空间向量知识点总结.doc
(完整word版)空间向量知识点总结
空间向量知识点总结1。
直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥,如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量。
⑶．平面的法向量的求法(待定系数法)： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩。
⑤解方程组，取其中一组解,即得平面α的法向量.（如图）2。
用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈。
即:两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
⑵线面平行①(法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α,只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=。
即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②(法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可。
⑶面面平行若平面α的法向量为u ,平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。
3。
用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、,则要证明12l l ⊥,只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=。
即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。
⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=。
空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)( 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b存在实数λ，使a＝λb 。
4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
空间向量知识点总结简单
空间向量知识点总结简单一、空间向量的概念空间向量是指在空间中既有方向，又有大小的有向线段，它通常用两个端点来确定。
空间向量与数集合相似，但它比数多了方向和长度属性，而且可以进行加法运算。
二、空间向量的表示1. 向量的表示：（1）向量的坐标表示：设 A、B 两个点在空间直角坐标系中的坐标分别为 (x1, y1, z1) 和(x2, y2, z2)，则向量 AB 可用有向线段 OA = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) 表示。
（2）向量的分量表示：向量的三个分量包括它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影。
2. 向量的线性运算：（1）向量的加法：两个向量的加法就是将其对应分量相加。
（2）向量的数乘：一个向量的数乘就是将其三个分量都乘以同一个实数。
（3）向量的减法：向量 C 是向量 A 减向量 B 的运算，其方向由 A 指向 B。
3. 向量的模：（1）向量的模长：在空间直角坐标系中，向量 (x, y, z) 的模长公式为√(x^2 + y^2 +z^2) 。
（2）单位向量：模长为 1 的向量称为单位向量。
三、向量的线运算1. 点积（数量积）：两个向量的点积定义为：A · B = |A| × |B| × cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角。
性质：点积满足交换律、分配律、结合律。
应用：点积可以用来判断两个向量的夹角、求向量的投影、求向量的模等。
2. 叉积（向量积）：两个向量的叉积定义为：A × B = |A| × |B| × sinθ × n，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角，n 为法向量。
性质：叉积不满足交换律，但满足分配律。
应用：叉积可以用来求向量的方向、求平行四边形或平行六面体的面积、求直线、平面的方程等。
四、空间向量的几何应用1. 平面向量的应用：（1）平行四边形面积公式：S = |A × B| = |A| × |B| × sinθ。
空间向量知识点归纳总结（经典）
空间向量知识点归纳总结（经典）空间向量与⽴体⼏何知识点归纳总结⼀.知识要点。
1.空间向量的概念：在空间，我们把具有⼤⼩和⽅向的量叫做向量。
注：（1）向量⼀般⽤有向线段表⽰+同向等长的有向线段表⽰同⼀或相等的向量（2）向量具有平移不变性2.空间向量的运算。
定义：与平⾯向量运算⼀样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）运算律：⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：（a b） c a （b c）⑶数乘分配律：（a b） a b运算法则：三⾓形法则、平⾏四边形法则、平⾏六⾯体法则3.共线向量。
（1）如果表⽰空间向量的有向线段所在的直线平⾏或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平⾏向量，a平⾏于b，记作a // b。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b （b⼯0 ）, a//b存在实数⼊使a = 7b （3）三点共线：A、B、C三点共线<=>AB AC-------------------- 9- 4 *<=> OC xOA yOB（其中（ y 1）- a（4）与a共线的单位向量为4.共⾯向量（1）定义：⼀般地，能平移到同⼀平⾯内的向量叫做共⾯向量。
说明：空间任意的两向量都是共⾯的。
（2）共⾯向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共⾯的条件是存在实数r r rx, y 使p xa yb。
------ ------------- ---- p- ------- *■（3）四点共⾯：若A、B、c、P四点共⾯<=>AP xAB yAC--------- --------------------- ----------------------- ?-------------------<=>OP xOA yOB zOC（其中x y z 1） r r r r5.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共⾯，那么对空间任⼀向量p，存r r ,r rMBgo UBAvbraMBmA uOA JmB ⼭ora rb ra在⼀个唯⼀的有序实数组x, y, z，使p xa yb zc。
(word完整版)高二空间向量知识点归纳总结,推荐文档
一．知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
b a B A OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=；)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则3. 共线向量：（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ= <=>OB y OA x OC +=，其中1=+y x（4）与a 共线的单位向量为||a ±4. 共面向量 ：（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b rr 不共线，p r与向量,a br r 共面的条件是存在实数,x y 使。
y x +=（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>OC z OB y OA x OP ++=，其中1=++z y x5. 空间向量基本定理：如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使z y x ++=。
若三向量c b a ,,不共面，我们{},,把叫做空间的一个基底，c b a ,,叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量知识点归纳总结(经典)
空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
(2) 向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。
OB = OA+ AB = a+b .BA = OA-OB = a-b .OP = λa(λGR)运算律：⑴加法交换律：a + b =b + a ⑵加法结合律：(^ + fe) + c = + + c)⑶数乘分配律：+ b) = λa + λb运算法则：三角形法则、平行四边形法则.平行六面体法则 3. 共线向量。
(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，N 平行于方，记作N 〃b 。
(2 )共线向量定理：空间任意两个向量万、b (方≠6),ababAB = λAC OC = XOA+ yOB(^^x + y = l) a 土(1) 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
(2) 共面向量定理：如果两个向量",5不共线，0与向量久5共面的条件是存在实数—♦兀」'使p = xa + yb 9(3) 四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AP = xAB + yAC共面向量©OP = XOA + yOB +zOC(其中兀 + y + z = 1)在一个唯一的有序实数组x,y,Z f使p = xa+ yb +zc 9—♦若三向量GbE不共面，我们把｛a.b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量, 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设o,4,5C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数X,y.Z f使OP = XOA + yOB + zOC O6.空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系0 —厂Z中，对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(兀”Z), 使OA = xi + yi+忑，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O-XK中的坐标, 记作A(X,y,z), X叫横坐标，y叫纵坐标，Z叫竖坐标。
空间向量的知识点总结
空间向量的知识点总结空间向量是指空间中的一条具有方向和大小的有向线段，在数学上通常表示为箭头上有一个加粗的字母来表示。
一、空间向量的概念空间向量是指具有方向和大小的有向线段，它是向量的一种特殊形式。
它与平面向量类似，但是空间向量不仅有大小和方向，而且还有位置。
空间向量可以用某个点P到另一个点Q的有向线段来表示，表示为PQ→。
空间向量的大小可以通过计算两点之间的距离来得到，而它的方向可以通过计算两个点之间的夹角来得到。
二、空间向量的基本运算1、空间向量的加法设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，那么 a+b = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
这表示a+b等于a与b的x、y、z分量分别相加得到的结果。
2、空间向量的数乘设空间向量a=(x,y,z)，k为实数，则ka=(kx,ky,kz)。
这表示空间向量a的每个分量都乘以k得到的结果。
3、空间向量的减法空间向量的减法定义为a-b=a+(-b)，即对b取反再进行加法操作。
4、空间向量的数量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a·b = x1x2+y1y2+z1z2。
这表示a·b等于a与b的x、y、z分量分别相乘并求和的结果。
5、空间向量的向量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a×b = (y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)。
这表示a×b等于a与b按照右手定则进行叉乘得到的结果。
三、空间向量的坐标表示空间向量可以用坐标表示。
设点A(a1,a2,a3)和点B(b1,b2,b3)，则AB向量可以表示为AB=(b1-a1,b2-a2,b3-a3)。
四、空间向量的运算律1、给定三个空间向量a，b，c，则有以下运算律：（1）加法交换律：a+b = b+a（2）加法结合律：(a+b)+c = a+(b+c)（3）数乘结合律：k(la) = (kl)a（4）分配律：k(a+b) = ka+kb2、空间向量的数量积定理给定三个空间向量a，b，c以及实数k，则有以下数量积定理：（1）数量积交换律：a·b = b·a（2）数量积结合律：a·(b+c) = a·b+a·c（3）数量积与数乘结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)（4）对于a≠0，b≠0，有a·b=|a|·|b|·cosθ，其中|a|表示a的大小，θ表示a与b的夹角。
高二空间向量知识点归纳总结
一．知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
b a B A OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=；)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：+=+ ⑵加法结合律：)((b ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则3. 共线向量：（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρb ρa ρb ρAC AB λ=y x +=1=+y x ±共面向量 ：（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a br r 共面的条件是存在实数,x y 使。
b y a x p +=（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>z y x ++=，其中1=++z y x5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使c z b y a x p ++=。
若三向量c b a ,,不共面，我们{}c b a ,,把叫做空间的一个基底，c b a ,,叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,,x y z，使OC z OB y OA x OP ++=。
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空间向量与立体几何知识点总结一、基本概念 :1、空间向量：2、相反向量： 3 、相等向量：4、共线向量： 5 、共面向量：6、方向向量 : 7 、法向量8、空间向量基本定理：二、空间向量的坐标运算：1.向量的直角坐标运算r r设 a ＝(a1,a2 , a3 ) ， b ＝ (b1 , b2 , b3 ) 则(1) r rb1, a2 b2, a3 b3 ) ；(2)r ra ＋b＝(a1 a －b＝( a1(3)ra2 , a3 ) (λ∈R)；(4)r rλ a ＝( a1, a · b ＝ a1b12.设 A( x1, y1, z1)， B( x2, y2, z2)，则b1 , a2 b2 , a3b3 ) ；a2b2a3b3；uuur uuur uuurAB OB OA = (x2x1 , y2y1 , z2z1 ) .r r3、设a ( x1 , y1, z1 ) ， b ( x2, y2 , z2 ) ，则r r r r r r r r r ra Pb a b(b 0) ； a b a b 0 x1 x2 y1 y2 z1z2 0 .4. 夹角公式r r r r a1b1 a2 b2 a3b3.设 a ＝(a1,a2, a3)，b＝(b1, b2, b3)，则 cos a,ba12 a22 a32 b12 b22 b32 5．异面直线所成角r rr r| a b | | x1x2 y1 y2 z1 z2 |cos | cos a,b .|= r rx12 y12 z12 x22 y22 z22| a | | b |6．平面外一点p 到平面的距离nr已知 AB 为平面的一条斜线， n 为平面的一个法αuuur r向量， A 到平面的距离为： d| AB r ? n || n |空间向量与立体几何练习题一、选择题z1. 如图，棱长为2 的正方体 ABCD ABC DD 1C 1在空间直角坐标A 1B 11111uuurF系中，若 E, F 分别是 BC , DD 1 中点，则 EF 的坐标为（）A. (1,2, 1)B. ( 1,2, 1)C.( 1,2,1)D.(1, 2, 1)D(O)C yEABx2．如图， ABCD — A 1B 1C 1D 1 是正方体， B 1E 1＝D 1F 1＝A 1B 1，则 BE 1 与4DF 1 所成角的余弦值是（）． 15B ． 1712图C ．8D ．17323. 在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， E 为 PD 中点，uuur r uuur r uuur r uuur若 PA a ， PB b ， PC c ， 则 BE （）A.1r1r1ra b c2 2 2 C.1r3r1rabc2 2 2 二、填空题B.D.1r1r1ra b c2 2 21r1r3r图abc2 2 24. 若点 A(1,2,3) , B(uuur uuur r3,2,7) , 且 AC BC 0 , 则点 C 的坐标为 ______.5．在正方体 ABCD AB C D 中，直线AD与平面 A BC 夹角的余弦值为 _____.111111三、解答题1、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中 , AB 1与底面 ABCD所成的角为，4 （1）求证 BD1面AB 1C（2）求二面角B1AC B的正切值2．在三棱锥P ABC AB AC 3中，AP 4,PA 面ABC , BAC 90 , D是PA中点, 点 E在 BC上,且 BE 2CE,(1) 求证：AC BD ；PDACE(2) 求直线 DE 与 PC 夹角的余弦值；(3) 求点 A 到平面 BDE 的距离 d 的值.B3．在四棱锥P—ABCD中，底面 ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥ BC，AB=BC=a，AD=2a，且 PA⊥底面 ABCD， PD与底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥ PD；（2）求异面直线AE与 CD所成角的余弦值．4、已知棱长为 1 的正方体A C1，E、F分别是 B1C1、C1D的中点．（1）求证： E、 F、 D、B共面；（2）求点A1到平面的B DEF的距离；（3）求直线A1D 与平面B DEF所成的角．5、已知正方体ABCD－ A1B1C1D1的棱长为2，点 E为棱 AB的中点，求：（Ⅰ） D1E与平面 BC1D所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－ BC1－C的大小；一、考点概要：1、空间向量及其运算(1)空间向量的基本知识：①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。
②空间向量基本定理：ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组 x、 y、z，使。
且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。
ⅲ 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。
ⅳ空间四点共面：设 O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、z，使。
③共线向量 ( 平行向量 ) ：ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。
ⅱ规定：零向量与任意向量共线;ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数λ，使。
④共面向量：ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量 ; 空间的任意两个向量都是共面向量。
ⅱ向量与平面平行：如果直线 OA平行于平面或在α内，则说向量平行于平面α，记作。
平行于同一平面的向量，也是共面向量。
ⅲ共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、 y，使。
ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。
ⅴ共面向量定理的推论：空间一点 P 在平面 MAB内的充要条件是：存在有序实数对 x、 y，使得，或对于空间任意一定点 O，有。
⑤空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点 O，作，( 两个向量的起点一定要相同 ) ，则叫做向量与的夹角，记作，且。
⑥两个向量的数量积：ⅰ定义：已知空间两个非零向量、，则叫做向量、的数量积，记作，即：。
ⅱ规定：零向量与任一向量的数量积为0。
ⅲ注意：两个向量的数量积也叫向量、的点积 ( 或内积 ) ，它的结果是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值。
ⅳ数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影 ( 其中θ为向量和的夹角)。
即：数量积等于向量的模与向量在方向上的投影的乘积。
ⅴ基本性质：ⅵ运算律：(2)空间向量的线性运算：①定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：②加法：③减法：④数乘向量：⑤运算律：ⅰ加法交换律：ⅱ加法结合律：ⅲ数乘分配律：二、复习点睛：1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。
空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
2、根据空间向量的基本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标系，形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循“三步”：一化向量问题，二进行向量运算，三回到图形问题。
其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。
3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律，因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。
值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然适用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，下面两个公式较为常用，请务必记住并学会应用：。
2、空间向量的坐标表示：(1)空间直角坐标系：①空间直角坐标系 O-xyz，在空间选定一点 O和一个单位正交基底，以点 O 为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴： x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，点 O叫做原点，向量叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平面， yOz 平面， zOx 平面。
②右手直角坐标系：右手握住 z 轴，当右手的四指从正向 x 轴以 90°角度转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向 ;③构成元素：点 ( 原点 ) 、线 (x 、y、z 轴 ) 、面 (xOy 平面， yOz 平面， zOx 平面 );④空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系O-xyz 时，一般使∠xOy=135°( 或45°), ∠yOz=90°， z 轴垂直于 y 轴， z 轴、 y 轴的单位长度相同， x 轴上的单位长度为 y 轴( 或 z 轴 ) 的一半 ;(2)空间向量的坐标表示：①已知空间直角坐标系和向量，且设为坐标向量 ( 如图 ) ，由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作。
②在空间直角坐标系O-xyz 中，对于空间任一点A，对应一个向量，若，则有序数组 (x ， y，z) 叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为 A(x ，y，z) ，其中 x 叫做点 A 的横坐标， y 叫做点 A 的纵坐标， z 叫做点 A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。
③空间任一点的坐标的确定：过P 分别作三个与坐标平面平行的平面( 或垂面) ，分别交坐标轴于A、B、C 三点，│x│=│OA│，│y│=│OB│，│z│=│OC│，当与的方向相同时， x>0，当与的方向相反时， x<0，同理可确 y、z( 如图 ) 。
④规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。
⑤一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
设，，则：(3)空间向量的直角坐标运算：⑦空间两点间距离： ;⑧空间线段的中点M(x，y，z)的坐标：;⑨球面方程：二、复习点睛：4、过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点且一般具有相同的长度单位。
这三条轴分别叫做 z 轴( 横轴 ) 、y 轴( 纵轴 ) 、z 轴( 竖轴 ); 统称坐标轴。
通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上，而 z 轴则是铅垂线 ; 它们的正方向要符合右手规则，即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点 O叫做坐标原点。