吉林省吉大附中2018届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试卷 Word版含解析
2018年吉林省长春市高考数学四模试卷(理科)
2018年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合1，，则A. B. C. D.2.若复数为纯虚数，则实数a的值为A. 1B. 0C.D.3.为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是A. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果B. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果C. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D. 药物A、B对该疾病均没有预防效果4.已知的三个顶点坐标分别为，，，则向量在方向上的投影为A. B. C. D.5.设公差小于0的等差数列的前n项和为，且，则当取得最大值时n的值为A. 6B. 7C. 8D. 116.函数的部分图象如图所示，则A. B. C. D.7.如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是A. 与是异面直线B. 平面C. AE，为异面直线，且D. 平面8.设x，y满足约束条件若目标函数的最大值为18，则a的值为A. 3B. 5C. 7D. 99.如图所示程序框图，若输出的x为，则输入的值为A. 1B.C.D. 210.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有面中，最大面的面积为A.B.C.D.11.双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，过焦点与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若是和的等比中项，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.12.已知函数，对任意的，，都有恒成立，则实数k的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若的展开式中的项的系数为20，则实数______．14.已知函数，则曲线在处的切线的斜率为______．15.如图，直角中，，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为______．16.半径为1的球放置于一个圆锥中，并使得球与圆锥底面相切，则圆锥体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，已知D为BC边上一点，，若．Ⅰ求的值；Ⅱ若的面积为，求a的值．18.某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，，第六组，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．Ⅰ求该学校高三年级男生的平均身高与这50名男生中身高在以上含的人数；Ⅱ从这50名男生中身高在以上含的人中任意抽取2人，该2人身高排名从高到低在全省前130名的人数记为，求的数学期望．附：参考数据：若服从正态分布，则，，．19.已知平行四边形ABCD中，，，点E为AD的中点，点F为BD与CE的交点，现沿BE将折起至位置，使平面PBE与平面BCDE垂直，设点G为的重心．Ⅰ求证：平面FED；Ⅱ求平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，已知点P是离心率为的椭圆C上的点，，为椭圆C的左右焦点，且的周长为6．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ已知与为平面内的两个定点，方程为的直线l与椭圆C交于M，N两点，问直线AM与BN的交点是否在一条直线上，如果是，请求出该直线的方程；否则请说明理由．21.已知函数．Ⅰ当且时，试判断函数的单调性；Ⅱ若且，求证：函数在上的最小值小于；Ⅲ若在R上是单调函数，求ab的最小值．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数Ⅰ求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；Ⅱ设曲线C和直线l相交于A，B两点，点P为曲线C上异于A，B的一点，求面积的最大值．23.已知函数．Ⅰ若不等式的解集为或，求实数a的值；Ⅱ若对，，求实数a的取值范围．答案和解析【答案】1. C2. D3. B4. B5. B6. B7. C8. A9. D10. C11. A12. D13.14.15. ．16.17. 解：Ⅰ在中，，可得，由，可得，，即为，，若，，有，故；Ⅱ由的面积为，得，再由余弦定理可得，可得．18. 解：Ⅰ根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为，高于全市的平均值；由频率分布直方图知，后两组频率为，人数为，即这50名男生身高在以上含的人数为10人．，，，全省前130名的身高在cm以上，这50人中cm以上的有5人；随机变量可取0，1，2，于是，，．．19. 本小题满分12分证明：Ⅰ延长BG交PE于H，连接HD．平行四边形ABCD中，，，点E为AD的中点，点F为BD与CE的交点，现沿BE将折起至位置，使平面PBE与平面BCDE垂直，设点G为的重心．，，，平面PDE，平面分解：以E为原点，以EB为x轴，以EC为y轴，以过点E垂直于平面BCDE的直线为z轴，建立坐标系．则0，，，0，，，0，，设平面BFG的法向量y，，则，取，得，分平面PBE的法向量1，分设平面BFG与平面PBE所成锐二面角为，则．故平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值为分20. 解：由且，可得，，即椭圆的方程为．设，，联立消去x得，，即，，AM：，BN：，可得，即，解得，故直线AM与BN的交点在同一条直线上．21. 解：Ⅰ由题可得，设，则，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，因为，所以，即，所以函数在R上单调递増．证明Ⅱ由知在上单调递増，因为，所以，所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时，．令，，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即当时，故函数在上的最小值小于；Ⅲ，所以，由为R上的单调函数，可知一定为单调增函数因此，令，所以，当时，，当时，，在R上为增函数，当时，与矛盾，当时，等价于，等价于，当时，，，令，，则，当，解得，当，解得，当时，，所以ab的最小值为．22. 本小题满分10分解：Ⅰ曲线C的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为，直线l的参数方程为为参数，直线l：分Ⅱ设，点P到直线l的距离：，曲线C是圆心为，半径的圆，圆心到直线l的距离，，面积的最大值为分23. 解：Ⅰ当时，由题意可知，，，．经检验成立．Ⅱ令当时显然不成立；当时，，从而，即．当时，，从而，即．综上可得实数a的取值范围是．【解析】1. 解：；，且；．故选：C．可解出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集、补集的概念及运算．2. 解：复数为纯虚数，，，解得．故选：D．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：由A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选：B．观察等高条形图，能够求出结果．本题考查等高条形图的应用，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4. 解：，，，可得，，向量在方向上的投影为，故选：B．求得向量AB，AC的坐标，再由向量的投影的定义，计算可得所求值．本题主要考查平面向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示以及向量的投影求法，考查运算能力，属于基础题．5. 解：由题意知，，，即，．由等差数列公差小于0，从而取最大值时．故选：B．由题意知，利用通项公式可得：，可得，由等差数列公差小于0，即可得出结论．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 解：根据函数的部分图象，可得，，，结合五点法作图可得，，函数，则，故选：B．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求得的值．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．7. 解：A不正确，因为与在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在平面；C正确，因为AE，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故A平面不正确；故选：C．由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强．8. 解：画出约束条件的可行域，如图：目标函数最大值为18，即目标函数在的交点处，目标函数z最大值为18，所以，所以．故选：A．由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值求出a的值．本题直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，正确作出可行域是解题的关键．9. 解：由题意知时，时，时，时，以此类推可知，解得．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10. 解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，其中D为棱的中点，，，，．可确定其最大面的面积为．故选：C．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，其中D为棱的中点，分别求出四个三角形的面积，比较得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．11. 解：根据题意，设P的坐标为，双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，则，，，，过焦点与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，则，则有，解可得，则，若是和的等比中项，则有，则有，变形可得：，则，则该双曲线的离心率，故选：A．根据题意，设P的坐标为，由双曲线的标准方程分析可得、、、的坐标，求出P的坐标，即可得，由等比数列的性质分析可得，则有，将其变形可得，结合双曲线的性质可得，由双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的离心率公式，关键是得到关于a、b、c的等式．12. 解：根据题意，不妨设，则等价于，令，则，再设，，原不等式等价于在上恒成立，又由，则，，则有恒成立，又由，则必有，即k的取值范围为；故选：D．根据题意，不妨设，则原不等式等价于，令，则，再设，，求导，求出函数的最值即可求出k的范围本题考查函数的恒成立问题，涉及导数的性质以及应用，关键是将原问题转化为函数的最值问题．13. 解：的展开式的通项公式为，令，可得展开式中的项的系数为，故，故答案为：．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得项的系数，再根据项的系数等于60，求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：，，故答案为：．求出函数的导数，计算的值即可．本题考查了切线的斜率问题，考查导数的应用，是一道基础题．15. 解：根据题意，如图建立坐标系，则，，设N的坐标为，则，设，则，，，则，则，，又由过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则，则有，即，变形可得：；又由，则，则点N的轨迹方程为，；故答案为：，．根据题意，建立坐标系，设N的坐标为，由此分析可得A、M、B的坐标，设，由三角函数的定义分析可得、的值，由平行线的性质分析可得，即，变形即可得答案．本题考查轨迹方程的求法，涉及抛物线的定义，关键是分析得到的值．16. 解：设圆锥的高为h，底面半径为r，则当圆锥体积最小小球与圆锥侧面相切，由三角形相似可得，即，圆锥的体积．当且仅当即时取等号．故答案为：．根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．本题考查了圆锥的结构特征，体积公式与基本不等式的应用，属于中档题．17. Ⅰ运用余弦定理可得，由，可得，运用余弦定理化简可得，再由正弦定理即可得到所求值；Ⅱ运用三角形的面积公式可得b，再由余弦定理计算可得a的值．本题考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18. Ⅰ根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为结合频率分布直方图即可得出．由，可得，可得全省前130名的身高在cm以上，这50人中cm以上的有5人；随机变量可取0，1，2，利用超几何分布列的计算公式即可得出．本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19. Ⅰ延长BG交PE于H，连接HD，推导出，由此能证明平面PED．以E为原点，以EB为x轴，以EC为y轴，以过点E垂直于平面BCDE的直线为z 轴，建立坐标系利用向量法能求出平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值．本题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20. Ⅰ由且，即可求出a，c，可得b，即可得到椭圆方程，Ⅱ设，，联立，根据韦达定理和直线方程可得，即可求出直线方程．本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题21. Ⅰ先求导，再构造函数，再求导，根据函数的最值即可判断，Ⅱ等价于当时，构造函数，，求出函数的最值即可证明，Ⅲ等价于，构造函数，求导，分类讨论，求出函数的最值即可．本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题．22. Ⅰ由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l的参数方程，能求出直线的普通方程．Ⅱ设，点P到直线l的距离，再求出，由此能求出面积的最大值．本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．23. Ⅰ根据去绝对值，求解的解析式，解集为或，即可求实数a的值；Ⅱ对a进行讨论，去绝对值，求解实数a的取值范围．本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容本小题重点考查化归与转化思想．。
吉林省2018届高考第四次模拟数学理科试题含答案
3
A． 2 B． 2 C． 3 D． 2 3
（ 12）已知函数 f x ax， g x ln x ，存在 t
0,e ，使得 f t
g t 的最小值为
3，则函数 g x ln x 图象上一点 P 到函数 f x ax图象上一点 Q 的最短距离为（ ）
1
e4 1 2 e4 1 3 e4 1
A． e B． e4 1 C. e4 1 D． e4 1
0
的最 大值为 2， 且 满足
fx f
x
2
，则
（）
5
A. 6
B.
3
C.
6或 6
D.
（ 8）若正整数 N 除以正整数 m后的余数为 n ，则记为
N n modm ，例如 83 5 mod6 . 执行如图所示
的程序框图，则输出的结果为（
）
A. 2019 B. 2023 C. 2031 D. 2047
（ 9）如图，在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1，以 A 为顶点
4) = f ( x ) ， 当 x
2, 0 时 ，
公元前 344 年商鞅监制的一种标准量器——商
鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸） ，若
取 3，其体积为 12.6 （立方寸），则图中的 x
为（ ）
A. 1.2
B.
C. 1.8
D.
1.6 2.4
（ 7 ） 已 知 函 数 f x sin 2x
a cos 2x
2 3或 3
且
过点 C 的抛物线的一部分在矩形内；若在矩形
ABCD 内随机
地
投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（
）
12A. 2B 333C. 5
2018届吉林省吉大附中高三第四次模拟考试理综试卷答案
的向心力
qvB＝mv2，周期 r
T＝2πr，得 v
T＝2πm；带电粒子运动的时间 qB
t＝T1＋12T2＝2qπBm1 ＋qπBm2，由
B1∶B2＝2∶1
得
t＝2πm，D qB2
错误。
19．答案：AD
解析：v＝
GM，冥王星轨道半径大于地球轨道半径，所以冥王星绕日公转的线速度比地球绕 r
日公转的线速度小，故 A 正确； a＝GrM2 ，冥王星轨道半径大于地球轨道半径，所以冥王星绕日
（2）电阻箱两端的电压 U＝ E R，则 1 ＝1＋（R1＋r）·1，再由图乙中纵轴截距可得1＝
R＋R1＋r
UE
ER
E
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0.5 V－1，得 E＝2.0 V，图线斜率R1＋r＝1.5－0.5Ω/V＝2Ω/V，又知 R1＝3.2Ω，解得 r＝0.8Ω。 E 0.5－0
24．解析：（1）小球由
判定电荷的正负，A 错误；根据左手定则可知 MN 上下两侧的磁场方向相同，B 正确；设上面的
圆弧半径是 r1，下面的圆弧半径是 r2，根据几何关系可知 r1∶r2＝1∶2；洛伦兹力充当圆周运动
的向心力
qvB＝mv2，得 r
B＝mv；所以 qr
B1∶B2＝r2∶r1＝2∶1，C
错误；由洛伦兹力充当圆周运动
解析：（1）由实验电路图分析可知在切换 S2 时，应使电路中的电流保持不变，则应保持电阻箱
示数不变。S2 切换到 a 时，电压表测量的是电阻箱 R 两端的电压，则有 U1＝IR0，当 S2 接 b 时，
电压表测量的是电阻箱 R 和 R1 两端的电压，则有 U2＝I（R0＋R1），解得 R1＝U2－U1R0。 U1
吉大附中第四次模拟考试答案
2018年吉林省长春市高考数学四模试卷(理科)
2018年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A={−3, −1, 1, 3}，B={x|x2+2x−3=0}．则A∩(∁R B)=()A.{1, −3}B.{−1, −3}C.{−1, 3}D.{1, 3}2. 若复数z=1+i1+ai为纯虚数，则实数a的值为（）A.1B.0C.−12D.−13. 为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图，如图所示．根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果C.药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D.药物A、B对该疾病均没有预防效果4. 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(−3, 3)，C(4, 2)，则向量AB→在AC→方向上的投影为（）A.√10B.−√10C.√22D.−√225. 设公差小于0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=11a6，则当S n取得最大值时n 的值为（）A.6B.7C.8D.116. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, −π2<φ<π2)(x∈R)的部分图象如图所示，则f(π3)=()A.1 2B.√32C.−12D.−√327. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( ) 1与B 1E 是异面直线B.AC ⊥平面ABB 1A 1C.AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D.A 1C 1 // 平面AB 1E8. 设x ，y 满足约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0 若目标函数z =ax +y(a >0)的最大值为18，则a 的值为（ ） A.3 B.5 C.7 D.99. 如图所示程序框图，若输出的x 为−1，则输入x 0的值为（ ）A.1B.12C.−1D.210. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有面中，最大面的面积为（ ）A.4√2B.4√6C.8√2D.8√611. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若|PA1|是|F1F2|和|A1F2|的等比中项，则该双曲线的离心率为（）A.√2B.√3C.2D.√512. 已知函数f(x)=e x，对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<|k|⋅（f(x1)+f(x2)）恒成立，则实数k的取值范围是（）A.[−2, 2]B.(−∞, −2]∪[2, +∞)C.[−12,1 2 ]D.(−∞,−12]∪[12,+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分．若(1−ax)6的展开式中的x3项的系数为20，则实数a=________．已知函数f(x)=sinx+cosx，则曲线y=f(x)在x=π12处的切线的斜率为________．如图，直角△OAB中，OA=4，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为________．半径为1的球放置于一个圆锥中，并使得球与圆锥底面相切，则圆锥体积的最小值为________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60∘，已知D为BC边上一点，CD=2DB，若AD=√213b．(Ⅰ)求sinBsinC的值；(Ⅱ)若△ABC的面积为2√3，求a的值．某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N(170.5, 16)，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5, 162.5)，第二组[162.5, 167.5)，…，第六组[182.5, 187.5)，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．(Ⅰ)求该学校高三年级男生的平均身高与这50名男生中身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人数；(Ⅱ)从这50名男生中身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人中任意抽取2人，该2人身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．（附：参考数据：若ξ服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9974．已知平行四边形ABCD 中，A =60∘，AD =2AB ，点E 为AD 的中点，点F 为BD 与CE 的交点，现沿BE 将△ABE 折起至△PBE 位置，使平面PBE 与平面BCDE 垂直，设点G 为△PBE 的重心．(Ⅰ)求证：GF // 平面PED ；(Ⅱ)求平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值．在平面直角坐标系中，已知点P 是离心率为12的椭圆C 上的点，F 1，F 2为椭圆C 的左右焦点，且△F 1PF 2的周长为6． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知A(−2, 0)与B(2, 0)为平面内的两个定点，方程为x =my +1(m ∈R)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，问直线AM 与BN 的交点是否在一条直线上，如果是，请求出该直线的方程；否则请说明理由．已知函数f(x)=e x −12bx 2+ax(a, b ∈R)． (Ⅰ)当a >−1且b =1时，试判断函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若a <1−e 且b =1，求证：函数f(x)在[1, +∞)上的最小值小于12；(Ⅲ)若f(x)在R 上是单调函数，求ab 的最小值．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．[选修4-4坐标系与参数方程选讲]已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，直线l 的参数方程为{x =√32ty =1+12t（t 为参数）(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；(Ⅱ)设曲线C和直线l相交于A，B两点，点P为曲线C上异于A，B的一点，求△PAB面积的最大值．[选修4-5不等式选讲]已知函数f(x)=|x−2|．(Ⅰ)若不等式f(x−a+2)+f(x−1)≥4(a<3)的解集为{x|x≤12或x≥92}，求实数a的值；(Ⅱ)若对∀x∈R，f(x−a+2)+2f(x−1)≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2018年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可解出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】B={−3, 1}；∴∁R B={x|x≠−3, 且x≠1}；∴A∩(∁R B)={−1, 3}．2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解:复数z=1+i1+ai=(1+i)(1−ai) (1+ai)(1−ai)=1+a1+a2+1−a1+a2i∵复数为纯虚数，∴1+a1+a =0，1−a1+a≠0，解得a=−1.故选D．3.【答案】B【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】解：由图表可知，药物A服用之后，患病人数与未患病人数对比明显，故药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选B．4.【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】求得向量AB ，AC 的坐标，再由向量的投影的定义，计算可得所求值． 【解答】A(1, 1)，B(−3, 3)，C(4, 2)， 可得AB →=(−4, 2)，AC →=(3, 1)， 向量AB →在AC →方向上的投影为AB →∗AC →|AC →|=√9+1=−√10，5.【答案】 B【考点】等差数列的前n 项和 【解析】由题意知S 3=11a 6，利用通项公式可得：3a 1+3d =11(a 1+5d)，可得2a 1+13d =0，a 7+a 8=(0)由等差数列公差小于0，即可得出结论． 【解答】由题意知S 3=11a 6，∴ 3a 1+3d =11(a 1+5d)， ∴ 2a 1+13d =0， 即a 1+a 14=0， ∴ a 7+a 8=(0)由等差数列公差小于0，从而S n 取最大值时n =(7) 6.【答案】 B【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f(π3)的值． 【解答】根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, −π2<φ<π2)(x ∈R)的部分图象， 可得A =1，14⋅2πω=2π3−π6，∴ ω=1，结合五点法作图可得1×π6+φ=π2，∴ φ=π3，函数f(x)=sin(x +π3)， 则f(π3)=sin2π3=√32， 7.【答案】 C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 棱柱的结构特征 【解析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E 是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项 【解答】解：A ，不正确，因为CC 1与B 1E 在同一个侧面中，故不是异面直线；B ，不正确，由题意知，上底面ABC 是一个正三角形，故不可能存在AC ⊥平面ABB 1A 1； C ，正确，因为AE ，B 1C 1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D ，不正确，因为A 1C 1所在的平面A 1B 1C 1与平面AB 1E 相交，且A 1C 1与交线有公共点，故A 1C 1 // 平面AB 1E 不正确. 故选C . 8.【答案】 A【考点】 简单线性规划 【解析】由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值．求出a 的值． 【解答】画出约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0 的可行域，如图：目标函数z =ax +y(a >0)最大值为18，即目标函数z =ax +y(a >0) 在{3x −y −6=0x −y +2=0的交点M(4, 6)处， 目标函数z 最大值为18，所以4a +6=18，所以a =3． 9.【答案】 D【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】由题意知i =0时x =x 0， i =1时x =1−1x 0，i =2时x =1−xx 0−1，i=3时x=x0，…以此类推可知x2008=1−x0x0−1=−1，解得x=(2)10.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥A−BCD，其中D为棱的中点，分别求出四个三角形的面积，比较得答案．【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥A−BCD，其中D为棱的中点，S△ABD=12×2×4=4，S△BDC=12×2×4=4，S△ABC=12×4√2×4=8√2，S△ADC=12×4√3×2√2=4√6．可确定其最大面的面积为8√2．11.【答案】A【考点】双曲线的特性【解析】根据题意，设P的坐标为(m, n)，由双曲线的标准方程分析可得F1、F2、A1、A2的坐标，求出P的坐标，即可得|PF2|=b2a，由等比数列的性质分析可得|PA1|2=|F1F2||A1F2|，则有b4a2+(a+c)2=2c(a+c)，将其变形可得b2=a2，结合双曲线的性质可得c=√2a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】根据题意，设P的坐标为(m, n)，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，则F1(−c, 0)，F2(c, 0)，A1(−a, 0)，A2(a, 0)，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，则m=c，则有c2a2−n2b2=1，解可得n=±b2a，则P(c, ±b2a)，|PF2|=b2 a若|PA1|是|F1F2|和|A1F2|的等比中项，则有|PA1|2=|F1F2||A1F2|，则有b4a2+(a+c)2=2c(a+c)，变形可得：b2=a2，则c=√2a，则该双曲线的离心率e=ca=√2，12.【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】根据题意，不妨设x1<x2，则原不等式等价于e x1−e x2e1+e2μ>|k|(x1−x2)，令t=x2−x1，则t>0，再设g(t)=|k|t−e t−1e t+1，(t>0)，求导，求出函数的最值即可求出k的范围【解答】根据题意，不妨设x1<x2，则f(x1)−f(x2)x1−x2<|k|⋅（f(x1)+f(x2)）等价于e x1−e x2e x1+e x2>|k|(x1−x2)，令t=x2−x1，则t>0，再设g(t)=|k|t−e t−1e t+1，(t>0)，原不等式等价于g(t)>0在(0, +∞)上恒成立，又由g(0)=0，则g′(t)=|k|−2e t(e t+1)2，(t>0)，则有|k|≥2et(e t+1)2恒成立，又由2e t(e t+1)2=2e te2t+2e t+1=2e t+1e t+2<12，则必有|k|≥12，即k的取值范围为(−∞,−12]∪[12,+∞)；二、填空题：本题共4小题，每小题5分．【答案】−1【考点】二项式定理的应用【解析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3项的系数，再根据x3项的系数等于60，求得实数a的值．【解答】(1−ax)6的展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(−a)r⋅x r，令r=3，可得展开式中的x3项的系数为(−a)3 C63=−20a3=20，故a=−1，【答案】√22【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出函数的导数，计算f′(π12)的值即可．【解答】f′(x)=cosx −sinx ， f′(π12)=cos π12−sin π12=√22， 【答案】y 2=8x(x ≠0)． 【考点】 轨迹方程 【解析】根据题意，建立坐标系，设N 的坐标为(x, y)，由此分析可得A 、M 、B 的坐标，设∠OBA =∠COA =θ，由三角函数的定义分析可得|AC|、|BC|的值，由平行线的性质分析可得|AM||NB|=|AC||BC|，即2x=√4+y 2−y 2√4+y y 2√4+y ，变形即可得答案．【解答】根据题意，如图建立坐标系，则A(4, 0)，M(2, 0)， 设N 的坐标为(x, y)，则B(0, y)，y ≠0 设∠OBA =∠COA =θ，则|OA|=4，|OB|=|y|，|AB|=√4+y 2， 则cosθ=√4+y 2，则|BC|=ycosθ=2√4+y 2，|AC|=√4+y 2−22，又由过B 点且垂直于y 轴的直线交直线MC 于点N ，则BN // OA ，则有|AM||NB|=|AC||BC|，即2x=√4+y 2−24+y y 24+y ，变形可得：y 2=8x ；又由y ≠0，则x ≠0，则点N 的轨迹方程为y 2=8x ，(x ≠0)； 【答案】8π 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【解析】根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案． 【解答】设圆锥的高为ℎ，底面半径为r ，则当圆锥体积最小小球与圆锥侧面相切， 由△AOE ∼△ACF 可得1r=√(ℎ−1)2−12ℎ，即r =√ℎ2−2ℎ，∴ 圆锥的体积V =13πr 2ℎ=πℎ23(ℎ−2)=π3[(ℎ−2)+4ℎ−2+4]≥8π3．当且仅当ℎ−2=2即ℎ=4时取等号．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【答案】(Ⅰ)在△ABC中，A=60∘，可得a2=b2+c2−2bccos60∘=b2+c2−bc，由∠ADB+∠ADC=π，可得cos∠ADB+cos∠ADC=0，CD=2DB，即为CD=23a，BD=13a，若AD=√213b，a2 9+21b29−c2a3∗√21b34a29+21b29−b22∗2a3∗√21b3=0，有c=2b，故sinBsinC =bc=12；(Ⅱ)由△ABC的面积为S=12b⋅2b⋅sin60∘=√32b2=2√3，得b=2，再由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccos60∘=b2+c2−bc=b2+4b2−2b2=3b2=12，可得a=2√3．【考点】三角形求面积【解析】(Ⅰ)运用余弦定理可得a2=b2+c2−2bccos60∘=b2+c2−bc，由∠ADB+∠ADC=π，可得cos∠ADB+cos∠ADC=0，运用余弦定理化简可得c=2b，再由正弦定理即可得到所求值；(Ⅱ)运用三角形的面积公式可得b，再由余弦定理计算可得a的值．【解答】(Ⅰ)在△ABC中，A=60∘，可得a2=b2+c2−2bccos60∘=b2+c2−bc，由∠ADB+∠ADC=π，可得cos∠ADB+cos∠ADC=0，CD=2DB，即为CD=23a，BD=13a，若AD=√213b，a2 9+21b29−c2a3∗√21b34a29+21b29−b22∗2a3∗√21b3=0，有c=2b，故sinBsinC =bc=12；(Ⅱ)由△ABC的面积为S=12b⋅2b⋅sin60∘=√32b2=2√3，得b=2，再由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccos60∘=b2+c2−bc =b2+4b2−2b2=3b2=12，可得a=2√3．【答案】(Ⅰ)根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为x=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，∴高于全市的平均值170.5；由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，∴人数为0.2×50=10，即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数为10人．(II)∵P(170.5−3×4<ξ≤170.5+3×4)=0.9974，∴P(ξ≥182.5)=1−0.99742=0.0013，∴0.0013×100 000=130，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；∴随机变量ξ可取0，1，2，于是P(ξ=0)=∁52∁102=29，P(ξ=1)=∁51∁51∁102=59，P(ξ=2)=∁52∁102=29．Eξ=0×29+1×59+2×29=(1)【考点】频率分布直方图正态分布的密度曲线【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为x=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×(5)结合频率分布直方图即可得出．(II)由P(170.5−3×4<ξ≤170.5+3×4)=0.9974，可得P(ξ≥182.5)=1−0.99742=0.0013，可得全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；随机变量ξ可取0，1，2，利用超几何分布列的计算公式即可得出．【解答】(Ⅰ)根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为x=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，∴高于全市的平均值170.5；由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，∴人数为0.2×50=10，即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数为10人．(II)∵P(170.5−3×4<ξ≤170.5+3×4)=0.9974，∴P(ξ≥182.5)=1−0.99742=0.0013，∴0.0013×100 000=130，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；∴随机变量ξ可取0，1，2，于是P(ξ=0)=∁52∁102=29，P(ξ=1)=∁51∁51∁102=59，P(ξ=2)=∁52∁102=29．Eξ=0×29+1×59+2×29=(1)【答案】（本小题满分1证明：(Ⅰ)延长BG 交PE 于H ， 连接HD ．∵ 平行四边形ABCD 中，A =60∘， AD =2AB ，点E 为AD 的中点， 点F 为BD 与CE 的交点，现沿BE 将△ABE 折起至△PBE 位置，使平面PBE 与平面BCDE 垂直， 设点G 为△PBE 的重心．∴ BGGH =2，BFFD =2，∴ GF // HD ，∵ HD ⊂平面PDE ， ∴ GF // 平面PED ．（2）以E 为原点，以EB 为x 轴，以EC 为y 轴，以过点E 垂直于平面BCDE 的直线为z 轴，建立坐标系．则B(2, 0, 0)，D(−1, √3, 0)，G(1, 0, √33)，BD →=(−3, √3, 0)，BG →=(−1, 0, √33)， 设平面BFG 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →∗BD →=−3x +√3y =0n →∗BG →=−x +√33z =0 ，取x =1，得n →=(1, √3,√3)， 平面PBE 的法向量m →=(0, 1, 0)．设平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角为θ， 则cosθ=|n →∗m →||n →|∗|m →|=21=√217． 故平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值为√217．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)延长BG 交PE 于H ，连接HD ，推导出GF // HD ，由此能证明GF // 平面PED ．（2）以E 为原点，以EB 为x 轴，以EC 为y 轴，以过点E 垂直于平面BCDE 的直线为z 轴，建立坐标系．利用向量法能求出平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值． 【解答】（本小题满分1证明：(Ⅰ)延长BG 交PE 于H ，连接HD ．∵ 平行四边形ABCD 中，A =60∘， AD =2AB ，点E 为AD 的中点， 点F 为BD 与CE 的交点，现沿BE 将△ABE 折起至△PBE 位置，使平面PBE 与平面BCDE 垂直， 设点G 为△PBE 的重心．∴ BGGH =2，BFFD =2，∴ GF // HD ，∵ HD ⊂平面PDE ， ∴ GF // 平面PED ．（2）以E 为原点，以EB 为x 轴，以EC 为y 轴，以过点E 垂直于平面BCDE 的直线为z 轴，建立坐标系． 则B(2, 0, 0)，D(−1, √3, 0)，G(1, 0, √33)，BD →=(−3, √3, 0)，BG →=(−1, 0, √33)， 设平面BFG 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →∗BD →=−3x +√3y =0n →∗BG →=−x +√33z =0 ，取x =1，得n →=(1, √3,√3)， 平面PBE 的法向量m →=(0, 1, 0)．设平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角为θ， 则cosθ=|n →∗m →||n →|∗|m →|=21=√217． 故平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值为√217．【答案】（1）由e =12且2a +2c =6， 可得a =2，c =1，即椭圆的方程为x 24+y 23=(1)（2）设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立{x 24+y 23=1x =my +1 消去x 得，(3m 2+4)y 2+6my −9=0，即y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， AM:y =y 1x1+2(x +2)①，BN:y =y 2x 2−2(x −2)②，可得y 1x 1+2(x+2)y 2x 2−2(x−2)=1， 即x+2x−2=y 2(x 1+2)y1(x 2−2)=y 2(my 1+3)y 1(my 2−1)=my 1y 2+3y 2my 1y 2−y 1=−9m 3m 2+4−18m3m 2+4−3y 1−9m3m 2+4−y 1=3，解得x =4，故直线AM 与BN 的交点在同一条直线x =4上． 【考点】 椭圆的定义 【解析】(Ⅰ)由e =12且2a +2c =6，即可求出a ，c ，可得b ，即可得到椭圆方程，(Ⅱ)设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立{x 24+y 23=1x =my +1 ，根据韦达定理和直线方程可得x+2x−2=y 2(x 1+2)y 1(x 2−2)=3，即可求出直线方程．【解答】（1）由e =12且2a +2c =6， 可得a =2，c =1，即椭圆的方程为x 24+y 23=(1)（2）设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立{x 24+y 23=1x =my +1 消去x 得，(3m 2+4)y 2+6my −9=0，即y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， AM:y =y 1x 1+2(x +2)①，BN:y =y 2x 2−2(x −2)②，可得y 1x 1+2(x+2)y 2x 2−2(x−2)=1， 即x+2x−2=y 2(x 1+2)y1(x 2−2)=y 2(my 1+3)y 1(my 2−1)=my 1y 2+3y 2my 1y 2−y 1=−9m 3m 2+4−18m3m 2+4−3y 1−9m3m 2+4−y 1=3，解得x =4，故直线AM 与BN 的交点在同一条直线x =4上． 【答案】(Ⅰ)由题可得f′(x)=e x −x +a ，设g(x)=e x −x +a ，则g′(x)=e x −1，所以当x >0时g′(x)>0，g(x)在(0, +∞)上单调递增， 当x <0时g′(x)<0，g(x)在(−∞, 0)上单调递减， 所以g(x)≥g(0)=1+a ，因为a >−1，所以1+a >0，即f′(x)>0， 所以函数f(x)在R 上单调递増．证明(Ⅱ)由（1）知g(x)在[1, +∞)上单调递増， 因为a <1−e ，所以g(1)=e −a +1<0，所以存在t ∈(1, +∞)，使得g(t)=0，即e t −t +a =0，即a =t −e t ， 所以函数f(x)在[1, t)上单调递减，在(t, +∞)上单调递増，所以当x ∈[1, +∞)时，f(x)min =f(t)=e t −12t 2+at =e t −12t 2+t(t −e t )=e t(1−t)+12t2．令ℎ(x)=e x(1−x)+12x2，x>1，则ℎ′(x)=x(1−e x)<0恒成立，所以函数ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减，所以ℎ(x)<e(1−1)+12=12，所以e t(1−t)+12t2<12，即当x∈[1, +∞)时f(x)min<12，故函数f(x)在[1, +∞)上的最小值小于12；(Ⅲ)x)=e x−12bx2+ax，所以f′(x)=e x−bx+a，由f(x)为R上的单调函数，可知f(x)一定为单调增函数因此f′(x)=e x−bx+a≥0，令m(x)=e x−bx+a，所以m′(x)=e x−b，当b=0时，ab=0，当b<0时，m′(x)>0，m(x)在R上为增函数，当x→−∞时，m(x)→−∞与m(x)≥0矛盾，当b>0时，m′(x)>0等价于x>lnb，m′(x)<0等价于x<lnb，当x=lnb时，m(x)min=b−blnb+a≥0，ab≥b2lnb−b2，b>0令φ(x)=x2lnx−x2，x>0，则φ′(x)=2(2lnx−1)，当φ′(x)>0，解得x>√e，当φ′(x)<0，解得0<x<√e，当x=√e时，φ(x)min=−e2，所以ab的最小值为−e2．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)先求导，再构造函数，再求导，根据函数的最值即可判断，(Ⅱ)等价于当x∈[1, +∞)时，f(x)min=f(t)=e t(1−t)+12t2．构造函数ℎ(x)=e x(1−x)+12x2，x>1，求出函数的最值即可证明，(Ⅲ)等价于f′(x)=e x−bx+a≥0，构造函数m(x)=e x−bx+a，求导，分类讨论，求出函数的最值即可．【解答】(Ⅰ)由题可得f′(x)=e x−x+a，设g(x)=e x−x+a，则g′(x)=e x−1，所以当x>0时g′(x)>0，g(x)在(0, +∞)上单调递增，当x<0时g′(x)<0，g(x)在(−∞, 0)上单调递减，所以g(x)≥g(0)=1+a，因为a>−1，所以1+a>0，即f′(x)>0，所以函数f(x)在R上单调递増．证明(Ⅱ)由（1）知g(x)在[1, +∞)上单调递増， 因为a <1−e ，所以g(1)=e −a +1<0，所以存在t ∈(1, +∞)，使得g(t)=0，即e t −t +a =0，即a =t −e t ， 所以函数f(x)在[1, t)上单调递减，在(t, +∞)上单调递増，所以当x ∈[1, +∞)时，f(x)min =f(t)=e t −12t 2+at =e t −12t 2+t(t −e t )=e t (1−t)+12t 2．令ℎ(x)=e x (1−x)+12x 2，x >1，则ℎ′(x)=x(1−e x )<0恒成立， 所以函数ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减，所以ℎ(x)<e(1−1)+12=12， 所以e t (1−t)+12t 2<12，即当x ∈[1, +∞)时f(x)min <12， 故函数f(x)在[1, +∞)上的最小值小于12； (Ⅲ)x)=e x −12bx 2+ax ，所以f′(x)=e x −bx +a ，由f(x)为R 上的单调函数，可知f(x)一定为单调增函数 因此f′(x)=e x −bx +a ≥0， 令m(x)=e x −bx +a ， 所以m′(x)=e x −b ， 当b =0时，ab =0，当b <0时，m′(x)>0，m(x)在R 上为增函数， 当x →−∞时，m(x)→−∞与m(x)≥0矛盾，当b >0时，m′(x)>0等价于x >lnb ，m′(x)<0等价于x <lnb ， 当x =lnb 时，m(x)min =b −blnb +a ≥0，ab ≥b 2lnb −b 2，b >0 令φ(x)=x 2lnx −x2，x >0， 则φ′(x)=2(2lnx −1)，当φ′(x)>0，解得x >√e ，当φ′(x)<0，解得0<x <√e ， 当x =√e 时，φ(x)min =−e2， 所以ab 的最小值为−e2．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．[选修4-4坐标系与参数方程选讲] 【答案】（本小题满分1(Ⅰ)∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0， ∵ 直线l 的参数方程为{x =√32ty =1+12t （t 为参数）， ∴ 直线l:x −√3y +√3=(0) (Ⅱ)设P(2cosθ, 2+2sinθ)， 点P 到直线l 的距离：d =|2cosθ−2√3sinθ−√3|2=|4sin(θ−π6)+√3|2≤2+√32， 曲线C 是圆心为C(0, 2)，半径r =12√16=2的圆， 圆心C(0, 2)到直线l 的距离d′=√3+√3|1+3=√32， ∴ |AB|=2√22−(√32)2=√13，∴ △PAB 面积的最大值为S =12×|AB|×d max =12×√13×(2+√32)=4√13+√394．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程能求出曲线C 的直角坐标方程；由直线l 的参数方程，能求出直线的普通方程．(Ⅱ)设P(2cosθ, 2+2sinθ)，点P 到直线l 的距离d =|2cosθ−2√3sinθ−√3|2≤2+√32，再求出|AB|=√13，由此能求出△PAB 面积的最大值． 【解答】（本小题满分1(Ⅰ)∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0， ∵ 直线l 的参数方程为{x =√32ty =1+12t （t 为参数）， ∴ 直线l:x −√3y +√3=(0) (Ⅱ)设P(2cosθ, 2+2sinθ)， 点P 到直线l 的距离： d =|2cosθ−2√3sinθ−√3|2=|4sin(θ−π6)+√3|2≤2+√32， 曲线C 是圆心为C(0, 2)，半径r =12√16=2的圆， 圆心C(0, 2)到直线l 的距离d′=√3+√3|√1+3=√32， ∴ |AB|=2√22−(√32)2=√13，∴ △PAB 面积的最大值为S =12×|AB|×d max =12×√13×(2+√32)=4√13+√394． [选修4-5不等式选讲] 【答案】（1）当a <3时，|x −a|+|x −3|={a +3−2x,x ≤a3−a,a <x <32a −x −3,x ≥3由题意可知，2x −a −3≥4，x ≥7+a 2=92，∴ a =(2) 经检验成立．（2）令g(x)=f(x −a +2)+2f(x −1)=|x −a|+2|x −3| 当a =3时显然不成立；当a <3时，g(x)={a +6−3x,x ≤a6−a −x,a <x <33x −a −6,x ≥3 ，从而g(x)≥3−a ≥1，即a ≤(2)当a >3时，g(x)={a +6−3x,x ≤3−6+a +x,a <x <33x −a −6,x ≥a ，从而g(x)≥a −3≥1，即a ≥(4)综上可得实数a 的取值范围是(−∞, 2]∪[4, +∞)． 【考点】分段函数的应用 【解析】(Ⅰ)根据a <3去绝对值，求解f(x)的解析式，解集为{x|x ≤12或x ≥92}，即可求实数a 的值；(Ⅱ)对a 进行讨论，去绝对值，求解实数a 的取值范围． 【解答】（1）当a <3时，|x −a|+|x −3|={a +3−2x,x ≤a3−a,a <x <32a −x −3,x ≥3由题意可知，2x −a −3≥4，x ≥7+a 2=92，∴ a =(2) 经检验成立．（2）令g(x)=f(x −a +2)+2f(x −1)=|x −a|+2|x −3| 当a =3时显然不成立；当a <3时，g(x)={a +6−3x,x ≤a6−a −x,a <x <33x −a −6,x ≥3 ，从而g(x)≥3−a ≥1，即a ≤(2)当a >3时，g(x)={a +6−3x,x ≤3−6+a +x,a <x <33x −a −6,x ≥a ，从而g(x)≥a −3≥1，即a ≥(4)综上可得实数a 的取值范围是(−∞, 2]∪[4, +∞)．。
(最新整理)2018年高考数学(理科)模拟试卷(四)
12．［2016·海口调研]已知曲线 f（x）＝ke－2x 在点 x＝0 处的切线与直线 x－y－1＝0 垂直，
若 x1,x2 是函数 g(x)＝f（x）－|ln x｜的两个零点,则( ）
A．1<x1x2〈
B。Error!<x1x2〈1
C．2<x1x2〈2 e
D。Error!〈x1x2〈2
向 x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则 k 等于（ )
A.Error! B．± C．±Error! D。
4．[2016·洛阳第一次联考］如果圆 x2＋y2＝n2 至少覆盖曲线 f（x)＝ sin （x∈R）的
一个最高点和一个最低点，则正整数 n 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 5．［2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为( )
的投影．由区域 Error!中的点在直线 x＋y－2＝0 上的投影构成的线段记为 AB，则｜AB｜＝( ) A．2 B．4 C．3 D．6
8．[2017·广西质检］某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ )
A．24＋6π B．12π C．24＋12π D．16π 9．［2016·南京模拟]已知四面体 P－ABC 中，PA＝4,AC＝2Error!，PB＝BC＝2 ，PA⊥平
面 PBC，则四面体 P－ABC 的外接球半径为( ）
A．2 2 B．2 C．4 2 D．4 3
10．［2016·四川高考]在平面内，定点 A，B,C，D 满足｜ |＝|Error!｜＝｜DC）｜，Error!·
DB，）＝ห้องสมุดไป่ตู้·Error!＝DC，）·Error!＝－2，动点 P，M 满足｜ |＝1，Error!＝ ，则|Error!|2
吉林省吉林大学附属中学2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析
吉林省吉林大学附属中学2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题注意事项：1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上； 2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（客观题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）已知一元二次不等式()0f x <的解集为{|1x x <-或1}3x >，则()0x f e >的解集为（A ）{|1x x <-或ln3}x >- （B ）{|1ln3}x x -<<- （C ）{|ln3}x x >- （D ）{|ln3}x x <- （2）若2i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 （A ）13i 22+ （B ）13i 22-+ （C ）33i 22+ （D ）33i 22-（3）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A ）ln y x =（B ）21y x =+（C ）sin y x =（D ）cos y x =（4）两枚均匀的骰子一起投掷，记事件A ={至少有一枚骰子6点向上}，B ={两枚骰子都是6点向上}，则(|)P B A =（A ）16 （B ）136（C ）112 （D ）111（5）执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（A （B ）（C ）12（D ）12-（6）下列命题：①“若a b ≤，则a b <”的否命题；②“若1a =，则230ax x -+≥的解集为R ”的逆否命题； ③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；为有理数，则x 为无理数”的逆否命题. 其中真命题序号为（A ）②④ （B ）①②③ （C ）②③④ （D ）①②③④（7）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（A ） （B ） （C ） （D ） 直观图（8）已知向量(12)(321)x y =+=-，，，，m n 若m ⊥n ，则8x +16y的最小值为（A （B ）4（C ）（D ）（9）sin()πα-=3()2παπ∈，，则sin()22πα+=（A ） （B ） （C （D （10）三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为8π，则三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为（A ）2（B ）3（C ） （D ）4（11）设A B 、为抛物线22(0)y px p =>上相异两点，则22||||OA OB AB +-的最小值为 （A ）24p - （B ）23p -（C ）22p -（D ）2p -（12）设函数()|lg(1)|f x x =+，满足1()()2b f a f b +=-+，()10(1)6(2)14lg2f a b +++-=，其中 a b a b ∈<R 且，，，则a b +的值为（A ）0 （B ）115（C ）1115-（D ）1-第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．（13）设371152α⎧⎫∈-⎨⎬⎭⎩，，，，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 . （14）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为 .（15）我校有4名青年教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，则恰有1道题没有被这4位选中的情况有 种.（16）已知点0)A 和曲线y x =剟上的点12n P P P ，，，.若12||||P A P A ，||n P A ，，成等差数列且公差1(5d ∈，则n 的最大值为 .三、解答题：本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 已知点*1()()n n P a a n +∈N ,是函数214y x =在点1(1)4,处的切线上的点，且112a =． （Ⅰ）证明：1{}2n a +是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．（18）（本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖均不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求3X ≤的概率； （Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？（19）（本小题满分12分） 在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ABCD ⊥底面，90ADC ∠=︒，AB CD ||，122AD CD DD AB ====.（Ⅰ）求证：11AD B C ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的正弦值；（20）（本小题满分12分）椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为12F F ，，右顶点为A ，上顶点为B .已知12|||AB F F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）过点(20)M a -，的直线交椭圆Γ于P 、Q （不同于左、右顶点）两点， 且11111||||12PF QF +=.当1PQF △面积最大时，求直线PQ 的方程.A 1CD 1DABB 1C 1（21）（本小题满分12分）已知函数211()ln()(22f x ax x ax a =++-为常数，0a >）．（Ⅰ）若12x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； （Ⅱ）求证：02a <≤时，()f x 在1[)2+∞，上是增函数；（Ⅲ）若对任意的(12)a ∈，，总存在0x 1[1]2∈，，使不等式20()(1)f x m a >-成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
【全国百强校】吉林省吉林大学附属中学2018届高三第四次模拟考试数学(理)试题
18.为备战 2020 年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练现分别从他们的强化训练期间的若 干次平均成绩中随机抽取 8 次，记录如下： 甲:8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3； 乙:9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5. (I)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图(茎代表个位，叶代表十分位)： (Ⅱ)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理?简单说明 理由； (Ⅲ)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于 8.5 分 的次数为 X ，求 X 的分布列及均值 E ( X ) 、方差 D( X ) . 19.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F , M , N 分别是棱 AB, AD, A1B1, A1D1 的 中点，点 P, Q 分别在棱 DD1 , BB1 上移动，且 DP BQ (0 2) .
2
D．若 x 1 或 x 1 ，则 x 1
2
4.设 x, y R ，向量 a ( x,1) ， b (1, y) ， c (2, 4) 且 a c , b∥c ， 则 x y ( A．0
2 2
)
B．1
2
C．2
2
D．-2 )
5.圆 ( x 2) y 4 与圆 ( x 2) ( y 1) 9 的位置关系为( A. 内切 B．相交 C．外切 D．相离
．
14. 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 A, B (如图)，要测算两点的距离， 测量人员在岸边定出基线 BC ，测得 BC 50m, ABC 105 ，BCA 45 ，就可以计算出 A, B 两点的距离为 ．
全国高考2018届高三仿真试卷(四)数学(理)试题
全国高考2018届高三仿真试卷（四）数学（理）试题本试题卷共14页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只．有一项．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1. 已知集合，则集合中元素的个数为A. B. C. D.【答案】D本题选择D选项.2. 已知复数的实部和虚部相等，则A. B. C. D.【答案】D【解析】令,解得故．3. 已知是上的奇函数，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵函数f(x)是奇函数，∴若x1+x2=0，则x1=−x2，则f(x1)=f(−x2)=−f(x2)，即f(x1)+f(x2)=0成立，即充分性成立，若f(x)=0,满足f(x)是奇函数,当x1=x2=2时，满足f(x1)=f(x2)=0,此时满足f(x1)+f(x2)=0，但x1+x2=4≠0，即必要性不成立，故“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的充分不必要条件，本题选择A选项.4. 在等比数列中，已知，则A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，解得：.本题选择B选项.5. 若,则直线必不经过A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】令x=0，得y=sinα<0，令y=0，得x=cosα>0，直线过(0,sinα)，(cosα,0)两点，因而直线不过第二象限。
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2017- 2018学年下学期高三年級第四次模拟考试数学(理)学科试卷第Ⅰ卷（客观题 60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）.1. 己知全集，集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据补集的定义，可求出；根据交集定义即可求出。
详解：因为所以所以所以选B点睛：本题考查了集合交集、补集的基本运算，属于简单题。
2. 若复数，则( )A. 1B.C.D. 3【答案】C【解析】分析：利用共轭复数，求出，根据复数模的定义即可求出。
详解：所以所以选C点睛：本题考查了复数的综合运算、共轭复数和复数模的定义与应用，属于简单题。
3. 命题“若，则”的逆否命题是( )A. 若，则或B. 若，则C. 若或，则D. 若或，则【答案】D【解析】原命题“若则”的逆否命题为“若则”,所以命题“若，则”的逆否命题是若或，则故选．4. 设，向量，，且，则( )A. 0B. 1C. 2D. -2【答案】A【解析】分析：根据的垂直关系，可求出；根据的平行关系，可求出，进而求出的值。
详解：因为，所以因为，所以所以，所以所以选A点睛：本题考查了向量平行与垂直的坐标运算，主要是熟练正确记忆坐标间的关系，属于简单题。
5. 圆与圆的位置关系为( )A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B【解析】试题分析：两圆的圆心距为，半径分别为，，所以两圆相交．故选C．考点：圆与圆的位置关系．视频6. 设为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】对于A，,时，若，则，但题目中无条件，故A 也不一定成立；对于B，,.显然不成立；对于C，由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有不能得到或，故不正确．对于D，，则，又，则，结论成立；故选D7. 设是一个正整数，已知的展开式中第四项的系数为，函数与的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取，，则点恰好落在阴影部分内的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据题意得解得：k=4或（舍去），解方程组，解得：x=0或4∴阴影部分的面积为，，所以点（x,y)恰好落在阴影区域内的概率为.考点：1.二项式定理；2.几何概型.8. 为培养学生分组合作能力，现将某班分成三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组.某次数学建模考试中三人成绩情况如下:在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比丙低，在组中的那位的成绩比乙低.若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是( )A. 甲、丙、乙B. 乙、丙、甲C. 乙、丙、甲D. 丙、乙、甲【答案】C【解析】因为在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B组，所以丙在B组. 假设甲在A组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在C组，乙在A组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲.故选C.9. 在如下图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，，，，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A. ①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②【答案】D【解析】........................视频10. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：从程序框图可以看出，输入的函数是奇函数且有零点，则即可输出该函数．因此答案等价于判断哪个函数是奇函数且有零点．假设输入答案A中的函数，显然A中函数为奇函数，但没有零点，所以不能输出函数；答案B中的函数是奇函数且存在零点0，所以输出函数为．故选B．同理答案C、D不符合题意．故选B．考点： 程序框图的应用； 函数的奇偶性； 函数的零点问题．【易错点睛】对于程序框图问题，多属于容易题目．问题多出在：没看清判断框中的条件，从而导致出错，特别是题目是填写判断框中的语句，对于变量是否取等号的问题，最易出错，望同学们能细心．11. 抛物线的焦点与双曲线右焦点重合，又为两曲线的一个公共交点，且，则双曲线的实轴长为( )A. 1B. 2C.D. 6【答案】B【解析】分析：根据抛物线定义和线段关系，先求出P点坐标，再代入双曲线方程，得到的关系；根据公共焦点，得出c的值；根据双曲线中；联立方程组，即可求出的值。
详解：如图所示， ,MT的方程为，所以，作则在中，所以将P点坐标代入双曲线方程，可得解得，所以实轴所以选B点睛：本题考查了抛物线的定义，双曲线的标准方程等内容。
要注意，长轴是，不是，易错。
12. 已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C详解：因为所以因为在上是单调减函数所以即所以当时，恒成立当时，令，可知双刀函数，在上为增函数，所以即所以选C点睛：本题考查了导函数与单调性的关系，分离参数后利用导数求参数的取值范围；注意最后求得的函数不能用基本不等式解，该函数是双刀函数，根据单调性即可求出的取值范围。
第Ⅱ卷(主观题 90分)二、填空题(本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 在平面直角坐标系中，不等式组，所表示图形的面积等于__________．【答案】【解析】分析：根据线性约束条件，画出可行域。
根据斜率关系，判断出直线互相垂直，求出各边长即可得到面积值。
详解：根据线性不等式，画出可行域如上图所示，因为直线之间，斜率相等或相乘等于-1，因此直线相互平行或垂直求得阴影部分为正方形，边长为，则阴影部分的面积为点睛：本题主要考查了线性规划的综合应用，根据线性约束条件中直线的位置关系特征，求出可行域的面积，属于简单题。
14. 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为__________．【答案】【解析】分析：根据三角形内角和定理，求得；再正弦定理，可直接求得AB的长度。
详解：根据三角形内角和为180°，所以由正弦定理，代入所以解得 m点睛：本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于简单题。
15. 我国著名数学家周密的《鬼谷算》中有一道题目:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”翻译成现代文为:若一个自然数满足被3除余2被5除余3，被7除余2，则所有满足条件的的取值集合为__________．【答案】【解析】分析：通过题中除以3和除以7的余数相同，可先判断除以3除以7余数为2的值，再分析得到除以5余3的最小值；根据3、5、7的最小公倍数即可求得满足条件的表达式。
详解：以为这个自然数除以3余2，除以7余2，所以这个数除以21也余2；再除以5余3，所以最小的数为23，因为，所以自然数n可以表示为点睛：本题考查了同余问题，主要思路是把相同余数的数先归类，再讨论另外一个数满足的特征，属于中档题。
16. 已知定义域为的函数既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当时，，则函数在区间上的零点个数是__________．【答案】9【解析】分析：根据定义域为R和奇函数的定义可得，利用周期为3和时，可画出函数图像，根据图像判定零点个数。
详解：因为函数定义域为R，周期为3，所以如图所示，画出函数的函数图像，由图像可知在上的零点为所以共有9个零点点睛：本题考查了三角函数图像、周期函数、奇函数和零点的综合应用，关键是画出函数图像，利用图像来判定零点个数，属于难题。
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的各项均为正数的等比数列，且，.(I)求数列的通项公式:(Ⅱ)设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）根据等比数列的概念和通项公式定义，代入表达式，可求出首项和公比，进而得到数列的通项公式表达式。
（2）根据数列的表达式，求出的通项公式；分成等比数列和等差数列两组分别求和，再相加即可得到的前n项和.详解：(I)设等比数列的公比为，则，且，由已知得.化简得，即，又，所以所以(Ⅱ)由(I)知，.点睛：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式的综合应用，熟练掌握等差数列与等比数列的性质、通项公式与求和公式是解决本题的关键，属于基础题。
18. 为备战2020年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲:8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3；乙:9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5.(I)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图(茎代表个位，叶代表十分位)：(Ⅱ)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理?简单说明理由；(Ⅲ)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为，求的分布列及均值、方差.【答案】（1）见解析（2）选派甲合适(3)见解析【解析】试题分析：（1）求平均数，再求，根据平均值相等，稳定性不同可确定派哪位选手参加合理；（2）对于乙射击选手，每次射击不低于分的概率为，从而可得随机变量符合二项分布，根据独立重复试验概率公式可得个随机变量的概率，从而得的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的均值.试题解析：(1)因为甲＝乙＝8.5，又s＝0.27，s＝0.405，得s<s，相对来讲，甲的成绩更加稳定，所以选派甲合适．(2)依题意得，乙不低于8.5分的频率为，ξ的可能取值为0,1,2,3，则ξ～B.所以，P(ξ＝k)＝C3－k k＝C 3，k＝0,1,2,3.所以ξ的分布列为所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.【方法点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意平均数、中位数、众数描述其集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方取舍的重要的理论依据，ᅳ般先比较均值, 若均值相同再用方差来决定.19. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱上移动，且.(I)当时，证明:直线平面；(Ⅱ)是否存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角?若存在，求出的值:若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）证线面平行只需在面内找一线与之平行即可（2）求二面角则可直接根据空间直角坐标系写出两平面的法向量根据向量夹角公式求解即可试题解析：以为原点，射线，，分别为，，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得，，，，，，，则，，，，.（1）当时，，因为，所以，即，又平面，且平面，故直线平面.（2）设平面的一个法向量为，则由，得，于是可取.设平面的一个法向量为，由，得，于是可取.若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，即，解得，显然满足.故存在，使面与面所成的二面角为直二面角.点睛：立体几何的有关证明题，首先要熟悉各种证明的判定定理，然后在进行证明，要多总结题型，对于二面角问题一般直接建立空间直角坐标系，求出法向量然后根据向量夹角公式求解二面角，要注意每一个坐标的准确性20. 已知圆经过椭圆的左、右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，且三点共线，直线交椭圆于两点，且.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)当三角形的面积取到最大值时，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，由圆与轴的交点，可求得，利用三点共线，由是圆的直径，从而，利用勾股定理可求得，从而由椭圆的定义可求得，于是得，椭圆方程即得；（2）是确定的，，说明，于是直线斜率已知，设出其方程为，代入椭圆方程，消去得的二次方程，从而有（分别是的横坐标），由直线与圆锥曲线相交的弦长公式可求得弦长，再由点到直线距离公式求出到直线的距离，可计算出的面积，最后利用基本不等式可求得面积的最大值，及此时的值，得直线方程．解析：（1）如图，圆经过椭圆的左、右焦点，，所以，解得,因为，，三点共线，所以为圆的直径，所以,因为，所以.所以,由，得．所以椭圆的方程为.（2）由（1）得，点的坐标为，因为,所以直线的斜率为，设直线的方程为,联立，得,设，由，得．因为所以, 又点到直线的距离为，.当且仅当，即时，等号成立,所以直线的方程为或.点睛：本题考查椭圆中的三角形面积的最值问题，解题时，一般设出直线方程，如直线方程为，设出交点坐标，由直线方程与椭圆方程联立，消元后可得，再由圆锥曲线中的弦长公式表示出弦长，再求点到直线的距离，这样可把三角形的面积用参数表示出来，最后可利用基本不等式求最值，并求出取最大值时参数的值，得直线方程.“设而不求”思想是解决直线与圆锥曲线相交问题的主要方法. 21. 已知函数，.(I)若恒成立，求实数的取值范围；(Ⅱ)当取(I)中的最小值时，求证: .【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）根据，构造函数，求出导函数.根据导函数的情况分类讨论在不同范围时满足不等式的解，求出的取值范围。