16.2.1二次根式的乘除
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人教版八年级数学下册_16.2二次根式的乘除
特别提醒 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以
整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两 个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再 相除.
感悟新知
例 3 如果
a a－8
a a－8
成立，那么( D )
A.a ≥ 8
B.0 ≤ a ≤ 8
C.a ≥ 0
知3－练
D.a>8
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条
(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即化去被开方数中的分母.
感悟新知
知5－讲
特别提醒 判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件： 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因
数(式)的指数都是1. 注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
感悟新知
知5－练
例8 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二
次根式？不是最简二次根式的，请说明理由.
(1)
1 ;(2)
x2＋y2 ;(3)
0.2;
3
(4)
24 x；(5)
2 .
3
解题秘方：紧扣“最简二次根式的定义”进行判断.
感悟新知
知5－练
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母； (3) 不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)； (4)不是最简二次根式，因为被开方数24x 中含有能开得尽 方的因数4，4=22； (2)(5)是最简二次根式.
感悟新知
知3－讲
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单 项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商 的根号外因数(式) ，被开方数(式)之商作为商的被开方 数(式) ，即a b÷c d = (a÷c ) b d ( b ≥ 0，d ＞ 0，c ≠ 0 ).
人教版八年级数学下册课件16.2 第2课时 二次根式的除法
x 0 ;
(5)
0.09 169 . 0.64 196
解： (3) 2 ＝
7 9
25 25 5 ＝ ＝ . 9 3 9
(4)
81 25 x 2
9
2 2
5x
=
ห้องสมุดไป่ตู้9 . 5x
先商的算术平方根的性 质，再运用积的平方根 性质
0.09 169 (5) 0.64 196
0.32 132 0.82 142
练一练 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进 行化简．
1 5 ; (3) ; 3 2 解：只有(3)是最简二次根式； (1) 45; (2) (4) 0.5; 4 (5) 1 . 5
(1) 45 3 5; 1 1 1 3 3 (2) ; 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 (4) 0.5 ; 2 2 2 2 2 4 9 9 9 5 3 5 (5) 1 . 5 5 5 5 5 5
0.3 13 39 . 0.8 14 112
练一练 1.能使等式 A.x≠2
x x2 x x2
成立的x的取值范围是（ C ） D.x≥2
B.x≥0
C.x＞2
2.化简：
5 ； 64 5 解： (1) 64 (1)
7 (2) 1 25
(2) 1
5 64 5 . 8
7 ; 25
（ 3 ）
归纳
8 2 2 2 2a 2a a
2 a 2 a . a a a
a 可使分母不含根号.
分母形如 n a 的式子，分子、分母同乘以
归纳总结
满足如下两个特点： （1）被开方数不含分母；
人教版八年级下册16.2《二次根式的乘除》教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a \geq 0$，$b \geq 0$）
b.掌握二次根式的除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a \geq 0$，$b > 0$）
五、教学反思
在今天的教学中，我们探讨了二次根式的乘除运算。通过这节课的学习，我发现学生们在理解乘除法则和应用这些法则解决实际问题时，普遍存在一些挑战。首先，学生们在从理论到实际应用的转换上存在一定的难度。他们能够理解乘法法则和除法法则的概念，但在将法则应用到具体题目中时，往往不知道如何下手。
例如，在计算$\sqrt{12} \times \sqrt{18}$时，部分学生未能首先将根式化简，而是直接相乘，导致计算错误。这让我意识到，在讲解乘除法则时，需要更加强调化简的步骤，让学生形成自动化的解题流程。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式乘除的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次根式乘除的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
d.了解二次根式乘除运算在实际问题中的应用。
教学内容涵盖以下例题与练习：
1.计算下列二次根式的乘积：
$\sqrt{3} \times \sqrt{5}$，$2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2}$，$5\sqrt{2} \times \sqrt{18}$
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a \geq 0$，$b \geq 0$）
b.掌握二次根式的除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a \geq 0$，$b > 0$）
五、教学反思
在今天的教学中，我们探讨了二次根式的乘除运算。通过这节课的学习，我发现学生们在理解乘除法则和应用这些法则解决实际问题时，普遍存在一些挑战。首先，学生们在从理论到实际应用的转换上存在一定的难度。他们能够理解乘法法则和除法法则的概念，但在将法则应用到具体题目中时，往往不知道如何下手。
例如，在计算$\sqrt{12} \times \sqrt{18}$时，部分学生未能首先将根式化简，而是直接相乘，导致计算错误。这让我意识到，在讲解乘除法则时，需要更加强调化简的步骤，让学生形成自动化的解题流程。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式乘除的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次根式乘除的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
d.了解二次根式乘除运算在实际问题中的应用。
教学内容涵盖以下例题与练习：
1.计算下列二次根式的乘积：
$\sqrt{3} \times \sqrt{5}$，$2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2}$，$5\sqrt{2} \times \sqrt{18}$
人教版数学八年级下册16.2第1课时《二次根式的乘法》说课稿
人教版数学八年级下册16.2第1课时《二次根式的乘法》说课稿一. 教材分析《二次根式的乘法》是人教版数学八年级下册第16.2节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的加减法运算的基础上进行教授的。
二次根式的乘法是数学中基本的运算之一，它在数学问题的解决中有着广泛的应用。
通过学习这部分内容，可以使学生进一步理解和掌握二次根式的性质，提高他们的数学运算能力。
二. 学情分析在八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次根式的性质和加减法运算已经有了一定的了解。
但是，学生在进行二次根式的乘法运算时，可能会对如何正确处理根号下的乘法运算感到困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生正确理解二次根式的乘法运算规则，并通过大量的练习来巩固他们的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握二次根式的乘法运算规则，能够正确进行二次根式的乘法运算。
2.过程与方法目标：通过教师的引导和学生的自主探究，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极的学习态度和良好的学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生理解和掌握二次根式的乘法运算规则。
2.教学难点：如何引导学生正确理解二次根式的乘法运算规则，并能够灵活运用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法和探究法相结合的教学方法。
在讲解二次根式的乘法运算规则时，我将通过生动的例子和清晰的解释，帮助学生理解和掌握。
同时，我将引导学生进行自主探究，通过解决实际问题，来加深他们对二次根式乘法运算的理解。
此外，我还将运用多媒体教学手段，如PPT等，来辅助教学，使教学内容更加生动和直观。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对二次根式乘法运算的思考，激发他们的学习兴趣。
2.讲解：讲解二次根式的乘法运算规则，并通过大量的例子来解释和巩固。
3.练习：让学生进行二次根式乘法运算的练习，及时发现和纠正他们的错误。
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
教材新知精讲
(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
教材新知精讲
综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
教材新知精讲
知识点一
知识点二
人教版八年级数学下册课件-16.2二次根式的乘除
1 xy. 3
两个非负数算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根。
两个非负数算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根。
能根据二次根式的乘法公式进行乘法计算。
八年级-下册-第十六单元 第二节第一课时
(2)3 52 10;
小结
计算公式：
a b a b (a≥0,b≥0)
化简公式：
ab a b（a≥0，b≥0）
两个因数的算术平方根的积等于它们积的算术平方根
(1) 14 7; 利用它可以进行二次根式的化简。
二次根式的两个基本性质:
下面的左右式子有什么关系？
能逆用二次根式的乘法公式进行化简。 八年级-下册-第十六单元 第二节第一课时
(3) 3x 下面的左右式子有什么关系？
能逆用二次根式的乘法公式进行化简。 二次根式的两个基本性质: 两个因数的算术平方根的积等于它们积的算术平方根
解 ： 16 81
解 ： 4a2b3＝ 4a2b3
＝ 16 81
＝2a b2 b
＝ 49 ＝ 36；
小结：
＝2a b2 b
2ab b.
化简二次根式，就是把被开方数中的平方数从根号里开出来！
课堂练习
难点巩固
1.计算 1 2 5
10
32 6 1 2 3
2
2.化简 1 49121
3 4y
3 25( 2 )316 6 56 253=， 02165 3256 90 030
3 25 36 = 25 36
知识讲解
难点突破
于是我们得到：
a • b ab
(a≥0,b≥0)
两个因数的算术平方根的积等于它们积的算术平方根
知识讲解
下面的左右式子有什么关系？
16.2二次根式的乘除法(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
本节课的教学重点主要包括以下内容：
a.掌握二次根式乘法的运算法则，特别是\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)的形式，以及如何将其他形式的二次根式乘法转化为这一形式；
b.理解并应用二次根式除法的运算法则，特别是\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)和\( \frac{\sqrt{a}}{b} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^2}} \)的形式，以及如何处理分母中含有二次根式的情况；
（3）\( \sqrt{a^2} \times \sqrt{b^2} = |a||b| \)（a、b为任意实数）
2.掌握二次根式除法的运算法则，能够正确计算以下形式的除法：
（1）\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)（a≥0，b＞0）
2.培养学生的逻辑思维能力，使其能够理解并运用二次根式乘除法的性质，解决实际问题；
3.培养学生的数学建模能力，通过解决实际情境中的问题，让学生体会数学知识在实际生活中的应用；
4.培养学生的数学抽象能力，让学生从具体的二次根式乘除运算中抽象出一般性规律，形成数学认知结构；
5.培养学生的合作交流意识，鼓励学生在小组讨论和交流中，共同探索二次根式乘除法的运算规律，提高解决问题的能力。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式乘除法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示二次根式乘除法的基本原理，如使用尺子和直角三角形模型来计算对角线长度。
1.教学重点
本节课的教学重点主要包括以下内容：
a.掌握二次根式乘法的运算法则，特别是\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)的形式，以及如何将其他形式的二次根式乘法转化为这一形式；
b.理解并应用二次根式除法的运算法则，特别是\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)和\( \frac{\sqrt{a}}{b} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^2}} \)的形式，以及如何处理分母中含有二次根式的情况；
（3）\( \sqrt{a^2} \times \sqrt{b^2} = |a||b| \)（a、b为任意实数）
2.掌握二次根式除法的运算法则，能够正确计算以下形式的除法：
（1）\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)（a≥0，b＞0）
2.培养学生的逻辑思维能力，使其能够理解并运用二次根式乘除法的性质，解决实际问题；
3.培养学生的数学建模能力，通过解决实际情境中的问题，让学生体会数学知识在实际生活中的应用；
4.培养学生的数学抽象能力，让学生从具体的二次根式乘除运算中抽象出一般性规律，形成数学认知结构；
5.培养学生的合作交流意识，鼓励学生在小组讨论和交流中，共同探索二次根式乘除法的运算规律，提高解决问题的能力。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式乘除法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示二次根式乘除法的基本原理，如使用尺子和直角三角形模型来计算对角线长度。
16.2.1二次根式的乘除课件
3
(3) 9 1 ( 4) 9 3 1
2
4
24
你发现了什么？用你发现的规律填空：
(1) 2 3 ６ =
(2) 5 7 35 =
探究
(4)(9) 4 9成立吗？
不成立！
4、 9没有意义。
一般情况下，a≥0，b≥0时， a 与b ab
有什么关系？
一般地，对于二次根式的乘法，有：
例题讲解
化简: (1)
3 (2) 100
25 y 9x2
解: (1) 3 3 3 100 100 10
(2)
25 y 9x2
25 y
9x2
52 y 5 y
32 x2 3x
计算：(1) 2 ( 2) 2 3 ( 3) 27
3
8
3x
解（1）解法一：
2 2 23 6 6 6 3 3 33 32 32 3 解法二：
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
讨论
计算：
有什么发现？
(1) 4 2 ( 2) 4 2
93
93
(3) 16 4 ( 3) 16 4
25 5
25 5
根据你发现的规律填空：
(1)
2 3
=
2 3
(2)
5 7
= 75
一般地，对二次根式的除法，有：
（1） 8 （ 2 ）＝ 4
（ 5 ）＝（21）02 5
（3） a－1 •（ a－1）＝ a－1
（34）3
2＝
6
2.化简下列二次根式，使得分母中不含有根号：
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
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2 1 3 18
2 18 3
12 2 3
探究
把
a a 反过来，就可以得到: b b
a b a b
（a≥0，b＞0）
利用它可以对二次根式进行化简.
3 25 y ( 2) 化简: (1) 2 100 9x 3 3 3 解: (1) 100 100 10
25 y 5 y 5 y 25 y ( 2) 2 2 2 2 9x 3x 9x 3 x
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。
练习
计算：
(1)5 12 4 27
(2) 6 15 10
解： (1)5 12 4 27
(5 4) 12 27
20 4 3 3 9
20 ( 2 3 3)
20 18 360
2
解： (2) 6 15 10
3
练习2
一个直角三角形的两条直角边分别长ห้องสมุดไป่ตู้ 2cm 与 10cm ， 求这个直角三角形的面积。
1 2 S 2 2 10 2 （ 5 cm ） 2 练习3 （综合练习）
1、 x 1 x 1 x 2 1 的成立的条件是（
2 2、如果： x 2 6 y z 6z 9 0
复习回顾
二次根式
2
被开方数a≥0；
根指数为2.
（a≥0） ( a) a （a≥0） a a
2
复习回顾
当x为怎样的实数时，下列各式有意义？ x≥3 ∴3≤x≤6 1 x 3 6 x x≤6 x≥1 ∴x=1 2 1 x x 1 x≤1
3
x 2
2
4
x 1
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x 9 , 5 x y , 27abc,
2 3
×
×
√
×
×
ab 3 xy 2 2 2 x y, , , 5(a b ) 2 5
2
√
× √
√
3 2 1 计算： 30 2 2 2 2 3 2
3 8 5 解 : 原式 30 2 2 3 2
在二次根式的运算中，一般要求 最后结果的分母中不含根式。
把分母中的根号化去，就叫做 分母有理化。
最简二次根式
1、被开方数不含分母； 2、被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根 式，叫做最简二次根式。 二次根式的运算中，最后的结果中的二 次根式一般要写成最简二次根式的形式。
3 4
4
25 x y 0, y 0, x 0.
3
解：由二次根式的意义可知：
5y x x
2
5 xy
2
x
数学作业：
1、P7练习第1、2两题； 2、同步练习中相关的部分。
讨论
计算：
有什么发现？
4 2 4 2 (1) ( 2) 9 3 9 3 16 4 16 4 (3) ( 3) 25 5 25 5
二次根式乘法运算规律公式
a b a b（a≥0,b≥0)
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方 根的积。
注意：
a b
×
a
b
问题1： (4) (9) × 4 9
5 3 × 5 3
2 2 2 2
？
9 16 ？ 问题2： 9 16×
化简：
(2) x x x x x x
3 3 4
2
b b 2 (3)2 ab 3 (2 3) ab 6 b 6b a a
1 1 (4) 27 27 9 3 3 3
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
m a n b mn ab （a≥0，b≥0）
根据你发现的规律填空：
2 2 (1) = 3 3
5 5 (2) = 7 7
一般地，对二次根式的除法，有：
a a （a≥0,b＞0） b b
例题讲解
计算： (1) 解: (1)
24 2 1 ( 2) 3 18 3 24 24 82 2 3 3
2 1 (2) 3 18
(1). 4a 2b 3 (2). x 4 x 2 y 2
解：原式 2 2 a 2 b 2 b 2 2 a 2 b 2 b 2ab b
解：原式 x 2 ( x 2 y 2 ) x2 x2 y2 x x2 y2
(2) 3x 3
练习：（模仿有助于创新）
2
例题讲解
解（1） 解法一：
2 2 3 27 (1) (2) (3) 计算： 3 8 3x
2 2 23 6 6 6 2 2 3 3 3 3 3 3 3 解法二：
2 2 3 6 6 2 3 3 3 3 ( 3)
2 3 2 3 3 3 2 6 (2) 2 8 2 2 2 2 2 27 27 3 x 9 x 3 x (3) 3x x 3x 3x 3x
你发现了什么？用你发现的规律填空：
(1) 2 3 ６ = ( 2) 5 7 35 =
探究
(4) (9) 4 9成立吗？
不成立！
4、 9没有意义。
一般情况下，a≥0，b≥0时，
有什么关系？
a 与 b
ab
一般地，对于二次根式的乘法，有：
a b ab（a≥0，b≥0）
3
化简二次根式，就要把被开方数 中的平方数（或平方式）从根号里 开出来。
解: (1) 12
43 2 3 2 3
2
(2) 2715 9 3 3 5
9 5 9 5
2
(3) 4a 2 a a
3 2 2
2a a
化简 25 x y
3
3 4 4
4
25 x y 25 y x
巩固练习
1、化简：
(1) 24 ( 2) 9 125 ( 3) 3 4
2
2
( 4) 29 21 ( 5 ) 4a b c
2 2 2 3
4 a b (6) 4 ( 7) 2 9 8c
2
2、计算：
14 3 1 (1) 7 3 2 15 2 2
b (2) ab (3 ) (3 2a ) 2a
(1). 4 y
2
2 y
2
x 3x
(3). 8m n
2
2 3 ( 4 ) 16 ab c 2mn
4bc ac
例题讲解
计算：
(1) 3 12 ( 2) x
x
3
b 1 (3)2 ab 3 ( 4) 27 a 3
解：(1) 3 12 312 36 6
10 2.8
2
2
（ 4）
a b a b
4 2
2 4
数学作业：
1、P12习题16.2第1、2两题； 2、同步练习中相关的都可以做啦
）
x 1 ＞0且x 1＞ 0，即：x＞1
求
x y z 的值：
x 2，y 6，z 3即：x y z 36 6
1. 化简： （ 1） 49 121
（ 3）
（ 2）
（ 4）
225
3x
3
4y
2. 计算：
（ 1）
(42) (12)
（ 2）
26m m
2
2
（ 3）
3 5 ( 2)( 10 8 ) 2 2
二次根 式的混合 运算，从 左向右依 次计算。
3 1 2 34 2 3 2 ( )( 10 8 ) 4 2 2 5
梳理
a b ab
a a b b 分母有理化 最简二次根式
ab a b（a≥0，b≥0）
a b a （a≥0，b＞0） b
x为任何实数.
x为任何实数.
1、一个长方形的长为 6cm ，宽为 3cm ， 这个长方形的面积是多少？
解 : 长方形的面积为 6 3
这个结果能否化简？如何化简？
讨论
计算: (1) 4 25 10 ( 2) 4 25 10
1 3 1 3 (3) 9 ( 4) 9 4 2 4 2
6 1510
2 3 3 5 5 2
( 2 3 5)
2
2
30 30
探究
把 得到:
a b ab
反过来，就可以
（a≥0，b≥0） ab a b
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简:
(1) 12 ( 2) 27 15 (3) 4a