向量知识点归纳与常见题型总结
根据向量知识点总结及题型归纳
根据向量知识点总结及题型归纳一、向量的基本概念向量是由大小和方向确定的物理量，用箭头表示。
向量有两个重要特征：模和方向，用 |v| 和→v 表示。
A、向量的模：向量的模表示向量的大小或长度，用数值表示。
B、向量的方向：向量的方向表示从起点指向终点的直线方向，一般用角度或方向余弦表示。
二、向量的加减法A、向量的加法：向量相加按照平行四边形法则进行，首尾相接，和向量的起点为第一个向量的起点，终点为最后一个向量的终点。
即 A + B = C，表示从向量 A 的起点到向量 B 的终点的向量 C。
B、向量的减法：向量相减等于将减去的向量的方向反向，然后与要减的向量相加。
即 A - B = A + (-B)，表示由向量 A 的起点到向量 B 的终点的负向量。
三、向量的数量积和向量积A、向量的数量积：向量的数量积是两个向量的模和它们的夹角的余弦的乘积。
记作A·B = |A||B|cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示两个向量的模，θ表示两个向量的夹角。
B、向量的向量积：向量的向量积是两个向量的模和它们的夹角的正弦的乘积。
记作A×B = |A||B|sinθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示两个向量的模，θ表示两个向量的夹角。
四、向量的题型归纳1、向量的加减法题：根据给定的向量，进行向量的加法或减法运算。
2、向量的数量积题：根据给定的向量，计算向量的数量积及其性质。
3、求模问题：根据已知的向量的模和方向，求解未知向量的模。
4、夹角问题：根据已知的向量和夹角，计算向量的数量积或向量的向量积。
5、平行四边形问题：根据已知的向量和平行四边形的性质，判断向量的关系。
6、垂直问题：根据已知的向量和垂直性质，判断向量的关系。
7、三角形面积问题：根据已知的向量，计算三角形的面积。
8、平面问题：根据已知的向量和平面的性质，判断向量的关系。
以上是根据向量的基本概念、加减法、数量积和向量积等知识点总结的，包括了常见的向量题型归纳。
向量知识点及题型总结
向量知识点及题型总结一、向量的定义和性质1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
2. 向量的性质：- 向量的模长：向量的大小，用 ||a|| 表示，是向量的长度。
- 向量的方向：指向的方向，可以用夹角来表示。
- 向量的相等：如果两个向量的模长相等并且方向相同，那么这两个向量是相等的。
- 零向量：模长为0的向量，表示为0。
二、向量的表示及运算1. 向量的表示方式：- 平面向量：即二维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2)。
- 空间向量：即三维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2, a3)。
2. 向量的基本运算：- 向量的加法：向量相加就是对应分量相加；例如 a + b = (a1 + b1, a2 + b2)。
- 向量的减法：向量相减就是对应分量相减；例如 a - b = (a1 - b1, a2 - b2)。
- 向量的数量乘法：向量乘以一个数，就是将向量每个分量都乘以这个数；例如 k * a = (k * a1, k * a2)。
- 向量的点乘：向量的点乘又称数量积，是两个向量对应分量相乘再相加的运算；例如 a·b = a1*b1 + a2*b2。
- 向量的叉乘：向量的叉乘又称向量积，只存在于三维空间中，结果是垂直于原来两个向量的新向量；例如 a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
三、向量的应用1. 向量的几何意义- 向量的加法和减法可以表示平移和反向平移。
- 向量的数量积可以表示两个向量的夹角和投影。
- 向量的叉乘可以表示平行四边形的面积和法向量。
2. 向量的物理意义- 位移向量：表示物体的位移和移动方向。
- 力向量：表示物体受到的力和力的方向。
- 速度向量：表示物体的速度和运动方向。
- 加速度向量：表示物体的加速度和加速方向。
四、向量的题型1. 向量的基本运算题型- 求向量的模长和方向。
向量题型知识点总结归纳
向量题型知识点总结归纳一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
在直角坐标系中，向量通常表示为一个有序数对(a, b)，称为向量的坐标，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y 轴上的投影。
2. 向量的表示向量通常用字母加上箭头来表示，如→AB。
在数学中，向量常用字母加上上方的横线来表示，如a。
若向量a在平面直角坐标系中的终点坐标为(x, y)，则向量a可记作a = (x, y)。
3. 向量的模向量的模是表示向量大小的量，通常用两点间的距离来表示。
在直角坐标系中，向量a = (a1a1) 的模记作|a| = √(a1^2 + a1^2)。
4. 向量的方向向量的方向通常用夹角来表示，夹角是指向量与x轴正方向之间的角，通常用θ来表示。
在直角坐标系中，向量的方向可由tan θ = y/x来表示。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
在直角坐标系中，向量的加法通常是分别将两个向量的对应坐标相加，例如a + a = (a1 + a2，a1 + a2)。
2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
在直角坐标系中，向量的减法可以表示为a - a = (a1 - a2, a1 - a2)。
3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，表示为a·a（读作a点b），定义为a·a = |a| |a| cos a = aaaa + aaaa，其中a是a和b之间的夹角。
4. 向量的矢量积向量的矢量积又称为叉积，表示为a×a（读作a叉b），定义为a×a = |a| |a| sin a n，其中n是一个垂直于a和b的单位向量。
三、向量的应用1. 向量在物理中的应用向量在物理学中有广泛的应用，例如速度、加速度、力等物理量都可以用向量来表示。
通过向量的运算，可以方便地计算物理问题中涉及到的各种力和速度等物理量。
高中必修四向量知识点总结及高考题型总结
1 向量的知识点与高考应用及题型融合一,向量重要结论、及基础知识点公式总结(1)、向量的数量积定义:||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=, 22||a a aa ?==(2)、向量夹角公式:a 与b 的夹角为θ,则cos ||||a b a b θ?= (3)、向量共线的充要条件:b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈,使b a λ=。
(4)、两向量平行的充要条件:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -=(5)、两向量垂直的充要条件:向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y +=(6)、向量不等式:||||||a b a b +≥+,||||||a b a b ≥?(7)、向量的坐标运算:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =,则a b ?=1212x x y y +(8)、向量的投影:︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 (9)、向量:既有大小又有方向的量。
向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。
相等向量:长度相等且方向相同的向量。
(10)、零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a =0 ?|a |=0由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别)(11)、单位向量:模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量?|0a |=1(12)、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量注:解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ,要会求出直线的斜率;(2)给出OB OA +与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; (3)给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点;(4)给出()BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; (5)给出以下情形之一:①//;②存在实数,AB AC λλ=使;③若存在实数,,1,OC OA OBαβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.(6) 给出λλ++=1OB OA ,等于已知P 是的定比分点,λ为定比,即λ= (7) 给出0=?MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m MB MA ,等于已知AMB∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角。
向量的知识点归纳总结
向量的知识点归纳总结一、向量的定义和表示向量是由大小和方向组成的量，可以用箭头表示。
在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对(x,y)，也可以用矢量形式表示为a=<x,y>。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组(x,y,z)，或者用矢量形式表示为a=<x,y,z>。
二、向量的基本运算1. 向量加法：两个向量相加得到一个新的向量，其大小等于两个向量大小之和，方向与第一个向量和第二个向量相同。
2. 向量减法：两个向量相减得到一个新的向量，其大小等于两个向量大小之差，方向与第一个向量和第二个向量相反。
3. 数乘：将一个数乘以一个向量得到一个新的向量，其大小为原来的大小乘以这个数，方向不变。
4. 点积：两个同维度的向量进行点积运算得到一个标量（数量），公式为a·b=|a||b|cosθ。
5. 叉积：只有三维空间中才有叉积运算。
两个同维度的向量进行叉积运算得到一个新的垂直于这两个原始向 0 0 向的向 0 0 量，公式为a×b=|a||b|sinθn。
三、向量的线性相关和线性无关若存在一组不全为零的实数k1,k2,...,kn，使得k1a1+k2a2+...+knan=0，则向量组{a1,a2,...,an}线性相关；否则，向量组{a1,a2,...,an}线性无关。
其中，n表示向量的个数。
四、向量的投影和正交分解1. 向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是这个向量在另一个向量上的投影长度与另一个向量方向相同的新向 0 0 向。
公式为projba=(a·b/|b|^2)b。
2. 正交分解：将一个向量分解成与另一个向量正交和平行于另一个向量两部分之和。
公式为a=a∥+a⊥，其中a∥=projba，a⊥=a−projba。
五、平面几何中的应用1. 向量共线：若两个非零向量共线，则它们可以表示成相等或相反方向的倍数。
2. 向量垂直：若两个非零向量垂直，则它们点积等于零。
向量题型知识点总结大全
向量题型知识点总结大全一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是具有大小和方向的几何量，通常用有向线段表示。
在数学上，向量通常用粗体字母或者用字母上加箭头来表示，如a或者→a。
2. 向量的表示方法向量有多种表示方法，包括（a1, a2, a3）、a→、|a|等形式。
其中（a1, a2, a3）是向量在空间直角坐标系中的坐标表示，a→表示向量的有向线段，|a|表示向量的模长。
3. 向量的运算向量有加法、数乘等运算法则，其基本概念如下：（1）向量的加法：若a→=(x1, y1)、b→=(x2, y2)，则a→+b→=(x1+x2, y1+y2)。
（2）数乘：若k为实数，则ka→=(kx, ky)。
4. 向量的特点向量除了具有大小和方向外，还有以下特点：（1）平行向量：具有相同或相反方向的向量称为平行向量。
（2）共线向量：所有在同一条直线上的向量称为共线向量。
（3）相等向量：模长相等且方向相同的向量称为相等向量。
二、线性相关与线性无关1. 线性相关若存在不全为0的实数k1、k2，使得k1a→+k2b→=0，其中a→、b→为非零向量，则称a→、b→线性相关。
2. 线性无关若对于任意的实数k1、k2，只有k1=k2=0时，才有k1a→+k2b→=0，则称a→、b→线性无关。
3. 线性相关与线性无关的判定线性相关与线性无关的判定方法有以下几种：（1）行列式判定法设a→、b→线性相关，当且仅当行列式|a→, b→|=0。
（2）向量加法判定法设a→、b→线性相关，当且仅当a→+b→、a→-b→、2a→-3b→都线性相关。
三、向量的数量积1. 定义向量数量积，也称为内积或点积，是指两个向量的数量相乘后相加的运算，通常用a→·b→或(a,b)表示。
2. 运算法则设a→=(x1, y1)、b→=(x2, y2)，则a→·b→=x1x2+y1y2。
3. 几何意义向量的数量积有很强的几何意义，具体表现在：（1）夹角公式：cosθ=a→·b→/|a||b|。
向量题型知识点总结
向量题型知识点总结一、向量的定义向量是一个由大小和方向确定的量，可以表示为有向线段。
常用大写拉丁字母表示向量，例如A、B、C等。
在直角坐标系中，一个向量可以表示为一个由两个坐标表示的有序对，例如(Ax, Ay)。
向量的定义有很多种表达方式，其中比较常见的有以下几种：1. 平行向量的定义：如果两个向量的方向相同或者相反，且大小相等，我们称它们为平行向量。
2. 零向量的定义：大小为0的向量称为零向量。
3. 自由向量的定义：不受限制的向量称为自由向量，即向量在空间中可以以任意点作为起点。
4. 共线向量的定义：如果存在一个非零向量a和一个实数k，使得另一个向量b=ka，则向量a和向量b共线。
5. 等量向量的定义：如果两个向量的大小相等，但方向可能不同，则这两个向量称为等量向量。
二、向量的运算1. 向量的加法：当两个向量相加时，可以将它们的起点放到一起，将终点放到一起，然后连接起点和终点，从而得到一个新的向量。
2. 向量的数乘：向量a与实数k的乘积表示在向量a的方向上，长度为|k|倍的向量。
当k>0时，方向不变；当k<0时，方向相反。
3. 向量的减法：向量的减法可以转化为向量的加法，即a-b=a+(-b)。
其中，-b为向量b的反向量。
4. 向量的数量积：数量积又称为内积，是两个向量的对应分量乘积的和，其中对应分量是指同一个位置上的两个分量。
5. 向量的叉积：叉积又称为外积，是两个向量相乘得到的一个新向量，在物理学中常用于求解力矩的方向。
三、向量的线性相关性1. 线性相关的定义：如果存在一组不全为0的实数，使得向量的线性组合等于零向量，我们称这组向量是线性相关的。
2. 线性无关的定义：如果一组向量不是线性相关的，这组向量就是线性无关的。
3. 线性相关与线性无关的判定：通过列向量组的秩和行列式的值来判定。
四、向量的坐标表示在二维直角坐标系中，一个向量可以表示为一个有序对(a, b)，其中a和b分别表示该向量在x轴和y轴上的分量。
向量章节知识点总结
向量章节知识点总结1. 向量的基本概念1.1 向量的定义向量是表示物理量的一种数学工具，它有大小和方向两个基本特征。
常用符号表示向量，例如a→。
向量常用箭头表示法表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
1.2 向量的表示向量常用坐标表示法表示，例如a→=(a1,a2,a3)。
向量也可以用分量和方向角表示，例如a→=(a cos a,a cos a,a cos a)。
不同的表示方法都可以用来描述向量的大小和方向，选择合适的表示方法便于计算和分析。
1.3 向量的相等两个向量相等的条件是它们的大小和方向都相同，即a→=a→。
向量相等可以用坐标或分量表示法进行判断。
2. 向量的性质2.1 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a→+a→=a→+a→，(a→+a→)+a→=a→+(a→+a→)。
向量的加法可以用三角形法则或平行四边形法则进行图解，方便进行向量的几何解释。
2.2 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是向量的一种运算。
两个向量的数量积定义为它们的模的乘积与它们的夹角的余弦值，即a→⋅a→=aa cos a。
数量积有交换律和分配律，是一个标量。
2.3 向量的矢量积向量的矢量积，也称为叉积或外积，是向量的一种运算。
两个向量的矢量积定义为它们的模的乘积与它们的夹角的正弦值，即a→×a→=aa sin aa→。
矢量积有右手定则和反交换律，是一个向量。
3. 向量的运算3.1 向量的数乘向量的数乘是向量与标量的乘法，即aa→。
向量的数乘改变了向量的大小，但不改变它的方向。
向量的数乘有分配律和结合律。
3.2 向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的角度，可以通过数量积的定义求解。
两个向量的夹角满足余弦定理，即a→⋅a→=aa cos a。
根据夹角的大小，可以判断向量的方向和位置关系。
4. 向量的应用4.1 向量在几何中的应用向量在几何中有广泛的应用，例如描述线段、平面、直线等几何图形，求解距离、角度、面积等几何性质，进行向量方程的几何解释等。
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向量知识点归纳与常见题型总结高三理科数学组全体成员 一、向量知识点归纳1．与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a ＞b ”错了，而|a |＞|b |才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（y x ,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||AB AB →→表示与AB →同向的单位向量。
例如：向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB ACOP OA AB ACλλ=++⋅∈+∞则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。
(变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形 (06陕西)⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.（7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
) 2．与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则）①当两个向量a 和b 不共线时，+a b 的方向与a 、b 都不相同，且|+a b |＜|a |＋|b |； ②当两个向量a 和b 共线且同向时，+a b 、a 、b 的方向都相同，且=+||b a ||||b a +； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，b a +与 a 方向相同 ，且|b a +|=|a |-|b |； 若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |.⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。
AC BC AB =+;CB AC AB =-例2：P 是三角形ABC 内任一点，若,CB PA PB R λλ→→→=+∈，则P 一定在（ ）A 、ABC ∆内部B 、AC 边所在的直线上 C 、AB 边上D 、BC 边上 例3、若0·2=AB BC AB ，则△ABC 是：△ B.锐角△ C.钝角△ D.等腰Rt △≤≤,例4、已知向量)1,3(),sin ,(cos -==b a θθ，求|2|b a -的最大值。
分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。
解：原式==+-|)1sin 2,3cos 2(|θθ22)1sin 2()3cos 2(++-θθ=)3sin(88πθ-+。
当且仅当)(652Z k k ∈+=ππθ时，|2|b a -有最大值.4 评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式“||||||||||||b a b a b a +≤±≤-”就显得简洁明快。
原式≤|||2|b a +=4212||||2=+⨯=+b a ，但要注意等号成立的条件（向量同向）。
⑶围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量.如，+AB +BC 0=CA ,（在△ABC 中） +++CD BC AB 0=DA .(□ABCD 中)⑷判定两向量共线的注意事项：共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb ．如果两个非零向量a ，b ，使a =λb （λ∈R ），那么a ∥b ； 反之，如a ∥b ，且b ≠0，那么a =λb .这里在“反之”中，没有指出a 是非零向量，其原因为a =0时，与λb 的方向规定为平行. ⑸数量积的8个重要性质①两向量的夹角为0≤θ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ②设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b 的夹角，则)1||.(cos ||=⋅=⋅=⋅e a e a a e θ③⇔⊥b a 0=⋅b a （∵θ=90°，)0cos =θ④在实数运算中ab =0a ⇔=0或b=0.而在向量运算中b a ⋅=0a ⇔=0或b =0是错误的，故0=a 或0=b 是b a ⋅=0的充分而不必要条件. ⑤当a 与b 同向时b a ⋅=||||b a ⋅(θ=0,cos θ=1);当a 与b 反向时，b a ⋅=-||||b a ⋅(θ=π,cos θ=-1)，即a ∥b 的另一个充要条件是||||||b a b a ⋅=⋅.当θ为锐角时，a •b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；例 5.如已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43λ<-或0λ>且13λ≠）； 例6、已知i ,j 为相互垂直的单位向量，j i a 2-=，j i b λ+=。
且a 与b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围。
分析：由数量积的定义易得“><b a ,⇒0>⋅b a ”，但要注意问题的等价性。
解：由a 与b 的夹角为锐角，得.021>-=⋅λb a 有.21<λ 而当),0(>=t b t a 即两向量同向共线时，有⎩⎨⎧-==21λt t 得.2-=λ此时其夹角不为锐角。
故∈λ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋃-∞-21,22,.评析：特别提醒的是：><b a ,是锐角与0>⋅b a 不等价；同样><b a ,是钝角与0<⋅b a 不等价。
极易疏忽特例“共线”。
特殊情况有2a a a =⋅=2||a 。
或||a 22y x +.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(1x ,1y ),(2x ,2y ),则||a =221221)()(y y x x -+-⑥||||||b a b a ⋅≤⋅。
（因1cos ≤θ） ⑦数量积不适合乘法结合律.如).()(c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅（因为c b a ⋅⋅)(与c 共线，而)(c b a ⋅⋅与a 共线） ⑧数量积的消去律不成立.若a 、b 、c 是非零向量且c b c a ⋅=⋅并不能得到b a =这是因为向量不能作除数，即c是无意义的.(6)向量b 在a 方向上的投影︱b ︱cos θb a(7) →1e 和→2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→→→+=2211e e a λλ(21,λλ唯一)特别：. OP ＝12OA OB λλ+则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件. 注意：起点相同，系数和是1。
基底一定不共线 例7、已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为n S ，若11BO a 2-＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200＝（ ）A ．50 B. 51 C.100例8、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→−OC −→−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（直线AB ）例9、已知点A,,B,C 的坐标分别是)2,2(),2,5(),1,3(tt -.若存在实数λ,使OB OA OC )1(λλ-+=,则t 的值是:A. 0 B. 1 C. 0或1 D.不确定例10下列条件中，能确定三点P B A ,,不共线．．．的是： A ．MB MA MP ︒+︒=20cos 20sin 22B ．MB MA MP ︒-︒=20tan 20sec 22C ．MB MA MP ︒+︒=70cos 20sin 22D ．MB MA MP ︒-︒=31cot 31csc 22分析：本题应知：“P B A ,,共线，等价于存在,,R ∈μλ使MB MA MP μλ+=且1=+μλ”。
(8)①在ABC ∆中，1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心；12AB BC AD →→→+=则AD →过三角形的重心；例11、设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。
如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（D ）（06河南高考） A ．1230b b b -++= B 1230b b b -+= C ．1230b b b +-= D ．1230b b b ++= ②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；③向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(BAC ∠的角分线所在直线)；④||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心；(选) ⑤S ⊿AOB ＝A B B A y x y x -21;例12、若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为____（答：直角三角形）；例13、若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为___（答：2）； 例14、若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则内角C 为____（答：120）； (9)、 P 分21P P 的比为λ,则P P 1=λ2P P ,λ＞0内分;λ＜0且λ≠-1外分.OP ＝λλ++121OP OP ;若λ＝1 则OP ＝21(1OP +2OP );设P(x,y),P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x ;中点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x 重心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.3y y y y ,3x x x x 321321说明：特别注意各点的顺序，分子是起点至分点，分母是分点至终点，不能改变顺序和 分子分母的位置。