广东省广州市普通高中2017高考高三数学第一次模拟试题精选：圆锥曲线02 含答案

圆锥曲线02
23、已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是 【答案】2-
【解析】抛物线的焦点坐标为(1,0)。

圆的标准方程为222
()424
m m x y ++=+，所以圆心坐
标为(,0)2m -，所以由12
m
-=得2m =-。

24、双曲线2
213
x y -=的两条渐近线的夹角的大小等于_______ 【答案】
3
π
【 解析】双曲线的渐近线为3
y x =±。

3y x =
的倾斜角为6π，所以两条渐近线的夹角为26
3
π
π
⨯=。

25、设点P 在曲线2
2y x =+上，点Q 在曲线y =
PQ 的最小值为_______
【答案】
4
2
7 【 解析】在第一象限内，曲线22
+=x y 与曲线2-=x y 关于直线y =x 对称，设P 到直线
y =x 的距离为d ，则|PQ |=2d ，故只要求d 的最小值
d =
2
)(2
|
2|2
|
|4
7
2212+--+-=
=
x x x x y ，当1
2x =
时，d min ,
所以|PQ |min
4
=
26、若双曲线22
21(0)4x y b b
-=>的一条渐近线过点P (1, 2)，则b 的值为_________．
【答案】4
【 解析】双曲线的渐近线方程为2
b
y x =±，因为点P (1, 2)在第一象限，所以点P (1, 2)在渐近线2b y x =上，所以有22
b
=，所以4b =。

27、已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m (m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为 ． 【答案】6448
(,)2525
【 解析】抛物线的焦点坐标(
,0)2p F ，准线方程为2p x =-。

因为1()52
p
MF =--=，所以解得8p =。

所以抛物线方程为216y x =，即2
16m =，所以4m =。

即(1,4)M ，则直线MF 的方程为43160x y +-=，斜率为43-。

因为OP MF ⊥,所以OP 的斜率为3
4
，即直线OP 的方程为34y x =，即340x y -=所以由43160340x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得64254825x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，即点P 的坐标为
6448
(
,)2525。

28、动点P ),(y x 到点)1,0(F 的距离与它到直线01=+y 的距离相等，则动点P 的轨迹方程为_______________．
【答案】24x y =
【 解析】因为P ),(y x 到点)1,0(F 的距离与它到直线01=+y 的距离相等，所以动点的轨迹为抛物线，其中焦点为)1,0(F ，即1,22
p
p ==，所以轨迹方程为24x y =。

29、双曲线C ：x 2 – y 2 = a 2的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为__________．
【答案】14
42
2=-y x 【 解析】抛物线的准线方程为4x =-，当4x =-时，2216y a =-。

由34||=AB 得，
A y =所以2
2
1612y a =-=，解得2
4a =，所以双曲线C 的方程为14
42
2=-
y x 。

30、等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，AB =线C 的实轴长等于………… …………………………………（ ）
A
B ．
C ．4
D ．8
【答案】C
【 解析】抛物线的准线为4x =-，当4x =-时，2216y a -=，解得2216y a =-，因为
AB =y =221216y a ==-，所以2
4,2a a ==，所以双曲线的实轴
为24a =，选C
31、等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162
=的准线交于,A B 两
点，AB =；则C 的实轴长为____________． 【答案】4
【 解析】抛物线的准线为4x =-。

设等轴双曲线的方程为2
2
,(0)x y m m -=>，当4x =-时，
2216y x m m =-=-，因为AB =，所以y =，所以221612y m =-==，
所以4m =，即双曲线的方程为22
144
x y -=，即24,2a a ==，所以双曲线的实轴为24a =。

32、椭圆()013422
2
2>=+a a
y a x 的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________． 【答案】23a
【 解析】设椭圆的右焦点为E ．如图：
由椭圆的定义得：△FAB 的周长：
(2)(2)4AB AF BF AB a AE a BE a AB AE BE ++=+-+-=+--
因为AE BE AB +≥,所以0AB AE BE --≤，当AB 过E 时取等号，所以
4AB AF BF a ++≤，即直线x m =过椭圆的右焦点E 时FAB ∆的周长最大，由题意可知，
右焦点为(,0)a ，所以当x m a ==时，FAB ∆的周长最大，当x a =时，32
A y a =
，所以FAB ∆的面积是21322322
a a a ⨯⨯⋅=
33、设),(),,(2211y x B y x A 是平面直角坐标系上的两点，定义点A 到点B 的曼哈顿距离
1212(,)L A B x x y y =-+- 若点A(-1,1),B 在2y x =上，则(,)L A B 的最小值为 ．
【答案】
74
【 解析】⎩⎨⎧≤+-≥+=-++=-++=-+--=1
,21
,|1|1|1||1||1||1|),(2
22
2
y y y y y y y y y y y x B A L ，当
1y ≥时，),(B A L ↑，∴211),(2min =+=B A L ；
当1y ≤时，217
(,)()24
L A B y =-+，当12y =时，min 7(,)4L A B =，
因为724<，所以min 7
(,)4
L A B = 。

34、设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程；
(2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n = ，当焦点为1,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
时，求OAB ∆的面积；
(3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．
【答案】解：(1) 设00(,)A x y ，(,)M x y ，焦点(1,0)F ，
则由题意00
12
2
x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00212x x y y =-⎧⎨=⎩……………………………………2分
所求的轨迹方程为244(21)y x =-，即221y x =-…………………………4分 (2) 22y x =，1
2(,0)F ，直线1
2()212
y x x =-=-，……………………5分
由2221y x y x ⎧=⎨=-⎩得，210y y --=， 25
112
12
=-+
=y y k AB ……………………………………………7分
d =
， ……………………………………………8分 4
521==
∆AB d S OAB ……………………………………………9分 (3)显然直线MA 、MB 、MF 的斜率都存在，分别设为123k 、k 、k ． 点A 、B 、M 的坐标为11222
p
A(x ,y )、B(x ,y )、M(-,m)． 设直线AB ：2p y k x ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
，代入抛物线得2
220p y y p k --=，……………………11分 所以2
12y y p =-，……………………………………………12分
又2112y px =，2222y px =，
因而()22211112222y p p x y p p p +=+=+，()2422
22122
11
222222y p p p p p x y p p py y +=+=+=+ 因而()()()22
1
2
1112122222111222222
p y m p y m y y m y m m k k p p p p y p p y p x x ⎛⎫
-- ⎪---⎝⎭+=+=+=-++++……………14分
而30222m m
k p p p -=
=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，故1232k k k +=．………………………………16分。