高等数学纸质作业1答案
高等数学一(1)完整答案
（6）令 ，则
原式=
（7）令 ，则
原式=
（8）令 ，则
原式=
（9）原式=
（10）原式=
（11）原式=
（12）原式=
（13）原式=
（14）令 ，则 ，
原式=
（15）令 ，则
原式=
（16）原式=
（17）原式=
（18）原式=
2、（1）原式=
（2）原式=0（因为 在 上为奇函数）
（3）原式=0（因为 在 上为奇函数）
原式= 发散
，而事实上 矛盾
方程 只有正根。
5.解： 为一元三次方程， 为一元二次方程，
故只有两个实根。
又
由罗尔定理知，两实根区间分别为 。
习题3-2
1.（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
（6）原式
（7）原式
（8）原式
（9）原式
（10）原式
（11）原式
（12）原式
2.解：
3.解：
若用洛必达法则，则无限循环，即
（4）原式=
3、（1）证明：令 ，则
所以
（2）证明：令 ，则 ，
所以
（3）证明：令 ，则 ，
所以
6、（1）原式=
（4）原式=
（6）原式=
（8）令 ，则原式=
（9）原式=
（10）原式=
习题5—4
1、（1）
（3） ，发散
2、（1） 为函数 的无穷间断点，所以原式= 发散
（3） 为函数 的无穷间断点，所以
故 ，
，得唯一驻点： 。
当 ， 时，圆柱体积最大。
15.解：设生产 台，利润最大。
则目标函数为
高等数学(1)(高起专)
(A)[2019年春季] 姓名学号学习中心 专业 年级 考试时间 高等数学(1)(高起专)阶段性作业1 总分： 100 分 得分： 6 分一、单选题 1. 若函数 ，则 。
(6分) (A) 0 (B) (C) 1 (D) 不存在参考答案：D 您的回答：D 正确 2. 下列变量中，是无穷小量的为 。
(6分) (A) (B) (C) (D) 参考答案：D 3. 当 时，2x+x 2sin 是x 的 。
(6分) (A) 等价无穷小 (B) 同阶但不等价的无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小参考答案：B 4. f(x)在x 0处左:右极限存在并相等是f(x)在x 0处连续的 。
(5分) (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 前三者均不对参考答案：B 5. 设函数 在 处可导， ，则当 时，必有 。
(6分) (A) 是 的等价无穷小； (B) 是 的高阶无穷小； (C) 是比 高阶的无穷小； (D) 是 的同阶无穷小； 参考答案：C 6. 函数y= (a>0,a≠1)是 。
(6分)(A) 奇 函数 (B) 非奇非偶函数 (C) 偶 函数 (D) 奇偶性取决于a 的取值参考答案：C 7. 下列函数中,奇函数是 。
(5分) (A) (B) (C) (D)参考答案：B 8. = 。
(5分) (B) (C) 3 (D) 1参考答案：B 9. 下列极限正确的是 。
(5分) (A) (B) (C) (D)参考答案：A 10. 当 时,下列哪个是 的高阶无穷小? 。
(5分) (A) (B) (C) (D)参考答案：B 11. 设f(x)= 则x=1为f(x)的 参考答案：C 跳跃间断点 。
(5分).设(A) 是的高阶无穷小是的等价无穷小12. 设f(x)= , 则= 。
(5分)(A) 1 (B) 2 (C) -1(D) 不存在参考答案：A13参考答案：D ，则当时。
(5分)(A) 是的低阶无穷小(D) 与是同阶但非等价无穷小14. ）＝。
高等数学1试卷(附答案)
一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是π。
2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x=-。
3． 函数2sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2441()3x x o x -+。
4．11dx =⎰。
5． 函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值为6π+。
6． 222222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭L =4π。
二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分）1. 设21cos sin ,0()1,0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩，则0x =是()f x 的 D 。
A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．振荡间断点 D ．连续点2. 设()232x x f x =+-，则当0x →时，下列结论正确的是 B 。
A ．是等价无穷小与x x f )(B ．同阶但非等价无穷小与x x f )(C ．高阶的无穷小是比x x f )(D ．低阶的无穷小是比x x f )(暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名： 学号：3.1+∞=⎰C 。
A ．不存在B ．0C ．2πD ．π4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。
A ．(0)f 是()f x 的极大值B ．(0)f 是()f x 的极小值C ．(0)f 不是()f x 的极值D ．(0)f 是()f x 的最小值5.曲线2xy d t π-=⎰的全长为 D 。
A ．1B ．2C ．3D ．46. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线32y ax bx =+的拐点？ A 。
A ．32a =-，92b = B. 32a =，92b =- C ．32a =-，92b =- D. 32a =，92b = 7. 曲线2xy x -=⋅的凸区间为 D 。
《高等数学(一)》练习题参考答案
《高等数学（一）》练习题一参考答案一、是非题1——5对 错 对 错 错 2——6对 对 对 对 错 11——15错 对 对 错 对 16——20 错 对 错 错 错 21——25错 对 错 对 错 26——30 对 对 对 错 错二、选择题1——5 A B B B D 6——10 C A B A B 11——15 B D D D A 16——20 B B A B B 21——25 D B D B B 三、填空题1、2x； 2、充分； 3、1； 4、0； 5、2y x =-622x e --； 7、必要； 8、12-； 9、)1(21+=x y ； 10、0,1,2y x ==-11、1； 12、21dx x+； 13、2； 14、32y x =-； 15、充分性条件.16、22xxe； 17、dx ； 18、x = 19、1(1)2y x =-； 20、216x x+.21、6e -； 22、1y =； 23、11e --； 24、23； 25、cos 2x dx .三、解答题1、00021limlimlim.4x x x x→→→===2、因为函数()f x 在点0x =连续，故其左右极限都应存在且相等，即由20lim ()lim (1)2xx x f x e--→→=+=，sin 22sin 22lim ()lim lim 2x x x x x f x ax axa+++→→→===，推得 221a a=⇒=. 3、 /////2312()1,()(1)2f x f x f xx=+=-⇒=-.4、因为(2)3f '=，而由定义可知2()(2)(2)lim2x f x f f x →-'=-，故所求极限2()(2)lim32x f x f x →-=-。
5、由243lim ()21x x ax b x →+∞+++=-，而2224343()(1)lim ()lim11(4)()3lim21x x x x x ax b x ax b x x a x b a x b x →+∞→+∞→+∞++++-++=--++--+==-存在，于是必有40,2a b a +=-=，可解得常数,a b 的值分别为-4，-2。
高等数学作业1参考答案
作业一一、填空题：1．23e - 2．253．充要 4．2(34)x + 5．(0,)+∞ 二、选择题：1．B 2．D 3．B 4．B 5．B三、按要求计算：1．求.21lim 222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n n n 解 本题考虑无穷多个无穷小之和.先变形再求极限.211121lim )1(21lim 21lim 21lim 22222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n2．求函数)1(sin 2x e y -=的导数.解法一 设中间变量, 令.1,sin ,,2x w w v v u e y u -====于是x w v u x w v u y y '⋅'⋅'⋅'=')1()(sin )()(2'-⋅'⋅'⋅'=x w v e u )1(cos 2-⋅⋅⋅=w v e u)1cos()1sin(2)1(sin 2x x e x --⋅-=-.)1(2sin )1(sin 2x e x -⋅--=解法二 不设中间变量.)1()1cos()1sin(2)1(sin2-⋅-⋅-⋅='-x x e y x .)1(2sin )1(sin 2x e x -⋅--=3．求不定积分⎰+dx x x 241. 解 ⎰+dx x x 241⎰++-=dx x x 24111⎰+-+=dx x x x 2221)1)(1(dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=22111 ⎰⎰⎰++-=dx x dx dx x 22111.arctan 33C x x x ++-=4.求定积分⎰--3/2/2cos 1ππdx x . 解 dx x ⎰--3/2/2cos 1ππdx x ⎰-=3/2/2sin ππdx x ⎰-=3/2/|sin |ππdx x xdx ⎰⎰+-=-3/002/sin sin ππ 3/002/cos cos ππx x -=-.23= 5．求微分方程xy dxdy 2=的通解.解 分离变量得xdx y dy 2=两端积分得⎰⎰=xdx y dy 2 ⇒ 12||ln C x y += 从而2211+=±=±⋅x C C x y e e e ,记,1C e C ±=则得到题设方程的通解 .2x Ce y = 四、证明方程01423=+-x x 在区间(0, 1)内至少有一个根. 证明: 令,14)(23++=x x x f 则)(x f 在]1,0[上连续 .又,01)0(>=f ,02)1(<-=f 由零点定理 , ,)1,0(∈∃ξ使,0)(=ξf 即.01423=+-ξξ ∴方程01423=+-x x 在)1,0(内至少有一个实根.ξ五 、解：抛物线21x y =+与直线x y +=1 的交点⎩⎨⎧+==+x y x y 112，解得交点：（-1,0）；（2,3） 则：S=29)22131()11(2123212=++-=+-+--⎰x x x dx x x。
高等数学1教材 答案
高等数学1教材答案高等数学1是大学数学专业的必修课程之一，它为学生提供了进一步拓展和深入理解数学概念的机会。
本文将提供高等数学1教材的答案，帮助学生巩固所学知识，并提高解题能力。
一、导数与微分1. 求函数f(x)=2x^3-5x^2+3x的导数。
解: f'(x)=6x^2-10x+32. 求函数f(x)=x^4-2x^3+4x的二阶导数。
解: f''(x)=12x^2-12x+4二、极值与最值1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x的极值点。
解: 首先求导数 f'(x)=3x^2-12x+9，令导数为0并解方程得到x=1。
将x=1代入原函数，得到f(1)=4。
所以极小值点为(1,4)。
2. 求函数f(x)=3x^4-8x^3+12x的最大值。
解: 首先求导数 f'(x)=12x^3-24x^2+12，令导数为0并解方程得到x=1。
将x=1代入原函数，得到f(1)=7。
所以最大值为7。
三、定积分与不定积分1. 求函数f(x)=2x的不定积分。
解: F(x)=x^2+C，其中C为常数。
2. 求函数f(x)=x^2在区间[0,2]上的定积分。
解: ∫[0,2] x^2 dx = [1/3*x^3]0~2 = 8/3。
四、曲线的参数方程1. 给定曲线的参数方程为x=cos(t)，y=sin(t)，求曲线上的切线方程。
解: 首先求导数 dx/dt=-sin(t) 和 dy/dt=cos(t)。
然后利用导数求切线方程y-y0=(dy/dx)(x-x0)，代入导数值和曲线上一点的坐标(cos(t0),sin(t0))，得到切线方程 y-sin(t0)=cot(t0)(x-cos(t0))。
五、级数求和1. 求级数∑(n=1 to ∞) 2^n的和。
解: 由等比数列求和公式，级数的和为 S=a/(1-r)，其中a为首项，r为公比。
所以∑(n=1 to ∞) 2^n的和为 2/(1-2) = -2。
高等数学(一)答案解析
高等数学（一）答案解析一、单项选择题1.当x →0时，以下函数是无穷小量的是 A.x eB.()ln 2x +C.sin xD.cos x【解析】0limsin 0x x →=【考点】无穷小的定义；等价无穷小 【答案】C2.平面2348x y z -+=与直线12234x y z-+==-的位置关系是 A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.直线在平面上【解析】直线的方向向量（2，-3，4）和平面的法向量一致，故垂直直线过（1，-2，0），带入平面方程等式成立，点在平面内，故相交 【考点】平面与直线的位置关系 【答案】B3.微分方程780y y y '''+-=的通解为 A.812x x y C e C e -=+ B.812x x y C e C e --=+ C.812x x y C e C e =+D.812x x y C e C e -=+【解析】27801,8r r r r +-=⇒==- 【考点】齐次微分方程通解 【答案】D4.曲线32231y x x =+-的拐点是 A.11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.()1,0-D.()0,1-【解析】322111166;1260,2312222y x x y x x y ⎛⎫⎛⎫'''=+=+=⇒=-=⨯-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【考点】拐点的计算 【答案】A5.以下级数收敛的为 A.232112n n n n ∞=-+∑B.1sin 3n n π∞=∑C.211ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑D.213ln 21n nn ∞=+∑【解析】排除法：通项趋于0（n →∞）AC 符合，BD 不符合；而23211A :~2n n n n -+，由11nn -∑发散知A 发散；故选C 【考点】级数的敛散性 【答案】C 二、填空题 6.函数()f x =的定义域为 .【解析】1033xx -≥⇒≥ 【考点】定义域 【答案】[)3,+∞ 7.曲线12ln y x x=+在点（1，1）点处的切线方程为 .【解析】1221221,|1x x y y x x x=-''=-+==，切线：()()111y x y x -=-⇒= 【考点】曲线在一点切线方程 【答案】y=x8.若()1,[2()3()]8bbaaf x dx f xg x dx =+=⎰⎰，则()baf g x dx =⎰.【解析】[2()3()]23()8bbaaf xg x dx g x dx +=+=⎰⎰，则()2bag x dx =⎰【考点】定积分的性质 【答案】29.已知两点A （-1，2，0）和B （2，-3AB 同方向的单位向量为 .【解析】222(3,3(5)36AB =-+-+=单位化：3515,,6626⎛⎛-=- ⎝⎭⎝⎭【考点】向量的表达；单位化【答案】152,,266⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭10.已知函数(),f x y 在R 2上连续，设12201(,)(,)xxI dx f x y dy dx f x y dy -=+⎰⎰⎰⎰，则交换积分顺序后I = .【解析】2;22y x x y y x x y ===-⇒=-【考点】二重积分【答案】2120(,)yy d y f x y dx -⎰⎰ 三、解答题11.求极限3223lim 2x x x x x x →∞+-++【解析】32222322lim lim 222x x x x x x x x x x x →∞→∞+--==++++ 12.求极限203sin limxx t dt x →⎰【解析】2220322000sin sin 1limlim lim 333xx x x t dt x x x x x →→→===⎰ 13.求不定积分ln x x+ 【解析】2ln ln 12ln ln 2(ln )2x x x dx x xd x x x c x x+=+==+⎰⎰ 14.求过点（1，-2，2）且与两平面x +2y-z =1和2x+y+3z =2都垂直的平面方程. 【解析】该平面法向量为121(7,5,3)213i j kn =-=--该平面方程为()()()7152320x y z --+--=，化简：7x -5y -3z =11 15.已知函数sin yz x x=，求2z x y ∂∂∂.【解析】sin cos z y y yx x x x∂=-∂ 22211sin cos cos cos sin sin z y y y y y y y y yx y y x x x x x x x x x x x∂∂⎛⎫=-=-+= ⎪∂∂∂⎝⎭ 16.计算二重积分()22cos Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由直线3,33y x y x ==与圆222x y π+=所围成的第一象限的闭区域. 【解析】()222222232206111cos cos cos sin sin626262212Dy x y dxdy d r rdr r dr r ππππππππππθ+=====⎰⎰⎰⎰⎰17.求微分方程x y y e x '+=+的通解. 【解析】设()()1,x p x q x e x ==+则()11dx dx x y e C e x e dx -⎡⎤⎰⎰=++⎢⎥⎣⎦⎰()x x x e C e x e dx -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰()x x x e C e x de -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰212x x x x e C e xe e -⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦112x x Ce e x -=++-18.求幂级数201n n x n +∞=+∑的收敛域及和函数.【解析】（1）321lim||12n n n x n x n x ++→∞+=<+ x =1时，011n n ∞=+∑发散 x =-1时，200(1)(1)11n nn n n n +∞∞==--=++∑∑收敛 收敛域为[-1，1）（2）设2100()11n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑记110()1n n x S x n +∞==+∑，则()()1S x xS x =()11011x n n S x x∞+='==-∑ 101()ln(1)1xS x dx x x==---⎰()()ln 1S x x x =--19.求曲线24y x =-+与直线y =-2x +4所围成图形的面积. 【解析】画图象；()2204(24)S x x dx =-+--+⎰()2202x x dx =-+⎰232013x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 43=20.证明：当x >1时，ln 3x x +>. 【解析】设()ln 3F x x x =+-1()1F x x '=+-= 1x =时()0F x '=，()0F x =x >1时，()0F x '>，()F x 单调递增 故x >1时，()0F x >，即ln 3x x +>21.设函数()f x 在[0，1]上连续，且()11f =，证明：对于任意λ∈（0，1），存在ξ∈（0，1），使得2()f λξξ=. 【解析】 由结论处2()f λξξ=提示可设()()2F x x f x λ=-，则()F x 在[0，1]上连续且()00F λ=-<，()()110,01F λλ=-><<则()()010F F <，由零点定理，至少存在一点ξ∈（0，1），使得()0F ξ=，即()2f λξξ=2020年山东专升本考试 高等数学（Ⅲ）参考答案一、单选题二、填空题 11、[3，+∞） 12、2 13、24x e 14、4 15、6e -三、计算题16、由()11x f x x +=-，可知11()11[()]1()111x f x x f f x x x f x x +++-===+---.17、2222221limlim lim 132(2)(1)1x x x x x x x x x x →→→--===-+---18、0011lim lim 122x x x x e x e x →→+-+==19、()00sin 0lim ()lim x x a x f f x b a b x +'+→→⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ()000lim ()lim ,(0)22x x x f f x a a f +--→→⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭且 ∵函数()f x 在点x =0处连续，∴22a b a +=⎧⎨-=⎩，即a =-2，b =420、222ln(21)21dy x xx dx x =+++，122ln 33x dy dx =∴=+ 21、2222cos 431132cos43sin 42x x dx xdx dx x C x x x-=-=++⎰⎰⎰ 22t =，则2x t =，2dx tdt =，且当x =1时，t =1；当x =4时，t =2 2422211111ln 22(12ln )24ln t tdt t dt tdt t +∴==+=+⎰⎰⎰⎰22211124ln 4(ln )28ln 2418ln 22t t t t dt dt '=+-=+-=-⎰⎰四、应用题23、2()66126(2)(1)f x x x x x '=--=-+， 令()0f x '=，解得122,1x x ==- 而()126,(2)180,(1)180f x x f f ''''''=-=>-=-<∴()f x 的极小值为f （2）=-15，()f x 的极大值为f （-1）=1224、211222010111131ln ln 24488x x dx x dx x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰山东省2020年专升本考试真题高等数学（III ）一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.以下区间是函数sin y x =的单调递增区间的是 A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[]0,πC.,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,zππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.当x →0时，以下函数是无穷小量的是 A.x eB.1x +C.sin xD.cos x3.cos x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭A.sin xB.sin x -C.2sin cos x x xx +D.2sin cos x x xx --4.极限ln lim 2x xx →+∞=+A.0B.1C.2D.+∞5.函数3y x =+dy =A.23x dx ⎛+ ⎝⎭ B.23x dx ⎛⎝C.2x dx ⎛ ⎝⎭D.2x dx ⎛⎝6.2tan x d t dt dx =⎰ A.2tan2x xB.22tan x xC.tan 2xD.2tan x7.不定积分()f x dx '=⎰ A.()f xB.()f x 'C.()f x C +D.()f x C '+8.点x =1是函数211x y x -=-的 A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点9.设()y y x =是由方程y e x y =-所确定的隐函数，则y'=10.己知函数()f x 在[-1，2]上连续，且01()2f x dx -=⎰，10(2)1f x dx =⎰，则21()=f x dx -⎰A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.函数y =的定义域为.12.曲线y =2ln x +1在点（1，1）处切线的斜率k =.13.已知函数()2x f x e =，则()=f x '' . 14.若1()2f x dx =⎰，1[3()2]f x dx -=⎰.15.极限10lim(12)xx x →-=.三、计算题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分） 16.已知函数()11x f x x +=-，()1,x ∈+∞，求复合函数()f f x ⎡⎤⎣⎦ 17.求极限222lim32x x x x →--+18.求极限01lim 2x x e x x→+-19.已知函数sin ,0()2,0,02a xb x x f x x x a x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪⎪-<⎩在x =0处连续，求实数a ，b 的值 20.已知函数()2ln 21y x x =+，求1x dydx = 21.求不定积分222cos 43x x dx x -⎰22.求定积分41⎰四、应用题（本大题共2个小题，第23小题6分，第23小题7分，共13分） 23.求函数()3223125f x x x x =--+的极值，并判断是极大值还是极小值. 24.求曲线1y x =与直线y=x ，14y x =所围成的在第一象限内的图形的面积.山东省2020年专升本真题试卷高等数学（二）答案解析一、单项选择题1.当x →0时，以下函数是无穷小量的是A.21x + C.sin xD.cos x 【解析】0limsin 0x x →=【考点】无穷小的定义；等价无穷小【答案】C2.以直线y =0为水平渐近线的曲线的是A.x y e =B.ln y x =C.tan y x =D.3y x =【解析】lim .0x x e A →-∞=（或根据四个函数图像判断）【考点】水平渐近线【答案】A3.若()2b a f x dx =⎰，()1b a g x dx =⎰，则[3()2()]ba f x g x dx -=⎰A.1B.2C.3D.4 【解析】[3()2()]32214ba f x g x dx -=⨯-⨯=⎰【考点】定积分的性质【答案】D4.微分方程2sin y dyx xdx e +=的通解为A.2cos y e x x C =++B.2cos y e x x C =-+C.2sin y x e x C =++D.2sin y x e x C =+-【解析】22sin cos y y e dy x xdx e x x C =+⇒=-+⎰⎰【考点】可分离变量微分方程通解【答案】B5.已知函数(),f x y 在R 2上连续，设21320(,)y y I d y f x y dx -=⎰⎰，则交换积分顺序后I = A.231320010(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰B.213320010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰C.13320010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰ D.31320010(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰ 【解析】2(0,1)x y y x y =⇒=；3322x x y y -=-⇒= 【考点】二重积分【答案】D二、填空题6.函数()3f x x =-的定义域为 .【解析】303x x ->⇒>【考点】定义域【答案】（3，+∞）7.已知函数()332f x x x =+-，()tan g x x =，则=4f g π⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ .【解析】3[()](tan )3tan 2f g x x x =+-tan 14π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以=24f g π⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【考点】复合函数【答案】28.曲线2ln y x x =+在点（1，2）点处的切线斜率为 . 【解析】112,3x y y x=''=+=【考点】曲线在一点切斜率；导数的应用【答案】39.曲线1y x=与直线x =1，x =3及x 轴所围成图形的面积为 . 【解析】311ln3ln1ln3dx x=-=⎰ 【考点】定积分的应用【答案】ln310.已知函数()2arctan 2z x y =，则全微分dz = . 【解析】2222222222arctan(2),,2arctan(2)1(2)1414z z x x x y x dz x y dx dy x y y y y ∂∂====+∂∂+++ 【考点】全微分【答案】2222arctan(2)14x dz x y dx dy y=++ 三、解答题11.求极限2211lim 322x x x x →⎛⎫- ⎪-+-⎝⎭【解析】22222111(1)21lim lim lim lim 1322(1)(2)(1)(2)1x x x x x x x x x x x x x x →→→→---⎛⎫-====- ⎪-+------⎝⎭ 12.求极限2030sin lim x x t dt x →⎰【解析】2220322000sin sin 1lim lim lim 333x x x x t dt x x x x x →→→===⎰ 13.已知函数2,0()1,0,0x x b x f x x ae b x ⎧->⎪==⎨⎪+<⎩在x =0处连续，求实数a ，b 的值【解析】在x =0处连续，则00lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→=== 20lim 11x x b b b +→-=-=⇒=-0lim 112x x ae b a b a a -→+=+=-=⇒= 14.求不定积分1ln x dx x +⎰【解析】21ln 1ln 1ln ln ln ln (ln )2x x dx dx dx x xd x x x C x x x +=+=+=++⎰⎰⎰⎰15.求定积分20π(1)cos x xdx -⎰.【解析】20(1)cos x xdx π-⎰2200cos cos x xdx xdx ππ=-⎰⎰2222200000sin sin sin sin 1cos 1222xd x x x x xdx x πππππππ=-=--=+-=-⎰⎰16.求微分方程1x y y e '+=+的通解.【解析】设()()1,1x p x q x e ==+则()111dx dx x y e C e e dx -⎡⎤⎰⎰=++⎢⎥⎣⎦⎰ ()1x x x e C e e dx -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰ ()1x x x e C e de -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰ 212x x x e C e e -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 112x x Ce e -++ 17.已知函数sin y z x x=，求2z x y ∂∂∂. 【解析】sin cos z y y y x x x x∂=-∂22211sin cos cos cos sin sin z y y y y y y y y y x y y x x x x x x x x x x x∂∂⎛⎫=-=-+= ⎪∂∂∂⎝⎭ 18.计算二重积分D xydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线y=x ，y =5x 与y=-x + 6所围成的闭区域. 【解析】153601x x D x x xydxdy dx xydy dx xydy -+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13320112186x dx x x dx =+-⎰⎰ ()314230139232023x x x =+-=+= 19.假设某产品的市场需求量Q （吨）与销售价格P （万元）的关系为Q （P ）=45-3P ，其总成本函数为C （Q ）=20+3Q ，P 为何值时利润最大，最大利润为多少？【解析】设利润为2()(453)[203(453)]354155f P QP C P P P P P =-=--+-=-+-()65409f P P P '=-+=⇒=P <9，f （P ）单调递增；P >9，f （P ）单调递减故P =9时利润最大，f （9）=88（万元）20.设函数()f x 在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，且f （1）=4f （2），证明：存在(1,2)ξ∈，使得2()()0f f ξξξ'+=.【解析】由结论处2()()0f f ξξξ'+=提示可设()()2F x x f x =，则()F x 在[1，2]上连续，在（1，2）内可导且F （1）=f （1），F （2）=4f （2）=F （1），则由罗尔定理，至少存在一点(1,2)ξ∈，使得2()2()()0F f f ξξξξξ''=+=，则2()()0f f ξξξ'+=。
高等数学上复旦大学出版习题1答案.pdf
x1
=
sin
x2
,即 A 中不同的元素
x1,
x2
有相同的
像,∴f 不是单射.
综上所述, f 为满射,但不是单射.
(3)∵∀x1, x2 ∈ A , 且 x1 ≠ x2 ,有 ex1 ≠ ex2 ,即 A 中不同的元素有不同的像,∴f 是单射.
又∵ 0 ∈ B,∀x ∈ A, ex ≠ 0 ,即 B 中的元素 0 没有原像,∴f 不是满射.
2. 设 X = {1, 2,3, 4,5, 6}, A = {1, 2,3}, B = {2, 4, 6},C = {1,3,5} ,求 A∪ B ∪ C, A ∩ B ∩C , CXA，CXA∪CXB,
CXA∩CXB.
解: A∪ B ∪ C = {1, 2,3}∪{2, 4, 6}∪{1,3,5} = X
⎨ ⎩
x
≠
0
所以函数的定义域是 (−∞, 0) ∪ (0, 4].
(2)要使函数有意义,必须
所以函数的定义域是[-3,0) ∪(0,1) . (3)要使函数有意义,必须
⎧ x+3≥0
⎧x ≥ −3
⎪⎨lg(1− x) ≠ 0
即
⎪ ⎨
x
≠
0
⎪⎩ 1− x > 0
⎪⎩ x < 1
x2 −1≠ 0 即 x ≠ ±1
(2)不正确. 例如: A={1,2},B={1},C={1,3}有 A∩B=A∩C={1},但 B≠C.
4. 判定下列映射哪些是满射,哪些是单射,哪些是一一映射?
(1) A=(-∞,+∞),B=(-∞,+∞), f : x ∈ A |→ y = x3 ∈ B ;
(2) A=(-∞,+∞),B=[-1,1], f : x ∈ A |→ y = sin x ∈ B ;