高中数学(理)空间向量知识点归纳总结及综合练习

空间向量知识点归纳总结

知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，

a 平行于

b ，记作b a

//。

》

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b

共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使

p xa yb =+。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组

,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使

OP xOA yOB zOC =++。

6. 空间向量的直角坐标系： ~

（1）空间直角坐标系中的坐标：

（2）空间向量的直角坐标运算律：

①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，

112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。

②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。》

（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则21||a a a a =

?=+21||b b b b =?=+（5）夹角公式：21cos ||||a b

a b a b a ??=

=?+

（6）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，

则2

||(AB AB =

或,A B d =

7. 空间向量的数量积。 @

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2

a b π

<>=，

则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥。

（2）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。

（3）向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ??<>叫做,a b 的数量积，记作a b ?，即

a b ?=||||cos ,a b a b ??<>。

（4）空间向量数量积的性质：

①||cos ,a e a a e ?=<>。②0a b a b ⊥??=。③2

||a a a =?。（5）空间向量数量积运算律：

①()()()a b a b a b λλλ?=?=?。②a b b a ?=?（交换律）。③()a b c a b a c ?+=?+?（分配律）。 8．空间的角： |

（1）两异面直线所成的角：设b a 、是两条异面直线，过空间任一点O 做直线a '∥a ，b '∥b ，则b a ''、

所成的锐角或者直角叫做异面直线b a 、所成的角，它的取值范围是；向量求法：设直线b a 、所成的角为

θ，它们的方向向量、的夹角为?，则有

==?θcos cos ；

（2）线面角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角，它的取值范围

是；向量求法：设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，直线与平面所成的角为θ，向量、的夹

角为?，则有==?θcos sin ；

（3）二面角：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分叫做一个半平面，从一条直线出发的两个

半平面所组成的图形叫做二面角，它的取值范围是；

向量求法：① 若CD AB 、分别是二面角βα--l 的两个半平面内与l 垂直的直线（B A 、在直线l

上），则二面角的大小就是向量与向量所成角的大小；设二面角为θ，则>=<,θ

② 设向量、分别是二面角βα--l 的两个半平面的法向量，则向量、的夹角（或其补角）就是二面角的大小，设二面角为θ，则视实际图形而定，>=<,θ或><-=,πθ；

4．空间的距离：空间的点点距、点线距、推荐用传统方法，点面距既可以用传统方法，也可以用平面的法向

量来求。向量法求点面距：点P 到平面α

的距离为d =

，其中A 为α内异于垂足的任一点，是α

的法向量。

空间向量与立体几何测试题（一）

一、选择题：

1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c,x,y,z ∈R ．其中正确命题的个数为

（）

2．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（）

】

Ａ．1

Ｂ．1-

Ｃ．

Ｄ．2- 3．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（）

Ａ．4-

Ｂ．9

Ｃ．9-

Ｄ．

4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（）A.

627 B. 637 C. 647 D. 65

5．若a 、b 均为非零向量，则||||?=a b a b 是a 与b 共线的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

6.已知点O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA ·OB =OB ·OC =OC ·OA ,则点O 是△ABC 的（）

A.三个内角的角平分线的交点

B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条高的交点

7．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角为（）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．以上都不对

8．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ? 取得最小值时，点Q 的坐标为

（）

A ．131(,,)243

B ．123(,,)234

C ．448(,,)333

D ．447(,,)333

第Ⅱ卷（非选择题，共60分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） !

9．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为

10．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253

OP OA OB OC λ=++确定的点P 与

A B C ，，共面，那么λ= ．

11.已知a,b,c 是空间两两垂直且长等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m,n 的夹角为 .

12．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，

以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则

GE ＝．

三、解答题（本大题共3小题,满分35分），

14．(10分)如图,二面角α-ι-β的棱上有A,B 两点，直线AC,BD 分别在这 ~

个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=68，求二面角α-ι-β的大小.

15．（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，

M G

DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F. （1）证明 ∥PA 平面EDB ；（2）证明⊥PB 平面EFD ；

（3）求二面角D -PB -C 的大小． -

16(13分)如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,顶点A 1在底面ABC 上的射影恰为点B,且AB=AC=A 1B=2.

(1) 求棱AA 1与BC 所成角的大小；

(2) 在棱B 1C 1上确定一点P ,使AP=14，并求出二面角P-AB-A 1的平面角的余弦值.

空间向量与立体几何测试题（二）

一、选择题：

1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的 A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2

C ．OC OB OA OM 3121++

= D ．OC OB OA OM 3

13131++= 2．在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z ，那么下列说法正确．．

的是（） A ．点p 关于x 轴对称的坐标是()1,,p x y z - B.点p 关于yoz 平面对称的坐标是()2,,p x y z -- C.点p 关于y 轴对称点的坐标是()3,,p x y z - D.点p 关于原点对称点的坐标是()4,,p x y z --- 3．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（）

\ C 1B 1

A 1

E D 1

C 1

B 1

A 1

B.51

C.53

D.5

4．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则?→

?AB +1

()2

BD BC +等于（）

A.?→

?AG B. ?→

?CG C. ?→

?BC D.21?→?

BC 5．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的

余弦值是

（）

A ．52-

B ．52

C ．5

D ．1010

6．已知向量(0,2,1)=a ，(1,1,2)=--b ，则a 与b 的夹角为（）

A. 0°

B. 45°

C. 90°

D. 180°

—

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11、若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+则同方向的单位向量是_________________.

12．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ＝xAB y AC z AS ++，则x ＋y ＋z ＝． 13、已知()()2,4,,2,,26a x b y a a b ===⊥，若且，则x y +的值为。

14、已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()??=??a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,??d b ＝． 15．已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，这个三角形的面积是。三、解答题（用向量方法求解下列各题,共70分）

17、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1和BB 1的中点．

（1）证明：AEC 1F 是平行四边形；（2）求AE 和AF 之间的夹角的余弦；（3）求四边形AEC 1F 的面积．

…

18．如图，四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°， SA ⊥平面ABCD ， SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝

．（1）求SC 与平面ASD 所成的角余弦；】

（2）求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦．

19、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （I ）证明PA ⊥平面ABCD ；

（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角的大小；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF

】

20．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°．侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ．

（1）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小．

（2）求A1到平面ABD的距离．

平面向量知识点总结(精华)

必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移. 举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0） 2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ）； | AB| 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量，记作：a r∥b r，规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有r0）； ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B ur u D u C u r，则ABCD是平行四边形 . （4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur. （5）若a r b r，b r c r，则a r c r. （6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5）二、向量的表示方法

空间向量知识点归纳总结归纳

空间向量知识点归纳总结知识要点。 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2.空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 3.共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρ ?//。当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ 存在实数λ，使a ρ ＝λb ρ。 4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 5.空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6.空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r 表示。（3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，

选修2-1 空间向量知识点归纳总结材料

第三章空间向量与立体几何 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数 λ，使a ＝λb 。 4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。

空间向量与立体几何知识点

立体几何空间向量知识点总结知识网络：知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法（1）线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．（2）线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．

（3）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．（5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题．（6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角（1）求两异面直线所成角利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ，但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???，故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ．（2）求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．（1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．（2）点与面的距离点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．备考建议：

高考平面向量知识点总结

高考平面向量知识点总结 16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为 () 11,x y ， () 22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向 b a C B A a b C C -=A -AB =B

空间向量知识点归纳(期末复习).doc

空间向量期末复习知识要点: 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示?同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2.空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。运算律：⑴加法交换律：a + h =b +ci ⑵加法结合律：（N + T） + E = N + 0 + e） ⑶数乘分配律：= + 3.共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，&平行于5 ,记作allb o 当我们说向量N、T共线（或a//b）时，表示万、5的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量万、b（方工6）, allb存在实数2,使a=kb o 4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量方,5不共线，"与向量刁,5共面的条件是存在实数 x^y\^p = xa-\-yb。 5.空间向量基本定理：如果三个向量a.b.c不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x,y,z ,使0 = xN + y5 + zC。若三向量万不共面，我们把｛a.b.c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共而的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O ,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x, y, z ,使OP = xOA + yOB + zOC。 6.空间向量的数量积。（1）空I'可向量的夹角及其表示：已知两非零向量a.b,在空间任取一点0,作0A = a,0B = b ,则厶叫做向量N与方的夹角，记作且规定OM a9b＞＜7T, 显然有＜丽＞=＜歸＞；若＜云伍＞=仝,则称万与5互相垂直，记作：N丄方。（2）向量的模：设0A = a，则有向线段刃的长度叫做向量万的长度或模，记作：\a\o

向量知识点归纳与常见总结

向量知识点归纳与常见题型总结一、向量知识点归纳 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小. 记号“a＞b”错了，而| a | ＞ | b | 才有意义 . ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关. 由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）. 当遇到与起点有关向量时，可平移向量 . ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量 ⑷单位向量是模为 1 的向量，其坐标表示为（x, y ）,其中 x 、y满足x2y2＝1 （可用（ cos ,sin）（ 0≤≤2π）表示） . 特别： AB 表示与 AB 同向的单位向量。|AB| 例如：向量直线)；( AB AC )(0) 所在直线过ABC 的内心(是BAC 的角平分线所在|AB||AC| 例 1、O是平面上一个定点， A、B、C不共线，P 满足OP OA(AB AC )[0,). |AB|| AC 则点 P 的轨迹一定通过三角形的内心。 →→→→ → →→ 1 AB + AC AB · AC =, 则△ABC 为() (变式 )已知非零向量 AB 与 AC 满足 (→→)·BC=0 且→→2 |AB ||AC ||AB ||AC | A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形(06 陕西 ) ⑸ 0 的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0 仅仅是一个无方向的实数 . ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. （ 7）相反向量 ( 长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是－ a 。) 2．与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量. （三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量 a 和 b 不共线时， a b 的方向与 a 、b 都不相同，且| a b |＜| a |＋| b |； ②当两个向量 a 和 b 共线且同向时， a b 、a 、b 的方向都相同，且 | a b || a || b |； ③当向量 a 和 b 反向时，若| a |＞| b |， a b 与 a 方向相同，且 |a b |=| a |-| b |；若 | a | ＜ | b | 时 , a b 与 b方向相同，且 | a＋b |=| b |-| a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量. 向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 AB BC AC;AB AC CB 例 2： P 是三角形 ABC 内任一点，若CB PA PB,R ，则P一定在（）

空间向量与立体几何知识总结(高考必备!)

zk ，有序实数组(,x 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(A x 叫纵坐123,b a b a λλ?===2）若11(,A x y 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。）//a b b ?=)R 设b a ,是空间两个非零向21a a x =?=+2 (AB x ==

12)(x y y -+-cos |||| b a b ?．空间向量数量积的性质： cos ,a e <>．②0a b a b ⊥?=．③2 ||a a a =?．、运算律 a b b ?=?； ②)(a ?λ四、直线的方向向量及平面的法向量 b = ④解方程组，取其中的一组解即可。存在有序实数对μλ,使AB =n ⊥

六、计算角与距离 1、求两异面直线所成的角已知两异面直线b a ,，,,,A B a C D b ∈∈，则异面直线所成的角θ为：cos AB CD AB CD θ?= 例题【空间向量基本定理】例1.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分成定比2， N 分PD 成定比1，求满足的实数x 、y 、z 的值。 ] 分析;结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、、表示出来，即可求出x 、y 、z 的值。如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则。点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c 的系数是惟一的。）【利用空间向量证明平行、垂直问题】例2.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F 。（1）证明：PA 方形ABCD —中，E 、F 分别是，的中点，求：

空间向量基础知识和应用

知识网络知识要点梳理知识点一：空间向量 1.空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注： ⑴空间的一个平移就是一个向量。 ⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2.共线向量（1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ。 3.向量的数量积（1）定义：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。（2）空间向量数量积的性质： ①； ②； ③．（3）空间向量数量积运算律： ①；

②（交换律）； ③（分配律）。 4.空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 5.空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴:轴、轴、轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系, 点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面； 6.空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标． 7.空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（2）若，，则，，，，

向量知识点归纳与常见题型总结

向量知识点归纳与常见题型总结高三理科数学组全体成员一、向量知识点归纳 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2 y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||AB AB →→表示与AB → 同向的单位向量。例如：向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB AC λλ=++?∈+∞u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。 (变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西) ⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. （7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。) 2．与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋||； ②当两个向量a 和b 共线且同向时，+a b 、a 、b 的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，b a +与 a 方向相同，且|b a +|=|a |-|b |；若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 =+;=-

高中数学(理)空间向量知识点归纳总结及综合练习

空间向量知识点归纳总结知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作b a //。》（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ，使p xa yb zc =++。若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： ~ （1）空间直角坐标系中的坐标：（2）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。》

机械制图知识点总结

机械识图知识点总结图之功能各国标准尺度比例线之种类与用途角法与视图图之功能 1. 信息传递：把设计者之构想绘制成图，传递给加工制作人员、检验人员等。 2. 国际性：图为技术界的国际语言，即须具有国际语言之性格，如图形表法，标注方法或符号定义必须完全统一规格。 3. 泛用性：随着技术的发展，目前在各种产业上的互相关连加深，因此需画出各种行业均能了解之图。 TOP 各国标准 TOP 尺度比例尺度单位工至机械制图用基本长度单位，通常采用 mm ，可以不用在图中表示。儒需使用其它单位时，则必须注明单位符号。英制则以 in. 为基本长度单位，而不必标注。

常用比例机械制图再绘图时，因尽量画出较大之圆形，以便于微缩影储存。通常以 2,5,10 之倍数为常用比例或按实物大小画出。长用比例如下所列：实大比例：1：1 缩小比例：1：2，1：2.5，1：4，1：5，1：10，1：20，1：50，1：100，1：200，1：500，1：1000 。放大比例：2 ：1，5：1，10：1，20：1，50：1，100：1。 TOP 线之种类与用途

线之粗细与其使用通常绘图时，粗实线之线宽须按图之大小与其复杂程度而订定，在同一张图中使用粗线之线宽必须均匀一致，中线与细线亦同理。虚线之起讫与交会虚线之起讫，如下图所示，虚线与其它线条交会时，除虚线无实线之延长外，其余应尽量维持相交。 1.实线与虚线相交 2.虚线与虚线相交 TOP

投影与视图第一角法与第三角正投影法之比较第一角投影法起于法国，盛行于欧洲大陆、德、法、义、俄等国，其中美、日及荷兰等国原先亦采用第一角投影法，后来改采用第三角法讫今。目前国内使用第一角投影法之机构约 35% ，而采用第三角投影法之机构约 65% 。因此为适应国内使用者之需求，于最新修订之 CNS3 ， CNS3-1 ， CNS3-2 ，…， CNS3-11 等工程制图国家标准规定“第一角法及第三角法同等适用”。唯于同一张图中，不的同时使用两种投影法，且每张图上均应于明显部位标示“投影法”，以资鉴别。第一角投影法与第三角投影法之异同如下： (1) 对同一投影方向上而言，两者投影面之位置不同。第一角投影法之投影面在物体之后方，而第三角投影法之投影面则在物体前方。 (2) 两中投影法之各视图彼此完全相同。 (3) 两者之投影相于展开后视图排列，则因投影面之不同而有所分别，以前视图为基准而展开时，除前视图以外，其它各视图之位置相反。 (4) 判断视图为第一角或第三角时，可先假定为其中任一者，以侧视图之轮廓线判断误，表示假定正确，若虚实线相反，表示假定错误。剖视图对物体作假想剖切，以了结其内部形状，假想之割切面称为割面，而割面体所见之线，称为割面线，如图 1-1 所示。割面线可以转折，两端及转折处用粗实线画出，中间以细链线连接。转折处之大小如图 1-2 所示。如有多个割面图时，应以大楷拉丁字母区别之，同一割面之两端以相同字母标示，字母写在箭头外侧，书写方向一律朝上。割面线箭头标示剖视图方向，割面线之两端需伸出视图外约10mm ，其箭头之大小形状如图 1-3 所示。割面及剖面线假想剖切所得剖面，须以细实线画出剖面线，剖面线虚为与主轴线或机件外形线成45 °之均匀并行线，（但应避免将剖面线画成垂直或水平）。若剖面线与轮廓线平行或近平行时，必须改变方向如图 1-4 所示。同一机件被剖切后，其剖面线之方向与间隔必须完全相同。在组合图中，相邻两机件，其剖面线应取不同之方向或不同之间隔，如图 1-5 所示。机件剖面之面积较大时，其中间部分之剖面线可以省略，但画出之剖面线须整齐，如图 1-6 所示机件剖面之面积甚为狭小时，

空间向量知识点总结.doc

空间向量与立体几何知识点总结一、基本概念 : 1、空间向量： 2、相反向量： 3 、相等向量： 4、共线向量： 5 、共面向量： 6、方向向量 : 7 、法向量 8、空间向量基本定理：二、空间向量的坐标运算： 1.向量的直角坐标运算 r r 设 a ＝(a1,a2 , a3 ) ， b ＝ (b1 , b2 , b3 ) 则 (1) r r b1, a2 b2, a3 b3 ) ；(2) r r a ＋b＝(a1 a －b＝( a1 (3) r a2 , a3 ) (λ∈R)；(4) r r λ a ＝( a1, a · b ＝ a1b1 2.设 A( x1, y1, z1)， B( x2, y2, z2)，则b1 , a2 b2 , a3b3 ) ；a2b2a3b3； uuur uuur uuur AB OB OA = (x2x1 , y2y1 , z2z1 ) . r r 3、设a ( x1 , y1, z1 ) ， b ( x2, y2 , z2 ) ，则 r r r r r r r r r r a P b a b(b 0) ； a b a b 0 x1 x2 y1 y2 z1z2 0 . 4. 夹角公式 r r r r a1b1 a2 b2 a3b3 . 设 a ＝(a1,a2, a3)，b＝(b1, b2, b3)，则 cos a,b a12 a22 a32 b12 b22 b32 5．异面直线所成角 r r r r | a b | | x1x2 y1 y2 z1 z2 | cos | cos a,b . |= r r x12 y12 z12 x22 y22 z22 | a | | b | 6．平面外一点p 到平面的距离 n r 已知 AB 为平面的一条斜线， n 为平面的一个法 α

空间向量与立体几何知识点.docx

立体几何空间向量知识点总结知识网络：知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法（1）线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．（2）线线垂直

证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0 a b a b ?=?⊥．（3）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．（5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题．（6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角（1）求两异面直线所成角利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ，

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B

设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ．设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．

短文改错知识点总结

短文改错知识点总结短文改错测试点一.语法主要测试动词时态和语态，非谓语动词和短语动词；名词.代词的各种形式，形容词和副词以及比较等级的用法；连词.冠词.介词；主谓一致；简单句.并列句和复合句，以及倒装.省略句等。二.是在行文逻辑方面，主要考查人物的性别及相应的物主代词或物的数量及相应的物主代词，句子的并列.递进. 转折.因果关系；时间的先后顺序等 . 错误类型 1.冠词的多用、少用和误用 2.名词单复数的误用及近义词的混用 3.代词指代不一致的错误或代词使用不当 4.主谓不一致的错误 5.动词的时态和语态的误用 6.非谓语动词的误用 7.形容词和副词的混用及其比较等级的误用 8关联词和平行结构的误用 9.固定搭配，习惯用法与介词的误用 10.冗词的多用设错方式一、动词形 1.动词的时态和语态错误 2.主、谓不一致的错误 3.谓语与非谓语误用 4.非谓语动词的误用动词置于句首 ?首先看有没有并列连词and /or /otherwise, 有就考虑是祈使句 ?没有，就考虑非谓语动词 ?再看有没有(,)，有就考虑分词作状语，没有就考虑动名词/不定式作主语例Review what happened in the past helps me succeed in the future. Reviewing 常接不定式的形容词 ?be glad to do ?be eager to do ?be anxious to ?be ready to do 及物动词后有by，in，with，to ?先辨是谓语还是非谓语，考虑被动语态和过去分词 ?be located /situated in位于 ?be absorbed in被…吸引/专心于

空间向量知识点与题型归纳总结

空间向量知识点与题型归纳总结知识点精讲一、空间向量及其加减运算 1.空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a r 的起点是A ，终点是B ，则向量a r 也可以记作 AB u u u r ，其模记为a r 或AB u u u r . 2.零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0r .当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =u u u r r . 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量a r 长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a -r . 4.空间向量的加法和减法运算（1）OC OA OB a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ，BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r .如图8-152所示. （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+r r r r ，()() a b c a b c ++=++r r r r r r 二、空间向量的数乘运算 1．数乘运算实数λ与空间向量a r 的乘积a λr 称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λr 与向量a r 方向相同；当0λ<时，向量a λr 与向量a r 方向相反. a λr 的长度是a r 的长度的λ倍. 2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 () a b a b λλλ+=+r r r r ，() ()a a λμλμ=r r . 3.共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a r 平行于b r ，记作//a b r r . 4.共线向量定理

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