02-7-导数运算法则—积法则和商法则
求导基本法则和公式
求导基本法则和公式导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在其中一点的变化率。
求导是求函数的导数的过程，求导的基本法则和公式有很多，下面详细介绍一些常用的基本法则和公式。
1. 常数法则：对于任意常数c，其导数为0。
即 d(c)/dx = 0。
2. 幂函数法则：对于任意实数n，以及常数a大于0，其导数公式为d(ax^n)/dx = nax^(n-1)。
3. 和差法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为两个函数的导数的和或差。
即d(f(x) ± g(x))/dx = f'(x) ± g'(x)。
4. 积法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再加上第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积。
即 d(f(x)g(x))/dx = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
5. 商法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再减去第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积，然后除以第二个函数在x点的平方。
即 d(f(x)/g(x))/dx = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^26.反函数法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
7. 求导乘积法：对于一组函数的乘积f(x) = f1(x)f2(x)...fn(x)，其导数可以表示为 f'(x) = f1'(x)f2(x)...fn(x) +f1(x)f2'(x)...fn(x) + ... + f1(x)f2(x)...fn'(x)。
8.反函数求导法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
导数的基本公式与运算法则
y y 3 3 3 3 3 3 ( x ( x 2 2 ) ) ， ， 即 3 即 3 x x 4 4 y y 8 8 3 3 0 0 。 。 2 2 4 4
六、对数求导法
1
2
(x1)3x1
y 观 察 函 数
,
yxs方i法xn : .
(x4)2ex
3
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化
因 f ( x ) ( x ) ( x a ) ( x )
故 f(a)(a)
正确解法:
f(a)lim f(x)f(a)lim(xa)(x)
x a xa xa xa
lim(x) (a) xa
八、小结
[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) ; 注[意u(: x)] u(x).
dx dudx
例6 求函 yl数 n six n的导 . 数
解 y ln u ,u six .n
dy dy du 1 cos x cos x coxt
dx du dx u
sin x
注 1.链式法则——“由外向里，逐层求导”
2.注意中间变量
推广 复 合 函 数 y f{ [( x ) ] } 的 导 数
五、隐函数的导数
即 y f( x ) 形 式 的 函 数 称 为 显 函 数 .
显函方 数程 ： x y 3 1 0 能 确 定 一 个 函 数 y f( x ) 3 1 x，
形如 y sin x ，y ln x的函数。 这种由方程确定的函数称为隐函数。 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。
a b
a x
b x
七、由参数方程所确定的函数的导数
高中数学导数的四则运算法则
x02 3x0
2
又∵ y’=3x2－6x＋2，
∴ k=3x02－6x0＋2， ∴ x02－3x0＋2=3x02－6x0＋2,
∴ 2x02－3x0=0．
∵ x0≠0, ∴ x0=
3 2
k=3x02－6x0＋2=－
1 4
，
综上所述，k=2或k=－ 1
4
[ f (x x) f (x)] [g(x x) g(x)] f g
y f g x x x
lim
x0
y x
lim
x0
f x
g x
lim
x0
f x
lim
x0
g x
即 y ' ( f g) ' f ' g '
同理可证 y ' ( f g) ' f ' g '
这个法则可以推广到任意有限个函数，
1.2.3 导数的四则运算法则
一．函数和（或差）的求导法则
设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))’= f ’(x)±g’(x).
即两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差).
即 (u v)' u'v'
证明：令y=f(x)+g(x)，则
y f (x x) g(x x) [ f (x) g(x)]
x
x
x
因为v(x)在点x处可导, 所以它在点x处连续, 于是当Δx→0时, v(x+Δx)→ v(x).从而:
y
u( x x) u( x)
lim lim
v( x x)
x0 x x0
x
u( x) lim v( x x) v( x) u( x)v( x) u( x)v( x);
导数的四则运算法则
法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
题型二 由导数值求参数 [学透用活]
[典例 2] 设 f(x)＝a·ex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋bx，
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16. 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋xx00－16＝3x20＋1，解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
应 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 用 及涉及切线问题的综合应用
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方 方 程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再 法 根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至
关重要的作用
[对点练清]
1．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x；(2)y＝lnx2x； (3)y＝exx；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·1x＝2x＋ln x＋1.
()
3．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为
导数的乘法与除法法则
导数的乘法与除法法则导数是微积分中的重要概念之一，它表示函数在其中一点的变化率。
在微积分中，导数的乘法与除法法则是最基本的求导规则之一、它们帮助我们在求解复杂函数的导数时，通过简单的运算规则得出结果。
接下来，我将详细解释导数的乘法与除法法则，并举例说明它们的应用。
首先，我们来看导数的乘法法则。
如果我们有两个函数f(x)和g(x)，它们在同一点x处都可导，那么它们的乘积的导数就可以用以下的公式表示：(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)简而言之，这个公式告诉我们，两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。
举个例子来说明：假设我们要求函数f(x) = x^2和g(x) = sin(x)的乘积在x = π处的导数。
首先，我们求出f'(x) = 2x和g'(x) =cos(x)，然后将这些值代入公式：(fg)'(π) = f'(π)g(π) + f(π)g'(π)= 2πsin(π) + (π^2)cos(π)=0+(-π^2)=-π^2因此，函数f(x) = x^2和g(x) = sin(x)的乘积在x = π处的导数为-π^2接下来，我们来看导数的除法法则。
如果我们有两个函数f(x)和g(x)，且g(x)不等于0，那么它们的比值的导数可以用以下的公式表示：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2简而言之，这个公式告诉我们，两个函数的比值的导数等于分子的导数乘以分母，再减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。
举个例子来说明：假设我们要求函数f(x)=x^3和g(x)=x的比值的导数。
(f/g)'(x)=(3x^2*x-x^3*1)/(x^2)^2=(3x^3-x^3)/x^4=2x^3/x^4=2/x因此，函数f(x)=x^3和g(x)=x的比值的导数为2/x。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则一、导数公式1.基本导数公式：(1) 常数函数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。
(2) 幂函数的导数为其指数与常数的乘积，即d/dx(x^n) = n*x^(n-1)，其中n为实数。
(3) 自然对数函数的导数为1/x，即d/dx(ln(x)) = 1/x。
(4) 正弦函数的导数为余弦函数，即d/dx(sin(x)) = cos(x)。
(5) 余弦函数的导数为负的正弦函数，即d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
2.基本初等函数的导数公式：(1) 常数乘以函数的导数等于函数的导数乘以这个常数，即d/dx(c*f(x)) = c*f'(x)，其中f(x)为可导函数，c为常数。
(2) 函数相加（减）的导数等于函数导数的相加（减），即d/dx(f(x)±g(x)) = f'(x)±g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。
(3) 乘积法则：两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即d/dx(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
(4) 商法则：函数的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/[g(x)]^23.复合函数的导数：(1) 基本链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则y=f(g(x))也是可导函数，且它的导数等于f'(u)*g'(x)，即dy/dx = dy/du *du/dx = f'(u) * g'(x)。
1.反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上具有连续的导数f'(x)，且在区间I上f'(x)≠0，则它的反函数x=g(y)在对应的区间J上也有连续的导数，且g'(y)=1/f'(x)。
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则在数学的广袤天地中，导数无疑是一颗璀璨的明珠，它在众多领域都发挥着至关重要的作用。
无论是研究函数的性质、解决优化问题，还是探索物理世界中的变化规律，导数都提供了强大的工具。
接下来，让我们一同深入了解导数的基本公式及运算法则。
首先，我们来认识一些常见的基本导数公式。
对于常数函数＄C$ ，其导数为＄0$ ，即＄（C)＇＝ 0$ 。
这很好理解，因为常数函数的值是固定不变的，没有任何变化率。
幂函数＄x^n$ （＄n$ 为实数）的导数为＄nx^｛n 1}＄。
例如，＄x^2$ 的导数是＄2x$ ，＄x^3$ 的导数是＄3x^2$ 。
指数函数＄e^x$ 的导数还是它本身，即＄（e^x)＇＝ e^x$ 。
这是指数函数的一个非常独特且重要的性质。
对数函数＄＼ln x$ 的导数为＄＼frac{1}｛x}＄。
正弦函数＄＼sin x$ 的导数是＄＼cos x$ ，余弦函数＄＼cos x$ 的导数是＄＼sin x$ 。
了解了这些基本公式后，我们再来看看导数的运算法则。
加法法则：若＄f(x)＄和＄g(x)＄的导数都存在，那么＄（f(x) ＋g(x)）＇＝ f'（x) ＋ g'（x)＄。
也就是说，两个函数之和的导数等于它们各自导数的和。
减法法则与加法法则类似，＄（f(x) g(x)）＇＝ f'（x) g'（x)＄。
乘法法则：＄（f(x)g(x)）＇＝ f'（x)g(x) ＋ f(x)g'（x)＄。
这个法则相对复杂一些，但通过一些具体的例子就能很好地理解。
比如，若＄f(x) ＝ x^2$ ，＄g(x) ＝ e^x$ ，那么＄f'（x) ＝ 2x$ ，＄g'（x) ＝e^x$ ，＄（x^2e^x)＇＝ 2xe^x ＋ x^2e^x$ 。
除法法则：＄＼left(＼frac{f(x)｝｛g(x)｝＼right)＇＝＼frac{f'（x)g(x) f(x)g'（x)｝｛（g(x)）＾2}＄，其中＄g(x) ＼neq 0$ 。
02-7-导数运算法则—积法则和商法则
体现了数学的严密性
计算（x2 x5） (x2 ) x5 x2 (x5 ) 2x x5 x2 5x4 7x6 幂法则（x7） 7x6
积法则作用强大，它可以对更加复杂的函数形 式求导。当学过三角函数、指数函数和对数函 数的导数后，我们会更加深刻地认识到这一点
( x2 )2
幂法则（x3） 3x2
5x4 x2 x5 2x
x4
5x6
2x6 x4
3x2
计算
2 x3
(2)
x3 2 ( x3 )2
( x3 )
0 x3 23x2 x6
6 x4
幂法则 (2x3) 2 (3x4 ) 6x4
9
5 商法则
f (x)
g(x)
f (x) g(x) f (x) g(x)
y 1.6 137 (x 2) 75
13
2.6导数的运算法则之三 ——积法则和商法则
CHAPTER
2
2.1 函数的变化率 2.2 导数的概念 2.3 导函数 2.4 对导数的讨论 2.5 幂法则和数乘 2.6 和差法则 2.7 积法则和商法则
1
3 和法则 [ f (x) g(x)] f (x) g(x) 差法则 [ f (x) g(x)] f (x) g(x)
g ( x)2
引入商法则，使我们有办法对有理函数进行求导运算
an xn an1xn1 bn xn bn1xn1
a0 多项式函数 b0 多项式函数
10
练习
有理函数
f
(x)
11x 2x3
2 1
，求其导函数
f
(x)
(11x
2) (2x3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7
5 商法则
f (x)
g(x)
f (x) g(x) f (x) g(x)
g ( x)2
两个可导函数之商的导数等于分子的导数乘分母，
减去上分母的导数乘分子，然后除以分母的平方
特别关注
分子 分母
分子分母 分子分母
分母2
8
练习
计算
x5 x2
(x5) x2 x5 (x2 )
6
两个函数之积的导数 [ f (x) g(x)] f (x) g(x)
不等于其导数的积
两个函数之商的导数 也不等于其导数的商
f (x)
g
(
x)
f (x) g ( x)
(x5 ) (x2 )
5x4 2x
5x4 2x
5 x3 2
x5 x2
( x3 )
3x2
x5 x2
( x5 ) (x2 )
5
练习
计算（x x x） (x) x x x (x) x x x (x) 1 x x x1x x x1 3x2
幂法则（x3） 3x2
计算（x x2 x3） (x) x2 x3 x (x2 ) x3 x x2 (x3) 1 x2 x3 x 2x x3 x x2 3x2 6x5 幂法则（x6） 6x5
y 1.6 137 (x 2) 75
13
11 (2x3
1) (11x 2) 6x2 (2x3 1)2
44x3 12x2 (2x3 1)2
11
11
函数
f
(
x)
11x 2x3
2 1
导函数
f (x)
44x3 12x2 11 (2x3 1)2
求曲线上x= 2位置处的切线方程
(2, 1.6)
1 求出x= 2对应的函数值
f
(2)
11 2 2(2)3
4 乘积法则
[ f (x) g(x)] f (x) g(x) f (x) g(x)
两个可导函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以 第二个函数，加上第二个函数的导数乘以第一个函数
因为是莱布尼兹最先推导出乘积法则， 所以这个法则也称为莱布尼兹法则
3
练习
计算（x x） (x) x x (x)1 x x 1 2x
幂法则与积法则求导的结果是一致的 （x2） 2x
体现了数学的严密性
计算（x2 x5） (x2 ) x5 x2 (x5 ) 2x x5 x2 5x4 7x6 幂法则（x7） 7x6
积法则作用强大，它可以对更加复杂的函数形 式求导。当学过三角函数、指数函数和对数函 数的导数后，我们会更加深刻地认识到这一点
2.6导数的运算法则之三 ——积法则和商法则
CHAPTER
2
2.1 函数的变化率 2.2 导数的概念 2.3 导函数 2.4 对导数的讨论 2.5 幂法则和数乘 2.6 和差法则 2.7 积法则和商法则
1
3 和法则 [ f (x) g(x)] f (x) g(x) 差法则 [ f (x) g(x)] f (x) g(x)
两个函数之和或差的导数就等于这两个函数导数的和或差 两个函数之积的导数会不会是这两个函数导数的积呢？
[ f (x) g(x)] f (x) (x)
看上去是顺理成章的，但可惜不对——
（x x） （x2） 2x
（x）（ x） 11 1
（x x） （x）（ x）
2
连莱布尼兹都曾把积的导数当成导数的积， 不过10天后他就给出了正确的结论——
2 1
24 15
8 5
2 求出x= 2对应的导数值
f
(2)
44 23 12 22 (2 23 1)2
11
411 225
137 75
12
函数
f
(
x)
11x 2x3
2 1
导函数
f (x)
44x3 12x2 11 (2x3 1)2
(2, 1.6)
f (2) 1.6 f (2) 137 75
该处的切线方程为
g ( x)2
引入商法则，使我们有办法对有理函数进行求导运算
an xn an1xn1 bn xn bn1xn1
a0 多项式函数 b0 多项式函数
10
练习
有理函数
f
(x)
11x 2x3
2 1
，求其导函数
f
(x)
(11x
2) (2x3
1) (11x (2x3 1)2
2) (2x3
1)
4
4 乘积法则
积法则可以推广到三个或者三个以上函数积的求导
[ f (x) g(x) h(x)] f (x) g(x) h(x) f (x) g(x) h(x) f (x) g(x) h(x)
三个或者三个以上函数积的导数等于分别用每个函 数的导数乘以其他函数，再把所有乘积项相加求和
( x2 )2
幂法则（x3） 3x2
5x4 x2 x5 2x
x4
5x6
2x6 x4
3x2
计算
2 x3
(2)
x3 2 ( x3 )2
( x3 )
0 x3 23x2 x6
6 x4
幂法则 (2x3) 2 (3x4 ) 6x4
9
5 商法则
f (x)
g(x)
f (x) g(x) f (x) g(x)