16.2二次根式的乘法[杨晓洁]【市一等奖】优质课
16.2二次根式的乘法二次根式的乘法(教案)
2.教学难点
-难点内容：二次根式乘法法则的应用，特别是在解决具体问题时，如何将乘积合并为一个二次根式。
-举例解释：难点在于当根号下的数不是完全平方数时，如何将其简化，例如√8×√12 = √(8×12) = √96，此时需要进一步简化为最简二次根式，即√96 = √(16×6) = 4√6。
3.培养学生的数学建模能力：学会将实际问题抽象为数学模型，运用所学知识解决具体问题，提高解决实际问题的能力。
4.提升学生的数学应用意识：通过解决实际问题，让学生体会数学知识的实用价值，激发其学习兴趣，增强数学应用意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：二次根式的乘法法则及其应用。
-举例解释：重点讲解如何将两个二次根式相乘，如(√a)×(√b) = √(a×b)，并强调在乘法过程中，根号外的数相乘，根号内的数相乘，最后将结果合并为一个二次根式的步骤。
在总结回顾环节，我强调了二次根式乘法的重要性，并提醒学生们在日常生活中多加观察和思考。同时，我也鼓励他们遇到问题时要敢于提问，我会耐心地为他们解答。
1.加强对难点内容的讲解和练习，特别是含有非完全平方数的二次根式乘法。
2.引入更多有趣的实例，提高学生们的学习兴趣和参与度。
3.关注每个学生的学习情况，鼓励他们提问，并及时解答他们的疑惑。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式乘法在实际数学运算中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
16.2二次根式的乘除教学(教案)
-解释：学生需要掌握如何将复杂的混合运算分解为简单的乘除运算，并合理运用乘除法则。
（4）应用二次根式乘除法则解决实际问题。
-解释：将实际问题转化为数学表达式，并运用所学知识解决，是学生需要突破的难点。
学生小组讨论环节，大家的表现让我印象深刻。他们能够围绕二次根式在实际生活中的应用展开讨论，并提出自己的观点。但在讨论过程中，我也发现有些学生的思考深度不够，容易停留在表面。因此，我打算在以后的课堂中，多设计一些具有启发性的问题，引导学生深入思考。
此外，今天的课堂总结环节，学生们对二次根式乘除的掌握情况总体良好，但仍有个别学生存在疑问。在课后，我会主动询问这些学生的问题，并给予解答，确保他们能够真正理解并掌握这些知识点。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式乘除的基本概念。二次根式乘除是指如何将两个二次根式相乘或相除。它是数学运算的重要组成部分，对于解决实际问题具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次根式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
在教学过程中，教师要针对重点内容进行讲解和强调，通过丰富的例题和练习，帮助学生巩固知识点。对于难点内容，教师应采取逐步引导、小组讨论等方法，帮助学生理解并逐步突破。同时，注重培养学生在实际问题中运用知识的能力，提高学生的数学素养。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《16.2二次根式的乘除》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积、体积等涉及二次根式的乘除的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式乘除的奥秘。
16.2二次根式的乘除法(教案)
1.教学重点
本节课的教学重点主要包括以下内容：
a.掌握二次根式乘法的运算法则，特别是\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)的形式，以及如何将其他形式的二次根式乘法转化为这一形式；
b.理解并应用二次根式除法的运算法则，特别是\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)和\( \frac{\sqrt{a}}{b} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^2}} \)的形式，以及如何处理分母中含有二次根式的情况；
（3）\( \sqrt{a^2} \times \sqrt{b^2} = |a||b| \)（a、b为任意实数）
2.掌握二次根式除法的运算法则，能够正确计算以下形式的除法：
（1）\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)（a≥0，b＞0）
2.培养学生的逻辑思维能力，使其能够理解并运用二次根式乘除法的性质，解决实际问题；
3.培养学生的数学建模能力，通过解决实际情境中的问题，让学生体会数学知识在实际生活中的应用；
4.培养学生的数学抽象能力，让学生从具体的二次根式乘除运算中抽象出一般性规律，形成数学认知结构；
5.培养学生的合作交流意识，鼓励学生在小组讨论和交流中，共同探索二次根式乘除法的运算规律，提高解决问题的能力。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式乘除法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示二次根式乘除法的基本原理，如使用尺子和直角三角形模型来计算对角线长度。
《16.2 二次根式的乘除(第1课时)》教学设计
《16.2 二次根式的乘除（第1课时）》教学设计《16.2 二次根式的乘除（第1课时）》教学设计一、内容和内容解析1.内容二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.2.内容解析二次根式是初中阶段“数与式”内容的最后一章，因此承担着整理“数与式”的内容、方法和基本思想的任务.本节研究二次根式的乘法运算.运算法则是运算的依据，因此教材通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字运算中发现规律，进而归纳得出二次根式的乘法法则.基于以上分析，确定本节课的教学重点：探究二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.二、目标和目标解析1.教学目标(1)经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程;会进行简单的二次根式的乘法运算;(2)会用公式化简二次根式.2.目标解析(1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容;我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.问题1 什么叫二次根式?二次根式有哪些性质?师生活动学生回答。
【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质.问题2 教材第6页“探究”栏目，计算结果如何?有何规律?师生活动学生计算、思考并尝试归纳，引导学生用自己的语言描述乘法法则的内容.【设计意图】学生在自主探究的过程中发现规律，运用类比思想，由特殊到一般地，采用不完全归纳的方法得出二次根式的乘法法则.要求学生用数学语言和文字分别描述法则，以培养学生的符号意识.2.观察比较，理解法则问题3 简单的根式运算.师生活动学生动手操作，教师检验.问题4成立的条件是什么?等式反过来有什么价值?师生活动学生回答，给出正确答案后，教师给出积的算术平方根的性质.【设计意图】让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则的掌握情况.乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积，利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式，培养学生的运算能力.3.例题示范，学会应用例1 化简：(1); (2).师生活动提问：你是怎么理解例(1)的?如果学生回答不完善，再追问：这个问题中，就直接将结果算成可以吗?你认为本题怎样才达到了化简的效果?师生合作回答上述问题.对于根式运算的最后结果，一般被开方数中有开得尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质将其移出根号外.再提问：你能仿照第(1)题的解答，能自己解决(2)吗?【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力，明确二次根式化简的方向.积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简.例2 计算：(1); (2); (3)师生活动学生计算，教师检验.(1)在被开方数相乘的时候，就可以考虑因数或因式分解，由直接可得而不必先写成再分解;(2)二次根式的乘法运算类似于整式的乘法运算，交换律、结合律都是适用的.对于根号外有系数的根式在相乘时，可以将系数先相乘作为积的系数，再对根式进行运算;(3)例(3)的运算是选学内容.让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次根式”的运算.本题先利用积的算术平方根的性质，得到，然后利用二次根式的乘法法则，变成，由于可以判断，因此直接将x移出根号外.【设计意图】引导学生及时总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公式简化运算.让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用.教材中虽然指明，如未特别说明，本章中所有的字母都表示正数，但仍应强调，看到根号就要注意被开方数的符号.可以根据二次根式的概念对字母的符号进行判断，在移出根号时正确处理符号问题.4.巩固概念，学以致用练习：教科书第7页练习第1题. 第10页习题16.2第1题.【设计意图】巩固性练习，同时检验乘法法则的掌握情况.5.归纳小结，反思提高师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：(1)你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗?(2)你能说明乘法法则逆用的意义吗?(3)化简二次根式的基本步骤是怎样?一般对最后结果有何要求?6.布置作业：教科书第7页第2、3题.习题16.2第1，6题.五、目标检测设计1.下列各式中，一定能成立的是( )A.B.C.D.【设计意图】考查二次根式的概念和性质，这是进行二次根式的乘法运算的基础.2.化简______________________________。
16.2 二次根式的乘法 (第1课时)
(3)将平方项应用 a2 a (a 0) 化简
比较左右两边的等式,你有什么发现? 能用字母表示你所发现的规律吗?
4 9 49 16 25 16 25 25 36 25 36
一般地，对二次根式乘法规定为：
a • b ab （a ≥0 ， b≥0）
反之
ab a • b （a ≥0 ， b≥0）
例1 计算：
(1) 3 5
(2) 1 27 3
(3) 3x • 1 xy
3x • 1 xy
x2 y
3
3
x2 • y x y
小试身手
• 1.计算
(1) 2 5
(3)2 6 1 2
(2) 3 12
(4) 288 1 72
解： (1) 2 5 25 10
(2) 3 12 312 36 6
(3)2 6 1 2
(21) 6 1 2
16.2 二次根式的乘除
（第1课时）
温故知新
1.什么叫二次根式？
形 如 a (a 0)的 式 子 叫 做 二 次 根 式 。
2.两个基本性质:
a 2=a (a≥ 0)
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣ =
-a (a＜0)
探索新知
(1) 4 9 __6___, 49 __6___ (2) 16 25 ___2_0__, 16 25 __2_0___ (3) 25 36 ___3_0__, 2536 __3_0___
化简二次根式的步骤： 1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.
2.应用 ab a b
3.将平方项应用
a2 a 化简.
课堂小结
1.本节课学习了算术平方根的积和积的 算术平方根。
16.2二次根式的乘除（第1课时） 教案1
16.2二次根式的乘除（第1课时）教案1备课人学科数学备课时间课时安排一课时课题 16.2二次根式的乘除第一课时教学目标知识与技能理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简过程与方法由具体数据，发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．情感态度与价值观通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣及发散思维能力教学重难点重点：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它们的运用．难点：发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）．关键：要讲清（a<0,b<0）=，如=或==×．教学方法启发引导、尝试研讨、教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1）×=_______，=______；（2）×=_______，=________．（3）×=________，=_______．参考上面的结果，用“>、×_____，×_____，×________2．利用计算器计算填空（1）×______，（2）×______，（3）×______，（4）×______，（5）×______．老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为·＝．（a≥0，b≥0）反过来:=·（a≥0，b≥0）例1．计算（1）×（2）×（3）×（4）×分析：直接利用·＝（a≥0，b≥0）计算即可．解：（1）×=（2）×==（3）×==9（4）×==例2化简（1）（2）（3）（4）（5）分析：利用=·（a≥0，b≥0）直接化简即可．解：（1）=×=3×4=12（2）=×=4×9=36（3）=×=9×10=90（4）=×=××=3xy（5）==×=3三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①×②3×2③·(2)化简:;;;;教材P11练习全部四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）（2）×=4××=4×=4=8解：（1）不正确．改正：=＝×=2×3=6（2）不正确．改正：×=×===＝4五、归纳小结本节课应掌握：（1）·＝=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及其运用．六、布置作业1．课本P111，4，5，6．（1）（2）．16.2二次根式的乘除第一课时一、复习引入二、探索新知一般地，对二次根式的乘法规定为·＝．（a≥0，b≥0）反过来:=·（a≥0，b≥0）例1．计算（1）×（2）×（3）×（4）×三、巩固练习四、应用拓展五、归纳小结本节课应掌握：（1）·＝=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及其运用．六、布置作业附：板书设计1。
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课标要求:
学生要学会学习、自主学习,要为学生终生学习打下坚实的基础,根据教学大纲和新课标的要求,教材内容结合我班学生的实际水平我确定了本节课的四维教目标
知识技能:
根据算朮平方根探索二次根式乘法的法则。
并进一步理解积的算术平方根的性质。
数学思考:
经历观察、比较、总结二次根式乘法法则的过程,发展学生的归纳概括能力。
问题解决
通过对二次根式的乘法法则的探究,提高数学探究能力和归纳表达能力
情感态度
学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性与创造性,体验发现的乐趣,并提高应用的意识。
2学情分析
“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。
在人教版教材中,它被安排在了八年级下册,第一章。
它承接七年级下册第6章--实数,在实数这一章中,学生已经学习了平方根,算数平方根的概念,以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系,求非负数的算数平方根的方法。
在此基础上,本章进一步研究二次根式的概念、性质和运算。
目的是以二次根式这一类典型的式为载体,进一步学习对数字、符号运算的方法。
本章内容与“整式”“勾股定理”联系紧密,同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。
所以本章在整个初中阶段的代数领域重的重要作用自然不言而喻。
而今天我所说的第一节,它研究了二次根式的乘法法则。
它是学习本章的关键,也是学习二次根式的化简和运算的依据。
3重点难点
教学重点
二次根式乘法法则及积的算术平方根的掌握和灵活应用。
教学难点
二次根式乘法法则及积的算术平方根的探索。
4.1 第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】情感导入激发兴趣
利用学校领导为了校园的美化废寝忘食工作的事实,导入本节课,激发起学生吃水不忘挖井人的爱校热情,同时提出现实问题,激发起学生的学习欲望,为
下一步学习做好铺垫。
活动2【讲授】自主学习，探究新知
多媒体显示练习题,让学生在计算、对比中渐渐在心中形成二次根式乘法的法
则的雏形,并通过合作、补充最终得到法则。
同时感受到数学来源于生活,又服
务于生活的特点。
活动3【活动】随堂练习小试新知
趁热打铁,对刚才总结出的二次根式乘法法则进行应用,要求学生不仅会做,而
且能口述算理。
(教师板书两道例题,示范书写格式,其他的学生完成)。
同时又
提出新的问题,在他们心中留下疑惑,激发他们的下一步思考与探索。
从而得到
积的算术平方根的法则,此时教师故意出错,加深学生的印象,区别二者。
活动4【练习】逆向变式拓展新知
多媒体显示四道关于积的算数平方根的练习,让学生通过讨论,探索完成。
指
名黑板练习,其他同学练习本完成。
随后师生共同分析、指正存在的问题,达到
让学生不仅知道怎么做,而且明白为什么这么做,也就是明白算理。
活动5【测试】大家来找茬
多媒体显示在计算中学生容易出现的错误,然后让他们自己找出有问题的地方,
并分析错误原因,及改进办法,加深他们对二次根式的乘法法则及积的算术平
方跟的性质的理解,从而达到熟练应用的目的。
活动6【活动】草皮面积解决问题
解决导入时的问题,让学生明显感受到在数学学习中,发现问题,分析问题,解决
问题带给他们的乐趣以及赠人玫瑰手留余香的情感快乐。
同时也让他们感受
到数学科目的特点——来源于生活,服务于生活!解决导入时的问题,让学生明
显感受到在数学学习中,发现问题,分析问题,解决问题带给他们的乐趣以及赠
人玫瑰手留余香的情感快乐。
同时也让他们感受到数学科目的特点——来源于
生活,服务于生活!
活动7【活动】小谈收获
请同学们谈谈自己的收货,并说出对同学们学习此处知识应该注意的细节。