空间向量知识点归纳总结
(完整word版)空间向量知识点总结
空间向量知识点总结1。
直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥,如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量。
⑶．平面的法向量的求法(待定系数法)： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩。
⑤解方程组，取其中一组解,即得平面α的法向量.（如图）2。
用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈。
即:两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
⑵线面平行①(法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α,只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=。
即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②(法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可。
⑶面面平行若平面α的法向量为u ,平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。
3。
用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、,则要证明12l l ⊥,只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=。
即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。
⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=。
空间向量题知识点总结
空间向量题知识点总结一、向量的表示1. 向量的定义在三维空间中，任意两个不同点P(x1,y1,z1)与Q(x2,y2,z2)之间所确定的线段PQ，我们称之为向量。
一般用字母a、b、c等表示。
2. 向量的表示在空间直角坐标系中，向量AB可用有向线段表示，并写成AB或AB。
3. 向量的模向量AB的模记作|AB|，其计算公式为|AB| = √(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2。
4. 向量的方向向量AB的方向是指从点A到点B的方向。
5. 向量的方向角向量AB与x轴、y轴、z轴的正方向之间的夹角分别称为向量AB的方向角α、β和γ。
二、向量的加法1. 向量的加法设有两个向量A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，定义A与B的和向量C为C(x1+x2, y1+y2,z1+z2)。
2. 向量的减法设有两个向量A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，定义A与B的差向量C为C(x1-x2, y1-y2, z1-z2)。
三、向量的数量积1. 数量积的定义两个向量A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)的数量积定义为A·B = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2。
2. 数量积的几何意义A·B = |A|*|B|*cosθ，其中θ为A与B的夹角。
3. 计算数量积A·B = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2。
四、向量的叉积1. 叉积的定义两个向量A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)的叉积定义为A×B = (y1*z2 - y2*z1, z1*x2 - z2*x1,x1*y2 - x2*y1)。
2. 叉积的几何意义A×B = |A|*|B|*sinθ*n，其中θ为A与B的夹角，n为A、B所张平面的法向量。
3. 计算叉积A×B = (y1*z2 - y2*z1, z1*x2 - z2*x1, x1*y2 - x2*y1)。
空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结空间向量是高中数学中的一个重要概念，出现在向量代数、几何问题、解析几何以及线性代数等多个数学分支中。
下面是空间向量知识点的归纳总结：1.空间向量的定义：空间向量是具有大小和方向的量，它可以用有序三元数组表示，例如(a,b,c)。
2.空间向量的运算：(1)向量加法：两个向量相加得到一个新的向量，加法满足交换律和结合律。
(2)向量数乘：一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量，数乘满足分配律。
(3)内积：两个向量的内积是一个实数，可以用数量积的公式计算。
(4)外积：两个向量的外积是一个向量，可以用矢量积的公式计算。
3.空间向量的基本性质：(1)零向量：长度为零的向量，与任何向量的加法的结果都是原向量本身。
(2)单位向量：长度为1的向量，可以用一个非零向量除以其长度得到。
(3)向量的长度：向量的长度定义为该向量的模。
(4)向量的方向：向量的方向可以用与该向量共线的单位向量表示。
4.空间向量的共线与异面：(1)两个向量共线意味着它们的方向相同或者相反。
(2)三个向量共面意味着它们位于同一个平面上。
(3)两个向量异面意味着它们不共线，且它们所在的直线与另外一个直线垂直。
5.空间向量的投影：(1)向量在一些方向上的投影是一个标量，可以用点积的公式计算。
(2)向量在一些方向上的单位向量是该方向的基向量。
(3)向量在一些方向上的分量是该方向的基向量的数乘。
6.空间向量的表示：(1)分解：一个向量可以表示为它在不同方向上的分量的和。
(2)基底：一个空间中的向量可以表示为基底向量的线性组合。
(3)坐标：一个向量可以用它在基底向量上的投影的值表示。
7.空间向量的几何意义：(1)位移向量：两点之间的位移可以用一个向量表示。
(2)向量的数量积：两个向量的数量积等于一个向量在另一个向量的方向上的投影乘以另一个向量的长度。
(3)向量的矢量积：两个向量的矢量积的大小等于这两个向量张成的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所在平面。
空间向量知识点归纳总结
适用标准文案空间向量知识点概括总结知识重点。
1.空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量。
注：（ 1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（ 2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2.空间向量的运算。
定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘运算以下（如图）。
OB OA AB a b ; BA OA OB a b ; OP a(R)运算律：⑴加法互换律： a b b a⑵加法联合律：⑶数乘分派律：3.共线向量。
(a b ) c a (b c) (a b )a b（1）假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于b，记作a // b。
当我们说向量 a 、b共线（或 a //b）时，表示 a 、b的有向线段所在的直线可能是同向来线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间随意两个向量a、b（b≠0），a // b存在实数λ，使a＝λb。
4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间随意的两向量都是共面的。
（ 2）共面向量定理：假如两个向量a, b 不共线，p与向量 a,b 共面的条件是存在实数x, y 使p xa yb 。
5. 空间向量基本定理：假如三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一直量p，存在一个独一的有序实数组 x, y, z ，使p xa yb zc。
若三向量 ab,,c不共面，我们把 { a, b, c} 叫做空间的一个基底，a,b , c 叫做基向量，空间随意三个不共面的向量都能够组成空间的一个基底。
推论：设 O , A, B,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在独一的三个有序实数x, y, z ，使OP xOA yOB zOC 。
6. 空间向量的直角坐标系：（ 1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz 中，对空间任一点 A ，存在独一的有序实数组( x, y, z) ，使OA xi yi zk ，有序实数组 ( x, y, z) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，记作 A(x, y,z) ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标。
高中向量空间知识点归纳总结
高中向量空间知识点归纳总结1. 向量的定义与基本性质- 向量的概念：向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
- 向量的表示：可以使用坐标表示，如二维向量可以表示为 (x, y)。
- 零向量：所有分量为0的向量，用0表示。
- 向量的相等：两个向量的对应分量相等。
- 向量的加法：向量的相加结果与分量的相加结果相同，即 (x1 + x2, y1 + y2)。
- 向量的数乘：向量的每个分量都乘以相同的数，即 k(x, y) = (kx, ky)。
2. 向量的数量积与向量的夹角- 向量的数量积：向量A和向量B的数量积，记作A·B或AB，定义为|A||B|cosθ，其中θ为A和B的夹角。
- 数量积的性质：A·B = B·A，A·A = |A|^2，A·(B + C) = A·B + A·C。
- 向量的夹角：两个非零向量A和B的夹角θ满足 -π ≤ θ ≤ π。
- 向量的垂直与平行：若A·B = 0，则A和B垂直；若A·B ≠ 0，则A和B平行。
3. 向量的叉积与向量的夹角- 向量的叉积：向量A和向量B的叉积，记作A×B，表示一个新的向量，其方向垂直于A和B所在的平面。
- 叉积的模长：|A×B| = |A||B|sinθ，其中θ为A和B的夹角。
- 叉积的性质：A×B = -B×A，A×(kB) = k(A×B)，A×B = 0当且仅当A和B平行。
- 向量的混合积：对于三个向量A、B和C，定义A·(B×C)，表示一个数，用A、B、C所张成的平行六面体的有向体积。
4. 平面向量的运算与表示- 平面向量的加法：将两个向量的对应分量相加即可。
- 平面向量的减法：将两个向量的对应分量相减。
- 平面向量的数乘：将一个向量的每个分量都乘以相同的数即可。
空间向量相关知识点总结
空间向量相关知识点总结一、空间向量的定义和基本概念1. 空间向量的定义空间向量是指在三维空间中的一种特殊的向量，它可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。
空间向量具有大小和方向，是空间中的一个几何概念。
2. 空间向量的基本概念（1）长度：空间向量的长度也称为模，它表示向量的大小，一般用|AB|表示，其中A和B分别表示向量的起点和终点。
（2）方向：空间向量的方向是指向量的指向，可以用一组坐标表示，也可以用夹角表示。
（3）共线：如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是共线的。
（4）共面：如果三个向量在同一个平面内，则它们是共面的。
二、空间向量的运算1. 空间向量的加减法（1）几何法：向量的加法就是将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点相连，新的向量就是两个向量的和向量；向量的减法就是将减数的起点和被减数的终点相接，然后将减数的终点和被减数的起点相连，新的向量就是两个向量的差向量。
（2）坐标法：向量的加减法也可以用坐标表示，对应坐标相加或者相减即可。
2. 数乘向量的数乘即将向量与一个常数相乘，结果是一个新的向量，其大小是原向量的模与常数的乘积，方向与原向量的方向一致（如果是负数，则方向相反）。
3. 空间向量的数量积和向量积（1）数量积：也称为点积或内积，即将两个向量的对应坐标相乘再相加，结果是一个标量。
（2）向量积：也称为叉积或外积，即将两个向量的叉乘结果是一个新的向量，其大小是原向量所构成的平行四边形的面积，方向垂直于原向量所构成的平面。
三、空间向量的几何应用1. 向量的方向余弦（1）定义：设向量a=(x, y, z)，则a的方向余弦分别为l=x/|a|，m=y/|a|，n=z/|a|，它们互为方向余弦。
（2）性质：方向余弦l、m、n满足l²+m²+n²=1。
（3）应用：方向余弦可用于求向量的夹角、判断向量的共线性等。
2. 向量的投影（1）定义：设向量a和b不共线，a在b上的投影为向量a在b方向上的分量，记为prj_b a。
空间向量几何知识点总结
空间向量几何知识点总结1. 空间向量的定义与表示空间向量是指具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
在三维空间中，一个向量可以表示为\[ \mathbf{a} = (x, y, z) \]，其中(x, y, z)称为向量的坐标，表示向量的末端在三维坐标系中的位置。
向量的表示还可以用分量表示法和向量的坐标表示法。
在分量表示法下，一个向量可以表示为\[ \mathbf{a} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]，其中\( \mathbf{i},\mathbf{j}, \mathbf{k} \)分别是三维空间中的单位向量。
这样，一般来说，一个向量的分量有蓝量、红量、绿量等三个分量构成。
2. 空间向量的运算空间向量有加法、数量乘法和数量除法的运算。
加法：设有两个向量\[ \mathbf{a} = (x_1, y_1, z_1) \]，\[ \mathbf{b} = (x_2, y_2, z_2) \]，则这两个向量的和为\[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) \]。
数量乘法：设有一个向量\[ \mathbf{a} = (x, y, z) \]和一个实数\( k \)，则数量乘积为\[ k\mathbf{a} = (kx, ky, kz) \]。
数量除法：设有一个向量\[ \mathbf{a} = (x, y, z) \]和一个实数\( k \)，\( k \ne 0 \)，则数量除积为\[ \frac{1}{k}\mathbf{a} = \left( \frac{x}{k}, \frac{y}{k}, \frac{z}{k} \right) \]。
3. 空间向量的性质空间向量有以下几个重要的性质：(1) 零向量：零向量的坐标为(0, 0, 0)，它是唯一的。
对任意一个向量\( \mathbf{a} = (x, y, z) \)有\[ \mathbf{a} + \mathbf{0} = \mathbf{a} \]。
高考空间向量知识点
高考空间向量知识点空间向量是高考数学中的重要内容之一。
本文将围绕空间向量的定义、向量的共线性与共面性、向量的线性运算以及向量的数量积等知识点展开详细论述。
一、空间向量的定义空间向量是具有大小和方向的有向线段，可以表示为A→。
空间中的向量通常用坐标表示，比如向量A可以表示为(A₀, A₁, A₂)，其中A₀、A₁、A₂分别表示向量A在x、y、z轴上的投影。
二、向量的共线性与共面性1. 共线性空间中的三个向量A→、B→、C→共线的条件是存在实数k₁、k₂，使得A→=k₁B→+k₂C→成立。
此时，向量A、B、C共线。
2. 共面性空间中的四个向量A→、B→、C→、D→共面的条件是存在实数k₁、k₂、k₃，使得A→=k₁B→+k₂C→+k₃D→成立。
此时，向量A、B、C、D共面。
三、向量的线性运算1. 向量的加法设有向量A→(A₀, A₁, A₂)和B→(B₀, B₁, B₂)，则A→+B→=(A₀+B₀, A₁+B₁, A₂+B₂)。
2. 向量的减法设有向量A→(A₀, A₁, A₂)和B→(B₀, B₁, B₂)，则A→-B→=(A₀-B₀, A₁-B₁, A₂-B₂)。
3. 向量的数乘设有向量A→(A₀, A₁, A₂)和实数k，则kA→=(kA₀, kA₁, kA₂)。
四、向量的数量积1. 定义向量A→(A₀, A₁, A₂)和向量B→(B₀, B₁, B₂)的数量积记为A→·B→=A₀B₀+A₁B₁+A₂B₂。
数量积是一种标量。
2. 性质(1) A→·B→=B→·A→；即数量积的交换律成立。
(2) A→·(B→+C→)=A→·B→+A→·C→；即数量积的分配律成立。
(3) k(A→·B→)=(kA→)·B→=A→·(kB→)；即数量积的数乘性质成立。
五、空间向量的应用1. 三角关系的解题空间向量可以用于解决三角关系的几何问题。
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空间向量知识点归纳总结知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示。
（3）空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。
②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+（5）夹角公式：21cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+（6）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==，或,A B d = 7. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥。
（2）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。
（3）向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>。
（4）空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>。
②0a b a b ⊥⇔⋅=。
③2||a a a =⋅。
（5）空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅。
②a b b a ⋅=⋅（交换律）。
③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）。
（6）：空间向量的坐标运算：1.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；(3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++；2.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.3、设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则a b ⇔(0)a b b λ=≠； a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.4.夹角公式 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则2cos ,a b a <>=.5．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x ⋅=⋅+.6．平面外一点p 到平面α的距离已知AB 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，A 到平面α的距离为：||||AB n d n •=【典型例题】例1. 已知平行六面体ABCD －D C B A ''''，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。
⑴AB BC +； ⑵AB AD AA '++；BAαn⑶12AB AD CC '++； ⑷1()3AB AD AA '++。
例2. 对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式：OP xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？例3. 已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG 。
例 4. 如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的余弦值。
说明：由图形知向量的夹角易出错，如,135OA AC <>=易错写成,45OA AC <>=，切记！例5. 长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11AC 与11B D 的交点，F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求长方体的高1BB 。
空间向量与立体几何练习题一、选择题1.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -在空间直角坐标系中，若,E F 分别是1,BC DD 中点，则EF 的坐标为（ ）A.(1,2,1)-B.(1,2,1)--yxzFE C 1D 1C D(O)B 1A 1ABOA B CC.(1,2,1)--D.(1,2,1)--2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若PA a =，PB b =，PC c =，则BE =（ ）A.111222a b c -+B.111222a b c -- C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 二、填空题4.若点(1,2,3)A ,(3,2,7)B -,且0AC BC +=,则点C 的坐标为______.5．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与平面11A BC 夹角的余弦值为_____.三、解答题1、在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中, AB 1与底面ABCD 所成的角为4π， （1）求证11AB C BD ⊥面（2）求二面角1B AC B --的正切值图图2．在三棱锥P ABC -中，3AB AC ==4AP =,PA ABC ⊥面,90BAC ∠=︒, D 是PA 中点,点E 在BC 上,且2BE CE =,(1)求证：AC BD ⊥；(2)求直线DE 与PC 夹角θ的余弦值；(3)求点A 到平面BDE 的距离d 的值.3．在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．4、已知棱长为1的正方体A C 1，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 的中点．（1）求证：E 、F 、D 、B 共面；（2）求点A 1到平面的B DEF 的距离；（3）求直线A 1D 与平面B DEF 所成的角．DAPE5、已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为棱AB 的中点，求： （Ⅰ）D 1E 与平面BC 1D 所成角的大小；（Ⅱ）二面角D －BC 1－C 的大小；【模拟试题】1. 已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++； （2）1()2AB BD BC ++；（3）1()2AG AB AC -+。
2. 已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量。