高中数学：空间向量

空间向量一、向量的基本概念与运算1.定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示．用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0或0．3.书写：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a ，AB ．4.模：表示向量a 的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a5.方向：有向线段的方向表示向量的方向．6.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线．7.平行向量：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记为a b ∥．8.向量运算：与平面向量类似；二、空间向量的基本定理1.共线向量定理：对空间两个向量a ，b （0b ≠），a b ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =．2.共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．3.共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+．4.空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++．表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合．注：上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ，，，其中a b c ，，都叫做基向量．由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．三、向量的数量积1.两个向量的夹角已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉，．通常规定0πa b 〈〉≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉，，．如果90a b 〈〉=，°，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 2.两个向量的数量积已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：||||cos a b a b a b ⋅=〈〉，空间两个向量的数量积具有如下性质： 1）||cos a e a a e ⋅=〈〉，；（2）0ab a b ⇔⋅=；（3）2||a a a =⋅；（4）a b a b ⋅||≤||||． 空间两个向量的数量积满足如下运算律：1）()()a b a b λλ⋅=⋅；（2）a b b a ⋅=⋅；（3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．四、空间向量的直角坐标运算前提：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k ，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ，，，这个基底叫做单位正交基底．空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k ；，，． 1.坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一数组123()a a a ，，，使123a a i a j a k =++，1a i ，2a j ，3a k 分别叫做向量a 在i j k ，，方向上的分量，有序实数组123()a a a ，，叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作123()a a a a =，，．若123()a a a a =，，，123()b b b b =，，， 则：112233()a b a b a b a b +=+++，，；112233()a b a b a b a b -=---，，；123()a a a a λλλλ=，，；112233a b a b a b a b ⋅=++．注：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．2. 空间向量的平行和垂直的条件：设111()a a b c =，，，123()b b b b =，，， a b ∥（0b ≠）a b λ⇔=112233a b a b a bλλλ=⎧⎪⇔=⎨⎪=⎩；11223300ab a b a b a b a b ⇔⋅=⇔++=．两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式：2212||a a a a a a =⋅=++21||b b b b =⋅=+ 21cos ||||a b a b a b a ⋅〈〉==，．五、位置向量定义：已知向量a ，在空间固定一个基点O ，再作向量OA a =，则点A 在空间的位置就被向量a 所唯一确定了．这时，我们称这个向量为位置向量． 由此，我们可以用向量及其运算来研究空间图形的性质．1.给定一个定点A 和一个向量a ，O 为空间中任一确定的点，B 为直线l 上的点， 则P 在为过点A 且平行于向量a 的直线l 上 ⇔ AP ta = ① ⇔ OP OA ta =+ ② ⇔ (1)OP t OA tOB =-+ ③这三个式子都称为直线l 的向量参数方程．向量a 称为该直线的方向向量． 2.设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，12l l ∥（或1l 与2l 重合）12v v ⇔∥；12l l 12v v ⇔．若向量1v 和2v 是两个不共线的向量，且都平行于平面α（即向量的基线与平面平行或在平面内），直线l 的一个方向向量为v ，则l α∥或l 在α内⇔存在两个实数x y ，，使12v xv yv =+．六、异面直线所成的角1.定义：过空间任意一点O 分别做异面直线a 与b 的平行线'a 与'b ，那么直线'a 与'b 所成的不大于90︒的角，叫做异面直线a 与b 所成的角．2.异面直线所成角的向量公式：两条异面直线a 与b 的方向向量m 与n ，当m 与n 的夹角不大于90︒，异面直线a b ，所成的角θ与m 和n 的夹角相等；当m 与n 的夹角大于90︒，异面直线a b ，所成的角与m 和n 的夹角互补．所以直线a b ，所成的角θ的余弦值为m n m n⋅．七、直线和平面所成的角1.定义：平面的斜线与它在平面上的射影所成的角叫做这条斜线与平面所成的角．2.直线与平面所成角的向量公式：直线a 的方向向量与平面α的法向量分别为m 和n ，若m 与n 的夹角不大于90︒，直线a 与平面α所成的角等于m 与n 夹角的余角，若m 与n 的夹角大于90︒，直线a 与平面所成的角等于m 与n 夹角的补角的余角，所以直线a 与平面α所成的角θ的正弦值为m n m n⋅．八、平面和平面所成的角1.定义：过二面角l αβ--棱上任意一点O 做垂直于棱l 的夹角与平面αβ，的交线分别为OA OB ，，那么AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角．2.平面与平面所成角的向量公式：平面α与β的法向量分别为m 和n ，则二面角与m n ，的夹角θ相等或互补．当二面角l αβ--大于90︒时，则二面角arccosm n m nθπ⋅=-；当二面角l αβ--不大于90︒时，则二面角arccos m n m nθ⋅=；一．选择题（共15小题）1．（2018•奉贤区二模）设直线l 的一个方向向量d →=（6，2，3），平面α的一个法向量n →=（﹣1，3，0），则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．直线l 在平面α内或平行2．（2018•梅州二模）过正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点A 作平面α，使棱AB ，AD ，AA 1所在直线与平面α所成角都相等，则这样的平面α可以作（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个3．（2018•新课标Ⅰ）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A ．3√34B ．2√33C ．3√24D ．√324．（2018•浙江模拟）在三棱锥O ﹣ABC 中，若D 为BC 的中点，则AD →=（ ） A ．12OA →+12OC →﹣OB →B ．12OA →+12OB →+OC →C ．12OB →+12OC →﹣OA →D ．12OB →+12OC →+OA →5．（2018•全国）若四面体棱长都相等，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值为（）A．14B．13C．12D．236．（2018•城关区校级模拟）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线A1D上的一点，过M且与平面A1ACC1平行的平面与对角线CD1交于点N，则|MN|的最小值为（）A．13B．√3C．√33D．2√337．（2018•金华模拟）如图，若三棱锥A﹣BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD 的距离与到点A的距离之比为正常数λ，且动点P的轨迹是抛物线，则二面角A ﹣BC﹣D平面角的余弦值为（）A ．λB ．√1−λ2C ．1λD ．√1−1λ28．（2018•西城区一模）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，BC=1，点P 在侧面A 1ABB 1上．满足到直线AA 1和CD 的距离相等的点P （ ）A ．不存在B ．恰有1个C ．恰有2个D ．有无数个9．（2017秋•和平区期末）已知向量a →=（2，4，5），b →=（3，x ，y ），分别是直线l 1、l 2 的方向向量，若l 1∥l 2，则（ ） A ．x=6，y=15B ．x=3，y=15C ．x=83，y=103D ．x=6，y=15210．（2018•新疆一模）在空间中，与边长均为3cm 的△ABC 的三个顶点距离均为1cm 的平面的个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．811．（2018•淮南二模）在平面四边形ABCD中，AD=AB=2，CD=CB=√6，且AD⊥AB，现将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，则在△A′BD折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A′C与平面BCD所成角最大时的正弦值为（）A．√55B．√33C．12D．√2212．（2018•浙江模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD 所成角的余弦值是（）A．13B．√33C．23D．√6313．（2018•桃城区校级模拟）某四棱锥的三视图所示，其中每个小格是边长为1的正方形，则最长侧棱与底面所成角的正切值为（）A ．2√55B ．√52C ．83D ．3214．（2018•赣州二模）已知三棱锥S ﹣ABC ，满足SA ⊥SB ，SA ⊥SC ，SB ⊥BC ，且SA=SB=BC=1，Q 是三棱锥S ﹣ABC 外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离最大值为（ ） A ．√36B ．√32C ．2√33D ．√315．（2018•资阳模拟）如图，二面角α﹣BC ﹣β的大小为π6，AB ⊂α，CD ⊂β，且AB =√2，BC =CD =2，∠ABC =π4，∠BCD =π3，则AD 与β所成角的大小为（ ）A ．π4B ．π3C ．π6D ．π12。