D8-1多元函数概念(简单)
高等数学中的多元函数的基础概念详解
高等数学中的多元函数的基础概念详解在高等数学中，多元函数是一种非常重要的概念。
它是研究多变量之间关系的数学工具，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
本文将从多元函数的定义、连续性、导数、微分、偏导数和泰勒展开等方面进行详细的讲解。
一、多元函数的定义多元函数是指在数学上，将多个自变量与一个或多个因变量联系起来的一种函数。
通常表示为$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=y$，表示存在一种从输入向输出的映射关系。
例如，$f(x,y)=x^2+y^2$就是一个简单的多元函数，它将平面上的点$(x,y)$映射到一个实数值$z=x^2+y^2$上。
多元函数的定义域和值域分别是自变量的取值范围和因变量的取值范围。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指当自变量发生微小变化时，函数值的变化也应该非常微小。
具体来说，如果在多元函数$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$的某一点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$附近，对于任意的$\epsilon>0$，都存在一个$\delta>0$，使得当$(x_1,x_2,\dots,x_n)$满足$|x_i-a_i|<\delta$时，有$|f(x_1,x_2,\dots,x_n)-f(a_1,a_2,\dots,a_n)|<\epsilon$，那么就称$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$在点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$处连续。
这与一元函数的连续性概念是类似的。
三、多元函数的导数多元函数的导数在概念上和一元函数的导数是类似的，它描述的是函数在某一点上的变化率。
但是多元函数的导数有一些特殊的性质，如方向导数、梯度等。
在二元函数的情况下，如果函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可导，则有：$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$$这两个导数称为函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数。
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
一、多元函数的基本概念
多元函数是一种把多个变量结合起来的函数。
它的定义由一个有限个变量的有限个自变量组成，而这些变量所表达的函数又是满足某种关系式的。
多元函数由以下三个特征来定义：
1. 自变量个数：多元函数可以由一个自变量，也可以由多个自变量组成，而多元函数的具体形式由自变量个数决定。
2. 函数形式：多元函数可以是一元函数、二元函数、三元函数、四元函数和多元函数。
3. 变量关系：多元函数的定义就是根据一定的关系式，把多个自变量结合起来构成的函数。
二、多元函数的性质
多元函数的性质也就是函数的一些性质，这些性质对于函数的理解和应用都非常重要，在学习多元函数时，一定要掌握这些性质。
性质1：多元函数可以变换形式，但其多项式整体的幂次不变。
性质2：多元函数可以拆开成多个小函数，但总体的变量不变。
性质3：多元函数可以进行拟合，但只能用更加简单的函数拟合更加复杂的函数。
性质4：多元函数的单调性与函数的极值分布有关，函数的极值也是多元函数的最重要的一种性质。
三、多元函数的应用
多元函数在工程和科学中都有着广泛的应用，比如在机器学习、机器人控制学、信号处理、经济学、生物学等领域中都有着广泛的应用，以及在财务和统计学中的应用，例如多元回归分析，协方差分析等。
此外，多元函数也在计算机科学中有实际的应用，比如在计算机图形学中，可以用多元函数来描述三维空间中的形体，在模拟技术中，也可以用多元函数来模拟真实的系统。
多元函数基本概念
多元函数基本概念多元函数是数学中常见的概念，它与一元函数相比具有更加复杂的性质和表达方式。
在本文中，将介绍多元函数的基本概念，包括定义域、值域、级数、偏导数以及极值等。
一、定义域和值域在讨论多元函数之前，我们首先需要明确定义域和值域的概念。
对于一个多元函数，其定义域是指所有自变量可以取值的集合，通常用D表示。
而值域则是函数在定义域上所有可能取到的函数值的集合，通常用R表示。
例如，考虑一个二元函数f(x, y)，其定义域可以是实数集合R，而值域也可以是实数集合R。
二、偏导数偏导数是多元函数的一种导数形式，用于描述函数在某个给定自变量上的变化率。
对于一个具有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，其关于第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数，对目标自变量求导即可。
需要注意的是，对于每个自变量，都要分别计算其对应的偏导数。
三、级数多元函数的级数是指将多个单变量函数按照一定方式组合而成的函数序列。
常见的多元函数级数有泰勒级数和傅里叶级数等。
泰勒级数是指将一个多元函数在某个点附近展开成幂级数的形式。
通过选择适当的展开点和级数项，可以将函数在该点附近近似表示。
泰勒级数在数学和物理学中有广泛的应用，特别是用于函数的近似计算和数据拟合等方面。
傅里叶级数是指将一个局部有界的周期函数分解成一组正弦和余弦函数的级数。
通过傅里叶级数的展开，可以将周期函数在全局范围内表示，并进行频谱分析和信号处理等操作。
四、极值多元函数的极值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
与一元函数不同的是，多元函数的极值可能在某些特定点取得，也可能在边界或无穷远处取得。
求解多元函数的极值通常需要使用极值判定条件。
常见的方法有利用偏导数等于零来确定驻点，然后通过二阶偏导数判定极值类型。
同时，还要考虑定义域的边界条件，以确定是否存在边界极值。
总结在本文中，我们介绍了多元函数的基本概念，包括定义域和值域、偏导数、级数以及极值。
高等数学课件D81多元函数的基本概念精品
ε
ε 0, δ ε ,当0 x2 y2 δ 时, 总有
x2 y2
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
2019/9/1
多元函数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.
设
f
(x,
y)
x
sin
1 y
0
y
sin
1 x
,
,
求证：lim f (x, y) 0.
y0
解: 原式
lim 1 1 x0 xy 1 1 2
y0
例6. 求函数 f (x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的连续域.
x y2
解: 3 x2 y2 1
y
x y2 0
2 x2 y2 4
o 2 2x
x y2
2019/9/1
整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域；
点集 (x, y) x 1是开集，
但非区域 .
y
1o 1 x
对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 界域 .
2019/9/1
多元函数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
多元函数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 区域
• 邻域 : U (P0,δ ), U (P0 ,δ )
• 区域
连通的开集
• R n 空间
2. 多元函数概念
n 元函数 u f (P) f (x1, x2,, xn ) PD Rn
多元函数的概念讲解
多元函数的概念讲解多元函数是指在数学中，有多个变量同时作为自变量的函数。
一元函数是只有一个自变量的函数，例如y=f(x)；而多元函数是两个或多个自变量共同决定一个因变量的函数，例如z=f(x, y)或者w=f(x, y, z)。
在实际应用中，多元函数经常用来描述多个因素对某个结果的影响，是数学模型中的重要表达方式。
多元函数的变量通常分为自变量和因变量两类。
自变量是函数中的独立变量，其取值可以独立地由外部确定；而因变量是函数中的依赖变量，其取值由自变量所决定。
在多元函数中，自变量可以有任意多个，并且可以是连续或离散的变量。
多元函数可以描述现实世界中的各种现象和关系。
例如，在经济学中，生产函数可以看作是一个以生产投入（如劳动力、资本）为自变量，以产出（如产品或服务）为因变量的多元函数。
在自然科学中，例如物理学中的力学方程、电磁方程等，都可以看作是多元函数，其中的自变量和因变量代表不同的物理量。
对于多元函数，我们可以通过图像、方程、表格等多种方式进行表示和理解。
其中最常用的是图像表示法，通过绘制自变量和因变量之间的关系图来展示多元函数的性质。
例如，二元函数f(x, y)可以用三维坐标系上的曲面图来表示，其中自变量x和y分别对应平面的两个坐标轴，而z=f(x, y)对应曲面上的高度。
多元函数的性质也可以通过微积分来进行研究。
例如求函数的导数就是通过刻画函数在某一点的变化率来描述它的性质。
对于多元函数，我们可以求偏导数来研究函数在每个自变量上的变化率，进而推导出函数在整个定义域上的性质。
多元函数的极值问题、最优化问题等也可以通过微积分的方法来求解。
多元函数的概念对于理解和研究现实问题具有重要意义。
它能够帮助我们建立数学模型，解释和预测各种现象和关系。
通过对多元函数的研究，我们可以找到问题的最优解、最大值和最小值，提高生产效率，优化资源配置等。
总之，多元函数是数学中的重要概念，它能够描述多个自变量对因变量的影响关系。
高考数学多元函数知识点
高考数学多元函数知识点多元函数是高中数学中一个重要的知识点，也是高考中常见的考点之一。
在解题过程中，我们需要掌握一些基本的概念和方法。
本文将从基本概念、图像特征、性质和常见题型几个方面介绍多元函数的知识点。
基本概念多元函数是指有两个或多个自变量的函数，通常用f(x, y)表示。
其中，x和y是自变量，f(x, y)是因变量。
在多元函数中，我们可以将一个自变量看作一个参数，将其他自变量看作常数，从而得到一个一元函数。
多元函数的定义域是所有使函数有意义的自变量的取值范围。
图像特征多元函数的图像特征可以通过等高线图和三维图进行表示。
等高线图是在平面上绘制出函数的等高线，每条等高线上的点都具有相同的函数值。
三维图则是将函数在三维坐标系中进行可视化，可以更直观地观察函数的变化规律。
通过观察图像特征，我们可以了解函数的极值、拐点和趋势。
性质多元函数有许多与一元函数相似的性质，如定义域、值域、连续性和可导性等。
此外，多元函数还有一些特有的性质，如偏导数和二阶导数。
偏导数是指在求导时将其他自变量视为常数进行求导，而二阶导数则是对一次求导结果再次求导。
这些性质在求解问题时非常重要，能够帮助我们求解极值、判断函数的凹凸性等。
常见题型在高考中，多元函数通常会涉及到以下几种题型：求偏导数、求极值、求方程的参数、求方程的解等。
这些题型需要我们熟练掌握求导法则和运算规则，并能够将多元函数转化为一元函数进行求解。
为了更好地应对这些题型，我们可以多进行题目的练习，熟悉各种求导方法和解题技巧。
在解多元函数的题目时，我们应该采用逐步思考的方法。
首先，明确问题所给的条件和要求，确定需要求解的目标。
然后，根据所学的知识，将多元函数转化为一元函数，并利用求导和求解方程的方法进行计算。
最后，根据问题要求对结果进行验证，并进行必要的化简和整理。
综上所述，高考数学中的多元函数知识点是我们必须要掌握的一部分。
我们需要了解多元函数的基本概念、图像特征、性质和常见题型，并通过大量的练习来提高解题能力。
多元函数的基本概念课件
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的 数学工具，分为第一类曲面积分和第二 类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领 域有广泛应用，如计算力矩、功等物理 量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程，如压力、温度和体 积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多 个变量上的数学函数。例如，三 维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个 区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点， 然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中，最值的概念被用 来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值；无约束最值问 题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通 过直角坐标系或极坐标 系进行。
03
04
二重积分可以应用于面 积、体积、质量等的计 算。
二重积分的计算公式为： ∫∫D f(x,y) dxdy，其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域 上的函数值累积的数学工具。
大一高数多元函数知识点总结
大一高数多元函数知识点总结大一的高等数学是大学学习的一门基础课程，其中多元函数是其中比较重要的一部分。
在学习多元函数时，我们需要了解一些基本的概念、性质和计算方法。
本文将对大一高数多元函数的知识点进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。
一、多元函数的概念和性质1.1 多元函数的定义多元函数是指含有两个或两个以上自变量的函数，在平面上表示为f(x,y)，在空间中表示为f(x,y,z)。
而自变量的取值范围可以是实数集合或者某个区间，函数的值可以是实数或者向量。
1.2 驻点和极值对于多元函数，我们可以通过求偏导数的方法找到其驻点和极值。
具体来说，对于一个二元函数f(x,y)，求偏导数f’x(x,y)和f’’y(x,y)，令其等于零，可以得到驻点的坐标。
然后，通过计算二阶偏导数f’’xx(x,y)、f’’xy(x,y)和f’’yy(x,y)的值，可以判断驻点是否是极值点。
1.3 偏导数与全微分对于多元函数，我们可以通过对其中某一个自变量求偏导数的方法来求得偏导数，而偏导数可以理解为函数对于某一自变量的变化率。
而全微分则是对多元函数进行全面的微分，表示其在各个自变量方向上的变化率之和。
1.4 隐函数和参数方程在一些情况下，多元函数的表达式并不明显，而是通过一些隐含的条件进行表示。
这时要借助隐函数的概念，将多元函数用隐函数的形式表示出来。
而参数方程则是将多元函数在某个平面上表示为参数的函数形式。
二、多元函数的计算方法2.1 多元函数的线性逼近对于一个二元函数f(x,y)，我们可以通过求得其一阶偏导数和二阶偏导数，来进行函数的线性逼近。
而通过线性逼近，我们可以计算函数在某一点的近似值，以及该点处的切线和法线。
2.2 多元函数的积分多元函数的积分与一元函数的积分类似，只是需要在计算过程中考虑到多个自变量。
可以通过对其中一个自变量进行积分，将多元函数转化为一元函数的形式，然后再进行计算。
2.3 向量场的散度和旋度对于一个二维向量场和三维向量场，我们可以通过计算其散度和旋度来了解向量场的性质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四、多元函数的连续性
定义2
P0 ( x 0 , y 0 )
设二元函数z = f (x , y )的定义域为D, 是D内的点， 即 P0 D ,
( x , y ) ( x 0 , y0 )
若
lim
f ( x , y ) f ( x0 , y0 )
则称二元函数z =f (x,y)在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 处连续. 说明: 如果函数f (x,y) 在 D 上的每一点都连续，
( x , y ) ( x 0 , y0 )
x x0 y y0
记 由于
| P0 P |
( x x0 ) ( y y0 )
2
2
" P P0 " " 0 " ,
因此有
定义1. 设函数 f (x,y)的定义域为D， P0 是D的 内点或边界点 , 若存在常数A , 对任意正数 ,总存
2
( x , y ) (1 ,0 )
li m
3
( x , y ) (1 ,0 )
lim
sin ( 2 xy ) 2 xy
2x
3 1 2 1.
例7
求
lim
x 0 y0
xy 1 1 xy
.
解
原式 lim
x 0 y0
xy 1 1 xy( xy 1 1) 1 xy 1 1
因此， f ( x , y ) 在点(0,0)处不连续。
E
例如： 2 2 ( x, y) x y 4 2 2 x y 4 上任一点都是边界点 2 2 边界为圆周 x y 4 ( x, y) 1 x 2 y 2 4 的边界为圆周 x 2 y 2 1 及圆周 x 2 y 2 4 ( x , y ) x y 0 的边界为 x y0 若点 P 的任一邻域 U(P)内既含 属于 E 的点，又含不属于 E 的 点 , 则称 P 为 E 的边界点； E 的边界点的全体称为E 的边界。
当 P ( x , y ) P0 (1, 2 ) , 对应的 f ( x , y ) 7, 则称 7是
f ( x , y ) 当点 P ( x , y ) 趋向于点 P0 ( x 0 , y 0 ) 时的极限
一般地： 当点 P ( x , y ) 无限趋近于点 P0 ( x 0 , y 0 ) 时， f ( x , y ) 的值无限接近于常数 A，则称 A 是 f ( x , y ) 当点 P ( x , y ) 趋向于点 P ( x , y ) 时 0 0 0 的极限，记为 lim f ( x , y ) A 或 lim f ( x , y ) A
2
2
2
| 1
( x , y ) (1 ,0 )
lim
sin
( x 1) y
2
0
（理由：无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小。）
xy 2 2 , x y 0 例5 讨论 f ( x , y ) x 2 y 2 2 2 0, x y 0 在 (0,0) 的连续性．
lim
f ( x , y ) lim
x x
x 0
x x
2
2
2
1 2
，
1 2
( x , y )(0,0) y x
lim
f ( x , y ) lim
x ( x ) x ( x )
2
x 0
所以
lim f ( x , y ) 不存在。 x 0
y 0
(x , 因此， f ( x , y ) 在点(0,0)处不连续。x , y ) 趋于不同值 y ) 以两种不同方式趋于 ( x0 , y0 )， f (
在正数 ,
当 0 δ, 都有
则称 A 为函数
记作
x x0 y y0
时的极限，
lim f ( x , y ) A
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例3. 证明 lim 证: 只要
ε 0 ,
xy x y
2 2
x 0 y 0
0
要证
<ε
取 2
δ 2 , 当 0
2 4
0
( x 0).
因为若取
x y ,
y y
6
2 4 2
(y y )
1 4
.
例1 解
( x , y ) (1 ,0 )
lim
y x
sin y x y x
2x ( x 1) y
2 2
( x , y ) (1 ,0 )
lim
0,
| sin
2x
2x ( x 1) y
第九章
多元函数微分法及其应用
一元函数微分学 推广 多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
第九章 第一节 多元函数的基本概念
一、与区域有关的几个概念 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、平面区域(简介) 1．邻域 设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是 xOy 面上的一点， 是某一正数， 以 P0 为中心,半径为 的邻域(记为 U ( P0 , ) ) 定义为
lim
？
x y
2 3 2 4
解答 不能！例如： f ( x , y )
3
(x y )
2 2 4 4 2
, ( x , y ) (0,0). 2
取 y kx , 但是，
f ( x , kx )
x k x
2
( x , y )( 0 , 0 )
2
lim
( x k x ) f ( x , y ) 不存在. f ( y , y)
解
因为
( x , y )(0,0) y k x
lim
f ( x, y)
( x , y )(0,0) y kx
lim
xy x y
2 2
lim
kx
2
2 2 2
x 0
x k x
( x , y )(0,0)
k 1 k
2
,
其值随k的不同而变化，故极限
lim
f ( x , y ) 不存在．
定理
一切多元初等函数都在其定义区域内连续．
注 定义区域是指包含在定义域内的开区域或闭区域。 例6 求
( x , y ) (1 ,0 )
lim
[
3x x y
2
sin ( 2 xy ) y
];
sin ( 2 xy ) y
解 原式 =
( x , y ) (1 ,0 )
li m
3x x y
lim
x 0 y0
1 2
4．有界闭区域上连续函数的性质(了解,不记) （1）有界性
有界闭区域D上的多元连续函数必在D上有界．
（2）最值性
有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得它的 最大值和最小值．
（3）介值性
有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得介于 其最小值与最大值之间的一切值。
习题P56
2
如 2 ( x, y, z ) 在空间中表示闭区域，边界面为
z x y ( z 1 ),
2 2 2
z 1( x y 1 )
2
例1
画出区域
解
y y
o
D1
x
o
D
x
y 4x
2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
二、多元函数的概念
1．多元函数的概念
两个自变量的函数称为二元函数，一般记为
y
o
y
2 x
o
1 2x
E
3 开区域、闭区域
边界不在区域内的区域称为开区域.
边界在区域内的区域称为闭区域。 例如: ( x, y) x y 0 2 2 ( x , y ) 1 x y 4 开区域 ( x , y ) x y 0 闭区域 2 2 ( x, y ) 1 x y 4
解
令 x yu ,
x u v1 ,y
2
y x uv
v,
v1
f ( u, v ) (
u v 1
) (
2
uv v 1
)
2
u (1 v )
2
1 v
从而 f ( x , y )
x (1 y ) 1 y
2. 二元函数 z f ( x , y ) 的图形 二元函数 z f ( x , y ) 的图形通常是一张空间曲面， 例如： z 1 x 2 y 2 定义域为 圆域
( x, y)
x y 1
2 2
z
图形为中心在原点的上半球面。
o
1
y
x
三、多元函数的极限 f (x,y)=3x+2y
x
y f (x,y) 1.5 2.4 9.3 1.1 1.9 7.1 0.999 …
2.0001 …
…
7.001 7.0005
1 2
2
x y δ 时, 总有
2 2
2
x y
故 lim x 0
xy
2 2
y0,0 x, y 0 当
0
δ,
有
机动 目录 上页 下页 返回 结束