测量平差试卷及答案

A1《 误差理论与测量平差 》试卷一、填空题 （共20分，每空 2 分）1、观测误差产生的原因为：仪器、 、2、已知一水准网如下图，其中A 、B 为已知点，观测了8段高差，若设E 点高程的平差值与B 、E 之间高差的平差值为未知参数21ˆˆX X 、，按附有限制条件的条件平差法（概括平差法）进行平差时，必要观测个数为 ，多余观测个数为 ，一般条件方程个数为 ，限制条件方程个数为C3、取一长度为d 的直线之丈量结果的权为1，则长度为D 的直线之丈量结果的权为 ，若长度为D 的直线丈量了n 次，则其算术平均值的权为 。

4、已知某点(X 、Y)的协方差阵如下，其相关系数ρXY ＝ ，其点位方差为2σ＝ mm2⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00.130.030.025.0XX D二、设对某量分别进行等精度了n 、m 次独立观测，分别得到观测值),2,1(,n i L i =，),2,1(,m i L i =，权为p p i =，试求：1）n 次观测的加权平均值][][p pL x n =的权n p 2）m 次观测的加权平均值][][p pL x m =的权m p 3）加权平均值mn mm n n p p x p x p x ++=的权x p （15分）三、 已知某平面控制网中待定点坐标平差参数y xˆˆ、的协因数为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2115.1ˆˆX X Q 其单位为()2s dm ，并求得2ˆ0''±=σ，试用两种方法求E 、F 。

（15分）四、得到如下图所示，已知A 、B 点，等精度观测8个角值为：L1L2L3L4L5L6L7L8ABCD若选择∠ABC平差值为未知参数Xˆ,用附有参数的条件平差法列出其平差值条件方程式。

（10分）五、如图所示水准网，A、B、C三点为已知高程点，P1，P2为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。

（20分）用条件平差法计算未知点P1，P2的高程平差值及其中误差；C A六、如下图所示，A，B点为已知高程点，试按间接平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。

(20分)AA1《 误差理论与测量平差 》试卷 参考答案及评分标准一、填空题 （共20分，每空 2 分） 1：外界环境、观测者 2：4、4、5、1 3：d/D 、nd/D 4：0.6、1.25 二、解：因为p p i = 1)()()()()T n n n n L L L nL L L n pL pL pL np p pL x 212121*111111][][=+++=+++==（2分） 根据协因数传播定律，则x n 的权n p ：()np n np p pp n 11111**11111111=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=（2分） 则：np p n = （1分） 2)()()()()T m m m m L L L mL L L m pL pL pL m p p pL x 212121*111111][][=+++=+++==（2分） 根据协因数传播定律，则x m 的权m p ：()m p m mp p pp m 11111**11111111=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=（2分） 则：mp p m = （1分） 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛++=++=++=m n m n m n m m n n x x m n m mn nmp np x mp x np p p x p x p x ** （2分） 根据协因数传播定律，则x 的权x p ：p m n m n m m n n m n m mn np mp npx )(1111+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛++= （2分） 则：p m n p x )(+= （1分） 三、解：（1）极值方向的计算与确定425.11*222tan 0-=-=-=yyxx xy Q Q Q ϕ所以︒︒=︒︒=018.142018.52036.284036.104200；；ϕϕ因为Q xy >0，则极大值E 在一、三象限，极小值F 在二、四象限，则：︒︒=︒︒=018.322018.142018.232018.52；；F E ϕϕ （5分）(2)极大值E 、极小值F 的计算 方法一 根据任意方向位差计算公式123.11))018.52*2sin(*1018.52sin *2018.52cos *5.1(*4)2sin sin cos (ˆ2222202=︒+︒+︒=++=E xy E yy E xx Q Q Q E ϕϕϕσ 877.2))018.142*2sin(*1018.142sin *2018.142cos *5.1(*4)2sin sin cos (ˆ2222202=︒+︒+︒=++=F xy F yy F xx Q Q Q F ϕϕϕσ dm F dmE 70.134.3±=±= （5分）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2115.1ˆˆX X Q 方法二5.325.15.025.1=+=+=-=-yy xx yy xx Q Q Q Q062.21*45.04)(2222=+=+-=xy yy xx Q Q Q H877.2)062.25.3(*4*21)(21123.11)062.25.3(*4*21)(21202202=-=-+==+=++=H Q Q F H Q Q E yy xx yy xx σσdmF dm E 70.134.3±=±= （5分） 四、解：本题n ＝8，t=4，r=n-t=4，u=1 （4分） 其平差值条件方程式为：1ˆsin *ˆsin *ˆsin ˆsin *ˆsin *ˆsin 0ˆˆˆ0180ˆˆˆ0180ˆˆˆ0180ˆˆˆˆˆˆ14265365854761654321==-+=︒-++=︒-++=︒-+++++L L L L L L X L L L L L L L L L L L L L L （6分）五、解：1）本题n=4，t=2，r=n-t=2 （2分）则平差值条件方程式 0ˆ0=+A h A 为： 0ˆˆˆ0ˆˆ13412=-++-=-++A C AB H h h h H H h h H （2分）则改正数方程式 0=-w Av 为：02431121=--+=-+w v v v w v v则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10101011A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321v v v v v ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--++-=+-=42)(134120A C A B H h h h H H h h H A Ah W （3分）令C ＝1，观测值的权倒数为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-11111P （1分） 则组成法方程，并解法方程：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-31121TA AP N ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-221W N K （2分）求改正数，计算平差值⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-22201321K A P v v v v T ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=245.1543.0309.1044.1ˆˆˆˆˆ4321v h h h h h h （2分） 则P 1，P 2点高程为：mh H H m h H H C P A P 051.32ˆ044.33ˆ4211=-==-= （1分）2）单位权中误差：mm pvv r pv v T T 45.262ˆ0±=±=±=±=σ （1分）由上知：()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=432142432111ˆˆˆˆ1000ˆˆˆˆˆ0001ˆh h h h H h H H h h h hH h H H CC P AA P （2分）由L L T L L L L L L AQ N A Q Q Q 1ˆˆ--=则P 1，P 2点的权倒数为：53521211=-==-=--TLL T LL T LL p T LL T LL T LL p f AQ N A fQ f fQ Q f AQ N A fQ f fQ Q （2分） 则P 1，P 2点的中误差为：m mm m Q m m m m Q P P P P 90.11053ˆˆ55.11552ˆˆ202101±=±==±=±==σσσσ（2分）六、证明：设AC 距离为T ，则BC 距离为S-T ； 设每公里中误差为单位权中误差，则AC 之间的高差的权为1/T ，BC 之间高差的权为1/(S-T)；则其权阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=)/(100/1T S T P （5分）选C 点平差值高程为参数Xˆ,则 平差值方程式为：XH h H X h B Aˆˆˆˆ21-=-= （3分）则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11B （2分）则平差后C 点高程的权倒数为：()ST S T PB B N Q P TX X C )(111ˆˆ-====-- （5分） 求最弱点位，即为求最大方差，由方差与协因数之间的关系可知，也就是求最大协因数（权倒数），上式对T 求导令其等零，则02=-STS T=S/2 （3分） 则在水准路线中央的点位的方差最大，也就是最弱点位，命题得证。

（2分）。