最新空间向量知识点归纳总结(经典)
(完整word版)空间向量知识点总结
空间向量知识点总结1。
直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥,如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量。
⑶．平面的法向量的求法(待定系数法)： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩。
⑤解方程组，取其中一组解,即得平面α的法向量.（如图）2。
用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈。
即:两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
⑵线面平行①(法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α,只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=。
即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②(法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可。
⑶面面平行若平面α的法向量为u ,平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。
3。
用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、,则要证明12l l ⊥,只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=。
即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。
⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=。
空间向量题知识点总结
空间向量题知识点总结一、向量的表示1. 向量的定义在三维空间中，任意两个不同点P(x1,y1,z1)与Q(x2,y2,z2)之间所确定的线段PQ，我们称之为向量。
一般用字母a、b、c等表示。
2. 向量的表示在空间直角坐标系中，向量AB可用有向线段表示，并写成AB或AB。
3. 向量的模向量AB的模记作|AB|，其计算公式为|AB| = √(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2。
4. 向量的方向向量AB的方向是指从点A到点B的方向。
5. 向量的方向角向量AB与x轴、y轴、z轴的正方向之间的夹角分别称为向量AB的方向角α、β和γ。
二、向量的加法1. 向量的加法设有两个向量A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，定义A与B的和向量C为C(x1+x2, y1+y2,z1+z2)。
2. 向量的减法设有两个向量A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，定义A与B的差向量C为C(x1-x2, y1-y2, z1-z2)。
三、向量的数量积1. 数量积的定义两个向量A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)的数量积定义为A·B = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2。
2. 数量积的几何意义A·B = |A|*|B|*cosθ，其中θ为A与B的夹角。
3. 计算数量积A·B = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2。
四、向量的叉积1. 叉积的定义两个向量A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)的叉积定义为A×B = (y1*z2 - y2*z1, z1*x2 - z2*x1,x1*y2 - x2*y1)。
2. 叉积的几何意义A×B = |A|*|B|*sinθ*n，其中θ为A与B的夹角，n为A、B所张平面的法向量。
3. 计算叉积A×B = (y1*z2 - y2*z1, z1*x2 - z2*x1, x1*y2 - x2*y1)。
空间向量知识点总结简单
空间向量知识点总结简单一、空间向量的概念空间向量是指在空间中既有方向，又有大小的有向线段，它通常用两个端点来确定。
空间向量与数集合相似，但它比数多了方向和长度属性，而且可以进行加法运算。
二、空间向量的表示1. 向量的表示：（1）向量的坐标表示：设 A、B 两个点在空间直角坐标系中的坐标分别为 (x1, y1, z1) 和(x2, y2, z2)，则向量 AB 可用有向线段 OA = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) 表示。
（2）向量的分量表示：向量的三个分量包括它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影。
2. 向量的线性运算：（1）向量的加法：两个向量的加法就是将其对应分量相加。
（2）向量的数乘：一个向量的数乘就是将其三个分量都乘以同一个实数。
（3）向量的减法：向量 C 是向量 A 减向量 B 的运算，其方向由 A 指向 B。
3. 向量的模：（1）向量的模长：在空间直角坐标系中，向量 (x, y, z) 的模长公式为√(x^2 + y^2 +z^2) 。
（2）单位向量：模长为 1 的向量称为单位向量。
三、向量的线运算1. 点积（数量积）：两个向量的点积定义为：A · B = |A| × |B| × cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角。
性质：点积满足交换律、分配律、结合律。
应用：点积可以用来判断两个向量的夹角、求向量的投影、求向量的模等。
2. 叉积（向量积）：两个向量的叉积定义为：A × B = |A| × |B| × sinθ × n，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角，n 为法向量。
性质：叉积不满足交换律，但满足分配律。
应用：叉积可以用来求向量的方向、求平行四边形或平行六面体的面积、求直线、平面的方程等。
四、空间向量的几何应用1. 平面向量的应用：（1）平行四边形面积公式：S = |A × B| = |A| × |B| × sinθ。
空间向量免费知识点总结
空间向量免费知识点总结一、基本概念1. 空间向量的定义空间向量是指n维实数空间中的元素，通常以n维列向量的形式表示。
例如，在三维空间中，一个向量可以表示为\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]2. 向量的模长向量的模长也叫向量的长度，表示向量的大小。
在三维空间中，向量\[ \mathbf{v} =\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]的模长可以表示为\[ |\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \]3. 向量的方向向量的方向是指向量的指向。
在三维空间中，向量\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]的方向可以表示为\[ \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \frac{1}{|\mathbf{v}|} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]4. 向量的标准化将向量沿着其方向进行缩放，使得其模长等于1。
这样的向量称为单位向量。
5. 向量的相等两个向量相等，当且仅当它们的对应分量都相等。
6. 向量的数量积向量的数量积也称为点积或内积，在空间中表示为\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos{\theta} \]其中\[ \theta \]为\[ \mathbf{a} \]和\[ \mathbf{b} \]之间的夹角。
7. 向量的叉积向量的叉积也称为矢量积或外积，在空间中表示为\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta} \mathbf{n} \]其中\[ \theta \]为\[ \mathbf{a} \]和\[ \mathbf{b} \]之间的夹角，\[ \mathbf{n} \]为\[ \mathbf{a} \]和\[ \mathbf{b} \]的方向向量。
空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结知识要点;1. 空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量;注：1向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量;2空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示;2. 空间向量的运算;定义：与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下如图;OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量;1如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a 平行于b ,记作b a//;当我们说向量a 、b 共线或a b a b a b b 0 a b a b共面向量 1定义：一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量;说明：空间任意的两向量都是共面的;2共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线,p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+;5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++;若三向量,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底;推论：设,,,O A B C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数,,x y z ,使OP xOA yOB zOC =++;6. 空间向量的直角坐标系：1空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使zk yi xi OA ++=,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标;2若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用{,,}i j k 表示;3空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则112233(,,)a b a b a b a b +=+++,112233(,,)a b a b a b a b -=---,123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈,112233a b a b a b a b ⋅=++,112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈,1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=;②若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =---;一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标;4模长公式：若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+5夹角公式：21cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+6两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则2||(AB AB ==,或,A B d = 7. 空间向量的数量积;1空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ,在空间任取一点O ,作,OA a OB b ==,则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角,记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤,显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=,则称a 与b 互相垂直,记作：a b ⊥;2向量的模：设OA a =,则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模,记作：||a ;3向量的数量积：已知向量,a b ,则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积,记作a b ⋅,即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>;4空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>;②0a b a b ⊥⇔⋅=;③2||a a a =⋅;5空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅;②a b b a ⋅=⋅交换律;③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅分配律;6：空间向量的坐标运算：1.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ,b ＝123(,,)b b b 则1 a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；2 a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；3λa ＝123(,,)a a a λλλ λ∈R ； 4 a ·b ＝112233a b a b a b ++；2.设A 111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ,则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.3、设111(,,)a x y z =,222(,,)b x y z =,则a b ⇔(0)a b b λ=≠； a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.4.夹角公式 设a ＝123(,,)a a a ,b ＝123(,,)b b b ,则112233222222123123cos ,a b a b a b a b a a ab b b++<>=++++.5．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ==121212222222111222||||||||x x y y z z a b a b x y z x y z ++⋅=⋅++⋅++.6．平面外一点p 到平面α的距离已知AB 为平面α的一条斜线,n 为平面α的一个法向量,A 到平面α的距离为：||||AB n d n •=典型例题例1. 已知平行六面体ABCD －D C B A '''',化简下列向量表达式,标出化简结果的向量;⑴AB BC +； ⑵AB AD AA '++；⑶12AB AD CC '++； ⑷1()3AB AD AA '++;例2. 对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ,问满足向量式：OP xOA yOB zOC =++其中1x y z ++=的四点,,,P A B C 是否共面例 3. 已知空间四边形OABC ,其对角线,OB AC ,,M N 分别是对边,OA BC 的中点,点G 在线段MN 上,且2MG GN =,用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG ;BAαnGMC'B'A'D'DABC例 4. 如图,在空间四边形OABC中,8OA =,6AB =,4AC =,5BC =,45OAC ∠=,60OAB ∠=,求OA 与BC 的夹角的余弦值;说明：由图形知向量的夹角易出错,如,135OA AC <>=易错写成,45OA AC <>=,切记例 5. 长方体1111ABCD A B C D -中,4AB BC ==,E 为11AC 与11B D 的交点,F 为1BC 与1B C 的交点,又AF BE ⊥,求长方体的高1BB ;空间向量与立体几何练习题一、选择题1.如图,棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -在空间直角坐标系中,若,E F 分别是1,BC DD 中点,则EF 的坐标为A.(1,2,1)- B (1,2,1)--C.(1,2,1)--D.(1,2,1)--2．如图,ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体,B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ,则BE 1与DF 1所成角的余弦值是A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 yxzFE C 1D 1C D(O)B 1A 1AB图OAB C3.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,E 为PD 中点,若PA a =,PB b =,PC c =,则BE =A.111222a b c -+ B 111222a b c -- C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 二、填空题4.若点(1,2,3)A ,(3,2,7)B -,且0AC BC +=,则点C 的坐标为______.5．在正方体1111ABCD A B C D -中,直线AD 与平面11A BC 夹角的余弦值为_____.三、解答题1、在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中, AB 1与底面ABCD 所成的角为4π, 1求证11AB C BD ⊥面2求二面角1B AC B --的正切值 2．在三棱锥P ABC -中,3AB AC ==4AP =,PA ABC ⊥面,90BAC ∠=︒, D 是PA 中点,点E 在BC 上,且2BE CE =,1求证：AC BD ⊥；2求直线DE 与PC 夹角θ的余弦值；3求点A 到平面BDE 的距离d 的值.3．在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是一直角梯形,∠BAD =90°,AD ∥BC ,AB =BC =a ,AD =2a ,且PA ⊥底面ABCD ,PD 与底面成30°角． 1若AE ⊥PD ,E 为垂足,求证：BE ⊥PD ；DACBPE图2求异面直线AE与CD所成角的余弦值．4、已知棱长为1的正方体A C1,E、F分别是B1C1、C1D的中点．1求证：E、F、D、B共面；2求点A1到平面的B DEF的距离；3求直线A1D与平面B DEF所成的角．5、已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2,点E 为棱AB 的中点,求： ⅠD 1E 与平面BC 1D 所成角的大小；Ⅱ二面角D －BC 1－C 的大小；模拟试题1. 已知空间四边形ABCD ,连结,AC BD ,设,M G 分别是,BC CD 的中点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量：1AB BC CD ++； 21()2AB BD BC ++；31()2AG AB AC -+;2. 已知平行四边形ABCD ,从平面AC 外一点O 引向量;,,,OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD ====;1求证：四点,,,E F G H 共面；2平面AC //平面EG ;3. 如图正方体1111ABCD A B C D -中,11111114B E D F A B ==, 求1BE 与1DF 所成角的余弦;4. 已知空间三点A0,2,3,B －2,1,6,C1,－1,5;⑴求以向量,AB AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量,AB AC 垂直,且|a |＝3,求向量a 的坐标;5.已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中,4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=,60BAA DAA ''∠=∠=,求AC '的长;参考答案1. 解：如图,1AB BC CD AC CD AD++=+=；2111()222AB BD BC AB BC BD ++=++; AB BM MG AG=++=；31()2AG AB AC AG AM MG -+=-=;2. 解：1证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC AB AD=+,∵EG OG OE=-,∴,,,E F G H共面；2解：∵()EF OF OE k OB OA k AB=-=-=⋅,又∵EG k AC=⋅,∴//,//EF AB EG AC;所以,平面//AC平面EG;3.解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系O xyz-,则(1,1,0)B,13 (1,,1)4E,(0,0,0)D,11 (0,,1)4F,∴11(0,,1)4BE =-,11(0,,1)4DF =, ∴11174BE DF ==, 11111500()114416BE DF ⋅=⨯+-⨯+⨯=;111515cos ,17BE DF ==; 4. 分析：⑴1(2,1,3),(1,3,2),cos 2||||AB AC AB AC BAC AB AC ⋅=--=-∴∠== ∴∠BAC ＝60°,||||sin 6073S AB AC ∴==⑵设a ＝x,y,z,则230,a AB x y z ⊥⇒--+= 解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1,∴a ＝1,1,1或a ＝－1,－1,－1;5. 解：22||()AC AB AD AA ''=++所以,||85AC '=。
(完整版)空间向量知识点归纳(期末复习),推荐文档
空间向量期末复习知识要点:1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
;;OB OA AB a b =+=+ BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：ab b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：ba b aλλλ+=+)(3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。
a b b a//当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是a b a b a b同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使a b b 0 a b＝λ。
ab 4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实,a b p,a b 数使。
,x y p xa yb =+5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一,,a b c p个唯一的有序实数组，使。
,,x y z p xa yb zc =++若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空,,a b c{,,}a b c ,,a b c 间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实,,,O A B C P 数，使。
,,x y z OP xOA yOB zOC =++6. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作,a bO ，则叫做向量与的夹角，记作；且规定,OA a OB b == AOB ∠a b,a b <> ，显然有；若，则称与互相垂直，记作：0,a b π≤<>≤ ,,a b b a <>=<> ,2a b π<>= a b。
空间向量的知识点总结
空间向量的知识点总结空间向量是指空间中的一条具有方向和大小的有向线段，在数学上通常表示为箭头上有一个加粗的字母来表示。
一、空间向量的概念空间向量是指具有方向和大小的有向线段，它是向量的一种特殊形式。
它与平面向量类似，但是空间向量不仅有大小和方向，而且还有位置。
空间向量可以用某个点P到另一个点Q的有向线段来表示，表示为PQ→。
空间向量的大小可以通过计算两点之间的距离来得到，而它的方向可以通过计算两个点之间的夹角来得到。
二、空间向量的基本运算1、空间向量的加法设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，那么 a+b = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
这表示a+b等于a与b的x、y、z分量分别相加得到的结果。
2、空间向量的数乘设空间向量a=(x,y,z)，k为实数，则ka=(kx,ky,kz)。
这表示空间向量a的每个分量都乘以k得到的结果。
3、空间向量的减法空间向量的减法定义为a-b=a+(-b)，即对b取反再进行加法操作。
4、空间向量的数量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a·b = x1x2+y1y2+z1z2。
这表示a·b等于a与b的x、y、z分量分别相乘并求和的结果。
5、空间向量的向量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a×b = (y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)。
这表示a×b等于a与b按照右手定则进行叉乘得到的结果。
三、空间向量的坐标表示空间向量可以用坐标表示。
设点A(a1,a2,a3)和点B(b1,b2,b3)，则AB向量可以表示为AB=(b1-a1,b2-a2,b3-a3)。
四、空间向量的运算律1、给定三个空间向量a，b，c，则有以下运算律：（1）加法交换律：a+b = b+a（2）加法结合律：(a+b)+c = a+(b+c)（3）数乘结合律：k(la) = (kl)a（4）分配律：k(a+b) = ka+kb2、空间向量的数量积定理给定三个空间向量a，b，c以及实数k，则有以下数量积定理：（1）数量积交换律：a·b = b·a（2）数量积结合律：a·(b+c) = a·b+a·c（3）数量积与数乘结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)（4）对于a≠0，b≠0，有a·b=|a|·|b|·cosθ，其中|a|表示a的大小，θ表示a与b的夹角。
空间向量知识点归纳总结(经典)
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2.空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b ; BA OA OB a b ;OP a(R)运算律：⑴加法交换律： a b b a⑵加法结合律： (a b) c a (b c)⑶数乘分配律：(a b)a b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3.共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于b，记作a // b。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a // b存在实数λ，使a＝λb。
（3）三点共线： A、B、C 三点共线 <=> AB AC<=> OC xOA yOB(其中x y 1)a（4）与a共线的单位向量为a4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线，p与向量 a, b 共面的条件是存在实数x, y 使p xa yb 。
（3）四点共面：若A、B、C、P 四点共面 <=> AP x AB y AC<=> OP xOA yOB zOC(其中 x y z1)5.空间向量基本定理：如果三个向量 a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组 x, y, z ，使p xa yb zc 。
若三向量 ab,,c不共面，我们把{ a,b, c}叫做空间的一个基底，a, b, c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设 O, A, B,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x, y, z ，使OP xOA yOB zOC 。
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精品文档空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP其中精品文档5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。
若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r。
6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。
②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r表示。
空间中任一向量z y x ++==（x,y,z ）（3）空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =r，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，112233(,,)a b a b a b a b -=---r r ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈r，112233a b a b a b a b ⋅=++r r，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈r r，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=r r。
②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---u u u r。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
精品文档③定比分点公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，λ=，则点P 坐标为)1,1,1(212121λλλλλλ++++++z z y y x x 。
推导：设P （x,y,z ）则),,(),(22211,1z z y y x x z z y y x x ---=---λ,显然，当P 为AB 中点时，)2,2,2(212121z z y y x x P +++ ④),,(),,,(,,,333222111z y x C z y x B ）z y ，A（xABC 中∆，三角形重心P 坐标为)2,2,3(321321321z z z y y y x x x P ++++++⑤ΔABC 的五心：内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。
+=λ（单位向量）外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。
==垂心P ：高的交点：⋅=⋅=⋅（移项，内积为0，则垂直）重心P ：中线的交点，三等分点（中位线比）)(31AC AB AP += 中心：正三角形的所有心的合一。
（4）模长公式：若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r，则||a ==r||b ==r（5）夹角公式：cos ||||a ba b a b ⋅⋅==⋅r r r r ΔABC 中①0>•AC AB <=>A 为锐角②0<•AC AB <=>A 为钝角，钝角Δ（6）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB ==u u u r或,A B d = 7. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b rr ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，则AOB ∠叫做向量a r 与b r 的夹角，记作,a b <>r r ；且规定精品文档0,a b π≤<>≤r r ，显然有,,a b b a <>=<>r r r r ；若,2a b π<>=r r ，则称a r 与b r 互相垂直，记作：a b ⊥r r 。
（2）向量的模：设OA a =u u u r r ，则有向线段OA u u u r 的长度叫做向量a r的长度或模，记作：||a r 。
（3）向量的数量积：已知向量,a b r r ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>r r r r 叫做,a b r r 的数量积，记作a b ⋅r r ，即a b ⋅=r r ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>r r r r 。
（4）空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>r r r r r。
②0ab a b ⊥⇔⋅=r r r r 。
③2||a a a =⋅r r r 。
（5）空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r 。
②a b b a ⋅=⋅r r r r（交换律）。
③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅r r r r r r r（分配律）。
④不满足乘法结合率：)()(⋅≠⋅ 二．空间向量与立体几何1．线线平行⇔两线的方向向量平行1-1线面平行⇔线的方向向量与面的法向量垂直 1-2面面平行⇔两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）⇔两线的方向向量垂直 2-1线面垂直⇔线与面的法向量平行 2-2面面垂直⇔两面的法向量垂直3线线夹角θ（共面与异面）]90,0[O O ⇔两线的方向向量2,1n n 的夹角或夹角的补角，><=2,1cos cos n n θ3-1线面夹角θ]90,0[O O ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.><=,cos sin θ3-2面面夹角（二面角）θ]180,0[O O ：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量2,1n n 的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.><±=21,cos cos n n θ4．点面距离h ：求点()00,P x y 到平面α的距离： 在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ uuu r;；计算平面α的法向量n;.h =4-1线面距离（线面平行）：转化为点面距离 4-2面面距离（面面平行）：转化为点面距离【典型例题】1．基本运算与基本知识（）例1. 已知平行六面体ABCD －D C B A ''''，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。
⑴AB BC +u u u r u u u r ； ⑵AB AD AA '++u u u r u u u r u u u r；⑶12AB AD CC '++u u u r u u u r u u u u r ； ⑷1()3AB AD AA '++u u ur u u u r u u u r 。
例2. 对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式： OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r（其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？。
例3 已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）。
⑴求以向量,AB AC u u u r u u u r为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a r 分别与向量,AB AC u u u r u u u r 垂直，且|a r |＝3，求向量a r的坐标。
2．基底法（如何找，转化为基底运算）3．坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）4．几何法编号03晚自习测试；17，18题例 4. 如图，在空间四边形OABC中，8OA=，6AB=，4AC=，5BC=，45OAC∠=o，60OAB∠=o，求OA与BC的夹角的余弦值。