高三数学精准培优专题练习8：平面向量
2019届高考数学专题八平面向量精准培优专练理
培优点八 平面向量1．代数法例1：已知向量a，b 满足=3a ，b ()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A．3 B ．3- C． D 【答案】C【解析】考虑b 在a 上的投影为⋅a bb，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()20⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以9⋅=-a b．进而⋅==a b b ．故选C ． 2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b，则=-a b _______． 【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a=的菱形， =． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ⋅=u u u v u u u v__________．【答案】14AD BE ⋅=-uuu v uu uv【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题， 观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系：A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 下面求E 坐标：令(),E x y ，∴1,2CE x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭uu u v ，12CA ⎛=- ⎝⎭uu v ，由3CA CE =uu v uu u v可得：11132233x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩13E ⎛ ⎝⎭，∴0,AD ⎛= ⎝⎭uuu v，56BE ⎛= ⎝⎭uu u v ，∴14AD BE ⋅=-uuu v uu u v ．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．12-B ．12C． D【答案】D【解析】因为12cos4π⨯⨯=⋅=a b ()40λλλ-⋅=⋅=⇒=a b b ，故选D ． 2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+=a b ⋅=a b （ ） A ．1 BCD ．2【答案】A【解析】由题意可得：22221427+=++⋅=++⋅=a b a b a b a b ，则1⋅=a b ．故选A ． 3．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =， 则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．1-B ．1 C． D【答案】B【解析】因为13AM AB =，所以DB AB AD =-uu u v uu u v uuu v ，13DM AM AD AB AD =-=-uuuu v uuu v uuu v uu u v uuu v ，则()22114333DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v uuu v14142111332=⨯-⨯⨯⨯+=．故选B ． 4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =u u u v b ，则AO =u u u v（ ）A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b【答案】B【解析】由题意，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，所以1AE AC =uu u v uuu v，对点增分集训又因为O 是BE 边的中点，所以()12AO AB AE =+uuu v uu u v uu u v，所以()1111122224AO AB AE AB AE =+=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v a b ，故选B ． 5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（ ） A ．2- B ．32-C ．34 D ．98【答案】D【解析】因为AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，所以ABCD 是直角梯形，且CM =30BCM ∠=︒，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：因为BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，则(]01λ∈，，()20B ，，()2P λ-，18Q λ⎛ ⎝，所以()1112254848AP BQ λλλλ⎛⋅=-⋅-=+-- ⎝uu u v uu u v ， 令()115448f λλλ=+--且(]01λ∈，， 由基本不等式可知，当1λ=时可取得最大值， 则()()max 119154488f f λ==+--=．故选D ． 6．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅uu v uu u v的范围是（ ）A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，【答案】C【解析】根据题意，ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，则根据余弦定理可得2416224cos6012BC =+-⨯⨯⨯︒=，即BC =．∴ABC △为直角三角形以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立坐标系，则()02A ，，()C ，则线段AC 12y+=，(0x ≤≤．设(),P x y ，则()()222443PB PC x y x y x y x ⋅=---=+-=-+uu v uu u v ，，．∵0x ≤≤944PB PC -≤⋅≤uu v uu uv ．故选C ．7．已知非零向量a ，b ，满足=a b 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A【解析】非零向量a ，b ，满足=a b 且()()320+⋅-=a b a b ，则()()320+⋅-=a b a b ， ∴22320+⋅-=a a b b ，∴223cos 20θ+⨯⨯-=a a b b ，∴2213cos 202θ⨯⨯⨯-=b b b ，∴cos θ=，4θπ=，∴a 与b 的夹角为4π，故选A ．8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅uuv uu u v的最大值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．【答案】B【解析】∵在Rt ABC △中斜边BC a =，∴BA CA ⊥， ∵A 为线段PQ 中点，且2PQ a =，∴原式()22222cos a BA AQ AQ CA a AQ BA CA a AQ CB a a θ=-+⋅-⋅=-+-=-+⋅=-+u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u v ， 当cos 1θ=时，有最大值，0BP CQ ⋅=uu v uu u v ．故选B ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则c 的最大值等于（ ）A ．1BCD ．2【答案】D【解析】设OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu v c ，因为12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，所以120AOB ∠=︒，60ACB ∠=︒，所以O ，A ，B ，C 四点共圆，因为AB =-uu u v b a ，()222223AB =-=+-⋅=uu u v b a b a a b ，所以AB =由正弦定理知22sin120ABR ==︒，即过O ，A ，B ，C 四点的圆的直径为2，所以c 的最大值等于直径2，故选D ．10．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡+⎣B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣【答案】B【解析】由a ，b 是单位向量，0⋅=a b ，可设()1,0=a ，()0,1=b ，(),x y =c ， 由向量c 满足2--=c a b ，∴()1,12x y --=，2=，即()()22141x y +-=-，其圆心()1,1C ，半径2r =，∴OC =22c B ．11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uu u v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uu u v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,3- C ．()0,+∞ D ．()0,3【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设(),0B a ， 则()3,C b ，()1,D a b -，则()31a a --=，解得2a =．所以()1,D b ，()3,C b ．BD uu u v 在BC uu u v 上的摄影cos BM BD θθ==uu u v ，当0b →时，cos 1→-，得到：1BM →-，当b →+∞时，0θ→，BM →+∞，故选A ．12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC ==D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅u u u v u u u v的取值范围是（ ） A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,1A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),0D x ，则2,03E x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，113x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭．据此有(),1AD x =-uuu v ，2,13AE x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uu u v ，则222181339AD AE x x x ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭uuu v uu u v ．据此可知，当13x =-时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最小值89；当1x =-或13x =时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最大值43； AD AE ⋅uuu v uu u v 的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选A ．二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________． 【答案】1．【解析】因为()1,2=a ，()2,2=-b ，所以()24,2+=a b ， 又()1,λ=c ，且()2+∥c a b ，则42λ=，即12λ=．14．若向量a ，b 满足1=a ，=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________．【答案】34π【解析】由()⊥+a a b 得，()0⋅+=a a b ，即20+⋅=a a b ，据此可得2cos ,⋅=⋅⋅=-a b a b a b a ，∴cos ,==a b ， 又a 与b 的夹角的取值范围为[]0,π，故a 与b 的夹角为34π．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________．【答案】4【解析】设DE DC AB λλ==uu u v uuu v uu u v ，则AE AD DE AD AB λ=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又BD AD AB =-uu u v uuu v uu u v ，∴()()()22144AE BD AD AB AD AB AD AB AB AD λλλλ⋅=+⋅-=-+-⋅=-uu u v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v，∵01λ≤<，∴当0λ=时，AE BD ⋅uu u v uu u v取得最大值4，故答案为4．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．【答案】【解析】以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，可得()0,0C ，()0,2A ，()B ，则直线AB 12y+=，设(),P x y ，则2y =，0x ≤≤(),PB x y =-uu v ，(),PC x y =--uu u v ，则|()()22222PB PC x y +=+uu v uu u v22161628333x x ⎛=-+=+ ⎝⎭，由x ⎡=⎣，可得PB PC +u u v u u u v 的最小值为 ，时，则PB PC +uu v uu u v的最大值为即PB PC +uu v uu u v的取值范围为．故答案为．。
2019高考数学专题八平面向量精准培优专练文
哈哈哈哈哈哈哈哈你好培长处八平面向量1．代数法例：已知向量 a ，b 知足 a =3 ，b =2 3，且 a a b ，则b在 a 方向上的投影为（）1A． 3 B． 3 C．3 3 3 3 2D．2【答案】 C【分析】考虑 b 在 a 上的投影为a b，因此只要求出 a ， b 即可．b由 a a b 可得：a a b a2 a b 0，因此 a b 9．从而a b93 3，应选 C．b 2 3 22．几何法例 2：设a，b是两个非零向量，且a b a b 2 ，则a b = _______．【答案】 2 3【分析】可知 a ， b ， a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由 a b a b 2 可知知足条件的只好是底角为60o，边长 a 2 的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为3a 2 3 ．3．成立直角坐标系例 3：在边长为uuuv uuuv uuv uuuv uuuv uuv__________ ．1 的正三角形 ABC 中，设 BC 2BD ， CA 3CE，则AD BEAEB D Cuuuv uuuv1【答案】 AD BE4【分析】上周是用适合的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以本题为例，从另一个角度解题，察看哈哈哈哈哈哈哈哈你好到本题图形为等边三角形，因此考虑利用建系解决数目积问题，如图建系： A 0,3， B1,0，C 1,0 ，222下边求 E 坐标：令 E x, yuuuv1, y uuv1 , 3 ， ，∴ CEx， CA2 2 2311 1uuvuuuvxx3 1 3可得：22由 CA3CE 3，∴E ,，3yy3 3 626uuuv 0,3 uuuv5 , 3 uuuv uuuv1 ．∴ AD， BE ，∴ AD BE26 64对点增分集训一、单项选择题．已知向量 a ， b 知足 a 1， b 2 ，且向量 a ， b 的夹角为，若 a b 与 b 垂直，则实14数 的值为（ ）A ．1 1C ． 222B ．4D ．24【答案】 D【分析】 由于 a b 1 2cos2，因此 abb 24 0244 ，应选 D ．2．已知向量 a ， b 知足 a 1 ， b2 ， a b 7 ，则 a b （）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 2哈哈哈哈哈哈哈哈你好【答案】 A【分析】 由题意可得：2 2 2，则 a b 1．应选a b a b 2a b 1 4 2a b 7 ．A 3．如图，平行四边形 ABCD 中， AB ，1 ， A 60 o ，点 M 在 AB 边上，且 AM1 2 ADAB ，uuuv uuuv3则DM DB（ ）A ． 1B ． 1C ．3D ．333【答案】 B【分析】 由于 AMuuuv uuuvuuuvuuuuv uuuv uuuv uuuvuuuv 1AB ，因此 DB AB AD ， DM AM AD 1 ABAD ，uuuv uuuv uuuv 3 1 uuuv uuuv 1 uuuv 4 uuuv uuuv uuuv3 uuuv 2 2 则DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD 3 331 4 1 1 1 ．应选 B ．4 2 13 3 24．如图，在 △ ABC 中， BE 是边 AC 的中线， O 是 BE 边的中点，若 uuuvuuuvb ，则ABa ， AC uuuvAO（ ）A ． 1a 1b B ． 1a 1 bC ． 1a 1 bD ． 1a 1 b2224 4244【答案】 B【分析】 由题意，在 △ ABC 中， BE 是边 AC 的中线，因此 uuuv 1 uuuvAE AC ，2 又由于 O 是 BE 边的中点，因此 uuuv 1 uuuv uuuv ，AO AB AE2uuuv 1 uuuv uuuv 1 uuuv 1 uuuv 1 1因此 AO AB AE AB AE a b ，应选 B ．2 2 2 2 4哈哈哈哈哈哈哈哈你好uuvuuuv uuuv 1 uuuv uuuv uuuv 的最大值为（）在线段 BC 和 CD 上，且 BPBC ， DQDC ，则 AP BQ8A ． 2B ．3 C ．3D ．9248【答案】 D【分析】 由于 AB ∥CD ， CD 1， ABBC 2， BCD 120o ，因此 ABCD 是直角梯形，且 CM3，BCM 30 ，以 AB 所在直线为 x 轴，以AD 所在直线为 y轴，成立如下图的平面直角坐标系：uuv uuuv uuuv 1 uuuv由于 BPBC ， DQ8 DC ，动点 P 和 Q 分别在线段 BC 和 CD 上，则01，，B 2，0，P 2, 3 ， Q1， 3 ，8uuuv uuuv2 ，31，351 4 1因此 APBQ2，84 8令 f51 1 且01， ，484由基本不等式可知，当1 时可获得最大值，则 ff 1 511 9 ．应选 D ．max44886．已知 △ABC 中， AB 2， AC 4 ， BAC60uuv uuuv， P 为线段 AC 上随意一点， 则 PB PC的范围是（ ）A ． 1，4B ． 0，4C ．9，D ． 2，444【答案】 C【分析】 依据题意， △ ABC 中， AB2 ， AC 4 ， BAC 60 ，则依据余弦定理可得BC 24 16 2 2 4 cos60 12 ，即 BC 2 3 ．∴ △ABC 为直角三角形哈哈哈哈哈哈哈哈你好以 B 为原点，BC为x轴， BA 为y轴成立坐标系，则 A 0，2 ， C 23，0 ，则线段 AC 的方程为x y 1， 0 x 2 3 ．3 2 2设 P x, y ，则uuv uuuv，， 2 24 2 10 3．PB PC y 2 3x x x 4y 2 3 x y x33∵ 0 x 2 3，∴9 uuv uuuv．应选 C．4 PB PC 47．已知非零向量a，b，知足 a2b 且 a b 3a 2b 0 ，则a与b的夹角为（）2A．B．C．3D．4 2 4 【答案】 A【分析】非零向量 a ， b ，知足 a 2b 且 a b 3a 2b 0 ，则 a b 3a 2b 0 ，2∴ 3a2 a b 2b22a b cos 2 b20 ，∴ 3 a 0 ，1 2 2b cos 2 0 ，∴ 3 b b 2 b2 2∴ cos 2 ，，∴ a 与 b 的夹角为，应选 A．2 4 48．在 Rt△ ABC 中斜边 BC a ，以A为中点的线段PQuuv uuuv2a ，则BP CQ的最大值为（）A．2 B． 0 C． 2 D．2 2 【答案】 B【分析】∵在 Rt△ ABC 中斜边 BC a ，∴ BA CA ，∵ A 为线段PQ中点，且PQ 2a ，a2 uuv uuuv uuuv uuva2uuuv uuv uuva2uuuv uuva2 a2 cos ，∴原式BA AQ AQ CA AQ BA CA AQ CB当 cos 1 时，有最大值，uuv uuuv0 ．应选 B．BP CQ9．设向量a，b，c，知足 a b 1，a b 1 ， a c,b c 60o，则c的最大值等于2哈哈哈哈哈哈哈哈你好A． 1 B．2 C．3 D． 2 【答案】 Duuv uuuv uuuvc ，由于 a b 1， a c,b o【分析】设OA a ，OB b ，OC c 60 ，2因此 AOB 120 ，ACB 60 ，因此 O，A，B，C四点共圆，uuuv uuv2 2 2 2由于AB b a ，AB b a b a 2a b 3 ，因此 AB 3 ，由正弦定理知 2 R AB 2，即过 O，A，B，C 四点的圆的直径为2，sin120因此 c 的最大值等于直径2，应选 D．．已知 a 与b 为单位向量，且a b，向量c知足c a b 2，则c的取值范围为（）10A．1,1 2 B． 2 2,2 2C．2,2 2 D． 3 2 2,3 2 2【答案】 B【分析】由 a ， b 是单位向量， a b 0 ，可设 a 1,0 ，b 0,1 ， c x, y ，由向量 c 知足 c a b 2 ，∴x 1, y 1 2 ，∴x2y 12，即 x2y 12，半径 r 2 ，1 2 1 4 ，其圆心 C 1,1∴ OC 2，∴2 2 c x2 y2 2 2 ．应选B．uuuv uuuv uuuv3，uuuv uuuv11．平行四边形 ABCD 中， AC ，BD在AB 上投影的数目分别为1，则BD 在 BC 上的投影的取值范围是（）A．1,B．1,3C．0,D．0,3 【答案】 A【分析】成立如下图的直角坐标系：设 B a ,0 ，哈哈哈哈哈哈哈哈你好则 C 3,b ， D a 1,b ，则 3 a 1 a ，解得 a 2 ．因此 D 1,b ， C 3,b uuuv uuuv 上的拍照 BM uuuv 2cos．BD 在 BC BD cos1 b ， 当 b0 时， cos1 ，获得： BM1，当 b时，0，BM，应选 A ．12．如图，在等腰直角三角形 ABC 中， ABAC2，D ，E 是线段 BC 上的点，且DEuuuv uuuv1BC ，则 AD AE 的取值范围是（）3A ． 8,4B ． 4,8C ． 8,8D ． 4,9 3 3 3 9 33【答案】 A【分析】 如下图，以BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的中垂线为 y 轴成立平面直角坐标系，则A0,1，B1,0 ，C 1,0 ，设 D x,0 ，则 E x2 1,0 ，1 x ．33uuuvx, 1 uuuvx2, 1 ，据此有 AD， AE3uuuv uuuv22 2x 1 x18 ．则 AD AE x 3 39据此可知，当 x1 uuuv uuuv获得最小值 8 ； 时， AD AE39哈哈哈哈哈哈哈哈你好当 x1 或 xuuuv uuuv4 ； 1时， ADAE 获得最大值33uuuv uuuv的取值范围是8 4AD AE ,．应选 A ．9 3二、填空题13．已知向量 a 1,2 ， b2, 2 ， c 1,，若 c ∥ 2ab ，则________．【答案】12【分析】 由于 a 1,2 ， b 2, 2 ，因此 2a b 4,2 ， 又 c 1,，且c ∥2a b，则 42 ，即1．2．若向量 a ， b 知足 a 1 ，b2 ，且 a a b ，则 a 与 b 的夹角为__________ ． 14【答案】34【分析】 由 a a b 得， aa b0 ，即 a 2 a b0 ，据此可得 a ba b cos a ,ba 2 ，∴ cos a , b1 1 22 ，2又 a 与 b 的夹角的取值范围为0, ，故 a 与 b 的夹角为3．4uuuv uuuv15．已知正方形ABCD 的边长为 2 ， E 是 CD 上的一个动点，则求的最大值为AE BD ________． 【答案】 4uuuvuuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv 【分析】 设 DEDCAB ，则 AE ADDE ADAB ，uuuv uuuv uuuv又BDAD AB ，uuuv uuuv uuuv uuv uuuv uuuv uuuv 2uuuv 2uuv uuuv 4 4 ，∴ AE BD AD ABAD ABADAB1 AB AD∵ 01 ，∴当uuuv uuuv4，故答案为 4．0时， AE BD 获得最大值16．在 △ABC 中， C 90 ， B30，AC2 ， P 为线段 AB 上一点，则uuv uuuvPB PC 的取值范围为 ____．【答案】3,27哈哈哈哈哈哈哈哈你好【分析】以 C 为坐标原点，CB ， CA 所在直线为x ，y轴成立直角坐标系，可得 C 0,0 ， A 0,2 ，B 2 3,0 ，则直线 AB 的方程为x y1 ，2 3 2设 P x, y ，则 y 2 x ，0 xuuv2 3 x, yuuuvx, y ，3 2 3，PB ， PCuuv uuuv 23 2x 2 2则| PB PC2 2 y24x2 4 y2 8 3x 12 4 x2 4 2 x 8 3x 12316 x23x 28 16 5 3240 x 3 ，3 3 3 45 3 uuv uuuv uuv uuuv，可得PB PC 的最小值为，时，则 PB PC 的最大值为由 x 0,2 34uuv uuuv即 PB PC 的取值范围为3,2 7．故答案为3,2 7．。
高考文科数学精准培优专题八平面向量 含答案
平面向量培优点八 1．代数法??aaba??a=3a bb3=2b在），：已知向量方向上的投影为，，则，满足且（例133333? C．．．A．3 BD?22【答案】C ba?aa bb，上的投影为，所以只需求出【解析】考虑在即可．b????2baa??0b??aa?b??aa?由可得：，a?b?933???9a???b，故选所以C．进而．b223．几何法2a?2ab?b=aa?b??b_______，则：设．，是两个非零向量，且2例【答案】32a ba?b为平行四边形的一组邻边和一条对角线，，，【解析】可知a?b?a?b?2a?2o的菱形，由，边长可知满足条件的只能是底角为60从而可求出另一条对角线的长度为．3a?233．建立直角坐标系uuuvuuuvuuvuuuvuuuvuuuvABC中，设，，则__________：例3在边长为1的正三角形．CECA?2BD3?BC?EAD?B A EBCD uuuvuuuv1AD?BE??【答案】4【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，??311????,0,0CB?A0,，，如图建系：，????????222??????vuuvuuu??131????y?,CE?xyx,E,CA??下面求坐标：令，，∴，??E????222????11?1?????x?3?x??????22313vuvuuuu????,E?由可得：，∴，????CE3CA???6333?????y?3y??6?2?uuuvuuuv vuuuuvuu????3531,BE??0,?AD?BE?AD?．，∴，∴????????2664????对点增分集训一、单选题?aa2??1ba?b?bbba垂直，则实，，且向量，满足．已知向量，若，的夹角为与14?数）的值为（1122? B．D A．C．．?2244D【答案】?2??2?cos?2a?b?1????????4a?0b?b?2?【解析】因为D．，故选，所以44 a21ab???b?ba7b?a?．已知向量2，）满足，则，，（．2． B1 A．．CD 32A【答案】．2221a?b?7??b4?2a2a?b?a?b?a?b?1?．故选由题意可得：A【解析】．，则1AB?AM ABCD o，，点在边上，且3．如图，平行四边形，中，，AB21AD??ABM60??A3vuuuuuuuv）（则??DBDM33． B．1 CD．A．?1?33B【答案】uvuuuvuuuvuuuvuuuvuuu11vuvuuuuuuvuuAM?ABDM?AM?AD?AB?AD，，【解析】因为，所以ADAB?DB?33uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv411????22ADAD??AB?AB??BM?AB?AD?AB?A DDB则??333??141??4??2?1??1?1．故选B．332uuuvuuuv△ABCACO是边的中点，若是边，4．如图，在的中线，，则中，BEBEbACAB?a?uuuv（）?AO11111111a??a?bbba?ba B ． D．．CA．44222442【答案】B uuuuvvuu1AEAC?AC△ABC的中线，所以【解析】由题意，在中，，是边BE2uuuvuuuvuuuv1??AEAB?AO?O又因为，是边的中点，所以BE2vuvuuuvuuuvuuuuuuvuu11111??b??AB?AE?a?AO?ABAE．所以，故选B42222Q2BC??1AB?∥ABCDABCDCD o分别，，．在梯形5和中，，，动点P120?BCD?vuuuvuuuvuuuuuuv1vuuuuuvDCDQ?CDBC，和上，且的最大值为（），则在线段BQAP??BC?BP?8．933?D．． C．BA．2?428D【答案】2CD?1AB?BC?AB∥CD o，【解析】因为，，，120??BCD??ABCD30?BCM，是直角梯形，且所以，3?CMyx所在直线为轴，以轴，建立如图所示的平面直角坐标系：以所在直线为ADABvuuuvuuu1vuuuvuuQDQ?DC CDBC，上，分别在线段和因为，动点和P?BC?BP?81???????????3Q，01?，02，B3,P2?则，，，，???8??vuuuuuuv111?????????4??2，3??AP?BQ2?5，3?所以，????884??11?????01，????4?f5??，且令?84??1时可取得最大值，由基本不等式可知，当119??????41??f5?f??．故选D．则max488uuvuuuv2AC?AB?4?BACABC?60△?AC 上任意一点，，则6．已知，为线段，中，PPB?PC的范围是（）9????????，?4?4，042，14，．D A ．．C． B??4??【答案】C2AC?AB?4?△BACABC?60?，中，，根据题意，【解析】，2ABC△12?4?2??cos60?24BC??16?32BC?为直角，即则根据余弦定理可得．∴三角形????yx，02A0，2C3BC轴建立坐标系，则为原点，以，，轴，为为BBA．yx??1??32x?0?AC的方程为．，则线段232vuuuvuu3410??????yP,x222，则．设，??PBx?x?4PC?y，23?x?y?x??yx?23x?33uvuuvuu94PC???PB?．．故选∵，∴C320?x?42????aa0?3a?2a?bb?bb 7．已知非零向量的夹角为（，，则且与，满足）b?a2?3??? C．．A． B．D244A【答案】2????????a0?3ba?0?a?b2?a?bb?3a?2b非零向量且，，则，满足，【解析】b?a222?220cos??2b3a?a?b?∴，，∴03a?a?b?2b?2122?，∴0?2bb?b?b3??cos?22??2a???b．，的夹角为，故选，∴∴A与?cos442uuvuuvuaPQ?2aRt△ABCBC?，以为中点的线段（中斜边）则，8．在的最大值为QCBP?A B．A． 0 C．．2D2?22B【答案】CA?BCRt△ABC?aBA，∴中斜边【解析】∵在，aPQPQ?2∵为线段，中点，且Avvuuvuuvuuuuuuvuuuvuuvuuuvuuvuu??22222?cos?a??a??CA?a?AQBA?CA?a?AQ?CBAQBA??a?? AQ??∴原式，vvuuuuu?1?cos B．时，有最大值，当．故选0CQ??BP1o cac1ba??0?6,b?a?cc?a?b?b的最大值等于，满足，，则，，9．设向量，2（）．2． B．A1．CD 32．D【答案】1vuuuvuuuuuv o a?c,b?c?60?b?a?，，，因为，【解析】设，c OC?a?OB b OA?2?AOB?120??ACB?60?OC四点共圆，，所以，，，，所以BAuuuvuuuv22??22AB?3，因为，所以，3?ab?b??a?2aAB??b ab?AB?AB?22R?OC四点的圆的直径为2，，由正弦定理知，即过，，BA sin120?c的最大值等于直径2，故选D．所以ac c?2c?a?b ba?b的取值范围为（，10．已知与）为单位向量，且满足则，向量????22?2,2?21,1?． BA．????????222,3?23?2,22 DC．．????【答案】B??????ayxc1,0?b?0,1,a?0a?b?b，，可设，，是单位向量，，【解析】由??c2b?c?a??2y?1,x?1，，∴满足由向量??22????22????1,1C4x?1??y?1，即，∴，半径，其圆心2?r21x?1???y222OC?．故选B，∴．∴2??c?x??y22?2uuuvvuuuvuuuuuuuuuvv ABCD3，，则上投影的数量分别为在11．平行四边形上的中，，在1?BCACBDABBD投影的取值范围是（）????????????1,??1,30,0,3 B．． D CA．．A【答案】??,0aB，【解析】建立如图所示的直角坐标系：设???????aa?131,DC3,ba?b?a?2．，解得，则，则．uuuvvuuuvuuu????2??bC3,D1,cos1cobBM?BD．在，，所以上的摄影BCBD??0BM?????1b???b?0cos??1BM，故选A．，当时，当，得到：，时，BCABC上的点，且是线段中，12．如图，在等腰直角三角形，，ED2?AC?AB1uuuvuuuvDE?BC，则的取值范围是（）AE?AD38448884????????,??,,, D ．A．C ．．B????????3339393????????【答案】A yx BCBC轴建立平面直角坐标系，所在直线为的中垂线为轴，以【解析】如图所示，以21????????????Ex?,0?1?x?,0?CD1,0A1,00,1xB．，则则，，设，，????33????uuuvuuuv2????AE?x?,?11,AD??x，据此有，??3??2uuuvuuuv218??2AD?AE?x?x?1?x??．则??339??81uuuvuuuvx??时，取得最小值；据此可知，当AEAD?3914uuuvuuuv?x1??x时，取得最大值或；当AE?AD3384uuuvuuuv??,．故选A．的取值范围是AE?AD??39??二、填空题?????????b?2a∥c?ba?1,2?2,2?1,c??．________，则，若，，．已知向量13．1【答案】2??????4,22a2a??1,2bb??2,?，，【解析】因为，所以1?????b2ac?c1,∥????2?4又，即，则，且．2??aa b?1a??aa bb2b?，且的夹角为，则满足，__________14．若向量与，．3?【答案】4????0a?a?ba?b?a?2【解析】由，即得，，0ba?a??122a?,b?a?b?a?b?cosa???a,b?cos，据此可得，∴221?3??aa?0,?bb．与的夹角为的夹角的取值范围为又，故与4uuuvuuuv ABCDCD上的一个动点，则求是的最大值为的边长为2，15．已知正方形EBDAE?________．【答案】4uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv【解析】设，则，???ABAD?AE?ADDE??DC?DEAB?uuuvuuuvuuuv又，AB?AD?BDuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv????22??????41?AB?ADAD?AB?A D?AB?AD?AB??4??AE?BD∴，uuuvuuuv???0?10?时，取得最大值4∵，故答案为4．，∴当BDAE?uuvuuuv ABAC?2PPB?PC?30??ABC△?C90?B?的中，，为线段上一点，则，，．在16取值范围为____．??3,27【答案】??yx CACCB轴建立直角坐标系，【解析】以为坐标原点，，所在直线为，xy????????10,2A0,0C3,02B，可得，，则直线的方程为，AB232uuvuuuvx????????2yyP,xy,?23?PB?xy,PC??x?，，，设，，则3?20?x3uuvuuuv??222??则|y?2PC2xPB??23?2x??22212x?3x12?42?4???4x8?4y?83x???3??2??35163162?40x?28?x?x??3，????4333??uuvuuuv35??CPB?P为，由最小的，可值得30,2?x???4vvuuuuuPCPB?时，则的最大值为vuuuuuv????PC?PB773,23,2的取值范围为．故答案为．即????。
2020届高三精准培优专练八平面向量(理)学生版
2020届高三好教育精准培优专练培优点八平面向量一、平面向量的建系坐标化应用例1:在A4BC中，BC = 6, 8C边上的高为2,则丽•衣的最小值为二、平面向量中三点共线间］例2:设。
，〃是两个不共线的单位向量.若。
满足。
=(3-2㈤, + (24 —2)〃，且|c| = g,则当|〃一4 最小时，在。
与方的夹角的余弦值为.三、平面向量与三角形的四心问题例3:已知A, B,。
是平面内不共线三点，。
是AABC的外心，动点尸满足OP = -［(l-2)OA + (l-2)OB + (l + 22)OC］(2eR),则P的轨迹一定通过AABC的()A.内心B.垂心C.外心D.重心四、平面向量与三角函数结合例4:已知向量a = (cosox-sin0K,sin5), b = (-cos cox - sin cox, 25/3 cos cox),设函数(1 A/(x)=a・〃 + 4(/leR)的图象关于直线工=兀对称，其中尤为常数，且Ge -J .I，/(1)求函数/(X)的最小正周期；(2) y = /。
)的图象经过点］：,0),求函数/(外在区间］。
，5］上的取值范围.对点增分集训一、选择题1.已知向量” = （cos6-2,sine）,其中8eR,则lai的最小值为（）A. 1B. 2C. >/5D. 32.在ZXABC中，G为AABC的重心，过G作直线分别交直线A8 , AC于点M , N,设丽=x丽,德=沃，则上=（）x+ yA. 3B. -C. 2D.-3 33.若。
为△ABC所在平面内一点，且满足1。
4一。
1=1。
3 +。
-2。
41,则AABC的形状为（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知向量”=（cos25。
,sin 25°）, = （sin200,cos 20°）,若/是实数，且〃 =。
+必，则1〃1 的最小值B. 1・•・•I•已知非零向量而与衣满足•抚=。
2019年高考数学(理科)专题八平面向量精准培优专练(含答案)
2D．【解析】考虑b在a上的投影为a⋅b，所以只需求出a，b即可．培优点八平面向量1．代数法例1：已知向量a，b满足a=3，b=23，且a⊥(a+b)，则b在a方向上的投影为（）A．3B．-3C．-33332【答案】Cb由a⊥(a+b)可得：a⋅(a+b)=a2+a⋅b=0，所以a⋅b=-9．进而a⋅b-933==-．故选C．b2322．几何法例2：设a，b是两个非零向量，且a=b=a+b=2，则a-b=_______．【答案】23【解析】可知a，b，a+b为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由a=b=a+b=2可知满足条件的只能是底角为60o，边长a=2的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为3a=23．3．建立直角坐标系uuuv uuuv uuv uuuv uuuv uuuv例3：在边长为1的正三角形ABC中，设BC=2BD，CA=3CE，则AD⋅BE=__________．AEB D Cuuuv uuuv1【答案】AD⋅BE=-4【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：A 0,3⎫⎛1⎛1⎛⎪⎪，B -,0⎪，C ,0⎪，(x,y)，∴CE uv=⎛x-1,y⎫⎪，CA v=⎛ -1,3⎫⎝⎭⎪3 x-⎪=-1x=1⇒⎨333⎪y=⎪⎩3y=2⎪⎩，∴E ,36⎪⎭∴AD= 0,-3⎫⎪⎪，BE=,⎪⎪，∴AD⋅BE=-．⎝2⎭⎝66⎭4，若a-λb与b垂直，则实数λ的值为（v uv v2B．4D．4=2，所以(a-λb)⋅b=2-λ⋅4=0⇒λ=4，故选D．3AB，⎫⎫⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭下面求E坐标：令Euu uu⎝2⎭ 22⎪⎪，由CA=3CE可得：⎨⎪uuu⎛uu⎛53⎫uuu uu uv14对点增分集训一、单选题1．已知向量a，b满足a=1，b=2，且向量a，b的夹角为π）A．-112C．-224【答案】D【解析】因为a⋅b=1⨯2⨯cosπ22．已知向量a，b满足a=1，b=2，a+b=7，则a⋅b=（）A．1B．2C．3D．2【答案】A【解析】由题意可得：a+b2=a2+b2+2a⋅b=1+4+2a⋅b=7，则a⋅b=1．故选A．3．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60o，点M在AB边上，且AM=13D．【解析】因为AM=AB，所以DB=AB-AD，DM=AM-AD=AB-AD，uuuv uuuv uuuv uuuv)⎛1uuuv uuuv⎫1uuuv24uuuv uuuv uuuv2则DB⋅BM=AB-AD⋅ AB-AD⎪=AB-AB⋅AD+AD()()v2C．uuuuv uuuv则DM⋅DB=（）A．-1B．1C．-333【答案】B1uuuv uuuv uuuv uuu uv uuuv uuuv1uuuv uuuv33⎝3⎭33141=⨯4-⨯2⨯1⨯+1=1．故选B．332uuuv uuuv uuuv4．如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB=a，AC=b，则AO=（）11A．a+b2211B．a+b2411C．a+b4211D．a+b44【答案】Buuuv1uuuv【解析】由题意，在△ABC中，BE是边AC的中线，所以AE=AC，2uuuv1uuuv uuuv又因为O是BE边的中点，所以AO=AB+AE，2uuuv1uuuv uuuv1uuuv1uuuv11所以AO=AB+AE=AB+AE=a+b，故选B．222245．在梯形ABCD中，AB∥C D，CD=1，AB=BC=2，∠BCD=120o，动点P和Q分别在线段BC和CD上，uuv uuuv uuu且BP=λBC，DQ=1uuuv uuuv uuuvDC，则AP⋅BQ的最大值为（）8λA．-2B．-334D．98【答案】D【解析】因为AB∥CD，CD=1，AB=BC=2，∠BCD=120o，因为BP=λBC，DQ=1uuu vuuu v则λ∈(01]，B(2，)，P2-λ,3λ，Q ⎛1⎝8λ，3⎪，()⎛1uu uv uu uv所以AP⋅BQ=2-λ，3λ⋅⎝8λ-2，3⎪=5λ+令f(λ)=5λ+14λ-4-且λ∈(01]，1max=f(1)=5+6．已知△ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=60︒，P为线段AC上任意一点，则PB⋅PC的范围是（4⎤⎦D．[-2，]C．⎢-，⎥⎡944(0)2则线段AC的方程为x()()设P(x,y)，则PB⋅PC=(-x，-y)23-x，-y=x2+y2-23x=4x2-103x+4．9∵0≤x≤23，∴-≤PB⋅PC≤4．故选C．所以ABCD是直角梯形，且CM=3，∠BCM=30︒，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系：uu v uu uv8λDC，动点P和Q分别在线段BC和CD上，，0()⎫⎭⎫⎭114λ-4-8，，8由基本不等式可知，当λ=1时可取得最大值，则f(λ)14-4-18=98．故选D．uu v uu uv）A．[1，]B．[0，]⎣44【答案】C【解析】根据题意，△ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=60︒，则根据余弦定理可得BC2=4+16-2⨯2⨯4⨯cos60︒=12，即BC=23．∴△ABC为直角三角形以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，则A(0，)，C23，，23+y2=1，0≤x≤23．u uv u u uv33uu v uu uv42 b 且 (a + b )⋅ (3a - 2b ) = 0 ，则 a 与 b 的夹角为（4B ． 2C ． 2 b 且 (a + b )⋅ (3a - 2b ) = 0 ，则 (a + b )⋅ (3a - 2b ) = 0 ，2 b 2 +2 b ⨯ b ⨯cos θ - 2 b 2 = 0 ， 2 ， θ =4，∴ a 与 b 的夹角为 4 ，故选 A ．uuu (uu uu)9．设向量 a ， b ， c ，满足 a = b = 1， a ⋅ b = - ， a - c , b - c = 60o ，则 c 的最大值等于（【解析】设 OA = a ， OB = b ， OC = c ，因为 a ⋅ b = - ， a - c , b - c = 60o ，因为 AB = b - a ， AB 2 = (b - a )2 = b 2 + a 2 - 2a ⋅ b = 3 ，所以 AB = 3 ， sin120︒ = 2 ，即过 O ， A ， B ， C 四点的圆的直径为 2，v v v v v v7．已知非零向量 a ， b ，满足 a = 2）A ．ππ3π 4 D ． π【答案】A【解析】非零向量 a ， b ，满足 a =2∴ 3a 2 + a ⋅ b - 2b 2 = 0 ，∴ 3 a 2 + a ⨯ b ⨯ cos θ - 2 b 2 = 0 ，∴ 3 ⨯1 2∴ cos θ =2 π πu uv u uuv8．在 Rt △ABC 中斜边 BC = a ，以 A 为中点的线段 PQ = 2a ，则 BP ⋅ CQ 的最大值为（）A ． -2B ．0C ．2D ． 2 2【答案】B【解析】∵在 Rt △ABC 中斜边 BC = a ，∴ BA ⊥ CA ，∵ A 为线段 PQ 中点，且 PQ = 2a ，uu uuu uuu uu uuuuuv ∴原式 = -a 2 + BA ⋅ AQ - AQ ⋅ CA = -a 2 + AQ BA - CA = -a 2 + AQ ⋅ CB = -a 2 + a 2 cos θ ，uuv uuuv当 cos θ = 1 时，有最大值， BP ⋅ CQ = 0 ．故选 B ．12A ．1B ． 2C ． 3D ．2【答案】Duu v uu uv uuu 1 2所以 ∠AOB = 120 ︒ ， ∠ACB = 60︒ ，所以 O ， A ， B ， C 四点共圆，uu uv u u uv由正弦定理知 2R =AB所以 c 的最大值等于直径 2，故选 D ．10．已知 a 与 b 为单位向量，且 a ⊥ b ，向量 c 满足 c - a - b = 2 ，则 c 的取值范围为（）A ． ⎡⎣1,1 + 2 ⎤⎦B ． ⎡⎣2 - 2,2 + 2 ⎤⎦）⎦⎦v vuuuv uuu v所以D(1,b)，C(3,b)．BD在BC上的摄影BM=BD cosθ=1+b2cosθ，12．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D，E是线段BC上的点，且DE=BC，则AD⋅AE的A．⎢,⎥B．⎢,⎥C．⎢,⎥D．⎢,+∞⎪C．⎡⎣2,22⎤D．⎡⎣3-22,3+22⎤【答案】B【解析】由a，b是单位向量，a⋅b=0，可设a=(1,0)，b=(0,1)，c=(x,y)，由向量c满足c-a-b=2，∴(x-1,y-1)=2，∴(x-1)2+(y-1)2=2，即(x-1)2+(y-1)2=4，其圆心C(1,1)，半径r=2，∴OC=2，∴2-2≤c=x2+y2≤2+2．故选B．uuuv u u u uuuv uuuv uuu11．平行四边形ABCD中，AC，BD在AB上投影的数量分别为3，-1，则BD在BC上的投影的取值范围是（）A．(-1,+∞)B．(-1,3)C．(0,+∞)D．(0,3)【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设B(a,0)，则C(3,b)，D(a-1,b)，则3-(a-1)=a，解得a=2．uuuv当b→0时，cos→-1，得到：BM→-1，当b→+∞时，θ→0，BM→+∞，故选A．1uuuv uuuv3取值范围是（）⎡84⎤⎣93⎦⎡48⎤⎣33⎦⎡88⎤⎣93⎦⎡4⎫⎣3⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则 A (0,1) ， B (-1,0) ， C (1,0 ) ，设 D (x ,0 )，则 E x + ,0 ⎪ ， -1 ≤ x ≤ ⎪ ．据此有 AD = (x , -1) ， AE = x + , -1⎪ ，2 1 ⎫2 8 uuuv uuuv 则 AD ⋅ AE = x 2 + x + 1 = x + ⎪ + ．据此可知，当 x = - 时， AD ⋅ AE 取得最小值 ；当 x = -1 或 x = 1 时， AD ⋅ AE 取得最大值 ； uuuv ⎛ 3 的取值范围是 ⎢ , ⎥ ．故选 A ． 1⨯ 2 =- 又 a 与 b 的夹角的取值范围为 [0, π]，故 a 与 b 的夹角为 π ．⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎝3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ uuuv 2 ⎫ ⎝⎭⎛ 3 ⎝ 3 ⎭ 91 uuuv uuuv 83 9 uuuv uuuv4 3 3uuuv uuuv AD ⋅ AE⎡ 8 4 ⎤ ⎣ 9 3 ⎦二、填空题13．已知向量 a = (1,2 ) ， b = (2, -2) ， c = (1,λ ) ，若 c ∥(2a + b )，则 λ = ________．【答案】 1．2【解析】因为 a = (1,2 ) ， b = (2, -2) ，所以 2a + b = (4,2 )，又 c = (1,λ ) ，且 c ∥(2a + b )，则 4λ = 2 ，即 λ = 1 2．14．若向量 a ， b 满足 a = 1 ， b = 2 ，且 a ⊥ (a + b ) ，则 a 与 b 的夹角为__________．3【答案】 π4【解析】由 a ⊥ (a + b ) 得， a ⋅ (a + b ) = 0 ，即 a 2 + a ⋅ b = 0 ，据此可得 a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos a , b = -a 2，∴ cos a , b = - 1 2 2，34uuuv uuuv15．已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 是 CD 上的一个动点，则求 AE ⋅ BD 的最大值为________．( )()∴ AE ⋅ BD = AD + λ AB ⋅ AD - AB = AD 2 - λ AB 2 + (λ - 1) A B ⋅ AD = 4 - 4λ ，可得 C (0,0 )， A (0,2 )， B 2 3,0 ，则直线 AB 的方程为 x2 3 +()设 P (x , y )，则 y = 2 - x3 ， 0 ≤ x ≤ 2 3 ， PB = 2 3 - x , - y ， PC = (-x , - y ) ，()+ (2 y ) 2= 4x + 4 y - 8 3x + 12 = 4x + 4 2 - x ⎫2⎪ - 8 3x + 123 x 2 - 40 x - 5 3 ⎫2⎪ + 3 ， ⎝ ⎭ 由 x = 5 3⎣【答案】4uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv【解析】设 DE = λ DC = λ AB ，则 AE = AD + DE = AD + λ AB ，uuuv uuuv uuuv 又 BD = AD - AB ，uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuvuuuv uuuv∵ 0 ≤ λ < 1 ，∴当 λ = 0 时， AE ⋅ BD 取得最大值 4，故答案为 4．uuv uuuv16．在 △ABC 中， ∠C = 90 ︒ ， ∠B = 30︒ ， AC = 2 ， P 为线段 AB 上一点，则 PB + PC 的取值范围为____．【答案】 ⎡⎣ 3,2 7 ⎤⎦【解析】以 C 为坐标原点， CB ， CA 所在直线为 x ， y 轴建立直角坐标系，( ) y2 = 1 ，uuvu uuvu uv u u uv 则| PB + PC 2 = 2 3 - 2 x 2⎛ 2 2 2 ⎝3 ⎭= 16 3 3 x + 28 = 16 ⎛ 3 4 ⎪uuv uuuv 4 ∈ ⎡0,2 3 ⎤⎦ ，可得 PB + PC 的最小值为为uuv uu uv即 PB + PC 的取值范围为 ⎡⎣ 3,2 7 ⎤⎦ ．故答案为 ⎡⎣ 3,2 7 ⎤⎦ ．，uuv uu uv时，则 PB + PC 的最大值。
2019高考数学专题八平面向量精准培优专练文20181108132
培优点八 平面向量1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C． D【答案】C【解析】考虑b 在a 上的投影为⋅a bb，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()20⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以9⋅=-a b．进而⋅==a b b ，故选C ．2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______．【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形，=．3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则A D B E ⋅=u u u v u u u v__________．【答案】14AD BE ⋅=-uuu v uu u v【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，下面求E 坐标：令(),E x y ，∴1,2CE x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v，12CA ⎛=- ⎝⎭uu v ， 由3CA CE =uu v uu u v可得：11132233x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩13E ⎛ ⎝⎭，∴0,AD ⎛= ⎝⎭uuu v，56BE ⎛= ⎝⎭uu u v ，∴14AD BE ⋅=-uuu v uu u v ．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（ ）A ．12-B ．12C． D【答案】D【解析】因为12cos4π⨯⨯=⋅=a b ()40λλλ-⋅=⋅=⇒=a b b ，故选D ． 2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+=a b ⋅=a b （ ） A ．1 BCD ．2【答案】A对点增分集训【解析】由题意可得：22221427+=++⋅=++⋅=a b a b a b a b ，则1⋅=a b ．故选A ． 3．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =， 则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．1-B ．1C ．D 【答案】B【解析】因为13AM AB =，所以DB AB AD =-uu u v uu u v uuu v ，13DM AM AD AB AD =-=-uuuu v uuu v uuu v uu u v uuu v ，则()22114333DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v uuu v14142111332=⨯-⨯⨯⨯+=．故选B ． 4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =u u u vb ，则AO =u u u v（ ）A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b【答案】B【解析】由题意，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，所以12AE AC =uu u v uuu v，又因为O 是BE 边的中点，所以()12AO AB AE =+uuu v uu u v uu u v，所以()1111122224AO AB AE AB AE =+=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v a b ，故选B ．5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（ ）A ．2-B ．32-C ．34 D ．98【答案】D【解析】因为AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，所以ABCD 是直角梯形，且CM =30BCM ∠=︒，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：因为BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，则(]01λ∈，，()20B ，，()2P λ-，18Q λ⎛ ⎝，所以()1112254848AP BQ λλλλ⎛⋅=-⋅-=+-- ⎝uu u v uu u v ， 令()115448f λλλ=+--且(]01λ∈，， 由基本不等式可知，当1λ=时可取得最大值， 则()()max 119154488f f λ==+--=．故选D ． 6．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC⋅uu v uu u v的范围是（ ） A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，【答案】C【解析】根据题意，ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，则根据余弦定理可得2416224cos6012BC =+-⨯⨯⨯︒=，即BC =ABC △为直角三角形以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立坐标系，则()02A ，，()C ，则线段AC 12y=，(0x ≤≤．设(),P x y ，则()()222443PB PC x y x y x y x x ⋅=---=+-=+uu v uu u v ，，．∵0x ≤≤944PB PC -≤⋅≤uu v uu uv ．故选C ．7．已知非零向量a ，b ，满足=a b 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A【解析】非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=ab a b ，则()()320+⋅-=a b a b ，∴22320+⋅-=a a b b ，∴223cos 20θ+⨯⨯-=a a b b ， ∴2213cos 202θ⨯+⨯⨯-=b b b b ，∴cos θ，4θπ=，∴a 与b 的夹角为4π，故选A ．8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则B P CQ ⋅u u v u u uv 的最大值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．【答案】B【解析】∵在Rt ABC △中斜边BC a =，∴BA CA ⊥， ∵A 为线段PQ 中点，且2PQ a =，∴原式()22222cos a BA AQ AQ CA a AQ BA CA a AQ CB a a θ=-+⋅-⋅=-+-=-+⋅=-+u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u v ， 当cos 1θ=时，有最大值，0BP CQ ⋅=uu v uu u v．故选B ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则c 的最大值等于（ ）A ．1B C D ．2【答案】D【解析】设OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu v c ，因为12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，所以120AOB ∠=︒，60ACB ∠=︒，所以O ，A ，B ，C 四点共圆，因为AB =-uu u v b a ，()222223AB =-=+-⋅=uu u v b a b a a b ，所以AB =由正弦定理知22sin120ABR ==︒，即过O ，A ，B ，C 四点的圆的直径为2，所以c 的最大值等于直径2，故选D ．10．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣【答案】B【解析】由a ，b 是单位向量，0⋅=a b ，可设()1,0=a ，()0,1=b ，(),x y =c ， 由向量c 满足2--=c a b ，∴()1,12x y --=，2=，即()()22141x y +-=-，其圆心()1,1C ，半径2r =，∴OC =22=c B ．11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uu u v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uu u v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,3【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设(),0B a ，则()3,C b ，()1,D a b -，则()31a a --=，解得2a =．所以()1,D b ，()3,C b ．BD uu u v 在BC uu uv 上的摄影cos BM BD θθ==uu u v ， 当0b →时，cos 1→-，得到：1BM →-，当b →+∞时，0θ→，BM →+∞，故选A ．12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC ==，D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅uuu v uu u v的取值范围是（ ）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()0,1A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),0D x ，则2,03E x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，113x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭．据此有(),1AD x =-uuu v ，2,13AE x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uu u v ，则222181339AD AE x x x ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭uuu v uu u v ．据此可知，当13x =-时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最小值89；当1x =-或13x =时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最大值43； AD AE ⋅uuu v uu u v 的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选A ．二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________．【答案】12【解析】因为()1,2=a ，()2,2=-b ，所以()24,2+=a b ， 又()1,λ=c ，且()2+∥c a b ，则42λ=，即12λ=．14．若向量a ，b 满足1=a ，=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________． 【答案】34π【解析】由()⊥+a a b 得，()0⋅+=a a b ，即20+⋅=a a b ，据此可得2cos ,⋅=⋅⋅=-a b a b a b a ，∴cos ,==a b ， 又a 与b 的夹角的取值范围为[]0,π，故a 与b 的夹角为34π．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________． 【答案】4【解析】设DE DC AB λλ==uuu v uuu v uu u v ，则AE AD DE AD AB λ=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又BD AD AB =-uu u v uuu v uu u v ，∴()()()22144AE BD AD AB AD AB AD AB AB AD λλλλ⋅=+⋅-=-+-⋅=-uu u v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v，∵01λ≤<，∴当0λ=时，AE BD ⋅uu u v uu u v取得最大值4，故答案为4．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．【答案】【解析】以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，可得()0,0C ，()0,2A ，()B ，则直线AB 12y=，设(),P x y ，则2y =，0x ≤≤(),PB x y =-uu v ，(),PC x y =--uu u v ，则|()()22222PB PC x y +=+uu v uu u v2222441244212x y x ⎛=+-+=+--+ ⎝22161628333x x x ⎛=-+=+ ⎝⎭，由x ⎡⎣，可得PB PC +uu v uu u v 的最小值为 ，时，则PB PC +uu v uu u v的最大值为即PB PC +uu v uu u v的取值范围为．故答案为．。
高三数学 数学平面向量多选题的专项培优练习题(及解析
高三数学 数学平面向量多选题的专项培优练习题(及解析一、平面向量多选题1．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（ ） A ．23+ B ．33+ C ．323+ D ．423+ 【答案】ABC 【分析】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.计算出1377OM OA OB =+，设OM xOE yOF =+，结合OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>可得出13177x y λμ+=+=，然后将λμ+与1377λμ+相乘，展开后利用基本不等式求出λμ+的最小值，即可得出结论. 【详解】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.充分性：若E 、F 、M 三点共线，则存在k ∈R ，使得=EM k EF ，即()OM OE k OF OE -=-，所以，()1OM k OE kOF =-+，因为(),OM xOE yOF x y R =+∈，则()11x y k k +=-+=，充分性成立； 必要性：因为(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=，所以，()1OM xOE x OF =+-，即()OM OF x OE OF -=-，所以，FM xFE =， 所以，E 、F 、M 三点共线.本题中，取OC 的中点N ，连接DN ，如下图所示：D 、N 分别为OB 、OC 的中点，则DN //BC 且12DN BC =， 14OC OA =，67AC AN ∴=，即67AC AN =，//BC DN ，即//CM DN ，67AM AC AD AN ∴==，67AM AD ∴=， 12AD OD OA OB OA =-=-，6611377277OM OA AM OA AD OA OB OA OA OB ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭， E 、F 、M 三点共线，O 为直线EF 外一点，则(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=.OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则OM xOE yOF xOA yOB λμ=+=+，所以，1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由1x y +=可得13177λμ+=， 由基本不等式可得()131********μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=当且仅当μ=时，等号成立.所以，λμ+ABC 选项均不满足47λμ++≥. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用三点共线的结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.利用该结论推出13177λμ+=； （2）利用基本不等式求出λμ+的最小值.2．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）A ．||1a b +=B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC 【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A、B ． 【详解】 对于A ：()2222+2||+cos13a b a ba b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，c OC =的最大值为13+32222+A b B O MC a M +==+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．3．如图，已知长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，()01DE DC λλ→→=<<，则下列结论正确的是（ ）A ．当13λ=时，1233E A A E D B →→→=+B ．当23λ=时，cos ,AE BE →→=C ．对任意()0,1λ∈，AE BE →→⊥不成立D ．AE BE →→+的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，由DE DC λ→→=，根据向量坐标的运算可得()3,2E λ，当13λ=时，得出()1,2E ，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出2133AD AE BE →→→=+，即可判断A 选项；当23λ=时，()2,2E ，根据平面向量的夹角公式、向量的数量积运算和模的运算，求出cos ,AE BE →→=，即可判断B 选项；若AE BE →→⊥，根据向量垂直的数量积运算，即可判断C 选项；根据向量坐标加法运算求得()63,4AE BE λ→→+=-，再根据向量模的运算即可判断D 选项.【详解】解：如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,0A ，()3,0B ，()3,2C ，()0,2D ，由DE DC λ→→=，可得()3,2E λ，A 项，当13λ=时，()1,2E ，则()1,2AE →=，()2,2BE →=-， 设AD m AE n BE →→→=+，又()0,2AD →=，所以02222m n m n =-⎧⎨=+⎩，得2313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2133AD AE BE →→→=+，A 错误；B 项，当23λ=时，()2,2E ，则()2,2AE →=，()1,2BE →=-，故cos ,AE BE AE BE AE BE→→→→→→⋅===⋅，B 正确；C 项，()3,2AE λ→=，()33,2BE λ→=-，若AE BE →→⊥，则()2333229940AE BE λλλλ→→⋅=-+⨯=-+=，对于方程29940λλ-+=，()2Δ94940=--⨯⨯<， 故不存在()0,1λ∈，使得AE BE →→⊥，C 正确；D 项，()63,4AE BE λ→→+=-，所以()226344AE BE λ→→+=-+≥，当且仅当12λ=时等号成立，D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.4．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.5．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列 D ．14nn n a a +-=【答案】BD 【分析】 证明1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =，所以23AE AC =，所以2()3AB BE AB BC+=+,所以1233BE BA BC=+，所以选项B正确；设BD tBE=（0t>），则当n≥2时，由()()1123n n n nBD tBE a a BA a a BC-+==-+-，所以()()111123n n n nBE a a BA a a BCt t-+=-+-，所以()11123n na at--=，()11233n na at+-=，所以()11322n n n na a a a+--=-，易得()114n n n na a a a+--=-，显然1n na a--不是同一常数，所以选项A错误；因为2a-1a=4，114n nn na aa a+--=-，所以数列{1n na a--}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn na a+-=，所以选项D正确，易得321a=，显然选项C不正确.故选：BD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中1OA=，则下列结论正确的有（）A ．22OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为22- 【答案】AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =， 对于32:11cos4A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．7．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（ ） A ．-2 B ．12C ．1D ．-1【答案】ABD 【分析】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解 【详解】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线， 由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-， 故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+- 若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠ 故选：ABD 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.8．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC ab AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.二、立体几何多选题9．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ）A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MATB ．当()3,2x ∈时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCDC ．若使点M 在平面ABCD 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥M HAB -的外接球半径与内切球半径的比值为6322++【答案】BCD 【分析】对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x =-=-，验证当()3,2x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21233V x x =⨯⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为2323r =++，即可作出比值．【详解】对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误；对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥．若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=-， 当()3,2x ∈时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD故B 正确；对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，()0,3x ∈， 所以()22222221223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当223x x =-，即6x =时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =因为AHB ，MHB 都是直角三角形，所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点，所以1R =，由等体积法，可求得内接圆半径为2323r =++，故61322R r +=，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．10．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090B F ∠=∠=，0060,45,A D BC DE ∠=∠==，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（ ）A ．BC FM ⊥B ．AC 与平面MOF 所成的角的余弦值为32C ．平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°D ．设平面ABF平面MOF l =，则有//l AB 【答案】AD【分析】证明BC ⊥面FOM 可判断A ；根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ；利用特殊位置判断C ；先证明//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可判断D ；【详解】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OMOF O ⊥⊥=，所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥，故A 正确；因为BC ⊥面FOM ，所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=，所以余弦值为12，故B 错误； 对于C 选项可以考虑特殊位置法，由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ，所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上，不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ，过点M 作//BC MN ，连结NF .易证AB ⊥面MNF ，则l ⊥面MNF ，所以MFN ∠为平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角，不妨设2AB =，因为060A ，所以23BC =，则13,12OF BC OM ===，显然MFN ∠不等于45°，故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ，又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ，OM ⊂面l AB，故D正确；AB面MOF，由线面平行的性质定理可得：//MOF，所以//故选：AD.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.。
2019届高考数学专题八平面向量精准培优专练理
培优点八 平面向量1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a，b ()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C． D2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ⋅=u u u v u u u v__________．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．12-B ．12C ．D 2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，+=a b ⋅=a b （ ）A ．1BC D ．23．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =，则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．1- B．1C ．D4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =u u u v b ，则AO=u u u v（ ）A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuu v uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（ ）A ．2- B ．32- C ．34 D ．986．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅uu v uu u v的范围是（ ）A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，7．已知非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=ab a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4π B ．2π C ．34π D ．π8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅uuv uu u v的最大值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则c 的最大值等于（ ）A ．1B C D ．210．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uu u v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uu u v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（ ）A ．()1,-+∞B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,312．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC ==D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅u u u v u u u v的取值范围是（ ）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________．14．若向量a ，b 满足1=a ，=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．。
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培优点八 平面向量1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3-C． D【答案】C【解析】考虑b 在a 上的投影为⋅a bb，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()20⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以9⋅=-a b．进而⋅==a b b ．故选C ．2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______．【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形，=．3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ⋅=u u u v u u u v__________．【答案】14AD BE ⋅=-uuu v uu u v【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：30,A⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1,02B⎛⎫-⎪⎝⎭，1,02C⎛⎫⎪⎝⎭，下面求E坐标：令(),E x y，∴1,2CE x y⎛⎫=-⎪⎝⎭uu u v，132CA⎛=-⎝⎭uu v，由3CA CE=uu v uu u v可得：1113223333x xyy⎧⎛⎫⎧-=-=⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩133E⎛⎝⎭，∴30,AD⎛=⎝⎭uuu v，536BE⎛=⎝⎭uu u v，∴14AD BE⋅=-uuu v uu u v．一、单选题1．已知向量a，b满足1=a，2=b，且向量a，b的夹角为4π，若λ-a b与b垂直，则实数λ的值为（）A．12-B．12C．2D2【答案】D【解析】因为12cos24π⨯⨯⋅=a b()2240λλλ-⋅=⋅=⇒=a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1=a，2=b，7+=a b⋅=a b（）A．1 B2C3D．2【答案】A对点增分集训【解析】由题意可得：22221427+=++⋅=++⋅=a b a b a b a b ，则1⋅=a b ．故选A ． 3．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =， 则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3 【答案】B【解析】因为13AM AB =，所以DB AB AD =-uu u v uu u v uuu v ，13DM AM AD AB AD =-=-uuuu v uuu v uuu v uu u v uuu v ，则()22114333DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v uuu v14142111332=⨯-⨯⨯⨯+=．故选B ． 4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =u u u vb ，则AO =u u u v（ ）A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b【答案】B【解析】由题意，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，所以12AE AC =uu u v uuu v，又因为O 是BE 边的中点，所以()12AO AB AE =+uuu v uu u v uu u v，所以()1111122224AO AB AE AB AE =+=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v a b ，故选B ．5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（ ）A ．2-B ．32-C ．34 D ．98【答案】D【解析】因为AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ， 所以ABCD 是直角梯形，且3CM =，30BCM ∠=︒，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：因为BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上， 则(]01λ∈，，()20B ，，()23P λλ-，138Q λ⎛ ⎝，， 所以()11123354848AP BQ λλλλλ⎛⋅=-⋅-=+-- ⎝uu u v uu u v ，，， 令()115448f λλλ=+--且(]01λ∈，， 由基本不等式可知，当1λ=时可取得最大值， 则()()max 119154488f f λ==+--=．故选D ． 6．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC⋅uu v uu u v的范围是（ ） A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，【答案】C【解析】根据题意，ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，则根据余弦定理可得2416224cos6012BC =+-⨯⨯⨯︒=，即23BC =ABC △为直角三角形以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立坐标系，则()02A ，，()23C ，，则线段AC 1223y=，(023x ≤≤． 设(),P x y ，则()()2224103232343PB PC x y x y x y x x x ⋅=---=+-=+uu v uu u v ，，．∵023x ≤≤944PB PC -≤⋅≤uu v uu uv ．故选C ．7．已知非零向量a ，b ，满足22=a b 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A【解析】非零向量a ，b ，满足22=a b 且()()320+⋅-=a b a b ，则()()320+⋅-=a b a b ，∴22320+⋅-=a a b b ，∴223cos 20θ+⨯⨯-=a a b b ， ∴22123cos 2022θ⨯+⨯⨯-=b b b b ， ∴2cos θ，4θπ=，∴a 与b 的夹角为4π，故选A ．8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅uuv uu u v的最大值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．2【答案】B【解析】∵在Rt ABC △中斜边BC a =，∴BA CA ⊥， ∵A 为线段PQ 中点，且2PQ a =，∴原式()22222cos a BA AQ AQ CA a AQ BA CA a AQ CB a a θ=-+⋅-⋅=-+-=-+⋅=-+u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u v ， 当cos 1θ=时，有最大值，0BP CQ ⋅=uu v uu u v．故选B ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则c 的最大值等于（ ） A ．1B 2C 3D ．2【答案】D【解析】设OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu v c ，因为12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，所以120AOB ∠=︒，60ACB ∠=︒，所以O ，A ，B ，C 四点共圆， 因为AB =-uu u v b a ，()222223AB =-=+-⋅=uu u v b a b a a b ，所以3AB =，由正弦定理知22sin120ABR ==︒，即过O ，A ，B ，C 四点的圆的直径为2，所以c 的最大值等于直径2，故选D ．10．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（ ） A ．1,12⎡⎤+⎣⎦ B ．22,22⎡⎤-+⎣⎦ C ．2,22⎡⎤⎣⎦D ．322,322⎡⎤-+⎣⎦【答案】B【解析】由a ，b 是单位向量，0⋅=a b ，可设()1,0=a ，()0,1=b ，(),x y =c ， 由向量c 满足2--=c a b ，∴()1,12x y --=， ∴()()22112x y -+-=，即()()22141x y +-=-，其圆心()1,1C ，半径2r =，∴2OC =，∴222222x y -≤=+≤+c ．故选B ．11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uu u v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uu u v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,3【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设(),0B a ，则()3,C b ，()1,D a b -，则()31a a --=，解得2a =．所以()1,D b ，()3,C b ．BD uu u v 在BC uu u v 上的摄影2cos 1cos BM BD b θθ==+uu u v ，当0b →时，cos 1→-，得到：1BM →-，当b →+∞时，0θ→，BM →+∞，故选A ． 12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，2AB AC ==，D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅uuu v uu u v的取值范围是（ ）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()0,1A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),0D x ，则2,03E x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，113x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭．据此有(),1AD x =-uuu v ，2,13AE x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uu u v ，则222181339AD AE x x x ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭uuu v uu u v ．据此可知，当13x =-时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最小值89；当1x =-或13x =时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最大值43； AD AE ⋅uuu v uu u v 的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选A ．二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________．【答案】12． 【解析】因为()1,2=a ，()2,2=-b ，所以()24,2+=a b ， 又()1,λ=c ，且()2+∥c a b ，则42λ=，即12λ=．14．若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________． 【答案】34π【解析】由()⊥+a a b 得，()0⋅+=a a b ，即20+⋅=a a b ，据此可得2cos ,⋅=⋅⋅=-a b a b a b a ，∴2cos ,12=-=-⨯a b ， 又a 与b 的夹角的取值范围为[]0,π，故a 与b 的夹角为34π．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________． 【答案】4【解析】设DE DC AB λλ==uu u v uuu v uu u v ，则AE AD DE AD AB λ=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又BD AD AB =-uu u v uuu v uu u v ，∴()()()22144AE BD AD AB AD AB AD AB AB AD λλλλ⋅=+⋅-=-+-⋅=-uu u v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v，∵01λ≤<，∴当0λ=时，AE BD ⋅uu u v uu u v取得最大值4，故答案为4．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____． 【答案】3,27⎡⎤⎣⎦【解析】以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，可得()0,0C ，()0,2A ，()23,0B ，则直线AB 的方程为1223xy+=， 设(),P x y ，则23xy =-，023x ≤≤，()23,PB x y =--uu v ，(),PC x y =--uu u v ，则|()()2222322PB PC x y +=-+uu v uu u v222244831244283123x x y x x x ⎛⎫=+-+=+--+ ⎪⎝⎭221631653402833334x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 由530,234x ⎡⎤=∈⎣⎦，可得PB PC +uu v uu u v 的最小值为 ，时，则PB PC +uu v uu u v的最大值为即PB PC +uu v uu u v的取值范围为3,27⎡⎣．故答案为3,27⎡⎣．。