高一数学第四章(第18课时)两角和差的正弦余弦正切(7)

课 题：4两角和与差的正弦、余弦、正切（7）教学目的：引导学生综合运用复角的正弦、余弦公式． 教学重点：复角公式的运用和技能的提高教学难点：灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．两角和与差的正、余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-2推导公式：)cos sin (cos sin 222222ααααba b ba ab a b a ++++=+由于1)()(222222=+++b a b b a asin 2θ＋cos 2θ＝1 (1)若令22ba a +＝sin θ，则22ba b +＝cos θ∴a sin α＋b cos α＝22b a +（sin θsin α＋cos θcos α）＝22b a +cos （θ－α）或＝22b a +cos （α－θ）(2)若令22ba a +＝cos ϕ，则22ba b +＝sin ϕ∴a sin α＋b cos α＝22b a +（sin αcos ϕ＋cos αsin ϕ）＝22b a +sin （α＋ϕ）例如：2sin θ＋cos θ＝)cos 55sin 552(1222θθ++ 若令cos ϕ＝552，则sin ϕ＝55∴2sin θ＋cos θ＝5（sin θcos ϕ＋cos θsin ϕ）＝5sin （θ＋ϕ）若令552＝sin β，则55＝cos β ∴2sin θ＋cos θ＝5（cos θcos β＋sin θsin β）＝5cos （θ－β）或＝5cos （β－θ）看来，a sin θ＋b cos θ均可化为某一个角的三角函数形式，且有两种形式二、讲解范例：例1（辅助角）函数x x y 2cos )23sin(3--π=的最小值 解：x x x x x y 2sin 232cos 212cos )2sin 212cos 23(3-=--= 1)26sin(-≥-π=x 例2（角变换）已知的值。

，求x x 2sin 135)4sin(-=-π解：)]4(2cos[)22cos(2sin ππ-=-=x x x169119)135(21)4(sin 2122=--=--=πx 例3（公式逆用）计算：(1 +3)tan15︒-3 解：原式= (tan45︒+ tan60︒)tan15︒-3 =tan105︒(1-tan45︒tan60︒)tan15︒ -3= (1 -3) tan105︒ tan15︒ -3= (1 -3)×(- 1)-3= - 1 例4（角变换）已知sin(45︒ - α) = 32-，且45︒ < α < 90︒，求sin α 解：∵45︒ < α < 90︒ ∴-45︒ < 45︒-α < 0︒ ∴cos(45︒-α) = 35 cos2α = sin(90︒-2α) = sin[2(45︒-α)]= 2sin(45︒-α)cos(45︒-α) =954- 即 1 - sin 2α = 954-， 解之得：sin α = 61022+例5已知θ是三角形中的一个最小的内角，且12sin 2cos 2sin 2cos2222+=θ-θ-θ+θa a a ，求a 的取值范围 解：原式变形：1)2sin 2(cos )2sin 2(cos2222+=θ-θ-θ-θa a 即1cos )1(+=θ-a a ，显然1≠a （若1=a ，则 0 = 2）∴11cos -+=θa a 又∵30π≤θ<，∴1cos 21<θ≤即 11121<-+≤a a 解之得：3-≤a 例6试求函数2c o s s i n 2c o ss i n +++=x x x x y 的最大值和最小]2,0[π∈x 呢？解：1．设]2,2[)4sin(2cos sin -∈π+=+=x x x t则x x t cos sin 212+= ∴1cos sin 22-=t x x ∴]23,43[41)21(122+∈++=++=t t t y ∴43,23min max =+=y y 2．若]2,0[π∈x ，则]2,1[∈t ，∴]23,3[+∈y 即3,23min max =+=y y例7 已知tan α = 3tan(α + β)，6π=β，求sin(2α + β)的值 解：由题设：)cos()sin(3cos sin β+αβ+α=αα 即sin α cos(α + β) = 3sin(α + β)cos α 即sin(α + β) cos α + cos(α + β)sin α = 2sin α cos(α + β) - 2cos αsin(α + β) ∴sin(2α + β) = -2sin β 又∵6π=β ∴sin β21= ∴sin(2α + β) = -1 三、课堂练习：1 已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-21cos cos 31sin sin βαβα )2()1(α、β均为锐角，求)sin(βα-的值．分析：由于βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-，由已知两式一时得不到βαcos sin 与βαsin cos 的值，而只能出现βαsin sin 与βαcos cos 一类的值，例如2)1(+2)2( ,得3613)sin sin cos (cos 22=+-βαβα，化简、整理得7259)cos(=-βα．由此要求)sin(βα-的值，固然有路可循，但是还要进一步定出)sin(βα-的值的符号才行．２ 已知,135)43sin(,53)4cos(,434,40=+=-<<<<βπαππαππβ求)sin(βα+的值．提示：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=++-=+)4()43(cos )2cos()sin(απβπβαπβα＝6556． ３ 已知,0)cos(=+βα求证αβαsin )2sin(=+．分析：比较已知与求证部分，必然要做如下变换为宜：ββαβα++=+)(2．解：[]ββαββαβαcos )sin()(sin )2sin(+=++=+，而[]αβααβαβsin )sin()(cos cos +=-+=，注意到1)sin(±=+βα，得ααβαβαsin sin )(sin )2sin(2=+=+四、小结 常用技巧：1︒化弦 2︒化“1” 3︒正切的和、积4︒角变换 5︒“升幂”与“降次” 6︒辅助角 五、课后作业：1求证：)4cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6sin(cos 21sin 23)1(ππθθθπααα-=++=++=+x x x2利用和(差)角公式化简：)3cos(66)3sin(62)4(cos sin 3)3(cos 53sin 153)2(cos 21sin 23)1(x x x x x x x x -+---+ππ1证明(1))6sin(cos 21sin 23πααα+=+ 证法一：左边＝sin αcos6π＋cos αsin 6π＝sin （α＋6π）＝右边 证法二：右边＝sin αcos6π＋cos αsin 6π＝23sin α＋21cos α＝左边(2)cos θ＋sin θ＝2sin （θ＋4π） 证法一：左边＝2（22cos θ＋22sin θ） ＝2（sin 4πcos θ＋cos 4πsin θ） ＝2sin （θ＋4π）＝右边证法二：右边＝2（sin θcos 4π＋cos θsin 4π）＝2（22sin θ＋22cos θ） ＝cos θ＋sin θ＝左边(3) 2（sin x +cos x ）=2cos (x -4π) 证法一：左边＝2（sin x ＋cos x ）＝2（22sin x ＋22cos x ） ＝2（cos x cos4π＋sin x sin 4π） ＝2cos （x －4π）＝右边证法二：右边＝2cos （x －4π）＝2（cos x cos 4π＋sin x sin 4π）＝2（22cos x ＋22sin x ） ＝2（cos x ＋sin x ）＝左边2解：(1)23sin x ＋21cos x ＝sin x cos 6π＋cos x sin 6π＝sin （x ＋6π）或：原式＝sin x sin3π＋cos x cos 3π＝cos （x －3π） (2)315sin x －35cos x ＝65（23sin x －21cos x ）＝65（sin x cos6π－cos x sin 6π） ＝65sin （x －6π）或：原式＝65（sin 3πsin x －cos 3πcos x ）＝－65cos （x ＋3π）(3) 3sin x －cos x ＝2（23sin x －21cos x ）＝2sin （x －6π）＝－2cos （x ＋3π） (4)26sin （3π－x ）＋66cos （3π－x ）＝32［21sin （3π－x ）＋23cos （3π－x ）］ ＝32［sin 6πsin （3π－x ）＋cos 6πcos （3π－x ）］＝32cos ［6π－（3π－x ）］＝32cos （x －6π）或：原式＝32［sin （3π－x ）cos 3π＋cos （3π－x ）sin 3π］＝32sin ［（3π－x ）＋3π］＝32sin （32π－x ）六、板书设计（略）七、课后记：。