向量知识点归纳与常见总结
高中向量知识点归纳总结
高中向量知识点归纳总结一、向量的概念与表示1. 向量的定义与概念向量是具有大小和方向的物理量，表示为有向线段。
向量的大小称为模，通常用|a|表示；向量的方向用一个角度或者与坐标轴的夹角表示。
2. 向量的表示向量可以通过不同方式进行表示，常见的表示方法有点表示法、坐标表示法和分解成分表示法。
其中点表示法是指用起点和终点的坐标表示向量，坐标表示法是指用向量的坐标来表示向量，分解成分表示法是指将一个向量分解为与坐标轴平行的分向量。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果是以它们为两边的平行四边形的对角线。
2. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘，结果是一个大小变为原来的倍数，方向不变的新向量。
3. 向量的减法向量的减法即将一个向量减去另一个向量，可以理解为向量的加法的逆运算。
4. 向量的线性运算线性运算是指向量的加法和数乘运算满足分配律、结合律和交换律。
5. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，表示为a·b，定义为|a|·|b|·cos(θ)，其中|a|和|b|分别是向量a 和b的模，θ是两个向量的夹角。
6. 向量的数量积的性质向量的数量积具有交换律、分配律和可能与零向量数量积为零等性质。
7. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，定义为一个向量与另一个向量在夹角方向上的投影的大小。
8. 已知向量的坐标求向量大小通过向量的坐标可以利用勾股定理求出向量的大小。
9. 用向量表示物理问题在物理问题中，可以利用向量的运算来描述力的合成、速度方向以及几何问题等。
三、平面向量1. 平面向量的模和方向平面向量的模指向量的大小，平面向量的方向指向量的方向。
2. 平面向量共线与定比分点若有两个向量a和b，则a与b共线的充分必要条件是存在实数λ，使得a=λb或者b=λa；定比分点是指分点m将向量a和b分成λ:1-λ的两部分。
3. 平面向量共面若有三个向量a、b、c，则a、b、c共面的充分必要条件是它们的数量积为零。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量是线性代数中的一种基本概念，它在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
向量具有模和方向，而且可以进行加法和乘法运算，可以用来表示力、速度、位移等物理量。
下面是向量的一些基本知识点和常用公式的总结：1.向量的定义：向量是有大小和方向的量，用有向线段表示。
记作⃗a。
2.向量的模：向量的模表示向量的大小，记作，⃗a，或者a。
向量的模可以用勾股定理求得：⃗a，=√(a₁²+a₂²+a₃²+...+a_n²3.向量的方向角：向量的方向角是指与其中一坐标轴或平面之间的夹角。
在二维平面内，向量的方向角可以用余弦和正弦函数表示：cosθ = a₁ / ，⃗a，sinθ = a₂ / ，⃗a4.向量的方向余弦：向量的方向余弦是指与坐标轴之间的夹角的余弦值。
在三维空间中，向量的方向余弦可以用三角函数表示：cosα = a₁ / ，⃗a，cosβ = a₂ / ，⃗a，cosγ = a₃ / ，⃗a5.向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量相加的结果是以两个向量为边的平行四边形的对角线。
两个向量的加法可以用分量表示：⃗a+⃗b=(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃,...,a_n+b_n)6.向量的减法：向量的减法可以通过将减向量取负后与被减向量相加得到。
⃗a-⃗b=⃗a+(-⃗b)7.向量的数量积：向量的数量积（点积）是两个向量的模之积与它们夹角的余弦值的乘积。
向量的数量积可以用分量表示：⃗a·⃗b=a₁*b₁+a₂*b₂+a₃*b₃+...+a_n*b_n8.向量的数量积性质：（1）交换律：⃗a·⃗b=⃗b·⃗a（2）结合律：(⃗a+⃗b)·⃗c=⃗a·⃗c+⃗b·⃗c（3）数量积与向量的乘法：(k⃗a)·⃗b=k(⃗a·⃗b)，其中k为实数（4）数量积与零向量：⃗a·⃗0=09.向量的夹角余弦：向量的夹角余弦是两个向量的数量积与它们模的乘积的商。
向量知识点及题型总结
向量知识点及题型总结一、向量的定义和性质1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
2. 向量的性质：- 向量的模长：向量的大小，用 ||a|| 表示，是向量的长度。
- 向量的方向：指向的方向，可以用夹角来表示。
- 向量的相等：如果两个向量的模长相等并且方向相同，那么这两个向量是相等的。
- 零向量：模长为0的向量，表示为0。
二、向量的表示及运算1. 向量的表示方式：- 平面向量：即二维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2)。
- 空间向量：即三维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2, a3)。
2. 向量的基本运算：- 向量的加法：向量相加就是对应分量相加；例如 a + b = (a1 + b1, a2 + b2)。
- 向量的减法：向量相减就是对应分量相减；例如 a - b = (a1 - b1, a2 - b2)。
- 向量的数量乘法：向量乘以一个数，就是将向量每个分量都乘以这个数；例如 k * a = (k * a1, k * a2)。
- 向量的点乘：向量的点乘又称数量积，是两个向量对应分量相乘再相加的运算；例如 a·b = a1*b1 + a2*b2。
- 向量的叉乘：向量的叉乘又称向量积，只存在于三维空间中，结果是垂直于原来两个向量的新向量；例如 a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
三、向量的应用1. 向量的几何意义- 向量的加法和减法可以表示平移和反向平移。
- 向量的数量积可以表示两个向量的夹角和投影。
- 向量的叉乘可以表示平行四边形的面积和法向量。
2. 向量的物理意义- 位移向量：表示物体的位移和移动方向。
- 力向量：表示物体受到的力和力的方向。
- 速度向量：表示物体的速度和运动方向。
- 加速度向量：表示物体的加速度和加速方向。
四、向量的题型1. 向量的基本运算题型- 求向量的模长和方向。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用和许多重要的性质。
接下来，我将结合向量的定义、基本运算、向量积、应用与公式等方面，进行一篇总结文章。
一、向量的定义与表示向量是有大小和方向的量，可以用有序的数对或列矩阵表示。
通常记作：A = (a1, a2, ..., an) 或 A = [a1, a2, ..., an]向量的大小和方向分别由模和方向角表示，其中模表示向量的长度，方向角表示向量与某一坐标轴的夹角。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，结果仍为一个向量。
表示为：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量的对应分量相减，结果仍为一个向量。
表示为：A -B = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个实数，结果仍为一个向量。
表示为：kA = (ka1, ka2, ..., kan)，其中k为实数。
4. 内积向量的内积也叫点乘，表示为A·B，定义为：A·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn5. 向量的模向量的模表示向量的长度，记作 ||A||，定义为：||A|| = √(a1² + a2² + ... + an²)三、向量积向量积又叫叉乘，是在三维空间中定义的二元运算。
向量积的结果是一个新的向量，其大小为原向量所构成的平行四边形的面积，并且垂直于原向量所在的平面。
表示为A × B，定义为：A ×B = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)四、向量的应用1. 物理学中的力和速度在物理学中，力和速度常常用向量表示。
力是有大小和方向的，所以可以看作是一个向量。
向量知识点总结
向量知识点总结一、向量的概念1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头或字母表示，例如AB或a。
向量的大小叫做模，通常用||a||表示。
2. 向量的表示(a1, a2, ..., an)可以表示一个n维的向量，其中a1, a2, ..., an分别表示向量在各个坐标轴方向上的分量。
3. 向量的相等两个向量相等的充分必要条件是它们的模相等，并且各个对应的分量相等。
二、向量的运算1. 向量的加法若A(x1, y1)和B(x2, y2)是平面上两个向量，那么A+B=(x1+x2, y1+y2)表示两个向量的和。
2. 向量的数量积设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，则A·B=x1*x2+y1*y2称为向量A与向量B的数量积。
数量积的值等于A的长度与B在A方向上的投影的长度之积。
3. 向量的向量积设向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则A×B=(y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)称为向量A与向量B的向量积。
向量积的模等于A与B所在的平行四边形的面积。
4. 向量的数量积和向量积的区别数量积是标量，向量积是向量；数量积是满足交换律的，向量积不满足交换律。
三、向量的线性运算1. 向量的线性组合若a1, a2, ..., an是n个向量，c1, c2, ..., cn是n个数，那么c1a1+c2a2+...+cna_n称为向量a1, a2, ..., an的线性组合。
2. 线性相关与线性无关如果方程c1a1+c2a2+...+cna_n=0有非零解，那么向量a1, a2, ..., an成为线性相关；如果方程c1a1+c2a2+...+cna_n=0只有零解，那么向量a1, a2, ..., an成为线性无关。
3. 线性相关与线性无关性质如果n个向量线性相关，那么它的某一个部分线性相关；如果n个向量线性无关，那么它的任何部分都是线性无关的。
向量知识点总结大全
向量知识点总结大全1. 向量的定义向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在数学中，向量可以用来表示力、速度、位移、电场、磁场等物理量。
向量通常用坐标或分量来表示，也可以用一点表示。
向量的模长是其大小，方向是指向量所指方向。
2. 向量的表示(1) 点表示法：用起始点为O，终点为A的箭头表示向量，记作→OA。
(2) 分量表示法：以向量所在的坐标系中的原点O为出发点，A(x, y)为终点，表示向量为→OA = x→i + y→j。
其中，→i和→j是标准基向量，它们的方向分别是x轴和y轴的正方向，长度为1。
(3) 等价向量：长度和方向都相同的向量称为等价向量，用→AB = →CD 表示。
3. 向量的运算(1) 向量的加法：若有两个向量→a 和→b，它们的和记作→c，即→c = →a + →b。
向量的加法满足交换律和结合律，即→a + →b = →b + →a，(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c)。
(2) 向量的数量积（点积）：若两个向量→a 和→b 的夹角为θ，则它们的数量积定义为→a·→b = |→a|·|→b|·cosθ。
(3) 向量的矢量积（叉积）：对于三维向量→a = (a1, a2, a3) 和→b = (b1, b2, b3)，它们的矢量积定义为：→a × →b = (a2b3 - a3b2)→i - (a1b3 - a3b1)→j + (a1b2 - a2b1)→k，其中→i、→j、→k 分别是x、y、z轴的单位向量。
(4) 向量的数量积和矢量积的关系：→a·→b = |→a|·|→b|·cosθ，其中θ为夹角；|→a × →b| = |→a|·|→b|·sinθ，即矢量积的模长等于两个向量模长的乘积再乘以它们夹角的正弦值。
4. 向量的相等两个向量相等的充分必要条件是它们的大小和方向都相等。
向量的知识点归纳总结
向量的知识点归纳总结一、向量的定义和表示向量是由大小和方向组成的量，可以用箭头表示。
在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对(x,y)，也可以用矢量形式表示为a=<x,y>。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组(x,y,z)，或者用矢量形式表示为a=<x,y,z>。
二、向量的基本运算1. 向量加法：两个向量相加得到一个新的向量，其大小等于两个向量大小之和，方向与第一个向量和第二个向量相同。
2. 向量减法：两个向量相减得到一个新的向量，其大小等于两个向量大小之差，方向与第一个向量和第二个向量相反。
3. 数乘：将一个数乘以一个向量得到一个新的向量，其大小为原来的大小乘以这个数，方向不变。
4. 点积：两个同维度的向量进行点积运算得到一个标量（数量），公式为a·b=|a||b|cosθ。
5. 叉积：只有三维空间中才有叉积运算。
两个同维度的向量进行叉积运算得到一个新的垂直于这两个原始向 0 0 向的向 0 0 量，公式为a×b=|a||b|sinθn。
三、向量的线性相关和线性无关若存在一组不全为零的实数k1,k2,...,kn，使得k1a1+k2a2+...+knan=0，则向量组{a1,a2,...,an}线性相关；否则，向量组{a1,a2,...,an}线性无关。
其中，n表示向量的个数。
四、向量的投影和正交分解1. 向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是这个向量在另一个向量上的投影长度与另一个向量方向相同的新向 0 0 向。
公式为projba=(a·b/|b|^2)b。
2. 正交分解：将一个向量分解成与另一个向量正交和平行于另一个向量两部分之和。
公式为a=a∥+a⊥，其中a∥=projba，a⊥=a−projba。
五、平面几何中的应用1. 向量共线：若两个非零向量共线，则它们可以表示成相等或相反方向的倍数。
2. 向量垂直：若两个非零向量垂直，则它们点积等于零。
向量数学知识点总结
向量数学知识点总结1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量。
通常用一个箭头或者是一段有方向的线段来表示。
向量的大小称为模，用符号||a||来表示。
向量的方向通常通过箭头所指的方向来表示。
一个向量通常用加粗的小写字母或者是在上方加一个箭头来表示，如 a 或者是→a。
2. 向量的表示在数学中，向量通常用坐标表示。
如果在一个二维空间中，一个向量可以表示成 (x, y) 的形式。
在三维空间中，一个向量可以表示成 (x, y, z) 的形式。
3. 向量的运算向量的加法：向量a 和向量 b 的和记作 a+b，它的定义是 a+b=(a_1+b_1, a_2+b_2, ..., a_n+b_n)向量的数量乘法：数与向量相乘，记作k∙a，即k∙a=(k∙a_1,k∙a_2,...,k∙a_n)点积：向量a和向量b的点积表示为a∙b=a_1∙b_1+a_2∙b_2+...+a_n∙b_n，也可以表示为“a⋅b=│a││b│cosθ”其中θ为a与b的夹角叉积：在三维空间中，向量a和向量b的叉积表示为a×b=(a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1)4. 向量的线性相关性向量a和b线性相关的充分必要条件是存在不全为0的实数λ和μ，使得λa+μb=05. 向量的线性无关性若存在一组向量{a_1, a_2, …, a_n}使得只有λ_1 a_1+λ_2 a_2+。
λ_n a_n=0 当且仅当λ_1=λ_2=…=λ_n=0，则称向量{a_1, a_2, …, a_n}线性无关6. 向量的基底和维度一个线性空间的基底就是一个线性无关的极大集合，即这个集合中的向量不能再添进任何一个可以由这个集合张成的向量空间。
一个向量空间的维度就是这个向量空间的一组基底中有多少个向量。
一个n维的向量空间能被n维向量张成，任意向量可以被这n个向量线性表示。
7. 向量的投影向量的投影是向量在另一个向量上的投影，向量a在向量b上的投影的长度为|a|cosθ，与b同向8. 向量的夹角两个非零向量a和b夹角的cosθ= a∙b／(|a||b|)夹角的范围是[0, π]，当cosθ>0时夹角在[0, π/2]上，当cosθ<0时夹角在(π/2, π]上，当cosθ=0时，a和b垂直。
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向量知识点归纳与常见题型总结一、向量知识点归纳1．与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小. 记号“a＞b”错了，而| a | ＞ | b | 才有意义 .⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关. 由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）. 当遇到与起点有关向量时，可平移向量 . ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量⑷单位向量是模为 1 的向量，其坐标表示为（x, y ）,其中 x 、y满足x2y2＝1（可用（ cos ,sin）（ 0≤≤2π）表示） . 特别：AB表示与 AB 同向的单位向量。
|AB|例如：向量直线)；( ABAC)(0) 所在直线过ABC 的内心(是BAC 的角平分线所在|AB||AC|例 1、O是平面上一个定点， A、B、C不共线，P 满足OPOA(AB AC )[0,).|AB|| AC则点 P 的轨迹一定通过三角形的内心。
→→→→→→→1AB+AC AB·AC=, 则△ABC 为()(变式 )已知非零向量 AB 与 AC 满足 (→→)·BC=0 且→→2|AB ||AC ||AB ||AC |A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形(06 陕西 )⑸ 0 的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0 仅仅是一个无方向的实数 .⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.（ 7）相反向量 ( 长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－ a 。
)2．与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量. （三角形法则和平行四边形法则）①当两个向量 a 和 b 不共线时， a b 的方向与 a 、b 都不相同，且| a b |＜| a |＋| b |；②当两个向量 a 和 b 共线且同向时， a b 、a 、b 的方向都相同，且 | a b || a || b |；③当向量 a 和 b 反向时，若| a |＞| b |， a b 与 a 方向相同，且 |a b |=| a |-| b |；若 | a | ＜ | b | 时 , a b 与 b方向相同，且 | a＋b |=| b |-| a |.⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量. 向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。
AB BC AC;AB AC CB例 2： P 是三角形 ABC 内任一点，若CB PA PB,R ，则P一定在（）A 、 ABC 内部B 、 AC 边所在的直线上C 、AB 边上D 、BC 边上例 3、若20，则△ ABC 是： A.RtAB BCAB△ B. 锐角△ C. 钝角△ D. 等腰 Rt △·例 4、已知向量 a(cos ,sin ), b ( 3, 1) ，求 | 2a b | 的最大值。
分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。
解：原式 = | (2 cos 3,2sin1) | ( 2 cos3) 2 (2 sin 1) 2= 8 8sin() 。
当且仅当 2k5 (k Z ) 时， | 2ab | 有最大值 4.36评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式 “ || a | | b || | a b | | a | | b |”就显得简洁明快。
原式 | 2a | | b |= 2 | a | | b | 2 1 24 ，但要注意等号成立的条件（向量同向）。
⑶围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量 .如， AB BCCA0 , （在△ ABC 中） AB BC CDDA0 .( □ABCD 中 ) ⑷判定两向量共线的注意事项： 共线向量定理 对空间任意两个向量 a 、b(b ≠ 0 ) ，a ∥ b 存在实数λ使 a=λ b ．如果两个非零向量 a ， b ，使 a =λ b （ λ ∈ R ），那么 a ∥ b ；反之，如 a ∥ b ，且 b ≠ 0，那么 a =λ b .这里在 “反之” 中，没有指出 a 是非零向量， 其原因为 a =0 时，与λ b 的方向规定为平行 . ⑸数量积的 8 个重要性质①两向量的夹角为0≤ ≤ π . 由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数 .②设 a 、 b 都是非零向量，e 是单位向量， 是 a 与 b 的夹角，则e aa e | a | cos .( | e | 1)③ aba b0 （∵=90°， cos0)④在实数运算中 ab =0a =0 或 b=0. 而在向量运算中 ab = 0 a =0 或 b = 0 是错误的，故 a0 或 b 0 是 a b =0 的充分而不必要条件 .⑤当 a 与 b 同向时 a b =| a | | b |(=0,cos=1);当 a 与 b 反向时， ab =- | a | | b |( =π ,cos =-1) ，即 a ∥ b 的另一个充要条件是| a b | | a | | b |. 当 为锐角时， a b ＞ 0，且 a 、b 不同向， a b 0 是为锐角的必要非充分条件 ；当 为钝角时， ab ＜ 0，且 a 、b 不反向， a b 0 是为钝角的必要非充分条件 ；例 5. 如已知 a ( ,2 ) ， b (3 ,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：4 0 且 1或 ）；3 3例 6、已知 i , j 为相互垂直的单位向量， ai 2 j ，b ij 。
且 a 与 b 的夹角为锐角，求实数的取值范围。
分析：由数量积的定义易得“ a, b a b 0 ”，但要注意问题的等价性。
解：由 a 与 b 的夹角为锐角，得a b 120. 有 1 .t 12而当 at b(t 0), 即两向量同向共线时，有得2. 此时其夹角不为锐角。
t2故, 212, .2评析：特别提醒的是：a, b 是锐角与 a b 0 不等价； 同样 a,b 是钝角与 a b 0不等价。
极易疏忽特例“共线” 。
特殊情况有 a a2222y 2a =| a | 。
或 | a | = a a = a = x.如 果 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 ( x 1 , y 1 ),(x 2 , y 2 ), 则| a | = ( x 1x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) 2⑥ | a b | | a | | b |。
（因 cos1）⑦数量积不适合乘法结合律.如 (a b) c a (b c).（因为 (a b) c 与 c 共线，而 a (b c) 与 a 共线） ⑧数量积的消去律不成立.若 a 、 b 、 c 是非零向量且a cb c 并不能得到 a b 这是因为向量不能作除数，即 1是无意义的 .c(6) 向量 b 在 a 方向上的投影︱ b ︱ cos＝aba(7) e 和 e 是平面一组基底 , 则该平面任一向量a1e2e ( 1 , 2唯一)1212特别：. OP ＝1OA 2 OB 则 1 2 是三点 P 、 A 、 B 共线的充要条件 .1注意：起点相同，系数和是 1。
基底一定不共线例 7、已知等差数列｛nn 项和为 S n ，若1a ｝的前BO ＝a 1 OA ＋a 200 OC ，且 A 、 B 、CO ），则 S 200＝（ 2三点共线（该直线不过点）A ． 50B. 51C.100D.101例 8、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1) , B( 1,3) ,若点 C 满足OC1 OA2OB ,其中1 ,2R且121,则点 C 的轨迹是 _______ AB（直线 ）例 9、已知点 A,,B,C 的坐标分别是(3,1), (5,2), (2t ,2 t ) .若存在实数 ,使 OC OA (1)OB ,则 t 的值是 :A. 0 B. 1C.0或1D. 不确定例 10 下列条件中，能确定三点A, B, P 不共线 的是：．．．A ．MP sin 2 20 MA cos 2 20 MB B ． MP sec 2 20 MA tan 2 20 MBC ． MPsin 2 20 MA cos 2 70 MBD ． MPcsc 2 31 MA cot 2 31 MB分析：本题应知：“ A,B,P 共线，等价于存在 ,R,使 MPMAMB 且1 ”。
(8) ① 在ABC 中， PG1(PAPB PC)G 为ABC 的重心，特别地31PA PB PC 0P 为 ABC 的重心； ABBCAD 则 AD 过三角形的重心 ；2例 11、设平面向量 a 、a 、a 的和 aa a0 。
如果向量 b 、b 、b ，满足 b 2 a ，123 123123ii且 a 顺时针旋转 30o后与 b 同向，其中 i1,2,3 ，则（ D ）（ 06 河南高考）iiA ． b b b 0Bb b b 01 2 3123C ． b b b 0D． b b b 0123123②PA PB PB PC PC PAP 为 ABC 的垂心；③向量( ABAC )( 0) 所在直线过 ABC 的内心 (BAC 的角分线所在直线 ) ；|AB||AC |④|AB|PC |BC | PA | CA| PBP ABC 的内心； ( 选 )⑤S ⊿ AOB ＝ 1x A y B x B y A ;2例12、若 O 是 ABC 所在平面内一点， 且满足 OB OCOB OC 2OA ，则ABC的形状为 ____（答：直角三角形） ；例 13、若 D 为ABC 的边 BC 的中点， ABC 所在平面内有一点 P ，满足P AB PC P0，设|AP| ，则的值为 ___（答： 2）；|PD|例 14、若点 O 是 △ABC 的外心，且 OA OB CO0 ，则内角 C 为 ____ （答： 120 ）；(9)、 P 分PP的比为, 则P P =P P,＞ 0 内分 ;＜ 0 且 ≠-1外分 .1 212OP ＝OP1OP2 ;若λ＝1 则 OP ＝ 1( OP 1+OP 2 ); 设 P(x,y),P 1(x 1,y 1),12x x 1x 2 ,x x 1 x 2,x x 1 x 2 x 3 ,123P 2 (x 2,y 2) 则; 中点 重心yy 1 y 2 .yy 1 y 2 . y y 1 y 2 y 3 .12 3说明：特别注意各点的顺序，分子是起点至分点， 分母是分点至终点， 不能改变顺序和 分子分母的位置。