ()ln(1)f x x =+（8）已知点M 在圆221:(1)(1)1C x y -+-=上，点N 在圆222:(1)(1)1C x y +++=上，则下列说法错误的是（A ）OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围为[3--（B ）||OM ON +u u u u r u u u r的取值范围为[0,（C ）||OM ON -u u u u r u u u r的取值范围为2,2]+（D ）若OM ON λ=u u u u r u u u r，则实数λ的取值范围为[33---+第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018海淀区高中数学(理)一模试卷及答案-(17974)
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2018. 4 本试卷共 4 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A {0, a}, B { x | 1 x 2} ，且 A B ，则 a 可以是(A)1(B) 0 (C) 1(D) 2（2）已知向量a (1,2),b ( 1,0) ，则 a+2b(A) ( 1,2) (B) ( 1,4) (C) (1,2) (D) (1,4)（3）执行如图所示的程序框图，输出的S值为(A) 2 (B) 6(C)8(D) 10（4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为M , 且 P(x, y) 为 M 中任意一点，则 y x 的最大值为(A) 1(B) 2(C)1(D) 2（5）已知 a ， b 为正实数，则“ a 1 ， b 1”是“ lg a lg b 0 ”的 ( )(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件第1 页共 15 页（6）如图所示，一个棱长为 1 的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S ，则 S 的值不可能是(A) 16 4 3(B) (C) (D)5 3 2（7）下列函数f ( x) 中，其图象上任意一点P( x, y) 的坐标都满足条件yx 的函数是(A) f (x) x3 (B) f ( x)x (C) f ( x)e x 1(D)f( x)ln( x 1)（ 8）已知点 M 在圆 C1 :( x1)2( y1)2 1 上，点 N 在圆 C2 :( x 1)2( y 1)21上，则下列说法错误的是（A ） OM ON 的取值范围为[ 3 2 2,0]（B） | OM ON | 的取值范围为[0,2 2]（C） | OM ON |的取值范围为[2 2 2,2 2 2]（D）若OM ON ，则实数的取值范围为[ 3 2 2, 3 2 2]第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共30 分。
北京市海淀区2018届高三第一学期期末理科数学试题(Word版含答案)
海淀区高三年级第一学期期末练习第一部分〔选择题 共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
〔1〕复数12ii+= A. 2i - B. 2i + C. 2i -- D. 2i -+〔2〕在极坐标系中Ox ，方程2sin ρθ=表示的圆为A. B. C. D.〔3〕执行如下列图的程序框图，输出的k 值为A.4B.5C.6〔4〕设m 是不为零的实数，则“0m”是“方程221x y m m-=表示的曲线为双曲线”的〔5〕已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为A. 2B. 2C. 22-D. 22-〔6〕从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为A. 15B. 25C. 35D. 45〔7〕某三棱锥的三视图如下列图，则以下说法中：①三棱锥的体积为16②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是2所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③〔8〕已知点F为抛物线2:2(0)C y px p=的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则以下说法错误的选项是．．．．．．∆为等腰三角形的点M有且仅有4个MFKMFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个C. 使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个D. 使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个第二部分〔非选择题 共110分〕二、填空题共6小题，每题5分，共30分。
〔9〕点(2,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 . 〔10〕已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 . 〔11〕设抛物线2:4C y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于,A B 两点，则OA OB += .〔12〕已知(51)n x -的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则n = .〔13〕已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11AC 上，假设1PM =，则PQ 长度的最小值为 .〔14〕对任意实数k ，定义集合20(,)20,0k x y D x y x y x y R kx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪=+-≤∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭.①假设集合k D 表示的平面区域是一个三角形，则实数k 的取值范围是 ；②当0k =时，假设对任意的(,)k x y D ∈，有(3)1y a x ≥+-恒成立，且存在(,)k x y D ∈，使得x y a -≤成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题共6小题，共80分。
2018年高三最新 海淀区2018年数学(理科)高考一模试卷
数学 海淀区2018年数学(理科)高考一模试卷2018．4参考公式：三角函数的和差化积公式2cos 2sin2sin sin β-αβ+α=β+α 2cos 2cos 2sin sin β-αβ+α=β-α 2cos 2cos 2cos cos β-αβ+α=β+α 2sin 2sin 2cos cos β-αβ+α-=β-α一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集为实数集R,集合A={x|x<2}，B={x|x ≥3}，则（ ）A ．RB A = B ．R B A =C ．φ=B AD ．φ=B A （2）在三角形ABC 中，若sinC ＝2cosAsinB ，则此三角形必是（ ）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 （3）曲线C 在直角坐标系中的参数方程为⎩⎨⎧α-=α=sin 22y cos 2x （a 为参数）．若以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是（ ）A ．ρ＝2cosB B ．ρ＝2sin θC ．ρ＝4cos θD ．ρ＝4sin θ（4）若p ，q ∈R ，则nn q p lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→存在的一个充分不必要条件是（ ） A ．q ＞p B ．|p|＝|q| C ． q ＜p ＜0 D ．0<q ＜p（5）已知平面α∩平面β=l ，m 是平面α内的一条直线，则在平面β内（ ） A ．一定存在直线与直线m 平行，也一定存在直线与直线m 垂直 B ．一定存在直线与直线m 平行，但不一定存在直线与直线m 垂直 C ．不一定存在直线与直线m 平行，但一定存在直线与直线m 垂直 D ．不一定存在直线与直线m 平行，也不一定存在直线与直线m 垂直（6）6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五道或第六道，则不同排法种数共有（ ）A ．144B ．96C ．72D ．48（7）在平面直角坐标系内，将直线l 向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到直线'l ，l 与'l 间的距离为13，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．32arctgB ．23arctgC ．32-πarctgD ．23-πarctg （8）已知函数12)(2++=x x x f ，若存在实数t ，当x ∈[1，m]时，f （x ＋t ）≤x 恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上． （9）圆锥底面半径为1，其母线与底面所成的角为60°，则它的侧面积为_________；它的体积为___________．（10）函数⎪⎭⎫⎝⎛3π+=x x f 61sin )(的最小正周期为_________；其图像的位于y 轴右侧的对称轴从左到右分别为1l ，2l ，3l ，…，则3l 的方程是_________．（11）不等式0214>-x的解集为__________；若关于x 的不等式a x x >-24的解集为R （实数集），则实数a 的取值范围是______________．（12）双曲线1322=-y x 的焦点坐标为___________；若曲线122=-my x 有一条准线方程为x ＝2，则实数m 为___________．（13）等差数列{}n a 的前3项和为21，其前6项和为24，则其首项1a 为_________；数列{}||n a 的前9项和等于___________．（14）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，到点P （-4，5）的距离大于2且小于3的整点共有_________个；将这些点按到原点的距离从小到大排列，分别记为点1P ，2P ，3P …，则点7P 的坐标为_________．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分12分）已知复平面内点A ，B 对应的复数分别是i z +θ=21sin ，θ+θ-=2cos cos 22i z ，其中θ∈（0, 2π），设→--AB 对应的复数为z ．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若复数z 对应的点P 在直线x y 21=上，求θ的值．（16）（本小题满分15分）如图，四棱锥P —ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝2，点M 、N 分别在棱PD 、PC 上，且PC ⊥平面AMN ．（Ⅰ）求证：AM ⊥PD ；（Ⅱ）求二面角P —AM —N 的大小；（Ⅲ）求直线CD 与平面AMN 所成角的大小．（17）（本小题满分14分）已知数列{}n a 、{}n b 满足：11=a ，a a =2（a 为常数），且1+⋅=n n n a a b 其中n ＝1，2，3，…．（Ⅰ）若{}n a 是等比数列，试求数列{}n b 的前n 项和n S 的公式；（Ⅱ）当{}n b 是等比数列时，甲同学说：{}n a 一定是等比数列；乙同学说：{}n a 一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？（18）（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，长度为6的线段PQ 的一个端点P 在射线y=0（x ≤0）上滑动，另一端点Q 在射线x ＝0（y ≤0）上滑动，点M 在线段PQ 上，且21=MQ PM ． （Ⅰ）求点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若点M 的轨迹与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，求四边形OAMB 面积的最大值（其中O 是坐标原点）．（19）（本小题满分13分）甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为215浬／小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40浬处的B 岛出发，朝北偏东θ（21=θarctg ）的方向作匀速直线航行，速度为510浬/小时．（如图所示）（Ⅰ）求出发后3小时两船相距多少浬？（Ⅱ）求两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少浬？（20）（本小题满分13分）集合A 是由适合以下性质的函数f （x ）构成的：对于任意的x ＞0，y>0，且x ≠y ，都有⎪⎭⎫⎝⎛+>+323)(2)(y x f y f x f ．（Ⅰ）试判断x x f 21log )(=及22)1()(+=x x f 是否在集合A 中？说明理由；（Ⅱ）设f （x ）∈A ，且定义域是（0，+∞），值域是（1，2），23)1(>f ，写出一个满足以上条件的f （x ）的解析式；并证明你写出的函数f （x ）∈A ．参考答案及评分标准2018.4一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，其中第一空3分，第二空2分，共30分） （9）2ππ33（10）12π；x=13π （11）⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-⎭⎬⎫⎩⎨⎧->41,;21|x x ； （12）（±2，0）；34-（13）9； 41 （14）12；（-6，4） 三、解答题（共80分） （15）（本小题满分12分）（Ⅰ）解：)2(cos sin cos 22121-θ+θ-θ-=-=i z z z …………………………3分θ--=2sin 21i …………………………………………………5分（Ⅱ）解：点P 的坐标为（-1，θ-2sin 2）…………………………………………6分由点P 在直线x y 21=上，得21-=θ-2sin 2．………………………………9分 ∴ 41=θ2sin 则21±=θsin ．∵ )π(∈θ2,0 ∴6π6π6ππ=θ11,7,5,6．…………………………………………12分 （16）（本小题满分15分）（Ⅰ）证明：∵ ABCD 是正方形， ∴ CD ⊥AD ．∵ PA ⊥底面ABCD ，∴ PA ⊥CD ．∴ CD ⊥平面PAD …………………………………………………………………………3分∵ PAD AM 底面⊂，∴ CD ⊥AM ．∵ PC ⊥平面AMN ，∴ PC ⊥AM ． ∴ AM ⊥平面PCD.∴ AM ⊥PD ．………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）解：∵ AM ⊥平面PCD （已证）， ∴ AM ⊥PM ，AM ⊥NM ．∴ ∠PMN 为二面角P —AM —N 的平面角．……………………………………………7分 ∵ PN ⊥平面AMN ，∴ PN ⊥NM ．在直角△PCD 中，CD=2，22PD =，∴ 32PC =． ∵ PA=AD ，AM ⊥PD ，∴ M 为PD 的中点，2PD 21PM == 由Rt△PMN∽Rt△PCD，得∴PCPM CD MN ⋅=．∴33322PC CD PM MN )PMN cos(====∠． ∴ 33arccosPMN =∠．……………………………………………………………10分 即二面角P —AM —N 的大小为33arccos． （Ⅲ）解：延长NM ，CD 交于点E ．∵ PC ⊥平面AMN ，∴ NE 为CE 在平面AMN 内的射影∴ ∠CEN 为CD （即CE ）与平面AMN 所成的角．……………………………………12分 ∵ CD ⊥PD ，EN ⊥PN ，∴ ∠CEN ＝∠MPN ． 在Rt △PMN 中，33)sin(==∠PM MN MPN ． ∵ ⎪⎭⎫⎝⎛2π∈∠,0MPN ∴ 33arcsin =∠MPN ．∴ CD 与平面AMN 所成的角的大小为33arcsin．…………………………………15分（17）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为{}n a 是等比数列，11=a ，a a =2，∴ a ≠0，1-=n n a a ．…………………………………………………………………2分又1+⋅=n n n a a b 则a a a b =⋅=211，21121211a aa a a a a a ab b n n n n n n n n n n ===⋅⋅=-++++++……………………………………………………………………………………………5分 即{}n b 是以a 为首项，2a 为公比的等比数列．∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±≠---=-==)1.(1)1()1( ,)1( ,22a a a a a n a n S n n ………………………………………………………9分（Ⅱ）甲、乙两个同学的说法都不正确．理由如下：………………………………10分 解法一：设{}n b 的公比为q ，则q a a a a a a b b nn n n n n n n ===+++++21211且a ≠0 又11=a ，a a =2，1a ，3a ，5a ，…，12-n a ，…是以1为首项，q 为公比的等比数列， 2a ，4a ，6a ，…，n a 2，…是以a 为首项，q 为公比的等比数列．……………………………………………………………………………………………11分即{}n a 为：1，a ，q ，aq ，2q ，2aq ，………………………………………………12分 当2a q =时，{}n a 是等比数列；当2a q ≠时，{}n a 不是等比数列．……………………………………………………14分 解法二：{}n a 可能是等比数列，也可能不是等比数列、举例说明如下： 设{}n b 的公比为q（1）取a=q=1时，1=n a （n ∈N ），此时，11==+n n n a a b ，{}n a 、{}n b 都是等比数列．……………………………………………………………11分（2）取a=2，q=1时，⎩⎨⎧=)( 2)( 1为偶数为奇数n n a n ．2=n b ，（n ∈N ）．所以{}n b 是等比数列，而{}n a 不是等比数列…………………………………………14分 （18）（本小题满分13分）（1）解：设点P 、Q 、M 的坐标分别是P （1x ，0）、Q （0，1y ）、M （x ，y ）其中01≤x ，01≤y ， 依条件可得(*)362121=+y x …………………………………………………2分又依21==λMQ PM ，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=2112121111y y x x ……………………………………………………4分 将⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx 32311代入（*）式，得141622=+y x （x ，y ≤0）…………………………7分 即点M 的轨迹方程为141622=+y x （x ≤0，y ≤0） （Ⅱ）解：设M 点的坐标是（4cos α，2sin α）其中0≤α<2π依条件⎩⎨⎧<α<α0sin 20cos 4得23π<α<π……………………………………………………………………………9分 O BM O AM O AMB S S S ∆∆+=四边形而α-=α⋅⋅=⋅=∆sin 4|sin 2|421||||21M OAM y OA S α-=α⋅⋅=⋅=∆cos 4|cos 4|221||||21M OBM x OB S∴ )cos (sin 4α+α-=O AMB S 四边形………………………………………………11分 244sin 24≤⎪⎭⎫⎝⎛π+α-= 仅当)(452π3,π∈π=α时，四边形OAMB 的面积有最大值24． …………………………………………………………………………………………13分（19）（本小题满分13分）解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系． 设在t 时刻甲，乙两船分别在),(11y x P ，),(22y x Q ．则⎩⎨⎧====tx y t t x 151545cos 215111 …………………………………………………………2分 由21arctg=θ可得，5sin ,5cos 5=θ52=θ， t t x 10=θ=sin 510240cos 5102-20=40-θ=t t y ……………………………………………………5分（Ⅰ）令t=3，P 、Q 两点的坐标分别为 （45，45），（30，20）．（Ⅱ）由（Ⅰ）的解法过程易知：212212)()(||y y x x PQ -+-=220800)4(50160040050)154020()1510(2222≥+-=+-=--+-=t t t t t t t∴ 当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为220．…………………………………13分 即两船出发4小时，相距220里为两船最近距离．（20）（本小题满分13分） （Ⅰ）解：取x=1，y=4则16log 4log 21log )4(2)1(22211=+=+f f ，16log 27log 39log 3342132221>==⎪⎭⎫⎝⎛⨯+f∴ ⎪⎭⎫⎝⎛+<+323)(2)(111y x f y f x f ………………………………………………3分∴ A x f ∉)(1任取x>0，y>0且y x ≠，研究0)(321323)1(2)1(323)(2)(2222222>-=⎪⎭⎫⎝⎛++-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+y x y x y x y x f y f x f∴ ⎪⎭⎫⎝⎛+>+323)(2)(222y x f y f x f ． ∴ A x f ∈)(2……………………………………………………………………6分（Ⅱ）设函数132)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx f ，),0(+∞∈x ，满足其值域为（1，2） 且2335132)1(>=+=f …………………………………………………………9分 又任意取x>0，y>0且y x ≠则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++3231323332233232323322322322132)(2)(3232y x f y f x f y x y x y y x y x y x∴ A x f ∈)(…………………………………………………………………………13分。
2018年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)
2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合A＝{0, a}，B＝{x|−1<x<2}，且A⊆B，则a可以是（）A.−1B.0C.1D.22. 已知向量a→=(l, 2)，b→=(−1, 0)，则a→+2b→=()A.(−1, 2)B.(−1, 4)C.(1, 2)D.(1, 4)3. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.2B.6C.8D.104. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M，P(x, y)为M中任意一点，则y−x的最大值为（）A.1B.2C.−1D.−25. 已知a，b为正实数，则“a>1，b>1”是“lga+lgb>0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，则S的值不可能是（）A.1B.65C.43D.327. 下列函数f(x)中，其图象上任意一点P(x, y)的坐标都满足条件y ≤|x|的函数是（ ）A.f(x)=x 3B.f(x)=√xC.f(x)=e x −1D.f(x)=ln(x +1)8. 已知点M 在圆C 1：(x −1)2+(y −1)2=1上，点N 在圆C 2：(x +1)2+(y +1)2=1上，则下列说法错误的是（ ）A.OM →∗ON →的取值范围为[−3−2√2,0brackB.|OM →+ON →|取值范围为[0,2√2brackC.|OM →−ON →|的取值范围为[2√2−2,2√2+2brackD.若OM →=λON →，则实数λ的取值范围为[−3−2√2,−3+2√2brack二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．复数2i 1+i =________．已知点(2, 0)是双曲线C:x 2a 2−y 2=1的一个顶点，则C 的离心率为________．直线 {x =2t y =t （t 为参数）与曲线{x =2+cosθy =sinθ（θ为参数）的公共点个数为________．在△ABC 中，若c =2，a =√3，∠A =π6，则sinC =________，co s2C =________．一次数学会议中，有五位教师来自A ，B ，C 三所学校，其中A 学校有2位，B 学校有2位，C 学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有________种不同的站队方法．设函数f(x)={x,x ≥a x 3−3x,x <a． ①若f(x)有两个零点，则实数a 的取值范围是________；②若a ≤−2，则满足f(x)+f(x −1)>−3的x 的取值范围是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．已知f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x −1．(I)求f(π6)的值；(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J=−些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度殖和传播的概率；(Ⅱ)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；(Ⅲ)若a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）已知三棱锥P−ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为√2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P−ABC中：(I)证明：平面PAC⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角A−PC−B的余弦值；(Ⅲ)若点M在棱PC上，满足CMCP=λ，λ∈[13,23]，点N在棱BP上，且BM⊥AN，求BNBP的取值范围．已知函数f(x)=lnxx+a．(I)当a=0时，求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)当a>0时，若函数f(x)的最大值为1e2，求a的值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，且点T(2, 1)在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．(I)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论．设A=(a i,j)n×n={a1,1a1,2⋯a1,na2,1a2,2⋯a2,n⋮⋮⋱⋮a n,1a n,2⋯a n,n}是由1，2，3，…，n2组成的n行n列的数表（每个数恰好出现一次），n≥2且n∈N∗．若存在1≤i≤n，1≤j≤n，使得a i,j既是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值，则称数表A为一个“N−数表”a i,j为数表A的一个“N−值”，对任意给定的n，所有“N−数表”构成的集合记作Ωn．判断下列数表是否是“N−(2)数表”．若是，写出它的一个“N−(3)值”；A={123456789}，B={147825693}；(Ⅱ)求证：若数表A是“N−数表”，则A的“N−值”是唯一的；(Ⅲ)在Ω19中随机选取一个数表A，记A的“N−值”为X，求X的数学期望E(X)．参考答案与试题解析2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由集合A＝{0, a}，B＝{x|−1<x<2}，且A⊆B，得到−1<a<2，由此能求出结果．【解答】∵集合A＝{0, a}，B＝{x|−1<x<2}，且A⊆B，∴−1<a<2，∴a可以是1．2.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据题意，由向量的坐标计算公式直接计算即可得答案．【解答】根据题意，向量a→=(l, 2)，b→=(−1, 0)，则2b→=(−2, 0)则a→+2b→=(−1, 2)；3.【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】当k=0时，满足继续循环的条件，则S=0，k=1；当k=1时，满足继续循环的条件，则S=2，k=2；当k=2时，满足继续循环的条件，则S=10，k=3；当k=3时，不满足继续循环的条件，故输出的S=10，4.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】根据题意写出A、B、C、D点的坐标，设z＝y−x，平移目标函数z，找最优解，求出z的最大值．【解答】根据题意知，A(−2, −1)，B(2, −1)，C(4, 2)，D(0, 2)；设z＝y−x；平移目标函数z＝y−x，当目标函数过点D时，y−x取得最大值为2−0＝（2）5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据对数的运算法则以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由lga+lgb>0得lgab>0，即ab>1，当a>1，b>1时，ab>1成立，当a=4，b=1，满足ab>1，但b>1不成立，2则“a>1，b>1”是“lga+lgb>0”的充分不必要条件，6.【答案】D【考点】平行投影及平行投影作图法【解析】由题意求得正方体在竖直墙面上投影面积的最小值和最大值即可．【解答】由题意知，棱长为1的正方体在竖直墙面上的投影面积S的最小值为正方形，且边长为1，其面积为1；最大值为矩形，且相邻的两边长为1和√2，其面积为1×√2=√2；∴S的取值范围是[1, √2]；又√2<3，2∴不可能的是选项D．7.【答案】D【考点】函数的求值【解析】函数f(x)图象上任意一点P(x, y)的坐标都满足条件y≤|x|的函数的图象位于下图中的①或②的区域，由此能求出结果．函数f(x)图象上任意一点P(x, y)的坐标都满足条件y ≤|x|的函数的图象位于下图中的①或②的区域，在A 中，f(x)=x 3的图象位于③，④的部分区域，故A 错误；在B 中，f(x)=√x 的图象位于②③的部分区域，故B 错误；在C 中，f(x)=e x −1的图象位于①②③④的部分区域，故C 错误；在D 中，f(x)=ln(x +1)的图象位于②的区域，故D 正确．8.【答案】B【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据两圆的对称关系和OM ，ON 的范围进行判断．【解答】∵ M 在圆C 1上，点N 在圆C 2上，∴ ∠MON ≥90∘，∴ OM →∗ON →≤0，又OM ≤√2+1，ON ≤√2+1，∴ 当OM =√2+1，ON =√2+1时，OM →∗ON →取得最小值(√2+1)2cosπ=−3−2√2，故A 正确； 设M(1+cosα, 1+sinα)，N(−1+cosβ, −1+sinβ)，则OM →+ON →=(cosα+cosβ, sinα+sinβ)，∴ |OM →+ON →|2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos(α−β)+2，∴ 0≤|OM →+ON →|≤2，故B 错误；∵ 两圆外离，半径均为1，|C 1C 2|=2√2，∴ 2√2−2≤|MN|≤2√2+2，即2√2−2≤|OM →−ON →|≤2√2+2，故C 正确； ∵ √2−1≤|OM|≤√2+1，√2−1≤|ON|≤√2+1，∴ 当OM →=λON →时，√2−1√2+1≤−λ≤√2+1√2−1，解得−3−2√2≤λ≤−3+2√2，故D 正确． 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】1+i【考点】复数的运算【解析】利用复数的除法运算法则即可得出．【解答】2i 1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=i +1．√52【考点】双曲线的特性【解析】根据题意，由双曲线的顶点坐标可得a 的值，结合b 的值计算可得c 的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】根据题意，点(2, 0)是双曲线C:x 2a −y 2=1的一个顶点， 则a =2，双曲线的方程为x 2a 2−y 2=1，则b =1，则c =√a 2+b 2=√5，则双曲线的离心率e =c a =√52； 【答案】2【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】直线消去参数t ，得x −2y =0，曲线消去参数，得(x −2)2+y 2=1，联立{x −2y =0(x −2)2+y 2=1，能求出交点个数． 【解答】直线 {x =2t y =t（t 为参数）消去参数t ，得x −2y =0， 曲线{x =2+cosθy =sinθ（θ为参数）消去参数，得(x −2)2+y 2=1， 联立{x −2y =0(x −2)2+y 2=1 ，得{x =2y =1 或{x =65y =35 ． ∴ 直线 {x =2t y =t （t 为参数）与曲线{x =2+cosθy =sinθ（θ为参数）的公共点个数为2． 【答案】 √3, 【考点】三角形求面积【解析】直接利用正弦定理的三角函数关系式的恒等变换求出结果．【解答】△ABC 中，若c =2，a =√3，∠A =π6，利用正弦定理：a sinA =c sinC ，则：sinC =√33， 所以：cos2C =1−2sin 2C =1−23=13．【答案】48【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】先安排A 学校和C 学校的三位老师，有A 22中排法，再把B 学校的两位老师插空排到A 学校和C 学校的三位老师的空位中，并对B 学校的两位老师进行排序，有A 42A22=24种排法，最后根据乘法运算，由此能求出结果．【解答】有五位教师来自A ，B ，C 三所学校，其中A 学校有2位，B 学校有2位，C 学校有1位． 现在五位教师排成一排照相，要求来自同一所学校的教师不相邻，先安排A 学校和C 学校的三位老师，有A 22中排法，再把B 学校的两位老师插空排到A 学校和C 学校的三位老师的空位中，并对B 学校的两位老师进行排序，有A 42A22=24种排法，由乘法原理得不同的排列方法有：A 22∗A 42A22=48种，【答案】(−√3, √3],(−1, +∞)【考点】分段函数的应用【解析】①讨论a =0，a >0，a <0，结合零点定义，解方程即可得到所求范围； ②若a ≤−2，讨论x <a ，x ≥a ，若x −1≥a ；a −1≤x −1<a ，结合分段函数解析式，以及函数的单调性和不等式的解法，即可得到所求范围．【解答】①若a =0，则f(x)={x,x ≥0x 3−3x,x <0， 由f(x)=0，可得x =0，x =−√3，符合题意；若a <0，x =0符合题意；若x =−√3符合题意，则a >−√3，即为−√3<a <0；若a >0，则x =0和x =−√3符合题意，可得a ≤√3，综上可得，a 的范围是(−√3, √3]；②若x <a ≤−2，则x −1<a −1≤−3，f(x)的导数为3x 2−3>0，可得f(x)<f(−2)=−2，f(x −1)<−27+9=−18，即有f(x)+f(x −1)<−30，不符题意；则x ≥a ，若x −1≥a ，f(x)+f(x −1)>−3，即为x +x −1>−3，解得x >−1；若a −1≤x −1<a ，f(x)+f(x −1)>−3，即为x +(x −1)3−3(x −1)>−3，化为x 3−3x 2+x +5>0，由于a ≤−2，且a ≤x <a +1，可得g(x)=x 3−3x 2+x +5的导数g′(x)=3x 2−6x +1>0，即g(x)在[a, a +1)递增，g(a)取得最小值，且为a 3−3a 2+a +5，且a3−3a2+a+5，而在a≤−2时，a3−3a2+a+5递增，且为负值，不符题意．综上可得a的范围是(−1, +∞)．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【答案】(Ⅰ)直接将x=π6带入，可得：f(π6)=2√3sinπ6cosπ6+2cos2π6−1=2√3×12×√32+2×(√32)2−1=2．(Ⅱ)由f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)因为函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ−π2,2kπ+π2brack(k∈Z)，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6brack(k∈Z)．【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】（I）直接将x=π6带入计算即可．(Ⅱ)利用二倍角和辅助角公司化简，即可求f(x)的单调递增区间．【解答】(Ⅰ)直接将x=π6带入，可得：f(π6)=2√3sinπ6cosπ6+2cos2π6−1=2√3×12×√32+2×(√32)2−1=2．(Ⅱ)由f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)因为函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ−π2,2kπ+π2brack(k∈Z)，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6brack(k∈Z)．【答案】（本题满分1(Ⅰ)设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用A i表示事件抽取的月份为第i月，则Ω={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12}共12个基本事件，A={A2, A6, A8, A9, A10, A11}共6个基本事件，所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率P(A)=612=12．(Ⅱ)在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X所有可能的取值为0，1，2．P(X=0)=C42C62=615=25，P(X=1)=C21C41C62=815，P(X=2)=C22C62=115随机变量X的分布列为：(Ⅲ)a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，则M的最大值为58%，最小值为54%．【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用A i表示事件抽取的月份为第i月，利用列举法能求出该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率．(Ⅱ)在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，X所有可能的取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．(Ⅲ)a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，由此能求出M的最大值，最小值．【解答】（本题满分1(Ⅰ)设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用A i表示事件抽取的月份为第i月，则Ω={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12}共12个基本事件，A={A2, A6, A8, A9, A10, A11}共6个基本事件，所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率P(A)=612=12．(Ⅱ)在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X所有可能的取值为0，1，2．P(X=0)=C42C62=615=25，P(X=1)=C21C41C62=815，P(X=2)=C22C62=115随机变量X的分布列为：(Ⅲ)a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，则M的最大值为58%，最小值为54%．【答案】（本题满分1证明：(Ⅰ)证法一：设AC的中点为O，连接BO，PO．由题意PA=PB=PC=√2，PO=1，AO=BO=CO=1因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点所以PO⊥AC，因为在△POB中，PO=1，OB=1，PB=√2所以PO⊥OB因为AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC证法二：设AC的中点为O，连接BO，PO．因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，因为PA=PB=PC，PO=PO=PO，AO=BO=CO所以△POA≅△POB≅△POC所以∠POA=∠POB=∠POC=90∘所以PO⊥OB因为AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC证法三：设AC的中点为O，连接PO，因为在△PAC中，PA=PC，所以PO⊥AC设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB．因为在△OAB中，OA=OB，Q为AB的中点所以OQ⊥AB．因为在△PAB中，PA=PB，Q为AB的中点所以PQ⊥AB．因为PQ∩OQ=Q，PQ，OQ⊂平面OPQ所以AB⊥平面OPQ因为OP⊂平面OPQ所以OP⊥AB因为AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC（2）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，如图建立空间直角坐标系，则O(0, 0, 0)，C(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，A(−1, 0, 0)，P(0, 0, 1) 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为OB →=(0,1,0) 由BC →=(1,−1,0)，PC →=(1,0,−1) 设平面PBC 的法向量为n →=(x,y,z)，则 由{n ⋅BC →=0n ⋅PC →=0得：{x −y =0x −z =0 令x =1，得y =1，z =1，即n →=(1,1,1)cos <n →,OB →>=n →⋅OB →|n →|⋅|OB →|=√3⋅1=√33由二面角A −PC −B 是锐二面角， 所以二面角A −PC −B 的余弦值为√33(Ⅲ)设BN →=μBP →，0≤μ≤1，BM →=BC →+CM →=BC →+λCP →=(1,−1,0)+λ(−1,0,1)=(1−λ,−1,λ)，AN →=AB →+BN →=AB →+μBP →=(1,1,0)+μ(0,−1,1)=(1,1−μ,μ)， 令BM →⋅AN →=0得(1−λ)⋅1+(−1)⋅(1−μ)+λ⋅μ=0即μ=λ1+λ=1−11+λ，μ是关于λ的单调递增函数， 当λ∈[13,23]时，μ∈[14,25]， 所以BNBP ∈[14,25]．【考点】二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)法一：设AC的中点为O，连接BO，PO．推导出PO⊥AC，PO⊥OB，从而PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．法二：设AC的中点为O，连接BO，PO．推导出PO⊥AC，△POA≅△POB≅△POC，∠POA=∠POB=∠POC=90∘，进而PO⊥OB，由此能证明PO⊥平面ABC，从而平面PAC⊥平面ABC．法三：设AC的中点为O，连接PO，推导出PO⊥AC，设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB．推导出OQ⊥AB．PQ⊥AB．从而AB⊥平面OPQ，进而OP⊥AB，由此能证明PO⊥平面ABC，从而平面PAC⊥平面ABC．(Ⅱ)由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A−PC−B的余弦值．(Ⅲ)设BN→=μBP→，0≤μ≤1，利用向量法能求出BN的取值范围．BP【解答】（本题满分1证明：(Ⅰ)证法一：设AC的中点为O，连接BO，PO．由题意PA=PB=PC=√2，PO=1，AO=BO=CO=1因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点所以PO⊥AC，因为在△POB中，PO=1，OB=1，PB=√2所以PO⊥OB因为AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC证法二：设AC的中点为O，连接BO，PO．因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，因为PA=PB=PC，PO=PO=PO，AO=BO=CO所以△POA≅△POB≅△POC所以∠POA=∠POB=∠POC=90∘所以PO⊥OB因为AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC证法三：设AC的中点为O，连接PO，因为在△PAC中，PA=PC，所以PO⊥AC设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB．因为 在△OAB 中，OA =OB ，Q 为AB 的中点 所以 OQ ⊥AB ．因为 在△PAB 中，PA =PB ，Q 为AB 的中点 所以 PQ ⊥AB ．因为 PQ ∩OQ =Q ，PQ ，OQ ⊂平面OPQ 所以 AB ⊥平面OPQ 因为 OP ⊂平面OPQ 所以 OP ⊥AB因为 AB ∩AC =A ，AB ，AC ⊂平面ABC 所以 PO ⊥平面ABC 因为 PO ⊂平面PAC所以 平面PAC ⊥平面ABC（2）由PO ⊥平面ABC ，OB ⊥AC ，如图建立空间直角坐标系，则 O(0, 0, 0)，C(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，A(−1, 0, 0)，P(0, 0, 1) 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为OB →=(0,1,0) 由BC →=(1,−1,0)，PC →=(1,0,−1) 设平面PBC 的法向量为n →=(x,y,z)，则 由{n ⋅BC →=0n ⋅PC →=0得：{x −y =0x −z =0 令x =1，得y =1，z =1，即n →=(1,1,1)cos <n →,OB →>=n →⋅OB →|n →|⋅|OB →|=3⋅1=√33由二面角A −PC −B 是锐二面角，所以二面角A −PC −B 的余弦值为√33(Ⅲ)设BN →=μBP →，0≤μ≤1，BM →=BC →+CM →=BC →+λCP →=(1,−1,0)+λ(−1,0,1)=(1−λ,−1,λ)，AN →=AB →+BN →=AB →+μBP →=(1,1,0)+μ(0,−1,1)=(1,1−μ,μ)， 令BM →⋅AN →=0得(1−λ)⋅1+(−1)⋅(1−μ)+λ⋅μ=0 即μ=λ1+λ=1−11+λ，μ是关于λ的单调递增函数，当λ∈[13,23]时，μ∈[14,25]， 所以BNBP ∈[14,25]．【答案】（1）当a =0时，f(x)=lnx x，故f ′(x)=1x⋅x−lnx x 2=1−lnx x 2，令f ′(x)>0，得0<x <e ； 故f(x)的单调递增区间为(0, e) （2）方法1:f ′(x)=x+ax−lnx (x+a)2=1+a x−lnx (x+a)2令g(x)=1+ax −lnx 则g ′(x)=−ax −1x =−x+a x <0由g(e)=ae >0，g(e a+1)=1+ae a+1−(1+a)=a ⋅(1e a+1−1)<0 故存在x 0∈(e,e a+1)，g(x 0)=0故当x ∈(0, x 0)时，g(x)>0；当x ∈(x 0, +∞)时，g(x)<0故f(x 0)=1e 2故{1+ax 0−lnx 0=0lnx 0x 0+a =1e 2，解得{x 0=e 2a =e 2故a的值为e2．（2）方法2:f(x)的最大值为1e2的充要条件为：对任意的x∈(0, +∞)，lnxx+a ≤1e2且存在x0∈(0, +∞)，使得lnx0x0+a=1e2，等价于对任意的x∈(0, +∞)，a≥e2lnx−x且存在x0∈(0, +∞)，使得a≥e2lnx0−x0，等价于g(x)=e2lnx−x的最大值为a．∵g′(x)=e2x−1，令g′(x)=0，得x=e2．x，g′(x)，g(x)的变化如下：故g(x)的最大值为g(e2)=e2lne2−e2=e2，即a=e2．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；(Ⅱ)法一：求出函数的导数，令g(x)=1+ax−lnx，求出存在x0∈(e,e a+1)，使得g(x0)=0，得到关于a，x0的方程组，解出即可；法二：分离参数a，问题等价于对任意的x∈(0, +∞)，a≥e2lnx−x且存在x0∈(0, +∞)，使得a≥e2lnx0−x0，等价于g(x)=e2lnx−x的最大值为a，求出g(x)的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】（1）当a=0时，f(x)=lnxx，故f′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，令f′(x)>0，得0<x<e；故f(x)的单调递增区间为(0, e)（2）方法1:f′(x)=x+ax−lnx(x+a)2=1+ax−lnx(x+a)2令g(x)=1+ax−lnx则g′(x)=−ax2−1x=−x+ax2<0由g(e)=ae >0，g(e a+1)=1+ae−(1+a)=a⋅(1e−1)<0故存在x0∈(e,e a+1)，g(x0)=0故当x∈(0, x0)时，g(x)>0；当x∈(x0, +∞)时，g(x)<0故f(x 0)=1e 2故{1+ax 0−lnx 0=0lnx 0x 0+a=1e2，解得{x 0=e 2a =e 2 故a 的值为e 2．（2）方法2:f(x)的最大值为1e 2的充要条件为： 对任意的x ∈(0, +∞)，lnx x+a≤1e且存在x 0∈(0, +∞)，使得lnx 0x 0+a=1e 2， 等价于对任意的x ∈(0, +∞)，a ≥e 2lnx −x 且存在 x 0∈(0, +∞)，使得a ≥e 2lnx 0−x 0，等价于g(x)=e 2lnx −x 的最大值为a ． ∵ g ′(x)=e 2x−1，令g ′(x)=0，得x =e 2． x ，g′(x)，g(x)的变化如下：故g(x)的最大值为g(e 2)=e 2lne 2−e 2=e 2，即a =e 2．【答案】(Ⅰ)由题意{ 4a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2e =c a =√32 ，解得：a =2√2，b =√2，c =√6 故椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1；(Ⅱ)根据题意，假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2, −1)， 直线l 的方程为y +1=12(x −2)，即y =12x −2．联立方程{x 28+y 22=1y =12x −2 ，得x 2−4x +4=0， 此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意． 故直线TP 和TQ 的斜率存在． 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则直线TP:y −1=y 1−1x 1−2(x −2)，直线TQ:y −1=y 2−1x 2−2(x −2)故|OM|=2−x 1−2y1−1，|ON|=2−x 2−2y 2−1 由直线OT:y =12x ，设直线PQ:y =12x +t(t ≠0) 联立方程，{x 28+y 22=1y =12x +t ⇒x 2+2tx +2t 2−4=0 当△>0时，x 1+x 2=−2t ，x 1∗x 2=2t 2−4， |OM|+|ON|=4−(x 1−2y 1−1+x 2−2y 2−1)=4−(x 1−212x 1+t−1+x 2−212x 2+t−1)=4−x 1x 2+(t−2)(x 1+x 2)−4(t−1)14x 1x 2+12(t−1)(x 1+x 2)+(t−1)2=4−2t 2−4+(t−2)(−2t)−4(t−1)14(2t 2−4)+12(t−1)∗(−2t)+(t−1)2=4．【考点】 椭圆的定义 【解析】(Ⅰ)根据题意，由椭圆的几何性质分析可得{ 4a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2e =c a =√32 ，解可得a 、b 的值，将a 、b的值代入椭圆方程，即可得答案；(Ⅱ)根据题意，假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，联立直线与椭圆的方程分析可得直线l 与椭圆C 相切，不合题意，则直线TP 和TQ 的斜率存在，进而设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，由此表示直线TP 或TQ 的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系表示|OM|+|ON|的值，即可得答案． 【解答】(Ⅰ)由题意{4a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2e =c a =√32，解得：a =2√2，b =√2，c =√6 故椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1；(Ⅱ)根据题意，假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2, −1)， 直线l 的方程为y +1=12(x −2)，即y =12x −2． 联立方程{x 28+y 22=1y =12x −2 ，得x 2−4x +4=0， 此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意．故直线TP 和TQ 的斜率存在． 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则直线TP:y −1=y 1−1x 1−2(x −2)，直线TQ:y −1=y 2−1x 2−2(x −2)故|OM|=2−x 1−2y1−1，|ON|=2−x 2−2y 2−1 由直线OT:y =12x ，设直线PQ:y =12x +t(t ≠0) 联立方程，{x 28+y 22=1y =12x +t⇒x 2+2tx +2t 2−4=0 当△>0时，x 1+x 2=−2t ，x 1∗x 2=2t 2−4， |OM|+|ON|=4−(x 1−2y 1−1+x 2−2y 2−1)=4−(x 1−212x 1+t−1+x 2−212x 2+t−1)=4−x 1x 2+(t−2)(x 1+x 2)−4(t−1)14x 1x 2+12(t−1)(x 1+x 2)+(t−1)2=4−2t 2−4+(t−2)(−2t)−4(t−1)14(2t 2−4)+12(t−1)∗(−2t)+(t−1)2=4．【答案】 （本题满分1(Ⅰ)A 是“N −数表”，其“N −值”为3，B 不是“N −数表”．证明：(Ⅱ)假设a i,j 和a i ′,j ′均是数表A 的“N −值”，①若i =i ′，则a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }=a i ′,j ′；②若j =j ′，则a i,j =min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=min{a 1,j′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′； ③若i ≠i ′，j ≠j ′，则一方面a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }>a i,j′>min{a 1,j ′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′，另一方面a i ′,j ′=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }>a i ′,j >min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=a i,j ； 矛盾．即若数表A 是“N −数表”，则其“N −值”是唯一的．(Ⅲ)解法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19． 定义数表B =(b j,i )19×19如下，将数表A 的第i 行，第j 列的元素写在数表B 的第j 行，第i 列，即b j,i =a i,j （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19） 由题意，得：①数表B 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ②数表B 的第j 行的元素，即为数表A 的第j 列的元素 ③数表B 的第i 列的元素，即为数表A 的第i 行的元素④若数表A 中，a i,j 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值 则数表B 中，b j,i 是第i 列中的最大值，也是第j 行中的最小值．定义数表C =(c j,i )19×19如下，其与数表B 对应位置的元素的和为362，即c j,i =362−b j,i （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19）由题意得：①数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表B 中，b j,i 是第i 列中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表C 中，c j,i 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19 ①数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表A 中，a i,j 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表C 中，c j,i 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值即对任意的A ∈Ω19，其“N −值”为a i,j （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19）， 则C ∈Ω19，且其“N −值”为c j,i =362−b j,i =362−a i,j ．记C =T(A)，则T(C)=A ，即数表A 与数表C =T(A)的“N −值”之和为362， 故可按照上述方式对Ω19中的数表两两配对，使得每对数表的“N −值”之和为362， 故X 的数学期望E(X)=181．解法2:X 所有可能的取值为19，20，21，…，341，342，343．记Ω19中使得X =k 的数表A 的个数记作n k ，k =19，20，21，…，341，342，343，则n k =192×C k−118×C 361−k 18×[(182)!brack ．则n 362−k =192×C 361−k 18×C k−118×[(182)!brack =n k ，则E(X)=∑∗k=19343nk k ∑k=19343nk =∑∗k=19343n362−k k∑k=19343nk =∑∗k=19343nk (362−k)∑k=19343nk ，故2E(X)=∑∗k=19343nk k∑k=19343nk +∑∗k=19343nk (362−k)∑k=19343nk =362，E(X)=181． 【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)A 是“N −数表”，其“N −值”为3，B 不是“N −数表”．(Ⅱ)假设a i,j 和a i ′,j ′均是数表A 的“N −值”，若i =i ′，则a i,j =a i ′,j ′；若j =j ′，则a i,j =a i ′,j ′；若i ≠i ′，j ≠j ′，一方面a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }>a i,j ′>min{a 1,j ′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′，另一方面a i ′,j ′=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }>a i ′,j >min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=a i,j ；矛盾．由此能证明数表A 是“N −数表”，则其“N −值”是唯一的．(Ⅲ)法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19．定义数表B =(b j,i )19×19如下，将数表A 的第i 行，第j 列的元素写在数表B 的第j 行，第i 列，即b j,i =a i,j （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19），则数表B 中，b j,i 是第i 列中的最大值，也是第j 行中的最小值．定义数表C =(c j,i )19×19如下，其与数表B 对应位置的元素的和为362，即c j,i =362−b j,i （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19），则数表C 中，c j,i 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值，由此能求出X 的数学期望E(X)． 法2:X 所有可能的取值为19，20，21，…，341，342，343．记Ω19中使得X =k 的数表A 的个数记作n k ，k =19，20，21，…，341，342，343，则n k =192×C k−118×C 361−k 18×[(182)!brack ．由此能求出E(X)．【解答】（本题满分1(Ⅰ)A 是“N −数表”，其“N −值”为3，B 不是“N −数表”．证明：(Ⅱ)假设a i,j 和a i ′,j ′均是数表A 的“N −值”，①若i =i ′，则a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }=a i ′,j ′；②若j =j ′，则a i,j =min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=min{a 1,j′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′；③若i ≠i ′，j ≠j ′，则一方面a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }>a i,j ′>min{a 1,j ′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′，另一方面a i ′,j ′=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }>a i ′,j >min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=a i,j ； 矛盾．即若数表A 是“N −数表”，则其“N −值”是唯一的．(Ⅲ)解法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19． 定义数表B =(b j,i )19×19如下，将数表A 的第i 行，第j 列的元素写在数表B 的第j 行，第i 列，即b j,i =a i,j （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19）由题意，得：①数表B 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②数表B 的第j 行的元素，即为数表A 的第j 列的元素③数表B 的第i 列的元素，即为数表A 的第i 行的元素④若数表A 中，a i,j 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表B 中，b j,i 是第i 列中的最大值，也是第j 行中的最小值．定义数表C =(c j,i )19×19如下，其与数表B 对应位置的元素的和为362， 即c j,i =362−b j,i （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19）由题意得：①数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表B 中，b j,i 是第i 列中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表C 中，c j,i 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19 ①数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表A 中，a i,j 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表C 中，c j,i 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值即对任意的A ∈Ω19，其“N −值”为a i,j （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19）， 则C ∈Ω19，且其“N −值”为c j,i =362−b j,i =362−a i,j ．记C =T(A)，则T(C)=A ，即数表A 与数表C =T(A)的“N −值”之和为362， 故可按照上述方式对Ω19中的数表两两配对，使得每对数表的“N −值”之和为362， 故X 的数学期望E(X)=181．解法2:X 所有可能的取值为19，20，21，…，341，342，343．记Ω19中使得X =k 的数表A 的个数记作n k ，k =19，20，21，…，341，342，343，则n k =192×C k−118×C 361−k 18×[(182)!brack ．则n 362−k =192×C 361−k 18×C k−118×[(182)!brack =n k ，则E(X)=∑∗k=19343nk k ∑k=19343nk =∑∗k=19343n362−k k∑k=19343nk =∑∗k=19343nk (362−k)∑k=19343nk ，故2E(X)=∑∗k=19343nk k∑k=19343nk +∑∗k=19343nk (362−k)∑k=19343nk =362，E(X)=181．。
北京市海淀区2018--2019年高三4月一模数学理
海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理科)2019.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.集合A 二{x N|x _6}, B ={x R|x2_3x 0}，则API B =A. {3,4,5}B. {4,5,6}C. {x|3：：：x^6}D. {x |3 E x ：：： 6}2.在极坐标系中，曲线n=4cos r围成的图形面积为B. 4 D . 163.某程序的框图如图所示，执行该程序, 若输入的x值为5，则输出的y值为A. -2B. -1C.1D. 24.不等式组x -1,x • y -4乞0,表示面积为kx -y _ 0的直角三角形区域，贝U k的值为A. -2B.-1C. 0D.5.若向量a, b 满足| a〔b〔a b〔 =1，则a b的值为A. -12 B. C.D.6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1, 2, 3的小球, 每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，3的取法有A.12 种 B. 15 种 C. 17 种 D.197.抛物线=4x的焦点为IPF |F ,点P(x, y)为该抛物线上的动点，又点A(-1,0)，则十工；的最丨PA|小值是B. D.8.设h,l2,l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4, 5, 6的直线.给出下列三个结论:① A • h (i =1,2,3)，使得「AA2A3是直角三角形;② A Ti (i =1,2,3)，使得A1A2A3是等边三角形;③三条直线上存在四点A(i =1,2,3,4)，使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体其中，所有正确结论的序号是A.①B. ①②C.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在复平面上，若复数a+b i( a,b^ R )对应的点恰好在实轴上，则b= _____10.等差数列厲｝中，a3+a4 =9,a2a5 =18,则a^ = _____________ 11.如图，AP与L O切于点A，交弦DB的延长线于点P，过点B作圆O的切线交AP于点C .若.ACB =90，BC =3,CP =4，则弦DB的长为 _______ .1 ,12.在L ABC中，右a = 4,b = 2, cos A ，贝V c = ____ ,sin C =_____42* _a x 兰013.已知函数f (x) = < 2' -'有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_________/ —3ax +a, x >0n14.已知函数f (x)二sin —x，任取L R，定义集合：2A 二｛y | y r f(X)，点P(t, f(t)) , Q(x, f (x))满足| PQ , 2｝.设Mt,mt分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h(t)=Mt-mt.则(1) ______________________ 函数h(t)的最大值是;(2) ______________________________ 函数h(t)的单调递增区间为.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.(本小题满分13分)已知函数f (x) = 2「( . 3sin x -cosx)2.(I)求f (n)的值和f (x)的最小正周期；4①③ D. ②③O、, -JT IT(n)求函数f(x)在区间［―,］上的最大值和最小值6 316.(本小题满分13分)在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.(I )求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；(II )若等级A, B, C, D E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.(i )求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分.从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望17.(本小题满分14分)在四棱锥P -ABCD中，PA_平面ABCD，ABC是正三角形, AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA = AB =4，- CDA =120：点N在线段PB上，且PN二2 .(I)求证：BD _PC ;D(H)求证：MN //平面PDC ;(川)求二面角A —PC -B的余弦值.18.(本小题满分13分)已知函数f(x) =1 n x • ax2• bx (其中a,b为常数且a厂0)在x=1处取得极值.(I)当a =1时，求f(x)的单调区间；(II)若f (x)在0,e 1上的最大值为1，求a的值.19.(本小题满分14分)2 2已知圆M : (x -、.2)2• y2=r2( r 0).若椭圆C :笃•爲=1( a b 0)的右顶点为圆M a b的圆心，离心率为—.2(I)求椭圆C的方程；(II )若存在直线I : y =kx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H 两点，点G 在线段AB上，且AG = BH，求圆M半径r的取值范围.20.(本小题满分13分)设为平面直角坐标系上的两点，其中X A,y A,X B,y B，Z .令x =冷- X A，y二y B -y A，若x + ■ y=3 ,且|.汶| |勺产0，则称点B为点A的“相关点”，记作:B= (A).已知P o(x°, y°) (X o,y°E Z)为平面上一个定点，平面上点列{R}满足：P ，且点P的坐标为(X” yj，其中i =1,2,3,…,n.(I)请问：点P o 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上, 写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； (n)求证：若F 0与P n 重合，n —定为偶数;n(川)若F 0(1,0)，且y n =100，记T 八x ，求T 的最大值.i _0海淀区高三年级第二学期期中练习数 学(理)参考答案及评分标准 2019 . 4说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 .、选择题(本大题共 8小题,每小题5分,共40分)二、填空题(本大题共 6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空 3分，第二空2分,共30分) 80分)15.(本小题满分13分)9. 0 10 . 1411.24 512. 3, 3 15 1613 .4：： a 乞1 914 . 2, (2k -1,2k),k Z三、解答题 (本大 题共6小题，共解：(I)因为f (x) =2 -( 3sinx-cosx)2=2 - (3sin 2 x cos 2 x - 2.3sin x cosx) =2-(1 2sin 2 x - 一 3sin2 x)...... 2分=1 -2sin 2 x . 3sin2 x= cos2x . 3sin2 x ...................... 4 分仁严泅24 ”如牛、、3QQ所以f （x ）的周期为丁十寸nn 2 n — n - n 5 n时，如匕亏，(2x+n )引wk所以当x--二时，函数取得最小值.. 11分6 6当X 二才时，函数取得最大值 f （才）=2 .................. 13分 16.解：（I ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有10人，所以该考场有10 “0.25 =40人 ............. 1分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为 40 （1 一0.375-0.375-0.15-0.025） = 40 0.075 = 3 ..................... 3 分（II ） 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1 汇（40 乂0.2） +2 江（40乂0.1） +3工（40^0.375）+4汇（40乂0.25）+ 5乂 （40^0.075）29 —2.9 40.......... 7分（川）设两人成绩之和为 '，则•的值可以为16, 17, 18, 19, 20 ............... 8分n=2sin(2x n )6分所以（ii ）当 x [-扌,n17.证明：（I ）因为=ABC 是正三角形，M 是AC 中点，所以 BM _ AC ,即 BD _ AC ........................ 1 分 又因为PA _平面ABCD , BD 平面ABCD , PA _ BD ............................ 2分又PAp|AC 二A ，所以BD _平面PAC ........................ 3分又PC 平面PAC ，所以BD _ PC ............................ 4分（n ）在正三角形 ABC 中,BM =2.3 ...................... 5 分 在 ACD 中，因为 M 为AC 中点，DM _ AC ，所以AD =CD CDA =120；，所以 DM = ◎，所以 BM : MD 二 3:1 ........................ 6 分3在等腰直角三角形 PAB 中，PA 二AB =4 , PB =4-.2 ,所以 BN : NP =3:1 , BN : NP =BM : MD ，所以 MN //PD ............................. 8分 又MN 二平面PDC , PD 平面PDC ，所以MN //平面PDC ................................. 9分P( =16) =^6-C 10 15 45，P( "7)C io 1245p ( =18)= C 6C 2C 2 C iT C 1o13 45，P( "9)誓C 1045P( =20)=C 22 C 120丄 45 1512 13 4 1 所以 E 詁 1617 18 1920 -454545 45 45 86 5所以的数学期望为86 .................513分(川)因为.BAD =/BAC . CAD =90；,所以AB _ AD ，分别以AB, AD, AP 为x 轴,y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系, 所以 B(4,0,0), C(2,2 J3,0), D(0,4^,0),P(0,0,4)3由（n ）可知,PC = (2,2 ,3, M)，PB=(4,0, Y)设平面PBC 的一个法向量为 n =（x,y,z ）,118.解：(I )因为 f (x) = In x ax 2 bx,所以 f (x) 2ax b ........................................... 2 分x因为函数f (x) = In x ■ ax 2 bx 在x =1处取得极值f (1) =1 2a b =0 ....................... 3分 2x 2 _3x +1当 a =1 时，b = -3 , f (x)二一3^J ,xf '(x), f (x)随x 的变化情况如下表：DB =（4-空3 0）为平面PAC 的法向量310分n PC 则]n PB =0=0，即 2x 2、3y - 4x -4z = 0令z =3,则平面PBC 的一个法向量为设二面角A - PC - B 的大小为二，n =(3,J3,3) ............-I T nt ◎ n DB 则 cos 日=4 |™l =12分所以二面角 A -PC -B 余弦值为 丄7714分zy1所以f(x)的单调递增区间为(0,丄)，(1,+ ：：)单调递减区间为(丄,1) ................... 6分2(II)因为f (x)/ax2一2(a 1)x 1 =(2ax-1)(x-1)x x1令Jx2=2a ......................... 7分1因为f(x)在x =1处取得极值，所以x2x1=12a1当0时，f (x)在(0,1)上单调递增，在(1,e］上单调递减2a所以f(x)在区间0,e上的最大值为f(1)，令f(1)=1，解得a = -2 ................................. 9分当a 0 , x2=丄02 2a1 1 1当1时，f (x)在(0,)上单调递增，(一,1)上单调递减，(1,e)上单调递增2a 2a 2a所以最大值1可能在x二丄或x二e处取得2ad 11 111而忑円临％)2—(2a吃小肓篇亠021所以f (e)二lne+ ae2 - (2a 1)e = 1，解得a ................ 11 分e-21 1 1当1 e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，(1,)上单调递减，(—,e)上单调递增2a 2a 2a所以最大值1可能在x = 1或x二e处取得而f(1) = ln1 a -(2a 1) ： 0所以f (e)二Ine+ae2 _(2a 1)e = 1，1 1解得a ，与1 ：： x2e矛盾........... 12分e-2 2a1当X2 e时，f (x)在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减，2a所以最大值1可能在x =1处取得，而f⑴=In1 - a-(2a • 1) ：：： 0 ,矛盾综上所述，a —或a =—2. .......... 13分e—21 9 .(本小题满分14分)解：(I)设椭圆的焦距为2c ,因为a =爲2 , - 2，所以c = 1，所以b =1.a 22所以椭圆C: 7 y2=1............................. 4分(II )设A ( % , y1 ), B( X2, y2)y = kx由直线l与椭圆C交于两点A，B，则％2角2-2丸所以(1 2k2)x2 -2 =0，则％ X2 =0, X1X22 ...........1 2k2......所以|AB J(1+k 2)亠「迂豆 ............................. 7分\ 1+2k 2 Y 1 +2k 2LV 2k点M ( J2, 0)到直线I 的距离d — L2k 2 2(1 k 2) 2(3k 4 3k 2 1) k 4 、 .........1 k2 1 2k 2 一 2k 4 3k 2 1 一(2k 4 3k 2 1)当k =0时,综上, 20.解：（I ）因为 L X + =y=3（=x, = y 为非零整数）故x =1,卜y =2或x =2, .\x =1，所以点P 0的相关点有8个 .................... 2分又因为（：x ）2 （ ：y ）2 =5，即（为一冷）2 （屮-y °）2 = 5 所以这些可能值对应的点在以F 0为圆心， 5为半径的圆上 ............ 4分(n)依题意 F n (x n ,y n )与 P °(x 0,y 0)重合显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线 y = kx 就是y 轴，矛盾,所以要使AG = BH ，只要AB = GH 8(1 k 2)2 2k 2、所以 / =4(r 2)1 2k 1 k当k = 0时,又显然1 d c )c2(1+ _)=3 1324222k 4 k 21 2(1—)2所以 2 ：T < 3r 2=2(1 112分14分则2k 1 k 2HGA11分则X n =(X n -XnJ (X.-1 -人^)…(X? - Xj (人- x0)X。
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海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（理科） 2018.4
本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{}0,A a =，{}12B x x =-，且A B ⊆，则a 可以是
(A) 1- (B)0 (C)l (D)2
(2)已知向量a =(l ，2)，b =（1-，0），则a +2b =
(A)（1-，2） (B)（1-，4）
(C)(1，2) (D) (1，4）
(3)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为
(A)2 (B)6
(C)8 (D) 10
(4)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为M ，(,)P x y 为M 中任意一点，则y x -的最大值为
(A)1 (B)2
(C) 1- (D) 2-
（5）已知a ，b 为正实数，则“1a ，1b ”是“lg
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(6)如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转
动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面
上的投影的面积记作S ，则S 的值不可能是
(A) 1 (B) 65 (C) 43 (D)
32
（7）下列函数()f x 中，其图像上任意一点(,)P x y 的坐标都满足条件y x ≤的函数是
(A) 3()f x x = (B) ()f x =
()1x f x e =- (D) ()ln(1)f x x =+
（8）已知点M 在圆1C ：22(1)(1)1x y -+-=上，点在圆2C ：22(+1)(+1)1x y +=上，则下列说法错误的是
(A) OM ON 的取值范围为[3--
(B )
OM ON +取值范围为
(C)
OM ON -的取值范围为2]
(D)若OM ON λ=，则实数λ的取值范围为[33---+
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(9)复数21i i
=+ . ( 10)已知点(2，0)是双曲线C ：2
221x y a
-=的一个顶点，则C 的离心率为 . ( 11)直线 2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线2+cos sin x y θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数）的公共点个数为 .
( 12)在ABC ∆中，若2c =，a =6A π
∠=，则sin C = ，s 2co C = .
(13)一次数学会议中，有五位教师来自A ，B ，C 三所学校，其中A 学校有2位，B 学校有2位，C 学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有 种不同的站队方法． ( 14)设函数2,()3,x x a f x x x x a ≥⎧
=⎨-⎩． ①若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围是 ；
②若-2a ≤，则满足()+f x (1)3f x --的x 的取值范围是 ．
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
( 15)（本小题13分）
已知2()cos 2cos 1f x x x x =+-． (I)求()6
f π
的值； (Ⅱ)求()f x 的单调递增区间．
流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J=-些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度
(I)从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖
和传播的概率；
(Ⅱ)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空
气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X ，求X 的分布列；
(Ⅲ)若108a b +=，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M ，求M 的最大值和最小值．（只需写出结论）
( 17)（本小题14分）
已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：
(I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ;
(Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值；
(Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足
CM PM λ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥， 求BN BP
的取值范围．
已知函数ln ()x
f x x a =+
(I)当0a =时，求函数()f x 的单调递增区间；
(Ⅱ)当0a 时，若函数()f x 的最大值为，求a 的值.
( 19)（本小题14分）
已知椭圆C ：22
221x y a b +=（0a b ）
且点(2,1)T 在椭圆C 上，设与OT 平行的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 分别与x 轴正半轴交于M ，N 两点． (I)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)判断OM ON +的值是否为定值，并证明你的结论．
( 20)（本小题13分）
设,()i j n n A a ⨯==1,11,21,2,12,22,,1,2,n n n n n n a a a a a a a a a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭是由21,2,3,,n 组成的n 行n 列的数表（每个数恰好出现一
次），2n ≥且*n N ∈．
若存在1i n ≤≤，1j n ≤≤，使得,i j a 既是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值，则称数表A 为一个“N -数表”,i j a 为数表A 的一个“N -值”，
对任意给定的n ，所有“N -数表”构成的集合记作n Ω．
(I) 判断下列数表是否是“N -数表”．若是，写出它的一个“N -值”；
123456789A ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，147825693B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
(Ⅱ)求证：若数表A 是“N -数表”，则A 的“N -值”是唯一的； (Ⅲ)在19Ω中随机选取一个数表A ，记A 的“N -值”为X ，求X 的数学期望()E X ．。