2016年高考数学自由复习步步高系列(江苏版)专题04三角、向量Word版含解析
2016版《步步高》高考数学大二轮总复习
方法二 对a分类讨论：
当
a>0
时，∵log2a>log
1 2
a，∴a>1.
当
a<0
时，∵log
1 2
(－a)>log2(－a)，∴0<－a<1，
∴－1<a<0，故选C.
答案 C
思维升华
(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之 一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨 论、等价转化等数学思想方法及其运算能力. (2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的 单调性.
ax＋b 跟踪演练 2 (1)(2015·安徽)函数 f(x)＝x＋c2的图象如图所
示，则下列结论成立的是( ) A.a>0，b>0，c<0 B.a<0，b>0，c>0 C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0
解 析 函 数 定 义 域 为 {x|x≠ － c} ， 结 合 图 象 知 － c>0 ，
a)≤2f(1)，则a的取
值范围是________.
解析 由题意知 a>0，又 log 1 a＝log2a－1＝－log2a. 2
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(log1 a). 2
∵f(log2a)＋f(log 1 a)≤2f(1)， 2
∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1). 又∵f(x)在[0，＋∞)上递增. ∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1， ∴a∈12，2. 答案 [12，2]
高2019届高2016级步步高高三数学二轮复习高考22题逐题特训中档大题规范练(四)立体几何与空间向量
(四)立体几何与空间向量1.(2018·四川成都市第七中学诊断)在多面体ABCDEF 中,底面ABCD 是梯形,四边形ADEF 是正方形,AB ∥DC ,AB ＝AD ＝1,CD ＝2,AC ＝EC ＝ 5.(1)求证:平面EBC ⊥平面EBD ；(2)设M 为线段EC 上一点,3EM →＝EC →,求二面角M －BD －E 的平面角的余弦值. (1)证明 由AD ＝1,CD ＝2,AC ＝5, 得AD 2＋CD 2＝AC 2,∴△ADC 为直角三角形,且AD ⊥DC , 同理△EDC 为直角三角形,且ED ⊥DC . 又四边形ADEF 是正方形,∴AD ⊥DE . 又AB ∥DC ,∴DA ⊥AB .在梯形ABCD 中,过点B 作BH ⊥CD 于点H , 故四边形ABHD 是正方形. 在△BCH 中,BH ＝CH ＝1, ∴∠BCH ＝45°,BC ＝2,∴∠BDC ＝45°,∴∠DBC ＝90°,∴BC ⊥BD .∵ED ⊥AD ,ED ⊥DC ,AD ∩DC ＝D ,AD ,DC ⊂平面ABCD , ∴ED ⊥平面ABCD ,又BC ⊂平面ABCD ,∴ED ⊥BC , 又BD ∩ED ＝D ,BD ,ED ⊂平面EBD , ∴BC ⊥平面EBD ,又BC ⊂平面EBC ,∴平面EBC ⊥平面EBD .(2)解 由(1)可得DA ,DC ,DE 两两垂直,以D 为原点,DA ,DC ,DE 所在直线为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ,则D (0,0,0),E (0,0,1),B (1,1,0),C (0,2,0). 令M (0,y 0,z 0),则EM →＝(0,y 0,z 0－1),EC →＝(0,2,－1), ∵3EM →＝EC →,∴(0,3y 0,3z 0－3)＝(0,2,－1), ∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，23，23. ∵BC ⊥平面EBD ,∴BC →＝(－1,1,0)是平面EBD 的一个法向量. 设平面MBD 的法向量为m ＝(x ,y ,z ). DB →＝(1,1,0),DM →＝⎝⎛⎭⎫0，23，23, 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DB →＝0，m ·DM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，23y ＋23z ＝0，可得x ＝－y ＝z .令y ＝－1,得m ＝(1,－1,1).∴cos 〈m ,BC →〉＝m ·BC →|m ||BC →|＝－23×2＝－63.由图形知二面角M －BD －E 为锐角, ∴二面角M －BD －E 的平面角的余弦值为63. 2.(2018·安徽省合肥市第一中学模拟)底面OABC 为正方形的四棱锥P －OABC ,且PO ⊥底面OABC ,过OA 的平面与侧面PBC 的交线为DE ,且满足S △PDE ∶S △PBC ＝1∶4.(1)证明:P A∥平面OBD；(2)当S2四边形OABC＝3S2△POB时,求二面角B－OE－C的余弦值.(1)证明由题意知四边形OABC为正方形,∴OA∥BC,又BC⊂平面PBC,OA⊄平面PBC,∴OA∥平面PBC,又OA⊂平面OAED,平面OAED∩平面PBC＝DE,∴DE∥OA,又OA∥BC,∴DE∥BC.由△PDE∽△PCB,且S△PDE∶S△PBC＝1∶4,知E,D分别为PB,PC的中点.连接AC交OB于点F,则点F为AC的中点,连接DF.∵DF∥P A,DF⊂平面OBD,P A⊄平面OBD,∴P A∥平面OBD.(2)解∵底面OABC为正方形,且PO⊥底面OABC,∴PO,OA,OC两两垂直,以O为坐标原点,OA,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz,设OA＝OC＝2a,OP＝2b,则O(0,0,0),C(0,2a,0),B(2a,2a,0),F(a,a,0),P(0,0,2b),E(a,a,b).∵PO ⊥平面OABC ,CF ⊂平面OABC ,∴CF ⊥PO . ∵四边形OABC 为正方形, ∴CF ⊥OB ,又PO ∩OB ＝O ,PO ,OB ⊂平面POB , ∴CF ⊥平面POB ,即CF ⊥平面OBE , ∴平面OBE 的一个法向量为CF →＝(a ,－a,0). 设平面OEC 的一个法向量为m ＝(x ,y ,z ), 而OC →＝(0,2a,0),OE →＝(a ,a ,b ).由⎩⎪⎨⎪⎧m ·OC →＝0，m ·OE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧0·x ＋2a ·y ＋0·z ＝0，ax ＋ay ＋bz ＝0，取z ＝－a 可得,m ＝(b,0,－a )为平面OCE 的一个法向量. 设二面角B －OE －C 的大小为θ, 由图易得θ为锐角,由S 2四边形OABC ＝3S 2△POB ,得PO ＝63OA , ∴b a ＝63. 故cos θ＝|CF →·m ||CF →||m |＝ab a 2＋a 2·a 2＋b 2＝55, ∴二面角B －OE －C 的余弦值为55. 3.(2018·宁夏回族自治区银川一中模拟)如图,已知△DEF 与△ABC 分别是边长为1与2的正三角形,AC ∥DF ,四边形BCDE 为直角梯形,且DE ∥BC ,BC ⊥CD ,点G 为△ABC 的重心,N 为AB 的中点,AG ⊥平面BCDE ,M 为线段AF 上靠近点F 的三等分点.(1)求证:GM ∥平面DFN ；(2)若二面角M －BC －D 的余弦值为74,试求异面直线MN 与CD 所成角的余弦值. (1)证明 在△ABC 中,连接AG 并延长交BC 于点O ,连接ON ,OF .因为点G 为△ABC 的重心, 所以AG AO ＝23,且O 为BC 的中点.又AM →＝23AF →,所以AG AO ＝AM AF ＝23,所以GM ∥OF . 因为点N 为AB 的中点, 所以NO ∥AC . 又AC ∥DF , 所以NO ∥DF , 所以O ,D ,F ,N 四点共面,又OF ⊂平面DFN ,GM ⊄平面DFN , 所以GM ∥平面DFN .(2)解 由题意知,AG ⊥平面BCDE , 因为AG ⊂平面ABC , 所以平面ABC ⊥平面BCDE ,又BC ⊥CD ,平面ABC ∩平面BCDE ＝BC , CD ⊂平面BCDE , 所以CD ⊥平面ABC .又四边形BCDE 为直角梯形,BC ＝2,DE ＝1, 所以OE ∥CD , 所以OE ⊥平面ABC .因为AC ∥DF ,DE ∥BC ,AC ∩BC ＝C ,DE ∩DF ＝D ,AC ,BC ⊂平面ABC ,DE ,DF ⊂平面DEF , 所以平面ABC ∥平面DEF ,又△DEF 与△ABC 分别是边长为1与2的正三角形,故以O 为坐标原点,OC ,OE ,OA 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz . 设CD ＝m ,则C (1,0,0),D (1,m,0),A (0,0,3),F ⎝⎛⎭⎫12，m ，32,B (－1,0,0),N ⎝⎛⎭⎫－12，0，32,因为AM →＝23AF →,所以M ⎝⎛⎭⎫13，2m 3，233,BC →＝(2,0,0),BM →＝⎝⎛⎭⎫43，2m 3，233,设平面MBC 的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ),由⎩⎨⎧n ·BC →＝2x ＝0，n ·BM →＝43x ＋2m 3y ＋233z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3m z ， 令z ＝－m ,得n ＝(0,3,－m ).又平面BCD 的法向量为v ＝(0,0,1). 由题意得|cos 〈v ,n 〉|＝|v ·n ||v ||n |＝m 3＋m 2＝74, 解得m ＝213, 又MN →＝⎝⎛⎭⎫－56，－2m 3，－36,CD →＝()0，m ，0,所以|cos 〈MN →,CD →〉|＝ |MN →·CD →||MN →||CD →|＝m m 2＋74＝277. 所以异面直线MN 与CD 所成角的余弦值为277.4.(2018·益阳统考)如图,在三棱锥P －ABC 中,P A ,AB ,AC 两两垂直,P A ＝AB ＝AC ,平面α∥平面P AB ,且α与棱PC ,AC ,BC 分别交于P 1,A 1,B 1三点.(1)过A 作直线l ,使得l ⊥BC ,l ⊥P 1A 1,请写出作法并加以证明； (2)若111p A B C P ABCV V --＝827,D 为线段B 1C 的中点,求直线P 1D 与平面P A 1B 1所成角的正弦值. 解 (1)作法:取BC 的中点H ,连接AH,则直线AH 即为要求作的直线l .证明如下:∵P A ⊥AB ,P A ⊥AC ,且AB ∩AC ＝A ,AB ,AC ⊂平面ABC , ∴P A ⊥平面ABC . ∵平面α∥平面P AB ,且α∩平面P AC ＝P 1A 1,平面P AB ∩平面P AC ＝P A , ∴P 1A 1∥P A , ∴P 1A 1⊥平面ABC , ∴P 1A 1⊥AH .又AB ＝AC ,H 为BC 的中点,则AH ⊥BC ,从而直线AH 即为要求作的直线l . (2)∵111p A B C P ABCV V --＝827, 又平面α∥平面P AB , ∴A 1C AC ＝B 1C BC ＝P 1C PC ＝23. 以A 为坐标原点,AB ,AC ,AP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ,设AB ＝3,则A 1(0,1,0),B 1(2,1,0),P (0,0,3),P 1(0,1,2), D (1,2,0),则A 1B 1→＝(2,0,0),P A 1→＝(0,1,－3),P 1D →＝(1,1,－2), 设平面P A 1B 1的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B 1→＝0，n ·P A 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y －3z ＝0，令z ＝1,得n ＝(0,3,1). 则cos 〈P 1D →,n 〉＝16×10＝1530.故直线P 1D 与平面P A 1B 1所成角的正弦值为1530. 5.(2018·江西省重点中学协作体联考)如图,在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,AB ＝AC ＝2,AD ＝22,PB ＝2,PB ⊥AC .(1)求证:平面P AB ⊥平面P AC ；(2)若∠PBA ＝45°,试判断棱P A 上是否存在与点P ,A 不重合的点E ,使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为69？若存在,求出AEAP的值；若不存在,请说明理由. (1)证明 因为四边形ABCD 是平行四边形,AD ＝22, 所以BC ＝AD ＝22, 又AB ＝AC ＝2,所以AB 2＋AC 2＝BC 2,所以AC ⊥AB , 又PB ⊥AC ,AB ∩PB ＝B ,AB ,PB ⊂平面P AB ,所以AC ⊥平面P AB . 又因为AC ⊂平面P AC , 所以平面P AB ⊥平面P AC .(2)解 由(1)知AC ⊥AB ,AC ⊥平面P AB , 分别以AB ,AC 所在直线为x 轴,y 轴,平面P AB 内过点A 且与直线AB 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系A －xyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,2,0), AC →＝(0,2,0),BC →＝(－2,2,0),由∠PBA ＝45°,PB ＝2,可得P (1,0,1), 所以AP →＝(1,0,1),BP →＝(－1,0,1), 假设棱P A 上存在点E ,使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为69, 设AEAP＝λ(0<λ<1), 则AE →＝λAP →＝(λ,0,λ),CE →＝AE →－AC →＝(λ,－2,λ), 设平面PBC 的法向量n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，－x ＋z ＝0，令z ＝1,可得x ＝y ＝1,所以平面PBC 的一个法向量n ＝(1,1,1), 设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ,则 sin θ＝ |cos 〈n ,CE →〉| ＝|λ－2＋λ|3·λ2＋(－2)2＋λ2＝|2λ－2|3·2λ2＋4＝69,解得λ＝12或λ＝74(舍).所以在棱P A 上存在点E ,且AE AP ＝12, 使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为69.。
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题4 第19练 解三角形问题课件 理
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
5 3 12 4 63 ＝13×5＋13×5＝65.
AB AC 由正弦定理 ＝ ，得 sin C sin B
AC 1 260 4 AB＝sin B×sin C＝ 63 ×5＝1 040(m). 65
3 7 ∴sin C＝ 8 ，
3 7 2×4× 4 sin 2A ∴ sin C ＝ ＝1. 3 7 8
答案 C
高考题型精练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
解析 由3sin A＝2sin B，得3a＝2b，
3 3 ∴b＝2a＝2×2＝3，
高考题型精练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
在△ABC 中，由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋ 3
点评 解三角形中的实际问题四步骤：
(1) 分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理 (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
(3) 将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理 运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解； (4) 检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍， 得出正确答案.
2 2 2
(3) 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙
步行的速度应控制在什么范围内？
BC AC 解 由正弦定理sin A＝sin B，
AC 1 260 5 得 BC＝sin B×sin A＝ 63 ×13＝500(m). 65 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走
2016年高考数学自由复习步步高系列(江苏版)专题07概率与统计Word版含解析
回顾一：统计与统计案例 （1）随机抽样：①简单随机抽样：一般地，从元素个数为N 的总体中__________地抽取容量为n 的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．最常用的简单随机抽样的方法：____________和________________．简单随机抽样适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小。
②系统抽样：假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，第一步，先将总体的N 个个体________；第二步，确定____________，对编号进行________，当Nn(n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n ；当N n (n 是样本容量)不是整数时，先用简单随机抽样剔除N n -[N n ]个个体，取k ＝[N n]；第三步，在第1段用________________确定第一个个体编号l (l ≤k )；第四步，按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号____________，再加k 得到第3个个体编号__________，依次进行下去，直到获取整个样本．系统抽样的适用范围是：元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等。
③分层抽样：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个______________的几部分，每一部分叫做______，在各层中按层在总体中所占比例进行____________抽样或________抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样的应用范围是：总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样． （2）用样本估计总体：在研究总体时，常用样本的频率分布去估计总体分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。
①频率分布直方图：在频率分布直方图中，纵轴表示________，数据落在各小组内的频率用___________表示，各小长方形的面积总和等于______．连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着__________的增加，作图时所分的________增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为____________，它能够更加精细的反映出_______________________________________________________．作频率分布直方图的步骤如下：(ⅰ)求极差；(ⅱ)确定组距和组数；(ⅲ)将数据分组；(ⅳ)列频率分布表；(ⅴ)画频率分布直方图．频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状．②茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，给记录和表示都带来方便． ③用样本的数字特征估计总体的数字特征：(ⅰ)平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝______________________________. (ⅱ)样本方差、标准差：标准差s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差． （3）两个变量间的相关关系：①有关概念：相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由小变大，这种相关称为正相关；如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关；如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系．②回归方程：求回归直线，使“离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法，用最小二乘法求得回归方程y bx a =+是两个具有线性相关关系的变量的一组数据1122()()()n n x y x y x y ，，，，，，的回归方程，其中a b 、是待定参数．从a b 、与r 的计算公式1122211()()()()nni i i ii i n ni ii i x x y y x y nx yb x x xn x a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑与()()nniii ix x y y x y nxyr ---==∑∑可以看出：(ⅰ)回归直线必过点(),x y ；(ⅱ)b 与r 符号相同。
【步步高】江苏专用高考数学二轮复习 专题四第3讲立体几何中的向量方法课件 理 苏教
解 (1)如图，以 D 为坐标原点，建立 空间直角坐标系 D—xyz. 依题意，易得 D(0,0,0)，A(1,0,0)， M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，
E12，1，0.
NE ＝－12，0，－1， AM ＝(－1,0,1)．
coN s ,E AM NEAM
EF(0,1,0),FG(1,1,1),
PB(2,0,2).
设 PBxEFyFG ＝(y，x＋y，－y)，
3．空间角的计算 (1)两条异面直线所成角的求法 设直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 θ，则 cos φ＝|cos θ|＝||aa|·|bb||(其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)． (2)直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向 量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝||ee|·|nn||.
图（2）
又由(1)知 PC⊥平面 BEF，
∴直线 PC 与 BC 的夹角即为平面 BEF 与平面 BAP 的
夹角．
在△PBC 中，PB＝BC，∠PBC＝90°，∴∠PCB＝45°.
∴平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45°.
变式训练 3 如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥ 底面 ABCD，∠DAB 为直角，AB∥CD，AD＝CD＝ 2AB，E、F 分别为 PC、CD 的中点． (1)求证：AB⊥平面 BEF； (2)设 PA＝k·AB，且二面角 E－BD－C 的平面角大于 45°，求 k 的取值范围．
方法一 (1)证明 如图(1)，以 A 为坐标原点，AB，AD， AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系． ∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2 2，四边形 ABCD 是矩形， ∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2 2，0)，D(0,2 2，0)，P(0,0,2)． 又 E，F 分别是 AD，PC 的中点， ∴E(0， 2，0)，F(1， 2，1)．
【步步高】2016高考数学大一轮复习 4.3三角函数的图象与性质学案 理 苏教版
学案18 三角函数的图象与性质导学目标： 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．自主梳理 1．周期函数(1)周期函数的定义 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定域内的每一个x 值，都满足__________，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数____叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个________________，那么这个________________就叫做f (x )的最小正周期．2．三角函数的图象和性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 值域 周期性 奇偶性单调性在______________上增，在______________上减在_____________上增，在_____________上减在定义域的每一个区间____________________内是增函数对称性 对称中心(k π，0) (k ∈Z ) (k π＋π2，0) (k ∈Z ) (k π2，0)(k ∈Z )对称轴 x ＝k π＋π2，(k ∈Z ) x ＝k π， (k ∈Z )无自我检测1．设点P 是函数f (x )＝sin ωx (ω≠0)的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π4，则f (x )的最小正周期是________．2．函数y ＝3－2cos(x －π4)的最大值为________，此时x ＝________.3．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是________．4．比较大小：sin(－π18)________sin(－π10)．5．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．探究点一 求三角函数的定义域例1 求函数y ＝122log x +＋tan x 的定义域．变式迁移1 函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域为________________________．探究点二 三角函数的单调性例2 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调区间．变式迁移2 (1)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间； (2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的周期及单调区间．探究点三 三角函数的值域与最值例3 已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．变式迁移3 设函数f (x )＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－3，试确定g (x )＝b sin(ax ＋π3)的周期．转化与化归思想例 (14分)求下列函数的值域：(1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2；(2)y ＝3cos x －3sin x ，x ∈[0，π2]；(3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .【答题模板】解 (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2＝2cos 2x ＋2cos x＝2(cos x ＋12)2－12，cos x ∈[－1,1]．当cos x ＝1时，y max ＝4，当cos x ＝－12时，y min ＝－12，故函数值域为[－12，4]．[4分](2)y ＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6)．∵x ∈[0，π2]，∴π6≤x ＋π6≤2π3，∵y ＝cos x 在[π6，2π3]上单调递减，∴－12≤cos(x ＋π6)≤32，∴－3≤y ≤3，故函数值域为[－3，3]．[9分](3)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12，且|t |≤ 2.∴y ＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝12＋ 2.∴函数值域为[－1，12＋2]．[14分]【突破思维障碍】1．对于形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]的函数在求值域时，需先确定ωx ＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋c 的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，从而求得函数的最值．2．关于y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c (或y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c )型或可化为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．给你提个醒！不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)．2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间来求．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.2．(2010·江苏6校高三联考)已知函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A 、B两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间是________．3．(2011·江苏四市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．4．把函数y ＝cos(x ＋4π3)的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得的函数为偶函数，则φ的最小值是________．5．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )有下列命题：(1)由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；(2)y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos(2x －π6)；(3)y ＝f (x )的图象关于点(－π6，0)对称；(4)y ＝f (x )的图象关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) 6．(2011·泰州调研)定义函数f (x )＝{ sin x ，sin x ≥cos x ， cos x ，sin x <cos x ，给出下列四个命题：①该函数的值域为[－1,1]；②当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，该函数取得最大值；③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )<0.上述命题中正确的个数为________． 7．函数f (x )＝2sin x4对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．8．(2010·江苏)定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(2010·福建改编)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)＋a (ω>0)与g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．10．(14分)已知函数f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．11．(14分)(2010·宿迁高三二模)已知向量a ＝(sin x ，23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3.(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ) (0<θ<π2)为偶函数，求θ的值．答案 自主梳理1．(1)f (x ＋T )＝f (x ) T (2)最小的正数 最小的正数2．R R {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z } [－1,1] [－1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶函数 奇函数 [2k π－π2，2k π＋π2] (k ∈Z ) [2k π＋π2，2k π＋32π](k ∈Z ) [2k π－π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )自我检测1．π 2.5 5π4＋2k π(k ∈Z ) 3.{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z }4．> 5.π6课堂活动区例1 解题导引 求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．解 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2k ∈Z ，得⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2 k ∈Z .所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <π2或π≤x ≤4.变式迁移1 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥02sin x －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12sin x >12，解得⎩⎪⎨⎪⎧π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z ，即x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z .例2 解题导引 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．解 方法一 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 化成y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.∵y ＝sin u (u ∈R )的递增、递减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 (k ∈Z )、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，令2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2 (k ∈Z )，解得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4 (k ∈Z )．∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间、单调递增区间分别为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z )、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4 (k ∈Z )． 方法二 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 可看作是由y ＝2sin u 与u ＝π4－x 复合而成的．又∵u ＝π4－x 为减函数，∴由2k π－π2≤u ≤2k π＋π2(k ∈Z )，即2k π－π2≤π4－x ≤2k π＋π2 (k ∈Z )，得－2k π－π4≤x ≤－2k π＋3π4 (k ∈Z )，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4(k ∈Z )为 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递减区间． 由2k π＋π2≤u ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，即2k π＋π2≤π4－x ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，得－2k π－5π4≤x ≤－2k π－π4 (k ∈Z )，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间． 综上可知，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )； 递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4 (k ∈Z )． 变式迁移2 解 (1)由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ， 得y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，∴－π≤x ≤－712π，－π12≤x ≤512π，1112π≤x ≤π.∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－712π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，512π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112π，π. (2)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的周期T ＝π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＝4π.由y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4 得y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， 由－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π得－43π＋4k π<x <83π＋4k π，k ∈Z ， ∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＋4k π，83π＋4k π (k ∈Z )． 例3 解题导引 解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最值，再由方程的思想解决问题．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin(2x －π3)≤1， 若a >0，则⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧ a ＝12－63b ＝－23＋123；若a <0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5－3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.综上可知，a ＝12－63，b ＝－23＋12 3 或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.变式迁移3 解 ∵x ∈R ，∴cos x ∈[－1,1]．若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1－a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－1；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－3－a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1.所以g (x )＝－sin(2x ＋π3)或g (x )＝sin(2x －π3)，周期为π.课后练习区 1．3解析 由图可知，T ＝2π3，∴ω＝2πT＝3.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z ) 3.34 4.2π3解析 向左平移φ个单位后的解析式为y ＝cos(x ＋4π3＋φ)，当4π3＋φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝cos(x ＋4π3＋φ)为偶函数， ∴φ＝k π－4π3(k ∈Z )．当k ＝2时，φmin ＝2π3.5．(2)(3)解析 (1)不正确．可举反例，如f (－π6)＝f (π3)＝0但－π6－π3＝－π2.(2)正确．∵y ＝4sin(2x ＋π3)＝4cos[π2－(2x ＋π3)]＝4cos(－2x ＋π6)＝4cos(2x －π6)．(3)正确．∵f (－π6)＝0，∴y ＝f (x )的图象与x 轴交于(－π6，0)点．(4)不正确．∵f (－π6)既不是y 的最大值也不是y 的最小值．故答案为(2)(3)．6．1解析 当2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )时，sin x ≥cos x ，所以f (x )＝sin x ，f (x )∈[－22，1]；x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，该函数取得最大值； 当且仅当2k π＋π<x <2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )<0.当2k π－3π4<x <2k π＋π4(k ∈Z )时，sin x <cos x ，所以f (x )＝cos x ，f (x )∈[－22，1]； x ＝2k π(k ∈Z )时，该函数取得最大值；当且仅当2k π－3π4<x <2k π－π2(k ∈Z )时，f (x )<0.综合得：①②错误，④正确，周期还是2π，所以③错误．7．4π解析 由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)、f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，而当x4＝2k π－π2，即x ＝8k π－2π (k ∈Z )时，f (x )取最小值；而x 4＝2k π＋π2，即x ＝8k π＋2π(k ∈Z )时，f (x )取最大值，∴|x 1－x 2|的最小值为4π. 8.23解析 线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x ＝5tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得sin x ＝23.所以线段P 1P 2的长为23.9．解 (1)∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ，…………………………………(3分)∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. …………………………………………………………(5分)(2)当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )时，函数f (x )单调递减，故函数f (x )的单调递减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．………………………………………………………………(10分)(3)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]，…………………………………………………(12分)∴当x ＝π2时，f (x )取得最小值，∴2sin(2·π2＋π6)＋a ＝－2，∴a ＝－1.……………………………………………………(14分)10．解 由题意知cos 2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π4(k ∈Z )．∴f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π2＋π4，k ∈Z }．……………………………………………(4分)又f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x ＝ 2cos 2x －1 cos 2x －12cos 2x －1＝cos 2x －1＝－sin 2x ，……………………………………………………………………(8分)又∵定义域关于原点对称，∴f (x )是偶函数．…………………………………………(10分)11 显然－sin 2x ∈[－1,0]，又∵x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴－sin 2x ≠－12. ∴原函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |－1≤y <－12或－12<y ≤0.……………………………………………………………(14分)11．解 f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋23·1－cos 2x 2－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.………………………………………………………(4分)(1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z 解得单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z .………………………………………(8分)(2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π3. 根据三角函数图象性质可知，y ＝f (x ＋θ) ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2在x ＝0处取最值， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝±1， ∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z .……………………………………………………(12分)又0<θ<π2，解得θ＝5π12.…………………………………………………………………(14分)。
2016届高考数学自由复习步步高系列(江苏版)专题08错题重做(解析版)
1.已知函数2()()ln f x ax x x x =+-在[1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ; 【答案】12a e≥【错因】少数学生没有导数研究函数的意识，多数学生的错误在于单调增转化为在这个区间上大于零还是大于等于零的纠结．2.关于x 的实系数方程的一个根在区间[0，1]上，另一个根在区间[1，2]上，则2a+3b 的最大值为 。
【答案】9【错因】面对的是一个一元二次方程的根的分布问题，不少学生总想用求根公式求出它的根，进而使问题变得复杂，而想到合理的运用三个二次的关系转化为函数问题求解． 【正解】令，椐题意知，方程的一个根在区间[0，1]上，另一个根在区间[1，2]上等价于在直角坐标中作出关于不等式组的点(a ，b)的可行域，则2a+3b 的最大值即为目标函数的最优解，结合图形可知，时， 目标函数的最大值为93.已知函数1()()e x a f x a x=-∈R ．若存在实数m ，n ，使得()0f x ≥的解集恰为[],m n ，则a 的取值范围是 ． 【答案】1(0,).e【错因】多数学生对此题无法入手，头脑中没有函数，方程与不等式的关系的体系，更没有数形结合的意识从而导致对问题理解的偏差． 【正解】由题意得方程10x a e x -=有两个不等的非零根，方程变形得xxa e =，则由1()0x x x x e e -'==得1x =，因此当1x <时，1(,),a e ∈-∞当1x >时，1(0,),a e∈因此a 的取值范围为111(0,)(,)(0,).ee e-∞=4.已知函数4411()11sin cos f x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的最小值为 . 【答案】9【错因】面对此题很多学生被它的形式所吓倒，这其实体现出了学生三角公式的记忆和理解较薄弱的事实，如果解决公式这一题，此题就是一个三角函数的范围问题．5.已知ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，60,2,B b a x ∠=︒==，若c 有两组解，则x 的取值范围是 ．【答案】2,⎛⎝． 【错因】少数学生想不到运用余弦定理构建等式关系，多数学生得到c 和x 的关系后就无法处理了，这实际是一个谁是主元的问题．【正解】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22224,40,x c cx c cx x =+-∴-+-=c 有两解224160x x ∴∆=-+>，解得x <．画图：以边AC 为半径，点A 为圆心作圆弧，要使c 有两解，必有斜边2,2x x >∴<<．6.设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.【错因】江苏对三角公式的要求并不是很多，且不学反三角函数，故不少学生看到此题中并非特殊角时就感到很困难．7.如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量(,AP mAB nAF m n =+为实数），则m n+的最大值为____________．【答案】5【错因】多数学生对向量中三点共线则系数和为1这个结论不清楚，更不说还要灵活运用了，另外学生对此题中动圆的理解和运用与存在问题．【正解】我们知道当点'P 在直线BF 上时，若'AP mAB nAF =+，则1m n +=，因此我们把直线BF 向上平移，则m n +在增大（只要点'P 在与BF 平行的同一条直线上，m n +就不变，也即m n +的值随直线到点A 的距离的变化而变化），当Q 与D 重合，这时圆Q 上有一点到A 的距离最大为5，而点A 到直线BF 的距离为1，故m n +最大值为5.8.如图ABC ∆是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ．【答案】1344m << 【错因】面对本题中向量的关系，很多学生想不到揪住一些特殊的位置加以思考问题，这实质上就是填空题中的特值法的运用．【答案】34【错因】有些学生一看到函数与数列的结合题就感到害怕，还有部分学生解题的目标意识不强，得到了11,4n n a a ++=-又不能将问题转化到函数了．【正解】因为1(1)2f x +=+，所以222211((1))()(),(1)(1)()(),24f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-++=-即11,4n n a a ++=-因此数列}{n a 任意相邻两项和为1,4-因为151517()4S a =+⨯-=3116-，153.16a =-因此23(15)(15),16f f -=-所以3(15)4f =或1(15)4f =，又由1(1)2f x +=+1,2≥(15)f =34.10.已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2132n n S S n n -+=….若对任意的*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是 . 【答案】915,44⎛⎫⎪⎝⎭【错因】不少学生不会处理213(2)n n S S n n -+=≥这个条件，部分学生得到了361+=++n a a n n ，不能想到再写出一个类似的式子就有突破口了．11.已知函数12()416mx f x x =+，21()()2x mf x -=，其中m ∈R ． （1）若0<m≤2，试判断函数f (x)=f 1 (x)+f 2 (x)()[2,)x ∈+∞的单调性，并证明你的结论；（2）设函数12(),2,()(), 2.f x x g x f x x ⎧=⎨<⎩≥ 若对任意大于等于2的实数x 1，总存在唯一的小于2的实数x 2，使得g (x 1) = g (x 2) 成立，试确定实数m 的取值范围． 【答案】（1）单调减函数，（2）（0，4）.【错因】第一问中学生首先不知道要将绝对值去掉，更多的学生求出导数后不知道如何判断出导数的符号，第二问中大多数学生无法正确的对m 进行分类讨论，绝大多数学生没有想到先显然可以排除m 小于等于零这种情形． 【正解】（1）f (x)为单调减函数． 证明：由0<m≤2，x≥2，可得12()()()f x f x f x =+=21()4162x m mx x -++=212()4162mx mx x +⋅+． 由 2224(4)11()2()ln (416)22m x m x f x x -'=+⋅=+222(4)12()ln 2(28)2m x m x x --⋅+， 且0<m≤2，x≥2，所以()0f x '<．从而函数f(x)为单调减函数．（亦可先分别用定义法或导数法论证函数12()()f x f x 和在[2,)+∞上单调递减，再得函数f(x)为单调减函数．）（b ）若0＜m ＜2，由于x ＜2时，||21(),,12()()()12(), 2.2m xx m x m x m g x f x m x ---⎧<⎪⎪===⎨⎪<⎪⎩≤ 所以g(x)在(,]m -∞上单调递增，在[,2)m 上单调递减． 从而22()(0,()]g x f m ∈，即2()(0,1]g x ∈．要使g (x1) = g (x2)成立，只需21,161()162mmm -⎧<⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤成立，即21()162m m -≤成立即可．由0＜m ＜2，得2111,()16824m m -<>． 故当0＜m ＜2时，21()162m m -≤恒成立．综上所述，m 为区间（0，4）上任意实数．12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B p C A sin sin sin ⋅=+（R ∈p ），且241b ac =．（1）当45=p ，1=b 时，求a ，c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围．【答案】(1) ⎪⎩⎪⎨⎧==41,1c a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.1,41c a ；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,26p ． 【错因】第一问中少数学生不知道运用正弦定理将条件化角为边，但很多学生出现了少一组解的问题;第二问中不少学生不能想到正确运用余弦定理求出p 的表达式，角的范围是一个很大的错误．13.已知向量1(cos ,1),(3sin ,)2m x n x =-=-,设函数()()f x m n m =+⋅. (1).求函数f(x)的最小正周期;(2).已知a,b,c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a=1,c =()f A 恰是函数f(x)在[0,]2π上的最大值,求A,b 和三角形ABC 的面积.【答案】（1）π；（2）6A π=，1=b 或2=b，S =或S =.【错因】第一问中的错误主要集中在运用用三角公式时，所引入的辅助角是6π还是3π的问题;第二问中所考查的知识点比较多，故部分学生出现了乱用的现象．14.已知函数23()3x f x x +=， 数列{}n a 满足1111,(),n na a f n N a *+==∈． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令11211(2),3,n n n n nb n b S b b b a a -=≥==++⋅⋅⋅+，若20042n m S -<对一切n N *∈成立，求最小正整数m ．【答案】（1）2133n a n ∴=+；（2）2013m =最小． 【错因】第一问中学生代入后无法灵活运用等差数列的定义，使得问题无法进行下去了，也有出现不作任何交代直接就用的问题，第二问中部分学生不知道运用裂项相消的方法进行数列求和，多数学生不能将数列问题和函数问题结合起来研究问题．15.设()xf x e ax a =--.(Ⅰ)若()0f x ≥对一切1x ≥-恒成立,求a 的取值范围; (Ⅱ)设()()xag x f x e =+,且112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是曲线()y g x =上任意两点,若对任意的1a ≤-,直线AB 的斜率恒大于常数m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)求证:*13(21))()n n n n n n n N +++-<∈. 【答案】（Ⅰ) 1a ≤；（Ⅱ）3m ≤；（Ⅲ）详见解析【错因】第一问中这个恒成立问题学生的主要问题主要出现在一个细节上：运用参数分离时不知道一定要单独考虑一下端点问题;第二问中绝大多数学生无法想到去构建一个新的函数：mx x g x F -=)()(，第三问中不等于的证明绝大多数学生无法想到第一问中的结论再结合放缩法进行对不等于的证明．(Ⅲ)由(Ⅰ) 知1(0xe x x ≥+=时取等号）,取2ix n =-,,12,3,1-=n i 得212i ni e n --<即22()2inn i e n--< 累加得。
2016届高考数学文自由复习步步高系列专题06立体几何(通用版)(解析版)
2016年高考备考之考前十天自主复习第六天（文科）回顾一：空间几何体1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．2．空间几何体的三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形．(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．看不到的线画虚线． 3．直观图的斜二测画法空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．4．空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；③S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)；④S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)． (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)；④V 球＝43πR 3.回顾二：空间中的平行于垂直1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理2．3． 平行关系及垂直关系的转化示意图热点一：三视图与表面积、体积【典例】( 福建省龙岩市2016届高三教学质量检查数学文8)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（ ）A B+C+D1【答案】D考点：1.三视图；2.几何体的表面积【题型概述】这类题以三视图为载体，考查面积、体积的计算，尤其三视图及柱、锥与球的接切问题相结合是考试的重点和热点，这类题的解决方法一般为将三视图还原几何体，再利用几何体的表面积公式或体积公式计算，解决的关键是要熟悉常见几何体的三视图，尤其注意几何体的不同摆放位置三视图会发生变化．【跟踪练习1】( 2016年浙江省杭州市严州中学高三三月阶段测试数学文10)一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ,表面积为．【解析】-，从侧视图试题分析：试题分析：从三视图可以看出原几何体为三棱锥，不妨设为P ABCAC=三角形PAC的AC就是可以看出侧面PAC⊥底面ABC，从正视图看2,三棱锥的高，从俯视图可以看出底面ABC 是等腰三角形，从侧试图可以看出AC 边上的高位1，所以三棱锥的体积-ABC 11=2132P V ⨯⨯⨯⨯； 考点：三视图【跟踪练习2】( 东北三省三校2016年高三第一次联合模拟考试文6)已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是 （ ）A ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．【答案】B 【解析】试题分析：根据三视图可以看出这个三棱锥的放置方法，正视图恰好为三棱锥的底面，它是一个边长为2的等边三角形，底面在后与水平面垂直，从正视图和侧视图中可以看出棱锥的顶点正对照正视图的视线，从俯视图可以看出棱锥的高为，所以三棱锥的体积为：21323v =⋅⋅= 考点：三视图热点二：证明或判断空间平行、垂直关系【典例】( 四川省遂宁市2016届高三第二次诊断考试数学文18)如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，PD ⊥平面ABCD ， =ADC=90BAD ∠∠o ，22,DC AB a DA ===，E 为BC 中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（2）线段PC 上是否存在一点F ，使PA //平面BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.【答案】(1)证明详见解析；(2)当点F 位于PC 三分之一分点(靠近P 点)时, //PA 平面BDF .【解析】(2)当点F 位于PC 三分之一分点(靠近P 点)时, //PA 平面BDF连结,AC BD 交于O 点//AB CD ,所以AOB ∆相似于COD ∆，又因为12AB DC =，所以12AO OC =从而在CPA ∆中,13AO AC =，而13PF PC =，所以//OF PA ，而OF ⊂平面BDFPA ⊄平面BDF ，所以//PA 平面BDF考点：空间直线与平面间的关系.【题型概述】空间中的平行关系在高考命题中主要与平面问题中的平行、简单几何体的结构特征等问题相结合，重点考查空间中直线与平面平行、平面与平面平行的判定及性质，解决该类题的关键是注意线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系的转化． 【跟踪练习1】(江西省六校2016届高三3月联考数学文4)设α,β是空间两个平面，m, n 是空间两条直线，则下列选项不正确．．．的是（ ） A ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件 B ．当m ⊂α时，“m β⊥”是“α⊥β”的充分不必要条件 C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当m ⊂α时，如果n α∥，那么n α⊄，所以m n ∥或m n ，异面；反之，若m n ∥，则n α∥或n α⊂，即当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的既不必要也不充分条件，A 不正确；当m ⊂α时，如果m ⊥β，则α⊥β；反之，若α⊥β，则m β⊥或m β⊂或//m β，即当m ⊂α时，“m β⊥”是“α⊥β”的充分不必要条件，B 正确；当n ⊥α时，若n ⊥β，则α∥β；反之也成立，C 正确；当m ⊂α时，若 n ⊥α，则m 垂直于平面α内的每一条直线，即m ⊥n ；反之，若m ⊥n ，则n ⊥α不一定成立，即当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件，D 正确.选A .考点：1.充要条件；2.平行关系、垂直关系【跟踪练习2】( 2014-2016江西省景德镇高三第二质检数学文19)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，160A AD DAB ∠=∠=︒,O 是AD 的中点．（1）证明AD ⊥面1AOB ; （2）当平面ABCD ⊥平面11AA D D ，求11B CDD V -．1A【答案】（1）证明见解析；（2）1．考点：（1）直线与平面垂直；（2）棱锥的体积【跟踪练习3】如图所示，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ； (2)求证：平面ABC ⊥平面APC.P【解析】(1)由已知，得MD 是ABP ∆的中位线，所以//MD AP ，又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故//MD 平面APC .(2)因为PMB ∆为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥.所以AP PB ⊥.又AP PC ⊥，PB PC所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以AP BC ⊥.又BC AC ⊥， AC AP A ＝，所以BC ⊥平面APC .因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC . 【考点定位】直线和平面平行、面面垂直．1．(2014——2016学年度上学期辽宁省丹东五校协作体高三期末考试文5)某几何体三视图如下，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（ ）.A π .B .C .D π 【答案】D考点：1、三视图；2、空间几何体的体积2．等腰梯形ABCD ，上底1CD =，腰AD CB ==3AB =，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图''''A B C D 的面积为_______．【解析】如上图，,CF AB DE AB ⊥⊥ ，1EF CD == ，3112FB -== ，因为CB =，所以1CF === ，所以，在直观图中12C G C F CF ''''=== ，()1132A B C D S ''''=⨯+=梯形 【考点定位】直观图3．(山东省潍坊市第一中学2016届高三1月期末考前模拟数学文7)设,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是（A ）//,////,//m n m n αβαβ且则 （B ）,m n αβαβ⊥⊥⊥且，则m n ⊥ （C ）,,m n m n αβ⊥⊂⊥，则αβ⊥ （D ）,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ 【答案】B 【解析】试题分析：选项A 错，因,m n 可能相交或异面；选项B 显然正确；选项C 中,αβ可能相交，不一定垂直；选项D 中必须要求,m n 相交 考点：线面的位置关系4．如图,四边形ABCD 为矩形,AD ⊥平面ABE,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证:AE ⊥平面BCE ；(2)设M 在线段AB 上,且满足AM=2MB,试在线段CE 上确定一点N,使得MN ∥平面DAE ．【解析】。
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回顾一：三角函数的图象与性质 1． 三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(3)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2． 三角函数的图象及常用性质回顾二：三角变换与解三角形1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3． 三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 4． 正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .5． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .6． 面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7． 解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解. 回顾三：平面向量1． 平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影． 2． 平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 3． 平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：(1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 4． 平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.热点一：三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及解析式 【典例】将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是________________. 【答案】1sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【考点定位】三角函数的图象变换.【题型概述】该类题主要包括三角函数的图象和变换以及已知图象确定解析式两种题型，已知图象求解析式这类型题的解决方法一般为利用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置；函数的图象变换这类型题，务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．【跟踪练习1】函数()()()sin 0,0,02f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤< 在R 上的部分图像如图所示，则(2014)f = ．【答案】52-考点：本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象和性质【跟踪练习2】将函数f(x)＝sin(2x ＋θ) ()22ππθ-<<的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P ，则φ的值为 ． 【答案】56π【解析】由题意得： ()sin(22)g x x ϕθ=-+，因此sin 2)θθϕ=-=22ππθ-<<，所以3πθ=，因为0ϕπ<<，所以452,.336πππϕϕ-=-= 考点：三角函数图像与性质 热点二：三角函数的性质【典例】已知函数)2sin()4cos()4sin(32)(πππ+-++=x x x x f ．(1)求)(x f 的最小正周期； (2)若将)(x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象，求函数)(x g 在区间)2,0[π上的最大值和最小值，并求出相应的x 的值．【解析】（1）())sin 22f x x x π=++ 2sin 2x x =+ 2sin(2)3x π=+．所以)(x f 的最小正周期为π。
（2） 将)(x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象，∴()()2sin 2()333g x f x x πππ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦ 2sin(2)3x π=-．0 2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，22,333x πππ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭， ∴当232x ππ-=，即512x π=时， )(x g 取得最大值2；当233x ππ-=-，即0x =时， )(x g 取得最小值【考点定位】三角函数的性质、三角函数的值域．【题型概述】该类型题目主要考察三角函数的图象和性质，首先应恒等变形为()y Asin x ωϕ＝＋，且将ω化为正,这样可求周期2T πω=,将ωx ＋φ看成一个整体，利用复合函数的单调性求单调区间，利用三角函数的图象求值域以及对称问题等． 【跟踪练习1】已知函数()()2cos10,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=++>><<⎪⎝⎭的最大值为3，()f x 的图像与y 轴的交点坐标为()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则()()()()1232016f f f f +++= .【答案】4032考点：二倍角公式；三角函数的图象与性质. 【跟踪练习2】给出下列命题： ①函数2cos 32y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是奇函数；②存在实数x ，使sin cos 2x x +=；③若,αβ是第一象限角且α<β，则tan tan αβ<；④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一条对称轴； ⑤函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称． 其中正确命题的序号为__________．【答案】①④考点：三角函数图象与性质.热点三：三角函数与三角形问题的结合 【典例】已知函数f(x)＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x(1)求函数f(x)的单调递减区间及最小正周期；(2)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝6，cosB ＝13，f(C 2)＝－14，求b.【解析】 (1)∵f(x)＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x ＝cos2xcos π3－sin2xsin π3＋1－cos2x 2＝12cos2x －32sin2x ＋12－12cos2x ＝－32sin2x ＋12， ∴最小正周期T ＝2π2＝π，令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k∈Z ，∴f(x)的单调递减区间是(k ∈Z). (2)由(1) 1()2f x =得：11f(224C =-，∴，又1cosB=3，∴=，∴b csinB sinC=，即8b=3csinB sinC ==，故8b=. 3【考点定位】三角函数的和差倍半公式，三角函数的性质，正弦定理的应用.【题型概述】该类题型将三角函数的图象和性质与正弦定理融合到一起，其解法往往是，既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；同时它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的.【跟踪练习1】在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1cos cos ,2a Bb Ac -=当()tan A B -取最大值时，则角C 的值为_________. 【答案】2π考点：正弦定理及基本不等式的应用.【跟踪练习2】ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，下列命题正确的是________. ①若ABC ∆最小内角为α，则21cos ≥α； ②若A B B A sin sin >，则A B >；③存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ； ④若02=++AB c CA b BC a ，则ABC ∆的最小角小于6π； ⑤若()10≤<<t tb a ，则tB A <. 【答案】①④⑤考点：1、解三角形正弦定理、余弦定理；2、向量. 热点四：三角变换、向量、三角形问题的综合【典例】已知a ，b ，c 分别为∆ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m =(sinA ，1)，n =(cosA ，，且m //n ．(I)求角A 的大小；(II)若a=2，，求∆ABC 的面积．【解析】（I ）因为m //n cos 0,tan 3A A A -==因为A (0,)π∈，所以A 6π=.（II ）由正弦定理可得：sin sinB 22b A ==因为a b <，所以A B <，4B π=或34π.当4B π=时，sin sin(A B)sinAcosB cosAsinB C =+=+=所以1S absinC 12∆==；当34B π=时，sin sin(A B)sinAcosB cosAsinB C =+=+=所以1S absinC 12∆==.故∆ABC 的面积为1+1.【考点定位】平面向量的坐标运算，两角和差的三角函数，正弦定理的应用，三角形面积公式.【跟踪练习1】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线. （1）求cos B ；（2）若b =5c =，a c <，且2AD DC =，求BD 的长度.考点：1.三角恒等变形；2.正余弦定理解三角形． 【跟踪练习2】设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若a b =，求x 的值；（II ）设函数()f x a b =⋅，求()x f 的最大值．【解析】（I ）由2222)(sin )4sin ax x x =+=，222(cos )(sin )1b x x =+=，及2,4sin 1a b x ==得，又1[0,],sin 22x x π∈=从而，所以6x π=，（II ）2()cos sin f x a b x x x =⋅=⋅+1112cos 2sin(2)2262x x x π-+=-+.当[0.]sin 2- 1.326x x πππ=∈时，（）取最大值所以3().2f x 的最大值为考点：1、三角恒等变形；2、三角函数求最值．1. 在ABC ∆，已知sin 13sin sin A B C =，cos 13cos cos A B C =，则t a n t a n t a n A B C ++的值为_______． 【答案】196考点:1、同角三角函数之间的关系及三角形内角和定理与诱导公式 ；2、两角和的正切、余弦公式.2．已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则(x)y f =的解析式是(x)f = ．【答案】)42sin(2)(π+=x x f【解析】由图知振幅为2周期为π，所以ωππ2,2==A ，故2=ω，由函数经过第二个零点⎪⎭⎫⎝⎛0,83π，所以0)832sin(2=+⨯ϕπ，πππϕ+=+k 243即ππϕ412+=k ，又πϕ≤≤0，故πϕ41=，所以)42sin(2)(π+=x x f 考点：三角函数图象3. 已知ABC ∆的面积为S ，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2s i n ,s i n C A 成等比数列，2213,218322b a c ac =≤+≤241c +的最小值为 .【答案】34考点：等比数列的应用；余弦定理及三角形的面积公式；导数的应用.4. 已知cos()sin 6παα-+=，则7sin()6απ+的值是________． 【答案】45-【解析】由题意得，13cos()sin sin sin sin 622πααααααα-+=++=+)6πα=+=，即4sin()65πα+=，又74sin()sin()sin()6665ππαπαπα+=++=-+=-．考点：三角函数的化简求值．5. 函数21cos cos 2y x x x =⋅--，[0,]2x π∈的单调递增区间是 .【答案】[0,]3π.考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的性质．6. 已知函数()sin f x x x =+，则下列命题正确的是 .（填上你认为正确的所有命题的序号）①函数()f x 的最大值为2; ②函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称;③函数()f x 的图象与函数2()2sin()3h x x π=-的图象关于x 轴对称; ④若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ，则12373x x x π++=; ⑤设函数()()2g x f x x =+，若(1)()(1)2g g g θθθπ-+++=-，则3πθ=-.【答案】①③④⑤【解析】1()sin 2sin )2sin()223f x x x x x x π=+=+=+（. 所以①正确；因为将6x π=-代入()f x 得()2sin()10663f πππ-=-+=≠，所以②不正确；因为22()2sin()2sin()2sin()()333f x x x x h x ππππ=+=+-=--=-，所以③正确； 若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解，结合函数()2sin()3f x x π=+及y m =的图象可知，必有0,2x x π==，此时()2sin()3f x x π=+=另一解为3x π=，即123,,x x x 满足 12373x x x π++=，④正确；()()22sin()23g x f x x x x π=+=++，由(1)()(1)2g g g θθθπ-+++=-得，2sin(1)2(1)2sin()22sin(1)2(1)2333πππθθθθθθπ-++-++++++++=-化简得，2sin()cos12cos()sin12sin()2sin()cos12cos()sin16233333πππππθθθθθθπ+-++++++++=-，即2sin()cos1sin()333ππθθθπ++++=-，由三角函数的图象和性质知，3πθ=-，⑤正确.综上知，答案为①③④⑤.考点：1.两角和与差的三角函数；2.三角函数的图象和性质. 7. 已知函数()()211sin 2cos cos sin cos 0222f x x x πωϕωϕϕϕπ⎛⎫=+++<< ⎪⎝⎭，其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求ω和ϕ的值； （2）求函数()2,0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的值域.考点：三角函数的图象与性质的应用．8. 已知函数22()cos 3sin cos 2f x x x x x =--+．（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且sin(2)22cos()sin b A C A C a A+==++，求()f B 的值．【解析】（1）222()cos 3sin cos 222sin 1f x x x x x x x =--+=-+2cos 22sin(2)6x x x π=+=+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴712,,sin(2),166662x x ππππ⎡⎤⎡⎤+∈+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴[]()1,2f x ∈- （2）∵由题意可得[]sin ()2sin 2sin cos()A A C A A A C ++=++有，sin cos()cos sin()2sin 2sin cos()A A C A A C A A A C +++=++，化简可得：sin 2sin C A = ∴由正弦定理可得：2c a =，∵b =，∴余弦定理可得：222222431cos 2222+-+-===⋅a c b a a a B ac a a ，∵0B π<< ∴3B π=， 所以 ()1f B =考点：三角恒等变换；三角函数的图象与性质；正弦定理与余弦定理． 9. 设R f ()x a b λ∈=⋅，，其中 )sin ,(cos x x =，))2cos(,cos sin (x x x b --=πλ，已知)(x f 满足)0()3(f f =-π（1）求函数)(x f 的单调递增区间； （2）求不等式3)62cos(>-πx 的解集．考点：1.两角和与差的正弦函数；2.平面向量数量积的运算；3.正弦函数的对称性；4.余弦函数的图象10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(cos θsin θ)，B(sin θ，0)，其中θ∈R ． （1）当θ＝23π时，求向量AB 的坐标； （2）当θ∈时，求||AB 的最大值．【解析】（1）由题意，得AB ＝(sin θ－cos θ，sin θ)， 当θ＝23π时，sin θ－cos θ＝sin 23π－cos 23π＝12+， sin θsin 23π2，所以AB ＝(12，).（2）因为AB ＝(sin θ－cos θsin θ)，所以 ||AB 2＝(sin θ－cos θ)2＋(－sin θ)2＝1－sin2θ＋2sin 2θ ＝1－sin2θ＋1－cos2θ＝2sin(2θ＋4π). 因为0≤θ≤2π，所以4π≤2θ＋4π≤54π. 所以当2θ＋4π＝54π时，||AB 2取到最大值2×(－2)＝3，即当θ＝2π时，||AB考点：向量坐标表示，向量的模，三角函数性质。