一元二次方程PPT课件 人教版
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人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
解一元二次方程(公式法)(ppt课件)
这时
b
2
4ac 4a 2
＞0，
即
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
b b2 4ac
x
.
2a
b b2 4ac
b
x1
2a
, x2
b2 4ac .
2a
方程有两个不 相等实数根
探究新知
⑵b2-4ac=0
这时
b2 4ac 0， 4a 2
x1=x2=- b 2a
方程有两个相 等实数根
探究新知
解：方程化为 2x2－5x－9＝0.
a＝2，b＝－5，c＝－9.
Δ＝(－5)2－4×2×(－9)＝97＞0.
方程有两个不等的实数根
x＝－b±
b2－4ac＝5±
2a
4
97，
即
x1＝5＋4
97，x2＝5－4
97 .
随堂练习
3．用公式法解方程：x2－3x＋4＝0. 解：a＝1，b＝－3，c＝4. Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×4＝－7<0. 方程无实数根．
课堂小结
公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: △=b2-4ac的值; 4.判断：若△=b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若△=b2-4ac<0，则方程没有实数根.
当堂测试
1. 关于 x 的一元二次方程 x2 2x m 2 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围
,
x2
1．
（2） x2 4x 7 0 ，
a 1， b 4 ， c 7 ，
b2 4ac (4)2 417 44 0 ，
人教版初三数学一元二次方程最全面最经典ppt课件
，另一个根
3.设一元二次方程 = ————
= —————— ，
x2 3x 1 0 的两个根为x1，x2，则
x x 2 2
= ————1—— 2
11
11
3
x1 x2
x2 x1
-11
x1 x2
;
11
一元二次方程与实际问题
问题1 面积问题 养殖户王大叔有一块面积为150米2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），
;
4
解法训练
用适当的方法解下列方程
1 x2 3x 0
2 (2x 1)2 9 0
3 x2 4x 1 4 x2 3x 1 0
;
5
1 x2 3x 0
因式分解法：
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分 解为两个因式的积,而右边等于0的方程;
2.形如:ax2+bx=o(即常数C=0).
另一边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长35米,问：鸡场的长与宽各是多少？
18米
鸡场
总结1：（1）列方程解应用题的一般步骤是：
审
设
列
解
→
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
→
→
（2）几何图形的面积问题, 这类问;题的
验 → 面积公式
答 →
。
是等量关系。12
变式训练
【变式训练1 】如果墙对面开一个1米宽的门，求鸡场的长和宽各是多少米?（只列方程，
。 。
a(1-x) 2 15
巩固提高
练习1 （宿迁中考题）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙， 另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 m。 （可利用的围墙长度超过6m）
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共19张PPT)
的关系进行简单计算。
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.
B.
a≠b，则 + 的值是( A )
−
C.
D.
−
解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，
∴
+ =
+
=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.
B.
a≠b，则 + 的值是( A )
−
C.
D.
−
解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，
∴
+ =
+
=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
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x(x+5)＝150. 即 x2+5x-150＝0．
Hale Waihona Puke 观察这两个方程有什么共同点？ x2-70x+825＝0．
x2+5x-150＝0．
方程中未知数 的个数、次数各是 多少？
梳理
等号两边都是整式，只含有一个 未知数（一元），并且未知数的最高 次数是2 （二次）的方程，叫做一元二
次方程。
梳理
一般地，任何一个关于x的一元二次 方程，经过整理，都能化成如下形式：
小结
2、一般形式：
ax2+bx+c=0 (a≠0).
其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数；c是常数 项。
3、一元二次方程的根： 使一元二次方程左右两边相等 的未知数的值叫做一元二次方程的 根。 列方程解决实际问题时，解不
仅要满足所列方程，还需满足适合
实际。
巩固练习
x
80-2x
x
x
即 x2-70x+825＝0．
这个方程和以前 学过的方程有什么 异同？
60-2x
x
剪一块面积是150cm2的长方形 铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片
应怎样剪？
分析：要解决此问题，需求出铁片的 长和宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未
知数来列方程．
解：设这块铁片宽xcm，
则长是(x+5)cm．根据题意，可得
ax2+bx+c=0 (a≠0).
为什么？
这种形式叫做一元二次方程的一般 形式，其中ax2是二次项，a是二次项系数 ；bx是一次项，b是一次项系数；c是常 数项。
例题讲解
将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一 元二次方程的一般形式，并写出二次项 系数、一次项系数及常数项。 解：去括号，得 3x2+3x-2x-2=8x-3 移项，合并同类项得 3x2-7x+1=0
常数项为-1.
方程(2)整理为4x2-81=0；其中二 次项系数为4，一次项系数为0，常数
项为-81.
分析
剪铁片的题目中，列得的方程为
x2+5x-150＝0．
x 1 2 3 … … 9 10 11
x2+5x-150 -144 -136 -126
-24
0
16
可以发现，当x=10时，x2+5x-150=0。
1、一元二次方程3y(y＋1)=7(y＋2)－5 化为一般形式为 3y2-4y-9=0 ；其中二次项
系数为 3
为 -9 。
；一次项系数为 -4 ；常数项
2、已知关于x的方程(k2-1)x2+kx-1=0
为一元二次方程，则k ≠±1
.
有关的数学名言 ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高 级智能活力美学体现。——普林舍姆 ◇历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精 细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗庚 ◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界 的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。——本杰 明
用一块长80cm，宽60cm的薄钢片， 在四个角上截去四个相同的小正方形，然 后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒 子．试求出截去的小正方形的边长。
由题意可 知截取后的底 面积。故应根 据面积找相等 关系解题。
解：设小正方形边长为xcm，则盒子 底面的长、宽分别为(80-2x)cm、(602x)cm，则有(80-2x)(60-2x)＝1500.
1 2 (6)(m 2) 1 (5)a 0 a (1) ( 4) (6) 是一元二次方程的有：
2、将下列方程化为一元二次方程 的一般形式，并写出其中的二次项
系数、一次项系数和常数项。
(1)5 x 1 4 x
2
( 2)4 x 81 0
2
解：方程(1)整理为5x2-4x-1=0；其 中二次项系数为5，一次项系数为-4，
所以得到一元二次方程的一般形式为： 3x2-7x+1=0 其中二次项系数为3，一次项系数
为-7，常数项为1。
探究
1、下列方程中哪些是一元二次方程？
(1) x 2 x 5 0 (2)4 x 3 y 1 0
2
2
(3)ax bx c 0
2
2
(4) x( x 1) 2 0
即x=10时，方程左右两边相等，所以 x=10是方程x2+5x-150的解。一元二次 方程的解也叫一元二次方程的根。 通过计算可知，当x=-15时，方 程左边为0，与方程右边相等，所以
x=-15也是方程x2+5x-150=0的根.
探究
虽然方程x2+5x-150=0有两个根 (x=10和x=-15)，但剪铁片问题的答案只 有一个，宽应为10cm。 由实际问题列出方程并得出方程的 解后，必须考虑这些解是否是该实际问 题的解，即是否符合生活实际。
1、下列哪些是方程的 x2+6x-16=0 根？
0，2，4，6，8，-2，-4，-6，-8. 2、试写出下列方程的根。 (1)3x2-27=0 (2)4x2=1 (3)x2-x=0
小结
1、定义： 等号两边都是整式，只含有一个 未知数（一元），并且未知数的最高 次数是2 （二次）的方程，叫做一元二 次方程。
Hale Waihona Puke 观察这两个方程有什么共同点？ x2-70x+825＝0．
x2+5x-150＝0．
方程中未知数 的个数、次数各是 多少？
梳理
等号两边都是整式，只含有一个 未知数（一元），并且未知数的最高 次数是2 （二次）的方程，叫做一元二
次方程。
梳理
一般地，任何一个关于x的一元二次 方程，经过整理，都能化成如下形式：
小结
2、一般形式：
ax2+bx+c=0 (a≠0).
其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数；c是常数 项。
3、一元二次方程的根： 使一元二次方程左右两边相等 的未知数的值叫做一元二次方程的 根。 列方程解决实际问题时，解不
仅要满足所列方程，还需满足适合
实际。
巩固练习
x
80-2x
x
x
即 x2-70x+825＝0．
这个方程和以前 学过的方程有什么 异同？
60-2x
x
剪一块面积是150cm2的长方形 铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片
应怎样剪？
分析：要解决此问题，需求出铁片的 长和宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未
知数来列方程．
解：设这块铁片宽xcm，
则长是(x+5)cm．根据题意，可得
ax2+bx+c=0 (a≠0).
为什么？
这种形式叫做一元二次方程的一般 形式，其中ax2是二次项，a是二次项系数 ；bx是一次项，b是一次项系数；c是常 数项。
例题讲解
将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一 元二次方程的一般形式，并写出二次项 系数、一次项系数及常数项。 解：去括号，得 3x2+3x-2x-2=8x-3 移项，合并同类项得 3x2-7x+1=0
常数项为-1.
方程(2)整理为4x2-81=0；其中二 次项系数为4，一次项系数为0，常数
项为-81.
分析
剪铁片的题目中，列得的方程为
x2+5x-150＝0．
x 1 2 3 … … 9 10 11
x2+5x-150 -144 -136 -126
-24
0
16
可以发现，当x=10时，x2+5x-150=0。
1、一元二次方程3y(y＋1)=7(y＋2)－5 化为一般形式为 3y2-4y-9=0 ；其中二次项
系数为 3
为 -9 。
；一次项系数为 -4 ；常数项
2、已知关于x的方程(k2-1)x2+kx-1=0
为一元二次方程，则k ≠±1
.
有关的数学名言 ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高 级智能活力美学体现。——普林舍姆 ◇历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精 细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗庚 ◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界 的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。——本杰 明
用一块长80cm，宽60cm的薄钢片， 在四个角上截去四个相同的小正方形，然 后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒 子．试求出截去的小正方形的边长。
由题意可 知截取后的底 面积。故应根 据面积找相等 关系解题。
解：设小正方形边长为xcm，则盒子 底面的长、宽分别为(80-2x)cm、(602x)cm，则有(80-2x)(60-2x)＝1500.
1 2 (6)(m 2) 1 (5)a 0 a (1) ( 4) (6) 是一元二次方程的有：
2、将下列方程化为一元二次方程 的一般形式，并写出其中的二次项
系数、一次项系数和常数项。
(1)5 x 1 4 x
2
( 2)4 x 81 0
2
解：方程(1)整理为5x2-4x-1=0；其 中二次项系数为5，一次项系数为-4，
所以得到一元二次方程的一般形式为： 3x2-7x+1=0 其中二次项系数为3，一次项系数
为-7，常数项为1。
探究
1、下列方程中哪些是一元二次方程？
(1) x 2 x 5 0 (2)4 x 3 y 1 0
2
2
(3)ax bx c 0
2
2
(4) x( x 1) 2 0
即x=10时，方程左右两边相等，所以 x=10是方程x2+5x-150的解。一元二次 方程的解也叫一元二次方程的根。 通过计算可知，当x=-15时，方 程左边为0，与方程右边相等，所以
x=-15也是方程x2+5x-150=0的根.
探究
虽然方程x2+5x-150=0有两个根 (x=10和x=-15)，但剪铁片问题的答案只 有一个，宽应为10cm。 由实际问题列出方程并得出方程的 解后，必须考虑这些解是否是该实际问 题的解，即是否符合生活实际。
1、下列哪些是方程的 x2+6x-16=0 根？
0，2，4，6，8，-2，-4，-6，-8. 2、试写出下列方程的根。 (1)3x2-27=0 (2)4x2=1 (3)x2-x=0
小结
1、定义： 等号两边都是整式，只含有一个 未知数（一元），并且未知数的最高 次数是2 （二次）的方程，叫做一元二 次方程。