北师版九年级数学上册第二章一元二次方程PPT习题课件
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北师大版九年级数学上册用配方法求解一元二次方程第2课时课件
即 x–3=7 或 x–3= –7 ,
所以 x1=10，x2= –4.
回顾复习
将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).
1. x2+2x+_____=
1
(x+_____
1 )2
2
4
2. x2–4x+_____=
(x–______)
2
2
3. x2 +____+36
= (x+______)
6
习题2.4 第1，3题.
第二章
2.2
第2课时
一元二次方程
用配方法求解一元二次方程
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
第2课时 用配方法求解二次
项系数不为1的一元二次方程
知识梳理
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：
①
化二次项系数为1 ；②
③
移项
；④
开平方
配方
；⑤求解.
；
课时学业质量评价
知识梳理
课时学业质量评价
2. 设 a ， b 是两个整数，若定义一种运算“△”， a △ b ＝ a2＋ b2＋
ab ，则方程( x ＋2)△ x ＝1的实数根是(
C
)
A. x1＝ x2＝1
B. x1＝0， x2＝1
C. x1＝ x2＝－1
D. x1＝1， x2＝－2
3. 代数式4 x2＋ y2－2 y －4 x ＋15的最小值是(
＝ .
∴ x － ＝±
.
+
−
∴ x 1＝
， x2＝
所以 x1=10，x2= –4.
回顾复习
将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).
1. x2+2x+_____=
1
(x+_____
1 )2
2
4
2. x2–4x+_____=
(x–______)
2
2
3. x2 +____+36
= (x+______)
6
习题2.4 第1，3题.
第二章
2.2
第2课时
一元二次方程
用配方法求解一元二次方程
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
第2课时 用配方法求解二次
项系数不为1的一元二次方程
知识梳理
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：
①
化二次项系数为1 ；②
③
移项
；④
开平方
配方
；⑤求解.
；
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知识梳理
课时学业质量评价
2. 设 a ， b 是两个整数，若定义一种运算“△”， a △ b ＝ a2＋ b2＋
ab ，则方程( x ＋2)△ x ＝1的实数根是(
C
)
A. x1＝ x2＝1
B. x1＝0， x2＝1
C. x1＝ x2＝－1
D. x1＝1， x2＝－2
3. 代数式4 x2＋ y2－2 y －4 x ＋15的最小值是(
＝ .
∴ x － ＝±
.
+
−
∴ x 1＝
， x2＝
2.4 用因式分解法求解一元二次方程第一课时课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活 选择方程的解法，体会解决问题的多样性
复习回顾
1.将下列各式因式分解
2.一物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过X秒 物体离地的高度为10x-4.9x²，物体经过多少秒落回地面 呢？
解：设物体经过x秒后落回地面
依题意，得 10x-4.9x²=0
①
思考：除配方法和公式法外找其他的方法解方程①
次方程的方法叫
。
例1 解下列一元二次方程
（1）5X2=4X
解：原方程可变形为 5X2-4X=0 X(5X-4)=0
X=0或5X-4=0
X1=0, X2=
（2）X-2=X(X-2)
解：原方程可变形为 （X-2）-X(X-2)=0 (X-2)(1-X)=0 X-2=0或1-X=0 X1=2, X2=1.
2.一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数 解：设这个数为x
依题意，得2x²=7x
解得x=0或x=3.5
归纳
课堂小结
1.解一元二次方程的基本思路
转化 一元二次方程
一次方程 即降次
2.应用因式分解法解某些一元二次方程时比较简单
课后作业
习题2.7 第1～3题
课间休息时间
请做做眼保健操，记得保护眼睛哦。
小华：对于x(x-2)=x-2,两边都除以x-2,得x=1 小丽：由x(x-2)=x-2，得(x-2)(x-1)=0,得x1=2 x2=1
小华是错误的，x-2可以为0，方程两边除以x-2，会 造成丢根
随堂练习
1.解下列一元二次方程
(1)2x²+3x=0
(2)2(y-3)=3y(y-3)
（3）x²-4=0
想一想
10x-4.9x²=0
复习回顾
1.将下列各式因式分解
2.一物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过X秒 物体离地的高度为10x-4.9x²，物体经过多少秒落回地面 呢？
解：设物体经过x秒后落回地面
依题意，得 10x-4.9x²=0
①
思考：除配方法和公式法外找其他的方法解方程①
次方程的方法叫
。
例1 解下列一元二次方程
（1）5X2=4X
解：原方程可变形为 5X2-4X=0 X(5X-4)=0
X=0或5X-4=0
X1=0, X2=
（2）X-2=X(X-2)
解：原方程可变形为 （X-2）-X(X-2)=0 (X-2)(1-X)=0 X-2=0或1-X=0 X1=2, X2=1.
2.一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数 解：设这个数为x
依题意，得2x²=7x
解得x=0或x=3.5
归纳
课堂小结
1.解一元二次方程的基本思路
转化 一元二次方程
一次方程 即降次
2.应用因式分解法解某些一元二次方程时比较简单
课后作业
习题2.7 第1～3题
课间休息时间
请做做眼保健操，记得保护眼睛哦。
小华：对于x(x-2)=x-2,两边都除以x-2,得x=1 小丽：由x(x-2)=x-2，得(x-2)(x-1)=0,得x1=2 x2=1
小华是错误的，x-2可以为0，方程两边除以x-2，会 造成丢根
随堂练习
1.解下列一元二次方程
(1)2x²+3x=0
(2)2(y-3)=3y(y-3)
（3）x²-4=0
想一想
10x-4.9x²=0
北师大版九年级数学上册 第二章 2.1.2 《一元二次方程的解及其估算》课件(共28张PPT)(共28张PPT)
x x2 +2x – 120
…
8 9 10
… -40 -21 0
所以x=10.因此这苗圃的长是12米，宽是10米.
11 … 23 …
随堂即练
3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a 的值. 解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0， 化简，得9+4a=0. 即4a=-9. a 9. 4
随堂即练
1.请求出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根（精确到0.1）. 解：（1）列表.依次取x=0,1,2,3,…
x
0
1
2
3
…
x2 - 2x - 1 -1
-2
-1
2
…
由上表可发现，当2＜x＜3时, -1＜ x2 - 2x -1 ＜2.
随堂即练
（2）继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,…
新课讲解
例3 在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程x2 +12 x - 15 = 0.
1m 10m
8m
xm
你能猜出滑动距离 x的大致范围吗？
新课讲解
下面是小亮的求解过程：
x
0
0.5
1
1.5 2 …
x2+12x - 15 -15 - 8.75 - 2 5.25 13 …
可知x取值的大致范围是1<x<1.5. 进一步计算：
怎么样,你还敢挑战吗? 你能总结出估算的方法步骤和提高估算的能力吗?
☞ 做一做
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的 垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑 动多少米？
北师大版九年级数学上册《一元二次方程——应用一元二次方程》教学PPT课件(2篇)
3. 如图，Rt△ ABC 中，AB＝6，BC＝8.点 P 从点 A 出发， 以 1 个单位/秒的速度向点 B 移动，同时，点 Q 从点 B 出发， 以 2 个单位/秒的速度向点 C 移动，运动 11 秒后，△ PBQ 的 面积为 5 个平方单位．
4. 一艘轮船以 20 海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警 报，台风中心正以 40 海里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 海里 的圆形区域(包括边界)都属于台风区域，当轮船到 A 处时测得台风中心移 到位于点 A 正南方的 B 处，且 AB＝100 海里．若这艘轮船自 A 处按原速
A. 10
B. 12
C. 13
D. 20
4. 某鸡场有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有 169 只鸡患了禽流感，那么每轮传染中，平均一只鸡传染的 只数是 1122 ．
5. 水果店老板以每斤 2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每 斤 4 元的价格出售，每天可售出 100 斤，通过调查发现，这种水果每 斤的售价每降低 0.1 元，每天可多售出 20 斤，为保证每天至少售出 260 斤，老板决定降价出售．
(二)预习反馈
1. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 460 元降为
215 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每
次降价的百分率为 x，下面所列的方程中正确的是( B )
A. 460(1＋x)2＝215
B. 460(1－x)2＝215
C. 460(1－2x)2＝215
D. 460(1－x2)＝215
解：设该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率是 x. 根据题意得 2 500＋2 500(1＋x)＋2 500(1＋x)2＝9 100， 解得 x1＝0.2，x2＝－3.2(不合题意，舍去)． 因此，该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率是 20%.
北师大版九年级数学上册课件2.2.2解一元二次方程—配方法
3．有n个方程：x2＋2x－8=0；x2＋2×2x-8×22=0；…；x2 ＋2nx－8n2=0.小静同学解第一个方程x2＋2x－8=0的步骤 为：“①x2＋2x=8；②x2＋2x＋1=8＋1；③(x＋1)2=9；④ x＋1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=－2.” (1)小静的解法是从步骤______⑤__开始出现错误的； (2)用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2=0.(用含有n的式子 表示方程的根)
2.2.2解一元二次方程— 配方 法
例2： 解方程3x2+8x-3=0
思路：将二次项系数化为1
解：方程两边都除以3，得 x2 + 8 x - 1=0.
3
移项得
x2 +
8 3
x =1
配方,得 x2 + 8 x + ( 4 ) 2 = ( 4 )2 +1 ,
3
3
3
（x +
4 3
）2
=
25 9
.
开平方得 所以
4
直接开平方,得2-x= ±3 地∴2-x= 2
∴x1=2- 3, x2=2+ 3.
3或2-x=-
2
,3
2
2
2
(2)原方程可变形为(3x+1)2=8,
直接开平方,得3x+1=±2 2,
∴3x+1=2
2 或3x+1=-2 2
,∴x1=1
2 3
2,x2=
1 2 . 2
3
(3)移项,得3x2+2x=3,
2
二次项系数化为1,得x2+ 3x=1,
2 (1)小静的解法是从步骤____2____开始出现错误1的；2
2.1一元二次方程北师大版九年级数学上册习题PPT课件2
长a、率b分为别x，称依为题二意4次可项．列系方数【程和为一内( 次项蒙)系数古． 赤峰中考】某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售
量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x， A．400(1＋x2)＝90整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
数学·九年级（上）·配北师
解：(1)∵关于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)·x－1＝0 是一元一次方程，∴
k＋1＝0， k－3≠0，
或kk2＋＋11＋＝k1－，3≠0，
解得 k＝－1 或 k＝0.∴当 k＝－1 或 k＝0 时，关
于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)x－1＝0 是一元一次方程．
1T2变式】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 分 C．析1：00观(1察 ＋等 x)3号＝两61边6 ，是关于x的整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
2x)＝3600.化为一般形式为x －75x＋350＝0. 9长知(2．)率识当据为 点k报取x3道，何，根依值为据题时推实意，进际可它福问列是州题方一绿列程元色一为二农元(次业二方发次程) 展方？，程并2写01出8～这2个02一0年元，二福次州方市程2将的完二成次绿项色系农数业、发一展次项项目系总数投、资常6数16项亿．元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
A．400(1＋x )＝900 B．400(1＋2x)＝900 9．据报道，为推进福州绿色农业发展，22018～2020年，福州市将完成绿色农业发展项目总投资616亿元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x， A．400(1＋x2)＝90整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
数学·九年级（上）·配北师
解：(1)∵关于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)·x－1＝0 是一元一次方程，∴
k＋1＝0， k－3≠0，
或kk2＋＋11＋＝k1－，3≠0，
解得 k＝－1 或 k＝0.∴当 k＝－1 或 k＝0 时，关
于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)x－1＝0 是一元一次方程．
1T2变式】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 分 C．析1：00观(1察 ＋等 x)3号＝两61边6 ，是关于x的整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
2x)＝3600.化为一般形式为x －75x＋350＝0. 9长知(2．)率识当据为 点k报取x3道，何，根依值为据题时推实意，进际可它福问列是州题方一绿列程元色一为二农元(次业二方发次程) 展方？，程并2写01出8～这2个02一0年元，二福次州方市程2将的完二成次绿项色系农数业、发一展次项项目系总数投、资常6数16项亿．元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
A．400(1＋x )＝900 B．400(1＋2x)＝900 9．据报道，为推进福州绿色农业发展，22018～2020年，福州市将完成绿色农业发展项目总投资616亿元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 3用公式法求解一元二次方程(第1课时)习题课件 北师大版
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.方程2x2-3x=1中,b2-4ac=17. ( √ ) 2.方程x2-4x+4=0只有一个实数根. ( × ) 3.一元二次方程有实数根的条件是b2-4ac>0. ( × ) 4.方程x2+bx+c=0的两个实数根是-b± b2 4c .( × ) 5.方程3x2+2x=1中,a,b,c的值分别是a=3,b=2,c=1. ( × ) 6.方程2x2=3x-1的根为 3 1 7 . ( × )
谢谢观赏
You made my day!
【想一想】 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当a,c异号时,方程根的情况 如何?为什么. 提示:方程总有两个不相等的实数根. 若a,c异号,则4ac<0,所以-4ac>0, 即b2-4ac>0,所以方程总有两个不相等的实数根.
【备选例题】当t取什么值时,关于x的一元二次方程2x2+tx+2 =0. (1)有两个不相等的实数根? (2)没有实数根?
3 用公式法求解一元二次方程 第1课时
1.一元二次பைடு நூலகம்程的求根公式:
b b2 4ac
当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是x=______2a______.
2.公式法的定义:
用_求__根__公__式__解一元二次方程的方法.
3.一元二次方程根的判别式的定义: 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2-4ac,通常 用“_Δ__”表示. 4.一元二次方程的根与根的判别式b2-4ac的关系: (1)当b2-4ac>0时,方程有_两__个__不__相__等__的实数根. (2)当b2-4ac=0时,方程有_两__个__相__等__的实数根. (3)当b2-4ac<0时,方程_没__有__实数根.
北师大课标版初中数学九年级上册第二章2.6应用一元二次方程(共20张PPT)
做一做
5.步步高超市将一批货物按标价的8折再优惠 10元出售，仍可获利20﹪，若该货物的进价 为25元，求每件货物的标价。
解：设每件货物的标价为x元 根据题意，得0.8x－10=25×（1＋20﹪） 解得：x=50 答：每件货物的标价为50元。
例题1：
新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500 元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平 均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时， 平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱 的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的 定价应为多少元？
得x1=x2=150 2900－150=2750
解：设每台冰箱定价x元 (82900x4)(x2500)5000
50 x2－5500x＋7562500=0
得x1=x2=2750
巩固练习：
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均 每月能售出600个。调查发现：售价在40-60元范围内， 这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售 价应定为多少？这时应进台灯多少个？
利润
利润率=_____成__本___1_0 0_%________； 售价=进价×(1+__利__润_率____)。
做一做
1.某商场一套运动服的标价为200元，打八折 出售，则运动服的售价为___1_6_0___元。 2.某商店以2元的成本价购进笔记本100本， 又以3元的价格全部卖出，则此商店获利 ______10_0_______元。 3.一商场以每个80元的进价购进一批书包， 以每个100元售价卖出，则商场获得的利润率 为__2_5_﹪__。 4某超市销售一种进价为100元的玩具，为了 使每件获利25﹪，则每件的售价为 ___1_2_5___元。