第四章 解非线性方程的迭代法
迭代法求非线性方程的根讲解
迭代法是求解非线性方程近似根的一 种方法，这种方法的关键是确定迭代函数 (x)，简单迭代法 用直接的方法从原方程 中隐含的求出x，从而确定迭代函数(x)， 这种迭代法收敛速度较慢，迭代次数多， 因此常用于理论中,Newton迭代法采用另一 种迭代格式, 具有较快的收敛速度，由牛顿 迭代法可以得到很多其他迭代格式。
( p ) ( )
p!
用条件(*)，则有 ( x
k
) (x )
*
( xk x * ) p
*
注意到 ( xk ) xk 1， ( x * )
( p) ( ) * p * x x ( x x ) 由上式得 k 1 k x p!
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ek 1 ( p ) ( x*) 因此对迭代误差有: p 。这表明迭代过程 p! ek
1
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迭代法
• • • • • • • 一、简单迭代法的概念与结论 二、 Newton迭代法的基本思想 三、牛顿法的几何意义 四、牛顿迭代法的步骤 五、例题 六、其他注意的事项
2
一、简单迭代法的概念与结论
• 简单迭代法又称逐次迭代法，基本思想是构造不动点方程，以求 得近似根。即由方程f(x)=0变换为x=(x), 然后建立迭代格式， •
x0 均收敛。证毕。 R
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二. Newton迭代法的基本思想
• 设X K 是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在 X K 处作泰勒展开
的邻近连续，并且 / ( x* ) ( x* ) ( p1) ( x* ) 0 (*) ( p ) ( x * ) 0
则该迭代过程在点 x * 邻近是P阶收敛的。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法迭代法是一种通过反复递推计算得到逼近解的方法，对于非线性方程求解而言，迭代法通过不断更新变量的值，使得方程逐渐趋近于真实解。
下面将介绍三种新的迭代法：逐次缩小区间法、割线法和弦截法。
第一种迭代法是逐次缩小区间法。
逐次缩小区间法是一种通过不断递推缩小变量的取值范围来求解非线性方程的方法。
算法步骤如下：1. 选取一个初始区间[a, b]，使得f(a)和f(b)异号，即f(a)*f(b)<0。
2. 将区间[a, b]均分，得到区间的中点c=(a+b)/2。
3. 比较f(a)*f(c)和f(b)*f(c)，如果f(a)*f(c)<0，则说明解在区间[a, c]内；如果f(b)*f(c)<0，则说明解在区间[c, b]内。
4. 重复步骤2和步骤3，直到得到精度要求的解。
逐次缩小区间法的优点是简单易懂，计算量较小；但缺点是需要事先给出一个初始区间，初始区间的选择对结果有影响，并且对于复杂的方程可能需要很多次均分才能逼近解。
第二种迭代法是割线法。
割线法是一种通过利用连续两个点的斜率来逼近解的方法。
算法步骤如下：1. 选取两个初始点x0和x1，计算出对应斜率f(x0)和f(x1)。
2. 利用斜率和已知点构造直线方程，得到直线和x轴的交点x2，并将x1更新为新的x0，x2更新为新的x1。
3. 重复步骤2，直到满足精度要求。
割线法的优点是不需要计算导数，因此适用于不易求导的情况；但缺点是可能出现迭代过程不收敛的情况，需要事先给出两个初始点，并且计算量相对较大。
弦截法与割线法相似，也是通过利用连续两个点的连线来逼近解的方法，但不同之处在于弦截法的直线是通过前两个点的连线来构造的。
弦截法的优缺点与割线法类似，不需要计算导数，但迭代过程可能不收敛。
三种新的迭代法均有各自的特点和适用范围，适合于不同类型的非线性方程。
在实际应用中，需要根据具体的方程和精度要求选择合适的迭代方法。
第4章 非线性方程求根的迭代法
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18
若{ x k }收敛，即lkimxk x 称迭代法收敛，否则称迭代法发散
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迭代法的几何意义
x (x)yy(xx)交点的横坐标
y=x
x* x2
x1
x0
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20
例题
例 试用迭代法求方程
f(x)x3x10
在区间(1，2)内的实根。 解：由x3 x1 建立迭代关系
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30
例题
若取迭代函数 (x)x3 1 ， 因为|'(x)||3x2|3 x[1,2] 不满足压缩映像原理，故不能肯定 xn1 (xn) n0,1,....收敛到方程的根。
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31
简单迭代收敛情况的几何解释
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32
是否取到合适的初值，是否构造合适的 迭代格式，对于是否收敛是关键的。
x2 0.739085178
x3 0.739085133 x4 0.739085133
故取 x* x4 0.739085133
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48
例题
例 用Newton法计算 。 2
解： f(x)x2a0 其 中 a2
由 f (x) 2x及Newton迭代公式得
xn 1xnx2 n 2x n21 2(xnx 2 n) n0,1 ,......
迭代法及收敛性
考察方程 x(x)。不能直接求出它的
根，但如果给出根的某个猜测值 x 0， 代
入 x(x)中的右端得到x1 (x0) ，再以 x 1
为一个猜测值，代入x(x) 的右端
得 x2 (x1)
数值分析第四章 解非线性方程的迭代法
即
(xk+1-α)2≈(xk-α)(xk+2-α) xk+12-2xk+1α+α2≈xkxk+2-(xk+xk+2)α+α2
解得
x k x k + 2 x k2+1 α≈ x k + 2 2 x k +1 + x k
( x k +1 x k ) 2 = xk x k + 2 2 x k +1 + x k
可见,|xk-xk-1|充分小可保证|xk-α|充分小, 而且对任 一ε>0,要使|xk-α|<ε, 只要 k > ln ε (1 L) ÷ ln L x1 x 0
证 记(x)=(x)-x,则(a)=(a)-a≥0, (b)=(b)b≤0, 由(x)的连续性,必存在α∈[a,b]使(α)=(α)-α=0, 即α=(α), 又′(x)=′(x)-1<0, 所以x=(x)的根唯一. |xk+1-xk|=|(xk)-(xk-1)| =|′(ξ)(xk-xk-1)|≤L|xk-xk-1| |xk+1-α|=|(xk)-(α)|=|′(ξ)(xk-α)|≤L|xk-α| |xk-α|=|(xk-xk+1)+(xk+1-α)| ≤|xk-xk+1|+|xk+1-α|≤L|xk-xk-1|+L|xk-α| 于是有:
k 0 1 2 3 4 5 xk 0.5 0.60653 0.54524 0.57970 0.56006 0.57117 |xk-xk-1| 0.10653 0.06129 0.03446 0.01964 0.01111 k 6 7 8 9 10 xk 0.56486 0.56844 0.56641 0.56756 0.56691 |xk-xk-1| 0.00631 0.00358 0.00203 0.00115 0.00065
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。
求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。
牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。
我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。
我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。
我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。
其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。
如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。
给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。
每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。
然而，这种方法也有其局限性。
它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。
牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。
第4章 求解非线性方程f(x)=0
数值计算与MATLAB 2014-5-5内蒙古大学自动化系1第四章求解非线性方程f(x)=0在科学技术中，许多问题常归结为一元函数方程f(x)=0。
方程按f(x)是多项式或超越函数分别称为代数方程或超越方程。
如果在区间[a,b]内只有方程f(x)=0的一个根，则称区间[a,b]为隔根区间。
描图法逐步搜索法4.1 求解f(x)=0的MATLAB符号法◆solve (s1, s2,…,sn, 'v1', 'v2',…, 'vn')◆solve (s1, s2,…,sn, 'v1,v2,…,vn')◆[z1,z2,…,zn]= solve (s1, s2,…,sn, 'v1', …, 'vn')例4-1 由方程ax 2+bx+5=0求出x 和b 来。
解：键入s1='a*x^2+b*x+5';或s1='a*x^2+b*x+5=0';或s1=sym('a*x^2+b*x+5');或s1=sym('a*x^2+b*x+5=0');再键入x=solve(s1) 回车得出若键入b=solve('a*x^2+b*x+5','b')或b=solve(s1, 'b') 回车得出b=-(a*x^2+5)/x⎭⎬⎫----+-=))]2/1()^*202^((*/2/1[))]2/1()^*202^((*/2/1[a b b a a b b a x4.2 求方程f(x)=0数值解的基本方法：二分法迭代法牛顿法弦截法4.2.1 求实根的二分法原理零点存在定理：设方程f(x)=0中的函数f(x)为实函数，且满足：①函数f(x)在[a,b]上连续；②f(a)、f(b)异号则（a,b）内至少存在一点ζ，使得f(ζ)=0。
4.2.2 迭代法迭代法基本原理：把方程等价地变换成形式f(x)=x-g(x)=0 x=g(x)若函数g(x)连续，则称上式为迭代函数。
非线性方程组求解的牛顿迭代法用MATLAB实现
非线性方程组求解的牛顿迭代法用MATLAB实现首先，我们需要定义非线性方程组。
假设我们要求解方程组：```f1(x1,x2)=0f2(x1,x2)=0```其中，`x1`和`x2`是未知数，`f1`和`f2`是非线性函数。
我们可以将这个方程组表示为向量的形式：```F(x)=[f1(x1,x2);f2(x1,x2)]=[0;0]```其中，`F(x)`是一个列向量。
为了实现牛顿迭代法，我们需要计算方程组的雅可比矩阵。
雅可比矩阵是由方程组的偏导数组成的矩阵。
对于方程组中的每个函数，我们可以计算其对每个变量的偏导数，然后将这些偏导数组成一个矩阵。
在MATLAB中，我们可以使用`jacobi`函数来计算雅可比矩阵。
以下是一个示例函数的定义：```matlabfunction J = jacobi(x)x1=x(1);x2=x(2);J = [df1_dx1, df1_dx2; df2_dx1, df2_dx2];end```其中，`x`是一个包含未知数的向量，`df1_dx1`和`df1_dx2`是`f1`对`x1`和`x2`的偏导数，`df2_dx1`和`df2_dx2`是`f2`对`x1`和`x2`的偏导数。
下一步是实现牛顿迭代法。
牛顿迭代法的迭代公式为：```x(k+1)=x(k)-J(x(k))\F(x(k))```其中，`x(k)`是第`k`次迭代的近似解，`\`表示矩阵的求逆操作。
在MATLAB中，我们可以使用如下代码来实现牛顿迭代法：```matlabfunction x = newton_method(x_initial)max_iter = 100; % 最大迭代次数tol = 1e-6; % 收敛阈值x = x_initial; % 初始解for k = 1:max_iterF=[f1(x(1),x(2));f2(x(1),x(2))];%计算F(x)J = jacobi(x); % 计算雅可比矩阵 J(x)delta_x = J \ -F; % 计算增量 delta_xx = x + delta_x; % 更新 xif norm(delta_x) < tolbreak; % 达到收敛条件，停止迭代endendend```其中，`x_initial`是初始解的向量，`max_iter`是最大迭代次数，`tol`是收敛阈值。
非线性方程求解算法比较
非线性方程求解算法比较在数学和计算机科学领域中，非线性方程是一种无法简单地通过代数方法求解的方程。
因此，研究和开发高效的非线性方程求解算法是至关重要的。
本文将比较几种常见的非线性方程求解算法，包括牛顿迭代法、割线法和二分法。
通过对比它们的优缺点和适用范围，可以帮助人们选择最适合的算法来解决特定的非线性方程问题。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程求解算法。
它基于泰勒级数展开，使用函数的导数信息来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$。
2. 计算函数$f(x_0)$和导数$f'(x_0)$。
3. 根据牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
牛顿迭代法的收敛速度很快，通常二次收敛。
然而，它对于初始值的选择非常敏感，可能会陷入局部极值点，导致找到错误的根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要根据具体问题选择合适的初始近似值。
二、割线法割线法是另一种常见的非线性方程求解算法。
它是对牛顿迭代法的改进，使用两个近似解来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$和$x_1$。
2. 计算函数$f(x_0)$和$f(x_1)$。
3. 根据割线公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
与牛顿迭代法相比，割线法不需要计算导数，因此更加灵活。
然而，割线法的收敛速度比牛顿迭代法慢，通常是超线性收敛。
与牛顿迭代法一样，割线法也对初始近似值的选择敏感。
三、二分法二分法是一种简单直观的非线性方程求解算法。
它利用函数在根附近的特性，通过不断缩小区间范围来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始区间$[a,b]$，其中$f(a)$和$f(b)$异号。
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m
1 2
所以 |ek+1|=|xk+1-|=|(xk)-()| 1 ( m ) ( k ) ek m! 于是
lim
k
所以,取近似根x10=0.56691满足精度要求. 如果精度要求为=10-5, 则由
0.4 10 5 k ln ln L ln ln 0.6 19.95 0.10653 x1 x 0
(1 L)
可知,需要迭代20次. 注意：这里迭代次数20是充分的但不是必要的。 实际上,方程在区间[0.55,0.6]上有唯一根，而在区 间[0.55,0.6]上有|(x)|e-0.550.58<1。若取L=0.58， 则有
定义4.4 设迭代序列xk收敛于,记误差ek=xk-, 如果存在正实数p和非零常数C, 使得
lim
k
e k 1 ek
p
C
或 |xk+1-|C|xk-|p , k>>1 则称序列xk是p阶收敛的, 称p是收敛阶,C是渐近误差常 数. p=1称为线性收敛;p>1称超线性收敛;p=2称平方收敛. 设(x)充分光滑, 由于 |ek+1|=|xk+1-|=|(xk)-()|=|(k)||ek| 所以,当()0时,有
x1 a1 b1 , 2
若|(x1)|<, 则取x1; 否则,若(a1)(x1)<0,取a2=a1 , b2=x1 ;若(a1)(x1)>0, 取a2=x1 ,b2=b1,得到新的有根区 间[a2,b2]. 而且有根区间[a2,b2]长度是有根区间[a1,b1] 长度的一半.一直进行下去,直到求出有根区间[a ,b ].
y
y=x y=(x)
y
y=x
y=(x) o y x0 x1 x2 y=x y=(x) x o x1 x2 y y=(x) x0 y=x x
o
x2
x1 x0
x
o
x3 x1 x0 x2 x4
x
定理4.1
设迭代函数(x)C1[a,b],且满足
1.a(x)b, x[a,b]; 2.|(x)| L<1, x[a,b] 则迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,…,x0[a,b]都收敛于方 程x=(x)在区间[a,b]的唯一根，且
1 Lk L x1 x 0 xk x k 1 x k x k x k 1 1 L 1 L 1 L
例3
求方程xex-1=0在0.5附近的根,精]内仅有一 个根. 改写方程为x=e-x ,建立迭代格式
假设 (1)(2)，则有
x k 1 xk x k 2 x k 1
即
(xk+1-)2(xk-)(xk+2-) xk+12-2xk+1+2xkxk+2-(xk+xk+2)+2
解得
x k x k 2 x k21 x k 2 2 x k 1 x k ( x k 1 x k ) 2 xk x k 2 2 x k 1 x k
例2 格式
求方程x3-2x-3=0在[1,2]内的根.
解 改写原方程为等价方程 x 3 2 x 3 ,建立迭代
x k 1 3 2 x k 3
如果取初值x0=1.9 ,计算得 k 0 1 2 3 4 5 xk 1.9 1.89453647 1.89352114 1.89333233 1.89329722 1.89329069 k 6 7 8 9 10 …
0.42 105 k ln ln L ln ln 0.58 18.6 0.10653 x1 x 0
(1 L)
可知,需要迭代19次.
推论
若=(),(x)在附近具有一阶连续导数,且
|()|<1，则存在>0，当x0I=[-， +]时，迭代格 式xk+1=(xk),k=0,1,2,…都收敛于方程x=(x)在区间I上 的唯一根。 实际上，由连续性可知,存在L>0，>0，使对任何 xI=[-，+]都有|(x)| L<1. 而且，对任何xI=[-，+]，都有 |(x)-|=|(x)-()|=|()(x-)|L|x-|< 即(x)I=[-，+]。 由定理4-1可见，结论成立。 这时的迭代方法称为局部收敛的。
L xk x k x k 1 1 L Lk xk x1 x 0 1 L
可见,|xk-xk-1|充分小可保证|xk-|充分小,而且对任 一>0,要使|xk-|<, 只要 k ln
(1 L)
x1 x 0
ln L
证 记(x)=(x)-x,则(a)=(a)-a0, (b)=(b)b0,由(x)的连续性,必存在I,使()=()-=0,即 =(),又(x)=(x)-1<0, 所以(x)=0的根唯一. |xk+1-xk|=|(xk)-(xk-1)|=|()(xk-xk-1)|L|xk-xk-1| |xk+1-|=|(xk)-()|=|()(xk-)|L|xk-| |xk+1-xk|=|(xk+1-)-(xk-)| |xk-|-|xk+1-|(1-L)|xk-|
lim
k
e k 1 ek
lim ( k ) | ( ) | 0
k
所以,当()0时,简单迭代法只具有线性收敛. 设()=()=…=(m-1)()=0,但(m)()0, 由于
( x k ) ( ) ( )( x k ) ( )( x k ) 2
a k bk 此时,再计算 x k 2 . 或者有|(xk)|< ,或者有
xk bk a k bk 1 a k 1 b0 a 0 b a k 1 2 k 1 2 2 2 2
可见,k趋向无穷大时,xk收敛于 . 而且,若要|xk-|< ,只要
第4章
解非线性方程的迭代法
本章讨论求非线性方程 (x)=0 (4.1) 的根的问题. 其中(x)是高次多项式函数或超越函数.如 (x)=3x5-2x4+8x2-7x+1 (x)=e2x+1-xln(sinx)-2 等等.
§1
二 分 法
设(x)在区间[a,b]上连续且(a)(b)<0,根据连续函 数的介值定理,区间[a,b]上必有方程(x)=0的根,称[a,b] 为方程(x)=0的有根区间.
x k 1 e
xk
, k 0,1,2,
由于(x)=e-x ,在[0.5,0.6]上有|(x)|e-0.50.6<1. 所以迭代法收敛. 取初值x0=0.5,计算得
k 0 1 2 3 4 5 xk 0.5 0.60653 0.54524 0.57970 0.56006 0.57117 |xk-xk-1| 0.10653 0.06129 0.03446 0.01964 0.01111 k 6 7 8 9 10 xk 0.56486 0.56844 0.56641 0.56756 0.56691 |xk-xk-1| 0.00631 0.00358 0.00203 0.00115 0.00065
§2 简 单 迭 代 法
§2.1 简单迭代法的一般形式 首先把方程(x)=0改写成等价(同解)形式 x=(x) 取一个合适的初始值x0,然后作迭代 xk+1=(xk) , k=0,1,2,… (4.3) (4.2)
得到迭代序列{xk} , 如果xk ,则有=(), 即是方 程(x)=0的根.这种求方程根的方法称为简单迭代法,或逐 次逼近法.其中(x) 称为迭代函数 ,式(4.3)称为迭代格式. 若迭代序列{xk} 收敛 , 则称简单迭代法是收敛的.
ba k 1 2
或者 k log 2 ba
1
此时可取近似根xk . 在计算过程中,若出现|(xk)|<1,或bk-ak<2 .则可取 xk作为方程(x)=0的近似根,终止运算. 例1 用二分法求x3+4x-7=0在区间[1,2]内根的近似 值,并估计误差.
解
这里(x)=x3+4x-7， (1)(2)=-18<0,而且
e k 1 ek
m
1 (m) 1 (m) lim ( k ) | ( ) | 0 k m! m!
此时,迭代法是m阶收敛的. 下面介绍Aitken加速算法，此方法可对线性收敛的简 单迭代法起到加速作用，而且可应用于其它数值方法中。
由于
xk+1-=(1)(xk-) xk+2-=(2)(xk+1-)
设(x)在区间[a,b]上连续 且(a)(b)<0 . 记a0=a,b0=b,计算 x 0
a 0 b0 , 2
y y=(x)
a 0 若|(x0)|< ,则取x0 ;否则, 若(a0)(x0)<0,取a1=a0,b1=x0 ;
x1 x0
b
x
若(a0)(x0)>0,取a1=x0,b1=b0 ,得到新的有根区间[a1,b1], 而且有根区间[a1,b1]长度是有根区间[a0,b0]长度的一半, 再对有根区间[a1,b1]重复上面运算, 即: 计算
x3=1.3125,由于(x3)=0.511,得新有根区间[1.25,1.3125], …………………………………………………. x9=1.254882813,得有根区间[1.254882813,1.255859375], x10=1.255371094, (x10)=-0.000105285 取x10=1.255371094作为方程根的近似值,且有 b10 a10 1.255859375 1.254882813 | x10 | 0.00049 2 2