高中平面向量知识点详细归纳总结附带练习

向量的概念

一、高考要求：

理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.

二、知识要点：

1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB u u u r ,注意:始点一定要写在前面,已知AB u u u r ,线段AB 的长度叫做有向线段AB u u u r 的长(或模),AB u u u r 的长度记作AB uuu r ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.

2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB u u u r 表示向量时,我们就说向量AB u u u r .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a r 、b r 、c r 、…等.与向量有关的概念有: (1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a r 和b r 同向且等长,即a r 和b r 相等,记作a r =b r . (2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0r .零向量的方向不确定. (3) 位置向量:任给一定点O 和向量a r ,过点O 作有向线段OA a =u u u r r ,则点A 相对于点O 的位置被向量a r 所唯一确定,这时向量a r 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量. (4) 相反向量:与向量a r 等长且方向相反的向量叫做向量a r 的相反向量,记作a -r .显然, ()0a a +-=r r r . (5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e r .与向量a r 同方向的单位向量通常记作0a u u r ,容易看出:0a a a =r u u r r │ │

. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a r 平行于向量b r ,记作a r ∥b r .零向量与任一个向量共线(平行).

三、典型例题： 例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =u u u r u u u r 且

AB BC =u u u r u u u r │ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：

1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.

2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.

五、基础知识训练：

（一）选择题：

1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA uu u r . 正确的个数是( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC u u u r u u u r u u u r 是( )

A.有相同起点的向量

B.平行向量

C.模相等的向量

D.相等向量 3. a b =r r 的充要条件是( )

A.a b =r r │ │ │ │

B.a b =r r │ │ │ │ 且a b r r ∥[]l

C.a b r r ∥

D.a b =r r │ │ │ │ 且a r 与b r 同向 4. AA BB ''=u u u r u u u r 是四边形ABB A ''是平行四边形的( )

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( ) A.AD BC =u u u r u u u r B.AD BC u u u r u u u r ∥且AB CD u u u r u u u r ∥ C.AB DC =u u u r u u u r 且AB AD =u u u r u u u r │ │ │ │ D.AB DC =u u u r u u u r 且AD BC =u u u r u u u r

6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( ) A.零向量没有方向 B.零向量的长度为0r

C.零向量与任一向量平行

D.零向量的方向任意 7. 设与已知向量a r 等长且方向相反的向量为b r ,则它们的和向量a b +r r 等于( ) A.0 B.0r C.2a r D.2b r

（二）填空题： 8. 下列说法中: (1)AB u u u r 与BA uu u r 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。错误的说法有.

9. 下列命题中: (1)单位向量都相等 (2)单位向量都共线 (3)共线的单位向量必相等

(4)与一非零向量共线的单位向量有且只有一个.中正确的命题的个数有个. 10. 下列命题中: (1)若a r ∣∣=0,则a r =0. (2)若a b r r ∣∣=∣∣,则a b =r r 或a b =-r r .(3)若a r 与b r 是平行向量,则

a b r r ∣∣=∣∣. (4)若0a =r r ,则0a -=r r .其中正确的命题是(只填序号). （三）解答题：

11. 如图,四边形ABCD 于ABDE 都是平行四边形. (1) 若AE a =u u u r r ,求DB u u u r ; (2) 若CE b =u u u r r ,求AB u u u r ; (3) 写出和AB u u u r 相等的所有向量; (4) 写出和AB u u u r 共线的所有向量.

向量的加法与减法运算

一、高考要求：

掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则.掌握向量加法的交换律与结合律.

二、知识要点： 1. 已知向量a r 、b r ,在平面上任取一点A,作AB a =u u u r r ,BC b =u u u r r ,作向量AC u u u r ,则向量AC u u u r 叫做向量a r 与b r 的和(或和向量),记作a r +b r ,即a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r .这种求两个

向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则. 2. 已知向量a r 、b r ,在平面上任取一点A,作AB a =u u u r r ,AD b =u u u r r ,如果A 、B 、D 不共线,

则以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量AC u u u r =a r +b r =AB u u u r +AD u u u r .这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四

边形法则. 3. 已知向量a r 、b r ,在平面上任取一点O,作OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r ,则b r +BA uu u r =a r ,向量BA uu u r 叫做向量a r 与b r 的差,并记作a r -b r ,即BA uu u r =a r b OA OB -=-r u u u r u u u r .由此推知:

(1) 如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点

到被减向量的终点的向量;

(2) 一个向量BA uu u r 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA uu u r 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB uuu r ;

(3) 一个向量减去另一个向量,等于加上这个向量的相反向量. 4. 向量加法满足如下运算律: (1)a b b a +=+r r r r ; (2)()()a b c a b c ++=++r r r r r r .

三、典型例题： 例1:已知任意两个向量a r 、b r ,不等式a b +r r │ │ ≤a b +r r │ │ │ │ 是否正确?为什么? 例2:作图验证:()a b a b -+=--r r r r .

四、归纳小结： 1. 向量的加法有三角形法则(AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r )或平行四边形法则(AB u u u r +AD u u u r =AC u u u r ),向量的减法法则(AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r ).

2. 向量的加减法完全不同于数量的加减法.向量加法的三角形法则的特点是,各个加向量的首尾相接,和向量是首指向尾.向量减法的三角形法则的特点是,减向量和被减向量同起点,差向量是由减向量指向被减向量.

3. 任一向量等于它的终点向量减去它的起点向量(相对于一个基点).

五、基础知识训练：

（一）选择题： 1. 化简AB AC BD DC -++u u u r u u u r u u u r u u u r 的结果为( ) A.AC u u u r B.AD u u u r C.0r D.0 2. 在△ABC 中,,BC a CA b ==u u u r r u u u r r ,则AB u u u r 等于( ) A.a b +r r B.()a b -+r r C.a b -r r D.b a -r r 3. 下列四式中不能化简为AD u u u r 的是( ) A.()AB CD BC ++u u u r u u u r u u u r B.()()AD MB BC CM +++u u u r u u u r u u u r u u u u r C.MB AD BM +-u u u r u u u r u u u u r D.OC OA CD -+u u u r u u u r u u u r

4. 如图,平行四边形ABCD 中,下列等式错误的是( ) A.AD AB BD =+u u u r u u u r u u u r B.AD AC CD =+u u u r u u u r u u u r C.AD AB BC CD =++u u u r u u u r u u u r u u u r D.AD DC CA =+u u u r u u u r u u u r

5. 下列命题中，错误的是( ) A.对任意两个向量a r 、b r ,都有a b ∣ +∣ r r ≤a b ∣ ∣ +∣ ∣ r r B.在△ABC 中,0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r C.已知向量AB u u u r ,对平面上任意一点O,都有AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r D.若三个非零向量a r 、b r 、c r 满足条件0a b c ++=r r r r ,则表示它们的有向线段一定能构成三角形

6．下列等式中，正确的个数是( ) ①0a a +=r r r ;②b a a b +=+r r r r ;③()a a --=r r ;④()0a a +-=r r r ;⑤()a b a b +-=-r r r r .

A.2

B.3

C.4

D.5

（二）填空题： 6. 在△ABC 中,AB CA +u u u r u u u r =,BC AC -u u u r u u u r =. 7. 化简:AB AC BD CD -+-u u u r u u u r u u u r u u u r =,01122330A A A A A A A A +++u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r =.

（三）解答题：

8. 若某人从点A 向东位移60m 到达点B,又从点B 向东偏北30o 方向位移50m 到达点C,再从点C 向北偏西60o 方向位移30m 到达点D,试作出点A 到点D 的位移图示.

数乘向量

一、高考要求：

掌握数乘向量的运算及其运算律.

二、知识要点： 1. 数乘向量的一般定义:实数λ和向量a r 的乘积是一个向量,记作a λr . 当0λ>时,a λr 与a r 同方向,a a λλr r ││ =│ ∣│ │ ; 当0λ<时,a λr 与a r 反方向,a a λλr r ││ =│ ∣│ │ ; 当0λ=或0a =r r 时,000a λ?=?=r r r . 2. 数乘向量满足以下运算律: (1)1a r =a r ,(-1)a r =a -r ; (2)()()a a λμλμ=r r ; (3)()a a a λμλμ+=+r r r ; (4)()a b a b λλλ+=+r r r r .

三、典型例题： 例1:化简: 111(2)(52)463a b a b b +--+r r r r r 例2:求向量x r :112()(3)42

x a b x c c -=-+-r r r r r r 四、归纳小结：

向量的加法、减法与倍积的综合运算,通常叫做向量的线性运算.

五、基础知识训练：

（一）选择题：

1. 下列关于数乘向量的运算律错误的一个是( ) A.()()a a λμλμ=r r B.()a a a λμλμ+=+r r r C.()a b a b λλλ+=+r r r r D.()a b a b λλ+=+r r r r

2. D,E,F 分别为△ABC 的边BC,CA,AB 上的中点,且,BC a CA b ==u u u r r u u u r r ,给出下列命题,其中正确命题的个数是() ①12AD a b =--u u u r r r ;②12BE a b =+u u u r r r ;③1122

CF a b =-+u u u r r r ;④0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r r . A.1 B.2 C.3 D.4 3. 已知AM 是△ABC 的BC 边上的中线,若,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ,则AM u u u u r 等于( )

A.1()2a b -r r

B.1()2b a -r r

C.1()2a b +r r

D.1()2a b -+r r 4. 设四边形ABCD 中,有12

DC AB =u u u r u u u r ,且AD BC =u u u r u u u r ∣∣∣∣,则这个四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形

（二）填空题： 5. 化简:2(34)3(23)a b c a b c -+-+-r r r r r r =. 6. 若向量x r 满足等式: 2()0x a x ++=r r r r ,则x r =. 7. 数乘向量a λr 的几何意义是.

（三）解答题：

8. 已知向量(也称矢量),a b r r ,求作向量122x a b =-r r r .

9. 已知a r 、b r 不平行,求实数x 、y 使向量等式3(10)(47)2xa y b y a xa +-=++r r r r 恒成立.

10. 任意四边形ABCD 中,E 是AD 的中点,F 是BC 的中点,求证:1()2

EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r .

平行向量和轴上向量的坐标运算

一、高考要求： a r b r

掌握向量平行的条件,理解平行向量基本定理和轴上向量的坐标及其运算.

二、知识要点： 1. 平行向量基本定理:如果向量0b ≠r r ,则a b r r ∥的充分必要条件是,存在唯一的实数λ,使a b λ=r r .该定理是验证两向量是否平行的标准. 2. 已知轴l ,取单位向量e r ,使e r 与l 同方向,对轴l 上任意向量a r ,一定存在唯一实数x,使a xe =r r .这里的x 叫做a r 在轴l 上的坐标(或数量),x 的绝对值等于a r 的长,当a r 与e r 同方向时,x 是正数,当a r 与e r 反方向时,x 是负数. (1) 设1a x e =r r ,2b x e =r r ,则①a b r r =当且仅当12x x =;②a b r r +=12()x x e +r .

这就是说,轴上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和. (2) 向量AB u u u r 的坐标通常用AB 表示,常把轴上向量运算转化为它们的坐标运算,得著名的沙尔公式:AB+BC=AC.

(3) 轴上向量的坐标运算:起点和终点在轴上的向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.即在轴x 上,若点A 的坐标为1x ,点B 的坐标为2x ,则AB=21x x -.可得到数轴上两点的距离公式:21AB x x -u u u r │ │ =.

三、典型例题： 例1:已知:MN 是△ABC 的中位线,求证:1,2MN BC MN BC =u u u u r u u u r u u u u r u u u r ∥. 例2:已知:13,3a e b e ==-r r r r ,试问向量a r 与b r 是否平行?并求a b r r │ │ │: │ . 例3:已知:A 、B 、C 、D 是轴l 上任意四点,求证:0AB BC CD DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r

四、归纳小结：

1. 平面向量基本定理给出了平行向量的另一等价的代换式,可以通过向量的运算解决几何中的平行问题.即判断两个向量平行的基本方法是,一个向量是否能写成另一向量的数乘形式.

2. 数轴上任一点P 相对于原点O 的位置向量OP uuu r 的坐标,就是点P 的坐标,它建立了点的坐标与向量坐标之间的联系.

五、基础知识训练：

（一）选择题： 1. 如果(,0)a mb m R b =∈≠r r r r ,那么a r 与b r 的关系一定是( )

A.相等

B.平行

C.平行且同向

D.平行且反向 2. 若3,5AB e CD e ==-u u u r r u u u r r ,且

AD CB u u u r u u u r │ │ =│ │ ,则四边形ABCD 是( ) A.平行四边形 B.梯形 C.等腰梯形 D.菱形 3. “11220a e a e +=u r u u r r ”是“10a =且20a =”的( )

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

（二）填空题： 4. 若3,6a e b e ==-r r r r ,那么a r 与b r 的关系是. 5. 在轴上,若8,23AB BC =-=u u u r u u u r ,则AC u u u r =. 6. 已知:数轴上三点A 、B 、C 的坐标分别是-5、-2、6,则AB u u u r =,CA uu u r =, CB uu u r │

│ =. （三）解答题：

7. 已知:点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,求证:EF=HG.

向量的分解

一、高考要求：

理解平面向量的分解定理.

二、知识要点： 1. 平面向量的分解定理:设1a u r ,2a u u r 是平面上的两个不共线的向量,则平面上任意一个向量c r 能唯一地表示成1a u r ,2a u u r 的线性组合,即112212(,)c x a x a x x R =+∈r u r u u r .

2. 直线的向量参数方程： (t 为参数):①AP t AB =u u u r u u u r ;②OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r ;③(1)OP t OA tOB =-+uuu r uu u r uuu r .特别地,当12t =时,1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ,此为中点向量表达式. 三、典型例题：

例1:如图,在△ABC 中,M 是AB 的中点,E 是中线CM 的中点,AE 的延长线交BC 于F,MH ∥AF,交BC 于点H,设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ,试用基底a r 、b r 表示BH u u u r 、MH u u u u r 、EC uuu r .

例2:如图,A 、B 是直线l 上任意两点,O 是l 外一点,求证:点P 在直线l 上的充要条件是:存在实数t,使(1)OP t OA tOB =-+uuu r uu u r uuu r .

四、归纳小结：

平面向量分解定理告诉我们:平面上取定两个不平行的向量作为基

向量,则平面上的任一向量都可以表示为基向量的线性组合.于是,向量

之间的运算转化为对两个向量的线性运算.

五、基础知识训练：

（一）选择题： 1. 如图,用基底向量1e u r 、2e u u r 表示向量a r 、b r 、c r 、d u r ,不正确的一个是( ) A.a r =1e -u r +22e u u r B.b r =21e u r +32e u u r C.c r =31e u r +2e u u r D.d u r =1e u r +32e u u r 2. 在平行四边形ABCD 中,O 是对角线AC 和BD 的交点,122,4AB e BC e ==u u u r u r u u u r u u r ,则212e e -u u r u r 等于( ) A.AO u u u r B.BO uuu r C.CO uuu r D.DO u u u r 3. 已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 和BD 相交于点M,设,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,则用基底向量a r 、b r 分别表示MA u u u r 、MB u u u r 、MC u u u u r 、MD u u u u r 中,错误的一个是( )

A.1122a b --r r

B.1122

a b -r r C.1122a b +r r D.1122a b -r r 4. 若点P 满足向量方程AP t AB =u u u r u u u r ,当t 在R 内任意取值时,点P 的轨迹是( )

A.直线OA

B.直线OB

C.直线AB

D.一条抛物线

（二）填空题： 5. 已知O 、A 、B 三点不共线,则用向量OA uu u r 、OB uuu r 分别表示线段AB 的三等分点P 、Q 相对于点O 的位置向量为. 6. 在△ABC 中,DE ∥BC,并分别与边AB 、AC 交于点D 、E,如果AD=13AB,,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ,则用a r 、b r 表示向量DE u u u r 为. 7. 正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,则BE uuu r =. 8. 平行四边形的边BC 和CD 的中点分别为E 、F,把向量EF u u u r 表示成AB u u u r 、AD u u u r 的线性组合为.

（三）解答题： 9. ABCD 是梯形,AB ∥CD 且AB=2CD,M 、N 分别是DC 和AB 的中点,,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,求BC uuu r 和MN u u u u r .

向量的直角坐标

一、高考要求：

掌握向量的直角坐标和点的坐标之间的关系,熟练掌握向量的直角坐标运算,会求满足一定条件的点的坐标,掌握平行向量坐标间的关系.

二、知识要点： 1. 在直角坐标系XOY 内,分别取与x 轴、与y 轴方向相同的两个单位向量1e u r 、2e u u r ,在XOY 平面上任作一向量a r ,由平面向量分解定理可知,存在唯一的有序实数对12(,)x x ,使得1122a x e x e =+r u r u u r ,则12(,)x x 叫做向量a r 在直角坐标系XOY 中的坐标,记作12(,)a x x =r . 2. 向量的直角坐标:任意向量AB u u u r 的坐标等于终点B 的坐标减去起点A 的坐标,即若A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,则22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--u u u r u u u r u u u r .向量a r 的直角坐标12(,)a a ,也常根据向量的长度和方向来求:12a a a a θθ==r r ∣∣cos ,∣∣s i n . 3. 向量的坐标运算公式:设1212(,),(,)a a a b b b ==r r ,则: 12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b +=+=++r r ;12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b +=-=--r r ; 1212(,)(,)a a a a a λλλλ==r .

三、典型例题： 例1:已知A(-2,1)、B(1,3),求线段AB 的中点M 和三等分点P 、Q 的坐标及向量PQ uuu r 的坐标. 例2:若向量(1,1)(1,1)(1,2)a b c ==-=-r r r 、

、,把向量c r 表示为a r 和b r 的线性组合. 四、归纳小结：

1. 向量在直角坐标系中的坐标分别是向量在x 轴和y 轴上投影的数量,向量的直角坐标运算公

式是通过对基向量的运算得到的.

2. 要求平面上一点的坐标,只须求出该点的位置向量的坐标.

五、基础知识训练：

（一）选择题： 1. 已知向量(2,3)a =r ,向量(1,1)b =-r ,下列式子中错误的是( ) A.(1,4)a b +=r r B.(3,2)a b -=r r C.5(10,15)a =r D.2(4,6)a -=r 2. 已知1212(,),(,)a a a b b b ==r r ,则a b =r r 的充要条件是( )

A.11a b =

B.22a b =

C.11a b =且22a b =

D.11a b =或22a b = 3. 已知点A(-1,1),B(-4,5),若3BC BA =u u u r u u u r ,则点C 的坐标是( )

A.(-10,13)

B.(9,-12)

C.(-5,7)

D.(5,-7) 4. 已知点A(1,2),B(-1,3),2OA OA '=u u u r u u u r ,3OB OB '=u u u r u u u r ,则A B ''u u u u r 的坐标是( )

A.(-5,5)

B.(5,-5)

C.(-1,13)

D.(1,-13)

5. 已知A(1,5),B(-3,3),则△AOB 的重心的坐标为( )

A.1(,2)2-

B.14(,)33-

C.28(,)33

D.28(,)33- 6. 已知向量(1,2)a =-r ,向量(2,3)b =-r ,则32a b -r r 等于( )

A.(-1,-12)

B.(3,-5)

C.(7,-12)

D.(7,0) 7. 已知a r =(-4,4),点A(1,-1),B(2,-2),那么( )

A.a AB =r u u u r

B.a AB ⊥r u u u r

C.a AB =r u u u r ||||

D.a AB r u u u r ∥

8. 已知点A(1,2),B(k,-10),C(3,8),且A,B,C 三点共线,则k=( )

A.-2

B.-3

C.-4

D.-5 9. 已知(3,2),(,4)m n x ==u r r ,m n u r r ∥,则x=( )

A.6

B.-6

C.83-

D.83

（二）填空题： 10. 设平行四边形ABCD 的对角线交于点O,(3,7)AD =u u u r ,(2,1)AB =-u u u r ,则OB uuu r 的坐标是. 11. 已知(1,2)(1,1)(3,2)a b c =-=-=-r r r ,,,且c pa qb =+r r r ,则p,q 的值分别为. 12. 若向量(2,)a m =r 与(,8)b m =r 是方向相反的向量,则m=.

（三）解答题： 13. 已知(1,2)a =r ,(2,3)b =--r ,实数x,y 满足等式(3,4)xa yb +=-r r ,求x,y. 14. 已知向量(3,4)OA =u u u r ,将向量OA uu u r 的长度保持不变绕原点O 沿逆时针方向旋转34

π到OA 'u u u r 的位置,求点A '的坐标. (1) 向量a r =(-3,4)、b r =(-1,1),点A 的坐标为(1,0).求32a b +r r ;(2)若13

AB a =-u u u r r ,求B 点的坐标.

向量的长度和中点公式

一、高考要求：

熟练掌握向量的长度(模)的计算公式(即两点间的距离公式)、中点公式.

二、知识要点：

1. 向量的长度(模)公式:若12(,)a a a =r ,则

a =r ∣∣若A

11(,)x y ,B 22(,)x y ,则AB ∣∣2. 中点公式:若A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,点M(x,y)是线段AB 的中点,则121

2,22

x x y y x y ++==. 三、典型例题：

例1:已知平行四边形ABCD 的顶点A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),求顶点D 的坐标.

例2:已知A(3,8),B(-11,3),C(-8,-2),求证:△ABC 为等腰三角形.

四、归纳小结：

向量的长度公式、距离公式是几何度量的最基本公式,中点公式是中心对称的坐标表示.

五、基础知识训练：

（一）选择题： 1. 已知向量a r =(3,m)的长度是5,则m 的值为( )

A.4

B.-4

C.±4

D.16

2. 若A(1 , 3),B(2 , 5),C(4 ,2),D(6,6),则( ) A.AB CD =u u u r u u u r B.AB CD =u u u r u u u r ∣∣∣∣ C.AB CD u u u r u u u r ∥ D.AB CD ⊥u u u r u u u r

3. 已知平行四边形ABCD 的顶点A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),则顶点D 的坐标是( )

A.(0,4)

B.(2,2)

C.(-1,5)

D.(1,5)

4. 已知点P 的横坐标是7,点P 到点N(-1,5)的距离是10,则点P 的坐标是( )

A.(7,11)

B.(7,-1)

C.(7,11)或(7,-1)

D.(7,-11)或(7,1)

（二）填空题：

5. 已知A(-3 , 4),B(4 , -3),则AB u u u r =,AB uuu r ∣∣=,线段AB 的中点坐标是.

6. 已知点P(x,2),Q(-2,-3),M(1,1),且PQ PM u u u r u u u u r ∣∣=∣∣,则x 的值是.

（三）解答题：

7. 已知平行四边形ABCD 的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(3,1),求顶点D 的坐标. 8. 已知点A(5,1),B(1,3),及13OA OA '=u u u r u u u r ,13

OB OB '=u u u r u u u r ,求A B ''u u u u r 的坐标和长度.

平移公式

一、高考要求：

掌握平移公式,会求满足一定条件的点的坐标.

二、知识要点：

1. 平移是一种基本的几何(保距)变换,它本身就是一个向量.教材中有点的平移和坐标轴的平移

2. 在图形F 上任取一点P(x,y),设平移向量12(,)a a a =r 到图形F '上的点(,)P x y ''',则点的平移公

式为:12,x x a y y a ''=+=+.

三、典型例题： 例1:一种函数2y x =的图象F 平移向量(2,3)a =-r 到F '的位置,求图象F '的函数解析式. 例2:已知抛物线F:2611y x x =++经一平移变换为F ':2y x =,求平移变换公式.

四、归纳小结： 点的平移法则:函数y=f(x)的图象平移向量12(,)a a a =r 后,得到新图形的方程是:y-2a =f(x-1a ).这就是说,在方程y=f(x)中,把x,y 分别换成x-1a ,y-2a ,即可得到图象F '的方程.

五、基础知识训练：

（一）选择题： 1. 点A(-2,1)平移向量a r =(3,2)后,得到对应点A '的坐标是( )

A.(1,3)

B.(1,-3)

C.(-1,3)

D.(-1,-3) 2. 将函数22y x =的图象F,平移向量a r =(-3,1)到图象F ',则F '对应的解析式是( )

A.22(3)1y x =++

B.22(3)1y x =+-

C.22(3)1y x =-+

D.22(3)1y x =-- 3. 将函数y=2x 的图象l ,平移向量a r =(0,3)到'l ,则'l 的方程是( )

A.y=23

x B.y=2(x+3) C.y=6x D.y=2x+3 4. 将函数sin y x π=的图象右移12

个单位,平移后对应的函数为( ) A.1sin()2y x π=+ B.1sin()2y x π=- C.cos y x π= D.cos y x π=- 5. 将函数y=sin2x 的图象平移向量a r 得到函数sin(2)3

y x π=+的图象,则a r 为( ) A.(6π-,0) B.(6π,0) C. (3π-,0) D. (3

π,0) 6. 将方程x 2-4x-4y-8=0表示的图形经过平移向量变换到x 2=4y 的图形,则=( )

A.(2,3)

B.(-2,3)

C.(2,-3)

D.(-2,-3)

7. 函数22(2)1y x =+-的图象平移向量后得到函数22y x =的图象,则为( )

A.(2,1)

B.(-2,1)

C.(2,-1)

D.(-2,-1)

（二）填空题：

8. 在平移变换下,点A(1,0)变为A '(4,3),则平移向量a =.

9. F:抛物线21457y x x =-+经一平移变换到2:F y x '=,其平移变换公式为.

10. 把图形F 平移向量=(2,3)后得到图象F ',已知F '的解析式为2614y x x =-+,则F 对应的函数解析式为.

（三）解答题： 11. 已知函数1y x

=的图象为F,把F 平移向量a r =(3,2)到图象F ',求图象F '的表达式.

向量的射影与内积

一、高考要求：

了解向量在轴上投影的概念,掌握向量在轴上投影的数量计算,熟练掌握向量内积的概念及其运算性质,初步掌握向量的应用.

二、知识要点： 1. 以x 轴的正半轴为始边,以射线OA 为终边的角θ,叫做向量a r 的方向角.向量a r 在轴l 上的投影数量为a a θ=l r ∣∣cos . 2. 两个向量a r ,b r 的内积揭示了长度、角度与向量投影之间的深刻联系:

(1) 两个向量的内积等于一个向量的长与另一个向量在这个方向上正投影数量的乘积,即 ,,a b a b a b b a a b ?=r r r r r r r r r r ∣∣(∣∣cos<>)=∣∣(∣∣cos<>); (2) 两个向量的内积等于这两个向量的模与它们夹角的余弦的积,即,a b a b a b ?=

r r r r r r ∣∣│∣cos<>; (3) 两个向量的内积是数量而不是向量.

3. 内积运算的性质: (1)如果e r 是单位向量,则,a e e a a a e ?=?r r r r r r r =∣∣cos<>; (2)0a b a b ⊥??=r r r r ;

(3)a a a ?=r r r 2∣∣或a r ∣∣= (4),a b a b a b ?=r r r r r r cos<>∣∣│∣

; (5)a b a b ?≤?r r r r ∣∣∣∣∣∣. 4. 向量内积的坐标运算与运算律: (1) 向量内积的坐标运算:已知1212(,),(,)a a a b b b ==r r ,则1122a b a b a b ?=+r r ; (2) 内积的运算律:交换律a b b a ?=?r r r r ;结合律()()()a b a b b a λλλ?=?=?r r r r r r ; (3) 分配律()a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r .

三、典型例题： 例1:在直角坐标系xOy 中,已知OA uu u r 的方向角为60o ,OB uuu r 的方向角为180o ,OC u u u r 的方向角为300o ,且它们的长度都等于2. (1)求OA uu u r ,OB uuu r ,OC u u u r 的坐标; (2)求证:OA uu u r +OB uuu r +OC u u u r =0r . 例2:已知(3,1)a =-r ,(1,2)b =-r ,求a b ?r r 、

a r ∣∣、

b r ∣∣、,a b r r <>. 四、归纳小结：

要求会根据已知条件,求向量在轴上的投影数量;能直接用向量的内积公式,求两向量的内积或夹角;会证明两向量互相垂直.

五、基础知识训练：

（一）选择题：

1. 下面命题正确的是( )

A.向量的方向角在[0,π]之间

B.向量在x 轴的正投影的数量总是正数

C.0≤≤,a b r r <>≤π,(,a b r r 是两个非零向量)

D.两个向量的内积仍是向量